williamdasilvapedretti

Texto

(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Mestrado Acadêmico em Matemática |. William da Silva Pedretti |. Intermitência e Análise das Taxas de Mixing e Scaling |. Juiz de Fora 2014.

(2) William da Silva Pedretti |. Intermitência e Análise das Taxas de Mixing e Scaling |. |. Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Matemática, área de concentração : Sistemas Dinâmicos, da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito para obtenção do grau de Mestre.. |. Orientador: Prof. Dr. Regis Castijos Alves Soares Junior. |. Juiz de Fora 2014.

(3) Pedretti, William da Silva. Intermitência e Análise das Taxas de Mixing e Scaling / William da Silva Pedretti. 2014. 61 f. : il. Dissertação (Mestrado em Matemática)—Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2014. 1. Introdução. 2. Preliminares. 3. Sequências de Renovação e Intermitência. 4. Mixing e Scaling. I. Título..

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(5) A minha família que sempre esteve presente, principalmente nos momentos difícies..

(6) |. AGRADECIMENTOS | Primeiramente agradeço a Deus pela vida, e poder desfrutá-la. Agradeço a meus pais pelo apoio incondicional durante todos os anos de minha vida acadêmica, principalmente nos momentos difíceis. Meu pai João e minha mãe Rosângela deram-me muita força e sempre incentivaram-me a seguir em frente, acreditar em mim mesmo e persistir na realização de meus sonhos. Mesmo longe, sempre pude contar com eles, com meu irmão Ulisses e de forma mais geral, com toda minha família, especialmente com meus avós: José, Francisca e Maria, no qual sempre estive presente em suas orações inclusive na de minhas tias: Carmem, Daniela, Raquel, Rosemeire e Rosilda. O apoio dessa família e de outros familiares não citados foram fundamentais para a realização do mestrado ter sido tão graticante. Agradeço a todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, especialmente a meu Orientador Prof. Regis Castijos Alves Soares Junior, primeiramente por ter aceitado o papel de orientador, pela dedicação, paciência, incentivos, por todos ensinamentos compartilhados durante a confecção da dissertação e das dúvidas que surgiram durante os estudos. Suas críticas e sugestões foram de grande importância, no que diz respeito, à aprendizagem e de minha formação como pesquisador. Gostaria de agradecer a Prof a Maria José Pacíco e o Prof. Rogério Casagrande, por terem participado da banca examinadora e pelas sugestões e críticas que ajudaram a melhorar ainda mais este trabalho. Com grande carinho, gostaria de agradecer a Lélia Riani. Pela paciência em alguns momentos e por ter sido tão importante na reta nal do mestrado. Seu apoio e incentivos foram fundamentais para mim. Agradeço a meus amigos pelo apoio e força em todos os momentos partilhados, especialmente os amigos do mestrado: Ceili, Gisele, Marianna, Wilker, Rafael e Yamashita. Eles foram minha segunda família durante este período longe de casa. Agradeço a todos funcionários que contribuiram de forma direta ou indiretamente para minha formação. Agradeço o apoio nanceiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, CAPES, que permitiu concluir os estudos durante o mestrado satisfatoriamente..

(7) |. RESUMO | Desde o trabalho de Pomeau e Maneville [27] o estudo de intermitência vem ocorrendo cada vez mais ao longo dos anos. Gaspard e Wang [17] introduziram uma função geradora de sequências de renovação decorrentes da distribuição de tempos de retorno, e a partir disto vários trabalhos vêm sendo desenvolvidos nesse ambiente, devido às ricas propriedades que possuem. Neste trabalho estaremos interessados em obter uma estimativa polinomial exata para o comportamento assintótico da taxa de mixing quando a medida invariante é nita e da taxa de scaling quando a medida é innita, ambos casos abordados por Isola [20]. Para isto analisaremos o comportamento assintótico dos coecientes da série de Taylor obtidos da função geradora da sequência de renovação. Esta série dene uma função holomorfa no disco aberto unitário que converge em todo ponto exceto para z = 1, onde possui uma singularidade não-polar. Palavras-chave: Intermitência. Taxa de Mixing. Taxa de Scaling..

(8) |. ABSTRACT | Since the work of Pomeau and Maneville [27] the study of intermittency has been happening increasingly over the years. Gaspard and Wang [17] introduced a generating function of renewal sequences arising from the distribution of return times, and from this several studies have been developed in this environment due to the rich properties they have. In this work we are interested to obtain an exact polynomial estimate for the asymptotic behavior of the mixing rate when the invariant measure is nite and of the scaling rate when the measure is innite, both cases addressed by Isola [20]. For this we analyze the asymptotic behavior of the coecients of the Taylor series obtained from the generating function of the renewal sequence. This series denes a holomorphic function in the unit open disk and it converges at every point except for z = 1 where it has a non-polar singularity. Key-words: Intermittency. Mixing Rate. Scaling Rate..

(9) SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO. 10. 1.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 1.2. APRESENTAÇÃO DOS PRINCIPAIS RESULTADOS . . . . . . . . . . . 11. 1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 2 PRELIMINARES 2.1. 14. MEDIDA E INTEGRAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Conceitos de Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 2.1.2. Álgebras e σ -álgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2.1.3. Espaços de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.1.4. Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 2.1.5. Convergência em Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2. PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 2.3. APLICAÇÕES DE MARKOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1. 2.4. Recorrência e Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. CONCEITOS DE TEORIA ERGÓDICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1. Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 2.5. DINÂMICA SIMBÓLICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 2.6. TEOREMA TAUBERIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 3 SEQUÊNCIAS DE RENOVAÇÃO E INTERMITÊNCIA 3.1. 30. CONSTRUÇÃO DO NOSSO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.

(10) 3.2. A CADEIA ENUMERÁVEL DE MARKOV . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 3.3. MEDIDA INVARIANTE E TEMPOS DE RETORNO . . . . . . . . . . . 35. 3.4. A FUNÇÃO GERADORA DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPOS DE RETORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 3.5. FUNÇÃO GERADORA DA SEQUÊNCIA DE RENOVAÇÃO . . . . . . . 41. 4 MIXING E SCALING. 51. 4.1. TAXA DE MIXING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 4.2. TAXA DE SCALING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. REFERÊNCIAS. 60.

(11) 10. 1. INTRODUÇÃO. 1.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA. No estudo de sistemas dinâmicos, intermitência é a alternância irregular de fases que são aparentemente periódicas e de dinâmica caótica, ou de diferentes formas de dinâmica (intermitência induzida pela crise). Neste cenário destacamos a dinâmica de "PomeauManneville", caracterizada por fazer a transição para o caos, devido a intermitência. Pomeau e Manneville descreveu três tipos de intermitências, nos quais um sistema quase periódico tem explosões de caos. Os modelos (tipo I, II e III) correspondem uma abordagem à bifurcação tipo sela-nó, à bifurcação Hopf , e uma bifurcação de duplicação de período. O modelo tipo I é uma bifurcação local, onde dois pontos xos ou pontos de equilíbrio de um sistema dinâmico colidem e se anulam mutuamente. Este modelo é bastante estudado por ter soluções caóticas para determinados valores de parâmetros e condições iniciais, exemplo disto é a intermitência no modelo de Lorenz estudadas por Pomeau e Manneville [27]. O modelo tipo II consiste no aparecimento ou desaparecimento de uma órbita periódica através de uma alteração local nas propriedades de estabilidade de um ponto xo. Já o modelo tipo III consiste numa bifurcação, no qual o sistema muda para um novo comportamento com o dobro do período do sistema original, ou seja, existem dois pontos de tal forma que a aplicação dinâmica de cada um deles produz outro ponto. Para mais detalhes veja Kuznetsov [23] e Pomeau e Manneville [27]. Em nosso trabalho, estudaremos o modelo de intermitência tipo I apresentados por Pomeau e Manneville [27], onde consideraram uma classe de aplicações suaves f denidas no intervalo fechado [0, 1], aplicados em si mesmo. Estas aplicações são expansoras em toda parte exceto para um ponto xo neutro na origem e determinam um caso mais simples de sistemas dinâmicos caóticos com comportamento estatístico anômalo. Aaronson [2] vericou que estes tipos de aplicações podem possuir uma medida invariante não normalizável que é σ -nita, feitas por Thaler [32] para transformações em [0, 1] e posteriormente por Campanino e Isola [4] para transformações expansoras denidas neste.

(12) 11. mesmo intervalo; ou então podem deixar uma medida de probabilidade invariante possuir uma taxa polinomial de decaimento de correlações, feitas por Isola [19]. Posteriormente Liverani [24] e Young [35] zeram outras observações destas propriedades para intermitência e de uma forma mais geral, no formalismo termodinâmico, estas aplicações podem apresentar transições de fases e funções zeta-dinâmicas com singularidades não polares cujos trabalhos de Prellberg [28], Lopes [25], Gallavotti [16] e Isola [20], respectivamente, retratam este tipo de ambiente com mais detalhes. Para o nosso caso, consideramos uma família a um parâmetro de transformações de intervalos intermitentes e linearizados, que foram introduzidas por Gaspard e Wang [17] e posteriormente somente por Wang [34], visto que suas propriedades estatísticas equivalem a de uma cadeia de Markov com espaço de estado enumerável, tratadas por Fisher [14] e sucessivamente por Gallavotti [16] para o modelo de mecânica estatística. O objetivo deste texto é estudar a função geradora de sequências de renovação, sendo que essas são decorrentes da distribuição de tempos de retorno dadas a partir de regiões onde a aplicação é uniformemente expansora. Um dos resultados que teremos é que este tipo de aplicação dene um holomorsmo no disco unitário exceto no ponto z = 1 onde tem uma singularidade não-polar. Além disso esta aplicação possui uma série de potências onde podemos avaliar o comportamento assintótico de seus coecientes. Por m, mostraremos que a taxa de decaimento de correlações ou então que o comportamento assintótico da taxa de mixing possui um valor exato e não somente estimativas superiores ou inferiores para a taxa quando a medida invariante σ -nita e absolutamente contínua é nita. Além disso, também mostraremos que o comportamento assintótico da taxa de scaling possui um valor exato para a taxa, porém para uma medida invariante. σ -nita que não é normalizável por ser innita. Esses resultados estão enunciados de maneira mais precisa na próxima seção.. 1.2. APRESENTAÇÃO DOS PRINCIPAIS RESULTADOS. Estamos interessados em analisar o comportamento assintótico das Taxas de Mixing e Scaling quando o valor M , denido na Seção 3.3, é nito ou innito. Para o primeiro caso, dada uma medida µ, denimos a taxa de Mixing µn (E) de um conjunto E como:. µn (E) :=. µ(E ∩ f −n (E)) − (µ(E))2 , (µ(E))2.

(13) 12. e além disso, denimos µn (f ) como sendo a velocidade de decaimento assintótico das sequências {µn (E)} com E ∈ B + . A partir do Teorema 3.5.2 que nos dá o comportamento assintótico dos coecientes da série de Taylor da função φ(z) denida na Seção 3.5, obtemos o. Teorema A. onde. G1. Se. M <∞. então. µn (f ) = G1 n1−(1/s) ,. é uma constante que depende de parâmetros da aplicação. f.. Já quando M é innito, dada uma medida ν , denimos a taxa de Scaling σn (E) de um conjunto E como. σn (E) :=. ν(E ∩ f −n (E)) , (ν(E))2. e além disso, denimos σn (f ) como sendo a taxa de decaimento assintótico das sequências. {σn (E)} com E ∈ B + . Assim, novamente pelo Teorema 3.5.2, obtemos o. Teorema B.. Se. M = ∞,. temos que.  1  G2 n−1+ s , σn (f ) = 1  , log n onde. 1.3. G2. se. s > 1,. se. s = 1.. é uma constante que também depende de parâmetros da aplicação. f.. ESTRUTURA DO TRABALHO. O texto está dividido da seguinte maneira: no Capítulo 2 apresentamos resultados gerais da Teoria da Medida e Integração, Probabilidade, Aplicações de Markov, Conceitos de Teoria Ergódica, Dinâmica Simbólica e o Teorema Tauberiano que serão necessários para as provas no decorrer deste trabalho. Nestes ressaltamos o Teorema Tauberiano para séries de potências (Teorema 2.5) obtidos por Feller [12] e o Teorema 3.5.1 que serão de extrema importância para a prova do Teorema 3.5.2. No Capítulo 3 damos início a Construção do nosso problema (feita em Isola [20]) que é obtida a partir de uma transformação suave de intervalo intermintente f : [0, 1] →. [0, 1], que são expansoras em toda parte exceto para um ponto xo neutro na origem. Este tipo de transformação consiste no modelo de intermitência tipo 1 de Pomeau e Manneville [27] que nos fornece um exemplo mais simples de sistemas dinâmicos caóticos com comportamento estatístico anômalo. Além disso, neste capítulo contém a prova do Teorema 3.5.2 que esta baseada no comportamento assintótico dos coecientes da série de Taylor..

(14) 13. No Capítulo 4 denimos as Taxas de Mixing e de Scaling, apresentando o Teorema A e Teorema B, onde analisamos o comportamento assintótico das taxas no caso em que a medida invariante é nita e innita, respectivamente, sendo que a prova desses teoremas segue como consequência da construção do nosso problema juntamente com o Teorema 3.5.2..

(15) 14. 2. PRELIMINARES. Neste capítulo apresentaremos alguns conceitos e ferramentas básicas para que possamos ter um melhor entendimento do nosso trabalho. Na Seção 2.1 apresentaremos conceitos de Medida e Integração, no qual, são fundamentais para a construção que faremos. Na Seção 2.2 apresentamos uma introdução a teoria da Probabilidade e conceitos como densidade de probabilidade, valor esperado e processo estocástico. Na Seção 2.3 abordamos a cadeia de Markov, no qual, fazemos uma analogia na Seção 3.2. Na Seção 2.5 trazemos alguns resultados da Dinâmica Simbólica, cuja construção será realizada na Seção 3.2 e usada na Seção 3.3. Por m, na Seção 2.6 discutimos sobre o teorema Tauberiano e apresentamos o Teorema 2.5 que será usado na prova do Teorema 3.5.2.. 2.1. MEDIDA E INTEGRAÇÃO. Apresentamos nesta seção, alguns resultados clássicos da teoria da medida. Para mais detalhes veja Bartle [3], Royden [30] e Rudin [31]. Dado um conjunto A ⊂ X , denotaremos por Ac = X\A, o complementar de A em relação a X . 2.1.1. Conceitos de Topologia Geral. Denição 2.1.1. Uma. topologia. Sejam X um conjunto qualquer e P (X) o conjunto das partes de X .. em X é uma família Γ ⊂ P (X) que têm as seguintes propriedades:. T1. Os elementos ∅ e X pertencem a Γ. [ T2. Uα ∈ Γ sempre que Uα ∈ Γ, para todo α ∈ I . α∈ I. T3. Se U1 e U2 ∈ Γ então U1. Denição 2.1.2.. Um. T. U2 ∈ Γ.. espaço topológico. é um par (X, Γ), onde X é um conjunto e Γ uma. topologia em X . Dizemos ainda que U ⊂ X é. aberto. se U ∈ Γ..

(16) 15 2.1.2. Álgebras e. Denição 2.1.3.. σ -álgebras. de conjuntos. Seja X um conjunto. Uma. álgebra. de conjuntos em X é uma família. não vazia A ⊂ P (X) com as seguintes propriedades: A1. E ∪ F ∈ A sempre que E, F ∈ A. A2. E c ∈ A sempre que E ∈ A.. Proposição: 2.1.4. 1. os elementos. 2. Se. ∅. Se. e. A. X. E1 , . . . , En ∈ A. é uma álgebra em X, então:. pertencem a. então. n [ i=1. A.. Ei ∈ A. e. n \. Ei ∈ A.. i=1. Demonstração.. 1. Se E e E c pertencem a A então podemos escrever X = E ∪ E c ∈ A e assim. X c = ∅ ∈ A. 2. Se E1 , . . . , En ∈ A então. n [. Ei ∈ A, pois a união nita de elementos de A está em. i=1. c A por indução, além !c disso a união nita de seus complementares Ei também está e n n \ [ Ei = Eic ∈ A. i=1. i=1. Exemplos: 1. Se X é um conjunto e E ⊂ X , então: P (X), {∅, X}, {∅, E, E c , X} são álgebras. 2. Seja A o conjunto de todas as uniões nitas de intervalos da forma: (a, b], (−∞, b] e (a, +∞). Então A é uma álgebra em R.. Denição 2.1.5.. Seja X um conjunto. Uma σ -álgebra Σ em X é uma álgebra com a seguinte propriedade: A3.. ∞ [. Ei ∈ Σ se Ei ∈ Σ, para qualquer i ∈ N.. i=1. Proposição: 2.1.6.. Se. (Ei ). é uma sequência em. Σ. então. ∞ \ i=1. Ei ∈ Σ..

(17) 16. Demonstração.. Note que. ∞ \. Ei =. i=1. ∞ [. !c Eic. ∈ Σ, já que. i=1. ∞ [. Ei ∈ Σ.. i=1. Exemplos: 1. Se X é um conjunto e E ⊂ X então {∅, X}, P (X), {∅, E, E c , X} são σ - álgebras. 2. Se F é T uma família de σ -álgebras em X então a interseção dos elementos dessa família F é uma σ -álgebra em X .. Denição 2.1.7. σ -álgebra. gerada. Seja S ⊂ P (X). A menor σ -álgebra que contém S é chamada de por S , denotada por Σ(S).. Denição 2.1.8. álgebra de Borel. Seja (X, Γ) um espaço topológico. A σ -álgebra Σ(Γ) é chamada σ em X, denotada por BX .. Observação 2.1.9.. Note que BX é também gerado por fechados e contém todos os abertos, fechados, união enumerável de fechados, interseção enumerável de abertos.. Denição 2.1.10.. Um espaço mensurável é uma par (X, Σ), onde X é um conjunto e Σ uma σ - álgebra em X . Os conjuntos em Σ são chamados conjuntos mensuráveis . Além disso se (X, Σ1 ) e (Y, Σ2 ) são espaços mensuráveis, dizemos que uma aplicação f : X → Y é mensurável se f −1 (E) ∈ Σ1 para todo E ∈ Σ2 . 2.1.3. Espaços de Medida. Denição 2.1.11.. Sejam X um conjunto e Σ uma σ -álgebra em X . Uma (X, Σ) é uma função µ : Σ → R+ ∪ {+∞} com as seguintes propriedades:. medida. em. 1. µ(∅) = 0. 2. Se (Ei ) é uma sequência disjunta em Σ então µ. ∞ [. ! Ei. i=1. (chamada σ -aditiva ).. =. ∞ X. µ(Ej ). i=1. Denotaremos por (X, Σ, µ) o espaço de medida.. Observação 2.1.12.. Se E1 , . . . , En ∈ A são conjuntos disjuntos, então ! n n [ X µ Ei = µ(Ei ). i=1. Denição 2.1.13. •. i=1. Dizemos que uma medida µ em (X, Σ) é:. nita. Se µ(E) < ∞ para todo conjunto E ∈ Σ. Em particular se µ(X) = 1, µ é chamado de medida de probabilidade em X ..

(18) 17. • σ -nita. Se existe uma sequência (Ei ) em Σ tal que X =. ∞ [. Ei e µ(Ei ) < ∞ para. i=1. todo i ∈ N.. Denição 2.1.14.. Seja X uma espaço topológico. Uma medida µ de medida denida em BX .. Borel. em X é uma. Exemplos: 1. Sejam X = N e Σ = P (N). Dena #E, se E é nito, µ(E) = +∞, se E é innito. Temos que µ é uma medida σ -nita e, além disso, denida desta forma, é chamada de medida de contagem" . 2. Sejam X um conjunto não-vazio e Σ = P (X). Dado qualquer p ∈ X , consideremos a função δp : Σ → R+ ∪ {+∞} dada por:. δp (A) =. 1, se p ∈ A, 0, se p 6∈ A.. A medida δp é medida de probabilidade e usualmente é designada como sendo a medida de Dirac no ponto p.. Denição 2.1.15.. Dizemos que um espaço de medida (X, Σ, µ) é completo (ou que µ é uma medida completa) se para todo N ∈ Σ tal que µ(N ) = 0 e F ⊂ N implicar que F ∈ Σ.. Denição 2.1.16.. Seja X um conjunto não vazio. Uma medida função λ : P (X) → R+ ∪ {∞} com as seguintes propriedades:. exterior. em X é uma. 1. λ(∅) = 0. 2. λ(E) ≤ λ(F ), se E ⊂ F . 3. Se (Ei ) é uma sequência de subconjuntos de X então ! ∞ ∞ [ X λ Ei ≤ λ(Ei ) i=1. i=1. (chamada de σ -subaditiva ).. Observação 2.1.17.. Note que se E ⊂ X , então para todo A ⊂ X, λ(A) ≤ λ(A ∩ E) + λ(A ∩ E ), pois A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E c ). c. Teorema: 2.1.18. (Teorema da Extensão de Carathéodory). exterior em X . Denimos. Seja λ uma medida. Σλ := {A ⊂ X; λ(E) = λ(E ∩ A) + λ(E ∩ Ac ) para todo E ⊂ X}..

(19) 18. Então Σλ é uma σ -álgebra de conjuntos de X gerado pela medida exterior λ. Dena m : Σλ → R+ ∪ {∞} por m(A) := λ(A) para A ∈ Σλ . Então (X, Σλ , m) é um espaço de medida completo.. Denição 2.1.19.. A medida m obtida pela aplicação do Teorema 2.1.18 com respeito a medida exterior λ é chamada de medida de Lebesgue em R. Dizemos que E ⊂ R é λ-mensurável (ou Lebesgue mensurável ou mensurável ) se para todo conjunto A ⊂ R, λ(A) = λ(A ∩ E) + λ(A ∩ E c ), no qual estes são chamados conjuntos de Lebesgue ou Lebesgue mensurável . De forma mais geral, podemos denir a medida m de Lebesgue em Rn . Seja A ∈ Rn , no qual, A é o produto cartesiano de n intervalos {xi ∈ R : −∞ < ai < xi ≤ bi ≤ +∞}, denimos a medida do conjunto A como:. m(A) =. n Y. (bi − ai ).. i=1. Observação 2.1.20.. A medida de Lebesgue é a generalização padrão dos conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço; onde é denida para uma ampla família de subconjuntos do Rn , cuja família é uma σ -álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.. Denição 2.1.21. Uma medida com sinal em (X, Σ) é uma função ν : Σ → R ∪ {−∞, +∞} com as seguintes propriedades: 1. ν(∅) = 0. 2. ν assume no máximo um dos valores −∞ ou +∞. ! ∞ ∞ X X 3. ν Ei = ν(Ei ) para qualquer sequência disjunta (Ei ) ⊂ Σ. i=1. i=1. Além disso, se a função ν : Σ → R+ ∪ {+∞} satisfaz (1) e (3), dizemos que é uma positiva.. Observação 2.1.22.. medida. Toda medida positiva é uma medida com sinal.. Denição 2.1.23.. Sejam µ uma medida positiva e ν uma medida com sinal ambas denida em (X, Σ). Dizemos que ν é absolutamente contínua em relação a µ se ν(E) = 0 sempre que µ(E) = 0.. Denição 2.1.24. A=B. Seja (X, Σ, µ) um espaço de medida. Dados A, B ⊆ X , dizemos que (mod µ) se µ(A4B) = 0, ou seja, µ(A \ B) + µ(B \ A) = 0.. 2.1.4. Funções Integráveis. Seja (X, Σ, µ) um espaço de medida positiva xado. Além disso, denimos a função característica de um conjunto E ⊂ X dada por:.

(20) 19. 1E (x) =. 1, se x ∈ E, 0, se x 6∈ E.. Denição 2.1.25.. Uma função simples ϕ : X → R é a combinação linear de funções características de conjuntos mensuráveis, ou seja, se a1 , . . . , an são valores distintos de uma função simples ϕ, e se denirmos Ai = ϕ−1 ({ai }), então sua representação padrão é n X ϕ= ai 1Ai , onde 1Ai é a função característica de Ai ∈ Σ. i=1. Denição 2.1.26.. Se ϕ é uma função simples mensurável em X , da forma. ϕ=. n X. αi 1Ai ,. i=1. com αs distintos dois a dois e se E ∈ Σ, denimos. Z ϕ dµ = E. n X. αi µ(Ai ∩ E).. i=1. Note que a convenção 0 · ∞ = 0 é adotada aqui e pode acontecer que αi = 0 para algum i e que µ(Ai ∩ E) = ∞. Se f : X → R+ ∪ {+∞} é mensurável e E ∈ Σ, denimos Z Z f dµ = sup ϕ dµ, E. E. sendo o supremo tomado sobre todas as funções simples mensuráveis ϕ tais que 0 ≤ ϕ ≤ f. Z Z + + − Denição 2.1.27. Dado E ∈ Σ e f = f − f com f dµ < ∞ ou f − dµ < ∞ onde f + = max{f, 0} e f − = max{−f, 0}, denimos Z Z Z + f dµ = f dµ − f − dµ. E. Além disso dizemos que f é. E. integrável. E. em E se. Z. f dµ e +. E. Z. f − dµ são nitas.. E. Denotemos por M (Σ) o espaço das funções f : X → R, Σ-mensuráveis e L(µ, R) o conjunto de todas as funções f ∈ M (Σ) que são integráveis. Para cada p ∈ K, K = R ou C, consideremos Lp (µ) denido por: Z Lp (µ) = {f ∈ M (Σ) tal que |f |p dµ < ∞}. No qual a sua norma k · k é denida por:. Z k f kp = X. |f |p dµ. 1 p. ..

(21) 20. Além disso, diremos que L∞ (µ) é o espaço das funções tais que existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M para quase todo ponto (q.t.p) x ∈ X . Denotamos por. L∞ (µ) = {f : X → R; existe um M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0}. No qual a sua norma k · k∞ é dada por:. k f k∞ = inf{M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0}. Seja P uma partição com respeito a medida µ de um espaço de probabilidades (X, Σ, µ), isto é. • Se Ai e Aj pertencem a P com i 6= j então temos que µ(Ai ∩ Aj ) = 0, ou seja, ! [ µ X\ Ai = 0. Ai ∈ P. Denição 2.1.28. Chamamos de densidade de probabilidade a uma função ρ ∈ L1 (µ) tal que ρ ≥ 0 e k ρ k= 1, no qual, ρ induz uma medida de probabilidade νρ dada por: Z 0 ≤ νρ (A) := ρ dµ ≤ 1 para todo A ∈ Σ. A. Denição 2.1.29.. Dizemos que uma função f : (a, b) → R é. convexa. se. f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y) para todo α, β > 0, α + β = 1 e para todo a < x < y < b. Além disso f é dita 2.1.5. côncava. se (−f ) é convexa em (a, b).. Convergência em Medida. Seja (fn ) uma sequência de funções mensuráveis denida de X em C.. Denição 2.1.30.. Dizemos que:. • A sequência (fn ) converge quase uniformemente para f se para todo ε > 0 existe um Eε ∈ Σ com µ(Eε ) < ε tal que fn → f uniformemente em X − Eε . • A sequência (fn ) converge q.t.p para f se existe um M ⊂ X com µ(M ) = 0 tal que para todo ε > 0 e x ∈ X\M existe um N (ε, x) tal que n ≥ N (ε, x) implica |fn − f | < ε.. Denição 2.1.31.. A probabilidade pn. Sejam (X, Σ, m) um espaço de medida, pn e p probabilidades em X . para p se Z Z f dpn → f dp,. converge fracamente. X. X frac. para toda f : X → R, contínua e limitada. (Notação: pn → p)..

(22) 21. Seja (Y, Σ, m) um espaço de probabilidade, e suponhamos que g : Y → X é uma função mensurável. A distribuição de g é a medida de probabilidade em X dada por:. m ◦ g −1 (Σ) = m({y ∈ Y : g(y) ∈ Σ}). A função mensurável gn : Y → X converge em distribuição para a função mensurável g frac com distribuição pg se m ◦ gn−1 → pg .. 2.2. PROBABILIDADE. Em teoria da probabilidade, um processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias, onde muitas vezes é usado para representar a evolução de algum valor aleatório ou sistema, ao longo do tempo, sendo que em vez de descrever um processo que só pode evoluir de um modo (como é o caso, por exemplo, de soluções de uma equação diferencial), ele permite algumas indeterminações, pelo fato que mesmo sabendo a condição inicial (ou ponto de partida), existem uma innidade de direções em que o processo pode evoluir. No caso simples de tempo discreto, um processo estocástico equivale a uma sequência de variáveis aleatórias, conhecidos como uma série de tempo (por exemplo, a cadeia de Markov, que será vista na Seção 2.3). Um outro tipo de base de um processo estocástico é um campo aleatório, cujo domínio é uma região do espaço. Em outras palavras, uma função aleatória cujos argumentos são extraídos a partir de um intervalo de valores que mudam constantemente (tempo contínuo). Uma abordagem para processos estocásticos é tratá-los como funções de um ou de vários argumentos deterministas (entradas, na maioria dos casos considerados como tempo) cujos valores são variáveis aleatórias: quantidades não-deterministas que têm certas distribuições de probabilidade. Nesta seção abordaremos processos estocásticos e a distribuição de probabilidade, sendo que essa atribui uma probabilidade a cada subconjunto mensurável dos resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos disto são encontrados em experimentos cujo espaço amostral é não-numérico, onde a distribuição é uma distribuição categórica; experimentos cujo espaço amostral é codicada por distintas variáveis aleatórias, onde a distribuição pode ser especicada por uma função de massa de probabilidade (caso discreto); e experimentos com espaços amostrais codicados por variáveis aleatórias contínuas, no qual a distribuição pode ser especicadas por uma função de densidade de probabilidade (caso contínuo). Experimentos mais complexos, como os que envolvem processos estocásticos denidos no tempo contínuo, pode exigir o uso de medidas de probabilidade mais gerais. Para mais detalhes veja Chung [7], Feller [11] e [13], e Knill [21]. Seja (Ω, Σ, P ) um espaço de probabilidade. Se A ∈ Σ, interpretaremos P (A) como a probabilidade de ocorrer o evento A".. Exemplo:. Escolhendo um número real aleatório no intervalo [0, 2], tomamos Ω = [0, 2] e Σ é a σ -álgebra de Borel de [0, 2]. A probabilidade de um intervalo [a, b] ⊂ [0, 2] é. P ([a, b]) =. Denição 2.2.1.. Uma. variável aleatória. b−a . 2. é uma aplicação X : Ω → R, Σ-mensurável,.

(23) 22. dada pelo evento X(ω), que vale para todo ω pertencente a Ω. A condição de mensurabilidade signica que dado dois números reais a ≤ b, o conjunto de todos os resultados de ω que satisfaz a ≤ X(ω) ≤ b é um evento. Denotaremos este evento por {a ≤ X ≤ b} ao invés de {ω ∈ Ω : a ≤ X(ω) ≤ b}.. Observação 2.2.2.. Note que:. • a variável aleatória dene uma σ -álgebra {X álgebra gerada por X .. −1. (A), A ∈ BR } ⊂ A, chamada σ -. • a variável aleatória dene uma medida de probabilidade na σ -álgebra de Borel BR −1 dada por PX = P ◦ X , isto é, PX (A) = P (X. −1. (A)) = P ({ω : X(ω) ∈ A}).. Denição 2.2.3.. A medida de probabilidade PX denida acima é dita distribuição de X . Além disso, dizemos que uma variável aleatória X tem uma densidade de probabilidade fX se fX (x) é uma função não-negativa em R e mensurável com respeito a σ -álgebra de Borel, tal que Z b. P {a < X < b} =. fX (x)dx, a. para todo a < b.. Observação 2.2.4. são. Note que. Z. +∞. fX (x)dx = 1 e assim, dizemos que variáveis aleatórias. −∞. absolutamente contínuas. se admitem uma densidade de probabilidade.. Denição 2.2.5. Dizemos que uma variável aleatória X é discreta se ela assume uma quantidade nita ou uma quantidade enumerável de diferentes valores xk . Variáveis aleatórias discretas não têm densidades e sua lei é caracterizada pela função de probabilidade: pk = P (X = xk ).. Exemplo:. A função característica de um conjunto E , dada por 1, se ω ∈ E, 1E (ω) = 0, se ω 6∈ E.. pode ser vista como uma variável aleatória de um espaço de probabilidade. A lei de probabilidade é chamada de distribuição de Bernoulli com parâmetro p = P (E).. Denição 2.2.6.. A função FX : R → [0, 1] denida por:. FX (x) = P (X ≤ x) = PX ((−∞, x]), é dita. função de distribuição. Observação 2.2.7. com. da variável aleatória X .. A função de distribuição FX é não-decrescente, contínua a direita e. lim FX (x) = 0,. x→−∞.

(24) 23. lim FX (x) = 1.. x→+∞. Observação 2.2.8. fX , então. Se a variável aleatória X é absolutamente contínua com densidade. Z. x. FX (x) =. fX (y)dy, −∞. e se, além disso, a densidade é contínua, então FX0 (x) = fX (x).. Denição 2.2.9.. Denimos o valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória X , como sendo a integral de X com respeito a medida de probabilidade P , dada por: Z. E(X) =. XdP. Ω. Um caso particular da denição acima, é quando X é uma variável discreta que toma valores x1 , x2 , . . . em A1 , A2 , . . ., respectivamente. Então temos que neste caso o valor esperado é dada pela série innita. E(X) =. ∞ X. xk P (Ak ),. (2.1). k=1. desde que a série seja absolutamente convergente, caso contrário, dizemos que o valor esperado de X não existe.. Observação 2.2.10.. Note que E(1A ) = P (A). Assim, a noção de valor esperado é uma extensão da noção de probabilidade.. Denição 2.2.11.. Um processo estocástico com espaço de estado S é uma coleção variáveis aleatórias {X t , t ∈ T } denidas em um espaço de probabilidade (Ω, Σ, P ). conjunto T é chamadao de conjunto de parâmetros . Se T = N, o processo é chamado processo de parâmetro discreto . Caso T não seja enumerável, o processo é chamado processo contínuo .. de O de de. Observação 2.2.12.. O índice t da denição acima pode representar o tempo e assim, podemos interpretar X t como estado"ou posição"do processo no tempo t.. de. Na próxima seção abordaremos um processo estocástico com tempo discreto, a Markov.. 2.3. cadeia. APLICAÇÕES DE MARKOV. Nesta seção introduziremos alguns resultados relativo a cadeia de Markov denidas sobre um espaço de probabilidade. Para mais detalhes veja Aaronson [1], Chung [8] e Gallager [15]. Seja I um conjunto enumerável, que será o espaço de estado dos processos estocásticos estudados nesta seção. X A distribuição de probabilidade π em I é formada por números 0 ≤ πi ≤ 1 tal que πi = 1. Além disso, diremos que uma matriz i∈I.

(25) 24. P = (pij , i, j ∈ I) é. estocástica,. se 0 ≤ pij ≤ 1 e para cada i ∈ I tivermos. X. pij = 1.. j ∈I. Isto signica que as linhas da matriz formam uma distribuição de probabilidades em I . Se I tem n elementos, então P é uma matriz quadrada n × n e, de uma forma mais geral, P será uma matriz innita. Uma cadeia de Markov será um processo estocástico de tempo discreto com espaço de estados I sobre um espaço de probabilidade nita. Denotaremos a probabilidade de se mover do estado i para o estado j em uma etapa dada por: P (j|i) = pij , onde a matriz estocástica P é dada por:.     P = (pij ) =   . Exemplo:. p11 p12 p21 p22 .. .. . . pi1 pi2 .. .. . .. . . . p1j . . . p2j . .. . .. . . . pij . .. . ... ... ... .. .. .      ...  .. .. A matriz P denida por:.  0 12 21 P = 0 1 0  1 0 12 2 . é uma matriz estocástica.. Denição 2.3.1.. Dizemos que um processo estocástico {Xn , n ≥ 0} é uma cadeia de π e matriz estocástica P , se para cada n ≥ 0, com ∈ I obtermos que. Markov com distribuição inicial. i0 , i1 , . . . , in+1. • P (X0 = i0 ) = πi0 . • P (Xn+1 = in+1 |X0 = i0 , . . . , Xn = in ) = pin in+1 . O segundo item é uma versão especial da chamada propriedade a falta de memória"de um dado sistema estocástico. 2.3.1. de Markov. que refere-se. Recorrência e Periodicidade. Denição 2.3.2.. Dizemos que um estado i tem período K se houver retorno ao estado i em múltiplos de K passos de tempo. Assim denimos K como. K = m.d.c.{n : P (Xn = i|X0 = i) > 0}, onde m.d.c"é o máximo divisor comum.. Observação 2.3.3.. Note que se K = 1 então o retorno ao estado i pode ocorrer em tempos irregulares. Neste caso dizemos que o estado é aperiódico, ou seja, existe um.

(26) 25. n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0 P (Xn = i|X0 = i) > 0. Além disso, dizemos que a cadeia de Markov é aperiódico.. aperiódica. se todo estado i do processo for. Denição 2.3.4.. O estado i é dito transitório se, dado que começamos no estado i, existe uma probabilidade não-nula que nunca retornará ao estado i. Consideremos uma variável aleatória Ti como tempo de primeiro retorno ao estado i, dada por:. Ti = inf{n ≥ 1 : Xn = i|X0 = i}. Denotaremos o número P (Ti = n), como sendo a probabilidade do tempo de primeiro retorno ao estado i após n passos. Portanto, temos que o estado i é transitório se. P (Ti < ∞) =. ∞ X. P (Ti = n) < 1.. n=1. Denição 2.3.5.. O estado i é dito. recorrente. P (Ti < ∞) =. ∞ X. se ele não é transitório, ou seja. P (Ti = n) = 1.. n=1. Denição 2.3.6.. Denimos o tempo de retorno esperado. tempo de recorrência média. Mi = E[Ti ] =. ∞ X. no estado i como sendo o. nP (Ti = n).. n=1. • O estado i é dito recorrente estado i é recorrente nulo.. 2.4. positivo. se Mi é nita, caso contrário dizemos que o. CONCEITOS DE TEORIA ERGÓDICA. Nesta seção apresentamos uma introdução a Teoria Ergódica e conceitos como Conservatividade, Recorrência, Função Tempo de Primeiro Retorno e Mixing. Para mais detalhes veja Aaronson [1] e [2], Chernov [5] e [6], Walters [33] e Zhang [36].. Denição 2.4.1.. Sejam (X, Σ1 , m1 ), (Y, Σ2 , m2 ) espaços de probabilidade.. 1. Uma transformação f : X → Y m2 (A2 ), para todo A2 ∈ Σ2 .. preserva medida. se f é mensurável e m1 (f −1 (A2 )) =. 2. Diremos que f : X → Y é uma transformação invertível que preserva medida se f preserva medida, é bijetiva e f −1 também preserva medida. Quando X = Y e f : X → X e satizfaz (1), diremos que m1 é f -invariante..

(27) 26. Denição 2.4.2.. Uma transformação não singular f de X é dita. recorrente. se. lim inf |h ◦ f n − h| = 0,. n→∞. q.t.p, para todo h : X → R mensurável. Além disso, diremos que uma permutação S de um conjunto nito E (que preserva a medida de contagem) é periódica, se existe um p tal que S p ≡ Id.. Observação 2.4.3.. Note que toda permutação periódica S é recorrente, pois h ◦ S pn = h, para todo n ≥ 0 e h : X → R mensurável.. Denição 2.4.4.. Seja f uma transformação não-singular do espaço de medida (X, Σ, m). O conjunto W ⊂ X é chamado errante para f , se os conjuntos {f −n (W )}n∈ N são disjuntos. Denotamos por W = W (f ) a coleção de conjuntos errantes mensuráveis. A parte dissipativa da transformação não singular f é D(f ) = ∪W (f ) a união mensurável da coleção de conjuntos errantes para f . O conjunto C(f ) = X \ D(f ) é a parte conservativa da transformação f .. Denição 2.4.5.. A transformação singular f é chamada (totalmente ) dissipativa quando D(f ) = X(mod m) e conservativa quando C(f ) = X(mod m).. Observação 2.4.6.. Qualquer transformação que preserva uma probabilidade é conservativa. Porém nem toda transformação que preserva uma medida σ -nita innita é conservativa. De fato, basta tomar a translação x 7→ x + 1 em R equipado com borelianos e a medida de Lebesgue, que é totalmente dissipativa.. Denição 2.4.7. é dita. ergódica,. se. Uma transformação não-singular T de um espaço de medida (X, Σ, m). A ∈ Σ, T −1 (A) = A (mod m). implica. m(A) = 0 ou m(Ac ) = 0.. Teorema: 2.4.8. (Teorema de Recorrência de Poincaré) .. Seja T : X → X uma m uma medida T -invariante nita. Seja A ⊂ X um conjunto mensurável qualquer com m(A) > 0. Então para m-q.t.p. x ∈ A existem innitos valores n de n para os quais T ∈ A.. transformação mensurável e. Observação 2.4.9.. De forma mais geral, o Teorema é válido também para um espaço de medida innita, desde que satisfaça a outras hipóteses (veja Aaronson [1], p.17). Seja T : X → X uma transformação mensurável e m uma medida T -invariante nita. Dado um conjunto mensurável A ⊂ X com m(A) > 0, considere a função tempo de primeiro retorno rA : A → N ∪ {∞} denida por:. rA (x) = min{n ≥ 1 : T n (x) ∈ A}.. (2.2). Observação 2.4.10.. Caso o conjunto da direita seja vazio então rA (x) = ∞, ou seja, de acordo com o Teorema 2.4.8 isto só ocorre para um conjunto de pontos com medida nula. Denotaremos por C0 = {x ∈ A : T n (x) 6∈ A para todo n ≥ 1}, como sendo o conjunto dos pontos de A que nunca retornam a A; e C1 = {x ∈ X : T n (x) 6∈ A para todo n ≥ 0},.

(28) 27. como sendo o conjunto dos pontos de X que nunca entram em A. Além disso note que pelo Teorema 2.4.8 temos que m(C0 ) = 0. O próximo resultado mostra que a funçao dada em (2.2) é integrável.. Teorema: 2.4.11. (Teorema de Kac) . um subconjunto. A⊂X. T : X → X , m uma medida invariante Então a função rA é integrável e. Seja. com medida positiva.. e. Z rA dm = m(X) − m(C1 ). A. 2.4.1. Mixing. Nesta subseção apresentaremos uma denição para a transformação mixing (misturadora), cujo espaço de medida é nita. Em seguida faremos uma comparação com o decaimento de funções de correlação. Seja T : X → X uma transformação invertível que preserva a medida de probabilidade m e f : X → R uma função mensurável. A aplicação f é dita observável.. Denição 2.4.12.. Consideremos (X, A, m, T ) um sistema dinâmico que preserva uma medida nita m. O sistema é dito mixing se para qualquer A, B ∈ A temos que. lim m(A ∩ T −n (B)) = m(A)m(B).. n→∞. Observação 2.4.13. Notemos que a denição usual de mixing nao poder ser estendida para uma espaço de medida innita, pois basta tomarmos todo o espaço X e um conjunto de medida invariante de medida nita, no qual obteremos uma sequência constante que não pode convergir para o produto das medidas, ou seja: m(B) < ∞ e m(B) = m(T −n (X) ∩ B) → m(X)m(B) = ∞ para n → ∞. A velocidade do mixing é caracterizada pela taxa de decaimento de correlações, denida abaixo.. Denição 2.4.14.. Dado um par qualquer de funções integráveis (observáveis) f, g ∈ L2 (X, m), as correlações de f ◦ T n e g é denida por:

(29) Z

(30) Z Z

(31)

(32) Cf,g (n) =

(33)

(34) (f ◦ T n )g dm − f dm g dm

(35)

(36) , n ∈ N. X. X. X. Assim uma transformação T : X → X é mixing se, e somente se. lim Cf,g (n) = 0,. n→∞. para quaisquer f, g ∈ L2 (X, m). Além disso, denotaremos por Cf (n) como sendo a função de autocorrelação quando f = g . Uma propriedade do estudo de correlações, diz respeito a sua taxa de decaimento, ou seja, a velocidade de convergência de Cf,g (n) → 0. A seguir apresentamos dois tipos de convergência que são comuns em aplicações:.

(37) 28. Denição 2.4.15.. Dizemos que as correlações decaem. exponencialmente. se. |Cf,g (n)| ≤ k1 e−αn ,. (2.3). para algum α > 0 e n > 0, sendo k1 uma constante. Dizemos que as correlações decaem polinomialmente se |Cf,g (n)| ≤ k2 n−α , (2.4) para algum α > 0 e n > 0, sendo k2 uma constante.. 2.5. DINÂMICA SIMBÓLICA. Nesta seção abordaremos conceitos de dinâmica simbólica que mais tarde serão úteis para a construção que faremos do nosso problema. Para um melhor entendimento veja Devaney [9], Campanino e Isola [4] e Robinson [29].. Denição 2.5.1.. Seja Σ2 = {s = (s0 s1 s2 . . .)|si = 0 ou 1}. Dizemos que Σ2 é um espaço de sequências sobre os símbolos 0 e 1. Além disso, podemos considerar o espaço Σn consistindo de sequências innitas de inteiros entre 0 e n − 1. Elementos de Σ2 são cordas innitas de inteiros como (01001 . . .) ou (0101 . . .). Podemos tornar Σ2 um espaço métrico da seguinte maneira: Dadas duas sequências s = (s0 s1 s2 . . .) e t = (t0 t1 t2 . . .), denimos a distância entre eles por: ∞ X |si − ti | . d[s, t] = 2i i=0. Desde que |si − ti | seja 0 ou 1, cuja série innita é dominada pela série geométrica ∞ X 1 = 2. 2i i=0. Exemplo:. Considere s = (0000 . . .) e t = (111 . . .) então d[s, t] = 2.. Denição 2.5.2.. Denimos a aplicação. shift. σ : Σ2 → Σ2 dada por:. σ(t0 t1 t2 . . .) = (t1 t2 t3 . . .).. Observação 2.5.3.. A transformação shift ignora"a primeira entrada da sequência e desloca todas as outras entradas de uma posição para a direita.. 2.6. TEOREMA TAUBERIANO. Nesta seção abordaremos sobre o teorema Tauberiano, no qual, será fundamental para provarmos o Teorema 3.5.2. Para mais detalhes veja Feller [12], Hardy [18] e Korevaar [22]. Seja µ uma medida denida em R+ ∪ {+∞} de tal modo que a transformada de.

(38) 29. Laplace. Z ω(λ) =. ∞. e−λx dµ,. 0. existe para λ > 0. De forma geral, o comportamento de ω proximo da origem determina exclusivamente o comportamento assintótico de µ(x) quando x → ∞ e vice-versa. Historicamente, qualquer relação que descreve o comportamento assintótico de µ em função dos termos de ω é dito Teorema Tauberiano , enquanto que teoremas descrevendo o comportamento de ω em termos de µ é dito Abeliano. Em nosso trabalho estaremos interessados em relacionar o Teorema Tauberiano para séries de potências, para isto, existe uma versão em Feller[12] que enunciaremos logo após algumas denições.. Denição 2.6.1.. A função gama é denida para todos os números complexos, exceto os números inteiros negativos e nulo, no qual é dada por: Z ∞ Γ(s) = xs−1 e−x dx. 0. Denição 2.6.2. lentamente. Seja L uma função positiva denida em [0, +∞]. Diremos que L para ∞ se para todo t xado, tivermos que:. L(tz) → 1, L(z) Agora estamos aptos a enunciar o. Teorema: 2.6.3.. varia. com z → ∞.. Teorema Tauberiano para séries de potência .. Seja un ≥ 0 uma sequência e H(z) =. ∞ X. un z n uma série que converge. n=0. para 0 ≤ z < 1. Se L é uma função que varia lentamente para ∞ e 0 ≤ ρ < ∞ então 1 1 H(z) ∼ ( L , com z → 1− , (2.5) 1 − z)ρ 1−z e. n−1 X k=0. uk ∼. 1 nρ L(n), Γ(ρ + 1). com n → ∞,. são equivalentes. Além disso, se a sequência {un }n ∈ N é monótona e 0 < ρ < ∞, então (2.5) equivale a: 1 ρ−1 n L(n), com n → ∞. un ∼ Γ(ρ).

(39) 30. 3. SEQUÊNCIAS DE RENOVAÇÃO E INTERMITÊNCIA. Neste capítulo iniciamos a apresentação dos resultados desse texto. Primeiro faremos a construção do nosso problema na Seção 3.1, onde trazemos uma analogia a cadeia de Markov na Seção 3.2. Na Seção 3.3 analisaremos a medida invariante e consequências da função tempo de retorno, no qual demonstraremos a Proposição 3.16 que será fundamental para a prova do Teorema 3.5.2. Em seguida, apresentamos na Seção 3.4 a função geradora de distribuição de tempos de retorno que será construída a partir da análise do comportamento do nosso sistema dinâmico. Por último, denimos na Seção 3.5 a função geradora da sequência de renovação e, além disso, demonstraremos o Teorema 3.5.2 que será fundamental para a prova dos principais resultados.. 3.1. CONSTRUÇÃO DO NOSSO PROBLEMA. Denição 3.1.1.. Sejam q , r, s três parâmetros reais satisfazendo 0 < q < 1, s > 0 e r + 1 = q . Seja além disso dn ↓ 0 a sequência denida por: −s. 1. dn = (1 + nr)− s ,. d0 = 1,. Proposição: 3.1.2.. A sequência. dn. (3.1). n ≥ 1.. denida em (3.1) é uma sequência de Kaluza, isto. é,. 0 < dn ≤ d0 = 1 que é equivalente a armar que Demonstração.. (3.2). d2n ≤ dn−1 dn+1 ,. e. dn+1 − 2λdn + λ2 dn−1 ≥ 0. para todo. λ > 0.. Note que d1 = q.. 1. 1 < 1, para todo n ≥ 1. (1 + nr) s 1 1 De fato: r = s − 1, 0 < q < 1 e s > 0 temos que s > 1. Logo r > 0. q q 1 s Assim (1 + nr) > 1 implica (1 + nr) > 1, portanto. • dn =. 0 < dn =. 1 1. (1 + nr) s. < 1..

(40) 31. • d2n ≤ dn−1 dn+1 . De fato: 1. 1. dn−1 dn+1 = [1 + (n − 1)r]− s [1 + (n + 1)r]− s 1. = [(1 + (n − 1)r)(1 + (n + 1)r)]− s. 1. = [1 + (n + 1)r + (n − 1)r + r2 (n2 − 1)]− s 1. = (1 + nr + r + nr − r + r2 n2 − r2 )− s 1. = [(1 + nr)2 − r2 ]− s , e. d2n = dn dn 1. 1. = (1 + nr)− s (1 + nr)− s 2. = (1 + nr)− s. 1. = [(1 + nr)2 ]− s . Como r > 0 e s > 0 segue que (1 + nr)2 − r2 < (1 + nr)2 implica que 1. 1. [(1 + nr)2 − r2 ] s < [(1 + nr)2 ] s . 1. 1. Assim [(1 + nr)2 − r2 ]− s > [(1 + nr)2 ]− s , portanto d2n < dn−1 dn+1 .. • A equivalência, é o mesmo que dizer que o discriminante ∆ < 0, ou seja, 4d2n − 4dn+1 dn−1 < 0 Logo d2n < dn−1 dn+1 para todo λ > 0. Podemos notar que os números dn 's geram uma partição enumerável P de [0, 1] em intervalos An = [dn , dn−1 ], n ≥ 1.. Denição 3.1.3.. Consideraremos. ρn := m(An ) = dn−1 − dn , onde. m. denota a medida de Lebesgue.. Recordamos as seguintes denições: sejam f e g duas funções denidas sobre o conjunto dos números reais. Dizemos que f (x) = O(g(x)) quando x → ∞ se existe um | f (x) | ≤ M , para todo x > x0 . M ∈ R e um x0 tal que g(x) Além disso, quando s ∈ Q, a série binomial é dada por:. ∞ X s (x + y) = xs−k .y k , k s. k=0. onde s ∈ C e. . s k. =. s(s − 1) . . . (s − k + 1) e k ∈ N. k!.

(41) 32. Proposição: 3.1.4.. Temos que. ρn+1 < ρn. por:. e tem um comportamento assintótico dado 1. 1. ρn = (r/s)(1 + nr)−1− s + O((1 + nr)−2− s ).. (3.3). Demonstração.. ρn − ρn+1 = dn−1 − dn − (dn − dn+1 ) = dn−1 − 2dn + dn+1 , temos que para λ = 1,. dn−1 − 2dn + dn+1 > 0, e assim,. ρn − ρn+1 > 0. Portanto ρn+1 < ρn para qualquer n ≥ 1. Utilizando a serie binomial para números complexos, temos que: 1. 1. ρn = dn−1 − dn = (1 + (n − 1)r)− s − (1 + nr)− s 1. 1. = ((1 + nr) + (−r))− s − (1 + nr)− s , (aplicando a serie ao 1 ◦ membro)  1  ∞ X −  s  (1 + nr)− 1s −k .(−r)k − (1 + nr) −1 s = k   1   1  1 − − − 1 1 =  s  (1 + nr)− s +  s  (1 + nr)− s −1 (−r) +  s  0 1 2  1  − 1 1 1 (1 + nr)− s −2 (−r)2 + . . . +  s  (1 + nr)− s −k (−r)k + . . . − (1 + nr)− s k 1 1 1+s r = (1 + nr)− s −1 + (1 + nr)− s −2 (r2 ) + . . . + 2 s 2s 1 (1 + s)(1 + 2s) . . . (1 + s(k − 1)) (−1)k (1 + nr)− s −k (−r)k + . . . k s k! k=0. . Portanto,. 1 1 r ρn = (1 + nr)− s −k + O((1 + nr)− s −2 ). s. Fixando A0 = [0, 1], denimos pk =. m(Ak ) , k ≥ 1 e consideremos a m(Ak−1 ). aplicação am por partes f : [0, 1] → [0, 1] denida por:.  x − d1   , se x ∈ A1 , p1 f (x) = x − dk   dk−1 + , se x ∈ Ak , k ≥ 2. pk A gura abaixo mostra o comportamento do gráco da aplicação f :. (3.4).

(42) 33. Figura 1: Gráco de f Esta aplicação introduz um modelo simplicado para uma aplicação de intervalo intermitente cujo comportamento quando x → 0+ é dado por:. f (x) = x + ux1+s + O(x1+s+ε ), onde u =. r s. e ε > 0. Faremos agora algumas observações a respeito da aplicação f :. Observação 3.1.5.. O ponto xo na origem é neutro: f 0 (0) = 1, e f 0 (x) é apenas Holder contínua em x = 0, com expoente s. Ou seja, |f 0 (x) − f 0 (y)| ≤ k|x − y|s , com k ∈ R+ .. Observação 3.1.6.. Pode ser notado que se ψ0 (x) denota o ramo inverso da aplicação f denida de [0, 1] em [0, q], então temos que dn = ψ0n (1), e a sequência dn é Kaluza se, e somente se, ψ0 é côncavo.. Observação 3.1.7.. Por último, observamos ainda que f (An ) = An−1 para todo n ≥ 1, de modo que P é uma partição de Markov para a aplicação f .. 3.2. A CADEIA ENUMERÁVEL DE MARKOV. O processo de iteração xn = f n (x), com f denida em (3.4) e x escolhido aleatoriamente segundo a medida de Lebesgue, é isomorfo (mod 0) a cadeia de Markov com espaço de estado N e matriz de transição P = (pij ) dada por:.     P =  . ρ1 ρ2 ρ3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .. .. .. . . .. ··· ··· ··· ··· .. ..       . (3.5).

(43) 34. Para ver isto, seja X o conjunto residual de pontos em (0, 1] que não são preimagens de 1 com respeito a aplicação f, a saber, X = (0, 1]\{dn }n≥0 . Seja, além disso, Ω o conjunto de todas as sequências ω = (ω0 ω1 . . .), ωi ∈ N, tais que dado ωi então ou. ωi−1 = ωi + 1. ωi−1 = 1.. Então a aplicação ϕ : Ω → [0, 1] denida por:. ϕ(ω) = x,. se. f j (x) ∈ Aωj ,. j ≥ 0,. é uma bijeção entre Ω e X , no qual a aplicação f conjuga com shift σ em Ω segundo o diagrama abaixo:. Ω ϕ. . X. /. σ. f. /. Ω . ϕ. X. Então temos que o processo estocástico em Ω dado por xi (ω) = ωi , i ≥ 0, é uma cadeia de Markov com probabilidade condicional:. pij = P (xn (ω) = j | xn−1 (ω) = 1) =. m(f −1 (Aj ) ∩ Ai ) , m(Ai ). que coincide com os valores da matriz em (3.5). Como o m.d.c {n : ρn > 0} = 1 a cadeia é aperiódica e recorrente. Consideremos a sequência innita t1 , t2 , . . . de sucessivos tempos de entrada no estado 1: t1 = inf{i ≥ 0 : ωi = 1}, e, para j ≥ 2, denimos. tj = inf{i > tj−1 : ωi = 1}. Seja além disso rj = tj+1 − tj , dada pela sequência entre os tempos de retornos. O estado 1 sendo recorrente, os números rj são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, ou seja, têm a mesma distribuição de probabilidade e são mutuamente independentes sobre a probabilidade P1 (·) = P (· | x0 (ω) = 1). Sua distribuição é P1 (rj = n) = ρn e seu valor esperado é dado por E1 (rj ). =. ∞ X n=1. nρn =. ∞ X. dn ,. (3.6). n=0. que pode ser nito (cadeia recorrente-positiva) ou innita (cadeia recorrente-nula) desde que s < 1 ou s ≥ 1. A última igualdade acima pode ser vericado da seguinte maneira: ∞ X n=1. nρn =. ∞ X. n(dn−1 − dn ). n=1. = d0 − d1 + (2d1 − 2d2 ) + (3d2 − 3d3 ) + (4d3 − 4d4 ) + . . . +.

(44) 35. ((n − 1)dn−2 − (n − 1)dn−1 ) + (ndn−1 − ndn ) + . . . = d0 + d1 + d2 + d3 + d4 + . . . + dn−1 + dn + . . . ∞ X = dn .. . n=0. Mais especicamente, podemos denir uma familia de momentos. M. (l). =. l E1 (rj ). ≡. ∞ X. nl ρ n ,. l ≥ 0,. (3.7). n=1. e dizemos que a cadeia tem grau ergódico l se M (l) < ∞ mas M (l+1) = ∞. ∞ ∞ X X 0 (0) 0 Note que M = E1 (rj ) ≡ n ρn = ρn = 1, de modo que a cadeia tem grau mínimo n=1. n=1. zero (caso recorrente-nulo). Finalmente, a equação de estado estacionário é dada por:. πn =. ∞ X. πi pin ,. i=1. que é formalmente resolvida por πn = π1 dn−1 , n ≥ 1. No caso recorrente-positivo obtemos π1 =. ∞ X. !−1 dn. .. n=0. 3.3. MEDIDA INVARIANTE E TEMPOS DE RETORNO. Utilizando a dinâmica simbólica desenvolvida na seção anterior, observamos que a aplicação f preserva uma medida σ -nita absolutamente contínua ν , cuja densidade e é dada por: e(x). =. πn dn−1 = , ρn π 1 ρn. Note que:. dn < x ≤ dn−1 .. Z ν(An ) =. e(x)dm. = dn−1 =. An. X. m(Al ),. (3.8). (3.9). l≥n. que segue da denição de ρn . Mais especicamente, para E ⊆ An obtemos,. ν(E) =. m(E) dn−1 . m(An ). (3.10).

(45) 36. Seja τ : X → N o. tempo de primeira passagem. no intervalo A1 , isto é,. τ (x) = 1 + min{n ≥ 0 : f n (x) ∈ A1 }, tal que An é o fecho do conjunto {x ∈ X : τ (x) = n}. Por outro lado, a função retorno r : X → N no intervalo A1 é dado por. r(x) = min{n ≥ 1 : f n (x) ∈ A1 } = τ ◦ f (x).. (3.11) tempo de. (3.12). Consideremos o conjunto Bn como sendo o fecho de {x ∈ A1 : r(x) = n}.. Lema: 3.3.1. Bn = A1 ∩ f −1 (An ). Primeiramente note que: x ∈ A1 e r(x) = n então x ∈ A1 e f n (x) ∈ A1 , mas f j (x) 6∈ A1 para 1 ≤ j < n. Demonstração.. Pela construção de f , temos que x ∈ A1 e x ∈ f −1 (An ). Agora seja x ∈ Bn . Então pela observação acima equivale a dizer que x = lim xk , onde xk ∈ A1 e f (xk ) ∈ An para todo k , ou seja,. k→∞. x ∈ A1 ∩ f −1 (An ) = A1 ∩ f −1 (An ), pois A1 e f −1 (An ) são conjuntos fechados. Reciprocamente, seja x ∈ A1 ∩ f −1 (An ), ou seja, x ∈ A1 e x ∈ f −1 (An ). Mas x ∈ f −1 (An ) implica que. f n (x) ∈ A1. e. f j (x) 6∈ A1. para 1 ≤ j < n. Logo x ∈ A1 e r(x) = n, portanto x ∈ Bn e vale a igualdade.. Proposição: 3.3.2.. Temos que:. ν(Bn ) = Demonstração.. ν(Bn ) =. m(A1 ∩ f −1 (An )) = m(An ). m(A1 ). (3.13). Como Bn ⊆ A1 entao por (3.10) temos que:. m(A1 ∩ f −1 (An )) m(A1 ∩ f −1 (An )) m(A1 ).m(An ) d0 = = = m(An ), m(A1 ) m(A1 ) m(A1 ). pois analisando o gráco de interseção de A1 com a pré-imagem de An com respeito a funx − d1 ção f que é dada por f (x) = , se x ∈ A1 , temos a seguinte relação trigonométrica: p1 m(An ) α= , onde “α” é o coeciente angular da função f , logo temos que: −1 m(f (An ) ∩ A1 ). α=. 1 m(An ) 1 = = −1 p1 m(A1 ) m(f (An ) ∩ A1 ).

(46) 37. Portanto m(f −1 (An ) ∩ A1 ) = m(An )m(A1 ). De (3.9) e (3.13), temos a seguinte cadeia de identidades formais:. ν([0, 1]) =. ∞ X. ν(An ) =. ∞ X X. n=1. Z. m(An ). n=1 l≥n. 1. τ (x)m(dx),. = 0. e além disso. ν([0, 1]) =. ∞ X. nm(An ). n=1. =. ∞ X. Z. (3.14). r(x)ν(dx) = M (1) .. nν(Bn ) = A1. n=1. De fato: A última igualdade segue do fato que Bn é o fecho dos elementos x ∈ A1 onde r(x) = n, então à área da região compreendida pelo gráco de r é dada por: ∞ X. Z nν(Bn ) :=. r(x)ν(dx), A1. n=1. enquanto que as outras igualdades sao de fácil vericação.. Estas indentidades são uma versão da fórmula de Kac. Note que (3.14) torna-se mais signicativa sob o pressuposto que todos os termos envolvidos são nitos e utlizaremos a convenção M ≡ M (1) , no qual obtemos a seguinte dicotomia: ou M < ∞ e então existe ν f - invariante absolutamente contínua ou se M = ∞ uma medida de probabilidade µ = M então µ não é normalizável e não existe uma medida de probabilidade absolutamente n−1 1X contínua, isto é, o ergódico δf k (x) converge fracamente para o delta de Dirac em 0. n k=0. Denição 3.3.3.. (l). Denimos uma familia recursiva de caudas formais dn , com l ≥ 0 a partir de dn da seguinte maneira:. d(ne0). = dn. e. d(l) n. =. ∞ X. (l−1). dL. para l > 0.. (3.15). L>n. Notação:. Dizemos que an e bn são assintoticamente an escrevemos an ∼ bn , se → 1 quando n → ∞. bn. Proposição: 3.3.4.. Se. s<. 1 l. com. l ≥ 1,. equivalentes. quando n → ∞ e. então de (3.1) e (3.3) os termos. (k). dn. são nitos.

(47) 38 para. 0≤k≤l. e satisfazem 1. (3.16). k− s d(k) , n ∼ Ck (1 + (n + k)r). onde. sk . rk (1 − s)(1 − 2s) . . . (1 − ks). Ck =. Demonstração.. Para k = 0 temos que 1. −s d(0) . n = dn ∼ (1 + nr). Agora para k = 1 consideraremos a função mais detalhes veja Isola[19] e Lopes[25]). ζ. 1 1 , s r. =. (ver (25.15.1) em [26] e para. Zeta de Hurwitz. ∞ 1 X. r. 1 s. 1. 1 L=0 ( r. 1. + L) s. ,. com s < 1, r > 0 e suas representações (ver (25.15.4) e (25.15.5) em [26]) dadas por:. ζ. 1 1 , s r. e. ζ. 1 1 , s r. . 1 = s r. . =ζ. n X. 1 1 + n + 1, r s. n 1 X. +. r. 1 s. 1. 1. ( 1r + L) s. L=0. ( 1r + n)1− s 1 − + 1 1 1 s −1 s s L=0 ( r + L) 1. 1. Z. ∞. !. x − [x] 1. n. ( 1r + x)1+ s. dx .. Temos que (1) dn. ∞ X. n 1 1 1 1 1 X 1 = dL = ζ , +n+1 =ζ , − 1 1 s r s r r s L=0 ( 1r + L) s L=n+1 ! 1 Z 1 ( 1r + n)1− s 1 ∞ x − [x] = 1 − dx 1 s n ( 1 + x)1+ 1s −1 rs s r ! Z ∞ 1 s r1− s (1 − s) x − [x] 1− 1s (1 + nr) = 1− . 1 1 dx r(1 − s) s2 (1 + nr)1− s n ( 1r + x)1+ s . Assim temos que. (1). lim. n→∞. dn s (1 r(1−s). 1. + (n + 1)r)1− s. = 1.. 1. (1). Portanto dn ∼ C1 (1 + (n + 1)r)1− s . Para k = 2, note que. d(2) n. =. ∞ X. (1). dL .. L=n+1 (1). 1. Mas dL ∼ C1 (1 + (n + 1)r)1− s e assim, podemos aplicar o mesmo processo acima, agora.

(48) 39. para. ζ e obtermos. 1 1 − 1, + 1 s r. =. ∞ C1 X. r. 1 −1 s. 1. 1 L=0 ( r. 1. ,. 1. ,. + 1 + L) s −1 1. 2− s . d(2) n ∼ C2 (1 + (n + 2)r). Repetimos este processo até a função. ζ. com s <. 1 1 − k, + k s r. =. ∞ Ck X. r. 1 −k s. 1. 1 −k s L=0 ( r + k + L). 1 , no qual, obtermos o resultado desejado. k (l). Além disso temos que M (l) é nito se, e somente se dn também é nito, e um impor(1) tante caso especial do comportamento assintótico de dn , quando s < 1 é dado por: 1. (1). 1. (3.17). dn−1 = ν(x ∈ X : τ (x) > n) ∼ C1 (rn)1− s = Cn1−( s ) , onde C =. s 1 s. r (1 − s). .. De fato: Temos que. 1. (1). dn−1 ∼ C1 (1 + nr)1− s ,. e. " lim. Logo. # = 1.. 1. C1 (rn)1− s. n→∞. Ou seja,. 1. C1 (1 + nr)1− s. 1. 1. C1 (1 + nr)1− s ∼ C1 (rn)1− s . (1). 1. dn−1 ∼ C1 (rn)1− s . . 3.4. A FUNÇÃO GERADORA DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPOS DE RETORNO. Nesta seção construiremos nossa sequência de renovação, a partir da análise do comportamento do nosso sistema dinâmico. Para isso note que o elemento An da partição enumerável de Markov P introduzido na Seção 3.1 e na Seção 3.2 pode ser visto como o n-ésimo estado"para nosso sistema dinâmico. Além disso o número ρn pode ser interpretado como sendo a probabilidade m de que uma primeira passagem no estado 1 ocorra.

(49) 40. após n iteradas. Consideremos a quantidade. un := m(f −(n−1) (A1 )). para. n ≥ 1,. dado pela probabilidade- m de observar a passagem no estado 1 depois de n − 1 iteradas, sendo o primeiro tempo de passagem ou não. Para analisarmos todas as possibilidades envolvidas no nosso sistema dinâmico, podemos escrever un da seguinte maneria:. un =. n X. m(f l (x) ∈ / A1 , 0 ≤ l < r − 1, f r−1 (x) ∈ A1 , f n−1 (x) ∈ A1 ). r=1. = =. n X r=1 n X. m(τ (x) = r)m(f n−1 (x) ∈ A1 | τ (x) = r) (3.18). ρr m(f n−1 (x) ∈ A1 | τ (x) = r).. r=1. De acordo com a dinâmica estabelecida pelo nosso sistema e levando em conta o processo de iteração xn = f n (x) (visto na Seção 3.2), notamos que a cada passagem no estado 1, nosso sistema dinâmico estabelece um novo ciclo a ser percorrido até chegar novamente nesse estado, ou seja, como se o sistema reiniciasse a cada passagem no estado 1. Logo, ainda podemos simplicar um dos termos em (3.18) da seguinte maneira:. m(f n−1 (x) ∈ A1 | τ (x) = r) = m(f n−1 (x) ∈ A1 | f r−1 (x) ∈ A1 ) = m(f n−r (x) ∈ A1 | x ∈ A1 ) = m(f n−r−1 (x) ∈ A1 ) = un−r . Portanto,. un =. n X. (3.19). ρr un−r ,. r=1. onde a sequência un satisfaz a relação de recorrência:. u0 = 1 e un = ρn + u1 ρn−1 + · · · + un−1 ρ1 para n ≥ 1. Em outras palavras, u0 , u1 ,. . . é a. Proposição: 3.4.1.. sequência de renovação. associada a sequencia ρn .. Temos que. un = ν(A1 ∩ f −n (A1 )). Demonstração.. Podemos escrever ν(A1 ∩ f −n (A1 )) da seguinte maneira:. ν(A1 ∩ f. −n. (A1 )) =. n X r=1. (3.20). ν(f l (x) ∈ / A1 , 0 ≤ l < r, f r (x) ∈ A1 , f n (x) ∈ A1 ).