Abstract— This note deals whith the problem of extrema which may occur in the step-response of a stable linear system with real zeros and poles. Some simple sufficients conditions and necessary conditions are presented for analyses when zeros located between the dominant and fastest pole does not cause extrema in the step-response. These conditions require knowledge of the pole-zero configuration of the corresponding transfer-function.
Keywords— Transfer functions, step-response, pole, zero
extrema.
I. INTRODUÇÃO
CONHECIMENTO das características da resposta a degrau é importante em engenharia de controle, pois existem alguns problemas tais como o de controle do eixo de máquinas ferramentas e problemas nos quais um robô necessita seguir uma trajetória pré-definida, em que a resposta a degrau não pode apresentar extremos ([1], [3] – [8], [13], [14]).
É fato conhecido que os zeros da função de transferência podem afetar a parte transiente da resposta a degrau. Muitas contribuições têm sido feitas no sentido de clarificar a influência dos zeros e das localizações de pólos e zeros da planta na parte transiente dessa função ([1], [3] – [12], [14]). [3] determina limitante superior para o número de extremos da resposta a degrau de um sistema de controle linear estável, complementando os resultados existentes para limitantes inferiores ([15]). [3] ainda contribui com o fato de que zeros localizados entre o pólo dominante e o pólo mais rápido podem causar extremos. [7] apresenta uma condição suficiente para avaliar extremos da resposta a degrau, utilizando a configuração pólo-zero da correspondente função de transferência. Prova-se que todo zero real relacionado a um pólo real e situado à esquerda desse pólo, não contribui com extremos na resposta a degrau. [8] analisa sobre-sinal e reação reversa associados a zeros de fase não mínima.
[9] – [12] mostram que zeros reais, localizados entre a origem e o pólo mais próximo da origem causam sobre-sinal e reação reversa na resposta a degrau. O fato de zeros negativos causarem reação reversa é um resultado importante visto que, na literatura, esse fato está associado apenas zeros de fase não mínima. Tais resultados são obtidos mediante uma técnica de análise da resposta a degrau que permite avaliar a quantidade de extremos dessa função e inclusive classificar os mesmos, sem a determinação analítica destes.
C. A. Reis, Universidade Estadual Paulista – UNESP, Ilha Solteira, SP, celia@mat.feis.unesp.br
N. A. P. Silva, Universidade Estadual Paulista – UNESP, Ilha Solteira, SP, neusa@mat.feis.unesp.br
Apesar de bastante valiosas, tais contribuições ainda não oferecem um quadro claro de como e quais variações extensas nas localizações de pólos e zeros podem influenciar o número de extremos, o sobre-sinal e a resposta inversa. Por exemplo, o problema de se determinar o número exato de extremos da resposta a degrau permanece em aberto ([3]).
Neste trabalho, considera-se o problema da análise do número exato de extremos da resposta a degrau de um sistema de lineares de ordem n, com m zeros reais distintos. Apresentam-se condições suficientes e condições necessárias para avaliar quando zeros localizados entre o pólo dominante e o pólo mais rápido não contribuem com extremos na resposta a degrau unitário. Tais resultados são extensões dos teoremas de [7] e de [3]. Acredita-se que os mesmos são de importância já que permitem uma visão mais esclarecida das condições que possibilitem avaliar extremos em sistemas lineares, além de esclarecer melhor a influência dos zeros e localizações de pólos e zeros da planta na parte transiente da resposta a degrau. Eles são base para a obtenção de resultados ainda mais gerais, quando se considera sistemas estáveis com pólos e zeros múltiplos.
Este trabalho está organizado como segue. A Seção 2, fornece as considerações iniciais, na 3 os resultados obtidos, na 4 aplicações e na Seção 5 as conclusões do trabalho.
II. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A forma mais geral da função de transferência de um sistema de controle linear racional SISO, assintoticamente estável, estritamente própria, sem pólos na origem e com pólos e zeros reais é dada por:
(
)
(
)
∏ + ∏ + = = = 2 j 1 i k 1 j l j k 1 i r i 1 s 1 s T ) s ( G τ ou (1) ∏ − ∏ − = = = 2 j 1 i k 1 j l j k 1 i r i ) s ( ) z s ( K ) s ( G λ (2) sendo que: (1) 1≤ k1≤ m, 1≤ k2≤ n, = 1 k 1 i i r = m, = 2 k 1 j j l = n; (2) Ti > 0, ∀ i = 1, .., k1, τj > 0, ∀ j = 1, .., k2; (3) λj j λ , j = 1,..., k2, zi iz, i = 1, ..., k1, são respectivamente os pólos
e zeros reais de G(s);
C. A. Reis and N. A. P. Silva
Sufficients Conditions for Analysis of Extrema in
the Step-response of the Linear Control Systems
(4) . z ) 1 ( K m 1 i i n 1 j j m n ∏ ∏ − = = = + λ
Considera-se que G(s) não possui cancelamentos de pólos e zeros e que λ1 < λ2 < ...< λn < 0 e z1 < z2 < ...< zm.
É conveniente classificar os zeros do sistema (2), em quatro diferentes conjuntos, a saber:
M1 = {z: G(z) = 0, 0 < z < +∞}, M2 = {z: G(z) = 0, λn < z < 0}, M3 = {z: G(z) = 0, λ1 < z < λn } e M4 = {z: G(z) = 0, -∞ < z < λ1}. (3)
Em adição, seja mio número de zeros presentes nas classes Mi, i = 1,..., 4, tal que m = m1 + m2 + m3 + m4.
Definição: ([3]) A resposta a degrau y(t) de (2), tem um extremo local em t* se existe ε > 0 tal que [y(t*) - y(t* - τ)][y(t*) - y(t* + τ)] > 0 para todo τ∈ (0, ε).
Denota-se por p o número de intervalos (λi-1, λi) entre dois
pólos consecutivos distintos de G(s), contendo um número ímpar de zeros e por ηo número de extremos locais de y(t), para t > 0 ([3]). Dessa forma, se I = 0 no sistema (2), e como todos os pólos de G(s) são reais e negativos, η é um número finito para t > 0 ([3]).
O problema da determinação de um limitante inferior para o número de extremos da resposta a degrau foi resolvido por [15], mediante o resultado descrito a seguir. Considera-se que no sistema (2) G(s) possui apenas pólos reais, distintos e não nulos.
Teorema 2.2: (Teorema do limitante inferior) m1 + m2≤ η.
Combinando este resultado, [3] apresenta um limitante superior para η, apresentado a seguir.
Teorema 2.3: ([3]) m1 + m2 ≤ η ≤ m1 + m2 + m3 – p;
[7] fornece uma condição para a não existência de extremos na resposta a degrau y(t). Considera-se a função de transferência de um sistema de controle linear racional SISO, assintoticamente estável, estritamente própria, sem pólos na origem e com pólos e zeros reais como em (1). Sob tais condições têm-se os seguintes resultados.
Lema 2.1: ([7]) A função de transferência G(s) (1) dada na
forma das constantes de tempo, pode sempre ser escrita sob a forma: ∏ ∏ = = = 2 1 r 1 j 2j r 1 i 1i ) s ( G ) s ( G ) s ( G (4) sendo que: s 1 1 ) s ( G i 1 i 1 τ + = e s 1 s T 1 ) s ( G j 2 j 2 j 2 τ + + = e r1 + r2 = n.
Teorema 2.4: ([7]) A resposta a degrau do sistema (1) não tem
extremo para t ≠ 0 se G(s) dada na forma (4) é tal que vale a
condição T2j <τ2j para todo j ∈ [1, r2].
O teorema 2.4 garante que a resposta a degrau de (1) tal que G(s) tem a forma (4), não apresentará extremos, se todo zero z2j < λ2j∀j ∈ [1, r2]. O teorema 2.4 pode ser enunciado
de acordo com o teorema a seguir.
Teorema 2.5: ([7]) A resposta a degrau do sistema (2) não tem
extremos para t > 0 se existe uma relação R na qual ν() é a ordem da multiplicidade de ( ), e R satisfaz as seguintes condições:
(i) z R λ⇔ z < λ;
(ii) Cada pólo λestá relacionado por R a ν(λ) zeros;
(iii) Cada zero z finito ou infinito está relacionado por R a ν(z) pólos.
Considera-se, neste trabalho, sistemas de controle lineares de ordem n, estáveis, contínuos no tempo na forma (1) ou (2), caracterizados pela função de transferência estritamente própria, dada por:
(
)
(
)
∏ − ∏ − ∏ ∏ − = = = = = + n 1 j j m 1 i i m 1 i i n 1 j j m n s z s z ) 1 ( ) s ( G λ λ (5) sendo que:
m < n;
zi, i = 1, ..., m são os zeros reais de G(s), z1 < ...< zm;
λj, j = 1,...,n são os pólos reais de G(s) e zi ≠λj;
λ1 < λ2 < ...< λn < 0.Têm-se, os seguintes resultados relativos ao sistema (5). A prova é feita pelo uso de expansão em frações parciais.
Lema 2.2: A resposta a uma entrada degrau unitário y(t), t > 0
para o sistema (5), tem a forma: + = = n 1 j t je j c 1 ) t ( y λ (6)
sendo que, para todo k = 2, ..., n:
( ) ∏( − ) ∏ ∏ − = = = = + m 1 i 1 i m 1 i i n 2 j j 1 m 1 z z 1 c λ λ(
)
(
)
∏ − ∏ − ≤ < ≤ ≤ < ≤ n j i 1 j i n j i 2 j i λ λ λ λ ; (7)
∏(
−)
∏ ∏ − = = = ≠ = + m 1 i k i m 1 i i n k j 1 j j k m k z z ) 1 ( c λ λ(
)
(
)
∏ − ∏ − ≤ < ≤ ≠≤ < ≤ n j i 1 j i k j i, i j n 1 j i λ λ λ λ . (8)Como conseqüência do lema 2.2, tem-se o resultado a seguir.
Corolário 2.1: Seja y(t) a resposta a degrau unitário como em
(6)-(8). Se m = m1 + m2 + m3 + m4 e zi ∈
(
λn−1, λn)
∀ i = 1, ..., m3, seguem os seguintes resultados:1.1) m2e m3 são pares c1 > 0, c2 < 0, ..., cn-1 > 0, cn < 0; 1.2) m2ímpar e m3 par c1 < 0, c2 > 0, ..., cn-1 < 0, cn > 0; 1.3) m2par e m3 ímpar c1 < 0, c2 > 0, ..., cn-1 < 0, cn < 0; 1.4) m2, m3 são ímpares c1 > 0, c2 < 0, ..., cn-1 > 0, cn > 0; (2) Se n ímpar e: 2.1) m2e m3 são pares c1 < 0, c2 > 0, ..., cn-1 > 0, cn < 0; 2.2) m2ímpar e m3 par c1 > 0, c2 < 0, ..., cn-1 < 0, cn > 0; 2.3) m2par e m3 ímpar c1 > 0, c2 < 0, ..., cn-1 < 0, cn < 0; 2.4) m2e m3 são ímpares c1 < 0, c2 > 0, ..., cn-1 >0, cn > 0;
III. RESULTADOS OBTIDOS
Teorema 3.1: Considera-se o sistema de controle linear
contínuo no tempo, monovariável, com n pólos reais distintos, estável descrito pela função de transferência (5), cuja resposta a entrada degrau unitário tem a forma (6) - (8). Seguem os seguintes resultados:
(1) y(t) não apresenta extremos nos seguintes casos: a) Se m = m3e zi ∈ − + 2 , n 1 n 1 λ λ λ ,∀i = 1, ..., m; b) Se m = m3 + m4 e zi ∈ + ∞ − − 2 , λn 1 λn ,∀i = 1, ..., m. (2) Se m = m3e zi ∈ − + n n 1 n , 2 λ λ λ ∀ i = 1, ..., m, então y(t) possui, no máximo, m3extremos se m = m3 é par ou m3 - 1 extremos se m = m3 é ímpar.
Teorema 3.2: Sob as hipóteses do teorema 3.1, se m = m1 +
m2 + m3 + m4,e zi ∈ ∞ + + − , 2 n 1 n λ λ ∀ z i∈ M1∪ M2∪ M3,
então y(t) apresenta no máximo m1 + m2 + m3extremos se m3
é par ou m1 + m2 + m3 - 1 extremos se m = m3 é ímpar.
Como conseqüências dos teoremas 3.1 e 3.2, seguem as seguintes observações:
(a)
O teorema 3.1 apresenta uma classe de zeros que não contribuem com extremos na resposta a degrau e que não estão contempladas nas classes apresentadas pelos teoremas 2.4 ou 2.5. Nesse sentido, são extensões do teorema 2.4. De fato, pelos itens (1) – a) e b), se m = m3 ≠ 1, os m3– 1 zeros zi tais que zi ∈ − + −1, n 12 n n λ λ λ ,∀
i = 1, ..., m3 – 1, não contribuem com extremos na
resposta a degrau e não estão relacionados a nenhum pólo. Nota-se que se m = m3 = 1, aplicam-se os teoremas
2.4 ou 2.5;
(b)
Pelo teorema 2.3, m1 + m2 ≤ η ≤ m1 + m2 + m3 – p. Se m1 = m2 = 0, então 0 ≤ η ≤ m3 – p. Os limitantessuperiores encontrados para η através dos teoremas 3.1 e 3.2 são exatamente os mesmos, mas tais resultados melhoram os resultados fornecidos pelo teorema 2.3, já que especificam as posições dos zeros da classe M3 para
que estes possam ou não contribuir com os extremos da resposta a degrau. De fato, pelo Teorema 3.1, η = 0 se
m = m3 e zi ∈ − + 2 , n 1 n 1 λ λ λ ∀ i ou se m = m3 + m4 e zi ∈ −∞ − + 2 , λn 1 λn ,∀i = 1, ..., m. Além disso, se zi ∈ − + n n 1 n , 2 λ λ λ ∀ i = 1, ..., m 3, então 0 ≤ η ≤ m3se m3
é par ou 0 ≤ η ≤ m3 – 1 se m3 é ímpar, ou seja, se os
zeros da classe M3 estiverem situados nesse subintervalo, então η poderá assumir seu valor máximo m3ou m3 – 1;
(c)
Quando os zeros da classe M3 estiverem distribuídos aolongo de todo o intervalo (λn-1, λn), estes poderão ou não
contribuir com extremos da resposta a degrau. Tal situação será discutida posteriormente.
Para as provas dos teoremas 3.1 e 3.2, necessita-se da análise apresentada a seguir. Segue diretamente do lema 2.2 que:
(
)
+ = ⋅ = − n 2 j t 1 1 j j t 1 1 1 j 1 c e c 1 e c ) t ( ' y λ λ λ λ λ λ . (9) Na equação (9), defina: i i ) 1 ( i c c = λ , para i = 1, …, n, (10) ) 1 ( 1 ) 1 ( j ) 1 ( j c c d = eλ
(j1)=λ
j −λ
1, para j = 2, …, n. (11) Da substituição das equações (10) e (11) em (9) obtém-se:t 1 1
e
1c
)
t
(
'
y
λλ
⋅
= + = n 2 j t ) 1 ( j ) 1 ( j e d 1 λ . Seja f1(t) a função: + = = n 2 j t ) 1 ( j 1 ) 1 ( j e d 1 ) t ( f λ . (12)Das equações (9) – (12) segue que:
) t ( f e c ) t ( ' y 1 t ) 1 ( 1 1 = λ . (13) De (13), tem-se que os pontos críticos de y(t) são as raízes de f1(t). Para a análise do número de raízes reais de f1(t), segue
da equação (12) que: ( ) f (t) e c ) t ( f 2 t ) 2 ( 2 1 1 1 = ′ λ (14) + = = n 3 j t ) 2 ( j 2 ) 2 ( j e d 1 ) t ( f λ , (15) ( ) ( )1 i 1 i ) 2 ( i d c = ⋅λ , para i = 2, …, n, (16) ) 2 ( 2 ) 2 ( j ) 2 ( j c c d = e λ(j2)=λ
( )
j1 −λ( )
21 , j = 3, …, n. (17)Segue de (14) que os pontos críticos de f1(t) são as raízes
de f2(t). Continuando com esse processo, obtém-se:
+ = + = n 1 k j t ) k ( j k ) k ( j e d 1 ) t ( f λ ∀ 2 ≤ k ≤ n – 1, (18)
( ) ( )
k 1 j 1 k j ) k ( j d c = − λ − , para j = 2, …, n, (19) ) k ( k ) k ( j ) k ( j c c d = , λ(jk)=λ( )
jk−1 −λk( )
k−1 , j = 3, ..., n, (20) ( )t ) k ( k 1 k k k 1 k e c ) t ( f ) t ( f = ′− − λ , k = 2, ...., n-1. (21)De (21), os pontos críticos de fk-1(t) são as raízes de fk(t), ∀ k = 2, ...., n-1. Se k = n - 1, (18) e (21) são escritas como:
( )t ) 1 n ( n 1 n (t) 1 d e n n 1 f − − − − = + λ λ e (22) ( )t ) 1 n ( 1 n 2 n 1 n n 2 1 n e c ) t ( f ) t ( f − − − − − − = ′ λ . (23)
Seguem os resultados relativos à função fn-1(t) em (22).
Lema 3.1: A função fn-1 (t) tem uma raiz em (0, + ∞) se e
somente se ∏ − − = − m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1.
Prova: Segue do fato que fn-1 (t) tem uma raiz em (0, + ∞) se e
somente se ( ) ( ) ( ) (n 2) n 2 n n 2 n 1 n 2 n 1 n d d − − − − − − − λ λ > 1.
Corolário 3.1: A função fn-1 (t) tem uma raiz em (0, + ∞) se:
(a) m = m1 + m2 + m3 e zi ∈ ∞ + + − , 2 n 1 n λ λ ∀i ou; (b) m = m3e zi ∈ − + n n 1 n , 2 λ λ λ ∀i ou; (c) m = m3 , zi ∈ (λ1, λn) ∀i e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1 ou; (d) m = m3 + m4 e zi ∈
(
−∞,λn)
e ∏ − − = − m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1.Corolário 3.2: A função fn-1 (t) não tem raiz em (0, +∞) se:
(a) m = m3e zi ∈ (λn-1, λn) e ∏ − − = − m 1 i n i i 1 n z z λ λ < 1 ou; (b) m = m3e zi ∈ − + −1, n 12 n n λ λ λ ,∀ i = 1, ..., m3ou; (c) m = m3 , zi ∈ (λ1, λn) ∀i e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ < 1 ou; (d) m = m3 + m4,zi∈
(
−∞,λn)
e ∏ − − = − m 1 i n i i 1 n z z λ λ < 1.Dos corolários 3.1 e 3.2 tem-se que para que fn-1(t) tenha
raízes, é suficiente que os zeros da classe M3∈(λn-1, λn) para
todo i e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1.
Os lemas 3.2 e 3.3, a seguir, dão informações relativas ao gráfico de fn-1 (t), se os zeros de G(s) estão em M2 e M3.
Lema 3.2:
(i) f1(0) = ... = fn−m−1(0) = 0;
(ii) lim f1(t) 0
t→ + =...= t→lim0+fn−m−1(t)= 0, t→lim0+fn−m(t) = K;
Lema 3.3: Se zi ∈
(
λn−1, λn)
∀ i= 1, ..., m3, segue que:(1) Se n é par e: (1.1) se m3 é par dn( )n−1 < 0 e − =−∞ +∞ →lim fn 1(t) t ; (1.2) se m3 é ímpar dn( )n−1 > 0 e − =+∞ +∞ →lim fn 1(t) t ; (2) Se n é ímpar e: (2.1) se m3 é par dn( )n−1 < 0 e − =−∞ +∞ →lim fn 1(t) t ; (2.2) se m3 é ímpar dn( )n−1 > 0 e − =+∞ +∞ →lim fn 1(t) t ;
Prova do teorema 3.1: Suponha que n seja par, m = m3 e zi ∈
− + n n 1 n , 2 λ λ λ ,∀i = 1, ..., m 3. De (13), (14), (21) e (23), ( )f (t)) c ( sn )) t ( y ( sn ′ = 11 1 , ( )f (t)) c ( sn )) t ( f ( sn 1′ = 22 2 , ..., (24) ( )f (t)) c ( sn )) t ( f ( sn k′−1 = kk k 2≤ k ≤ n-2, ..., ( )f (t)) c ( sn )) t ( f ( sn n′−2 = nn−−11 n−1 . De (10), (16), (19) e (20), da proposição 2.1 e do corolário 2.1, segue que: ( )1 m n 1 1 ) ( 1) 3 c ( sn = − + + , ( ) > < = 00 sese mm ééímparpar ) c ( sn 3 3 1 1 ,
( )
0 c c sn c sn 1 2 ) 2 ( 2 < = , ( ) 0 c c sn ) c ( sn 2 3 3 3 < = , ..., (25) ( ) 0 c c sn ) c ( sn 2 n 1 n 1 n 1 n < = − − − − . Portanto, )) t ( f ( sn )) t ( f ( sn k′−1 =− k , 2≤ k ≤ n-1 e )) t ( f ( sn )) t ( y ( sn ′ =− 1 se m3 é par (26) )) t ( f ( sn )) t ( y ( sn ′ = 1 se m3 é ímpar.De (22) tem-se que (n 1) n 1 n (0) 1 d f − = + − e do lema 3.3, se m3 é par, dn
(
n−1)
< 0 e − =−∞ +∞ →lim fn 1(t) t . Se m3 é ímpar(
n 1)
n d − > 0 e − =+∞ +∞ →lim fn 1(t) t . Do corolário 3.1, possíveis formas do gráfico dessa função são dadas na Fig. 1. Note que fn-1 (t) apresenta uma raiz com mudança de sinal se m3 é par e uma sem mudança de sinal se m3 é ímpar.
(a) m3 par (b) m3 ímpar
Figura 1. O gráfico da função fn-1(t).
Assim, de (23) e (26) fn-2(t) apresenta um ponto crítico to em (0, + ∞), sendo este um ponto de mínimo absoluto para m3 par
ou um ponto de inflexão se m3 for ímpar. Note que fn-2(0) pode
ser positivo ou negativo e, se m3 é par, para t ∈ (to, +∞), fn-2(t) → + ∞. Daí fn-2(t) apresenta, no máximo, 2 raízes com
mudança de sinal em (0, + ∞), o que implica em fn-3(t) ter no
máximo dois pontos críticos com mudança de sinal e, no máximo 3 raízes com mudança de sinal. Se m3 é ímpar, fn-2(t) é
decrescente em (0, + ∞) e fn-2(t) → - ∞. Daí, fn-2(t) tem no
máximo 1 raízes com mudança de sinal em (0, + ∞), o que implica em fn-3(t) ter no máximo 1 ponto crítico com mudança
de sinal e, no máximo 2 raízes com mudança de sinal. Formas possíveis para o gráfico de fn-2(t) são dadas na Fig. 2.
(a) m3 par (b) m3 ímpar
Figura 2. Possíveis formas do gráfico de fn-2(t).
Na Fig. 2-a, quando fn-2(t) apresentar uma raiz sem mudança
de sinal, esta função não contribuirá com extremos em fn-3(t),
pois tal ponto crítico é um ponto de inflexão. Assim, para análise dos extremos de fn-3(t) só interessa raízes de fn-2(t) para
as quais ocorrem mudanças de sinais no gráfico dessa função. Daí, de (21), fn-3(t) pode ter 0, 1 ou 2 extremos em (0, + ∞).
Mas, fn-3(0) é positivo ou negativo. Possíveis formas para o
gráfico de fn-3(t) são dadas na Fig. 3. Note que fn-3(t) pode ter
no máximo 3 raízes em (0, + ∞) com mudança de sinal e se a função fn-3(0) = 0, ela apresentaria no máximo duas raízes não
nulas nesse intervalo. Segue de (21) que fn-4(t) tem, no
máximo, 3 extremos com mudança de sinal em (0, + ∞) se m3
é par, e no máximo 2 extremos com mudança de sinal se m3 é
ímpar. Pelo lema 3.2, lim fn m3(t) 0 t→ + − = K e fn−m3−1(0), ) 0 (
fn−m3−2 , ..., f1(0) são todas nulas.
Agora, em (0, + ∞), se m3 é par, fn-1(t) tem uma raiz com
mudança de sinal, fn-2(t) tem no máximo duas raízes com
mudança de sinal, ..., fn−m3(t) tem no máximo m3 raízes
com mudança de sinal. A partir dessa função, como todas as demais se anulam na origem, estas terão no máximo m3raízes
com mudança de sinal. Assim, f1(t) terá no máximo m3raízes
em (0, + ∞) com mudança de sinal.
(a) m3 par (b) m3 ímpar
Figura 3. Possíveis formas do gráfico de fn-3(t).
Portanto, de (13), y(t) terá no máximo m3 extremos nesse
intervalo se zi ∈ − + n n 1 n , 2 λ λ λ ,∀i = 1, ..., m 3. Se m3 é
ímpar, fn-1(t) tem uma raiz sem mudança de sinal, fn-2(t) tem no
máximo uma raíz com mudança de sinal, ..., fn−m3(t) tem no máximo m3 -1 raízes com mudança de sinal. A partir dessa
função, como todas as demais se anulam na origem, estas terão no máximo m3 -1 raízes com mudança de sinal. Assim, f1(t)
terá no máximo m3 -1 raízes em (0, + ∞) com mudança de
sinal, o que prova o item (2) do teorema 3.1. Para a prova do item (1), basta notar que se zi ∈
− + 2 , n 1 n 1 λ λ λ ,∀i = 1, ..., m3ou se m = m3 + m4 e zi ∈ + ∞ − , λn−12 λn , pelo corolário 3.2, fn-1(t) não tem raiz em (0, + ∞) e de (23), (21), (14) e (13) y(t) não possuirá extremos (0, + ∞). A prova para n ímpar é feita de forma análoga.
Prova do teorema 3.2: Análoga a prova do teorema 3.2.
Observação: Do teorema 3.1, zeros da classe M3 podem
contribuir com extremos na resposta a degrau se zi ∈
− + n n 1 n , 2 λ λ λ ∀ i = 1, ..., m
3. Além disso, de sua prova,
para a ocorrência de extremos em y(t) é necessário que
∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ
λ > 1, que não é uma condição necessária e
suficiente, pois se G(s) tem a forma (5) e se m = m3 = 1 e zi ∈
− + n n 1 n , 2 λ λ λ , então 1 z z n 1 n > − − − λ
λ , mas o zero z não
contribui com extremos na resposta a degrau unitário, pelos teoremas 3.1, 3.2 e pelo teorema 2.4. A prova desse fato encontra-se em [12].
Têm-se, então, os seguintes resultados.
Teorema 3.3: Sob as hipóteses do teorema 3.1, se m = m3 e fn-3(t) t fn-3(t) t fn-2(t) t fn-2(t) t fn-1(0) t f n-fn-1(t) t fn-1(0) to
zeros da classe M3 causam extremos na resposta a degrau unitário então ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1. Teorema 3.4: Se m = m3e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ < 1, então zeros da
classe M3 não causam extremos na resposta a degrau unitário.
Corolário 3.3: Se m = m3 e zi ∈ − + 2 , n 1 n 1 λ λ λ ,∀i = 1, ...,
m, então y(t) não apresenta extremos.
Teorema 3.5: Se m = m3 e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1, então zeros
da classe M3 podem causar extremos na resposta a degrau
unitário e além disso, 0 ≤η≤ m3se m3 é par ou 0 ≤η≤ m3 -1
se m = m3 é ímpar. Corolário 3.4: Se m = m3 e zi ∈
(
λn−1, λn)
∀i = 1, ..., m3 e ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λλ > 1, então os zeros da classe M
3 podemcausar
extremos na resposta a degrau unitário e 0 ≤η≤ m3se m3 é par
ou 0 ≤η≤ m3 -1 se m = m3 é ímpar.
Observação:
(a) O teorema 3.3 fornece uma condição necessária para que zeros da classe M3 causem extremos na resposta a degrau.
O teorema 3.4 fornece uma condição suficiente para a não ocorrência de extremos. Nota-se que no teorema 3.1 item (1), os zeros satisfazem essa condição suficiente;
(b) O teorema 3.3 é uma extensão do teorema 2.4. De fato, se os m3 zeros de M3 estão relacionados a m3pólos como no
teorema 2.4, então ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ < 1 já que existem, no
mínimo, m3 -1 zeros à esquerda do pólo λn-1. Portanto y(t)
não apresenta extremos pelo teorema 3.3;
Prova do teorema 3.3: Suponha que m = m3 e os zeros da
classe M3 causam extremos na resposta a degrau unitário. Pelo
teorema 2.3, y(t) apresenta, no máximo, m3 – p extremos não
nulos em (0, +∞). Da equação (13), a função f1(t) apresentará,
no máximo m3 – p raízes em (0, +∞) e com mudança de sinal.
Pelo lema 3.3, f1(t) terá no máximo m3 – p raízes não nulas e
no máximo m3 – p extremos em (0, + ∞), com mudança de
sinal. Assim, fn−m3−1(t) terá no máximo m3 – p extremos
não nulos em (0, + ∞), com mudança de sinal. Como ) t ( f lim n m3 0 t→ + − = K, fn−m3(t) terá no máximo m3 – p
raízes em (0, + ∞), o que implica na existência de no máximo m3 - p -1 extremos, já que K ≠ 0. Portanto, fn-1(t) terá uma raiz
em (0, + ∞). Pelo lema 3.1, ∏ − − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ > 1.
Prova do teorema 3.4: Suponha por absurdo que zeros da
classe M3 causam extremos na resposta a degrau. Isso contraria
a hipótese, pelo teorema 3.3.
Prova do teorema 3.5: Suponha que m = m3 e ∏
− − = − 3 m 1 i n i i 1 n z z λ λ
> 1. Pelo lema 3.2, fn-1(t) tem uma raiz em (0, +∞). De forma
análoga à prova do teorema 3.1, prova-se que y(t) apresenta, no máximo, m3 extremos se m = m3 é par ou m3 - 1 extremos
se m = m3 é ímpar, o que prova o teorema 3.5.
Dos resultados obtidos nos teoremas anteriores resulta o seguinte teorema mais geral.
Teorema 3.6: Se m = m1 + m2 + m3 + m4 e zi ∈ − + 2 , n 1 n 1 λ λ
λ ,∀i = 1, ..., m3, então zeros da classe M3 não
causam extremos na resposta a degrau unitário e η = m1 + m2.
Prova: Segue diretamente do teorema 3.4, do corolário 3.3 e do fato que m1 + m2 ≤ η ([15]).
IV. ALGUMAS APLICAÇÕES
4.1: Considera-se o sistema de controle linear (5), dado por:
(2s 1) 1 s 4 1 1 s 5 1 1 s 6 1 1 s 7 1 1 s 8 1 1 s 5 2 1 s 3 1 1 s 7 2 ) s ( G + + + + + + + + + = (27)
com zeros z1 = -3.5, z2 = -3, z3 = -2.5 e pólos λ1 = -8, λ2 = -7, λ3 = -6, λ4 = -5, λ5 = -4 e λ6 = -0.5. Tem-se que m = m3 = 3.
Pelos teoremas 3.1 e 3.4, y(t) não apresenta extremos, pois z1,
z2, z3 ∈ + 2 , 5 6 5 λ λ λ , 1 z z 3 1 i 6 i i 5 < ∏ −− = λ λ . O gráfico da
resposta a degrau é visto na Fig. 4 – (a). Deslocando o zero z3
para o intervalo (-2.5, - 0.5), tal que z3 = -1, y(t) não apresenta
extremos pelo teorema 3.4. Ver também o gráfico de G(s) na Fig. 4 – (a): (*). Deslocando, z2 e z3, colocando-os em z2 = -1 e z3 = - 0.8, pelos teoremas 3.1 e 3.5, y(t) apresenta, no máximo,
dois extremos. A Fig. 4 – (b) mostra o gráfico de y(t). A existência de dois extremos é observada deslocando-se os zeros para z1 = -2, z2 = -1, z3 = -0.8. Nota-se a ocorrência de
um máximo absoluto e um mínimo relativo. A Fig. 4 – (b): (*) mostra o gráfico da resposta y(t).
(a) (b)
4.2 ([2], pág. 311): Dispõe-se de um robô móvel para a tarefa de guarda noturno. Este guarda nunca dorme e pode patrulhar incansavelmente grandes armazéns e áreas externas. O sistema de controle de manobra para o robô móvel possui uma retroação unitária com:
(
)(
)
(
s 1.5)(
s 2)
s 5 s 1 s K ) s ( H + + + + = . (28)Se K = 15, a malha fechada tem função de transferência
(
)
+ + + + + = 1 s 9915 . 0 1 1 s 7558 . 7 1 1 s 7527 . 9 1 1 s 5 1 1 s ) s ( G , (29)com zeros z2 = -1 e z1 = -5 e pólos λ3 = -0.9915, λ2 = -7.7558
e λ1 = -9.7527. Daí m3 = 2, z1 ∈ + 2 , 2 3 2 λ λ λ , z2 ∈ + 3 3 2 , 2 λ λ λ e 546.4 z z 2 1 i 3 i i 2 = ∏ − − = λ λ > 1. Pelo teorema 3.5,
0 ≤ η≤ 2. Α Fig. 5 mostra o gráfico de y(t).
Figura 5: Resposta a degrau de G(s) (29).
V. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho, fez-se um estudo do número de extremos da resposta a uma entrada a degrau unitário, em sistemas de lineares estáveis, contínuos no tempo, com n pólos e m zeros reais distintos. Introduziu-se uma técnica para a análise que permite a avaliação do número de extremos sem a determinação dos mesmos. Provou-se que, além dos zeros da classe M4, os zeros da classe M3 sob determinadas condições,
também não contribuirão com extremos. Os teoremas 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, corolários 3.3 e 3.4 apresentados constituem extensões dos teoremas 2.3 e 2.4. Nesse sentido, os teoremas 3.1 e 3.2 apresentam uma classe de zeros que não contribui com extremos na resposta a degrau e que não satisfaz o teorema 2.4. Já os teoremas 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6 e corolários 3.3, 3.4 melhoram o teorema 2.3 além de apresentar a localização exata dos zeros do sistema, entre o pólo dominante e o pólo mais rápido, para que estes não causem extremos na resposta a degrau.
Acredita-se que os resultados obtidos são de importância, pois permitem uma visão esclarecida das condições que permitem avaliar extremos em sistemas lineares, esclarecem a
influência de zeros e localizações de pólos e zeros na parte transiente da resposta a degrau, podem ser usados para avaliação de sobre-sinal e reação reversa, além do fato que a técnica utilizada pode ser aplicada na análise de sistemas mais gerais, nos quais pólos e zeros apresentam multiplicidade.
REFERÊNCIAS
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[15]Widder, O. V. (1934). The Inversion of Laplace Integral and the Related Moment Problem, Trans. Am. Math. Soc., vol. 36, pp.107-200.
Célia Aparecida dos Reis é desde agosto de 1991,
professora do Departamento de Matemática da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS/UNESP), recebeu o título de Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade São Paulo – Poli em 1994, Mestre em Matemática pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) em 1991, graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia em 1987. Atualmente suas pesquisas englobam a análise e controle de sistemas dinâmicos lineares e não lineares.
Neusa Augusto Pereira da Silva é graduada em
Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Brasil, em 1978. Obteve o título de Mestre em Matemática, área de Análise, pela Universidade de São Paulo (USP), Brasil, em 1982 e de Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual “Júlio de Mesquita Filho” (UNESP), Brasil, em 2005. Desde abril de 1982, é professora do Departamento de Matemática da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS/UNESP), e suas pesquisas se concentram na área de Teoria de Controle e Aplicações, principalmente nos seguintes temas: controle automático, condições iniciais, regulador, extremos, overshoot, undershoot, pólos, zeros.
