TRATADO SOBRE A LUZ: sobre as formas dos corpos diáfanos que servem para a refração e para a reflexão

Capítulo

VI

sobre

as

formas

dos

corpos diáfanos

que

sêrvem para

_a

refração

e

para

a

reflex¡Ío

dar

suas formas às lentes das lunetas

do

_{modo exato exigido, como porque existe na}

própria

refração uma propriedade que impede a convergência perfeita

doj

raios, como

o

Sr.

_{Neuton [sic]}

provou

muito

bem

por

su¿rs experiências. Não deixarei

no

entanto

de descrever sua invenção, pois ela é oferecida por si mesma, por assim dizer, e porque

ela

confirma

ainda nossa

teoria da

refração, pela concordância que

aqui

se

.ttconira

entre

o

raio desviado e

o

refletido.

Além disso, pode ocorrer que se descubram

futura-mente utilidades que

nio

sÍio vistas no presente para isso4 s .

Para

atingir portanto

essas figuras, suponhamos primeiramente que se queira

encon-trar

uma superfície CDE que reúna os raios provenientes de um ponto .4, em um

outro

ponto .8, e que

D

seja o ponto da reta

AB

no qual termina a superfície. Digo que tanto

no

caso

da

reflexão

quanto

no

da

refração,

é

necessário apenas

que

essa superfície

seja

tal

que

o

caminho da

luz, do

ponto,4

até todos os pontos da

linha

curvaCDE,

e destes ao

ponto

de reunião (como, aqui,

o

caminho pelas retas

AC,

CB e

AL, LB

e

AD,

DB), seja sempre

feito

em tempos iguais. Isso torna a invençao dessas curvas muito fácil.

4sO _{exercício geométrico desenvolvido neste capítulo}

_por

Huygens tem por precedente o

estudo semelha¡te de Descartes, que estudou na $a, Dióptrica superfícies elípticas e parabólicas,

e na Geomettia superfícies formadas pela rotaçalo de certas ovais lá definidas, e por outras

super-frcies. Ver: DESCARTES, IÃ Diopttique (nota

l5),

pp. 89-121 I DESCARTES,R. La Ghmetrie, em ADAMS, C. e Tannery, P. Oeuvres de Descartes. Pa¡is, J. Vrin, 1965, vol. 6, pp. 42940. O

84

Christiaan HuYgens

No

que

se

refere

como

deve ser

igual à de

AD

e

DB,

Pse.Q

s conhe'

cida a proporção

das

de

luz

xemPlo,

312.

Íl}3l

Como

mostramos, ela

é

igual à

proporção dos senos,

na

refração. Basta lazer

DH

igual a

3l2

de DB

,

e, depois disso, tendo descrito do centro ,4 qualquer arco

.FC,

que

corte

DB

em

F,

fazer

um

outro

de centro .B, com o semidiâmetro

BX

igual a

213 de

FH.

^

intersecção desses dois arcos será

um

dos

pontos por onde a curva deve passar. Pois tendo

o

ponto

sido encontrado dessa forma, é

fácil

ver que

o tempo

por

AC

e CB será igual ao tempo pot

AD

e

DB.

Pois

considerando

que a linha

-4D

representa

o

tempo

empregado pela

luz

para passar essa mesma [distância]

AD

no

ar, é evidente que

DH,

igual

a3f2deDB,rcpre-sentará

o

tempo que

a

luz

levará de

D

até

B

no

diáfano, pois ela precisará de tanto mais

tempo quanto

mais

lento

for

seu movimento. Portanto

AH

11041será

o

tempo

por

AD

e

DB.

Da

mesma

forma, a

linha

AC,ou

l-F,

representará

o tempo

pot

AC;

e

como

FH é

por

construção igual a 312 de

CB,

eia representará

o

tempo para

ir

de

C

até

B

no

diáfano.

E

conseqüentemente

AH

serâ também

o tempo

por

AC

e CB.

Por

aí

se vê

que

o

tempo

por

AC

e CB é igual ao

tempo

por

AD eDB.

Também se verá

da

mesma

forma

que se

Z

e

K

são

outros

pontos na curva CDE, os tempos por

AL, LB e

por

AK,

KB

são sempre representados

pelalinha

AH,e

pottanto

iguais ao tempo por

AD,DB.

Demonstremos agora que as superfícies geradas pela rotação dessas curvas dirigirão todos os raios que incidem sobre elas

do ponto,4.,

de modo que elestenderâ'o

puaB.

Suponhamos

o

ponto

K

na cuwa, mais afastado de

D

do que o ponto C, mæ de modo

que

a

reta

AK

incida

por fora

sobre

a

curva

que

serve

_[l05]

para a refração. Com

centro ,8, descreva-se

o

arco KS, cortando.BD em S, e a rcta CB em

R;

e do

centro.4

o arco DN, que encontra

AK

em

N.

Trøtado

þbre

a

Luz

g5

Como æ soma dos tempos por

AK

e

KB

e por

AC

e CB são iguais, se da primeira

soma

diminuirmos

o

tempo

gasto em

KB,

e da

outra o

tempo gasto em.R-8, restará

o tempo

por

AK

igual ao tempo por

AC

e CR. Portanto,

no

tempo em que a

luz

veio

por

AK,

eIa

tan'bém terá

vindo

por

AC, e

além disso terá formado uma onda

esférica

particular

no

diáfano, com centro

_Ç

e

cujo

semidiâmetro será

igual

a

CR. Essa onda toca¡á necessariamente a circunferência

KS

em

R,

pois CB corta essa circun-ferência

em

ângulos retos.

Da

mesma forma,

tendo

tomado qualquer

outro ponto

Z

na

curva, demonstrar-se-á que

no

mesmo tempo de passagem da

luz

por

AK,

elaterâ

também

vindo por

AL, e

além disso terá formado uma onda

particular

de centro

Z,

que tocará a mesma circunferência K^S.

E

assim para todos os outros pontos da curva

CDE.

Portanto,

no

momento em que a

luz tiver

chegado a

K, o

arco

KRS limitará

o

movimento que se espalhou de

,4

sobre

DCK. E

assim esse mesmo arco será, no

diáfa-no,

a propagação da onda emanada

do ponto.4.

Essa onda pode ser representada pelo arco

DN, ou por

qualquer

outro

mais

próximo do

centro

de,4.

Mas todos os lugares

do

arco KR^S se propagam depois seguindo retas que

lhe

são perpendiculares, quer

di-zer, que

tendem ao centro

B

(pois isso se demonstra da mesma forma que provamos

acima que

os

pontos das ondas esféricas se propagam seguindo retas que vêm de seu

centro), e

essa propagação dos

pontos

das ondas são os próprios raios de

luz.

Vê-se portanto que todos esses raios tendem aqui ao ponto.B.

Poder-se-ia também encontrar

o

ponto

C e todos os outros, nessa curva que serve para a refração,

dividindo

DA

em G, de

modo

que

DG

seja2l3

deDA,

e descrevendo

do

centro

B

_{[106] um}

arco qualquer

CX

que coúe

BD

em

X,

e

um outro do

centro

A,

com

o

semidiâmetro

AF

igual a 312 de

GX.

Ou então, tendo descrito, como antes,

o

arco

CX,

basta fazer

DF

igual

a 312 de

DX,

e

do

centro

A

traçar

o

arco.FC; pois essas duas construções,

como se pode

perceber

facilmente,

reduzem-se

à

primeira que se

viu

anteriormente.

E

pela

última

se torna claro que essa curya é a mesma que o

Sr.

Des

Cartes forneceu em sua Geometria,

e

que ele

chamou

de primeira de

suas

ovais.

Apenas uma parte dessa oval serve para a refração: será a parte

DK,

cuja

extremi-dade é

K,

se

AK

é a tangente. Quanto à outra parte, Des Cartes

notou

que ela serviria

para as refrações se houvesse alguma matéria especular de

tal

natureza qse

por

ela a

força dos

raios

(diríamos: a

velocidade da

luz,

o

que ele não podia dizer porque

su-punha que

o

movimento

ocorresse

em

um

instante)

aumentasse

de

3

para

2.

Mas provamos que, em nosso modo de explicar a reflexão, isso não pode ser produzido pela matéria do espelho, e que é completamente impossível.

Por aquilo que

foi

demonstrado sobre essa oval, será

fácil

encontrar a forma que serve para

¡eunir

em

um ponto

os raios incidentes paralelos. Pois supondo exatamente a mesma construção, mas

o

ponto

á

infinitamente

distante,

o

que dá raios paralelos, nossa

oval

se

torna

uma verdadeira elipse, cuja construção em nada difere da oval, a não ser por

FC

ser aqui uma linha reta, perpendicular a

DB,

quando antes era um arco

de

círculo.

Pois a onda de luz

DN

sendo igualmente representada

por

uma linha reta,

mostrar-se-á

que todos

os pontos

dessa

onda,

estendendo-se

até

a

superffcie

KD

por

paralelas a

DB,

avançarão depois para

o

ponto

B,

e

ai

chegarão ao mesmo tempo. Quanto à elipse que servia para a reflexão, é claro que ela se torna aqui uma parábola,

pois [107]

considera-se seu

foco,4

infinitamente

distante

do outro

foco

B,

que

é

I

86

Christiaan HuYgens

agora

o

foco

da

parábola, para

o

qual tendem todas as reflexões de raios paralelos a

AB.E

a demonstração desses efeitos é exatamente igual à precedente.

E

Encontra-se facilmente pelo cálculo algébrico que

alinha

cuwacDE

que serve para

a refração é uma

elipse cujo

diâmetro

maior

está para a distância de seus focos como

3

para 2, que é a proporção da refração. Chamemos de ø a distância

DB,

que é dada, de

ry3.¿erpendicutaf

indeterminada

DT,

e de

y

a distância TC. -EB será a

-y,

e CB será,

{ñaa

-ay

+

yîoó.

Mas

anatutezada

cúrva é

tal

que

213 de

ZCmaií

CB é igual

[1O8]

a DB, como

foi

dito

na

última

construção.

A

equação será,

portanto,

entre

2l3y

+t[iffiy-yf

e¿, que, sendo

reduåda,tornà-si

6f5ay

-iy

iguzla'9flxx.

\

(

,/t

I

46Foi

Tratalo

þbre

a

Luz

8j

Isso

quer dizer

que

tendo feito

N

iguala

615 de

D8, o

retânguro

DoF

será igual a

9/5 do

quadrado de

FC.

vê-se assim que

DC

é uma elipse,

cujo

eixo

Do

está

_fara

o

parâmetro

como

9

para

5.

Portanto

o

quadrado de

Do

está para

o

quadrado da

dis-tância

entre os

focos

como

9

para 9

-5,

quer

dizer,4;

e a linha

_DO

está.

enfim

para

essa distância como

3

paru 2.

Se agora supusermos

o

ponto

B

infinitamente

distante, ao invés de nossa primeira

oval

encontraremos que CDE é a verdadeira hipérbole, que fará que os raios que vêm

do

ponto

.4

se

tornem

paralelos.

E

conseqüentemente também fará que aqueles que são paralelos no corpo transparente se reúnam fora no

pontol.

Ora, deve-se notar que

CX

e

KS

tornam-se retas perpendiculares a

8,4,

pois elas representam arcos de círculo

cujo

centro

B

está

infinitamente

distante.

A

intersecção da perpendicular

CX

com o arco

FC

dará

o

ponto

Ç

um

daqueles

por

onde a curva

_[109]

deve passar. Todas as

partes da onda de luz

DN

que encontrem a superfície

KDE

avançarÍÍo

apultt

daí por

paralelas a KS, e chegarã'o a essa reta ao mesmo tempo.

A

demonstração disso é ainda a

mesma que serviu para a primeira oval. Além disso verifica-se, por um c¿ílculo tão sim-ples quanto

o

precedente

_,

que CDE é aqui uma hipérbole

cujo

eixo

DO

é 413 de

AD,

e

o

parâmetro igual

aAD.Daí

se demonstra

facilmente

que

DO

está para a distância entre os focos como 3

pua

2.

/ \

)

Esses são os dois casos de seções cônicas que servem para a

refração

e que são os

mesmos explicados

por

Des Cartes

em

sua

Dióptrica.

Ele

foi

o primeiro a encontrar o

uso

dessas

linhut

.

também das ovais

-

das quais

já

indicamos

a pritneira

-

na

re-88

Christiaan HuYgens

4tsobr"

_{as ovais de Descartes, ver sua} Geometria (nota 45), pp.424'9 (propriedades geomé-tricas) e pp.429-34 (propriedades ópticas)'

,-Tratado Sobre a

_Luz

g9

AD

e

DB é

igual à

medida das refrações, que

aqui

é

de

3

para 2. Isso

foi

por

rrlirn

observado

há muito

tempo.

como

a quarta só

_{serviria para reflexões [refrações ?]} impossíveis, não é necessário indicá-la.

N

A

O Sr.

Des Cartes não

explicou o

modo pelo qual encontrou essas linhas, nem nin-guém depois dele

o

fez, que eu saiba. Por isso

direi aqui

qual me parece

ter

sido esse

modo.

Suponhamos que se queira encontrar

a

superfície formada pela revolução da

cuwa

KDE,

que,

tecebendo

os

raios incidentes

que

sobre ela

incidem

do ponto,4,

desviaos para

o

ponto

-8. Consideremos essa curva como

já

conhecida, e seja

D

sua

extremidade

_[l

11] na

rcta

AB.

Dividamola em

uma

infinidade de

pequenas partes

pelos

pontos G,

C

e

F.

T¡acemos

de

cada

um

desses

pontos

retas dirigidas para

A,

qre

representam os raios incidentes, e outras retas parh.B. sejam além disso descri

tos os arcos de

círculo GL,

CM,

FN

e

DO,

de

centro,4,

cortando os raios provenientes de

A

em

L,

M,

N

e O. Dos pontos

K,

G,

C e ,F sejam descritos os arcos

KQ

GR, C.S e

FT

[de centro

B],

cortando os raios que vão para.B em

_I

R, S e Z. E acrescentemos a

rcIa

HKZ

que corta a curya em

K

em ângulos retos.

Sendo entâ-o

AK

um

raio incidente, e

KB

sua refração dentro

do

diáfano, segue-se

da

lei

das refrações, que era conhecida pelo Sr. Des Cartes, que o seno

do

fugulo

ZKA

está para

o

seno

do

ângulo

HKB como3

paø'a2, supondo que esta é a proporção da

-90

Cltistíoøn HuYgens

refração do

vidro.

Também se poderia colocar que

o

seno de ângulo

KGI

tivesse essa

iresnla

razão para

o

seno

do

ângulo

GKQ,

considerando

KG,

GL

e

K0

como retas,

por

causa

de

seu pequeno tamanho. Mas esses senos são as linhas

KL

e

GO,

_Ill2l

tomando

Gl(

como

¡aio do círculo.

Portanto

LK

deve estar para GQ como 3

pua2.

E igualmente

MG

estana paru CR,

NC

parc FS e

OF

parc

DT

na mesma razão. Portanto também a soma de todas as antecedentes estaria para a de todas as conseqüentes como

3

paru

2.

Ora, prolongando

o

arco

DO

até que ele encontre

AK

em

X,

KX

é a soma

dos antecedentes.

E

prolongando

o

arco

KQ,

até que ele encontre

AD

em

I,

a soma

dos conseqüentes é

DI.

Portanto

KX

deveria estar para

DI.

como

3

para 2. Assim se percebe

que

a

curva

KDE

é de

tal

natureza qu.e, traçando de qualquer

ponto

que se

tome dela, como

K,

as retas

KA

e

KB, o

excesso de

AK

em relaçã'o

aAD

estâparao

excesso de

DB

em relaçâ'o a

KB

como

3

para 2. Pois pode-se demonstrar igualmente,

tomando

na

curva qualquer

outro

ponto,

como

G,

que

o

excesso de

AG

em relação

a

AD,

que

é

VG,

estâ p¿üa

o

excesso de

BD

em relação a

DG,

que é DP, nessa mesma razão de 3

para2.

E utilizando essa propriedade o Sr. Des Cartes construiu essas curvas

em

sua Geometria,

e

reconheceu

facilmente

que,

nos

casos

de

raios paralelos, essas

curvas se tornavarn hipérboles e elipses.[1

l3]

Voltemos

agora

a

nosso

método,

e

vejamos

como ele

conduz sem

dificuldade

a

encontrar as linhas que devem

ter

um lado

do vidro,

quando

o

outro

é de uma forma dada

_-

não

apenas

plano

ou

esférico,

ou

formado

por

qualquer das seções cônicas

(que é a restrição com a qual Des Cartes propôs esse problema, deixando sua solução aos que viessem após ele), mas qualquer uma, em geral

(quer

dizer, que seja formada pela

revoluçio

de qualquer

linha

curva dada, à qual se possam traçar retas tangentes). Seja a fìgura dada

feita

pela rotação de qualquer curva desse

tipoAK

em

torno

do

eixo.4V,

de

tal

forma que esse

lado do vidro

¡ecebe raios provenientes

do

ponto

Z.

Além

disso, seja dada a espessura.4-B do meio do

vidro,

æsim como o ponto

F'no

qual

Tratado

þbre

a

Luz

_9l

92

Chistiam

Huygens

se

quer

que

todos os

raios sejam concentrados perfeitamente, qualquer

que

seja a

prime ira refração, o corrida na superfície,4K.

Para isso só é necessá¡io que a lirrha

BDK,

que forma a outra superfícié, seja tal que

o

caminho da

luz, do ponto

L

até a superfície

AK, e

daí à superfície

BDK, e

daí ao

ponto

,F', seja

feito

sempre

em

tempos iguais, e que esse tempo seja sempre igual ao tempo gasto pela luz puua passar pela rela

LF,

da qual a parte

AB

está dentro do vidro.

Seja

IG

um raio

que caia sobre

o

arco

AK.

Sua refração

GV

seút dada por meio da

tangente que serátraçada no

ponto

G. Deve-se agora encontrar em

GVopontoD,de

modo

que .FD.somado a 312 de

DG

e

à

reta

GL

sejam iguais a -FB mais 312 de

BA

e

a

reta

AL

_-

que formam

um

comprimento dado.

ora,

subtraindo de uma parte e da

outra

o

comprimento de

LG,

que também é dado, basta traçar

FD

sobre a reta vG, de

modo

que

FD

mais 312 de

DG

seja igual a uma

linla

dada

_-

o

que é

um

problema

plano muito

simples.

o

ponto

D

será então

um

daqueles por onde deve passar a curya

BDK.

E

da mesma

forma,

tendo traçado um

outro

ruo

LM,e

encontrado sua

refrafo

Mo,

encontrar-se-á

_[114]

nessa

linha

o

ponto

l/,

e æsim

por

diante, tantos quantos

se queira.

Para demonstrar o efeito da curva, seja descrito com centro

L o

arco de círculo

AH,

que corte

LG

em

H,

e do centro ,F o a¡co,BP. E tome-se, emAB,,4.S igual a213 de HG,

e SE igual a

GD.

Considerando etftlo

AH

como uma onda de luz, que partiu do ponto

iguais. Mas enquanto este avançar de

E

até.8,

o

ponto

da onda que estava em

D

terá espalhado

no

ar

sua onda

particular, cujo

semidiâmetro

DC

(supondo que essa onda

corte

a

reta

DF

em

_Q

será

3l2de.EB,

pois avelocidade da

luz fora do

diáfano está

para

_{a de dentro como}

₃

_{pa;a 2.}

_ora,

_é

_fácil

_{demonstrar que essa onda tocará nesse} ponto

Co

arco BP. Pois, pela construção,

FD

+312

DG

*GI

sio

iguais

aFB

+312 BA-F

*,4I.

Subtraindo as

quantidades iguais

LH e LA,

restará

FD +

312 DG

+GH

iguais

a

FB

+

312 BA

.

Daí, subtraindo de um lado GH e

do

outro

3l2 de AS, que sto

iguais, restará

FD

mais 312

DG

igual

a.FB

mais

312deBS.Mæ312 deDG

são iguais a

3l2de,ES.

Portanto

FD

éigoal a.FB

mais

3l2de

BÉ'. Mas

DC

era igual a

3l2deEB.

Portanto,

tirando

de um

lado

e

do outro

esses comprimentos iguais, restará

cF

igual a

,F'8. Assim vê-se que a onda,

cujo

semidiâmetro é DC, toca o arco.BP no momento em

que

a

luz

proveniente

do

ponto

r

chegou a

B

pelareta

LB.

Pode-se demonstrar da mesma

forma

que, nesse mesmo momento, a luz proveniente por qualquer

outro

raio, como

LM, MN,

teú.

espalhado seu

movimento que

será

limitado

pelo

arco

Bp. Daí

segue-se,

como

foi

dito

várias vezes, que a propagaçlo da

onda.4f1,

depois de haver passado

pela

espessura

do vidro,

será

a

onda esférica

BP, da qual todos

os pontos devem avançar

por

linhas retas, que são os raios de

luz,

até

o

centro.F.

Isso é

o

que

devia ser demonstrado.

Em

todos os casos que se possam

propor,

essas

linhæ

curvæ

serão encontradas

da

mesma

forma, como

se

verá

por um ou

dois

exemplos que

adicionarei. seja dada a superfície do vidro -4K, feita pela revolução da

linha,4K,

cuiva

ou

reta, em

torno

do

eixo -8,4. Seja também dado no eixo o ponto

Z,

e a espessura.Bl

Trotodo

_þbre

_a

_Luz

93

{1.16]

se deseja

encontrar a

outra

superfície

_KDg

_que,

BA,

os

desvie de

modo

que, após serãm posteriormente ,4K, reúnam-se todos no ponto

I.

Do ponto

r

traça-se

a

rcta

LG

a qualquer ponto da linha

AK

dada. conside¡ando-a

como

um raio

de

luz,

encontrar-se-á sua refraçâ'o

GD,

que, sendo prolongada, encon_

utro

a reta

BL,

cnmo

no

ponto V,

aqui. Seja depois traçada

BC,

_{que representará uma onda de luã provenienìe Ao pånto}

noportantoquetodas"-ËlJi:å":iäo"ïä.îå"t#îïï::åïî,,,lîJ;rJffiìi

z,

ou,

inversamente, que tõdas as partes de umu onãa emanada

do ponto

r,

cheguem ao mesmo

tempo

à rela BC.

E

para

_rar,

de

modo

que, traçando

DC

paralel

_CD

igual a

3l2d,eAB

comAl.Subtrain

_out

s.írig que

CD mus

312 de

DG

seja igual

u

da,

t

94

ChistiaanHuYgens

daqueles

por

onde a cuwa deve passar, e a demonstraçío

_[ll7]

será a mesma que no caso anterior. Por ela se provará que æ ondas que vêm do ponto

I,

após haver pæsado

o vidro

KAKB,

tomarão a

forma

de linhas retas, como

BC.

Isso é

o

mesmo que dizer

que os raios se tornarão paralelos.

Daí

se segue reciprocamente que, caindo paralelos sobre a superfície

KDB,

eles se reunirão no ponto

I.

Seja ainda dada

a

superfície

.dK,

qualquer que seja, formada pela revolução _[de uma curva] em

torno

do

eixo

,43,

sendo

,4Il

a espessura

do

meio

do vidro.

Seja

Tratado

þbre

a

Luz

95

bém dado

no eixo

o

ponto

L,

atrás do vidro, para o qual se supõe que tendem os raios

que

caem sobre

a

superfície,4K.

Trata-se

de

encontrar a superfície

BD

tal

que eles

sejam desviados, ao sai¡ do

vidro,

como se proviessem

do

ponto

₄

que está diante do vidro.

Tome-se qualquer

ponto G

na

linha

AK,

e

seja traçada

aretaIGL.

Sua parte

GI

representará um dos raios incidentes,

do

qual será encontradaarefração

GZ.

Nelade-ve-se encontrar o ponto

D,

um daqueles por onde deve passar a cuwa

DB.

Suponhamos

que ele seja encontrado, e

do

centro

¿

seja descrito o arco de

cí¡culo

GZ, que corte a

rcta

AB

em

Z, no

caso

em

que

IG

seja

maior

do

que

2,4.

No

caso

contrá¡io

seria

preciso descrever

do

mesmo centro

o arcoAH,

que

corta

arctaLG em1L

Esse arco

GT

(ou, no

outro

caso,

AII)

representará uma onda da

luz

incidente, cujos raios ten-dem para

Z.

De

modo

semelhante,

do

centro f'descreva-se o arco do círculo

DQ,

que representará uma onda que sai do ponto .F . I I I 8 ]

É

necessário que

a

onda TG, depois de pæsar pelo

vidro,

forme

a

onda

QD.

Pua

isso, vemos que

o

tempo da

luz

por

GD

no interíor do

vidro deve ser igual ao _[tempo

gastol

pelas

_{três [retas]}

TA,

AB

e

BQ,

das quais apenas

AB

esli' também

no

vidro.

Tomando,4S

igual a 213

AT,

vejo que 312 GD devem ser iguais a 312 SB

+BQ.

Sub-traindo

um

e

outro

de

f'D

ou

FQ,

obtém-se que

FD

menos 3/2 de GD deve ser igual a

.FB menos 312 de _^SB. Essa

última

diferença é

um

comprimento dado, e basta que, do

ponto

dado .F', seja traçada areta

FD

sobre VG, de modo que isso assim seja. Este é um problema

muito

semelhante

ao

da

primeira

dessas construções, onde

FD

+

312 GD devia ser igual a um comprimento dado.

Na

demonstração deve-se observa¡

que,

como

o

arco -BC cai

no

interior

do vidro,

deve-se conceber

um

arco

RX

que

lhe

seja _{concêntrico, além de QD. Depois que} se mostar que

o

ponto G

da onda

GT

chega em

D

ao mesmo

tempo

em que

o

ponto

Z

chega _{a Q,}

o

qne se deduz facilmente da construção, será depois evidente que a onda

particular, gerada

do ponto

D,

tocará

o

arco

RX

no momento em que o

ponto

_Qtiver

chegado em

R,

e que assim esse arco limitará nesse instante o movimento que provém da onda TG

_-

de onde se conclui o restante.

Tendo mostrado a invenção dessas linhas curvas que servem para produzir uma

con-corrência perfeita dos raios, resta explicar uma coisa

_[19]

notável com relação à

ref¡a-ção desordenada das superfícies esféricas, planas

e

outras4E. Se isso fosse ignorado,

poderia

produzir

alguma dúvida sobre o que dissemos muitas vezes, que os raios de luz

são linhas retas que cortam em ângulos retos as ondas que se espalham. Pois os raios

que caem paralelos,

por

exemplo, sobre uma superfície esférica

AFE

se entrecruzam, após sua refração, em pontos diferentes, como representa esta fìgura. _{Quais poderiam} ser as ondas

de

luz

nesse

diáfano, que

fossem cortadas em ângulos retos pelos raios convergentes? Elas não poderão ser esféricas. Como se tornarão essas ondas depois que os citados raios começarem a se encontrar? Ver-se-á, na solução dessa dificuldade, que

4EHuyg.ns _discuti¡á

96

C'lristiøan Huygens

aqui

o,cor¡e algo

muito

notáver,

e

que as ondas sempre continuem a

edstir,

embora elas não passem inteiras, _{como atravéì dos vidros compostos cuja construção acabamos}

de ver.

_[120]

o

G

z

F

/,

t<

lx

-Segundo

o

que

foi

mostrado acima, a

r

esfera, _{perpendicularmente ao seu}

_eixo

_ao

s

centros são esses

pontos.

_E

a

superfície

Tratado

_þbre

_a

_Luz

₉₇ mento em que

o

ponto

D

chegar a E.

uma

linha

curva

feita

pela rotação de

HL,

GilI,

FO efc,

que são as refrações do

um

fio

encostado

_à

convexidade ENC, extremidade

_{,8, a citada}

_curva

_fi(ae.

po

demonstraremos

_{que todas as}

_ondas

_cit

tocarão.

certamente

a

cuwa

EK,

e.todas as _{out¡as que sejam descritas pela evolução da curva}

ENC,

_em

com diferentes comprimentos

do

fio,

ðo.turão todos

os

rLios

HL,

GM,

FO

etc.

ângulos retos, e de modo que suas partes, _{interceptadas entre duas}

_derrá,

_au*r.,

:ia

do

que

foi

demonstrado em nosso t¡atado ncidentes como

infinitamente

próxi-RG e TF, e se traçarmos _BG perpen-P, seja descrita pela evolução da

cur-o ficur-o

se estenda, pode-se

tomar

sua

GF

como

o

ruro GM, e considerar igualmente

o

arco

a

eta.

eD

äii:i

_{ïi?:Í.ï;å:}

como

foi

-o

_d

coisa ocorre

em

todos

_lfrL

_{qrruoriláteros que}

os encerra,

o

lado

paralelo ao

eixo

está para seu oposto como

3 puiz-portanto,

tambémasomadeuns

estará para a soma _{dos outros como}

₃

pa.*

2

_-

ou

seja,

TF

para AS, e

DE

para

AK,

e

BE

para srK

ou

tr'I{

supondo

que

_v

é

a intersecção da cùrva

EK

com

o

raio

Fo.

Mas, fazendo -EB perpendicula¡ a

bE,

Ámbém estarão como

3 pua2BE

para o

semi-,F enquanto a luz fora do diáfano

percor-da cortará

o

raio

FMno

mesmo ponto

V

""

i

i:,ff

'

;*ï

äil",î'.î

J

;

îi1,îï1

los

G

.É1

etc.:

elas tocarão a curva

EK

no

_[I22]

momento em que o ponto

D

da onda

ADtivet

chegado a.E.

.

Dire.i aFo.ra

o

que se

tornam

essas _{ondas, depois que os raios começam a se}

cruzar.

A

partir daí

elas se dobram, e

s

_duas

_parte,

_que

---

'

uma sendo uma curva feita

pela

_a

_{curva ENC em}

tra

pela evolução da mesma

no

_im

_aonda

_KE,

_a

feita pela evoluç

anece presa; e a parte

bc

pela evolução da anece presa. Depois a mesma onda se torna

í

ela se propaga sem se dobrar, mas sempre

olução da curva

ENC,

aumentada por uma

49

--98

Christiaan HuYgens Nesta curva

do

centro da

e esfera.

É

a part curva

C,

que é

queaqui

éde3Pua2.

Pode-se também encontraÍ todos os pontos desejados da

cuwaiy'Cpor

um teorema que

foi

demonstrado pelo Sr. Barrow

nal2.a

de suas Lí@es Opticas

_{llectionesoptícae}

et

geometicae,16T4l,

embo¡a com

outra

finalidade. Deve-se notar que é possível dar uma

linha

reta igual a essa curva. Pois somada à reta iy'E, ela é igual à

reta

CK, que é

conhecìda, pois

DE

está para

AK

na proporção da refração, e subtraindo EN de CK, o resto será igual à curva

iy'C

o

.

soOs _{historiadores costumam atribui¡ a Ehrenftied}

W. Tschi¡nhausen o estudo geométrico da c¡íustica.

A

refe¡ência no¡malmente i¡dicada é um artþo publicado na revista Acta Ertditorum (Leipzig) em outubro de 1682, p. 364, complementado por umacorreção

publicadanamesmare-vista, em feverei¡o de 1690, p. 71. De modo privado, Huygens acusou Tschirnhausen de plagiador.

Em uma ca-rta que esseveu a Leibniz em 241811690, Huygens se lastima por nalo haver aparecido nenhuma notícia sobre seu livro na Acta, e que, sem citá-lo, o sr. D. T. (De Tschimhausen, como fica claro pelo contexto) publicou logo depois da impressão do livro um novo artþo sobre as cáusticas. Huygens refere-se então à época em que esteve em

hris

(1673), e aluma: "Lemb¡o-me que nesse tempo mostrei ao Sr. D.T. algumas figuras dessas linhas de reflexalo e refraçâo, e creio

-Tlatado

þbre

a

Luz

99

Da

mesma

forma

serão encontradas as ondas dobradas

na

_{reflexlo [123]}

cte um

espelho côncavo esférico. Seja

ABC a

seção de

um

hemisfério

oco por

seu eixo DB.

cujo

centro é

D.

Suponho que os raios de luz incidem pa-ralelamente ao eixo, Todas as reflexões desses raios que caem sobre

o

quadrante

AB

|ocarl.o uma

linha

curva

AFE,

cujo

extremo

_E

está

no foco do

hemisfério,

isto

é,

no

ponto

que

divide

ao meio o

semidiâmetro

BD.

Os

pontos

por

onde

deve passar essa

curva

serão encontrados

tomando de.4 um arbo qualquer

AO,

e fazendo o arco OP igoil, ao seu dobro; divide-se sua corda em F', de modo que

FP

seja

o triplo

de

FO,

e -F é um dos pontos pedidos.

Como

os

raios

paralelos nada

sÍio

senâ'o

as

perpendiculares às ondas que caem sobre a superfície côncava, sendo essas ondas paralelas

aAD,

descobre-se que à medida

que elas encontram a superfície ,4-8,

foimam,

ao refletir-se, ondas dobradas,

compos-tas

por

duas curvas que nascem de duas evoluções opostas das partes da

curvaAFE.

Assim, tomando

AD

como onda

incidente,

quando

a

parte

AG

tiver

encontrado a superfície

AI,

quer

dizer,

quando

o

ponto

G

tiver

atingido 1, a propagação da parte

AG

_lda

onda]

será formada pelas curvas

HF

e

FI,

nascidas das evoluções das cu¡vas

FA

e

FE,

ambas começadas em tr'.

Um

pouco depois, quando a parte

AK

tive¡

encon-trado

a

superfície

AM,

estando

_lzal

o

ponto

K

em

M,

então

as

curvæ

LN

e

NM

constituirão

juntas

a

propagação dessa

parte.

E

assim essa onda dobrada avançará sempre,

até

que

o

ponto

i/

atinja

o

foco

J', A

curva

AFE

é yista na fumaça ou em

poeira suspensa

no

ar, quando

um

espelho côncavo é oposto ao Sol. Deve-se saber que

ela

não

é

senão aquela que é descrita

pelo

ponto -E da circunferência

do círculo

EB,

quando

ele

é

rolado

sobre

um outro

círculo cujo

semidiâmetro é

ED,

e

centro

D.

Portanto

é

um

tipo

de ciclóide cujos pontos podem ser encontrados geometricamente.

Seu comprimento é precisamente igual a 314 do diâmetro da esfera, o que é

encon-trado

e demonstrado

por

meio dessas ondas, mais

ou

menos como a medida da curva precedente

_-

embra

possa também ser demonstrado

por

outros meios, que deixo de

citar,

pois isso está fora do assunto. O espaço

AOBEFA,

compreendido entre o arco do quadrante, a reta

BE

e a

clwa EFA

é um quarto do quadrante de círculo

DAB.

que daí vem a semelhança de nossas invenções

_-

mas que isso seja dito ent¡e nós, por favor" (carta XV, em LEIBNIZ, Mathematische schriften

_-

nota

2

_-

vol. 2, p. 4g). Em sua resposta

(carta

XVI,

p.

49), Leibnu também acusa Tschi¡nhausen de haver aproveitado várias de suas

iddias e publicá-las como suas. Tendo em vista que o artigo de 16g2 continha erros, pode-se de