Texto de Apoio_05_ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para Engenharia

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CECS – CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

ENGENHARIA AEROESPACIAL

ESZS012-17 – APLICAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS PARA ENGENHARIA

NOTAS DE AULA – aula 05

Prof. Dr. Wesley Góis

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6 Soluções aproximadas pelo Método dos Elementos Finitos

(MEF)

6.1 A Técnica dos Elementos Finitos

A Técnica dos Elementos Finitos fornece uma metodologia para a geração da base de funções de aproximação φ , que se aplica tanto à resolução da forma _i fraca obtida pela relação de equilíbrio dada pelo P.T.V. ou pelo Método da Energia. Neste item o destaque será dado ao emprego da técnica no P.T.V., lembrando que, neste caso, as condições de contorno naturais estão incluídas no trabalho das forças externas e somente as condições de contorno essenciais precisam ser impostas na aproximação. Além disso, a abordagem será ‘à lá’ Galerkin, no sentido de que as funções peso (que aproximam os campos de deslocamentos virtuais) serão as mesmas adotadas para aproximar os campos de deslocamentos reais. Assim, a técnica dos elementos finitos, com as condições anteriores, aplicado ao P.T.V. é agora denominada Método dos Elementos Finitos (MEF).

Segundo a metodologia proposta pela técnica, mantém-se a característica de construção da aproximação num espaço de dimensão finita, empregando-se uma combinação linear de funções base. No caso de aproximações construídas por base de funções em uma variável, tem-se:

( )

i i

( )

u x% =α φ x c / i 1, ..., N= (6.1) A particularidade está tanto no significado dado aos coeficientes α , quanto _i nas características e na forma de obtenção das funções base φ x . _i

( )

Nesse sentido, realiza-se, inicialmente, uma ‘discretização’ do domínio da solução, introduzindo-se um número N de pontos (propositadamente igual ao número de coeficientes α ) ditos nós, em posições _i x que incluem também pontos _i

do contorno. Cada par de nós consecutivos delimita, por sua vez, um elemento

finito, de modo que todo o conjunto de N pontos define um número ( N - ) de 1

elementos. O conjunto de nós e elementos compõem o que se denomina por

malha.

Definida a malha, impõe-se que os coeficientes α sejam iguais aos valores _i pontuais da função incógnita em cada nó, conforme indica a relação seguinte:

(3)

( )

i i i

α =u x% =u% (6.2) As funções base são então construídas a partir da ideia que a aproximação seja a mais simples possível, observando-se a compatibilidade com a maior ordem de derivada presente na expressão do P.T.V., ou nas integrais que definem as formas bilineares, tendo-se, agora, os limites do elemento finito como referência.

6.2 Aproximações com continuidade de ordem zero

No caso das barras sob força normal, a aproximação global mais simples possível é a linear ‘por partes’, isto é, onde as exigências sobre as ordens de derivadas do P.T.V. são plenamente observadas dentro dos limites de cada elemento. Essa aproximação, indicada na Figura 6.1, garante, portanto, continuidade de ordem zero em todo o domínio da solução, enquanto que as derivadas de ordem um apresentam-se contínuas por partes, isto é, no interior de cada elemento. Nota-se que em conseqüência do significado dado aos coeficientes α , o valor da aproximação entre os pontos nodais fica definido por _i interpolação linear dos próprios valores nodais.

Observando-se, novamente a (6.1) e considerando-se a discretização do domínio, cada função base φ x está, agora, atrelada a um nó, tendo seu _i

( )

domínio de definição estendido a todo o domínio do problema. Além disso, para que a condição (6.2) seja verificada é necessário que cada função base assuma

valor unitário no nó ao qual está atrelada e valor nulo nos nós restantes da

malha.

(4)

Tendo-se em vista, então, manter a coerência entre a aproximação linear por partes indicada na Figura 6.1 e as características das funções base, a técnica propõe que cada função φ x tenha por suporte (região onde toma valores _i

( )

diferentes de zero) os dois elementos adjacentes ao nó. A Figura 6.2 ilustra essa característica, com as funções base representadas por relações lineares (‘tendas’).

Figura 6.2 – Funções base atreladas aos nós

De acordo com esse critério, a função base φ x , atrelada ao nó e , tem _e

( )

por suporte a região definida entre os nós ( e 1+ ) e ( e 1- ), sendo expressa pelas relações:

( )

e 1 e 1 e e e 1 e e 1 e e 1 e 1 e x x p / x x x x x φ x x x p / x x x x x -+ + + ì - _{£ £} ï -ï = í -ï _{£ £} ï -î (6.3)

Passando a analisar, agora, a forma aproximada do Princípio dos Trabalhos Virtuais, a matriz K e o vetor L assumem uma composição característica em razão da definição dada às funções base.

Por exemplo, a matriz K passa a ter dimensão definida pelo número de pontos nodais. Por outro lado, considerando-se a sua definição geral: K_ij =B φ ,φ

(

_i _j

)

, serão nulas as componentes que envolverem índices i e j de nós não vizinhos ou não pertencentes ao mesmo elemento, em virtude, justamente, do formato em

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‘tenda’ e do suporte compacto das funções base. A existência de componentes nulas confere, portanto, ‘esparsidade’ à matriz do sistema. Além disso, os elementos não nulos da matriz se acumularão em torno da diagonal principal, dando à matriz K o chamado formato em banda.

Quanto ao vetor L , suas componentes L_j =L φ

( )

_j serão calculadas a partir de integrais definidas sobre o suporte de cada função de base.

Para ilustrar as características descritas, considere-se, novamente, o exemplo da barra de comprimento L , com extremidade superior fixa e inferior móvel, e submetida à força p uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento. Admita-se que a discretização adotada seja formada por três nós, igualmente espaçados e dois elementos, conforme ilustra a Figura 6.3.

E

Figura 6.3 – Dsicretização com três nós e dois elementos

Neste caso, a matriz K passa a ter dimensão

(

3 3´

)

, o vetor L e o vetor de parâmetros nodais resultam ambos com dimensão

(

3 1´ :

)

11 12 13 21 22 23 31 32 33 K K K K K K K K K K é ù ê ú = ê ú ê ú ë û ; 1 2 3 L L L L é ù ê ú = ê ú ê ú ë û ; 1 2 3 u α u u é ù ê ú = ê ú ê ú ë û % % %

Levando-se em conta a divisão em elementos adotada, as componentes da matriz K e do vetor L podem ser calculadas, respectivamente, mediante as formas bilinear e linear deste caso:

(6)

(

)

1 1 2 1

L h h h

ij i j ₀ i j ₀ i j _h i j

K =B φ ,φ =

ò

EAφ φ dx¢ ¢ =

ò

EAφ φ dx¢ ¢ +

ò

+ EAφ φ dx¢ ¢

( )

1 1 2 1 L h h h j j j j j 0 0 h L =L φ =

ò

pφ dx=

ò

pφ dx+

ò

+ pφ dx

onde h₁ = x₂- e x₁ h2 = x3-x2. Naturalmente, x , 1 x e 2 x referem-se às 3 coordenadas dos pontos nodais 1, 2 e 3 e valem, no exemplo, respectivamente:

1

x = ; 0 x₂ L 2

= e x₃ = . L

Considerando-se, então, o exposto acima e as relações (6.3), as componentes do sistema resultam:

(

) (

)

1 1 2 1 h ₂ ₂ h h 11 ₀ _h 1 1 1 1 1 0 x x x x EA K EA dx EAφ φ dx h h h + = ¢ ¢ - -¢ -¢ =

ò

+

ò

= 1442443

(

) (

)

1 1 2 1 h ₂ ₁ h h 12 21 ₀ _h 1 2 1 1 1 0 x x x x EA K K EA dx EAφ φ dx h h h + = ¢ ¢ - -¢ -¢ = =

ò

+

ò

= -1442443 13 31 K =K =0

(

) (

)

(

) (

)

1 1 2 1 h ₁ ₁ h h ₃ ₃ 22 ₀ _h 1 1 2 2 1 2 x x x x x x x x EA EA K EA dx EA dx h h h h h h + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - - - -=

_ò

+

_ò

= +

(

) (

)

1 1 2 1 h h h ₃ ₂ 23 32 ₀ 2 3 _h 2 2 2 0 x x x x EA K K EAφ φ dx EA dx h h h + = ¢ ¢ ¢ - -¢ -¢ = =

_ò

+

_ò

= -1442443

(

) (

)

1 1 2 1 h h h ₂ ₂ 33 ₀ 3 3 _h 2 2 2 0 x x x x EA K EAφ φ dx EA dx h h h + = ¢ ¢ ¢ - -¢ -¢ =

ò

+

ò

= 1442443

( )

1

(

)

1 2 1 h h h 2 1 1 1 ₀ _h 1 1 0 x x ph L L φ p dx pφ dx h 2 + = -= =

ò

+

ò

= 14243

( )

1

(

)

1 2

(

)

1 h ₁ h h ₃ 1 2 2 2 ₀ _h 1 2 x x x x ph ph L L φ p dx p dx h h 2 2 + - -= =

ò

+

ò

= +

( )

1 1 2

(

)

1 h h h ₂ 2 3 3 ₀ 3 _h 2 0 x x ph L L φ pφ dx p dx h 2 + = -= =

ò

+

ò

= 14243

(7)

Em forma matricial o sistema apresenta a seguinte representação: 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 EA EA _ph 0 h h 2 u ph ph EA EA EA EA u h h h h 2 2 u ph EA EA 0 ₂ h h -é ù _ì _ü ê ú _ï _ï ê _{ú ì ü ï} _ï ê_- _æ _ö _- ú_{ï ï ï} _ï + = + ê ç ÷ ú í ý í ý ê è ø úï ï ï ï î þ ê _- ú ï ï ê ú ï_î ï_þ ê ú ë û % % % (6.4) Finalmente, substituindo-se: h₁ h₂ L 2

= = , o sistema assume a forma:

1 2 3 2 2 pL 0 L L _u 4 2 4 2 pL EA u L L L 2 u 2 2 pL 0 L L 4 -é ù ì ü ê ú ï ï ì ü ê ú ï ï - - ï ï ï ï ê ú_{í ý í}₌ _ý ê _{ú ï ï ï ï} ê _- _{ú î þ} _ï _ï ê ú _ï _ï ê ú ë û î þ % % % (6.5)

Vale salientar que o sistema acima representa uma condição de equilíbrio de uma estrutura discretizada. Mais especificamente, o que se tem na (6.5) é um conjunto de relações de equilíbrio entre forças internas e externas que concorrem em cada um dos nós, sendo as forças internas proporcionais à rigidez da estrutura representada por cada um dos componentes da matriz dos coeficientes do sistema. Em particular, observando-se o vetor independente, associado à força externa, nota-se que suas componentes são formadas pelas contribuições de metade da resultante da força distribuída atuante em cada barra adjacente ao nó; assim, é como se a força externa distribuída uniformemente na barra estivesse aplicada em forma equivalente somente nos nós. Além disso, se existisse uma força concentrada e um nó posicionado diretamente sob ela, esta força apareceria no vetor de forças nodais na linha correspondente ao grau de liberdade associado ao nó.

É importante observar que o sistema tal como está apresenta-se singular, pois a matriz de rigidez não é inversível. Para a sua resolução é necessária a imposição preliminar da condição de contorno correspondente. Impondo-se, então, a condição de contorno: u%₁ =0, o que equivale a reduzir o sistema a duas

(8)

equações linearmente independentes nas incógnitas u% e ₂ u% , a resolução ₃

apresenta as seguintes respostas:

1 u% =0; 2 2 3 pL u 8 EA = % ; 2 3 pL u 2 EA = % .

O que se observa é que a solução obtida coincide com a solução exata nos

pontos nodais. A solução geral, finalmente, resulta expressa na forma:

( )

2 2

( )

2 3

( )

3 pL pL u x φ x φ x 8 EA 2 EA = + %

com

φ x ₂

( )

e

φ x₃

( )

definidos conforme a (6.3).

6.3 A montagem do sistema pelas contribuições dos elementos finitos.

Até agora a construção da aproximação pela técnica dos elementos finitos baseou-se na combinação linear de funções atreladas aos nós da malha. Todavia, observando-se a representação da aproximação, (indicada na Figura 6.4 a), e o fato de que as integrais de interesse foram calculadas a partir de uma somatória de integrais sobre cada um dos elementos da discretização, resulta também válida uma outra interpretação. De acordo com ela, tanto a matriz do sistema quanto o vetor independente podem resultar das contribuições de aproximações locais construídas sobre os domínios de cada um dos elementos.

( )

e

u

%

x

e h e e e e e e e

(9)

Nos mesmos moldes da aproximação global, pode-se então estabelecer que dentro do domínio do elemento e , (conforme ilustrado na Figura 6.4 b), uma aproximação linear seja definida por:

( )

1 1

( )

2 2

( )

e e e e e

u% x =u φ% x +u φ% x (6.6)

Tendo-se em vista que: h_e =x_{e 1}₊ -x_e, as funções de forma 1

( )

e

φ x e 2

( )

e

φ x

do elemento e são dadas por:

( )

1 e 1 e e e e 1 2 e e e x x φ x h p / x x x x x φ x h + + -= £ £ -= (6.7)

No âmbito do elemento finito são dois os parâmetros envolvidos na aproximação: 1

e

u% e u% . É possível, em seguida, deduzir as componentes da matriz e2 da forma bilinear (de ordem

(

2 2´

)

) e do vetor da forma linear (de ordem

(

2 1´ ),

)

ambos restritos aos limites do elemento. A matriz é denominada de rigidez e o vetor recebe a denominação de vetor de forças nodais do elemento e .

Para a matriz de rigidez resultam as seguintes componentes:

e h

e i j

ij ₀ e e

K =

ò

EAφ φ dx¢ ¢ (6.8) e para o vetor de forças nodais:

e h

e j

j ₀ e

L =

ò

pφ dx (6.9) Empregando-se as definições dadas pela (6.7), obtém-se:

(10)

e e e h e 1 1 11 ₀ e e e h e 1 2 e e 12 ₀ e e 12 21 e h e 2 2 22 ₀ e e e EA K EAφ φ dx h EA K EAφ φ dx ; K K h EA K EAφ φ dx h ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = = -= = = = =

ò

No caso de força externa p uniformemente distribuída ao longo do comprimento do elemento, o vetor de forças nodais resulta:

e e h h e 1 e e 2 e 1 ₀ e 2 ₀ e ph ph L pφ dx ; L pφ dx 2 2 =

ò

= =

ò

=

Assim sendo, a matriz de rigidez do elemento e e o vetor de forças nodais equivalentes do mesmo elemento apresentam as seguintes componentes:

e e e e e e e 11 12 e 1 e e e e 21 22 2 e e 1 1 _ph h h K K L ₂ K EA ; L 1 1 ph K K L h h 2 -é ù _ì _ü ê ú _ï _ï é ù _ê _ú ì ü_{ï ï ï} _ï =_ê _ú= =_{í ý í}= _ý ê- ú _{ï ï} ë û _ê _ú î þ ï ï ï ï î þ ë û (6.10)

Considerando-se o primeiro exemplo deste capítulo, onde o domínio foi discretizado em dois elementos de comprimento L/2, a matriz de rigidez e o vetor de forças equivalentes do elemento e resultam:

e e 2 2 pL L L 4 K EA ; L 2 2 pL L L 4 -é ù ì ü ê ú ï_ï ï_ï = ê_- ú =í ý ê ú ï ï ê ú ï ï ë û î þ

Por outro lado, observando-se no mesmo exemplo a matriz de rigidez e o vetor de forças nodais globais do sistema, explicitados pelas (6.4) e (6.5), e considerando-se ainda a (6.10), nota-se que aquele sistema apresenta a seguinte forma:

(11)

( ) ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 12 ₁ 1 1 1 2 2 1 2 21 22 11 12 2 2 1 2 2 2 ₃ 2 21 22 K K 0 _u L K K K K u L L u _L 0 K K é ù_{ì ü} _ì _ü ê ú_{ï ï ï}_ï _ï_ï ê + ú_{í ý í}= + _ý ê _{ú ï ï ï} _ï ê _{ú î þ ï}_î _ï_þ ë û % % % (6.11)

Claramente as contribuições de cada elemento aparecem no sistema segundo uma regra bem definida de sobreposição conforme esquematizado abaixo:

Para realizar matricialmente a sobreposição indicada, inicialmente as matrizes de rigidez e os vetores de forças nodais equivalentes de cada elemento devem ter suas dimensões expandidas de

(

2 2´ e

)

(

2 1´ , respectivamente, para

)

a dimensão do sistema, e depois somadas. Entretanto, para que essa soma reproduza corretamente a sobreposição indicada acima, as componentes originais de cada matriz e vetor devem passar a ocupar posições convenientes nas formas expandidas (as outras posições dessas formas são ocupadas por zeros). Nesse sentido, diz-se que as componentes originais sofrem um espalhamento nas formas expandidas.

O espalhamento pode ser obtido observando-se a correspondência entre os graus de liberdade globais, representados pelas incógnitas u% do sistema global, e _e

os graus de liberdade locais i e

u% , com i 1,2= , definidos isoladamente em cada elemento e (conforme indicado em destaque na Figura 6.4 b). Os n graus de liberdade globais e os n locais apresentam uma numeração independente e a _e

correspondência entre eles fica registrada numa matriz binária retangular de espalhamento A , de ordem e

(

n n´ _e

)

, construída para cada elemento.

A maneira de gerar as matrizes de espalhamento será indicada logo em seguida, porém imaginando-se que elas sejam conhecidas para cada elemento, a sobreposição que leva à matriz de rigidez global e ao vetor de forças nodais equivalentes pode ser indicada pelas seguintes relações:

(12)

T ne ne e e e e e e 1 e 1 K A K A ; L A L = = =

å

=

å

(6.12)

onde ne é o número total de elementos utilizados na minha discretização.

Para ilustrar a geração da matriz de espalhamento, considere-se justamente o exemplo anterior no qual a barra foi discretizada em dois elementos. As numerações dos graus de liberdade globais e locais, de cada elemento, estão indicadas na Figura 6.5.

Figura 6.5 – Numeração global e local de graus de liberdade

A matriz de espalhamento A( )1 do elemento

( )

1 relaciona os graus de

liberdade locais desse elemento aos globais, sendo binária e recebendo a unidade quando houver a correspondência entre eles. Essa correspondência fica descrita na forma: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 3 A u 1 0 u u 0 1 u u 0 0 ì ü é _{ù ì ü} ï ï₌ê úï ï í ý _ê _úí ý ï ï _ê_ë _ú_ûï_î ï_þ î þ % _% % % % 123 (6.13)

Seguindo a mesma lógica, a matriz de espalhamento A( )2 do elemento

( )

2

(13)

( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 3 A u 0 0 u u 1 0 u u 0 1 ì ü é _{ù ì ü} ï ï₌ê úï ï í ý _ê _úí ý ï ï _ê_ë _ú_ûï_î ï_þ î þ % _% % % % 123 (6.14)

Com as matrizes de espalhamento, as contribuições de cada elemento para a matriz de rigidez global e para o vetor de forças nodais globais, de acordo com a (12), resultam: ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 K =A K A +A K A ; L= A L +A L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 12 1 1 2 2 21 22 11 12 2 2 21 22 K K 0 0 0 0 K K K 0 0 K K 0 0 0 ₀ _K _K é _{ù é} _ù ê _{ú ê} _ú =ê _{ú ê}+ _ú ê _{ú ê} _ú ê ú ë û ë û (6.15) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 L 0 L L L 0 _L ì _{ü ì} _ü ï _{ï ï} _ï ï ï =_í _{ý í}+ _ý ï ï ï ï î þ ï ï î þ

Nota-se que, com o procedimento descrito, o sistema indicado na (6.11) é reproduzido.

A técnica de montagem do sistema global resumida na (6.12) pode ser estendida para qualquer número de elementos que compõem a discretização adotada. Essa técnica permite, ainda, tratar problemas mais gerais onde carregamento, material e geometria variam de elemento para elemento, como ilustra o exemplo seguinte.

Exemplo numérico: determinar os deslocamentos, forças normais e reações

(14)

A

Figura 6.6 – Barra com variação de propriedades geométricas e carregamento

As matrizes de rigidez de cada elemento, e os respectivos vetores de forças nodais equivalentes, são dadas por:

( )1 2 EA 1 1 ( )2 2 EA 1 1 ( )3 EA 1 1 K ; K ; K L 1 1 L 1 1 L 1 1 - - -é ù é ù é ù = _ê _ú = _ê _ú = _ê _ú - - -ë û ë û ë û ( )1 ( )2 ( )3 qL qL ₂ F F ; F qL qL 2 ì ü ï ï ì ü ï ï = =í ý =í ý î þ ï ï ï ï î þ

As suas contribuições levam ao seguinte sistema de equações lineares:

1 2 3 4 u 2 2 0 0 qL u 2 4 2 0 2qL P EA u L 0 2 3 1 3qL 2 u 0 0 1 1 qL 2 - ì ü é ù ì ü ï ï ê_- _- ú_{ï ï ï}ï ₊ ï_ï ê ú_{í ý í}₌ _ý ê - _{- ï ï ï}ú _ï ê _- _{ú ï ï ï} _ï ë ûî þ î þ

(15)

1 2 3 4 u 1 0 0 0 0 u 0 4 2 0 2qL P EA u L 0 2 3 0 3qL 2 u 0 0 0 1 0 ì ü é ù ì ü ï ï ê _- ú_{ï ï ï}ï ₊ ï_ï ê ú_{í ý í}₌ _ý ê - ú_{ï ï ï} _ï ê _{ú ï ï ï} _ï ë ûî þ î þ

Essencialmente, neste procedimento substituem-se as equações de equilíbrio dos nós 1 e 4, pelas relações que representam as condições de contorno; nessas condições, a primeira e a quarta linha da matriz passam a apresentar a unidade na posição correspondente à diagonal principal e o valor nulo nas outras posições. As condições u₁ =u₄ =0 são levadas em conta diretamente nas equações dos nós 2 e 3, mediante o preenchimento com zeros as posições fora da diagonal principal da primeira e da quarta colunas. Resolvendo-se o sistema alterado nas incógnitas u e ₂ u , obtém-se: 3

2 2 2 3 9 qL 3 PL u _{8 EA} _{8 EA} u _{5 qL} _{1 PL} 4 EA 4 EA ì ü + ï ï ì ü ï₌ ï í ý í ý î þ ï ₊ ï ï ï î þ

A solução aproximada e sua primeira derivada escrevem-se como:

( )

2 2 3 3

( )

2 2 3 3

u x% =u φ +u φ ; u x%¢ =u φ¢ +u φ¢

Neste exemplo as funções de forma são dadas por:

2 2 x 1 p / 0 x L L L φ ; φ 2 L x ₁ p / L x 2 L L _L ì ì _{£ £} ï ïï _¢ ï =_í =_í - -ï ï _{£ £} ï ï î _î 3 3 x L 1 p / L x 2 L L L φ ;φ 3L x ₁ p / 2 L x 3L L _L ì -ì _{£ £} ï ïï _¢ ï =í _- =í -ï ï _{£ £} ï ï î _î

(16)

As forças normais podem ser determinadas a partir de suas definições em função da primeira derivada da função solução. Seus valores resultam:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

9 3 N x 2 EAu x qL P 0 x L 4 4 qL P N x L x 2 L 4 4 5 P N x qL 2 L x 3L 4 4 ¢ = = + £ £ = - £ £ = - - £ £ % _% % %

De modo alternativo, as reações de apoio podem ser inseridas ‘a priori’ como incógnitas, obtendo-se o seguinte conjunto de equações:

1 4 1 2 1 1 2 3 2 3 4 3 4 4 u 0 u 0 2 EA 2 EA u u qL R L L 2 EA 4 EA 2 EA u u u 2qL P L L L 2 EA 3EA 3qL u u u L L 2 EA EA qL u u R L L 2 = = - = + - + - = + - + - = - + = +

Deste sistema resultam as seguintes relações para as reações de apoio:

1 4

13qL 3P 7 qL P

R ; R

4 4 4 4

= - - = -

-Nota-se, finalmente, que o procedimento anterior equivale a determinar o vetor de reações de apoio, após o cálculo dos deslocamentos nodais, mediante a seguinte relação:

R=Ku- F

(17)

2 2 0 2 2 0 0 _{9 qL} _{3 PL} 0 2 4 2 0 2qL P EA 8 EA 8 EA R L 0 2 3 1 5 qL 1 PL 3qL 2 0 0 1 1 4 EA 4 EA 0 0 ì ü ï ï -é ù_ï _ï ì ü + ê_- _- ú_ï ï ₊ ï ï ï ï ê ú = _í _{ý í}- _ý ê - _{- ï}ú _{ï ï} _ï + ê _- _{ú ï} _{ï ï} _ï ë û_ï _ï î þ î þ

Uma última observação de interesse diz respeito ao confronto entre o diagrama de força normal fornecido pela técnica numérica em estudo e o diagrama exato. Por simplificação, analisa-se somente a contribuição das forças distribuídas.

A Figura 6.7 mostra que a estimativa de força normal em cada elemento resulta subestimada em relação à resposta correta. Na verdade, os trechos lineares são substituídos por constantes cujos valores coincidem com a média dos valores exatos nas extremidades de cada elemento. Na mesma figura os valores exatos são destacados com asterisco.