Projecto de Filtros Digitais IIR

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Sistemas de Processamento Digital

Engenharia de Sistemas e Informática

Ficha 7

2005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre

Projecto de Filtros Digitais

IIR

Projecto de Filtros IIR

O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser seguidas:

Abordagem 1:

• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação na frequência em s • Aplicar uma transformação de s para z.

Abordagem 2:

• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação de s para z.

• Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da tranformação em z determinada anterirormente.

ESCALA LINEAR RELATIVA

Especificação de Ωp, ∈, Ωs e A:

Relação com Rp e As na escala em dB:

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PROTOTIPOS

BUTTER-WORTH – Passa – Baixo

Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:

( )

2 2 1 ( ) 1 c a N H j Ω Ω Ω = +

N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte.

Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de

2

( )

a

H jΩ , considerando só os pólos que se

encontram no semi-plano esquerdo de s:

(

)

( ) N c a k Polos SPE H j s p Ω Ω = −

∏

com j2N(2k N 1)_, _{0,1,..., 2} ₁ k c p = Ωe π + + k = N−

Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As e determina-se a

ordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma:

(

)

(

)

(

)

10 10 10 10 log 10 1 10 1 2 log p s R A p S N ⎡ ₋ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ =

Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima

Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ωp ou Ωs pelo

que, para satisfazer exactamente as especificações de Ωp ou de Ωs, Ωc deverá ser:

para Ωp:

(

10

)

2 ₁₀ p ₁ p c R N Ω Ω = − , para Ωs: ₂

(

10

)

10 s 1 s c A N Ω Ω = − EXERCÍCIO 1 Dado ( )2 1 ₆ 1 64 a H jΩ =

+ Ω , determinar a função Ha(s) do filtro.

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EXERCÍCIO 2

Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5.

Solução:

EXERCÍCIO 3

Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;

Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;

Solução:

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EXERCICIO 4

Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab

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CHEBYCHEV – Passa – Baixo

Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem.

Chebychev – I:

em que Chebychev – II:

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Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II.

Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de

2

( )

a

H jΩ . Pode ser demonstrado que se pk=σk + jΩk,

K=0, …, N-1 representar os pólos de H_a(jΩ localizados no semi-plano esquerdo de s, então: )2

em que

A função transferência obter Ha(s), é dada pela equação:

(

)

( ) a k k K H s s p = −

∏

em que se determinando K de modo a que

Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As

para determinar∈, Ωc e N:

, , e

a ordem N é dada por:

EXERCICIO 5

Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;

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Solução

MATLAB

EXERCÍCIO 6

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Solução:

(10)

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EXERCICIO 7

Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;

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FILTRO ELÍPTICO

Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:

onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e UN(.) é a função

jacobiana de ordem N.

A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma:

onde e

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EXERCICIO 8

Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;

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TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL

Transformação Impulso Invariante

Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) projectando

primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante:

1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: _p p

T ω Ω = e s s T ω Ω =

2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da

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3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir Ha(s):

4. Transformar os pólos pk analógicos em pólos digitais k

p T

e para se obter o filtro digital:

EXERCÍCIO 9 Transforme ( ) ₂ 1 5 6 a s H s s s + =

+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso Invariante, considerando T = 0.1.

Solução

EXERCÍCIO 10

Implemente em MatLab a função imp_invr que implemente a Transformação Impulso Invariante.

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EXERCICIO 11

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições:

Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;

Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;

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EXERCICIO 12

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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EXERCICIO 13

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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EXERCICIO 14

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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Transformação Bilinear

Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação:

Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as seguintes relações:

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que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um

pré-warping de ω.

Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) seguno os

seguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear:

1. Escolher o valor para T. Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1.

2. Pré-warping das frequências ωp e ωs, determinando Ωp e Ωs através das funções:

3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da

utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As.

4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição:

EXERCICIO 15 Transforme ( ) ₂ 1 5 6 a s H s s s + =

+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear, considerando T = 1.

Solução:

MATLAB

EXERCICIO 16

Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear.

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EXERCICIO 17

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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EXERCICIO 18

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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EXERCICIO 19

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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Exercício 20

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições:

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