O método dos elementos finitos aplicado à análise de vigas e placas apoiadas em meio elástico

C AS APOIADAS EM METO ELÃSTICO

Tânia Glacy do Brasil DeFigueiredo

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL. DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.)

Aprovada por:

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL FEVEREIRO DE 1974

A minha mae. A meu marido.

Ao prof. Pedro Ivan Rogedo, da Universida-de Universida-de Brasília, nosso orientador durante o período em que esteve na COPPE como professor visitante, pela escolha do tema deste trabalho e pela atenção que nos dispensou.

Ao prof. Fernando Luiz L.B. Carneiro, nosso segundo orientador, por sua solicitude e por tudo aquilo que tem feito em prol da Pós-Graduação em Engenharia Civil.

Ao ex-diretor da COPPE, prof. Alberto Luiz Coimbra e ao atual diretor, prof. Sydney M.G. dos Santos, pela contribuição e incentivo aos estudos pós-graduados no Brasil.

Aos demais professores e funcionários da COPPE.

Aos funcionários do Núcleo de Computação E-letrônica da UFRJ.

Aos colegas da COPPE.

Ao Conselho Nacional de Pesquisas e a COPPE pela bolsa de estudos concedida

A todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

Aplicou-se o Método dos Elementos Finitos

à análise de vigas e placas assentes sobre o solo. Este é cons! derado como um meio elástico linear, homogêneo e isotrópico.

são feitas algumas considerações sobre o real comportamento do solo,bem como sobre as maneiras usuais de se caracterizar esse comportamento no caso particular do probl~ ma em questão.

Os efeitos devido. a separaçoes que po~_ ventura ocorram entre assuperfícies de contato foram considera-dos.

E apresentado um programa automático para o cálculo de placas retangulares (ou placas que possam ser dis-cretizadas por meio de retângulos) e vigas sobre um meio elásti-co.

The Finite Element Method was applied to analyse beams and plates resting on soil considered as an isotropic, homogeneous and linear elastic medium.

Some considerations about the actual behavior of the soil and about the usual assumptions used to solve this and similar problems are discussed.

The effects of eventual separation of contact surfaces are taken intó account.

A complete computer program for the calculation of rectangular plates and beams is presented. This program can also handle plates wich can be decomposed into rectangles.

CAPITULO II - COMENT.ll.RIOS SOBRE O COMPORTAMENTO DO SOLO 2.1 - O solo como um material de engenharia

2.2 Hipóteses clássicas referentes ao comporta -mente do solo utilizadas no cálculo de vigas e placas sobre o solo

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CAPITULO III - O MÍ:TOOO DE c.ll.LCULO

3.1 - Introdução

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3.2 - Idealização estrutural

CAPITULO IV - A ESTRUTURA

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4.1 - O elemento de viga

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4.1.1 - Matriz de rigidez do elemento de viga 4.1.2 - Matriz das forças nodais equivalentes para o elemento de viga

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4.2 - O elemento de placa

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CAPITULO V - A FUNDAÇÃO EL.ll.STICA

5.1 - Deslocamentos verticais na fronteira de um semi-espaço infinito devido a uma carga pun-tual vertical

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3 4 9 9 11 12 13 15 17

5.2 - Deslocamentos verticais na fronteira de um

semi-espaço infinito devido a uma carga

uni-formemente distribu{da . . . • . . . 18

5.3 - Matriz de flexibilidade da fundação 5.3.l - Coeficientes de flexibilidade

. .

.

. . .

24 26

5.4 - Matriz de rigidez da fundação

CAPÍTULO VI - FORMULAÇÃO GERAL PARA O CONJUNTO ESTRUTURA-SOLO

26

6.1 - Comportamento elástico l i n e a r . . . 28 6.2 - Comportamento não-linear

CAPÍTULO VII - EXEMPLOS - ANÃLISE E CO~ÇÃO DOS Rli;:SULT~ DOS Exemplos Conclusões

...

BIBLIOGRAFIA

...

AP~NDICE 33 36 40 41

1. Explicações sobre o programa . . . ,f-... 44

2. Programa principal - diagrama de blocos simpl! ficado

3. Entrada de dados 4. Notações

5. Listagem do programa e subrotinas

45 47 ~

48

CAPfTULO 1

INTROVUÇÃO

Existem numerosos estudos a respeito de vi gas e placas apoiadas sobre o solo. Principalmente em se tratan-do de vigas, o assunto já foi extensamente pesquisatratan-do. A maioria dos autores, entretanto, ao idealizar.· um modelo matemático pa-ra o comportamento do solo, adota a tpa-radicional hipÓtese do coe ficiente de recalque ou hipÓtese de Winkler. Inclusive os auto -res mais modernos, utilizando técnicas avançadas no campo do: cá! culo estrutural, tais como o Método dos Elementos Finitos, nao se preocupam numa melhor caracterização do comportamento do solo

(3), (•), (5), (6) •

Embora a aplicação de diferentes métodos à

solução do problema nos forneçam resultados, muitas vezes, tota! mente diversos, a parte experimental deixa muito a desejar. No caso de placas, então, são rarissimos os casos de ensaios já rea lizados que constam da literatura.

Com o aparecimento dos computadores digi tais e a consequente facilidade de aplicação de métodos numéri -cos, tais como o Método dos Elementos Finitos, vários trabalhos' surgiram, principalmente no caso de placas sobre fundação elás-tica ( 1 l , ( 2 l , ( 3 l , (" l , ( 5 l , ( 6 l . Apesar de ainda predominar a ado-ção da hipÓtese do coeficiente de recalque, esperamos que essa

tendência vá gradativamente cedendo lugar a outra, onde o solo' seja melhor representado. Contudo, a real caracterização so so-lo é praticamente impossível. No capitulo 2 fazemos um breve co mentário sobre o assunto.

Neste trabalho, considerando o solo como' um continuo elástico, pretendemos ser um pouco mais rigorosos, apesar dessa forma ainda não ser a ideal.

Apresentamos nos capítulos seguintes todo o desenvolvimento teórico necessário à confecção do programa au tomatice, o qual é apresentado no apêndice.

CAPÍTULO

II

COMENTÁRIOS SOBRE O COMPORTAMENTO VO SOLO

2.1 - () SOLO COMO UM MATERIAL DE ENGENHARIA

Ao pretendermos caracterizar o solo co-mo um material de engenharia enfrentaco-mos um grande número de di ficuldades. A principal delas deve-se ao fato do solo nao s e r ' contínuo, nem mesmo no sentido em que se admite que o sejam, o~ tros materiais convencionais tais como o aço, a madeira, etc. , pois o solo é·. constituído por partículas sólidas desagregadas Assim, o seu comportamento macroscópico depende tanto da nature

za dos contatos entre essas partículas como dos movimentos e de formações dos grãos nesses contatos. Outras advem da forma como usualmente encontramos o solo na natureza: heterogêneo e aniso-trópico, com suas propriedades características variando consid~ ravelmente de ponto a ponto. Devemos acrescentar, ainda, a dif! culdade que temos em obter amostras com as mesmas propriedades do solo original. Geralmente o solo possui propriedades que de-pendem da história de seu estado tensão-deformação e de sua temperatura. Além disso as amostras são quase sempre amolgadas devido à grande deformabilidade.do solo. Daí vemos porque ao ensaiarmos o solo em laboratórios é comum termos as proprieda-des a serem determinadas alteradas ou, até mesmo, proprieda-destruídas.

costuma-seca-racterizar o solo de acordo com o problema a ser resolvido. De 2 ta forma, no estudo de deslocamentos e recalques, usam-se solu-çoes obtidas a partir da teoria da elasticidade linear. Neste caso o solo é considerado, de início, como um ~~io homogêneo,! sotrópico e semi-infinito e, depois, como um m~io anisotrópico, formado por diferentes camadas. Já em questões de rutura ou es-tabilidade, o solo é caracterizado como um material rígido-plás tice. Soluções da teoria da plasticidade são aí utilizadas.

Na verdade o comportamento real doso-lo nao é nem perfeitamente elástico e nem perfeitamente plásti-co.Considerando-se, contudo, a complexidade dos cálculos no es tudo de um,sólido elástico linear, vemos que soluções conside-rando o comportamento verdadeiro do solo, ou seja, não linear e histerético, são impossíveis de se obter analiticamente.

2.2 - HIPÕTESES CLÃSSICAS REFERENTES AO COMPORTAMENTO DO SOLO Q

TILIZADAS NO CÃLCULO DE VIGAS E PLACAS SOBRE O SOLO.

Neste caso há três maneiras tradicio-nais de se encarar o comportamento do solo:

a

-1.) Considerando-se uma distribuiçao linear das pres-sões de contato.

ªi· ~

2. j Adotando-se a hipotese do coeficiente de recalque (de Winkler) .

Acredita-se que essa hipótese tenha si do proposta inicialmente por Winkler, em 1867.

O modelo matemático do comportamento '

/

mecânico do solo correspondente a esta hipótese e um sistema de molas isoladas e independentes entre si (fig. 2.1)

fig. 2.1

Deste modo, para cada ponto, temos: p

₌

k.

w

onde,

p

₌

reaçao do solo,

k

₌

coeficiente de recalque

w

₌

recalque

Esta hipótese, bastante difundida e <i!!1

plamente utilizada é, obviamente, falha. Não se considera a in-teração entre pontos adjacentes do solo.

Há casos, entretanto, em que o uso de 2 ta hipótese nos leva a bons resultados. Vesi6

{fr!

8), em estudos

sobre vigas em fundação. elás:tica, faz uma análise muito intere 2 sante sobre o assunto. Ele mostra que esta hipótese é pratica-mente satisfatória para vigas de comprimento infinito desde que adotemos um valor adequado para o coeficiente de recalque. Tra-tando-se de vigas de comprimento finito o método pode fornecer resultados razoavelmente exatos desde que a viga seja suficien-temente longa. Também em vigas sobre dormente (trilhos de fer-rovias) os resultados obtidos adotando-se a hipótese de Winkler são satisfatórios.

Como foi dito no capítulo I, é muito escassa a bibliografia a respeito de.ensaios realizados em pla-cas com a finalidade de se comprovar a validade da hipótese de Winkler ou de qualquer outro método.

Recentemente, na COPPE, Berberian (9), ensaiou uma placa circular assente sobre areia média uniforme. Para este caso a hipótese de Winkler não conduziu a resultados satisfatórios.

3~) Considerando-se o solo como um meio linearmente deformável.

Considera-se o solo como um meio elás-tico linear, homogêneo, isotrópico, semi-infinito, com um módu-lo de elasticidade, E ,

o e um coeficiente de Poisson,

Dentre as acima citadas, esta é a for-ma for-mais rigorosa de se representar o solo.

Vesié .< B) , em ensaios com vigas de aço

sobre silte micáceo compactado concluiu que, pelo menos no que concerne a distribuição de pressões, o solo possui um comporta-mento similar ao de um sólido elástico.

Berberian (9) obteve resultados satis-fatórios considerando o solo como um meio elástico linear.

Para que esta hipótese seja aplicável nao é indispensável que o material seja perfeitamente elástico, mas sim, que exista uma relação aproximadamente linear entre tensões e deformações. Então, mesmo em massas de solo não-elás-ticas, esta hipótese pode ser aplicada quando pudermos admitir proporcionalidade entre as tensões e deformações.

Certos tipos de carregamento do solo produzem deformações aproximadamente proporcionais às tensões aplicadas. Contudo em casos de carregamento onde a rutura por' cisalhamento é iminente, não se tem, de forma alguma,

cionalidade entre tensões e deformações.

propor-Souto Silveira (1

º>

procurou verificar a linearidade entre tensões e deformações (lei de Hooke) para uma determinada areia argilosa (arenito decomposto) compactada sob diferentes condições de umidade e peso específico aparente seco. Para o solo considerado, compactado com graus de compac-tação superiores a 84% e com umidades entre h

0t ± 4% (h ot

=

u

-midade ótima) , ela obteve um trecho inic;·a1 reto para a curva tensão-deformação que compreende 67 a 74% do intervalo

deva-riação das tensões, isto é, da tensão. inicial zero até a tensão de rutura.

CAPfTULO 111

O MÉTOVO VE CÁLCULO

3.1 - INTRODUÇÃO

Utilizamos o Método dos Elementos Fini tos,adaptando-o ao problema da base elástica.

,J

Achamos desnecessário apresentarç aqui um resumo do Método dos Elementos Finitos já que o mesmo está perfeitamente explicado na bibliografia sobre o assunto (li)

,,

P

2) e, apesar de recente, é bastante conhecido e utilizado. Seguimos o livro "The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics" de O.C.~iewicz e Y.K.Ch~ng) no que se refere a conceitos, nomenclatura, etc. _{· - ~ ~}

3.2 - IDEALIZAÇÃO ESTRUTURAL

A estrutura (placa ou viga) é subdivi-dida em um número finito de elementos, interligados por um _nu:-.,.,.,.

---

"

mero discreto de pontos nodais, exatamente como se procede no' Método dos Elementos Finitos.

A cada no da estrutura corresponde um nó da superfície do solo e,ocontato da estrutura com o solo se

processa através desses nós.onde sao. estabelecidas condições de continuidade e equilíbrio (fig. 3.1).

A reaçao do solo (pressÕ?_sde contato) é considerada como um conjunto de cargas concentradas aplicadas nos nós. Por conseguinte a estrutura fica submetida à açao das cargas externas e da reação do solo. A fundação, por sua vez, também está sob a açao das mesmas pressões de contato (fig.3.1).

SÓ foram consideradas as pressoes de contato verticais embora as pressões de contato horizontais nao tragam maiores dificuldades ao problema.

Como a estrutura é calculada pelo MétQ do dos Elementos F:initos teremos que escolher o elemento finito adequadoa·fim de estudá-la. Apresentamos no próximo ~ capítulo os elementos de viga e placa que .foram utilizados.

CAPÍTULO IV

A

ESTRUTURA

Considere-se aqui como estrutura a ple ca ou viga sem o solo.

4.1 - O ELEMENTO DE VIGA

Adotamos o elemento prismático retilí-neo com dois nós e dois graus de liberdade por nó: uma transle çao na direção z e uma rotação segundo o eixo dos y

4 .1) •

(fig.

Partimos da solução exata já conheci-da para a viga bi-engastaconheci-da e, não, admitindo-se uma função deslocamento para o elemento, como se procede normalmente no ' Método dos Elementos Finitos.

2 4 ~ · y

1

X z fig. 4.1

~embramos que essa solução quando a viga satisfizer às seguintes condições:

-so vale

segue a lei de Hooke.

b) As deformações sao mui.'to pequenas.

c) Não se considera a interação entre esforço e momento fletor no elemento.

axial

Assim, facilmente montamos as matrizes do elemento necessárias ao cálculo da viga.

4.1.1 - MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA.

Seja um elemento com um módulo de ela2 ticidade, E, momento de inércia em relação ao eixo y, IY e comprimento, L (fig.4.1). Sua matriz de rigidez referida aos eixos e numeração mostrados na fig. 4.1(. será:

12 EI y L3 SIMtTRICA 6 EI 4 EI y y L2 _L

[K]e

₌

12 EI 6 EI _{12 EIY} y y L3 L2 L3

O coeficiente de rigidez kij repre-senta o esforço na direção i por unidade de deslocamento na direção j, mantendo-se deslocamentos nulos em todas as outras direções segundo o conceito de coeficientes de rigidez (13). No

caso em questão, é o esforço de engastamento na direção i por unidade de deslocamento na direção j quando todos os outros ' deslocamentos são nulos. Esses esforços podem ser obtidos utili zando-se qualquer método de cálculo.

Na obtenção dos coeficientes aqui apr~ sentados foram desprezadas as deformações causadas pelo esforço cortante.

4.1.2 - MATRIZ DAS FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES PARA O ELEMENTO DE VIGA,

Também se refere aos eixos e numera-çao da Jig. 4.1~.

As cargas nodais equivalente sao as a-çoes de engastamento perfeito para a viga bi-engastada, com os sinais trocados.

Para uma carga concentrada, P, a uma distância, a, do nó esquerdo e, b, do nó direito,

os seguintes esforços:

(3a + b)

=

(a + 3b)

Para uma carga uniformemente distribuí da, q, sobre toda a viga, temos:

{F} = q q L 2 q L 2

4.2 - O ELEMENTO DE PLACA

Na resolução da placa adotamos o elemen to retangular com quatro nós e três deslocamentos por nó: um des locamento linear, w , e dois deslocamentos ang,ulares, ex e ey.

''f.

J ig.

Estes deslocamentos estão indicados na

4. 2'; , assim como o sistema de coordenadas local. Os

deslo-camentos referem-se ao plano x y que coincide com o plano mé -dio da placa j ', .1 y

0

i m

e

X

f

ªx

w fig. 4. 2

A função deslocamento adotada para o deslocamento transversal é:

w

=

_{ªl + ª2 X+ ª3 y + ª4 X +} 2 _{ª5 X y + ª6} y2 _{+ ª7} x3

2 2 3 3 3

Este elemento, desenvolvido por Zien -kiewicz(II), foi utilizado na COPPE pelo Prof. Vasconcellos Fi lho ( l ") •

Em nosso trabalho partimos dos resulta-dos obtiresulta-dos pelo Professor acima citado. As matrizes de rigi-dez, 4:as cargas nodais equivalentes, de elasticidade, etc. fo-ram tiradas de seu trabalho.

Consideramos uma placa ortõtropa.

Constatou o Prof. Vasconcellos Filho que uma malha de retângulos iguais seguramente converge para a solução exata. Por isso, e tendo em vista a simplificação dos cálculos relativos à fundação, no nosso trabàlho só calculamos malhas de retângulos iguais.

Observamos que a formulação obtida pa-ra esse elemento baseia-se na teoria das placas clássicas (si~ plificada). Portanto, os nossos resultados serão aplicáveis a problemas onde o for a teoria clássica simplificada de placas.

CA_PfTULO V

A

FUNVAÇÃO ~LÃSTICA

5.1 - DESLOCAMENTOS VERTICAIS NA FRONTEIRA DE UM SEMI-ESPAÇO I~ FINITO, DEVIDO A UMA CARGA PONTUAL VERTICAL.

Conforme foi dito anteriormente, o so-lo é considerado como um semi-espaço in~inito, elástico linear, homogêneo e isotrópico.

Seja o plano z = O a fronteira do meio considerado. Suponhamos uma força vertical, P, aplicada' num ponto N qualquer desse plano (fig. 5.1.). O deslocamento vertical de um ponto M desse plano devido à força P é, pela fórmula de Boussinesq, igual a:

wmn

=

2 p (1 - µq)

,r E r o

sendo r a distância entre os pontos M e N, E

0 o

(5 .1)

módulo de elasticidade e µ

0 o coeficiente de Poisson do meio consid~

y

M _{- - - ' J , X}

z

fig. 5.1

5.2 - DESLOCAMENTOS VERTICAIS NA FRONTEIRA DE UM SEMI-ESPAÇO IN FINITO DEVIDO A UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBU!DA.

Suponhamos uma carga uniformemente dis .. ·, tribuída, q, num retângulo de lados a e b no plano z

=

O

(fig. 5.1). Calculemos o deslocamento vertical do ponto M, pe!: tencente ao plano z

=

O (fig. 5.2)

a ,., I ' y ,, N

_ef'

A'

..Q ·y N (~,yN) r a/2 X M(O,O) fig. 5.2

Para o elemento infinitesimal de area ds

=

dx dy podemos supor que a carga distribuída é aproximada-mente uma carga puntual. Poderemos, então, aplicar (5.1).

como, d

,o

=

Teremos então:

=

2 d .Q (1 - µ_{0 )} TI E 0 r q dx dy e 2

=

q (1 - µo) '1T E

j

xz

+

Yz

o r

=

dx dy

Integrando sobre todo o retângulo, te-remos o deslocamento do ponto M.

WMN

=

+ b + a YN ~ -2 2 b y -N 2

~

-2 q(l - µol 11 E 0 a 2 y -N b 2 dx dy

[ l

+ ~

senh-1; : _:

2

fazendo, vem, fazendo, b

e

=

Y

+ -N 2

=

q (1

,

2 - µal "'MN 11 Eo B

=

_~

-2 a b D = y -N 2 e

,

-1 X

[

senh ; B

]A

. J D e dy "'MN

=

q(l -

µ~)

11 E o

( -1 A -1 B)

senh ; - senh ; d y D

e

A I l -1 A ternos: (JJ

=

e

=

senh - dy y y

rc-

A -1 D I l senh (JJ d (JJ

=

₂ (JJ A/D

[-

-1

:]

A/C I l - A senh (JJ -1

=

-

senh (JJ A/D

c..::.l3

(~

-1 A -1

e

.. D -1 A _{-1 D)}

I-_,1)

=

A senh _'--·. + senh

- -r-)

senh senh

,-) \. ,

e

Al

_,., -À _{D A.}

analogamente, se·: I2

i:

-1 B dy,

=

senh vem, y logo, WMN =

e

-1 B

e

senh - + senh B C B 2 q(l - µq) TT Eº com r 1 e r2 dados por (5.2) e (5.3) D senh-l B - senh-l D. B D Ei (5'.:'.l3) (5.4)

Para os pontos M e N coincidentes, ternos: y a/2 a/2 ₁ - ~

<\

N

ef'~

:-a-- X N M

:-a--' -fig. 5.3

<~ .

₌ MM WMM = WMM = fazendo w= a 2y w· .\

=

MM WMM

=

b/2 a/2 q (1 2) dx _ª:i:: 4

.

- l:!c /x2 2' ,r Eo + y

o

o

_b/2 4 (1 - 2 [ -1

x]

a/2 q µq) senh ; dy ,r Eo

o

o

4

q

(1 - 2

C'

-1 µq) a senh - - dy, ,r Eo 2y 2 4 _q (1 - µq) lim ,r Eo 2 2 q (1 - µ_{0 )} a ,r Eo 2 2 q a(l - µ_{0 )} ,r Eo 2 2 q a(l - Uol ,r Eo -1 senh w w a/b -1 senh w

(-,:,)a-.,

a/b

.,

[

-lim w+o, -1 senh · w dw -1 senh w w 2 w

.!.

l

a/b

- senh-l w ., -1 b senh - -( .... _) a,

Cálculo dos limites:

-1 _{log (1}

_~

Ll

=

lim s·enh · w

=

lim +

w·*<>> w w+"' w

Aplicando a regra de L' HÔpi tal, vem:

L1

=

lim (- - -2

-=w=_

w+"' 2 /1+w2 _l_+_~-=l=+w=2,...) " portanto, = - lim w+"' L 1

= -

lim w+"' lim w+oo -1 senh w /1+w20 (1 + /1+w~0) 1 /1;w2' +

Í

(1 + /1+üÍ2

i

1

₌

_{senh-l O}

=

o

w WMM

=

2 g a (1 - µ~) ir Eo

(-:--1 senh a b =

o

- senh

=

-1 (5. 5)

5.3 - MATRIZ DE FLEXIBILIDADE DA FUNDAÇÃO

O solo nao é discretizado como no caso da estrutura. A matriz de flexibilidade da fundação é deduzida' para tod~ a fundação, considerada como uma estrutura cujos nós são os pontos da., superfície de contato corresponclentes aos nos da estrutura. Ou seja, não montamos a matriz de flexibilidade' da estrutura a partir das matrizes de flexibilidade dos elemen-tos. No caso, nem temos uma porçao do solo que possa ser consi-derada como um elemento.

Como só consideramos deslocamentos ver ticais para o solo, aquela matriz é obtida simplesmente aplican do-se uma carga vertical unitária em cada nó e calculando-se os deslocamentos verticª:i.s respectivos conforme o conceito clássi-co de clássi-coeficientes de flexibilidade (13 ). No cálculo dos deslo~ camentos verticais empregamos a fórmula de Boussinesq, (5.1).

Tendo em vista uma melhor simulação do problema real e ainda levantar a indeterminação que surge ao calcularmos o deslocamento no ponto de aplicação da carga, con-sideraremos, ao invés de uma carga unitária concentrada nos nós, uma carga uniformemente distribuída num retângulo de lados a e b em torno de cada nó.

A resultante dessa carga é suposta i-gual a unidade.

As dimensões desse retângulo de carga variam conforme tenhamos viga ou placa.

Para as placas, a e b serao iguais as dimensões dos elementos (todos iguais). (fig. 5.4.a).

Para as vigas, temos dois casos a con-siderar (fig. 5.4.b):

a

.Q .Q

a) Nós extremos:

a= comprimento do elemento adjacente b = base da viga do elemento adjacente b) Nós internos:

a= média aritmética do comprimento dos elementos adjacentes.

b = média aritmética das bases dos elementos adj~ centes. 1 a a a 1

CD

~'ªi-i+ai) tn 1 l

t

_I

~

1111

1 1

~

IJI

1

~

~ /

ri-1 1 ªi ~ /

,~

~

5.4.b

~

retângulo de atuação da carga distribuída 5.4.a fig. 5.4

5.3.1 - COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE

Os coeficientes f .. _]. sao calculados

].

por (5. 5) com q

₌

1 Então, temos: ab

2 (1 - 2

(:

-1 -1

:)

fii

=

µg) senh a - senh

11 E b b

o

Os coeficientes f .. se-lo-iam por '

l.J

(5.4). Verificou-se, porém, que para pontos M e N distintos, o erro máximo que se comete quando se considera a carga como concentrada é de 4% (2 ). Como temos em vista a automação dos cálculos e o emprego da equação (5.4) acarretaria uma maior complexidade ao programa automático, so consideraremos a carga distribuída no caso dos pontos M e N coincidentes.

Então, usando (5.1), vem:

2 (1 - JJal

11 E 0 r

5.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ DA FUNDAÇÃO, [Kf]

~ obtida por inversão da matriz de fle xibilidade, [Ff].

OBS.: Devido à maneira como montamos a matriz, de rigidez da fundação ela é uma matriz cujos termos sao todos dife -rentes de zero. E, ainda mais, cada nó tem influência' sobre todos os outros, razão pela qual nao podemos re -solver problemas de estruturas simétricas utilizando es

,~,

CAP1TULO VI

FORMULAÇÃO GERAL

PARA

O CONJUNTO ESTRUTURA - SOLO

6.1 - COMPORTAMENTO ELÃSTICO LINEAR

A formulação geral para o conjunto es-trutura-solo é deduzida considerando-se as condições de equilí brio e compatibilidade na superfície de contato.

No Método dos Elementos Finitos temos a seguinte relação:

onde,

.{F}

=

[K].{ó} (6 .1)

· {F}

=

matriz das cargas noda.i,s constituída) pelas fof ças aplicadas nos nós; forças nos nós equivale~ tesa um carregamento no elemento; variação de temperatura, etc.

[K]

=

matriz de rigidez da estrutura.

,,

Consideremos apenas a placa ou a viga. Seja Qi a força externa que atua no no i. A carga que efetivamente atua nesse .nó será Ni

=

Qi-Pi onde Pi é a reação do solo nesse ponto, (fig. 6.1). Então, pa ra a viga ou placa, temos:

. {N}

=

{Q} - {P}

fig. 6.1

A equaçao (6.1), para a estrutura, to-ma o seguinte aspecto:

onde,

ou

[K] =

matriz de rigidez da estrutura,

e

{ôe}

=

deslocamentos nodais da estrutura.

Para a fundação, (6.1) fica:

{P'}

₌

_[Kf]

{ .s;J

( 6. 3) onde,

{P'}

₌

matriz das reaçoes verticais do solo,

[Kf]

=

matriz de rigidez da fundação,

{ ,s 1 }

=

deslocamentos da fundação.

f

Na equaçao (6.2) estão presentes ter -mos relativos a momento-rotação, além de forças e deslocamentos verticais. Na equação (6.3) apenas aparecem termos referentes a forças e deslocamentos verticais.

Para que haja compatibilidade entre (6.2) e (6.3) acrescentaremos em (6.3) linhas e colunas de ze rosnas linhas e colunas relativas a momento-rotação.

Assim procedendo, a matriz de rigidez' do solo [Kf] passará a [Kf], {P'} passará a· {P} e · {õf} a

• {_óf}.

Então,

( 6. 4)

Para que os deslocamentos sejam compa-tíveis os deslocamentos da estrutura devem ser iguais aos deslo camentos da fundação na superfície de contato.

Logo,

{ôe} = {<Sf} e

{P} _{= [Kf] {ôe}} (6. 5)

Levando (6.5) em (6.2), temos:

{Q} = [Kf]. {<Se} + [Ke]. {ôe} ou

{Q} _{= [Kf + Ke] {ôe}}

e

-1

{ôe} = [Kf + Ke] {Q} ( 6. 6)

Assim ficam determinados os deslocamen tos, tanto da estrutura quanto do solo.

Obtidos os deslocamentos, calculamos ' as reaçoes do solo concentradas nos nós por (6.4) e através des sas calculamos as pressões de contato para um nó genérico, i, da seguinte maneira:

" ab

coe-ficiente cujo valor depende da posição. do .nó na estrutura. Para a placa, terrios os seguintes valo-res de a

1,

-

internos (ponto A)

a

=

para nos

a

=

1

4'

para nós de cantos salientes (ponto D)

a

=

_, 3 para cantos reentrantes (ponto B) 4

a

₌

1 nós das bordas (ponto C)

2'

para os

Para a viga, temos:

a

=

1, para nós internos (ponto F')

1

-

_{extremos (ponto E)}

a

=

2'

para nos

Os pontos A a F estão indicados na fig. 6.2.

C D

A B

X

E E

6.2 - COMPORTAMENTO NÃO. LINEAR

Observa-se que a análise de placas e vigas flexlveis sobre uma fundação elástica nos conduz, não só a tensões de compressão na superfície de contato, como também, a tensões de tração. Evidentemente o aparecimento dessas ten-soes depende da rigidez da estrutura, da fundação e, ainda, do tipo de carregamento.

Normalmente o solo nao resiste a ten-soes de tração. Isso provoca a separação entre a estrutura e o solo, ou seja, há um levantamento da estrutura. Nesse caso o comportamento é não-linear.

Para resolver o problema da não-linea ridade provocada pelo descolamento entre a estrutura e o solo lançamos mão de um processo iterativo que passaremos a descre-ver:

a) Procede-se à análise normal, obtendo-se uma solu-ção elástica linear.

b) Verifica-se a existência de pressoes de contato ' de tração. Em caso negativo o problema está term! nado. Em caso afirmativo passa-se ao item seguin-te.

c) Suprimem-se as linhas e colunas da matriz de fle-xibilidade correspondentes aos nós com pressões ' de contato de tração.

d) Inverte-se essa matriz e acrescentam-se linhas e colunas de zeros nos ·locais referentes aos nós . com pressoes de contato de tração. A matriz resu_! tante será a nova matriz de rigidez do solo. Vol-ta-se ao item a.

A convergência é usualmente obtida a-pós dois, três ou quatro ciclos dependendo da rigidez relativa da fundação.

Após cada iteração, nos nós inicial-mente com pressoes de contato de tração, temos pressões de con tato nulas. Isto é Óbvio, pois já não há contato entre estrutu ra e solo.

Observação:

Devido à separaçao entre o solo e a estrutura os deslocamentos da estrutura não são iguais aos des locamentos do solo. Assim, os deslocamentos calculados por (6.6) são os deslocamentos da estrutura. Calculamos os desloca mentas do solo da seguinte maneira:

De (6.4), vem: ~1 { 8f) = [Kf] {P} como [Ff] é a matriz de flexibilidade da fundação.

então.,

logo,

CAPfTULO VII

EXEMPLOS - ANÁLISE E COMPARAÇÃO VOS RESULTAVOS

EXEMPLO 1 - Placa quadrada com carga concentrada P=l000 no centro (nó 6) . 11,5 1,5 1,511,5 1 1 1 Dados: Lfl • ,...; Lfl

.

1 2 3 4 5 E = _p 40 (da placa) µ = 0,15 ,...; t = 0,8 (espessura) Lfl • 6 ,...; Lfl • - ,...; E = _o 1 (do solo) µo = 0,15

Obs.: Deixamos de colocar as unidades porque o exemplo original (~) não as menciona.

Resultados

NÓ desloc. da placa desloc. do solo pressoes de contato

1 2 1 2 1 2 1 60,5 62,4 78,1 78,0

o

o

2 105,1 105,1 10,5 3 122,2 125,4 122,2 125,4 23,8 28,0 4 166,8 16.6, 8 2.8.,2 5 199, 9 .19.9.,.9. .40 ,5 6 .264 ,.1 . . 2.6.6

,o

.. .264,1 . . 266, O .79 ,8 84 ,9 . 1 - Resultados obtidos

2 - Resultados obtidos por Cheung e Nag (1) utilizando o mesmo me

EXEMPLO 2. - Teste .numero 4 realizado por Vesié (8_{) com uma} vi-ga de aço sobre solo siltoso. (19 nós).

_i

l

8,0"

1

36"

~T

_' M ~ N

i

~

o

.s

₁₀

~

8

₂₀

'\

"

_1\

~

_1\

'~

Ul 30

[

40 ---...._ r

1\

\

o

1 '-\

'

j

8,25 Kips 36 11

V

/

/

/ ... v

V

/

/

1, / \ I

\

I

v.

/ 1

MOMENTOS FLETORES MÃXIMOS (kip-in) Mét. El. Finitos Mét. Ohde* Mét. coef. rec. *

39,5 42,0 41,6

* -

Resultados obtidos por Vesic' ( 8 )

Experimental* 37,0

EXEMPLO 3. - Teste .número 2 realizado por Vesié (8

) , com uma

vi-ga de aço sobre solo siltoso. (19 nós)

Mét. El. 8,25 kips 8,25 kips 2,q• 34 ,O" 1 34,0" ,O" t 1 1 + l t ,

-l

8.0" 1

r<-=---t·

o

.s

-- <1l

!l

_o· 20 -o ~ 40 N ~

-~

00

~

60 Q)

' g

00

[

80

!Í

-100

b..

·.-1 ~ -80 00

j

-60 Q) ... _-40 4-l 00

~

-20

!

o

' : IV / r---. /

"

/

"

/ \

/

\

/

\

/

1 ~

MOMENTOS FLETORES MÃXIMOS (kip-in) Finitos Mét. Ohde* Mét. coef. rec.*

-

_\

\

1 1\ T Experimental* 108,8 117,9 109,6 113,2

EXEMPLO 4. - Ex. 19.1₁ pg. 285, Hugo Lehr (18 ). (11 oos)

Unidades: tonelada,· rretro

200 t 100 t 150 t

~

1

1

Jt

60

~j

1= __ ·=5_º'::l~-=..-=._-=.__.._.4_,':__50==_-=._-=._-=._+-l~--=--=-~4~,5~0-=._-=._-=._-=._-::_J-=1_,~5-'---<o-'j

gl+-

2.50

!

-

' o o

~

_.: o

8

20 ~40 'O~º tll-1-l w~80 1

fil

90

[

>- ,

-/.··

r

,/ -40 -30 -20 ~ -10 .±! o ti] 10 QJ 20

~

_{QJ 30} ... 40

....

ti] ₅₀

1

60 70 80 90

\

\.

\'

\\

:

/

\·,

: I

\

_,,

; I

: I

,,

~. I '

1

! i - - -

-

---·· - - -~ - -~~ ...

.

i

--~--,

-,' V

'\

\

:/

\.

,:;

\;

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'/

·. :/

\'.

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\, '/

_,

\-

' . ' '/

\/

Hugo Lehr usancb o rrétodo de Jérrotdlikine Método dos Elementos Finitos

CONCLUS11ES

Procurou-se, sempre que possivel, com-parar os resultados obtidos com resultados de ensaios já realizê dos na prática. Isto porque ainda não se sabe ao certo qual o método de cálculo que mais se aproxima da realidade, principal -mente quando se trata de placas. Infelizmente, justamente nesse caso, com a bibliografia de que dispunhamos, não pudemos· fazer nenhum teste com placas retangulares. Alguns ensaios são cita-dos em (1_{) e (}6_{) , porém os dados citados são insuficientes.}

Des-sa forma, para placas retangulares, o programa foi testado mas não o método de cálculo.

O problema da separaçao das superficies de contato aparece nos exemplos 1 e 2. o método iterativo adotê do funcionou satisfatoriamente. De um modo geral, os resultados aproximam-se dos valores experimentais (caso de vigas).

Os exemplos 2, 3 e 4 foram calculados no computador IBM 1130, utilizando precisão expandida para os nú meros reais.

Tendo em vista as comparaçoes feitas , consideramos que o método satisfaz plenamente no caso de vigas e esperamos que mais ensaios com placas retangulares sejam feitos e publicados a fim de podermos testá-lo também para placas.

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20. - HETf:NYI, M.

Beams on Elastic Foundation" University of Michigan Press

APtNVICE

PROGRAMA AUTOMÃTICO

1. EXPLICAÇÕES SOBRE O PROGRAMA

O programa automático apresentado a se-guir foi elaborado com base na teoria exposta nos capftulos III a VI. Utilizou-se a linguagem FORTRAN. O programa foi desenvol-vido num computador IBM/1130 com 32k de memória e posteriormen-te adaptado ao sisposteriormen-tema IBM/360.

O programa perriÚ,j:e a análise de vigas e placas com até 40 nós, 40 elementos e 4 casos de carregamento.

Não há limite para o número de estruturas a serem analisadas.

Mais uma vez lembramos que nao se pode tirar vantagem da simetria em estruturas simétricas, como se faz comumente na análise de placas e vigas. (ver pág.27).

Como o elemento de placa é retangular,as placas a serem analisadas deverão prestar-se à discretização:D ' por meio de retângulos (todos iguais). A análise de placas com buracos e cantos reentrantes nao apresenta problemas, desde que possam ser discretizadas por uma malha de retângulos iguais.

O programa permite a introdução de deslQ camentos prescritos dos nós.

18

l

LEITURA DE DADOS SOBRE A ESTRUTURA E O SOLO

LEITURA DE DADOS SOBRE OS CARREGAMENTOS

FORMAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DO SOLO

MONTAGEM DA MATRIZ DE RI-GIDEZ DA ESTRUTURA ATRA-VÉS DA MATRIZ DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS

FORMAÇÃO DA MATRIZ DE RI-GIDEZ DO CONJUNTO

ESTRUTURA + SOLO

INTRODUÇÃO DOS DESLOCAMEN-TOS PRESCRIDESLOCAMEN-TOS

A

.

CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DA ESTRUTURA

CÁLCULO.DAS REAÇÕES DO SOLO (CONCENTRADAS NOS NÕS)

REAÇÕES POSITIVAS DO SOLO REAÇÕES NEGATIVAS DO SOLO COMPORTAMENTO LINEAR COMPORTAMENTO NÃO-LINEAR

CÁLCULO DOS NOVOS DESLOCA MENTOS DA ESTRUTURA E REA -ÇÕES DO SOLO ATRAVt:S DE PRQ CESSO ITERATIVO

'

CÁLCULO DOS ESFORÇOS NOS ELEMENTOS

CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DO SOLO

\

CÁLCULO DAS PRESSÕES DE CONTATO

jFIM

N9 de N9 de

V a r i á v e i s F o r m a t o oroem

cartões

1 1 NPOOB 110

·2 1 CXMENTÁRIOO 65H

3 1 NPOIN, NELEM, NEOUN, NO)IN, NYM 7110 NFREE, NNOD

4 NPOIN/4 X(l,l), X(l,2) _' 8Fl0.0

5 NPOIN/8 ALFA(l) 8Fl0.0

para vigas:

ll0,2Fl0.0,ll0 l,Bl\SE(l), YY(l), NEP(l)

6 NELEM

para placas:

5110,Fl0.0,ll0 l, (NOD(l,J) ,J=l,4) ,THIO<(l) ,NEP (l)

7 NBOUN NF (l), (NB(l,J), J=l, NFREE), 110, NFREE(ll0),

(BV(l,J), J=l, NFREE) NFREE(Fl0.0) 8 1 NSTAR, NEND, NFIRS, NU\ST 4110

9 1 E0, Nl0 2Fl0.0 para vigas: Fl0.0 El(l) 10 NYM para placas: 5Fl0.0 El(l).,E2 (l) ·;Pl (l) ,P2 (l) ,GE (I)

.

11 NCOIN/2 NCXNC (I), NCADl (l) , NEXX: (l) 6110

para vigas: Il0, 2Fl0.0 J, U(2*J-l,K), U(2*J,K) 12 NCXNC para placas: 110, 3Fl0.0 J, U(3*J-2,K), U(3*J~l,K), U(3*J,K)

1 p;NCJ\DI=l _CAR:;A Fl0.0

13

NEIBM/8 p/NCADl>l _Q(l) 8Fl0.0

14 NECC l,NO:, (P (J) ,A(J) , J=l, NO:) 2110, 6Fl0.0 "

Cbs;: Os

cartões

núrreros 12, 13 e 14 deverão ser :repetidos tantas vezes <IU.3!! tos forem os carregarrentos. o cartão núrrero 14 só deverá ser dado para viga.

4. NOTAÇÕES NPROB NPOIN NELEM NBOUN NCOLN NYM NFREE NNOD X ALFA YY NEP NOD THICK NF (I)

.

_{de problemas serem resolvidos.}

-

numero a

-

número de .nós.

.

_{de elementos.}

-

numero

-

numero de .nós com deslocamentos prescritos

.

_{de de carregamento.}

-

numero casos

.

_{de diferentes propriedades elásticas da}

estru--

numero tura.

- número de graus de liberdade por no.

.

- numero de nós do elemento considerado. - coordenadas dos nós.

- índice de localização dos nós.

momento de inércia da viga em relação ao eixo dos y. - numero da propriedade elástica do elemento.

- nós do elemento, sentido horário (Ver pág. 15). - espessura do elemento de placa.

- nó com deslocamento prescrito número I

NB(I,J) = O, deslocamento prescrito para o nó I na direção indi-cada por J.

NB(I,J) =l, deslocamento nao prescrito para o no I na direção ' dada por J.

Valores de J: J = 1

-

direção. z

J = 2 direção da rotação y para a viga. direção da rotação X para a laje.

J

=

3 - direção da rotação y para a laje. BV NSTAR NEND NFIRS NLAST EO NIO El E2 Pl P2

- valor do deslocamento prescrito - primeiro elemento.

- Último elemento. - primeiro nó. - Último nó.

- módulo de elasticidade da fundação. - coeficiente de Poisson da fundação.

- módulos de elasticidade longitudinal da estrutura.

- coeficientes de Poisson da estrutura.

GE - módulo de elasticidade transversal da placa. NCONC - número de nós com carga concentrada.

NCADI - número de grupos de elementos com cargas distribuídas iguais.

NECC - número de elementos com cargas concentradas (só para vigas).

U - cargas nodais.

CARGA - carga distribuída igual para todos os elementos.

Q - carga distribuída no elemento.

NCC - número de cargas concentradas no elemento (caso de vigas). P - carga concentrada no elemento. (para vigas).

Pode-se ter os seguintes tipos de carre-. gamerito:

a) para as placas: cargas concentradas nos nós nas direçoes dos deslocamentos considerados e cargas unifor~emente ' distribuidas (verticais) nos elementos.

b) para as vigas: cargas concentradas nos nós nas direções dos deslocamentos considerados, cargas concentradas ou uniformemente distribuidas nos elementos (ambas verti -cais) •

Obs.: O eixo dos x deverá ter a direção do eixo da viga. A nu rneração dos nos da placa deverá obedecer à seguinte or-dem: nós i , j. 1, rn (Ver pág. 15 ) .

5 - LISTJG!M IX) PRXAAMA E SUBrol'INA5

//TANIA JOB 12026,2558l,MSGLEVEL=ll,ll,CLASS=G,TIME=30 //TANIA EXEC FORTNCEl

//FORT.SYSIN 00 * OIMENSION NEPl40l,THICK(40l,Ell3l,E213l,Pl(3l,P213l,GE(31, *NCONCl4l,NCAOl(4l,NF(201,NB(20,31,BV(20,31,Pl40,4J,H(40), *BASE(40l,NECCl41,ALFAl40l,YY(401 COMMON C(12,121,XE14,21,N00(40,4l,STl120,120l,Ull2C,4l, *X(40,2l,Q(40l,08Al12,121,Kl,K2,K3,0(l20,4l,F(4C,40l, *AEl240,41

DEFINE FILE 10(40,144,U,Kll,11140,360,U,K21,12(4,4CO,U,K3l

e

C PROGRAMA PARA ANALISE OE VIGAS E PLACAS SOBRE MEIO ELASTICO

e

WRITEl~,20001

2000 FORMATl'l',5X,541'-'l,//,6X,'COPPE/UFRJ',161 1_- 1 _l,1_PROGRAM',

*'A DE ENGENHARIA CIVIL',//,6X,101 1_{-'l,'TANIA GLACY 00 BRA',}

*'SIL OEFIGUEIRE00',10('-'l,//,6X,'ANALISE OE VIGAS E PLAC•, *'AS APOIADAS SOBRE MEIO ELASTIC01_{,//,6X,54('-'ll}

READ(B,101 NPROB 10 FORMAT(l101 00 20 LA=l,NPROB WRITE(5,1000l LA 1000 FORMAT(////,19X,181'-'l,/,19X,'PROBLEMA NUMER01_,12,/,19X, *18( ·-· 1,///) REAOl.8, 10011 1001 FORMATl65H * WRITE15,1GOll REAOIS,1G02l NPOIN,NELEM,NBOUN,NCOLN,NYM,NFREE,NNOD 1002 FORMATl7110l WRITE(S,10031 1003 FORMAT(///,24X,'DADOS DA ESTRUTURA',/,24X,181'-'l,/, *8X,1_{NPOIN NELEM NBOUN NCOLN NYM NFREE NNOO'l}

WRITE(S,1004) NPOIN,NELEM,NBOUN,NCOLN,NYM,NFREE,NNOD 1004 FORMATl10X,13,215X,131,414X,l3ll

35 FORMAT(8Fl0.0I

READ18,40COI (ALFA(II ,l=l,NPOINI 4000 FORMAT(8Fl0.0I

WRITE15,10071

1007 FORMAT(///,15X,'COORDENAOAS DOS NOS E VALOR OE ALFA',/,15X, *351 1_- 1 ₁₁ WR 1T E ( 5, 100 8 J 1008 FORMAT(l7X,'N0',9X,'X',9X,'Y',4X,'ALFA'I 00 111 1=1,NPOIN WRITEIS,10091 I,XII,11,XII,21,ALFAIII 1009 FORMAT(l6X,l3~2Fl0.2,3X,F5.21 111 CONTINUE IF(NN00-2120,341,342 341 CONTINUE DO 555 I=l,NELEM NODII,11=1 NOO(l,21=1+1 555 CONTINUE DO 43 11=1,NELEM READ18,91011,BASEIIl,YYIIl,NEP(II 910 FORMATl110,2FlC.O,IlOI 43 CONTINUE WRITE15,1151

115 FORMAT{///,l3X,'PROPRIEDADES E INCIDENCIAS 00S ELEMENTOS",/ *,13X,401'-'1,/,8X,'ELEMENTO BASE INERCIA NEP ' i

*'

INCIDENCIAS'I WRITE15,ll6111,BASE(ll,YYIIl,NEPIIl,INODII,Jl,J=l,21, *I=l,NELEMI 116 FORMAT(l3X,13,2Fl3,4~15,2X,2151 GOTO 44 342 CONTINUE DO 40 l=l,NELEM READ18,4511,JNODII,Jl,J=l,41,THICK(ll,NEPIII 45 FORMAT(5110,Fl0.0,l10l 40 CONTINUE WRITE15,10101 \

1010 FORMATli//,13X,'PROPRIEOAOES E INCIOENCIAS OOS ELEMENTOS',/ *,13X140{ 1 - 1l,/,11X,'ELEMENTO ESPESSURA NEP INCIOEN',

*'CIAS'l 00 120 l=l,NELEM WRITE15,l0lll I,THICKCil,NEP(Il,tNOOII,Jl,J=l,NNODI 1011 FORMAT(l3X,13,2X,Fl0.4,2X,14,2X,4151 120 CONTINUE 44 IFINBOUNl20,502,501 501 WRITE15,1013l

1013 FORMATl///,17X,'RESTRICGES E DESLOCAMENTOS NOOAIS1_,/,17X,

*33('-'ll IF(NN00-2120,6000,6100 6000 REAO(B,6010llNFIIl,NBll,ll,NB(l,2l,BVII,11,BVII,2),I=l,NBOU *Nl 6010 FORMATl3l10,2Fl0.0I WRITEl5,6020lll,NF(ll,NBII,ll,NB11,2l,BVII,ll,BVll,2l,I=l,N *BOUNl

6020 FORMATllOX,'1 NFIIl fi/Btl,ll NBII,21 BV(I,ll BVII,21', */,IBX.I3,319,2Fl2.4ll GOTO 502 6100 REA018,1012llNFIIl,NBCI,ll,NBII,2l,NBII,3l,BVll,11,BVII,2l, *BVII,31,I=l,NBOUN) 1012 FORMATl4Il0,3FlO.Ol WRITE15,1014l1I,NF(ll,NBll,ll,Nátl,2l,NBII,3l,BVll,ll,BVII,

*

2 1 , B V I I , 3 l , I = 1. N B OU N l

1014 FORMATI' l NF(ll NBII,ll NBII,11 NBII,31 BVII,ll', *' BVCI,21 BVll,3l',/,ll3,4l9,3Fl2.4ll

502 REA018,1015JNSTAR,NENO,NFIRS,NLAST 1015 FORMATl4Il0l

WRITE15,1016l

lOlt FORMAll///,21X,'DELIMITACAO DA ESTRUTURA',/,21X,24("-'l,/, *lOX,'EL. INICIAL EL. FINAL NO.INICIAL NO FINAL')

WRITE15,10171 NSTAR,NENO,NFIRS,NLAST 1017 FORMATl13X,I4,10X,I3,8X,I4,8X,l4l

REAOl816200IEO,XNIO

00 64 l=l,NYM READCS,1018) Eltll,E2tll,Pl(ll,P2(11,GECIJ 1018 FORMATC5Fl0.0I 64 CONTINUE IFCNND0-2120,97G,971 970 WRJTE15,'H5 I

975 FOR~AT(///,lBX,'PROPRJEOAOES ELASTICAS DA VIGA',/,18X,

*30(•-•J,/,23X,'NEP•,11x,•e1•1 WRITEl5,9761(1,Eltll,l=l,NYMI 976 FORMAT(23X,12,El4.41

GOTO 977 971 WRITEt5,1019l

1019 FORMATl///,18X,'PROPRIEOADES ELASTICAS DA PLACA',/,18X, *3111_{-•1,1,• NEP•,1ox,•e1•,11x,•e2•,12x,•G•,0x,•N11•,0x,} *'Nl2'1 DO 123 1=1,NYM WRITE15,1020lI,ElCil,E2(11,GElll,PlCil,P2(1l 1020 FORMAT(l3,3El3.4,2Ell.4l 123 CONTINUE 977 WRITEC5,205llEO,XNIO

2051 FORMATC///,18X,'PROPRJEDAOES. ELASTICAS DO SOL0',/,18X, *·301 •-• l ,/,25X, 'EO' ,llX, 'NIO' ,/,13X,2El4.4l

READIB,200l(NCONC(ll,NCAOIIIl,NECClll,I=l,NCOLNJ 200 FORMAT(tllO) NLIB=NPOIN*NFREE Nl0=2*NELEM*NFREE DO 68 J=l,NCOLN 00 68 I=l,NLIB 68 UII,Jl=O, DO 668 J=l,NCOLN DO 668 K=l,NLD 668 AE(K,Jl=O, 00 155 K=l,NCOLN WRITEl5 ,20llK 201 FORMAT(///,22X,'CARREGAMENTO NUMER0',I2,/,22X,211'-'ll WRITEC5,202lNCONC(Kl,NCAOI(Kl,NECCCKl

202 FORMAT(/,' NUMERO DE NOS COM CARGAS CONCENTRADAS",13,/, *' NUMERO CE GRUPOS OE ELEMENTOS COM CARGAS OISTRIBUIOAS 11

,

*'GUAIS',13,/, 1 _{NUMERO OE ELEMENTOS COM CARGAS CONCENTRADAS'}

*,

I 31

IF(NCONC(Kll20,l58,b 6 NC=NCONC(Kl

WRITE15,102ll

1021 FORMATl///,21X,'CARGAS APLICADAS NOS NOS',/,21X,24l'-'ll IFINNOD-2120,9eC,981

980 WRITE15,985l

985 FORMAT(l7X, 1N01,ax, 1_{FORCA Z}1 _,6X, 1_{MOMENTO Y}1 ₎

00 962 1=1,NC REAOIS,9901J,Ul2*J-1,Kl,U(2*J,Kl 990 FORMAT(I10,2Fl0.0I WRITE15,20201J,Ul2*J-l,Kl,Ul2*J,Kl 2020 FORMAT(l6X,I3,2Fl5.4) 982 CONTINUE GOTO 69 981 WRITEl5,986)

986 FORMAT(9X,'N01,eX,'FORCA Z',6X₁ 1_{MOMENTO X}1_16X1 1_{MOMENTO Y'l}

DO 69 I=l,NC READ(8,1022)J1U(3*J-2,KJ,Ul3*J-1,Kl,U(3*J,K) 1022 FORMAT(Il0,3FlC.Cl WRITE15,1023lJ,Ul3*J-2,Kl,Ul3*J-1,Kl,U(3*J,Kl 1023 FORMATl8X,I3,3Fl5.4l 69 CONTINUE 158 IFINCADI(Klll51,222,151 151 IFlNCAOIIKl-1120, 154,153 154 READl8,203lCARGA 203 FORMATlflO.Ol DO 156 I=l,NELEM 156 Q(Il=CARGA GOTO 157

153 REAOIS,2041 IQII l ,I=l,NELEMI 204 FORMAT(SFI0.01

WRITE15,205lll,Q(ll,1=1,NELEM)

205 FORMATl///,17X,'CARGA UNIFORMEMENTE OISTRIBUIDA',/,17X, *31('-'l,/,24X,'ELEMENTO CARGA',/,l24X,15,F13.2)l 222 IF(NECCIK)l20,155,3C03 3003 NE=NECCIKJ CALL CCELEIK,NEl 155 CONTINUE

e

C FORMACAC DAS MATRIZES DE RIGIDEZ

e

CALL MARillNELEM,NPOIN,EO,XNIO,NNOD,BASEl N3=NFREE*NPOIN DO 99 I=l,NPOIN DO 99 K=l,NPOIN 99 FII,Kl=STll,K) DO 47 I=l,N3 DO 47 J=l,N3 47 ST<I,Jl=O. NST=NSTAR NEN=NEND K=NFIRS L=NLAST Kl=l DO 80 LK=NST,NEN DO 85 I=l,NNOD JJ=NDD(LK,ll XEt I, ll=X(JJ, li 85 XEII,21=XIJJ,21 TH=THICKILKI J=NEPILK) YMl=EllJI IFINNGD-2120,140,141 140 XIY=YYILKI CALL MAREV(XIY,YMll GOTO 736 141 YM2=E2(JI

PRl=Pl(Jl PR2=P21Jl G=GE(Jl CALL MARER(YM1,YM2,PR1,PR2,G,TH,LK) 736 00 80 LL=l,NNOO 00 80 KK=l,NNOO IFINOO(LK,KKl-KlB0,131,131 131 lf(NOO(LK,KKI-Lll32,132,80 132 M=NFREE*INOOILK,KKI-Kl N=NFREE*INOOILK,LLI-Kl l=NFREE*IKK-ll J=NFREE* ( LL-11 IF(Nl!:0,900,900 900 00 5 NJ=l,NFREE 00 5 Ml=l,NFREE M.M l=M+M I NNJ=N+NJ IMI=I+MI JNJ=J+NJ 5 ST(MMI,NNJl=ST(MMI,NNJl+CIIMl,JNJl 80 CONTINUE NM=NPOIN K 2= l WRITE(ll'K2l({STCI,Jl,I=l,N3l,J=l,N3l K=l WRITE15,93ll

931 FORMAT(///,23X, 1_{0ESLOCAMENTOS NOOAIS',/,23X,201'-'ll}

795 IFINN00-2)20,4050,4200 4050 00 4100 1=1,NPOIN 00 4100 J=l,NPOIN 4100 STl2*1-1,2*J-ll=ST(2*I-1,2*J-ll+F{I,Jl GOTO 4060 4200 00 505 1=1,NPOIN 00 5C5 J=l,NPOIN 505 STl3*1-2,3*J-2l=STl3*I-2,3*J-2l+F(I,Jl 4060 CONTINUE

c

C INTRODUCAO DOS DESLOCAMENTOS PRESCRITOS

c

IF(N8GUNl413,413,313 313 00 230 1=1,N80UN M=N F II 1-1 00 230 J=l,NFREE IFINBII,Jll230,345,230 345 NMl=NFREE*M+J 00 71 JX=l,N3 71 STINMI,JXl=O. DO 72 JX=l,N3 72 STIJX,NMll=O. STINMI,N~Il=l. 00 233 JJ=l,NCOLN 233 U(NMI,JJl=BVlI,Jl 230 CONTINUE 413 CONTINUE CALL INMATIN31

c

C CALCULO

ods

DESLOCAMENTOS

c

00 305 .l=l,N3 011,Kl=O. 00 305 J=l,N3 305 011,Kl=Oll,Kl+STII,Jl*UIJ,Kl WRITEl5,404)K 404 FORMATl/,22X,°CARREGAMENTO NUMERO•,I2,/,22X,2ll'-1 ll IFINN00-2120,948,959. 948 WRITE15,t311(1,Dl2*1~1,Kl,0(2*1,Kl,I=l,NPOIN)

631 FORMAT(l6X,'N0',10X,'DESL. z•,ax,•ROTACAO Y',l,113X,15, *2El7.61l

GOTO 947

959 WRITE15,405l(I,013*1-2,Kl,D(3*1-l,Kl,Dl3*1,Kl,I=l,NPOINJ 405 FORMAT(7X,'N0',10X, 1_{DESL. z•,1x,•ROTACAO X',7X,'ROTACAO y,,}

c

C CALCULO DAS REACOES DO SOLO

c

c

941 oo· 30t I=l,NPOIN 00 306 J=l,NPOIN 306 Ptl,Kl=O. lf(NN00-2120,4300,4350 4300 00 4310 I=l,NPOIN 00 4310 J=l,NPOIN 4310 P(I,Kl=Fll,Kl+FII,Jl*Ol2*J-1,KJ GOTO 4400 4350 00 4500 I=l,NPOIN 00 4500 J=l,NPGIN 4500 PII,Kl=Pll,Kl+FII,Jl*Ol3*J-2,Kl 4400 WRITE15,3309)(1,PII,Kl,I=l,NPOINI 3309 FORMATl///,25X,'REACOES 00 SOL0',/,25X,151'-'1,/,23X,'N0', *8X,'D1RECAO Z',/,t20X,15,El7.6ll Ll=O Ml=C 00 711 l=l,NPOIN IF(Pll,Kll710,711,711.

C COMPORTAMENTO NAO LINEAR - ITERACOES

c

710 ll=l I=NPGIN 711 CONTINUE 1Fllll20,719,712 712 K3=1 READ(l2'K3)((Fll,Jl,I=l,NPOINl,J=l,NPOINI DO 717 I=l,NPOIN lf(P(l,Kll718~718,717 llE IFII-NPOINl120,722,20 722 NM=Nr,i-1 GG TG 717 720 KK=l-Ml

NI=NM-KK DO 240 J=l,NI Il=KK+J-1 DO 240 JJ=l,NM H C JJl=F C I I+l,JJ) 240 f(11,JJl=H(JJI NM=II NI=NM-KK+l DO 25() J•l,NI Il=KK+J-1 DO 250 JJ=l,NM H(JJ)=F(JJ,II+ll 250 F(JJ,IIl=HIJJI Ml=Ml+l 717 CONTINUE DO 242 I=l,NM 00 242 J=l,NM 242 ST(I,Jl=F(I,Jl CALL INM/lJ(NM) DO 243 I=l,NM DO 243 J=l,NM 243 FII,Jl=STII,Jl DO 245 I=l,NPOIN IFIP 11,KJ 1246,246,245 246 NN=NJ,1.-I + l J=O IF(NN)20,248,249 248 J= l · GO TO 2'17 249 J=J+l 247 IK=Nf'I.-J+2 DO 252 JJ=l,NM 252 FIIK,JJl=FIIK-1,JJl IFlJ-NNl249,249,929 929 CONTINUE NM=Nf'l+l

c

NN=NM-I IF(NNl20,258,25<; 258 J= l GOTO 257 25<; DO 253 J=l,NN 257 IK=NM-J+l DO 253 JJ=l,NM 253 F(JJ,IKl=F(JJ,IK-ll DO 251 J=l,NM FII,Jl=O. 251 flJ,Il=O. 245 CONTINUE K2= l REAO(ll'K2l(IST(I,Jl,I=l,N3l,J=l,N3l GOTO 795 71<; IFIK-NCCLN)333,444,20 333 K=K+l K3=1 REAO(l21K3)(1ST(I,Jl,I=l,NPDINl,J=l,NPOINl CALL INMATINPOINI 00 7001 I=l,NPOIN DO 7001 J=l,NPOIN 7001 FII,Jl=STII,Jl K2=1 REAG(ll'K2111ST(I,Jl,I=l,N3l,J=l,N3l GG TO 7<;5 444 CONTINUE

C CALCULO GCS ESFORCOS NOS ELEMENTOS

e

IF(NN00-2120,515,525 515 CA~L ESEXINELEM,NCOLNI GG TO 21 525 CALL MOFLEINPOIN,NELEM,NCOLNl

c

e

c

27 K3=1

READll2'K3.I I (Fll,Jl ,I=l,NPOINI ,J=l,NPOINl DO 260 J=l,NCOLN DO 260 l=l,NPOIN O{l,Jl=O. DO 260 K=l,NPOIN 260 011,J)=DII,Jl+F(I,Kl*PIK,Jl WRITE15,632l 632 FORMATl///,22X,'DESLOCAMENTOS DO SOL0',/,22X,211'-'ll DO 703 J=l,NCOLN WRITE15,704lJ 104 FORMATl./,22X,'CARREGAMENTO NUMER0' 112,/,22X,21(•-•J) WRITEIS,705)(1,D{I,Jl,I=l,NPOINI

705 FORMAT{23X,'N0',8X, 1_{-0IRECAO z•,/,120X,15,El7.6ll}

703 CONTINUE

C CALCULO DAS PRESSOES DE CONTATO

c

WRITEl5,308l

308 FORMAT{///,23X, 1PRESSOES DE CONTAT01,/,23X,lg{•-•))

DO 307 J=l,NCOLN DO 4010 I=l,NPOIN IF(NNOD-2l20,40C4,4C05 4004 IFII-1120,4040,5050 4040 A=X12,1}-X{l,ll B=BASE(ll GOTO 4002 5050 IFII-NPOINl4045,4055,20 4045 A=0.5*(X(l+l,ll-X(I-l,11) B=0.5*1BASE{Il+BASECI-lll GOTO 4002 4055 A=XII,11-X(I-1,11 B=BllSEI 1-ll GOTO 4002 4005 ll=SQRT((Xl3,ll-Xl2,lll**2+(X13,21-X12,211**21

c

B = S Q R T ( ( X( 1, ll - X 1 2 , li l * * 2 + 1 X ( 1 , 2 l -X 1 2 , 2 l l * * 2 l 4002 PII,Jl=Pll,Jl/lA*B*ALFA(lll 4010 CONTINUE WRITE15,3091J,11,P11,Jl,I=l,NPOINl 309 FORMATl/,22X,'CARREGAMENTO NUMER0',12,/,22X,211 1_- 1 _l,/,23X, *'N01,8X,'DIRECAD Z1 ,/,120X,15,El7.6ll . 307 CONTINUE 20 CONTINUE CALL EXIT END SUBROUTINE MAREVIXIY,YMll COMMON Cll2,12l,XEl4,2l,NODl40,4l,STl120,l20l,Ull20,4l, *Xl40,2l,Q(40l,DBAl12,12l,Kl,K2,K3,Dll20,4J,F(40,40), *AEl24C,4l

C ESTA SUBROTINA CALCULA A MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO C DE VIGA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE POR NO

c

XL•XE(.2,1)-XEll,ll DO 10 1=1,4 DO 10 J=l,4 10 CI 1,Jl=O. C12,41=2.*YMl*XIY/XL C12,21=4.*YMl*XIY/XL Cll,2l=-C12,4l*3./Xl Cll,ll=-2.*Cll,21/XL C 11,3l=-C11, l l C 1 1 , 4 1 =C 1 1, 2 l C12,3l=-Cll,2l C13,31=Cll,ll C 13 , 41 =-C 11 , 21 Cl4,4l=C12,2l DO 20J=l,4 DO 20 1=1,4 20 CII,Jl=CIJ,11 WR lT E 1 1 O 1 K 11 1 1 C 1 1 , _J l , I = 1, 4 l , _J = 1, 4 l

e

RETURN ENO SUBROUTINE INMAT{NI OIMENSION G{l201,H{l201 COMMON Cl12,121,XEl4,21,NOOl40,41,All20,1201,Ull20,41, *Xl40,21,Q(401,DBA(12,121,Kl,K2,K3,01120,41,F{40,40l, *.tlEI 240,41

C ESTA SUBROTINA INVERTE MATRIZES UTILIZANOO O METOOG OA

C . PART ICAO.

e

NN=N-c l A{ 1, ll=l.0/AI 1, l 1 00 110 M=l,NN K=M+l 00 6C 1=1,M G('I l=O.O 00 60 J=l,M 60 G{ll=G{IJ+AII,Jl*AIJ,KI Dl=O.C DO 70 1=1,M 70 01=01+.tllK,ll*GIII E=AIK,Kl-01 AIK,Kl=l.0/E 00 60 1=1,M BO All,Kl=-GIIl*AIK,KJ oo se J=l,1". H(Jl=O.O DO 90 1=1,M 90 H(Jl=H(Jl+AIK,ll*All,JI 00 100 J=l,M 100 AIK,Jl=-HIJl*AIK,KI DO 110 . l=l,M DO 110 J=l,M 110 All,Jl=AII,JI-GIIl*AIK,Jl RETURN

c

END SUBROUTINE MARER(YMl,YM2,PR1,PR2,G,TH,MMl DIMENSION AT(l2l COMMON C(12,12l,XE14,21,NOD(40,4l,ST(l20,120l,U(l20,4l, *X(40,2l,Q140l,DBA(l2,121,Kl,K2,K3,D(l20,4l,F(40,40l, •AE.( 240,4)

C ESTA SUBTOTINA CALCULA A MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO C RETANGULAR ORlCTROPO. OS PLANOS COORDENADOS GLOBAIS SAO C CONSIDERADOS PLANOS DE SIMETRIA EM RELACAC AS PROPRIEDADES C ELASTICAS.

c

OIA=SQRT( (XE13,ll-XE12, ll l**2+{XEl3,2l-XE(2,2l l**2l OIB=SQRTllXECl,ll-XEl2,ll l**2+(XE( 1,2l-XE(2,2l l**2l P2=DIA**2/0IB**2 COl=0.06666666/0IA/DIB C02=TH**3/12. YNl=YMl/(l.-PRl*PR2l YN2=YM2/(l.-PRl*PR2l YN3=YMl*PRl/(1.-PRl*PR2) OX=YNl*C02 OY=YN2*C02 D l=YN 3*CD2 ' OXY=G*.C02 DO .l I=l,12

co

l J=l,12 l CII,Jl=O. C( 1,ll=t0./P2*0X+60.*P2*DY+3C,,01+84.*DXY C12,ll=-30,*P2*0Y-15.*Dl-6.*DXY C(3,ll=30./P2*DX+l5.*01+6.*0XY C(41 1)=30,/P2*0X-60.*P2*DY-30.*0l-84.*DXY C(5,ll=-30.*P2*DY-6.*DXY Ct6,ll=l5./P2*0X-15.*0l-6,*DXY C17,ll=-30./P2*0X-3C.*P2*DY+30.*01+84.*DXY Ct8,ll=-15,*P2*DY+6.*0XY C(91ll=l5,/P2*DX-6,*DXY

Cl10,11=-60./P2*DX+30.*P2*DY-30.*0l-84.*DXY Clll,11=-15.*P2*DY+l5.*Dl+6.*DXY C(12,ll=30./P2*DX+6.*DXY C(Z,21=20.*PZ*DY+B.•DXY

e

1 3, 2 1 =-1

s. •o

1 Ct4,21=-C15,ll C{5,2)=10.*P2*DY-2.*DXY C11,21=-C1€,ll C18,21=5.*P2*DY+2.*DXY CI 10,Zl=Clll,l l C(ll,21=10.•P2*DY-8.*DXY Cl3,31=20./P2*DX+B.*DXY Cl4,3l=Cl6,ll Cl6,31=10./P2*DX-B.*DXY Cl7,31=-C19,ll C(q,3J=5./P2*DX+2.•DXY Cll0,31=-C(12,ll C(l2,3)=10./P2*DX-Z.•DXY Cl4,4l=Cll,11 Ct5,41=-C12,ll Cl6,4l=C13,ll. Cl7,4l=Cl10,ll CIS,41=-Ctll,ll Ct9,4l=Cll2,11 Cll0,41=C17, li C(ll,41=-CtB,ll C t l

«,

'i 1 =C I e;, 11 C15,5l=Cl2,21 C16,51=-C13,2J C 1 7 , 5 1 =-C 1 11, li C18,5l=Clll,21 Ct1G,51=C18,ll Clll,5l=Ct8,21 Ct6,6l=C13,31 CI 7,6 J=-C 112,11 Cl9,6l=C112,31

C ( 1 G, O =-C ( e;, 1 1 Cll2,61=C19,31 C(7,71=Cll,ll CIS,71=-C12,ll C(9,71=-C13,ll CI 10,7l=C14,ll C ( 11, 71 =-C 1 5, l l Cl12,71=-C16,ll C(8,81=C(2,2l Cl9,8l=Cl3,2l Cl1G,Bl=C15,ll C 1 11, 8 l =C ( 5, 2 l C19,9l=C13,31 C(10,9l=-C16,11 Cl12,91=Cl6,31 CllO,lOl=Cll,ll Clll,lOl=CIZ,11 Cll2,101=-C13,ll Clll,lll=CIZ,21 C(l2,lll=-C13,21 Cl12,12l=Cl3,3l DO 10 JT=l,4 AT 13*JT-2l=l. ATl3*JT-ll=DIB 10 ATl3*JTl=DIA DO 20 JD=l,12 DO 20 LD=l,JD CIJD,LDl=ATIJDl*CIJD,LDl*ATILOl*COl 20 CILD,JOl=CIJO,LDI IF (f'.IY.) 15, 15,25 25 P=OIA/DIB PX=DI.A*DIB DO 30 I=l,12 DO 30 J=l,6 30 DBAll,Jl=O. DBA(l,11=6.*IDX/P+Dl*Pl/PX

OBA12,ll=6.*IDY*P+Ol/Pl/PX OBAt3,ll=-2.*DXY/PX OBAt4,ll=-6.*P*Dl/PX OBA(5,ll=-6;*P*OY/PX OBAl6,ll=OBAl3,ll DBAt9,ll=DBAt3,ll OBAllO,ll=-6.*0X/P/PX OBA(ll,ll=-é.*01/P/PX DBAl12,ll=DBA13,ll DBAtl,21=-4.*0l/DIB D8At2,2l=-4.*DY/DIB OBA13,2l=2.*DXY/OIA OBA14,21=2.•Dl/OIB DBA15,2l=2.*DY/DIB OBA(12,2l=OBAl3,2l OBA(l,31=4.*0X/DIA OBA12,3l=4.*Dl/DIA 08A(3,3l=-2.*0XY/OIB OBAlé,3l=OBAt3,3J DBAll0,31=-2.*DX/OIA DBAtll,31=-2.*Dl/DIA OBA11,4l=DBAl4,ll DBA12,4l=OBAl5,ll OBA(3,4l=-OBAl6,l) DBA14,4l=DBAl1,ll OBA15,4l=OBAt2,ll OBAl6,4)=-0BAl3,ll DBA17,4l=OBAl10,ll OBA(8,4)=0BA(ll,ll OBA(q,4)=-DBAl12,ll OBAl12,4l=-OBA(9,ll OBA11,51=-0BA14,21 PBA12,5l=-OBA15,2l DBA14,5l=-OBA11,2) OBA15,5l=-DBA12,2l OBA1é,5l=DBA13,21