Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Análise Espectral Usando a DFT

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Processamento Digital de Sinais

Notas de Aula

An´

alise Espectral Usando a DFT

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS - Unesp

Observa¸c˜ao: Estas notas de aula est˜ao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.

An´

alise Espectral Usando a DFT

Uma das principais aplica¸cões da DFT é a análise do conteúdo de freq. de sinais (análise espectral)

Aplica¸c˜oes:

• An´alise e s´ıntese de sinais de voz • Estudo de harmˆonicos em redes

• Medi¸c˜ao de desvio de frequˆencia (Doppler)

Para o uso da DFT na an´alise de sinais de tempo cont´ınuo, deve-se considerar:

• Amostragem (qual freq. de amostragem usar?)

• DFT: para sinais de dura¸c˜ao finita - truncamento do sinal (quantos pontos usar?)

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An´

alise Espectral

Filtro anti-aliasing Conversor C/D janelamento DFT N_pontos x janela pontos L sc(t) xc(t) x[n] v[n] w[n] V [k] Haa(jΩ) fs=1 T

• Filtro anti-aliasing: elimina/atenua componentes de freq. acima de Ωs/2 (ou fs/2), para evitar sobreposi¸c˜ao do espectro;

• Conversor C/D: é um conversor A/D, que amostra o sinal xc(t) a uma taxa de fs amostras por segundo, e no qual devem ser con-sideradas suas caracter´ısticas não-ideais (amostragem com reten¸cão, número finito de bits);

• Truncamento ou janelamento: v[n] = x[n] · w[n], em que w[n] é uma fun¸cão que limita a dura¸cão do sinal x[n], chamada de janela. Ela determina o comprimento do sinal a ser analisado (L), e pode fazer alguma modifica¸cão no formato do sinal original, no tempo e em freqüência.

• DFT: Calcula a DFT do sinal v[n], utilizando N ≥ L pontos para o c´alculo:

V [k] =L−1X n=0

v[n]e−j2πNkn, k = 0, 1, ..., N − 1

An´

alise Espectral

0 1 2 3 4 5 6 7 Sc(jΩ) Ω0 Ω1 Haa(jΩ) Xc(jΩ) X(ejω₎ W (ejω₎ V (ejω_{), ˜}_{V [k]} V [k] ω ω ω Ω Ω Ω ∆ω N − 1 Ωs 2 = π T Ωs 2 = π T π π π k 2π 2π 2π −π −π −π −2π −2π −2π Ω Ω Ω

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Rela¸c˜

ao Entre as Transformadas

Os vários parâmetros usados na análise espectral determinam a rela¸cão entre as freq. analógicas e as amostras da DFT. São eles:

• Freq. amostragem: fs= 1/T

• N´umero de pontos usado no c´alculo da DFT: N Relembrando alguns pontos importantes:

• Quando um sinal xc(t) é amostrado, obtendo-se o sinal x[n], tem-se que a DTFT de x[n], X(ejω_{), está relacionada com o espectro do sinal} de tempo cont´ınuo amostrado, Xs(jΩ), pela rela¸cão de freqüências:

ω = ΩT = 2πf /fs

• Em um sinal de tempo discreto de dura¸c˜ao finita v[n], sua DFT, V [k], e sua DTFT, V (ejω_{), est˜ao relacionadas por:}

V [k] = V (ejω)|_ω=2π

Nk, k = 0..N − 1

ou seja, a DFT ´e composta por N amostras da DTFT, equiespa¸cadas de ∆ω = 2π/N , entre ω = 0 e 2π.

Da´ı, pode-se relacionar a amostra k da DFT com a freq. f , em Hertz: ∆ω = 2π/N = ∆ΩT = 2π∆f /fs

e portanto,

∆f = fs N

é o espa¸camento equivalente entre as amostras do espectro do sinal de tempo cont´ınuo, que é amostrado nas freqüências

fk= fs Nk

Problemas e Limita¸c˜

oes

Devido às opera¸cões realizadas sobre o sinal de tempo cont´ınuo, os dados resultantes do cálculo da DFT podem não representar exatamente o espec-tro original. Esses efeitos devem ser levados em conta, para que não haja interpreta¸cões errôneas sobre o conteúdo de freq. do sinal sendo analisado.

Deve-se considerar:

• Aliasing (freq. amostragem)

• Efeito do janelamento (formato e comprimento da janela) – Vazamento espectral (Spectral Leakage)

• N´umero de pontos da DFT – Amostragem espectral

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Amostragem do sinal

O sinal deve ser amostrado a uma taxa maior que duas vezes sua máxima freqüência. Por exemplo, para uma senóide com frequência f0 amostrada a uma taxa fs: 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 sequência −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 espectro 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 fs= 5f0 fs=5 2f0 fs= 2f0 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 n ω/π fs=2 3f0 fs=5 4f0 fs= f0

Efeito do Janelamento

O sinal x[n] sofre um truncamento, que é representado matematicamente por uma multiplica¸cão por uma fun¸cão w[n], chamada de janela:

v[n] = x[n] · w[n]DT F T←→ V (ejω) = 1 2π

Z π −πX(e

jθ_{)W (e}j(ω−θ)_)dθ O efeito na freqüência é uma convolu¸cão periódica do espectro original com o espectro da janela. Há, portanto, mudan¸cas no espectro original, e este efeito é chamado de vazamento espectral (spectral leakage), e de-pende do tipo de truncamento utilizado (formato e comprimento da janela w[n]).. Analisando o caso de uma senóide:

x[n] = A cos(ω0n + θ0) = A 2e j(ω0n+θ0)₊A 2e −j(ω0n+θ0) O espectro de x[n] ´e: X(ejω) = Aπejθ0_{δ(ω − ω} 0) + Aπe−jθ0δ(ω + ω0), |ω| < π O sinal truncado fica com o espectro:

V (ejω) =A 2e

jθ0_{W (e}j(ω−ω0)_{) +}A

2e

−jθ0_{W (e}j(ω+ω0)₎

Utilizando A = 1, ω0 = π/4, θ0 = 0 e uma janela retangular com comprimento L igual a 32 amostras, fica-se com as seguintes sequˆencias e espectros de magnitude.

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Vazamento Espectral

-1 -1 -0.5 -0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 25 30 35 -10 0 10 20 30 40 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -10 0 10 20 30 40 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sequências Espectros (DTFT) π n n n ω/π ω/π ω/π x[n] ↔ X(ejω₎ w[n] ↔ W (ejω₎ v[n] ↔ V (ejω₎

• Observando o espectro de V (ejω_{), e comparando-o com o do sinal} original X(ejω_{), percebe-se que apareceram outras frequˆencias devido} ao truncamento, quando deveria ser observada apenas a frequˆencia ω0= π/4.

• Se o sinal tiver frequências próximas entre si, o efeito do vazamento espectral pode dificultar a identifica¸cão das mesmas.

Vazamento Espectral

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 m ag n it u d e |V (e j ω)| ω/π A1 A2= 16 8 x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.75πn) −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 m ag n it u d e |V (e j ω)| ω/π A1 A2= 16 8.7 x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.35πn) −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 m ag n it u d e |V (e j ω)| ω/π A1 A2= 15 ? x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.29πn)

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Janelas

Existem diversas janelas, com diferentes caracter´ısticas de formato no dom´ınio do tempo, que acabam por influenciar no seu espectro. Os parˆametros principais s˜ao relacionados, no espectro da janela, a:

• Largura do l´obulo principal • N´ıvel de l´obulo lateral

lóbulo principal lóbulos laterais nível de lóbulo lateral largura do lóbulo principal formato comprimento 0 w[n] L − 1 n DTFT L W (ejω₎ ω −π π

Janelas (comprimento L = 16)

0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Janelas com L=16 retangular Hamming Hanning Blackman n -1 0 1 -80 -60 -40 -20 0 dB Retangular -1 0 1 -80 -60 -40 -20 0 Hamming -1 0 1 -80 -60 -40 -20 0 dB Hanning -1 0 1 -80 -60 -40 -20 0 Blackman ω/π ω/π

−→ Ao se modificar o formato da janela, tanto a largura do lóbulo principal como o n´ıvel dos lóbulos laterais são modificados.

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Janela de Kaiser

Fam´ılia de janelas parametrizada por um fator de forma β.

0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n β = 0 β = 3 β = 6 Janelas de Kaiser com L = 16

-1 -0.5 0 0.5 1 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 dB ω/π β = 0 β = 3 β = 6 Espectros de janelas de Kaiser com L = 16

Janela de Kaiser

Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o fator de forma β.

-1 -0.5 0 0.5 1 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 dB ω/π L = 8 L = 16 L = 32 Espectros de janelas de Kaiser com β = 6

−→ Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o seu for-mato, altera-se a largura dos lóbulos (principal e laterais) e o decai-mento dos lóbulos laterais em fun¸cão da frequência, mas o n´ıvel do primeiro lóbulo lateral permanece o mesmo.

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Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela

Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.38πn). Utilizando janelas retan-gular e de Hamming, com L = 64 amostras, fica-se com:

0 10 20 30 40 50 60 −4 −2 0 2 4 amplitude 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 20 40 60 80 v[n], Janela retangular L = 64 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2= 35 66.45 = 1 1.8986 0 10 20 30 40 50 60 −4 −2 0 2 4 amplitude 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20 30 40 v[n], Janela de Hamming L = 64 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2= 17.23 34.26 = 1 1.9884

Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela

0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 60 -4 -2 0 2 4 amplitude v[n], Janela de Blackman L = 64 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2= 13.22 26.44= 1 2

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Vazamento Espectral - Comprimento da Janela

Variando-se o comprimento da janela de Hamming (L = 64 e L = 32):

0 10 20 30 40 50 60 −4 −2 0 2 4 amplitude 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20 30 40 v[n], Janela de Hamming L = 64 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2= 17.23 34.26 = 1 1.9884 0 5 10 15 20 25 30 −4 −2 0 2 4 amplitude 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 5 10 15 20 v[n], Janela de Hamming L = 32 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2= ? 16.9

Amostragem Espectral

Deve-se lembrar que a DFT corresponde a amostras da DTFT: V [k] = V (ejω)|_ω=2π Nk, k = 0..N − 1 0 10 20 30 40 50 60 −4 −2 0 2 4 amplitude 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 20 40 60 80 v[n], Janela retangular L = 64 |V (e j ω)| Amostra n ω/π A1 A2 = 35 66.45= 1 1.8986 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 64 ωk= 2πk/N A1 A2= 34.79(@0.25π) 61.85(@0.375π)= 1 1.7778

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Amostragem Espectral

Variando o n´umero de pontos da DFT (N ), modifica-se o espa¸camento entre amostras do espectro de V (ejω).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 64 ωk= 2πk/N A1 A2= 34.79(@0.25π) 61.85(@0.375π)= 1 1.7778 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 12 8 ωk= 2πk/N A1 A2= 34.79(@0.25π) 61.85(@0.375π)= 1 1.7778 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 25 6 ωk= 2πk/N A1 A2= 34.79(@0.25π) 66.17(@0.383π)= 1 1.9020

Amostragem Espectral

Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.50πn). Utilizando janela retan-gular com comprimento L = 64 e variando-se o comprimento da DFT, fica-se com: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 64 ωk= 2πk/N A1 A2= 32(@0.25π) 64(@0.50π) = 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 |V [k ]| , N = 12 8 ωk= 2πk/N A1 A2= 32(@0.25π) 64(@0.50π) = 1 2

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Rela¸c˜

ao entre as frequˆ

encias

• Amostragem da DTFT: ωk = 2π Nk, 0 ≤ k ≤ N − 1 • Amostragem do sinal: ω = ΩT =2πf fs • Resolu¸cão na frequência: ∆ω = 2π N = ∆ΩT = 2π ∆f fs • Resolu¸cão na frequência f : ∆f = fs N

• Rela¸cão entre frequências analógicas e as amostras k: fk= fs Nk 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 15 31 0.5p p 1.5p 2p 0 5 10 15 20 25 30 35 k [amostras] ω [rad] f [Hz] fs/4 fs/2 3fs/2 fs N − 1

Exemplo: an´

alise espectral

Os sinais a seguir representam a tensão e a corrente numa lâmpada fluo-rescente compacta. Os sinais foram amostrados por um osciloscópio digital com resolu¸cão vertical de 8 bits e frequência de amostragem igual a 5 kHz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 tempo [s] amplitude [V] tensão 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 tempo [s] amplitude [A] corrente

A idéia é analisar o sinal com diversos comprimentos L, janela retangular e de Hamming, e diferentes valores de N para o cálculo da DFT.

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Exemplo: an´

alise espectral (cont.)

Utilizando uma por¸cão de sinal com L = 512 amostras, e aplicando a DFT com N = 512 pontos, e janelas retangular e de Hamming, têm-se os seguintes sinais no dom´ınio da frequência:

0 500 1000 1500 2000 2500 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10

Tensao, janela retangular, L=512, N=512

0 500 1000 1500 2000 2500 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10

Tensao, janela de Hanning, L=512, N=512

f [Hz]

magnitude [dB]

Exemplo: an´

alise espectral (cont.)

Utilizando uma por¸cão de sinal com L = 2048 amostras, e aplicando a DFT com N = 4096 pontos, e janelas retangular e de Hamming, têm-se os seguintes sinais no dom´ınio da frequência:

0 500 1000 1500 2000 2500 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10

Tensao, janela retangular, L=2048, N=4096

0 500 1000 1500 2000 2500 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10

Tensao, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz]

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Exemplo: an´

alise espectral (cont.)

Para ilustrar os efeitos do vazamento espectral e da amostragem espectral, as tabelas a seguir mostram as frequências e magnitudes das harmônicas em 60, 300 e 420 Hz, para os vários casos estudados.

Parˆametros 60 Hz 300 Hz 420 Hz f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB] L = 512 Hamming 58,6 0 302,7 -38,2 419,9 -41,3 N = 512 Retangular 58,6 0 293,0 -39,6 419,9 -45,3 L = 1024 Hamming 61,0 0 300,3 -37,5 419,9 -40,5 N = 2048 Retangular 61,0 0 297,9 -38,7 417,5 -42,9 L = 1024 Hamming 59,8 0 300,3 -37,7 419,9 -40,7 N = 4096 Retangular 59,8 0 299,7 -39,3 416,3 -43,5 L = 4096 Hamming 59,8 0 299,7 -37,3 419,9 -40,8 N = 8192 Retangular 59,8 0 299,7 -38,9 419,9 -41,2

Percebe-se que, dependendo do processamento, chega-se a diferentes valores de frequências e n´ıveis de distor¸cão devido às harmônicas de ordem superior.

Exemplo: an´

alise espectral (cont.)

Analisando a forma de onda de corrente, chega-se ao seguinte espectro de magnitude. 0 500 1000 1500 2000 2500 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz]

magnitude [dB]

• Observando o espectro, nota-se que há harmônicas de múltiplos ´ımpares da fundamental.

• Como o sinal é de alta frequência (pulsos rápidos), o espectro se es-tende a frequências superiores a 2500 Hz, causando aliasing.

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Exemplo: an´

alise espectral (cont.)

2000 2100 2200 2300 2400 2500 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0

Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz] magnitude [dB] harmônica ordem 35 37 39 41 A B

• Componente em A: aliasing da componente em 43×60 = 2580 Hz, que aparece em (5000-2580) = 2420 Hz.

• Componente em B: aliasing da componente em 45×60 = 2700 Hz, que aparece em (5000-2700) = 2300 Hz.

• As magnitudes podem ter erros, caso ocorra sobreposi¸c˜ao de uma raia em outra.

Espectrograma

• Análise Espectral com DFT: adequada para sinais cujo conteúdo de freqüência não varia com o tempo.

• Na prática: o conteúdo de freqüência do sinal pode variar com o tempo (voz).

• A análise espectral realizada sobre todo o sinal de uma só vez pode ocultar informa¸cões importantes da varia¸cão do conteúdo de freqüência ao longo do tempo.

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Chirp

Seja um sinal cuja freq. varia com o tempo: x[n] = cos(ω0n2)

A freq. instantânea do sinal é 2ω0n. O sinal e a magnitude de sua DFT são: 0 50 100 150 200 250 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 magnitude f /fa

Não se pode determinar como variou o conteúdo de freq. do sinal ao longo do tempo. Uma alternativa é fracionar o sinal e calcular várias DFTs para diferentes intevalos de tempo.

Espectrograma

Multiplica-se o sinal x[n] por uma janela w[n] e calcula-se a DTFT: X[n, λ) = +∞X m=−∞ x[n + m] w[m] e−jλm Outra forma: X[n, λ) = +∞X m=−∞ x[m] w[n − m] e−jλm

Amostrando o espectro em N pontos equiespa¸cados e uma janela de comprimento L: X[n, k] = X[n, 2πk/N ] =L−1X m=0 x[n + m] w[m] e−j(2π/N )km, k = 0..N − 1 ou X[n, k] = X[n, 2πk/N ] = Xn m=n−L+1 x[m] w[n−m] e−j(2π/N )km, k = 0..N −1 • A dura¸cão da janela é muito menor que a dura¸cão total do sinal • A janela toma trechos do sinal ao longo do tempo

• Quanto mais estreita a janela, maior a resolu¸c˜ao no tempo e menor em freq.

• n ´e o deslocamento da janela em rela¸c˜ao ao sinal • Para cada n tem-se uma DFT

• N˜ao se pode ter uma boa resolu¸c˜ao no tempo e em freq. ao mesmo tempo usando a DFT

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Espectrograma

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 Time Frequency 0 200 400 600 800 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5