MATEMÁTICA
ROBERTA RESURREIÇÃO SOUZA
(RE)CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS POR PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS EM FORMAÇÃO CONTINUADA
Vitória 2016
(RE)CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS POR PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS EM FORMAÇÃO CONTINUADA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Campus Vitória do Instituto Federal do Espírito Santo como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva
Coorientadora: Prof.ª Dr.ª Dilza Côco
Vitória 2016
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) S729r Souza, Roberta Resurreição.
(Re)Construção de conceitos geométricos por professoras dos anos iniciais em formação continuada / Roberta Resurreição Souza. – 2016.
223 f. : il. ; 30 cm
Orientadora: Sandra Aparecida Fraga da Silva. Coorientadora: Dilza Côco.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2016.
1. Professores – Formação. 2. Geometria – Estudo e ensino. 3. Professores do ensino fundamental – Formação. 4. Ensino. 5. Didática. I. Silva, Sandra Aparecida Fraga da. II. Côco, Dilza. III. Instituto
Federal do Espírito Santo. IV. Título.
A Vinicius, razão da minha vida. A Deia, que me trouxe à vida. Às professoras participantes do curso.
Hoje o meu coração se enche de alegria por esta vitória alcançada. Sozinha, não seria possível chegar até aqui; por isso, quero agradecer a todos que, de alguma forma, contribuíram para a concretização desse sonho.
Primeiramente agradeço a Deus, pois sei que esta conquista jamais seria possível sem a sua divina ajuda, sem a sua divina vontade.
À minha mãe, por entender a minha ausência e por ser meu suporte nos momentos mais delicados. Suas palavras, seus olhares sensíveis nesta reta final foram além do essencial.
Ao meu noivo, Vinicius, por ser meu grande incentivador em prosseguir nesta trajetória. Obrigada por me apoiar, aconselhar e estar sempre ao meu lado. Sem a sua ajuda, seria muito mais difícil.
À professora Sandra, minha orientadora, por acreditar neste trabalho. Sou grata por me proporcionar sair do lugar que limitava minha visão e ir além. Sei que não foi fácil. Compreendo seus conselhos e agradeço a solidariedade, a confiança e a oportunidade. Muito obrigada.
À professora Dilza, minha coorientadora, pelas sábias palavras, que, com sua experiência, me apontou os melhores caminhos para o desenvolvimento deste trabalho.
Aos professores Alex e Dôra, pelas valiosas contribuições e direcionamentos.
À professora Anemari, pela significativa contribuição ao meu trabalho de qualificação.
compartilhar momentos difíceis e alegres durante esse período.
À equipe de chefia da Superintendência Regional de Educação Carapina, por permitir que eu frequentasse as aulas do mestrado, mesmo possuindo uma carga horária de trabalho de 40 horas semanais. Agradeço pelo apoio e incentivo ao aprimoramento da formação.
À equipe coordenadora do Nepales, por me ceder materiais importantes para a pesquisa. Em especial, agradeço à professora Cláudia Gontijo, por me permitir acompanhar a formação do Pnaic em 2014, além de me convidar para ministrar uma oficina na formação, em 2015.
À licencianda Jenifer, pela parceria e disponibilidade durante todos os encontros de formação. Saiba que sua ajuda foi primordial para as minhas análises e investigações.
Às professoras participantes do curso venho aqui expressar o meu reconhecimento pela contribuição nesta pesquisa. Como foi bom estudarmos juntas. Aprendi bastante com vocês. Obrigada por tornarem este sonho uma realidade.
Debaixo do céu há momento pra tudo, e tempo certo para cada coisa: Tempo para nascer e tempo para morrer. Tempo para plantar e tempo para arrancar a planta. Tempo para matar e tempo para curar. Tempo para destruir e tempo para construir. Tempo para chorar e tempo para rir. Tempo para gemer e tempo para bailar. Tempo para atirar pedras e tempo para recolher pedras. Tempo para abraçar e tempo para se separar. Tempo para procurar e tempo para perder. Tempo para guardar e tempo para jogar fora. Tempo para rasgar e tempo para costurar. Tempo para calar e tempo para falar. Tempo para amar e tempo para odiar. Tempo para a guerra e tempo para a paz. Ecl 3, 1-8
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
Esta pesquisa traz uma análise de como uma proposta de formação continuada explora (re)construções de conhecimentos geométricos e conhecimentos pedagógicos de professoras dos anos iniciais. Para o alcance desse objetivo, foi delineado um curso de extensão com ações colaborativas, na tentativa de ampliar conhecimentos de professoras dos anos iniciais sobre geometria. Este estudo, de cunho qualitativo e caracterizado como pesquisa intervenção, teve como instrumentos de produção de dados a aplicação de questionários, observações das participantes, tanto presencialmente quanto no ambiente moodle de educação a distância, e diário de campo da pesquisadora. Os dados foram obtidos por meio de fotos e gravações de áudios e vídeos. Teve, ainda, por base teórica, o modelo Van Hiele, no que concerne ao desenvolvimento do pensamento geométrico; as reflexões de Shulman, concernentemente ao conhecimento pedagógico; Nacarato, que embasou discussões sobre aprendizagens matemáticas na formação de professores; e Lorenzato, em discussões sobre material didático. Nos resultados, foram identificados indícios de conhecimentos (re)construídos mediante a troca de experiência com professoras e nas discussões entre os pares durante as reuniões presenciais e na sala do ambiente virtual de aprendizagem. Como parte dessas discussões e reflexões, desenvolveu-se um produto educacional a partir de uma proposta de formação continuada com base nas atividades aplicadas nos encontros presenciais, para ser utilizada em outras formações sobre o processo de ensino e aprendizagem de Geometria nos anos iniciais do ensino fundamental.
Palavras-chave: Formação continuada. Geometria. Conhecimento pedagógico. Anos iniciais.
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
This research presents an analysis of how a continuing education proposal explores (re) constructions of geometric knowledge and pedagogical skills of teachers of early. To achieve this goal, an extension course with collaborative action was designed in an attempt to increase teachers' knowledge of the early years of geometry. This study of qualitative character and characterized as intervention research, had the data production tools to questionnaires, observations of the participants, both in person and in education moodle environment the distance, and the researcher's field diary. Data were obtained through photos and recording audio and video. There was also a theoretical basis, Van Hiele model in relation to the development of geometric thought; the reflections of Shulman, according the pedagogical knowledge; Nacarato, that based discussions on mathematics learning in teacher training; and Lorenzato in discussions of educational materials. In the results, knowledge of evidence were identified (re)constructed through the exchange of experience with teachers and discussions among peers during in-person meetings and virtual learning environment room. As part of these discussions and reflections developed into an educational product from a proposal for continuing education based on the activities implemented in the face meetings, to be used in other formations on the teaching process and geometry learning in early education years key.
Figura 1 – Reprodução das capas dos oito volumes dos Cadernos do Pnaic – 2014
...30
Figura 2 – Carga horária da formação da Ufes ...32
Figura 3 – Carga horária da formação da Ufes (continuação)...33
Figura 4 – Níveis da Van Hiele ...42
Figura 5 – Capa do caderno 05 ...73
Figura 6 – Sumário do caderno 05 ...73
Figura 7 – Figura espacial x figura tridimensional ...74
Figura 8 – Atividade de identificação de triângulos ...78
Figura 9 – Que segmentos formam um triângulo (1)? ...81
Figura 10 – Que segmentos formam um triângulo (2)? ...81
Figura 11 – Professores participando de um dos encontros ...88
Figura 12 – Comentário do fórum de discussão sobre o vídeo 1 ...92
Figura 13 – Comentário do fórum de discussão sobre o vídeo 2 ...93
Figura 14 – Mestranda contando história para as professoras...94
Figura 15 – Professoras estudando os Direitos de Aprendizagem ...95
Figura 16 – Professoras agrupando sólidos geométricos...96
Figura 17 – Registro de uma professora (1) ...98
Figura 18 – Registro de uma professora (2) ...98
Figura 19 – Professoras participando da oficina ... 100
Figura 20 – Prisma de base triangular construído por professoras ... 100
Figura 21 – Professora realizando atividade investigativa com a laranja ... 102
Figura 22 – Professora desenhando figuras geométricas ... 103
Figura 23 – Professoras realizando atividade com malha quadriculada ... 103
Figura 24 – Trabalho da professora Ana ... 105
Figura 25 – Trabalho da professora Vanessa ... 105
Figura 26 – Professoras realizando atividades com o geoplano ... 106
Figura 27 – Atividades do 3.º módulo ... 108
Figura 28 – Trabalho de uma professora ... 109
Figura 29 – Professora realizando atividade de reflexão ... 109
Figura 33 – Professora analisando o sólido escolhido ... 118
Figura 34 – Professoras realizando atividade de separação de sólidos no 1.º encontro ... 123
Figura 35 – Professoras repetindo a atividade no 2.º encontro ... 123
Figura 36 – Professoras investigando sobre a planificação da esfera ... 128
Figura 37 – Professora tentando deixar a casca plana ... 129
Figura 38 – Tentativa de montar a laranja com a casca ... 130
Figura 39 – Atividade com malha quadriculada ... 134
Figura 40 – Malha quadriculada de uma professora ... 134
Figura 41 – Exemplo de retas no plano ... 135
Figura 42 – Exemplo de retas no plano (1) ... 136
Figura 43 – Exemplos de triângulos ... 138
Figura 44 – Professora mostrando a existência de um ângulo... 140
Figura 45 – Professora mostrando um ângulo (1) ... 140
Figura 46 – Professora mostrando um ângulo (2) ... 140
Figura 47 – Exemplo de triângulo (2) ... 144
Figura 48 – Mapa conceitual 1 ... 147
Figura 49 – Mapa conceitual 2 ... 147
Figura 50 – Professora verificando se o sólido rola ... 149
Figura 51 – Exemplo de sólido com superfícies planas e curvas ... 150
Figura 52 – Comentário do questionário sobre transformações geométricas ... 155
Figura 53 – Comentário do questionário sobre transformações geométricas (1) .... 155
Figura 54 – Desenho do cubo na malha quadriculada ... 158
Figura 55 – Comentário do questionário sobre o vídeo 1 ... 159
Figura 56 – Comentário do fórum de discussão Materiais sobre sólidos geométricos ... 160
Figura 57 – Atividade realizada por Ana... 162
Figura 58 – Professora praticando o que aprendeu na oficina ... 162
Figura 59 – Turma de Ana realizando atividade de geometria ... 163
Figura 60 – Comentário do fórum de discussão Materiais sobre sólidos geométricos (1) ... 172
Figura 63 – Comentário do fórum de discussão vídeo 2, postado no ambiente virtual ... 183 Figura 64 – Trabalhos realizados pela turma de Zilda ... 185 Figura 65 – Comentário do questionário sobre transformações geométricas (2) .... 190
Quadro 1 – Carga horária da formação do Pnaic – 2014 ...31
Quadro 2 – Encontros do Pnaic acompanhados ...62
Quadro 3 – Síntese dos encontros de formação continuada...89
Quadro 4 – Síntese das atividades do AVA ...91
Quadro 5 – 1.º módulo do AVA (04/07 a 13/07) ...95
Quadro 6 – 2.º módulo do AVA (14/07 a 21/07) ... 100
Quadro 7 – 3.º módulo do AVA (22/07 a 09/08) ... 103
Quadro 8 – 4.º módulo do AVA (10/08 a 23/08) ... 107
AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem Cefoco – Centro de Formação Continuada
Educimat – Programa de Pós-Graduação em Educação, Ciências e Matemática EPM – Estudantes para Professor de Matemática
Gaief – Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental
Geem-ES – Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo Grupem – Grupo de Pesquisas em Práticas Pedagógicas em Matemática LDBEN – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
LEM – Laboratório de Ensino de Matemática MEC – Ministério da Educação
Nepales – Núcleo de Estudos e Pesquisas em Alfabetização, Leitura e Escrita do Espírito Santo
PCNs – Parâmetros Curriculares Nacionais
Pnaic – Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa PPGE – Programa de Pós-Graduação em Educação Seme – Secretaria Municipal de Educação de Vitória SRE – Superintendência Regional de Educação Ufes – Universidade Federal do Espírito Santo UnB – Universidade de Brasília
1 INTRODUÇÃO... 18
1.1 PROBLEMÁTICA... 23
1.2 O PNAIC... 29
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA... 35
1.4 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO... 36
2 COMPREENDENDO A CONSTRUÇÃO DOS APORTES TEÓRICOS... 38
2.1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO... 38
2.1.1 Os níveis de Van Hiele... 39
2.1.2 Pesquisas contemporâneas em educação utilizando o modelo Van Hiele... 43
2.2 CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS E PEDAGÓGICOS MATEMÁTICOS DE PROFESSORES... 47
2.3 GEOMETRIA E A FORMAÇÃO DE PROFESSORES... 52
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS... 60
3.1 A PESQUISA... 60
3.1.1 O curso de extensão... 64
3.2 O AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM... 65
3.3 OS PARTICIPANTES DA PESQUISA... 66
3.4 MATERIAIS E MÉTODOS... 68
3.5 ORGANIZAÇÕES DO TRABALHO COM O GRUPO DE PROFESSORAS... 71
3.5.1 Equipe coordenadora do curso... 71
3.5.2 O grupo de estudo... 71
3.5.3 Partilhando o conhecimento com o grupo de estudo... 72
4 ANÁLISE DO CADERNO DE GEOMETRIA E SUA RELAÇÃO COM OS ENCONTROS DE FORMAÇÃO CONTINUADA... 73
4.1 ANÁLISE DO CADERNO E A ORGANIZAÇÃO DO CURSO. APONTAMENTOS PARA A FORMAÇÃO EM GEOMETRIA... 83
5 DESCRIÇÃO DOS ENCONTROS DE FORMAÇÃO CONTINUADA... 87
5.1 ATIVIDADES DO AVA... 91
7 ANÁLISE DAS REFLEXÕES SOBRE A FORMAÇÃO CONTINUADA... 187
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 192
9 PRODUTO EDUCACIONAL... 199
REFERÊNCIAS... 201
ANEXOS... 206
ANEXO A – Carta de apresentação do projeto de pesquisa... 207
ANEXO B – Autorização da coordenadora geral da formação do Pnaic no ES... 208
ANEXO C – Autorização do coordenador adjunto da formação do Pnaic no ES... 209
ANEXO D – Modelo do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido... 210
ANEXO E – Modelo do Termo de Cessão de Imagem e Voz... 212
ANEXO F – Material sobre os Direitos de Aprendizagem de matemática.... 213
APÊNDICES... 216
APÊNDICE A – Material sobre classificação dos quadriláteros... 217
1 INTRODUÇÃO
Esta dissertação explora a temática formação de professores e apresenta resultados de investigação em formação continuada voltada para os anos iniciais do ensino fundamental. Especificamente concentramos1 atenção no conteúdo de geometria e buscamos compreender de que forma podemos contribuir para a (re)construção de conceitos geométricos de professores dos anos iniciais. Inicialmente faremos uma descrição da minha trajetória profissional, mostrando ações que motivaram explorar tal temática.
Sou formada em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo (Ufes) em 2004, com atuação docente nos níveis de ensino fundamental e médio, adquirindo maior experiência em escolas públicas das redes municipal e estadual. Ainda na graduação, sempre tive um interesse pelo estudo da geometria. Por meio do livro ―Geometria na Era da Imagem e do Movimento‖, desenvolvido pelo Projeto Fundão/UFRJ, conheci o modelo Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico. Segundo Nasser e Sant‘anna (2010, p. 6), o modelo sugere que os alunos progridem segundo uma sequência de níveis de compreensão de conceitos enquanto eles aprendem geometria. ―Esta pode ser uma explicação para as dificuldades apresentadas pelos alunos, quando são engajados num curso sistemático de geometria, sem a necessária vivência prévia de experiências nos níveis anteriores‖ (NASSER; SANT‘ANNA, 2010, p. 6). A partir daí, passei a aplicar algumas atividades do livro em minhas aulas, fundamentadas pela proposta didática do modelo Van Hiele.
Em 2005, trabalhei como professora de matemática da rede municipal de Vitória, atuando nos anos finais do ensino fundamental. Durante um curso de formação de professores oferecido pela rede e coordenado pela professora Sandra Aparecida Fraga da Silva, o modelo Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico
1
Durante a escrita, em alguns momentos utilizo a primeira pessoa do plural, pois trato das minhas discussões e de minhas orientadoras. Em outros momentos, utilizo a primeira pessoa do singular, pois me refiro à minha experiência. Nos capítulos 5, 6 e 7, que tratam das análises, as discussões referentes às interferências da equipe coordenadora do curso voltam a ser escritas na primeira pessoa do plural.
foi abordado. Fiquei surpresa em recordar o modelo e me lembrei do período da graduação. Novamente apliquei atividades fundamentadas pela proposta didática do referido modelo em sala de aula, constatando que a aprendizagem dos alunos era bem mais satisfatória.
Em 2008, fui aprovada no concurso público da rede estadual do Espírito Santo. Tornei-me então professora de matemática efetiva da EEEFM Geraldo Costa Alves, no município de Vila Velha, atuando com turmas do ensino médio. Nessa escola, trabalhei até 2013, o que me proporcionou conhecer melhor os alunos e a comunidade escolar em que estava inserida. O fato de permanecer no mesmo local por cinco anos consecutivos me estimulou a desenvolver trabalhos com o objetivo de melhorar o aprendizado dos alunos em vários conteúdos de matemática. Muitos desses trabalhos desenvolvidos estiveram voltados para a geometria.
Entre setembro de 2012 e junho de 2013, participei, no Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes), do Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo (Geem-ES) organizado pelas professoras doutoras Sandra Aparecida Fraga da Silva e Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner. O grupo é formado por professores de todos os níveis de ensino, o que me levou a ter contato com professores dos anos iniciais, trazendo um enriquecimento para a minha prática pedagógica. Nesse grupo encontrei um espaço para novamente discutir, entre outros temas, o ensino da geometria. Fui incentivada a fazer o curso ―Ensinando Matemática com o Geogebra‖, promovido pela Universidade Estadual Paulista (Unesp/Rio Claro) e realizado na modalidade a distância, o qual fiz durante quatro meses. Em seguida, desenvolvi um trabalho com alunos do ensino médio, envolvendo o estudo de plano cartesiano e áreas de figuras planas com o software Geogebra. Nos encontros do Geem-ES, também tive a oportunidade de participar de estudos com livros do Projeto Fundão/RJ, visto que a professora Vânia é uma das fundadoras desse projeto. Durante esses estudos, conheci outros livros que dão ênfase à geometria e que serviram para auxiliar minha prática em sala de aula.
Na metade de 2013, fui convidada a integrar o grupo dos técnicos pedagógicos do ensino fundamental, da Superintendência Regional de Educação (SRE) Carapina, e aceitei. Até então, minha experiência esteve voltada para a sala de aula nos anos finais do ensino fundamental e ensino médio. Em virtude da minha função na SRE, passei a desempenhar outras ações, entre as quais as visitas de assessoramento pedagógico às escolas estaduais, o acompanhamento de projetos pedagógicos e o trabalho com formação de professores. A realização do assessoramento pedagógico me propiciou conhecer boa parte das escolas vinculadas a essa SRE e manter um contato mais próximo com professores, pedagogos e diretores. Entre as escolas visitadas, conheci algumas que possuem os anos iniciais do ensino fundamental e conheci professores que lecionam a essas turmas. Isso me trouxe conhecimento de algumas características desse nível de ensino, como a carga horária, a distribuição das disciplinas, a quantidade necessária de professores, além do perfil desses profissionais. As experiências relatadas foram primordiais para meu crescimento profissional e me fizeram ver que atuar na educação envolve muito mais que o conhecimento da sala de aula.
Entre as funções descritas, destaco o trabalho nas formações do Multicurso Matemática e do Plano de Correção de Fluxo/ Ensinar e Aprender.2 Tais práticas me proporcionaram vivenciar experiências de formação de professores, fazendo-me refletir mais sobre o papel da formação continuada e quanto os cursos, os encontros, os seminários e as palestras agregavam para a transformação da prática pedagógica do professor.
Também tive a oportunidade de acompanhar alguns grupos de formação de professores envolvidos no Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (Pnaic). Regulamentado pela Portaria n.º 867, de 4 de julho de 2012, que explicita vários eixos de ações articuladas do pacto, visa alcançar a plena alfabetização das
2
O Multicurso Matemática (2008-2013) foi um programa de formação continuada para professores de matemática dos ensinos fundamental e médio. O Plano de Correção de Fluxo / Ensinar e Aprender (2013-2014) foi um programa que teve por objetivo corrigir a distorção idade-série dos alunos do ensino fundamental. Uma de suas ações foi oferecer formação continuada para os professores envolvidos. Ambos os programas tiveram parceria com a Secretaria de Estado da Educação do Espírito Santo (Sedu).
crianças até os oito anos de idade. Entre suas ações, estão previstos o fornecimento de material didático, o acervo de obras complementares para a sala de aula e a formação continuada de professores. Algumas formações desse programa aconteceram no auditório da SRE Carapina, o que me levou a conhecê-lo mais de perto.
Essas experiências me aproximaram de práticas dos anos iniciais, o que despertou a minha vontade de realizar uma pesquisa voltada para a formação de professores que ensinam matemática nesse nível de ensino. Segundo Nacarato, Mengali e Passos (2009, p. 9), há muito a dizer sobre práticas de sala, além de narrá-las, e sobre a formação dos profissionais que atuam no ensino fundamental I. Em seu livro, as autoras trazem algumas reflexões sobre a formação inicial desses professores e afirmam que, muitas vezes, ela esteve centrada em processos metodológicos, desconsiderando os fundamentos da matemática. Isso implicou uma formação com muitas lacunas conceituais nessa área do conhecimento (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2009). Ainda para as autoras, esse fato justifica que muitos mantêm suas aulas de matemática com as mesmas abordagens de décadas anteriores: ênfase em cálculos e algoritmos desprovidos de compreensão e de significado para os alunos; foco na aritmética, desconsiderando outros campos da matemática, como a geometria e estatística.
No contexto de necessidade de formações continuadas com ênfase nos anos iniciais, temos o Pnaic, que oferece formação continuada de professores para os anos iniciais e aprofundou, em 2014, discussões sobre a área da matemática. Considerando que tal formação abordou vários conteúdos dessa área e que analisá-los todos seria muito difícil devido ao tempo necessário para cada um, escolhemos, com base em minha trajetória profissional, o conteúdo de geometria, que consta no caderno3 05 do Pnaic. Portanto, nosso foco de investigação centrou-se em geometria e formação continuada de professores dos anos iniciais.
3
Estudos mostram que, no Brasil, o ensino de geometria ficou esquecido por algum tempo nos guias curriculares, nos livros didáticos e nos cursos de formação de professores. Com isso, muitos educadores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para seu trabalho em sala de aula (PAVANELLO, 1993; LORENZATO, 1993). Segundo os autores, o ensino de matemática tem apresentado, nos currículos do Brasil, características formais apoiadas no rigor lógico e no método dedutivo, priorizando o ensino da álgebra. Entretanto, nos últimos anos, observamos uma tendência de revalorização do ensino da geometria nos programas oficiais de matemática. De acordo com Fraga (2004):
O ensino da geometria vem ganhando destaque nos PCN‘s, eles representam importante aquisição de habilidades por parte dos alunos. Tanto ao nível de ensino fundamental como de ensino médio aborda-se a necessidade da geometria estar presente na educação escolar. Até os livros didáticos se adaptam a essa nova exigência, porém na prática não temos a certeza de que esse conteúdo vem sendo ministrado de maneira a atender os objetivos (FRAGA, 2004, p. 41).
Com base nessa citação, destacamos a importância do processo de ensino e aprendizagem em geometria no ensino fundamental, chamando a atenção para a maneira como este vem sendo ministrado nos anos iniciais. Entendemos que esse fato esteja diretamente relacionado ao conhecimento do professor. Nessa perspectiva é que se desenvolve a pesquisa em questão, que tem por foco investigar conhecimentos geométricos de professores dos anos iniciais. Como ponto de partida, temos a formação do Pnaic, que aponta indícios de como está acontecendo uma formação continuada em nível nacional nesse contexto, ressaltando o modo pelo qual os professores estão discutindo conceitos referentes à geometria.
Como o Pnaic é uma das poucas ações que têm investido na formação em massa dos professores dos anos iniciais, constitui um campo aberto de pesquisas, para compreender repercussões dessas ações no contexto de ensino. Assim, desenvolver pesquisas relacionadas a políticas públicas de formação continuada contribui para a reflexão de ações políticas que estão inseridas na educação brasileira, especialmente na educação matemática. Dessa forma, julgamos importante realizar uma pesquisa que teve como ponto de partida políticas públicas e envolve formação continuada de professores que ensinam matemática nos anos
iniciais. Investir em pesquisa com esse foco pode oferecer dados que apontem a compreensão de repercussões de políticas públicas de formação continuada.
1.1 PROBLEMÁTICA
Nesta seção trazemos um resgate histórico de formações de professores realizadas no estado do Espírito Santo, voltadas para os anos iniciais do ensino fundamental. Falamos um pouco sobre as últimas formações que ocorreram nesse contexto até chegar ao Pnaic, explicando a maneira pela qual se constituíram e os conteúdos que tiveram mais ênfase. Entre as últimas formações realizadas, encontramos formações do programa Pró-letramento, do projeto de extensão Alfabetização: teoria e prática, e do projeto Trilhas. Fazemos uma breve descrição de cada uma delas, a fim de compreender melhor o movimento que vem acontecendo no campo da formação de professores que atuam nos anos iniciais no nosso Estado.
O Pró-letramento foi um programa de formação continuada para a melhoria da qualidade de aprendizagem da leitura/escrita e matemática nos anos iniciais do ensino fundamental.4 Lançado em março de 2005, foi desenvolvido pelo Ministério da Educação (MEC), em parceria com os sistemas de ensino e com as universidades formadoras (MEC, 2012). Segundo informações contidas no portal do MEC, as universidades envolvidas no programa
[...] são responsáveis pelo desenvolvimento e produção dos materiais institucionais para os cursos, pela formação e orientação dos orientadores/tutores, pela coordenação dos seminários previstos e pela certificação dos professores cursistas (MEC, 2012).
Pesquisando o Guia Geral do Pró-letramento (2012), percebemos que o programa funcionou no sistema de adesão dos estados e municípios. Com relação à organização da formação continuada, de acordo com o guia, foram oferecidos cursos para os professores dos anos iniciais das redes públicas de ensino, na modalidade semipresencial, contando com uma carga horária de 120 horas, nas áreas de alfabetização/linguagem e matemática. Os cursos foram acompanhados
4
por professores orientadores, também chamados de tutores. Os tutores foram profissionais que receberam formação e materiais para trabalhar com os professores cursistas. A formação dos orientadores teve duração de 180h, das quais 40 ficaram reservadas para uma formação inicial obrigatória, na forma de seminário, realizado em cinco dias de encontros. Essa formação teve o objetivo de habilitar os orientadores para a formação dos professores cursistas nos respectivos grupos de estudo. Durante o curso, foram realizados seminários promovidos pelas universidades, cuja finalidade era acompanhar o trabalho realizado pelos orientadores com os professores cursistas, esclarecendo dúvidas quanto aos cursos ministrados e retomando as discussões dos encontros anteriores (MEC, 2012). Ainda aconteceu um seminário de avaliação final, no qual os orientadores de estudos apresentaram os trabalhos realizados e entregaram os relatórios finais dos cursos ministrados. De acordo com o Guia Geral do Pró-letramento (2012), a organização do programa, citando todos os atores envolvidos, é a descrita a seguir.
Coordenador Geral do Programa: deve ser profissional vinculado à
Universidade parceira, responsável pela implementação do Programa;
Formador de Professor Tutor: preferencialmente, ser vinculado à
Universidade parceira, é responsável pela formação dos tutores.
Coordenador Administrativo do Programa: deve ser um profissional da
Secretaria de Educação, responsável pela organização do Programa no município e pela articulação entre a Universidade e a Secretaria de Educação;
Professor Orientador de Estudos/Tutor: deve ser professor efetivo do
município, que recebe a formação das Universidades e trabalha com, no máximo, duas turmas. Sua indicação é feita pela Secretaria de Educação e deverá ser pautada em sua experiência profissional e formação acadêmica. Este ator é peça-chave no projeto, pois ele será o articulador entre as Universidades e os cursistas.
Professor Cursista: deve ser professor das séries/anos iniciais do ensino
fundamental (1ª a 4ª série ou 1º ao 5º ano), que esteja atuando em sala de aula e que tenha se inscrito no curso (MEC, 2012, p. 2).
Assim, conforme vimos, para que o programa obtivesse os efeitos esperados, era preciso que todos os atores se envolvessem na proposta do programa e cumprissem rigorosamente suas obrigações.
Sobre o desenvolvimento do programa no estado do Espírito Santo, encontramos o trabalho de Antunes (2015), que realizou uma pesquisa aprofundada nesse assunto,
apresentando dados importantes para o nosso resgate histórico das formações de professores realizadas no estado do Espírito Santo, voltadas para os anos iniciais do ensino fundamental. Segundo informa a autora, o programa teve início em 2008, contando com a adesão de 77 municípios, 218 tutores e possuindo um total de 10.646 professores cursistas inscritos. O Centro de Formação Continuada (Cefoco), pertencente à Universidade Federal do Espírito Santo, ficou responsável por coordenar o programa.
Antunes (2015) nos conta que, em 2010, o número de adesões do programa no Espírito Santo caiu para 67 municípios e 182 tutores, possuindo um total de 6.438 professores que estavam frequentando o curso. De acordo com a autora, em nosso estado o Pró-letramento permaneceu até 2012, possuindo quase quatro anos de existência, quando começou a ser pensado um novo programa de formação de professores, o Pnaic, instituído pela Portaria n.º 867, de 4 de julho de 2012 (BRASIL, 2012). No estado do Espírito Santo, o programa Pró-letramento se encerrou com um total de 1.914 professores formados.
Compreendemos, assim, que o Pró-letramento foi um programa federal e teve abrangência relativamente significativa em nosso estado. Para nossa pesquisa, interessa-nos o fato de parte dos conteúdos presentes no programa estar voltada para a matemática, o que, nesse ponto, se assemelha com o programa Pnaic. Mais adiante observamos que, em outras formações, o conteúdo de matemática não foi contemplado.
O projeto de extensão Alfabetização: teoria e prática fez parte de um convênio celebrado entre a Sedu e a Ufes.5 O objetivo do projeto foi proporcionar reflexões teórico-metodológicas por meio de textos voltados para a alfabetização e linguagem, visando discutir o trabalho dos professores dos anos iniciais do ensino fundamental no período de outubro de 2008 a setembro de 2009. O Núcleo de Estudos e Pesquisas em Alfabetização, Leitura e Escrita do Espírito Santo (Nepales), órgão do
5
Estes dados foram obtidos do Relatório Final do Projeto de Extensão Alfabetização Teoria e Prática, cedido pelo Nepales.
Centro de Educação da Ufes, ficou responsável pelo desenvolvimento do projeto. Para isso, disponibilizou uma equipe com 14 professores-formadores responsáveis pela execução do trabalho de formação nos polos. Os formadores eram professores alfabetizadores e pesquisadores, vinculados ao Nepales e/ou à linha de pesquisa Educação e Linguagens do Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE/Ufes). A Sedu contribuiu com o processo de formação disponibilizando tanto técnicos das SREs quanto pedagogos, para estarem presentes às reuniões com os professores cursistas, acompanhando a execução do projeto.
Entre as ações do projeto, destacamos momentos de discussões nos encontros presenciais com os professores cursistas, elaboração de atividades para serem realizadas nas salas de aula onde os professores cursistas atuavam e a discussão de resultados de aplicações dessas atividades. Nos documentos pesquisados, observamos ainda a realização de oficinas de leitura e de escrita, bem como atividades não presenciais. Foi utilizado o material intitulado Alfabetização: teoria e prática, especialmente elaborado pelas professoras doutoras Cláudia Maria Mendes Gontijo e Cleonara Maria Schwartz, para subsidiar a formação.
O curso envolveu 2.053 professores cursistas, distribuídos em dez polos de formação localizados nas cidades de Vila Velha, Cariacica, Serra, Linhares, São Mateus, Nova Venécia, Colatina, Cachoeiro, Guaçuí e Afonso Claudio, nos quais funcionaram 60 turmas ao todo. As atividades foram desenvolvidas no período noturno, às sextas-feiras, ou aos sábados, nos períodos matutino ou vespertino. A divisão das localidades por polos observou os critérios de distanciamento e de maior número de professores.
Diante do exposto, percebemos que o projeto Alfabetização: teoria e prática foi um projeto de extensão da Ufes em parceria com a Sedu. Com relação à participação de professores dos anos iniciais, observamos também que esta se deu de forma bem ampla, especificamente de professores que trabalhavam em escolas da rede estadual de educação. Observamos nessa formação que as discussões estiveram voltadas somente para os conteúdos de alfabetização e linguagem, priorizando o desenvolvimento da leitura e escrita nos anos iniciais do ensino fundamental. Isso
mostra que o conteúdo de matemática nem sempre esteve presente às ações de formação continuada para professores dos anos iniciais.
Dando continuidade ao nosso estudo, deparamos o projeto Trilhas. De acordo com informações contidas em seu portal eletrônico, o projeto se caracterizou pela distribuição de materiais na forma de cadernos de orientação do professor, jogos educativos, cartelas para atividades, além de títulos literários. O material que compõe o projeto Trilhas, elaborado pela Comunidade Educativa Cedac6 em parceria com o Instituto Natura e com o MEC, explicita o projeto:
É um conjunto de materiais elaborados para instrumentalizar e apoiar o trabalho docente no campo da leitura, escrita e oralidade, com o objetivo de inserir as crianças do primeiro ano do Ensino Fundamental em um universo letrado (PORTAL TRILHAS, 2009).
O trabalho realizado por Costa (2014) traz uma análise do material impresso que integrou o projeto Trilhas, na intenção de contribuir para a formação de professores alfabetizadores e a alfabetização infantil. ―[...] os impressos que compõem o conjunto do projeto Trilhas não se constituem como livros didáticos; eles se configuram como propostas de atividades fixadas em cadernos de orientações ao professor alfabetizador‖ (COSTA, 2014, p. 21). E acrescenta:
Essa característica, a meu ver, é proposital, pois, para os sujeitos-autores, a finalidade é o desenvolvimento das atividades de acordo com o roteiro estabelecido, isto é, não têm a pretensão de dialogar com os sujeitos que darão sentidos aos impressos (COSTA, 2014, p. 21-22).
O autor ainda cita que, nas últimas décadas, compromissos, projetos, programas e pactos foram propostos pelo MEC na tentativa de garantir um direito político, social, cultural, histórico, material e discursivo: a melhoria da qualidade da educação básica. Por meio do art. 2.º, II, do Decreto n.º 6.094, de 24 de abril de 2007, que trata do Plano de Metas Compromisso Todos pela Educação: ―[…] alfabetizar as crianças até, no máximo, os oitos anos de idade, aferindo os resultados por exame periódico específico […]‖ (BRASIL, 2007), compreende-se que o Pró-letramento, o projeto Trilhas e o Pnaic são políticas claras desse discurso que está em pauta
6
A Comunidade Educativa Cedac é uma organização não governamental que começou a trabalhar pela educação pública em 1997, com a atuação na formação de professores do ensino fundamental I na área de Língua Portuguesa. Disponível em: <http://www.comunidadeeducativa.org.br/sobre-nos>. Acesso em: 10 fev. 2015.
(GONTIJO, 2013; COSTA, 2014). Destacamos que não cabe, em nossa pesquisa, aprofundar-nos sobre as questões relacionadas com a alfabetização infantil e com os seus possíveis desdobramentos, mas nos interessa assinalar que políticas públicas voltadas para a formação de professores envolvidos na alfabetização de crianças até os oito anos de idade têm implicações no modo como as propostas pedagógicas são definidas.
Com relação à implementação do projeto Trilhas nas escolas da rede estadual do Espírito Santo, fizemos alguns questionamentos a profissionais da SRE Carapina que atuaram diretamente no projeto. Nessa busca, descobrimos que, nessa rede de ensino, o projeto Trilhas ocorreu em 2012 e 2013. Para apresentar o projeto, em 2012 foi realizado um encontro no auditório da SRE com professores dos anos iniciais do ensino fundamental, vinculados a essa superintendência, a fim de explicar a proposta. Em seguida, o material foi distribuído para as escolas, as quais foram auxiliadas na implementação e no incentivo ao bom uso dos materiais pelos professores alfabetizadores. Em 2013, o foco passou do incentivo do uso dos materiais do projeto Trilhas ao propósito de fortalecer o acesso à literatura nas escolas e qualificar o ensino da leitura, escrita e oralidade.
Isso nos leva a perceber que esse projeto se referiu à distribuição de materiais para o auxílio do trabalho em sala de aula de professores dos anos iniciais. Outra observação importante é que, novamente nesse projeto, o conteúdo de matemática não foi contemplado, já que a ênfase do material esteve voltada para os conteúdos de alfabetização e linguagem.
Analisando o programa Pró-letramento, o projeto Alfabetização: teoria e prática e o projeto Trilhas, na forma como se constituíram, observamos que projetos com ações voltadas para os anos iniciais do ensino fundamental priorizam conteúdos de alfabetização e linguagem. Durante a palestra ―A matemática no ciclo de alfabetização: desafios frente ao material do Pacto‖, Nacarato7
afirmou que,
7
Palestra proferida por Adair Mendes Nacarato no 2.º Seminário Capixaba do Pnaic, Vitória, 12 fev. 2015.
geralmente nesses programas, é dada muita ênfase à linguagem. Acrescentou que, com o pacto, pelo menos durante um ano, parou para discutir a matemática. Concordamos com Nacarato, pois, a partir de um breve histórico das formações de professores realizadas em nosso Estado, encontramos formações em que suas discussões estiveram somente voltadas para conteúdos de linguagem. Tendo como objetivo contribuir para a (re)construção de conceitos geométricos de professores dos anos iniciais, com base nessa constatação, reforçamos a necessidade de investir em formações continuadas voltadas para o ensino da matemática, especialmente para o ensino de geometria, nos anos iniciais do ensino fundamental.
1.2 O PNAIC
Desde o fim do século XX, a expansão da oferta de programas ou cursos de formação continuada se deu exponencialmente (GATTI, 2008). O art. 67 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), Lei n.º 9.394/96, estipula que os sistemas de ensino deverão promover a valorização de profissionais da educação. Em seu inciso II, traz o aperfeiçoamento profissional continuado como uma obrigação dos poderes públicos. Já nas disposições transitórias, no art. 87, § 3.º, inciso III, fica explicitado o dever de cada município de ―[...] realizar programas de capacitação para todos os professores em exercício, utilizando também, para isto, os recursos da educação a distância‖. No que diz respeito à educação profissional de modo geral, a lei considera a educação continuada como uma das estratégias de formação para o trabalho (art. 40). Segundo Gatti (2008), essa lei veio provocar especialmente os poderes públicos quanto a essa formação, trazendo um período de debates sobre a questão da importância da formação continuada. Isso nos leva a compreender que o Pnaic pode ser consequência desse movimento, já que uma de suas ações é desenvolver formação continuada.
O Pnaic é um compromisso formal assumido pelos governos federal, do Distrito Federal, dos estados e municípios de assegurar que todas as crianças estejam
alfabetizadas até os oito anos de idade, ao final do 3.º ano do ensino fundamental.8 Ao aderir ao Pnaic, os entes governamentais se comprometem a alfabetizar todas as crianças em Língua Portuguesa e Matemática.
O programa vem oferecendo, desde 2013, formação presencial para professores alfabetizadores, com estudos e atividades práticas. Em 2013, a ênfase esteve voltada para os conteúdos de Língua Portuguesa e, em 2014, para os de Matemática. Para auxiliar esse trabalho, os cursos de português e de matemática estiveram organizados em cadernos de formação. Na figura 1, mostram-se os oito cadernos nos quais ficou distribuído o curso de matemática.
Figura 1 – Reprodução das capas dos oito volumes dos Cadernos do Pnaic – 2014
Fonte: Brasil, 2014.
Esses cadernos deveriam ser trabalhados, em princípio, de acordo com a carga horária descrita no quadro 1:
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Quadro 1 – Carga horária da formação do Pnaic – 2014
Caderno Horas Título do caderno
01 08 Organização do Trabalho Pedagógico 02 08 Quantificação, Registros e Agrupamentos 03 12 Construção do Sistema de Numeração Decimal 04 12 Operações na Resolução de Problemas 05 12 Geometria 06 12 Grandezas e Medidas 07 08 Educação Estatística Fonte: Brasil, 2014.
Conforme o material citado, os oito cadernos teriam um período de dez meses para serem trabalhados com os professores, por meio de orientadores de estudo, os quais são professores das redes de ensino que fizeram uma formação específica, com aproximadamente 200 horas de duração por ano, distribuídas em cursos e seminários, ministrados por universidades públicas. No estado do Espírito Santo, essa formação foi coordenada pelo Nepales da Ufes. O núcleo teve a função de coordenar todo o processo de formação aos orientadores de estudo, a fim de que eles fossem capacitados para conduzir os encontros com os professores alfabetizadores. Em 2014, a formação do Pnaic teve início em março e possuiu vários conteúdos em seu programa. É importante destacar que, nesse ano, o conteúdo do curso não ficou distribuído somente em matemática, mas também em conteúdos de linguagem, por decisão do grupo responsável no estado. Nas figuras 2 e 3, apresenta-se o calendário dos encontros de formação dos orientadores de estudo, bem como os conteúdos discutidos ao longo de 2014.
Figura 2 – Carga horária da formação da Ufes
Figura 3 – Carga horária da formação da Ufes (continuação)
Considerando que o conteúdo de matemática esteve presente no programa do Pnaic em 2014 e que o conteúdo de geometria foi um dos temas do caderno de formação, encontramos um campo aberto para investigarmos conhecimentos geométricos de professores dos anos iniciais, em grupos de formação continuada. Porém, ao acompanharmos alguns desses grupos e conhecermos um pouco mais a demanda da formação, constatamos que o tempo destinado para trabalhar o conteúdo de geometria não foi suficiente para aprofundar os conceitos envolvidos.
Diante do exposto, percebemos o desafio de elaborar ações que contribuam para o desenvolvimento do pensamento geométrico de professores dos anos iniciais. Acreditamos que oferecer uma formação específica para esse assunto ajuda a ampliar o conhecimento geométrico desses professores que atuam nesse nível de ensino e que participaram do Pnaic.
Assim, tivemos o propósito de realizar um curso de extensão no Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) do Ifes, campus Vitória, visando ao aprofundamento de estudos em geometria. Promover cursos como forma de aprofundamento de estudos, nos moldes que organizamos, permite que os professores partilhem suas experiências, mostrando o que realizam e como contribuem para a aprendizagem dos seus alunos. O espaço do LEM se torna propício, visto que constitui um ambiente com diversos material didático voltado para o aprendizado de geometria. Para Lorenzato (2006, p. 29), ―[...] o uso do material didático planejado para atingir um determinado objetivo, frequentemente, possibilita a realização de observações, constatações, que, às vezes, não estavam previstas no planejamento do professor‖. Nesse sentido, consideramos importante a realização de um curso nesse laboratório, pois entendemos que representa um ambiente que auxilia o aprofundamento de estudos em geometria na formação continuada.
Realizar pesquisas sobre formação de professores que perpassa o processo de ensino e aprendizagem de geometria no estado do Espírito Santo amplia discussões sobre esse conteúdo nos anos iniciais. O processo de investigação ocasionará a formação de docentes mediante reflexões sobre suas práticas, possibilitando aprendizagens docentes e podendo proporcionar benefícios no aprendizado de
alunos dos anos iniciais de escolas do estado do Espírito Santo, nas quais os participantes atuam.
Nossa intenção foi elaborar um material sobre geometria para os anos iniciais, com base nas discussões observadas no curso e relatos de professores sobre atividades realizadas com seus alunos. Com isso, valorizamos a ação do professor que está em sala de aula e construímos a compreensão de que ele é agente social criativo, interativo e produtor de teorias (IBIAPINA, 2008). A autora acrescenta:
Convocar os docentes para participar de projetos de pesquisa que visam a co-construção de determinado objeto de conhecimento é, também, fazê-lo vivenciar o processo de formação sobre o aspecto da prática profissional que eles consideram como problemático (IBIAPINA, 2008, p. 20).
A utilização do LEM como espaço para a realização de um curso, na forma de projetos de extensão, possibilitou a construção do referido material. A partir de então, surge a seguinte pergunta de pesquisa: Como as (re)construções de conhecimentos geométricos e conhecimentos pedagógicos de professoras dos anos iniciais podem ser exploradas em formação continuada?
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA
O objetivo geral desta pesquisa é analisar (re)construções de conhecimentos geométricos e conhecimentos pedagógicos de professoras dos anos iniciais a partir de uma proposta de formação continuada.
Como objetivos específicos, temos:
Organizar uma proposta de formação de professores para o ensino de geometria nos anos iniciais.
Investigar conhecimentos matemáticos e pedagógicos matemáticos de geometria explicitados pelas professoras durante os encontros de formação continuada no Ifes.
Relacionar a proposta metodológica da formação continuada com a (re)construção de conhecimentos geométricos e conhecimentos pedagógicos apontada pelas professoras.
1.4 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
O trabalho foi organizado em capítulos. O primeiro trata de minha trajetória profissional e da opção pelo tema escolhido. Nesta seção, ainda são apresentadas a identificação do problema e a definição dos objetivos a serem alcançados.
No segundo capítulo, apresentamos as bases teóricas que fundamentam as discussões desta pesquisa, seguidas de uma revisão de literatura. Nos aportes teóricos, discutimos sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico tendo por cenário o modelo Van Hiele e as reflexões sobre os conhecimentos docentes, usando os pressupostos teóricos de Shulman. Como revisão de literatura, trazemos uma exploração levantada sobre o ensino da geometria e a formação de professores que justificam nosso estudo.
No terceiro capítulo, tratamos das questões envolvidas na construção desta pesquisa, ao longo do processo. Para isso, apresentamos primeiramente suas características e, logo após, expusemos os procedimentos metodológicos que foram utilizados, apontando os instrumentos para obtenção de dados, os sujeitos e os locais da investigação.
No quarto capítulo, fazemos um estudo do caderno do Pnaic e sua relação com os encontros de formação continuada acompanhados em 2014. Neste capítulo começamos a apresentar nossas análises relacionadas aos encontros acompanhados e como estas serviram de base para pensarmos em nossa proposta de formação continuada.
No quinto capítulo, apresentamos a descrição dos encontros de formação continuada, momento em que a nossa proposta de formação ganhou vida por meio de um curso de extensão, em 2015. Neste capítulo, também fazemos uma descrição
das atividades realizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), que fizeram parte do curso ofertado, na modalidade semipresencial.
No sexto capítulo, apresentamos a análise descritiva das aprendizagens evidenciadas no curso por algumas professoras participantes. Essas descrições estão ligadas a aprendizagens evidenciadas no grupo, observadas durante as discussões nos encontros de formação continuada, e a aprendizagens individuais, constatadas principalmente por meio dos relatos apresentados no grupo.
No sétimo capítulo, expusemos uma análise mais detalhada sobre as reflexões da formação continuada, comparamos alguns dados da nossa formação ofertada com dados da formação do Pnaic. Nos capítulos 8 e 9, respectivamente, apresentamos as considerações finais referentes ao trabalho desenvolvido e o produto final que resultou desta pesquisa.
Durante a escrita, em alguns momentos utilizo a primeira pessoa do plural, pois me refiro às discussões minhas e de minhas orientadoras. Em outros momentos, utilizo a primeira pessoa do singular, pois me refiro à minha experiência. Nos capítulos 5, 6 e 7, que tratam das análises, as discussões referentes às interferências da equipe coordenadora do curso voltam a ser escritas na primeira pessoa do plural.
2 COMPREENDENDO A CONSTRUÇÃO DOS APORTES TEÓRICOS
Neste capítulo, apresentamos nosso levantamento bibliográfico, seguido de uma revisão de literatura. No levantamento bibliográfico, estão os autores cujas bases teóricas fundamentam as discussões desta pesquisa, os quais têm muito a contribuir, uma vez que trabalharam e desenvolveram estudos sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico e sobre os conhecimentos docentes. Como revisão de literatura, trazemos uma exploração sobre o ensino de geometria e a formação de professores, identificando pontos em que esses temas se relacionavam com conhecimentos geométricos e conhecimentos pedagógicos.
Na primeira seção, apresentamos a ideia de desenvolvimento do pensamento geométrico, tomando o modelo Van Hiele como fundamentação teórica, bem como a importância da visualização. Detalhamos, a seguir, sobre esse modelo, justificando a importância dele para o nosso trabalho.
2.1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
Segundo Nasser e Tinoco (2011), os professores holandeses Pierre Van Hiele e Dina Van Hiele-Geoldof, na década de 50, perceberam que seus alunos tinham dificuldades em resolver tarefas de geometria, enquanto apresentavam um bom desempenho em outros tópicos de matemática. Resolveram, então, investigar esse problema e dedicaram-se a uma pesquisa de doutorado na Universidade de Utrecht, orientados pelo professor Freudenthal. Em 1957, concluíram seus trabalhos. Pierre propôs o modelo Van Hiele para o desenvolvimento do raciocínio em geometria. Sua tese era explicativa e descritiva. Já sua esposa Dina se dedicou à aplicação prática desse modelo em sala de aula e, por isso, sua tese é mais prescritiva com relação à ordenação do conteúdo de geometria e atividades de aprendizado dos alunos. Dina, infelizmente, morreu logo depois de ter concluído sua tese e Pierre foi quem, mais tarde, desenvolveu e disseminou o modelo em publicações posteriores.
Desde os trabalhos sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico, feitos pelo casal Van Hiele, os currículos de geometria passaram por mudanças.
De acordo com Abu e Abidim (2013, p. 70):
O modelo Van Hiele é um guia para a aprendizagem e um instrumento para a avaliação das habilidades dos alunos em geometria e apresenta cinco níveis de compreensão. Estes níveis informam quais são as características do processo de pensamento dos estudantes em geometria.
Relativamente ao modelo dos Van Hiele, os alunos apresentam modos diferentes de pensar e raciocinar geometricamente. Essa diferença na maneira de pensar ocorre entre os alunos e principalmente entre os alunos e os professores.
Os Van Hiele atribuíram a principal razão da falha do currículo de geometria tradicional ao fato de que o currículo era apresentado em um nível mais alto do que o dos alunos, ou seja, eles não conseguiam entender o professor e o professor não conseguia entender o porquê eles não conseguiam entender (VILLIERS, 2010, p. 401).
Na teoria desenvolvida pelos Van Hiele, o papel do professor é essencial, pois o avanço entre os vários níveis de aprendizagem em geometria é determinado pelo processo de ensino e aprendizagem. Conforme destaca Azevedo (2013), a teoria dos Van Hiele é fundamentada na base estruturalista do trabalho, na influência da psicologia Gestalt e no desenvolvimento da didática da matemática. Nessa perspectiva, o autor considera que o desenvolvimento mental progride à medida que as estruturas do aluno vão sendo alteradas ou são substituídas por outras.
O nível inicial do desenvolvimento do raciocínio geométrico é a visualização e, daí em diante, o aluno progride até o nível mais elevado: a abstração e prova. Há uma hierarquia entre os cinco níveis, e o progresso independe da idade, pois o fator determinante para o avanço é a aprendizagem satisfatória no nível anterior.
2.1.1 Os níveis de Van Hiele
O modelo Van Hiele considera que há cinco níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico. O nível inicial é a visualização, depois a análise. O terceiro nível é a dedução informal ou ordenação; o quarto é a dedução formal; e o quinto,
rigor. Dessa forma, o aluno vai progredindo do nível inicial ao nível mais elevado, como descrevemos a seguir.
Nível 1 — Visualização ou reconhecimento
Nesse nível, o aluno é capaz de reconhecer visualmente uma figura geométrica como um todo, mas não reconhece suas propriedades nem é capaz de criar imagens mentais sobre elas. Por exemplo: na sala de aula, o aluno pode olhar para o quadro e dizer que ele é um retângulo, por se parecer com um, e não por ele ter lados opostos congruentes e ângulos retos.
Clements e Sarama se referem à existência de um nível que antecede o nível 1 e que eles caracterizam como nível 0 ou pré-cognição.
No nível 0 – pré-cognição – as crianças não conseguem distinguir com segurança círculos, triângulos e quadrados de um conjunto de exemplos e não exemplos daquelas formas. As crianças neste nível inconscientemente começam a criar esquemas visuais acerca das formas (CLEMENTS; SARAMA, 2007, p. 845).
Geralmente o aluno atinge o nível de visualização quando reconhece as figuras de maneira global, e não por suas propriedades ou componentes.
Nível 2 — Análise
Nesse nível, o aluno começa a identificar as propriedades de uma figura e a utilizar a terminologia técnica adequada para descrevê-las, mas não faz inclusão de classes. Por exemplo, ele identifica as características de um quadrado e de um retângulo, mas não é capaz de chegar à conclusão de que todo quadrado é um retângulo.
Inicia-se uma análise dos conceitos geométricos. Através de observações e experimentações os alunos começam a discernir as características das figuras. Surgem então propriedades que são utilizadas para conceituar classes de configurações. Assim, reconhece-se que as figuras têm partes, e as figuras são reconhecidas por suas partes (CROWLEY, 1994, p. 3).
Nesse nível, o aluno já é capaz de fazer inclusão de classes e acompanhar uma prova formal, mesmo não sendo capaz de construir outra prova. Os alunos realizam a ordenação lógica das propriedades de figuras por meio de curtas sequências de dedução e compreendem as correlações entre as figuras.
Clements e Sarama (2007, p. 849) explicam que ―[...] os alunos são capazes de classificar hierarquicamente as figuras apresentando argumentos informais que justificam as suas classificações‖. Desse modo, os alunos podem, por meio de deduções informais, descobrir as propriedades de uma classe de figuras. Apesar de se utilizarem das deduções informais, nesse nível o aluno ainda não é capaz de ver a dedução como uma forma de provar verdades geométricas.
Nível 4 — Dedução formal
O aluno já é capaz de fazer provas formais e raciocina num contexto de um sistema matemático completo, ou seja, ele entende o significado da dedução, o papel dos axiomas, teoremas e provas.
O nível 4 é atingido quando, segundo Azevedo (2013, p. 19), ―[...] os alunos reconhecem um conjunto indefinido de termos, definições, axiomas e teoremas e são capazes de construir provas originais que produzem um conjunto lógico de declarações que justificam as conclusões a que apresentam‖.
Nível 5 — Rigor
Esse nível caracteriza-se assim porque o aluno é capaz de comparar sistemas baseados em diferentes axiomas. Caracteriza-se também por ser um nível bem elevado, no qual se torna possível a compreensão das geometrias não euclidianas. É atingido, assim, um nível de abstração.
Para melhor compreensão dos níveis de Van Hiele, Nasser e Tinoco (2011) organizaram um quadro, conforme se ilustra na figura 4.
Figura 4 – Níveis de Van Hiele
Fonte: Nasser e Tinoco, 2011, p. 78.
Considerando os cinco níveis relacionados, Azevedo (2013, p. 20) afirma que ―Van Hiele propõe que a passagem de um nível para o outro seja feita de forma natural, no entanto, isto implica a existência de um processo de ensino-aprendizagem‖. Dessa maneira, é importante o papel do professor para desenvolver uma sequência de atividades que facilitem tal passagem pelos níveis, já que, de acordo com o modelo, para avançar de um nível para o outro, é necessário que o aluno tenha dominado o nível anterior.
Destacamos que nossa intenção nesta pesquisa não é classificar as pessoas por níveis, pois acreditamos que, ao avaliarmos a aprendizagem de indivíduos com relação a um determinado conteúdo, podemos encontrá-los em diferentes estágios. Entretanto, consideramos a apropriação de conceitos que aparecem nesses níveis
como uma importante ferramenta para compreendermos a lógica da construção do pensamento geométrico, principalmente no que se refere à visualização. Esse é nosso objetivo, ao decidirmos pelo modelo de Van Hiele do pensamento geométrico como um dos aportes teóricos para nossa pesquisa. Continuando a falar sobre o tema, apresentamos uma exploração levantada sobre pesquisas contemporâneas em educação que utilizaram tal teoria.
2.1.2 Pesquisas contemporâneas em educação utilizando o modelo Van Hiele
Como revisão de literatura, encontramos trabalhos relacionados ao modelo Van Hiele e fomos identificando pontos em que esses temas se relacionavam com o processo de ensino e aprendizagem de geometria.
Entre esses trabalhos, podemos mencionar os estudos realizados por Sant‘ Ana (2009), que discorre sobre um estudo de caso realizado com 219 alunos da 8.ª série do ensino fundamental de uma cidade do Rio Grande do Sul. O objetivo da pesquisa foi analisar e detectar o nível do pensamento geométrico e categorizar individualmente os estudantes de acordo com o nível de desenvolvimento do pensamento geométrico, segundo a teoria de Van Hiele. Por meio desse estudo de caso, Sant‘ Ana (2009) pôde observar que a maior parte dos alunos da pesquisa não conhece as figuras geométricas e muito menos sua nomenclatura, pois 55% dos alunos pesquisados nem sequer conseguiram responder às questões do nível básico. Diante desse resultado, o autor deixa alguns questionamentos, entre os quais se o uso de softwares de geometria dinâmica contribuiria para o avanço de níveis e se existe relação entre os níveis de Van Hiele dos professores de ensino fundamental e suas concepções sobre o trabalho com a geometria em sala de aula.
Carreño e Climent (2009) investigaram o conhecimento dos futuros professores de matemática, também chamados de Estudantes para Professor de Matemática (EPM), sobre a questão de polígonos. O estudo se limitou aos resultados relativos à imagem conceitual e definição de polígono. A amostra foi composta por 12 EPM que cursavam as disciplinas de Geometria Plana e Trigonometria 1, dos quais dois foram selecionados para a descrição dos seus modelos mentais. Foram tomados como
referência os três primeiros níveis de raciocínio geométrico estabelecidos no modelo de Van Hiele. Foram elaborados quatro testes sobre os seguintes temas: ângulos, triângulos e polígonos. O estudo mostrou que o conhecimento de geometria dos EPM, em geral, é limitado e, por conseguinte, conceitualmente desprovido de redes e relações matemáticas complexas. Além disso, as características do raciocínio formal não são evidentes nas respostas expressas pelos EPM, pois há uma posição eminentemente intuitiva, apoiada, em particular, como experimental (manipuladora) e também existe a ausência de discriminação entre as propriedades necessárias e suficientes das figuras. Os resultados do estudo completo indicaram que eles se encontravam entre os níveis 1 e 2 de Van Hiele, coincidindo com os resultados de outros estudos com alunos do ensino médio.
Leivas (2012) desenvolveu um trabalho em que analisa como um grupo de alunos da licenciatura em Matemática e de professores em ação continuada enuncia e representa o Teorema de Pitágoras. O estudo contou com oito alunos da licenciatura em Matemática e quatro professores distribuídos entre os ensinos básico, médio e superior, dos quais nove foram classificados como se estivessem nos níveis 1 e 2 de Van Hiele, com base em questionamentos sobre o enunciado do referido teorema e em sua representação geométrica. O objetivo desses questionamentos foi verificar se os participantes tinham a generalização do teorema, objeto do nível 4 de Van Hiele, e as atividades que se seguiram visaram à compreensão das diversas formas de representação visual-geométrica do Teorema de Pitágoras de forma generalizada. Do que foi possível observar, na tentativa de criar um enunciado do Teorema de Pitágoras, a pesquisa comprovou que os indivíduos envolvidos, embora quatro deles já fossem formados, não atingiram tal nível de maturidade matemática no conteúdo focado, pois nem sequer esboçaram algum tipo de ensaio que levasse a concluir que tinham algum conhecimento da validade do teorema em casos mais gerais, o que é esperado, pelo menos, de professores universitários que participam da pesquisa.
Analisando os trabalhos de Sant‘ Ana (2009), Carreño e Climent (2009), Leivas (2012), percebemos que grande parte dos alunos, e até mesmo professores, encontra-se nos níveis iniciais de Van Hiele. Assim, são pertinentes os objetivos
