Relações Constitutivas para Materiais Isotrópicos Hiperelásticos

TEORIA DA ELASTICIDADE NÃO LINEAR

Márcio André Araújo Cavalcante

Centro de Tecnologia – CTEC

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Maceió - Alagoas

Relações Constitutivas para

 Dedução da

equação de balanço energético mecânico

a partir da

equação diferencial do movimento

:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Potência instantânea total para sistemas contínuos no volume

V

:

Definição de potência média e instantânea:

Trabalho realizado pelas forças atuantes no sistema no intervalo de tempo Dt. Variação da energia mecânica total do sistema no intervalo de tempo Dt.

Onde:

Nesta abordagem, a energia armazenada ou dissipada na forma de calor

é desprezada (efeitos térmicos desprezados).

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Energia mecânica total para sistemas contínuos no volume

V

:

Onde:

Energia cinética total no volume V_t .

Energia potencial elástica total (Energia de deformação) no volume V₀ . Densidade de energia potencial elástica (Energia de

deformação específica) no volume V₀ .

Isso resulta na seguinte expressão para a

potência instantânea total

para sistemas contínuos

no volume

V

:

 Princípio da energia mecânica (

Equação de balanço energético

mecânico

):

Por analogia com a

equação de balanço energético mecânico

obtida

anteriormente, tem-se:

Uma vez que a igualdade anterior vale para qualquer região V₀ , tem-se a seguinte equação diferencial de balanço energético mecânico:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

O

sólido hiperelástico

é o material cuja a

energia de deformação

é

dada pela seguinte

energia de deformação específica

:

A

elascidade de Green

é um caso particular da

elasticidade de

Cauchy

, onde admite-se que o

tensor de tensão de Cauchy

é uma

função simples do

tensor gradiente de deformação

:

A elasticidade de Green é mais facilmente relacionada a resultados experimentais.

Nestas teorias, W e

s são funções apenas das

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Para o

sólido hiperelástico

tem-se:

Uma vez que:

Da

equação de balanço energético mecânico

, tem-se:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Desta forma, pode-se obter a seguinte

equação constitutiva para um

sólido hiperelástico

:

e

Significando que o primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff é energeticamente conjugado ao tensor gradiente de deformação.

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Assumindo-se que a

energia de deformação específica

é uma função

do

tensor de deformação de Cauchy-Green à direita

, tem-se:

A suposição acima resulta da invariância da energia de deformação específica para movimentos de corpo rígido e será provada mais adiante.

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Além disso:

Significando que o segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff é energeticamente conjugado ao tensor de deformação de Green-Lagrange.

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Desta forma, chega-se a seguinte relação constitutiva:

e

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Para o tensor gradiente de deformação, considerando-se duas

configurações definidas nos tempos

t

e

t+

D

t

, tem-se:

e

Além disso:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Para o tensor de deformação de Green-Lagrange, considerando-se

duas configurações definidas nos tempos

t

e

t+

D

t

, tem-se:

e

Além disso:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Tensor de deformação de Almansi aplicado ao incremento do campo de deslocamentos:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Para o tensor de pequenas deformações Euleriano, considerando-se

duas configurações definidas nos tempos

t

e

t+

D

t

, tem-se:

e

Além disso:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Como:

Quando:

Tem-se:

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Energia de deformação específica para uma descrição Euleriana do

movimento:

Assim:

onde

Além disso:

Significando que o tensor de tensão de Cauchy é energeticamente conjugado ao tensor de pequenas deformações Euleriano.

O PRINCÍPIO DA ENERGIA MECÂNICA E A

HIPERELASTICIDADE:

 Elasticidade de Green ou hiperelasticidade:

Energia de deformação específica para uma descrição Euleriana do

movimento:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

 Tensores de Segunda Ordem e as Transformações Lineares:

Exemplos de transformações lineares:

(definida pelo

tensor gradiente de deformação

)

(definida pelo

tensor de rotação

)

(definida pelo

tensor de alongamento à direita

)

(definida pelo

tensor de tensão de Cauchy

)

 Lei de Transformação de Tensores de Segunda Ordem:

Matriz de rotação bidimensional:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

Para o sistema de coordenadas original:

 Lei de Transformação de Tensores de Segunda Ordem:

Matriz de rotação bidimensional:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

Desta forma:

onde:

De maneira geral, tem-se:

(Admitindo-se o mesmo comprimento do vetor “r” para ambos os sistemas de coordenadas)

Logo:

(Propriedades de um tensor de segunda ordem ortogonal próprio)

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

 Lei de Transformação de Tensores de Segunda Ordem:

Matriz de rotação tridimensional:

(Rotação em torno do eixo-x₁ )

(Rotação em torno do eixo-x₂ )

(Rotação em torno do eixo-x₃ ) onde: e

Propriedades (tensor de segunda ordem ortogonal próprio): e

 Lei de Transformação de Tensores de Segunda Ordem:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

Matriz de rotação aplicada a um vetor:

Matriz de rotação aplicada a uma transformação linear:

Leis de trasformação de tensores de segunda ordem:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

Para soluções “não triviais”:

Que resulta na seguinte “equação característica”:

Em termo dos seguintes “invariantes”:

 Valores Principais de Tensores de Segunda Ordem:

 Valores Principais de Tensores de Segunda Ordem:

Prova da invariância dos invariantes quando da rotação do sistema

de coordenadas:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

(O problema de autovalores e autovetores rotacionado é equivalente ao problema de autovalores e autovetores original)

Diagonalização dos tensores de segunda ordem:

 Valores Principais de Tensores de Segunda Ordem:

REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR:

Diagonalização dos tensores de segunda ordem:

Para uma matriz simétrica “A”, os autovalores são necessariamente reais e a matriz dos autovetores é ortogonal, o que resulta em:

VALORES PRINCIPAIS DOS TENSORES DE

SEGUNDA ORDEM:

 Tensões principais e o respectivo sistema de coordenadas nas

direções principais:

Problema de autovalores e autovetores (tensões principais e as respectivas direções principais):

Os elementos da diagonal principal são as tensões principais, e os vetores normais unitários são mutuamente ortogonais entre si e definem o sistema de coordenadas nas direções principais.

Tensor de tensões diagonalizado:

Comprimento do elemento infinitesimal na configuração deformada:

Para o tensor de deformação de Cauchy-Green à direita diagonalizado, tem-se:

Fazendo-se: Tem-se:

O que implica em: (

l

VALORES PRINCIPAIS DOS TENSORES DE

SEGUNDA ORDEM:

 Alongamentos principais e os invariantes do tensor de deformação

de Cauchy-Green à direita:

Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita diagonalizado:

Invariantes do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita em termos dos alongamentos principais:

 Alongamentos principais e os invariantes do tensor de deformação

de Cauchy-Green à direita:

VALORES PRINCIPAIS DOS TENSORES DE

SEGUNDA ORDEM:

Invariantes do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita no

estado indeformado:

Relação entre o terceiro invariante do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita e o determinante do tensor gradiente de deformação:

Estado de deformação isocórica (sem mudança de volume):

 Alongamentos principais e os invariantes do tensor de deformação

de Cauchy-Green à direita:

VALORES PRINCIPAIS DOS TENSORES DE

SEGUNDA ORDEM:

INVARIÂNCIA DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

ESPECÍFICA:

 Descrição Lagrangeana do Movimento:

= Posição Final (Configuração Deformada) = Posição Inicial (Configuração Indeformada)

 Movimento de Corpo Rígido:

= Translação de Corpo Rígido = Rotação de Corpo Rígido

Movimento do corpo em que cada partícula permanece na mesma

posição relativa ao restante do corpo. No entanto, o corpo como um

todo é rotacionado e transladado.

Q_ij(t) é um tensor ortogonal próprio dependente do tempo t: e

 Princípio da Indiferença do Material ao Referencial:

A energia de deformação específica é afetada somente pelo movimento relativo das partículas, sendo, desta forma, invariante aos movimentos de corpo rígido.

Fisicamente, isto significa que a energia de deformação específica não depende da posição ou movimento do observador (Física Newtoniana).

Componentes do tensor gradiente de deformação após o movimento

de corpo rígido:

INVARIÂNCIA DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

ESPECÍFICA:

Invariância da energia de deformação específica para movimentos

de corpo rígido:

 Princípio da Indiferença do Material ao Referencial:

INVARIÂNCIA DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

ESPECÍFICA:

Como a igualdade anterior deve ser verdadeira para todo tensor

ortogonal próprio Q, nós podemos fazer:

Como U é um tensor positivo-definido, ele é unicamente determinado

por U2_=C.

Isto fica mais facilmente entendido para estes tensores diagonalizados:

 Princípio da Indiferença do Material ao Referencial:

INVARIÂNCIA DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

ESPECÍFICA:

Desta forma, nós podemos escrever a energia de deformação específica

como uma função do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita:

Pode-se demonstrar que a igualdade acima é suficiente para a invariância de W para movimentos de corpo rígido:

Desta forma, uma condição necessária e suficiente para a invariância de W para movimentos de corpo rígido é que W depende de F através de C:

 Simetria Material:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

A resposta do material independe da direção de aplicação do carregamento. Materiais considerados isotrópicos: metais, borrachas, polímeros, etc.

Para uma configuração de referência

C

Para uma segunda configuração de referência

C

onde X ocupa a posição antes ocupada por X, e Q é um tensor

constante ortogonal próprio (tensor de rotação).

Impondo-se o mesmo movimento para a configuração rotacionada: e

Para materiais isotrópicos, tem-se: para todo Q.

 Simetria Material:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

Um material não isotrópico é conhecido como anisotrópico.

Tensor gradiente de deformação para a configuração rotacionada:

Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita para a configuração rotacionada:

Desta forma, para um material isotrópico:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

Assim:

onde:

 Tensores de tensão para um material isotrópico:

 Tensores de tensão para um material isotrópico:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

Tensor de tensão de Cauchy:

A partir desta expressão, pode-se chegar na seguinte relação constitutiva:

 Material elástico linear:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

Energia de deformação específica:

(função quadrática do tensor de deformação de Green-Lagrange)

Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

= (tensor de rigidez do material elástico linear)

E=módulo de Young; n =coeficiente de Poisson e m =módulo de cisalhamento.  Válido para o regime de grandes deslocamentos e pequenas deformações.

 Modelo de Blatz-Ko:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

 O modelo de Blatz-Ko para materiais compressíveis é uma versão simplificada da expressão sugerida por Blatz-Ko (1962).

 Pode ser utilizado para modelar borrachas de espuma de poliuretano

altamente compressíveis.

Energia de deformação específica:

O coeficiente de Poisson é assumido igual a 0,25, o que implica em m =E/2,5.

Blatz, P. J. and Ko, W. L. (1962). Application of finite elasticity theory to deformation of rubbery materials. Transaction of the Society of Rheology, 6, 223-251.

 Material compressível de Mooney-Rivlin:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

Energia de deformação específica:

onde:

Visando-se uma consistência com a elasticidade linear no regime de

pequenas deformações, tem-se:

e

O material de Mooney-Rivlin original era incompressível (n = 0,5), esta energia de deformação específica modificada foi sugerida por Susmman e Bathe (1987).

m =módulo de cisalhamento e k =módulo de elasticidade volumétrico.

Sussman, T. and Bathe, K. J. (1987). A finite element deformation of nonlinear incompressible elastic and inelastic analysis. Computers and Structures, 26, 357-409.

 Material compressível de Mooney-Rivlin:

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA PARA

MATERIAIS ISOTRÓPICOS HIPERELÁSTICOS:

A compressibilidade e o coeficiente de Poisson podem ser modificados assumindo-se diferentes valores para o módulo de elasticidade volumétrico:

O material compressível de Mooney-Rivlin é particularmente popular na

modelagem de materiais macios, por conta do controle da compressibilidade.

O material compressível de neo-Hookean seria um caso particular, quando