1.2-FATORES DE IMPORTÂNCIA NA TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO

CAPÍTULO 1

FUNDAMENTOS BÁSICOS

1.1-TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO

Em geral, a transferência de calor por convecção lida com a interação térmica entre uma superfície e um fluido adjacente em movimento. Exemplos incluem o escoamento de um fluido sobre um cilindro, no interior de um duto e entre placas paralelas. Convecção inclui também a estudo da interação térmica entre fluidos. Um exemplo é um jato escoando na direção de outro meio, podendo ser o mesmo fluido ou um fluido diferente.

1.2-FATORES DE IMPORTÂNCIA NA TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO

Considere o caso de um bulbo elétrico conforme mostrado na Fig. (1.1). A temperatura da superfície e o fluxo de calor superficial são denotados por Ts e ,

"

s

q

respectivamente. A temperatura do fluido ambiente é

T

_∞ e a velocidade do fluido ambiente é

V

_∞

.

Energia elétrica é dissipada na forma de calor a uma taxa fixa determinada pela diferença de potencial do bulbo elétrico. Desprezando a radiação térmica, a taxa de energia dissipada no bulbo é transferida por convecção a partir da superfície do bulbo para o fluido ambiente. Suponha que a temperatura resultante na superfície seja muito alta e que desejemos diminuí-la. Quais são nossas opções:

(1) Colocar um ventilador em frente ao bulbo para forçar o fluido ambiente a escoar sobre o bulbo.

(2) Trocar o fluido, por exemplo, de ar para um líquido.

(3) Aumentar a área superficial utilizando outra geometria do bulbo.

Com isso concluímos que três fatores são de grande importância na transferência de calor por convecção: (i) movimento do fluido, (ii) natureza do fluido, e (iii)

geometria da superfície. Outros exemplos comuns da importância do movimento do

fluido em convecção são:

(1) Se abanar para se sentir mais confortável. (2) Agitar uma mistura de gelo e água. (3) Soprar a superfície do café em um copo.

(4) Orientar o radiador de um carro na direção do escoamento de ar.

Comum a todos os exemplos anteriores é um fluido em movimento trocando calor com uma superfície adjacente.

1.3-FOCO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO

O interesse do problema da transferência de calor por convecção é a determinação da transferência de calor na superfície e/ou a temperatura da superfície. Essas duas grandezas são de grande importância em engenharia térmica e são determinadas a partir do conhecimento da distribuição de temperaturas no fluido em movimento. Assim, o foco da transferência de calor por convecção é a determinação da distribuição de temperaturas no fluido em movimento. Em coordenadas cartesianas retangulares pode-se expressar a distribuição de temperaturas no fluido na seguinte forma: ) , , , (x y z t T T = (1)

1.4-OS CONCEITOS DE CONTÍNUO E EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO

Nas seções anteriores foram mencionados os conceitos de temperatura e velocidade do fluido. O estudo da transferência de calor por convecção depende de diversas propriedades do fluido tais como densidade, pressão, condutividade térmica e calor específico. Essas propriedades comuns que podemos quantificar e medir são na verdade manifestações oriundas da natureza molecular da matéria. Toda a matéria é composta de moléculas que estão em um estado contínuo de movimentos aleatórios e colisões. No modelo do contínuo nós ignoramos as características de moléculas individuais e lidamos com seu comportamento médio macroscópico. Assim, o contínuo é assumido como sendo composto por matéria contínua. Essa aproximação nos permite utilizar ferramentas do cálculo para modelar e analisar problemas físicos. Entretanto, existem condições na qual a hipótese do contínuo não é válida. A aproximação deve ser válida desde que haja um número suficientemente grande de moléculas em um dado volume para tornar a média estatística de suas atividades significativa.

Uma medida da validade da hipótese do contínuo é o caminho molecular livre médio λ relativo à dimensão característica do sistema em consideração. O caminho molecular livre médio é a distância média percorrida pelas moléculas antes delas colidirem. A relação entre esses dois comprimentos de escala é chamado número de Knudson, Kn:

e

D

Kn=

λ

(2a)

onde D_e é um comprimento característico, que pode ser um diâmetro equivalente ou o

espaçamento entre placas paralelas. O critério para a validade da hipótese do contínuo é:

1 10−

<

Kn (2b)

Essa hipótese começa a se tornar inválida, por exemplo, na modelagem da transferência de calor por convecção em microcanais. O equilíbrio termodinâmico depende da frequência de colisões das moléculas com uma superfície adjacente. No

equilíbrio termodinâmico o fluido e a superfície adjacente têm a mesma velocidade e a mesma temperatura. Essas condições são chamadas de não deslizamento de velocidades e sem salto de temperaturas, respectivamente. A condição para equilíbrio termodinâmico é:

3 10−

<

Kn (2c)

O contínuo e o equilíbrio termodinâmico serão utilizados nesse texto.

1.5-LEI DE FOURIER DA CONDUÇÃO

Nossa experiência nos diz que se a extremidade de uma barra for aquecida, a temperatura na outra extremidade eventualmente também começará a aumentar. Essa transferência de energia é devido à atividade molecular. Moléculas na extremidade quente trocam suas energias cinética e vibracional com as moléculas vizinhas através de colisões e movimento aleatório. Um gradiente de temperaturas é estabelecido com energia sendo continuamente transportada na direção do decréscimo de temperaturas. Esse modo de transferência de energia é chamado condução. O mesmo mecanismo ocorre em fluidos, estando estacionário ou em movimento. É importante notar que o mecanismo para a troca de energia na interface entre um fluido e uma superfície é por condução. Entretanto, a energia transportada através de um fluido em movimento é por condução e convecção.

É de interesse formular uma lei para nos auxiliar a determinar a taxa de transferência de calor por condução. Considere a parede mostrada na Fig. (1.2). A temperatura da superfície em x=0 é T_si e a temperatura da superfície em x=L é T_so.

A espessura da parede é L e a área superficial normal a x é A.

As quatro superfícies restantes estão bem isoladas e assim calor é transferido por condução somente na direção x. Vamos considerar regime permanente e definir q_x

como sendo a taxa de transferência de calor por condução na direção x. Experimentos mostraram que q_x é diretamente proporcional a A e a (T_si −T_so) e inversamente

proporcional a L, ou seja: L T T A q si so x ) ( −

α

Introduzindo uma constante de proporcionalidade k, obtemos:

L T T A k q si so x ) ( − = (3)

onde k é uma propriedade do material chamada de condutividade térmica. Devemos ter em mente que a Eq. (3) é válida para: (i) regime permanente, (ii) k constante e (iii) condução unidimensional. Essas limitações sugerem que uma reformulação é necessária. Aplicando a Eq. (3) para o elemento dx mostrado na Fig. (2), notando que

), (x

T

T_si → T_so→T(x+dx) e substituindo L por dx obtém-se:

dx x T dx x T kA dx dx x T x T kA q_x = ( )− ( + ) =− ( + )− ( ) (4)

Como T(x+dx)−T(x)=dT pode-se reescrever a Eq. (4) como:

dx dT kA

q_x =− (5)

É útil introduzir o termo fluxo de calor ", x

q que é definido como a taxa de

transferência de calor por unidade de área superficial normal a x. Assim:

A q q x x = " (6)

Dessa forma, em termos do fluxo de calor, a Eq. (5) é reescrita como:

dx dT k

q_x" =− (7)

Embora a Eq. (7) seja baseada em condução unidimensional, ela pode ser generalizada para condições transientes tridimensionais notando que o fluxo de calor é uma quantia vetorial. Assim, a derivada total da temperatura na Eq. (7) é alterada para derivada parcial e ajustada para refletir a direção do fluxo de calor, ou seja:

z T k q y T k q x T k qx y z ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = " " " _{, , (8)}

onde x, y e z são as coordenadas retangulares. A Eq. (8) é conhecida como a lei de Fourier da condução. Quatro observações devem ser feitas:

(1) O sinal negativo significa que quando o gradiente de temperaturas é negativo, o fluxo de calor está na direção positiva, isto é, na direção da diminuição de temperaturas.

(2) A condutividade térmica k não precisa ser uniforme, pois a Eq. (8) é aplicada em um ponto do material e não em uma região finita. Na verdade, a condutividade térmica varia com a temperatura. Entretanto, a Eq. (8) é limitada a um material isotrópico, isto é, k é invariante com a direção.

(3) Retornando a observação anterior que o foco da transferência de calor é a determinação da distribuição de temperaturas, nota-se que uma vez que

) , , , (x y z t

T é conhecido, o fluxo de calor em qualquer direção pode ser

facilmente determinado simplesmente diferenciando T(x,y,z,t) e utilizando a Eq. (8).

(4) Através da manipulação do movimento do fluido, a distribuição de temperaturas pode ser alterada. Isso resulta em uma variação da taxa de transferência de calor por condução, conforme indicado pela Eq. (8).

1.6-LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO

Uma aproximação alternativa para determinar a taxa de transferência de calor entre uma superfície e um fluido adjacente em movimento é baseada na lei de Newton do resfriamento. Utilizando observações experimentais de Isaac Newton, é postulado que o fluxo superficial por convecção é proporcional à diferença de temperaturas entre a superfície e a corrente de fluido, ou seja:

) ( " ∞ −T T q_s

α

_s onde " s

q é o fluxo de calor superficial, T_s é a temperatura da superfície e

T

_∞ é a temperatura do fluido distante da superfície. Introduzindo uma constante de proporcionalidade para expressar a proporcionalidade da equação anterior em termos de uma igualdade, obtemos:

) ( " ∞ − =h T T q_{s s} (9)

Esse resultado é conhecido como lei de Newton do resfriamento. A constante de proporcionalidade h é conhecida como coeficiente de transferência de calor, coeficiente convectivo ou coeficiente de película. Esse resultado simples é muito importante, merecendo especial atenção, sendo examinado com mais detalhes na próxima seção.

1.7-O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR h

O coeficiente de transferência de calor h é a grandeza mais importante no estudo da convecção. Algumas observações a respeito do h devem ser feitas:

(1) A Eq. (9) é a definição de h e não uma lei fenomenológica.

(2) Ao contrário da condutividade térmica k, o coeficiente de transferência de calor não é uma propriedade do material. Ao invés disso, depende da geometria, propriedades do fluido, movimento e em alguns casos da diferença de temperaturas ∆T =(T_s −T_∞). Assim:

) fluido, do es propriedad fluido, do movimento geometria, ( T f h= ∆ (10)

(3) Embora a distribuição de temperaturas não esteja explicitada na Eq. (9), a determinação analítica de h requer o conhecimento da distribuição de temperatura no fluido em movimento. Isso se torna evidente quando ambas as leis de Fourier e de Newton são combinadas. Aplicando a lei de Fourier na direção y para a superfície mostrada na Fig. (1.3) obtém-se:

y z x T k qs ∂ ∂ − = ( ,0, ) " ₍₁₁₎

onde y é normal à superfície,

∂

T

(

x

,

0

,

z

)

∂

y

é o gradiente de temperaturas no fluido na

interface e k é a condutividade térmica do fluido. Combinando as Eqs. (9) e (11) obtém-se: ) ( ) , 0 , ( ∞ − ∂ ∂ − = T T y z x T k h s (12)

Esse resultado mostra que para determinar h analiticamente, é necessário determinar a distribuição de temperaturas no fluido.

Figura 1.3 – Superfície com escoamento.

(4) Como tanto a lei de Fourier quanto a lei de Newton fornecem o fluxo de calor superficial, qual a vantagem de introduzir a lei de Newton? Em algumas aplicações a determinação analítica da distribuição de temperaturas pode não ser uma tarefa simples, por exemplo, no escoamento turbulento sobre uma geometria complexa. Em tais casos pode-se utilizar a Eq. (9) para

determinar experimentalmente h medindo ",

s

q T_s e

T

_∞ e construindo uma

equação empírica para correlacionar dados experimentais. Isso elimina a necessidade da determinação da distribuição de temperaturas.

(5) Retornando ao bulbo da Fig. (1), aplicando a lei de Newton, Eq. (9), e resolvendo para a temperatura superficial T_s obtém-se:

h q T T s s " + = ∞ (13)

Especificando q"_s e

T

_∞

,

a temperatura da superfície T_s pode ser alterada

mudando h. Isso pode ser feito trocando o fluido, geometria da superfície e/ou movimento do fluido. Por outro lado, para uma temperatura de superfície especificada

s

T e temperatura ambiente

T

_∞

,

a Eq. (9) mostra que o fluxo de calor pode ser alterado

mudando h.

(6) Um dos maiores objetivos da convecção é a determinação de h.

(7) Como h não é uma propriedade, seu valor não pode ser tabulado como no caso da condutividade térmica, entalpia específica, densidade, etc. Mesmo assim, é útil ter uma ideia geral da sua magnitude para processos comuns e fluidos. A Tab. (1) fornece uma faixa aproximada de h para várias condições.

Tabela 1.1 – Valores típicos de h.

Processo h (W/(m2.K)) Convecção natural Gases 5-30 Líquidos 20-1000 Convecção forçada Gases 20-300 Líquidos 50-20000 Metais líquidos 5000-50000 Mudança de fase Ebulição 2000-100000 Condensação 5000-100000

1.8-LEI DE STEFAN-BOLTZMANN DA RADIAÇÃO

A troca de energia por radiação entre duas superfícies depende da geometria, forma, área, orientação e emissividade das duas superfícies. Além disso, depende da absortividade α de cada superfície. A absortividade é uma propriedade da superfície definida como a fração da energia radiante incidente sobre uma superfície que é absorvida pela superfície. Embora a determinação a troca líquida por radiação entre duas superfícies seja complexa, a análise é simplificada através de um modelo ideal na qual a absortividade α é igual à emissividade ε. Tal superfície ideal é chamada de superfície cinza. Para o caso especial de uma superfície cinza completamente envolta por uma superfície muito maior,

q

12 é dada pela lei de Stefan-Boltzmann da radiação:

) ( 4 2 4 1 1 1 12 A T T q =

ε

σ

− (14)

onde

ε

1 é a emissividade da superfície menor,

A

1 é a sua área,

T

1 é a sua temperatura absoluta e

T

₂ é a temperatura absoluta da superfície circundante. Note que para esse

caso especial nem a área

A

2 da superfície maior nem a sua emissividade

ε

2 afetam o resultado.

1.9-FORMULAÇÃO DIFERENCIAL DAS LEIS BÁSICAS

A análise da transferência de calor por convecção implica na aplicação de três leis básicas: conservação da massa, conservação da quantidade de movimento e conservação da energia. Além disso, a lei de Fourier da condução e lei de Newton do resfriamento são também aplicadas. Como o ponto chave é a determinação da distribuição de temperaturas no fluido, as três leis básicas devem ser utilizadas no formato adequado para cada caso específico. Esse procedimento é conhecido por modelagem matemática. Várias formulações estão disponíveis para essa modelagem, tais como a diferencial, integral, variacional e diferenças finitas. Essa seção lida com a formulação diferencial. A formulação integral será apresentada no Cap. (5).

A formulação diferencial é baseada na hipótese do contínuo. Essa hipótese ignora a estrutura molecular do material e tem como enfoque o efeito global da atividade molecular. De acordo com essa hipótese, os fluidos são modelados como

matéria contínua. Isso torna possível tratar variáveis como temperatura, pressão e velocidade como funções contínuas do domínio de interesse.

1.10-BASE MATEMÁTICA

Serão revisadas as seguintes definições matemáticas que são necessárias na formulação diferencial das leis básicas.

(a) Vetor velocidade

V

.

Seja u, v e w as componentes de velocidades nas direções x, y e z, respectivamente de um sistema de coordenadas retangular, conforme mostrado na Fig. (1.4). O vetor velocidade

V

é então escrito na seguinte forma:

wk vj ui

V = + + (15a)

Figura 1.4 – Componentes do vetor velocidade em coordenadas retangulares.

Em coordenadas cilíndricas, as componentes do vetor velocidade são v_r, v_θ e

, z

v respectivamente nas direções r,

θ

e z, conforme a Fig. (1.5). O vetor velocidade

V

é então escrito na seguinte forma:

z z r ri v i vi v V = + _θθ + (15b)

Figura 1.5 – Componentes do vetor velocidade em coordenadas cilíndricas.

Em coordenadas esféricas, as componentes do vetor velocidade são v_r, v_θ e v_φ,

respectivamente nas direções r,

θ

e φ, conforme a Fig. (1.6). O vetor velocidade

V

é

então escrito na seguinte forma:

φ φ θ θi v i v i v V = _{r r} + + (15c)

Figura 1.6 – Componentes do vetor velocidade em coordenadas esféricas.

(b) Derivada da velocidade. A derivada do vetor velocidade com relação a qualquer uma das três variáveis independentes é representada em coordenadas retangulares por:

k x w j x v i x u x V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ _(15d)

k y w j y v i y u y V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (15e) k z w j z v i z u z V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ _(15f)

Em coordenadas cilíndricas por:

z z r r i r v i r v i r v r V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ _(15g) z z r r _i v _i v _i v V

θ

θ

θ

θ

=∂_∂ +∂_∂θ θ +∂_∂ ∂ ∂ (15h) z z r r i z v i z v i z v z V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ _(15i)

E em coordenadas esféricas por:

φ φ θ θ _i r v i r v i r v r V r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (15j) φ φ θ θ

θ

θ

θ

θ

i v i v i v V r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (15k) φ φ θ θ

φ

φ

φ

φ

i v i v i v V r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (15l)

(c) Diferencial total e derivada total. Vamos considerar uma variável do campo de

escoamento designada pelo símbolo f. Essa variável pode ser uma quantidade escalar tal como a temperatura T, pressão p, densidade ρ, ou a componente de velocidade u. Em geral, essa quantidade é uma função de quatro variáveis independentes x, y, z e t. Assim, em coordenadas retangulares podemos escrever que:

) , , , (x y z t f f = (a)

O diferencial total de f é a variação total de f resultante de variações em x, y, z e t. Assim, utilizando a Eq. (a) obtém-se:

dt t f dz z f dy y f dx x f df ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

Dividindo a expressão anterior por dt obtém-se:

t f dt dz z f dt dy y f dt dx x f Dt Df dt df ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = (b) Entretanto, w dt dz v dt dy u dt dx = = = , , (c)

Substituindo a Eq. (c) na Eq. (b) obtém-se:

t f z f w y f v x f u Dt Df dt df ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = (16)

onde

df

dt

na Eq. (16) é chamado de derivada total (material), sendo também representado por

Df

Dt

para enfatizar que representa a variação de f resultante de variações nas quatro variáveis independentes. É também chamado de derivada substancial. Note que os três primeiros termos do lado direito estão associados com movimento, sendo também conhecidos como derivada convectiva. O último termo do lado direito representa mudanças em f com relação ao tempo, sendo também conhecido como derivada local. Assim:

convectiva derivada = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z f w y f v x f u (d)

local derivada = ∂ ∂ t f (e)

Para entender o significado físico da Eq. (16), vamos aplicá-la a componente de velocidade u. Fazendo f =u na Eq. (16) obtém-se:

t u z u w y u v x u u dt Du dt du ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = (17)

Seguindo o formato das Eqs. (d-e), a Eq. (17) representa:

x z u w y u v x u

u =aceleraçãoconvectivanadireção

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _(f) local aceleração = ∂ ∂ t u (g)

De maneira similar, a Eq. (16) pode ser aplicada nas direções y e z para se obter a correspondente aceleração local nessas direções. As três componentes da aceleração total em coordenadas cilíndricas r,θ e z são:

t v z v v r v v r v r v v dt Dv dt dv _{r r} z r r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ∂ ∂ = = θ θ2

θ

(18a) t v z v v r v v v r v r v v Dt Dv dt dv z r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

(18b) t v z v v v r v r v v Dt Dv dt dv _{z z} z z z r z z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = =

θ

θ _(18c)

Outro exemplo de derivada total é obtido fazendo f =T na Eq. (16) para se obter a derivada total da temperatura:

t T z T w y T v x T u Dt DT dt dT ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = (19)

Um bom exemplo do significado das derivadas substancial, convectiva e local pode ser encontrado no livro Computational Fluid Dynamics, do autor John Anderson. Imagine que você esteja caminhando nas montanhas e está para entrar em uma caverna. A temperatura no interior da caverna é inferior que fora dela. Portanto, conforme você caminha para o interior da caverna, sentirá a temperatura decrescer. Isso é análogo a derivada convectiva na Eq. (19). Imagine que, ao mesmo tempo, um amigo jogue uma bola de neve em você. A bola de neve atinge você no mesmo instante de tempo que você está passando pela “boca” da caverna. Neste caso, você irá sentir uma queda de temperatura instantânea adicional quando a bola de neve tocar em você. Isso é análogo a derivada local na Eq. (19). A queda de temperatura que você sentirá conforme atravessa a “boca” da caverna é, portanto, uma combinação, no mesmo instante de tempo, do ato de se mover para o interior da caverna (quando a temperatura muda de alta para baixa), e do ato de ser atingido pela bola de neve. Esta queda de temperatura total é análoga à derivada substancial dada pela Eq. (19).

EXEMPLO 1 – Considere dois triângulos idênticos representados na superfície de uma placa plana conforme a figura abaixo. A placa, que está mantida a uma temperatura superficial uniforme T_s, é resfriada por convecção forçada. A temperatura da corrente livre é

T

_∞

.

Sob certas condições o coeficiente de transferência de calor varia com a distância x a partir da borda de ataque da placa de acordo com a expressão

, )

(x C x

h = onde C é uma constante. Determine a relação entre as taxas de

Hipóteses. (1) Regime permanente. (2) variação unidimensional do coeficiente de transferência de calor. (3) Temperatura da corrente livre uniforme. (4) Temperatura superficial uniforme e (5) Radiação desprezível.

Quer-se calcular a relação entre a taxa de transferência de calor total do triângulo 1 com relação ao triângulo 2. Como tanto o coeficiente de transferência de calor quanto a área variam ao longo de cada triângulo, segue que a lei de Newton do resfriamento deve ser aplicada para um elemento de área dA distante x a partir da borda de ataque, ou seja: dA T T x h dq= ( )( _s − _∞) (a)

onde dA é a área do elemento, h(x) é o coeficiente local de transferência de calor, dq é a taxa de transferência de calor a partir do elemento, T_s é a temperatura da superfície,

∞

T

é a temperatura da corrente livre e x é a distância ao longo da placa. O coeficiente de

transferência de calor é dado por:

x C x

h( )= (b)

Utilizando os subscritos 1 e 2 para se referir aos triângulos 1 e 2, respectivamente, a área infinitesimal dA para cada triângulo é dada por:

dx

x

y

dA

₁

=

₁

(

)

(c) e

dx

x

y

dA

₂

=

₂

(

)

(d)

Uma semelhança de triângulos fornece que:

) ( ) ( ) ( 1 1 x L L H x y x y H x L L − =  = − (e)

x L H x y x y H x L =  = ( ) ) ( 2 2 (f)

Substituindo a Eq. (e) na Eq. (c) e a Eq. (f) na Eq. (d) obtém-se:

dx x L L H dA₁= ( − ) (g) xdx L H dA₂= (h)

onde H é a altura do triângulo e L é a base do triângulo. Substituindo as Eqs. (b) e (g) na Eq. (a) e integrando de x=0 a x=L obtém-se:

dx x x L L H T T C dx x L L H T T x C dA T T x h dq q =



=



L _s− _∞ =



L _s− _∞ − = _s − _∞



L − 0 12 0 1 0 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

Resolvendo a integral obtém-se:

2 1

1 (4 3)C(T T )HL

q = _s− _∞ (i)

Similarmente, substituindo as Eqs. (b) e (h) na Eq. (b) e integrando de x=0 a

L x= obtém-se: dx x x L H T T C xdx L H T T x C dA T T x h dq q =



=



L _s− _∞ =



L _s− _∞ = _s− _∞



L 0 12 0 2 0 2 2 ( )( ) ( ) ( )

Resolvendo a integral obtém-se:

2 1

2 (2 3)C(T T )HL

q = s − ∞ (j)

2

2

1 q =

q (k)

EXEMPLO 2 – Calor é removido de uma placa em L por convecção. O coeficiente de transferência de calor é h e a temperatura ambiente é

T

_∞

.

A temperatura da superfície varia de acordo com ( ) cx,

o s x Te

T = onde c e T_o são constantes. Determine a taxa de

transferência de calor a partir dessa área.

Hipóteses. (1) Regime permanente. (2) variação unidimensional da temperatura superficial. (3) Temperatura da corrente livre uniforme. (4) Coeficiente de transferência de calor uniforme e (5) Radiação desprezível.

De maneira similar ao EXEMPLO 1, pode-se dividir a placa em duas partes visto que sua área varia com a distância x e escrever expressões para a taxa de calor por convecção a partir de dois elementos diferenciais de comprimento dx conforme a figura abaixo:

x

0 2 1 a a a 2 a s

dq

dx dx

Para a área menor tem-se que:

    − − = − =  − = _∞

_

_∞ e aT_∞ c T ha adx T e T h q dA T T h dq a cx o ca o s s s s1 ( ) 1 1 ₀ ( ) ( 1) (a)

    − − = − =  − = ∞



∞ e e aT∞ c T ha adx T e T h q dA T T h dq a o ca ca a cx o s s s s ( ) ( )2 2 ( ) 2 2 2 2 2 (b)

A taxa de transferência de calor total é a soma dos dois resultados anteriores, ou seja: = + = s1 s2 s q q q       − − − =     − − +     − − ∞ ∞ ∞ 2 ( ) 2 1 ) 1 ( 2 2 o ca ca o ca ca o ca o T T ac e e hT c a aT e e c T ha aT e c T ha (c)

1.11-EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calor é removido de uma superfície retangular por convecção para um fluido ambiente a

T

_∞

.

O coeficiente de transferência de calor é h. A temperatura da superfície é dada por 12,

x A

T_s = onde A é uma constante. Determine a taxa de transferência de

calor em regime permanente a partir da placa.

2) Um triângulo retângulo está a uma temperatura superficial uniforme T_s. Calor é removido por convecção para um fluido ambiente a

T

_∞

.

O coeficiente h varia o longo da superfície de acordo com 12,

x C

h= onde C é uma constante e x é a distância ao

longo da base medida a partir do vértice. Determine a taxa de transferência de calor em regime permanente a partir do triângulo.