Cálculo funcional holomorfo para operadores pseudodiferenciais

Texto

(1)Cálculo Funcional Holomorfo para Operadores Pseudodiferenciais. Marco Eduardo Barros Chucata. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Ciências Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof. Dr. Pedro Tavares Paes Lopes. São Paulo, Julho de 2019.

(2) Cálculo Funcional Holomorfo para Operadores Pseudodiferenciais. Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 13/06/2019. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora:. • Prof. Dr. Pedro Tavares Paes Lopes (orientador) - IME/USP • Prof. Dr. Rafael Augusto dos Santos Kapp - UFSCAR • Prof. Dr. Tiago Henrique Picon - FFLRP/USP.

(3) Agradecimentos Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Pedro Tavares Paes Lopes pela orientação e pelo incentivo durante a realização deste trabalho.. i.

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(5) Resumo CHUCATA, M. E. B. Cálculo Funcional Holomorfo para Operadores Pseudodiferenciais. 2019. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. O cálculo funcional de operadores em espaços de Banach tem uma longa história, sendo inicialmente desenvolvido por F. Riesz, N. Dunford entre outros. Em 1986, uma importante contribuição foi feita por Alan McIntosh, que deniu um cálculo funcional holomorfo de operadores setoriais e destacou uma importante classe desses operadores: a dos operadores com cálculo funcional holomorfo limitado (CFHL). Do ponto de vista de operadores diferenciais e pseudodiferenciais, alguns elementos envolvidos neste cálculo já estavam presentes nos trabalhos de R. T. Seeley sobre potências complexas de operadores diferenciais elípticos. Mais tarde mostrou-se que diversos operadores possuem CFHL. Um artigo recente nesta direção e base para esta dissertação foi publicado por Bilyj, Schrohe e Seiler. Neste trabalho mostraremos que certos operadores pseudodiferenciais, agindo em espaços de Banach apropriados, são setoriais e possuem CFHL. Para isso faremos o estudo da álgebra dos símbolos de ordem zero e utilizaremos uma construção para a parametriz do resolvente. A apresentação procura ser uma versão mais didática do artigo de Bilyj, Schrohe e Seiler. Além disso, fazemos certas adaptações nas demonstrações com o propósito de facilitar a compreensão dos argumentos. Também vamos apresentar aplicações do resultado obtido.. Palavras-chave: Operador Pseudodiferencial, Cálculo Funcional, Operador Setorial.. iii.

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(7) Abstract CHUCATA, M. E. B. Holomorphic Functional Calculus for Pseudodierential Operators. 2019. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Functional calculus for operators acting on Banach Spaces has a long history. It was initially developed by F. Riesz, N. Dunford among others. In 1986, an important contribution was made by Alan McIntosh who dened a holomorphic functional calculus for sectorial operators and put on the scene an important class of sectorial operators, namely, operators with a bounded holomorphic functional calculus (BHFC). From the point of view of dierential and pseudodierential operators, some elements treated in this calculus were already in the works of R. T. Seeley about complex powers of elliptic dierential operators. Later it was shown that several operators have BHFC. A recent paper in this direction, and the one on which this dissertation is based, was published by Bilyj, Schrohe and Seiler. In this work we show that certain pseudodierential operators, acting on appropriate Banach spaces, are sectorial and have BHFC. For this we will study the algebra of symbols of order zero and use a construction for the parametrix. This presentation aims to explore and detail the paper of Bilyj, Schrohe and Seiler. Furthermore, we make adaptations in the proofs in order to clarify the argument. We also show applications of the obtained results.. Keywords: Pseudodierential Operator, Functional Calculus, Sectorial Operator.. v.

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(9) Sumário Lista de Símbolos. ix. 1 Introdução. 1. 2 Cálculo Funcional Holomorfo. 3. 2.1. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.2. Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.3. Cálculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3 Operadores Pseudodiferenciais. 13. 3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 3.2. Operadores Pseudodiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 3.3. Álgebra dos símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.4. Inversa e ψ -Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 4 Cálculo H ∞ para operadores pseudodiferenciais. 21. 4.1. Cálculo para o símbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 4.2. Cálculo para o operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 5 Aplicações. 31. 5.1. Regularidade Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 5.2. Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 5.3. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Referências Bibliográcas. 35. vii.

(10) viii. SUMÁRIO.

(11) Lista de Símbolos N0. Conjunto dos inteiros 0, 1, 2, . . .. N. Conjunto dos inteiros positivos 1, 2, 3, . . .. B(X). Espaço dos operadores lineares A : X → X contínuos num espaço de Banach X. X∗. Espaço dos funcionais lineares ϕ : X → C contínuos num espaço de Banach X. S. Espaço das funções de decaimento rápido em Rn (Espaço de Schwartz). H(Ω, X). Espaço das funções holomorfas f : Ω ⊂ C → X onde X é um espaço de Banach. Dj = (−i)∂j Σθ. Conjunto {reiϕ ∈ C : r > 0, −θ < ϕ < θ} (setor aberto de ângulo θ). ix.

(12) x. LISTA DE SÍMBOLOS.

(13) Capítulo 1. Introdução Nosso objetivo principal será estudar o cálculo funcional de operadores pseudodiferenciais hipoelípticos. Em particular, mostraremos que certos operadores pseudodiferenciais, agindo em espaços de Banach sujeitos a condições de hipoelipticidade, são setoriais e possuem cálculo H ∞ limitado. Os resultados se baseiam em [BSS10], no entanto a apresentação procura ser mais didática. Além disso, fazemos certas adaptações nas demonstrações com o propósito de facilitar a compreensão dos argumentos. Sob certo ponto de vista, a essência do resultado que apresentamos é mostrar que um operador concreto possui uma propriedade abstrata que, por sua vez, nos fornece mais ferramentas para estudar e resolver problemas envolvendo o operador concreto. Para o nosso caso os operadores concretos são os operadores pseudodiferencias que generalizam os operadores diferenciais lineares. Os primeiros trabalhos que introduziram as técnicas e abordagem da teoria de operadores pseudodiferencias apareceram nas publicações de [H65] e [KN65]. Uma das ideias mais importantes da teoria consiste em estudar os operadores através da manipulação de seus respectivos símbolos. O lado abstrato é formado pelo cálculo funcional. Dado um operador linear A, a ideia é associar para cada função f um operador f (A). Quando A é um operador limitado denido num espaço de Banach, a Fórmula Integral de Cauchy fornece uma representação interessante e já permite provar teoremas espectrais importantes [Rud91]. Na prática, como o espectro de um operador limitado é compacto, podemos escolher uma curva Γ contornando o espectro de A e, para cada função holomorfa f , denir Z 1 f (A) = f (λ)(λ − A)−1 dλ 2πi Γ através da integral de Bochner. Uma referência clássica para o cálculo funcional de operadores limitados é o livro [DS58]. Nas aplicações muitas vezes lidamos com operadores lineares não limitados cujo espectro, em geral, é um conjunto ilimitado de C. Veremos que no caso de operadores setoriais (com a mesma denição usada em [Yag10]) ainda conseguimos aproveitar a integral acima para denir f (A) (como operador limitado) desde que façamos uma restrição sobre a classe de funções à qual f pertence. Quando esta associação f 7→ f (A) possui uma extensão linear ao espaço de funções holomorfas limitadas num setor e satisfaz f g(A) = f (A)g(A) e. kf (A)k ≤ Ckf k∞ , diremos que A possui cálculo H ∞ . O trabalho que fundou as bases do cálculo funcional para operadores setoriais encontra-se em [McI86]. Selecionando funções especícas em H ∞ recuperamos operadores importantes no estudo de problemas envolvendo A. Por exemplo, tomando ft (z) = z it obtemos que as potências imaginárias de A são limitadas e satisfazem a estimativa kAit k ≤ Ceθt para certo C > 0 e θ independentes de t. Por sua vez o teorema de Dore e Venni [DV87] implica existência e unicidade de equações de 1.

(14) 2. 1.0. INTRODUÇÃO. evolução envolvendo A, se θ < π/2. m introduzidas Os operadores pseudodiferencias que abordamos possuem símbolos nas classes Sρ,δ em [H67]. Especicamente os símbolos desta classe satisfazem as estimativas globais. |Dξα Dxβ a(x, ξ)| ≤ Cα,β hξim−ρ|α|+δ|β| em Rnξ × Rnx . O operador correspondente age no espaço de Schwartz S e tem a forma −n. Z. op[a]u(x) = (2π). eix.ξ a(x, ξ)ˆ u(ξ)dξ. Rn. onde u ˆ é a transformada de Fourier de u. Normalmente xamos um espaço de funções E que possui uma estrutura de espaço de Banach e contém S como subconjunto denso (E = Lp , por exemplo). Deste modo, cada operador op[a] pode ser visto como um operador linear não limitado em E . Colocando certas hipóteses sobre o símbolo a será provado no Capítulo 4 que o fecho de op[a] é um operador setorial com cálculo H ∞ . A dissertação é organizada da seguinte maneira. No Capítulo 2 relembramos alguns fatos sobre espaços de Banach e operadores lineares não limitados. Em seguida, damos denições e resultados relevantes sobre a integral de Bochner com a intenção de transferir teoremas clássicos sobre funções escalares para funções vetoriais (por exemplo, o Teorema de Cauchy). Finalizamos o capítulo com uma introdução ao cálculo funcional de operadores setoriais e com a demonstração do Teorema 2.23 que fornece uma condição necessária e suciente para um operador setorial ter cálculo H ∞ . No Capítulo 3 é feito um apanhado de resultados da teoria de operadores pseudodiferenciais: denição dos símbolos e operadores, expansão assintótica, composição, adjunto, etc. Com esta base, 0 (0 ≤ δ < ρ ≤ 1), é uma álgebra de Fréchet mostramos que a classe de símbolos de ordem zero, Sρ,δ tomando como multiplicação o símbolo da composição. Enunciamos um teorema sobre a álgebra 0 que permite provar dois resultados importantes para nossa demonstração do teorema principal: Sρ,δ 0 é aberto e a inversão é contínua. o grupo de invertíveis da álgebra Sρ,δ No Capítulo 4 provamos detalhadamente o principal resultado no Teorema 4.12 que dá condições sucientes para um operador pseudodiferencial ter um cálculo H ∞ limitado. Os resultados apresentados na dissertação, apesar de sua aparência bastante abstrata, possuem diversas aplicações, em especial na teoria de equações parabólicas não lineares. Além do Teorema de Dore e Venni, o cálculo funcional possui importantes consequências para a teoria de interpolação complexa. Diversas aplicações do cálculo funcional e da regularidade maximal podem ser encontradas, por exemplo, no livros de Haase [Haa06] e Prüss e Simonett [PS16]..

(15) Capítulo 2. Cálculo Funcional Holomorfo Vamos apresentar neste capítulo os conceitos básicos sobre medida, integração e análise funcional necessários para a dissertação e para a compreensão do cálculo funcional. Na Seção 2.1 recordamos algumas denições básicas sobre operadores lineares e xamos certas notações. Na Seção 2.2 fazemos uma introdução sucinta à integral de Bochner para funções tomando valores em espaços de Banach. Discutimos aqui apenas os resultados necessários para desenvolver o cálculo funcional. Como consequência obtemos os teoremas da análise complexa no caso de funções holomorfas vetorias e, além disso, provamos versões destes resultados para uma classe de curvas não limitadas. Concluímos, na seção 2.3, com uma introdução ao cálculo funcional de operadores setorias. Nesta parte denimos o cálculo H ∞ e damos uma condição necessária e suciente para sua existência. 2.1. Operadores. Seja X um espaço vetorial sobre C.. Denição 2.1. Uma seminorma em X é uma função p : X → R satisfazendo • p≥0 • p(αx) = |α|p(x) • p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Se, além disso, tivermos • p(x) = 0 ⇒ x = 0. dizemos que p é uma norma. Usualmente escrevemos kxkX ou kxk no lugar de p(x) quando p é uma norma.. Denição 2.2. Um espaço de Banach é um espaço vetorial com uma norma tal que, com a métrica. d(x, y) = kx − yk,. o espaço (X, d) é completo.. Um espaço de Fréchet será para nós um espaço localmente convexo, Hausdor, metrizável e completo. No entanto, aqui é mais conveniente denir esta mesma estrutura através de seminormas.. Denição 2.3. Um espaço de Fréchet é um espaço vetorial F equipado com uma família enumerável. de seminormas {pj : j ∈ N0 } satisfazendo •. Para cada 0 6= x ∈ F existe j ∈ N0 tal que pj (x) 6= 0. 3.

(16) 4. 2.2. CÁLCULO FUNCIONAL HOLOMORFO. •. Com a métrica d(x, y) =. ∞ X. 2−j. j=0. pj (x − y) 1 + pj (x − y). o espaço (F, d) é completo. Observamos que todo espaço de Banach é de Fréchet. Finalizamos esta seção denindo e enunciando resultados ligados aos operadores lineares.. Denição 2.4. Seja X um espaço de Banach. Uma função A : D(A) → X é um operador (linear). se D(A) é subespaço de X e A é linear. •. O operador A é fechado se o gráco G(A) = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ D(A), Ax = y} é um subconjunto fechado de X × X .. •. O operador A é densamente denido se D(A) = X .. •. O operador A é limitado se D(A) = X e kAk =. sup{kAxkX : x ∈ D(A), kxkX = 1} é nito. Neste caso escrevemos A ∈ B(X).. Denição 2.5. Seja A um operador linear. O conjunto formado por λ ∈ C tais que λ−A : D(A) →. é bijetor com inversa (λ−A)−1 ∈ B(X), é chamado resolvente de A e é denotado ρ(A). O espectro de A é o conjunto σ(A) =. C \ ρ(A).. X. Proposição 2.6. Seja A um operador fechado. Então, para λ e µ em ρ(A), temos: •. O conjunto ρ(A) A)−1 k−1 ) ⊂ ρ(A);. é aberto em C (portanto σ(A) é fechado) e o disco aberto B(λ, k(λ −. •. A aplicação λ ∈ ρ(A) 7→ (λ − A)−1 é contínua (e até analítica);. • (µ − λ)(λ − A)−1 (µ − A)−1 = (λ − A)−1 − (µ − A)−1 •. (identidade do resolvente);. Os operadores (λ−A)−1 e A comutam, isto é, (λ−A)−1 Ax = A(λ−A)−1 x para todo x ∈ D(A);. • A(λ − A)−1 = λ(λ − A)−1 − I ∈ B(X). 2.2. Integral de Bochner. Nesta seção xamos I um intervalo de R e X um espaço de Banach. Denotamos por A a coleção dos subconjuntos de I Lebesgue mensuráveis e µ denota a medida de Lebesgue. Nosso propósito é denir a integral de funções f : I → X no sentido de Bochner. A referência principal para as demonstrações dos resultados sobre esta integral é o livro do Arendt [ABHN11] (Capítulo 1, Seção 1.1). As notas de aulas do D. V. Tausk [Tau05] e o livro do Yosida [Yos95] são boas referências para o assunto onde a teoria é desenvolvida em espaços de medida mais gerais.. Denição 2.7. Dizemos que uma função f : I → X é simples se f (I) é nito P e para todo c ∈ −1 −1. temos f (c) ∈ A e µ(f (c)) < ∞. Neste caso temos a identidade f = e denimos a integral como a seguinte soma f (I) \ {0}. Z f dµ = I. X. c∈f (I) cχf −1 (c). cµ(f −1 (c)). c∈f (I)\{0}. Diremos que uma sequência de funções fn : I → X converge quase sempre para uma função f : I → X se existir um conjunto N ∈ A de medida nula tal que limn→∞ fn (x) = f (x) para todo x ∈ I \ N..

(17) 2.2. INTEGRAL DE BOCHNER. 5. Denição 2.8. Uma função f : I → X é fortemente mensurável se existir uma sequência de. funções simples (fn )n∈N convergindo quase sempre para f .. Se g : X → C é uma função contínua e f : I → X é fortemente mensurável então g ◦ f : I → C é Lebesgue mensurável. De fato, basta notar que g ◦ f é o limite das funções g ◦ fn e que tais funções são Lebesgue mensuráveis. Em particular kf k : I → R é Lebesgue mensurável.. Denição 2.9. Diremos que f : I → X é (Bochner) integrável se existir uma sequência de funções R. simples (fnR)n∈N convergindo Rquase sempre para f tais que limn→∞ I kfn − f kdµ = 0. Neste caso denimos I f dµ = limn→∞ I fn dµ e denotamos por L1 (I; X) o conjunto das funções integráveis módulo funções que se anulam quase sempre. Quando X é R ou C a denição acima equivale a integrabilidade no sentido de Lebesgue. Para decidir quando uma função é Bochner integrável, em geral, usamos o critério a seguir.. Proposição 2.10. Uma função f : I → X é Bochner integrável se, e somente se, f é fortemente mensurável e kf k : I → R é Lebesgue integrável. As funções f : I → X de nosso interesse serão contínuas e, portanto, fortemente mensuráveis. Desse modo, a m de mostrar que uma função contínua é integrável, basta checar se sua norma é integrável. Enunciaremos a seguir as propriedades relevantes da integral de Bochner. 1 1 Proposição R 2.11. O conjunto de funções L (I; X) é um espaço vetorial e a integral s : L (I; X) →. X , s(f ) =. I. f dµ,. é linear e satisfaz a desigualdade: Z. Z. k. f dµk ≤. kf kdµ. I. I. Teorema 2.12 (Convergência Dominada). Seja fn : I → X uma sequência de funções integráveis. convergindo quase sempre para uma função f : I → X . Se existir q : I → [0, +∞] integrável tal que kfn k ≤ q para todo n então f é integrável e Z. Z f dµ = lim. n→∞ I. I. fn dµ. Proposição 2.13. Sejam A : D(A) ⊂ X → Y um R operador fechado e f : I → X integrável com f (I) ⊂ D(A).. Se Af : I → Y for integrável então. f dµ ∈ D(A). I. Z. Z f dµ =. A I. e. Af dµ I. Apresentamos brevemente outros espaços de funções, denidas num intervalo I =]0, T [, relevantes para o capítulo de aplicações. Lp (I; X) é formado pelas funções f : I → X fortemente mensuráveis tais que kf kp,X = R O espaço ( I kf (s)kp ds)1/p < ∞. Como é usual fazemos a identicação de funções que coincidem quase sempre. Neste caso kf kp,X é uma norma e (Lp (I; X), k.kp,X ) é um espaço de Banach. Outro espaço importante é o espaço de Sobolev Wp1 (I; X) formado pelas funções f ∈ Lp (I; X) para as quais existe g ∈ Lp (I; X) satisfazendo Z Z g(s)u(s)ds = − f (s)u0 (s)ds I. I. para toda u ∈ Cc∞ (]0, T [; C). A função g é única módulo funções Rque se anulam quase sempre. Para ver isso suponha que h satisfaz a equação integral acima. Logo I (g(s) − h(s))u(s)ds = 0 para todoRu ∈ Cc∞ (]0, T [; C). Dado ϕ ∈ X ∗ um funcional linear contínuo temos, pela Proposição 2.13, que I ϕ((g(s) − h(s)))u(s)ds = 0. Assim, ϕ((g(s) − h(s))) = 0 quase sempre e, por Hahn-Banach,.

(18) 6. 2.2. CÁLCULO FUNCIONAL HOLOMORFO. obtemos que g(s) − h(s) = 0 quase sempre. Denotamos f 0 = g . Em termos de distribuições estamos dizendo que f, f 0 ∈ Lp (I; X). Aqui a norma kf kWp1 = kf kp,X + kf 0 kp,X torna (Wp1 (I; X), k.kWp1 ) um espaço de Banach. Podemos mostrar que cada f ∈ Wp1 (I; X) possui um representante contínuo f ∈ C(I; X) dado por Z t. f (t) = f (0) +. f 0 (s)ds. 0. Logo faz sentido falar na função f : I → X e de seus valores f (t). A seguir vamos apresentar versões vetoriais de alguns teoremas de análise complexa. Seja X um espaço de Banach complexo e Ω ⊂ C aberto. Uma função f : Ω → X é dita holomorfa (em Ω) se para todo z0 ∈ Ω existe o limite. f (z) − f (z0 ) . ∈X f 0 (z0 ) = lim z→z0 z − z0 É fácil ver que toda função holomorfa é contínua e se ϕ ∈ X ∗ e f : Ω → X é holomorfa, então ϕ ◦ f : Ω → C é holomorfa (escalar) com derivada igual a (ϕ ◦ f )0 (z) = ϕ(f 0 (z)). Lembramos que uma curva C 1 em Ω é uma função γ : [a, b] → Ω de classe C 1 e dizemos curva fechada se γ(a) = γ(b). O índice de uma curva γ com relação a um ponto α ∈ C \ γ([a, b]) é denido pela integral Z 1 dz ind(γ, α) = 2πi γ z − α. ˙ +γ ˙ k . Um ciclo é Uma colecão nita de curvas será chamada de cadeia e denotada por Γ = γ1 +... uma cadeia formada apenas por curvas fechadas. O índice de uma cadeia é a soma dos índices de suas componentes. Se f : Ω → X é contínua e γ é uma curva C 1 em Ω, denimos a integral de f sobre γ pela integral de Bochner Z Z f (γ(t))γ 0 (t)dt. f= [a,b]. γ. que ca bem denida neste caso, pois g(t) = f (γ(t))γ 0 (t), t ∈ [a, b] é contínua e sua norma kg(t)k = kf (γ(t))k|γ 0 (t)| é integrável no compacto [a, b]. ˙ +γ ˙ k pela soma Análogo ao caso escalar denimos a integral sobre uma cadeia Γ = γ1 +.... Z f= Γ. k Z X j=1. f. γj. Teorema 2.14. Sejam Ω um aberto de C, f : Ω → X uma função holomorfa.. Se Γ é um ciclo em Ω tal que para todo α ∈ C \ Ω vale ind(Γ, α) = 0. então. Z f = 0.. e. Γ. 1 ind(Γ, α)f (α) = 2πi. Z Γ. f (z) dz, z−α. para α ∈ Ω \ Γ. Demonstração. Seja ϕ ∈ X ∗ . Como consequência da Proposição 2.13 e pelo Teorema de Cauchy.

(19) 2.3. CÁLCULO FUNCIONAL. 7. escalar aplicado a função ϕ ◦ f temos. Z. Z. ϕ◦f =0. f) =. ϕ(. Γ. Γ. para todo ϕ ∈ X ∗ . Mas um vetor que dá zero em todo funcional no dual só pode ser nulo, por Hahn-Banach. A fórmula de Cauchy é demonstrada de modo análogo. O próximo teorema corresponde ao Teorema de Cauchy acima, porém no caso de curvas envolvendo conjuntos não limitados. Escrevemos αr , +γσ , −γσ : R → C, respectivamente por αr (t) = reit , +γσ (t) = teiσ e −γσ (t) = −teiσ para denotar tais funções.. Teorema 2.15. Sejam Ω um aberto de C, δ > 0 e −π ≤ σ1 < σ2 ≤ π . Denotamos Γ =. ˙ +γ ˙ 2,∞ γ1,∞ +γ • γ. ˙ +γ ˙ 2,n +β ˙ n no qual e Γn = γ1,n +γ. é uma curva que sai de δeiσ2 e chega em δeiσ1 ;. • γ1,n = +γσ1 |[δ,n]. e γ2,n = −γσ2 |[−n,−δ] ;. • γ1,∞ = +γσ1 |[δ,+∞). e γ2,∞ = −γσ2 |(−∞,−δ] ;. • βn = αn |[σ1 ,σ2 ]. Suponha que Γ e Γn estão em Ω e ind(Γn , α) = 0 para todo α ∈ C \ Ω e todo n. Se f ∈ H(Ω; X) e existem c, > 0 tais que kf (z)k ≤ chzi−1− para z ∈ Ω então Z f =0 Γ. Demonstração. Observando que Z. Z. Z. f = lim Γ. Pelo Teorema 2.14,. R Γn. n→∞ γ +γ ˙ 2,n 1,n ˙ +γ. f = lim. n→∞ Γ n. Z f−. f βn. f = 0, e daí Z. Z f = − lim. Γ. n→∞ β n. f. estimando a integral do limite acima Z Z σ2 k fk ≤ k f (neit )nieit dtk βn σ Z 1σ2 ≤n kf (neit )kdt σ1. ≤ c(σ2 − σ1 )n(1 + n2 )−1/2−/2 → 0 quando n → ∞. 2.3. Cálculo funcional. Para cada 0 < σ < π iremos denotar o setor aberto por Σσ = {reiθ : r > 0, |θ| < σ}. Para λ ∈ C, escrevemos hλi = (1 + |λ|2 )1/2 . Para Ω ⊂ C aberto denotamos por H ∞ (Ω) o conjunto de funções f : Ω → C holomorfas limitadas e por kf k∞ = supz∈Ω |f (z)|, uma norma em H ∞ (Ω). Observamos que H ∞ (Ω) com esta.

(20) 8. 2.3. CÁLCULO FUNCIONAL HOLOMORFO. norma é um espaço de Banach, já que o limite uniforme de funções holomorfas também é uma função holomorfa. Para 0 < σ < π denotamos por H1∞ (Σσ ) o conjunto de funções f : Σσ → C holomorfas para as quais existem c, d > 0 tais que |f (z)| ≤ chzi−d para z ∈ Σσ . O fatos relevantes sobre este espaço estão na próxima proposição.. Proposição 2.16. Seja 0 < σ < π .. 1. H1∞ (Σσ ) ⊂ H ∞ (Σσ ); 2. H1∞ (Σσ ) · H ∞ (Σσ ) ⊂ H1∞ (Σσ ); 3. Para λ ∈ C \ Σσ as funções rλ (z) = (λ − z)−1 estão em H1∞ (Σσ ); 4. A sequência ρn (z) = n(n + z)−1 pertence a H1∞ (Σσ ), satisfaz supn kρn k∞ < ∞ e converge pontualmente para 1. Demonstração. Os três primeiros itens são imediatos. Pelo item 3, ρn ∈ H1∞ (Σσ ). Fixando z ∈ Σσ. também temos ρn (z) = (1 + z/n)−1 → 1 quando n → ∞. Para estimar kρn k∞ = supz∈Σσ |ρn (z)| observe que ( n 0 < σ < π/2 rn,σ = dist(−n, Σσ ) = . n sin(π − σ) π/2 < σ < π Assim, dado 0 < δ < rn,σ temos Σσ ⊂ C \ B(−n, δ). Logo. sup |ρn (z)| ≤ z∈Σσ. Fazendo δ → rn,σ segue kρn k∞ ≤ 0 < σ < π/2.. sup. |ρn (z)| = n/δ.. C\B(−n,δ). n n sin(π−σ). =. 1 sin(π−σ) ,. no caso π/2 < σ < π , e kρn k∞ ≤ 1 quando. Denição 2.17. Seja A um operador em X fechado e densamente denido. Dizemos que A é um. operador setorial de ângulo 0 < ω < π se satisfaz as seguintes condições: • σ(A) ⊂ Σω ; •. Existe M > 0 tal que. k(λ − A)−1 k ≤ M hλi−1. para λ ∈ C \ Σω . Observamos que nesta denição operadores setoriais são inversíveis.. Proposição 2.18. Sejam X e Y espaços de Banach, S um subconjunto de X e T : S → Y contínua.. Se Tn ∈ B(X, Y ) é uma sequência uniformemente limitada e limn→∞ Tn x = T x para todo x ∈ S . Então limn→∞ Tn x = T x também é válido para x ∈ S . Demonstração. Denotemos 0 < M = 1 + supn kTn k < ∞. Dado x ∈ S considere (xn )n∈N uma. sequência em S convergindo para x. Seja > 0. Como xn → x e (pela continuidade de T ) T xn → T x podemos escolher m tal que kx − xm k < /(3M ) e kT xm − T xk < /3. Já que xm ∈ S existe n0 = n0 (m) satisfazendo kTn xm − T xm k < /3 para n ≥ n0 . Logo. kTn x − T xk ≤ kTn (x − xm )k + kTn xm − T xm k + kT xm − T xk ≤ M kx − xm k + kTn xm − T xm k + kT xm − T xk < /3 + /3 + /3 = sempre que n ≥ n0 ..

(21) 2.3. CÁLCULO FUNCIONAL. 9. Se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear, lembramos que as potências An são os operadores denidos por. • D(A0 ) = X e A0 = I . • D(An ) = {x ∈ D(An−1 ) : An−1 x ∈ D(A)} e An x = AAn−1 x, se n ≥ 1.. Proposição 2.19. Se A é um operador setorial, então D(An ) é denso em X .. Demonstração. Para m ∈ N (m ≥ 1) escreva Rm = (m + A)−1 . Provaremos primeiro a seguinte identidade. p p−1 p mRm x = Rm x − Rm Ax,. x ∈ D(A). (2.1). 0 = 1. O caso p = 1 segue dos cálculos para cada p ∈ N, onde denimos Rm. m(m + A)−1 x = (m + A − A)(m + A)−1 x = x − A(m + A)−1 x = x − (m + A)−1 Ax onde na última igualdade usamos que x ∈ D(A). Para p ∈ N temos p p−1 mRm x = mRm Rm x p−1 p−1 = Rm x − Rm ARm x (caso p = 1) p−1 p p−1 = Rm xRm Ax (A e Rm comutam). Em segundo lugar, partindo da hipótese que A é setorial chegamos, por indução, na seguinte desigualdade p kRm k ≤ M p hmi−p , p ∈ N (2.2) Também por indução segue de (2.1) e (2.2) que p lim mp Rm x=x. m→∞. (2.3). para todo x ∈ D(A) e p ∈ N. De fato, multiplicando (2.1) por mp−1 temos p p−1 p mp Rm x = mp−1 Rm x − mp−1 Rm Ax. p p Ax = mp−1 hmi−p hmip Rm Ax → 0 quando m → ∞, vericamos o caso p = 1 Notando que mp−1 Rm 0 utilizando que Rm = 1 e os demais casos via hipótese de indução. p Como kmp Rm k ≤ Cp (por (2.2)) e D(A) é denso podemos concluir, pela Proposição 2.18, que (2.3) é válido para todo x ∈ X . p p Já que ym = mp Rm x ∈ D(Ap ) para todo m, p ∈ N e x ∈ X , mostramos acima que dado qualquer p x ∈ X a sequência ym pertence a D(Ap ) e converge para x. Logo D(Ap ) é denso em X .. Dados 0 < σ < π e r > 0 vamos denotar a curva Γσ,r = ∂(Σσ \ {|λ| ≤ r}) orientada positivamente, isto é, percorremos a curva no sentido que faz a parte imaginária diminuir.. Proposição 2.20. Seja A um operador setorial de ângulo 0 < ω < π e ω < σ < π . Para cada f ∈ H1∞ (Σσ ),. a seguinte integral existe e dene um operador em B(X) . 1 ΦA (f ) = 2πi. Z. f (λ)(λ − A)−1 dλ,. Γσ1 ,r. onde ω < σ1 < σ e 0 < r < kA−1 k−1 não altera o valor da integral..

(22) 10. 2.3. CÁLCULO FUNCIONAL HOLOMORFO. Demonstração. Denote Σα,β = {reiθ : r > 0, α < θ < β}. Fixe f ∈ H1∞ (Σσ ). Como g : Σσ ∩ [(C \ Σω ) ∪ {|λ| ≤ kA−1 k−1 }] → B(X) dada por g(λ) = f (λ)(λ − A)−1 é contínua e satisfaz kgk = |f (λ)|k(λ − A)−1 k ≤ cM hλi−1−d temos que a integral Z 1 I(Γσ1 ,r1 ) = g(λ)dλ 2πi Γσ1 ,r1. é um elemento bem denido de B(X) para cada ω < σ1 < σ e 0 < r1 < kA−1 k−1 . ˙ Para vericar a independência com relação à σ1 e r1 note que integrar sobre Γσ1 ,r1 +(−Γ σ1 ,r2 ) equivale a integrar sobre o ciclo ∂(Σσ ∩ {r2 < |λ| < r1 })(supondo 0 < r2 < r1 ). Portanto pelo Teorema 2.14 temos ˙ I(Γσ1 ,r1 +(−Γ σ1 ,r2 )) = 0. ˙ logo I(Γσ1 ,r1 ) = I(Γσ1 ,r2 ). Além disso, integrar sobre Γσ1 ,r1 +(−Γ σ2 ,r1 ) equivale a integrar sobre as curvas ilimitadas ∂(Σσ1 ,σ2 \ {|λ| < r1 }) e ∂(Σ−σ2 ,−σ1 \ {|λ| < r1 }) (supondo σ1 < σ2 ). Pelo Teorema 2.15 cada uma destas últimas integrais é nula e, portanto, I(Γσ1 ,r1 ) = I(Γσ2 ,r1 ). Assim, dados quaisquer σ1 < σ2 e r2 < r1 temos I(Γσ1 ,r1 ) = I(Γσ1 ,r2 ) = I(Γσ2 ,r2 ). Teorema 2.21. Seja A um operador setorial de ângulo 0 < ω < π e ω < σ < π . A aplicação ΦA : H1∞ (Σσ ) → B(X),. denida na Proposição 2.20, é linear e satisfaz ΦA (f g) = ΦA (f )ΦA (g). para toda f e g em H1∞ (Σσ ). Além disso, se µ ∈ C \ Σσ então ΦA (rµ ) = (µ − A)−1. onde rµ (λ) = (µ − λ)−1 . Demonstração. A linearidade é consequência direta da denição. Para provar que ΦA é multiplica-. tiva considere ω < σ1 < σ2 < σ e 0 < r2 < r1 < kA−1 k−1 e f, g ∈ H1∞ (Σσ ). Pela independência da integral com relação as curvas, integrar sobre Γσ1 ,r1 equivale a integrar sobre Γσ2 ,r2 . Assim, ΦA (f )ΦA (g) é igual a ! ! Z Z 1 1 f (λ)(λ − A)−1 dλ g(µ)(µ − A)−1 dµ 2πi Γσ2 ,r2 2πi Γσ1 ,r1 Reordenando as integrais iteradas temos. ΦA (f )ΦA (g) =. 1 2πi. 2 Z. Z. Γσ2 ,r2. f (λ)g(µ)(λ − A)−1 (µ − A)−1 dµdλ. Γσ1 ,r1. e pela identidade do resolvente (λ − A)−1 (µ − A)−1 = (µ − λ)−1 [(λ − A)−1 − (µ − A)−1 ] segue. ΦA (f )ΦA (g) Z Z 1 2 1 2 −1 = Ig (λ)f (λ)(λ − A) dλ + If (µ)g(µ)(µ − A)−1 dµ 2πi 2πi Γσ2 ,r2 Γσ1 ,r1 onde. Z Ig (λ) = Γσ1 ,r1. g(µ) dµ µ−λ.

(23) 2.3. CÁLCULO FUNCIONAL. 11. é igual a zero (pelo Teorema 2.15) para λ ∈ Γσ2 ,r2 e Z f (λ) If (µ) = dλ Γσ2 ,r2 λ − µ é igual a 2πif (µ) para µ ∈ Γσ1 ,r1 . Portanto Z 1 ΦA (f )ΦA (g) = f (µ)g(µ)(µ − A)−1 dµ = ΦA (f g) 2πi Γσ1 ,r1 Para nalizar calculamos. 1 ΦA (rµ ) = 2πi. Z. 1 2πi. Z. =. Γσ1 ,r1. 1 (λ − A)−1 dλ µ−λ. −Γσ1 ,r1 −1. 1 (λ − A)−1 dλ λ−µ. = (µ − A). onde a última igualdade vale pois o operador resolvente é holomorfo no interior de −Γσ1 ,r1 .. Denição 2.22. Seja A um operador de ângulo 0 < ω < π . Dizemos que A possui cálculo H ∞. limitado de ângulo σ (ou apenas A possui cálculo H ∞ ) se ΦA possuir uma extensão ΦA : H ∞ (Σσ ) → B(X) linear, multiplicativa e contínua. Em particular existe Cσ > 0 com kΦA (f )k ≤ Cσ kf k∞. para toda f ∈ H ∞ (Σσ ). Quando A possui cálculo H ∞ a extensão na denição anterior é única. Para ver isso suponha que Ψ1 e Ψ2 são extensões de ΦA como na Denição 2.22. No Teorema 2.21 vimos que ΦA ((1 + z)−1 ) = (1 + A)−1 e assim x = ΦA ((1 + z)−1 )(1 + A)x para todo x ∈ D(A). Além disso, para f ∈ H ∞ e x ∈ D(A), temos. Ψ1 (f )x = Ψ1 (f )ΦA ((1 + z)−1 )(1 + A)x = Ψ1 (f (1 + z)−1 )(1 + A)x = ΦA (f (1 + z)−1 )(1 + A)x. e do mesmo modo. Ψ2 (f )x = ΦA (f (1 + z)−1 )(1 + A)x.. (Na demonstração do Teorema 2.23 adiante usaremos esta mesma expressão para estender o cálculo). Logo Ψ1 (f )x = Ψ2 (f )x para todo x ∈ D(A). Como D(A) é denso em X e Φ1 (f ), Φ2 (f ) ∈ B(X) concluímos que Ψ1 (f ) = Ψ2 (f ).. Teorema 2.23. Seja A um operador setorial e suponha que existe M > 0 tal que kΦA (f )k ≤ M kf k∞. para toda f ∈ H1∞ (Σσ ). Então A possui cálculo H ∞ com ângulo σ. Demonstração. Dada f ∈ H ∞ (Σσ ) dena ΦA (f )x = ΦA (f ρ1 )(1 + A)x.

(24) 12. CÁLCULO FUNCIONAL HOLOMORFO. 2.3. para x ∈ D(A), lembrando que ρ1 (z) = (1 + z)−1 e f ρ1 ∈ H1∞ (Σσ ). Iremos provar que ΦA (f ) tem extensão única a um operador em B(X). Considere ρn (z) = (1 + z/n)−1 . Se x ∈ D(A2 ) então. ΦA (f )x = ΦA (f ρ1 )(1 + A)x = ΦA (f ρ1 )ΦA (ρn )(1 + n−1 A)(1 + A)x = ΦA (f ρn )ΦA (ρ1 )(1 + A)(1 + n−1 A)x = ΦA (f ρn )(1 + n−1 A)x onde usamos ΦA (ρn ) = (1 + n−1 A)−1 e o fato que (λ + A) e (µ + A) comutam para quaisquer λ, µ ∈ C. Logo, se x ∈ D(A2 ). kΦA (f )xk = kΦA (f ρn )(1 + n−1 A)xk ≤ M Lkf k∞ k(1 + n−1 A)xk onde L = supn kρn k∞ < ∞. Notando que limn→∞ (1 + n−1 A)x = x, temos. kΦA (f )xk ≤ M Lkf k∞ kxk para todo x ∈ D(A2 ). Como D(A2 ) é denso em X podemos concluir que ΦA (f ) tem uma única extensão em B(X) e vale kΦA (f )k ≤ M Lkf k∞ para todo f ∈ H ∞ (Σσ ). Segue facilmente da denição que ΦA é linear e estende ΦA . Para vericar que ΦA é multiplicativa tome x ∈ D(A2 ) e note. ΦA (f g)x = ΦA (f g(1 + z)−2 )(1 + A)−2 x = ΦA (f (1 + z)−1 )ΦA (g(1 + z)−1 )(1 + A)−2 x = ΦA (f )ΦA (g)x.

(25) Capítulo 3. Operadores Pseudodiferenciais m e os Iniciamos este capítulo enunciando denições e resultados sobre a classe de símbolos Sρ,δ operadores pseudodiferenciais. Utilizaremos uma apresentação clássica que de forma semelhante pode ser encontrada no livro do Kumano-Go [Kg81]. Nesta parte, os conceitos elementares mais importantes são a expansão assintótica do símbolo da composição e a extensão dos operadores ao espaço das distribuições temperadas via o operador adjunto. Em seguida, apresentamos dois resultados clássicos da teoria. O primeiro diz que a cada símbolo 0 (δ < 1) associamos continuamente a extensão em Lp (1 < p < ∞) do operador pseudoem S1,δ diferencial correspondente. Este fato vai permitir aplicarmos o cálculo funcional do Capítulo 2 aos espaços Lp . O segundo resultado é uma armação semelhante nos espaços de Sobolev Wps e símbolos de ordem m ∈ R arbitrária. Uma aplicação deste último resultado aparece na demonstração de que a composição de símbolos é contínua. Finalizamos discutindo álgebras de Fréchet e mostramos como deduzir duas propriedades im0 a partir de um teorema obtido por portantes, a respeito dos elementos inversíveis, da álgebra Sρ,δ Beals.. 3.1. Preliminares. O espaço de Schwartz S é formado pelas funções u ∈ C ∞ (Rn ) tais que pα,β (u) = supx∈Rn |xα ∂ β u(x)| < ∞, para todo α, β ∈ Nn0 . Podemos mostrar que com a família de seminormas pα,β , S é um espaço de Frechét. Indicamos a seguir algumas propriedades importantes de S .. Proposição 3.1. As seguintes armações são verdadeiras: •. A inclusão S ,→ Lp é contínua.. •. O conjunto S é denso em Lp , se 1 ≤ p < ∞.. Denotamos por S 0 o espaço das distribuições temperadas. Recordamos que uma distribuição temperada é um funcional linear contínuo em S . Podemos vericar que ϕ ∈ S 0 através da condição S. C. un −→ 0 ⇒ ϕ(un ) −→ 0 Para f : Rn → C mensurável denote. Z Tf (ϕ) =. f (x)ϕ(x)dx Rn. com ϕ ∈ S . Quando a integral está bem denida e dene um funcional linear Tf : S → C contínuo, ou seja Tf ∈ S 0 , identicaremos a função f com a distribuição Tf . Por exemplo, se f ∈ Lp então Tf ∈ S 0 .. 13.

(26) 14. 3.2. OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. Diremos que ϕn ∈ S 0 converge para ϕ ∈ S 0 se C. ϕn (u) −→ ϕ(u) S0. para todo u ∈ S e denotamos ϕn −→ ϕ. Pela identicacão acima vemos que a inclusão Lp ,→ S 0 é contínua, isto é S0. Lp. un −→ u ⇒ Tun −→ Tu De fato, basta aplicar a desigualdade de Hölder: |Tu (ϕ)| ≤ kukp kϕkq com Seja u ∈ L1 (Rn ). A transformada de Fourier de u é denida por Z e−ix.ξ u(x)dx Fu(ξ) = u ˆ(ξ) =. 1 p. +. 1 q. = 1.. Rn. para cada ξ ∈ Rn . Aqui usamos a notação x.ξ = x1 ξ1 + . . . + xn ξn . Por conveniência enunciamos os resultados clássicos sobre a transformada de Fourier.. Proposição 3.2. As seguintes armações são verdadeiras: •. Para cada u ∈ S temos Fu ∈ S e a aplicação F : S → S é contínua.. • F(Dα u)(ξ) = ξ α Fu(ξ). • Dα (Fu)(ξ) = F((−x)α u)(ξ). •. A transformada de Fourier F : S → S é bijetora com a seguinte inversa F −1 v(x) = (2π)−n. Z. eix.ξ v(ξ)dξ.. Rn. 3.2. Operadores Pseudodiferenciais. Uma função a : Rn × Rn → C de classe C ∞ é um símbolo de ordem m e parâmetros ρ e δ se, para todo α, β ∈ Nn0 , existe Cα,β > 0 com. |Dξα Dxβ a(x, ξ)| ≤ Cα,β hξim−ρ|α|+δ|β| m . Também usamos para todo x, ξ ∈ Rn . Denotamos o conjunto formado por estes símbolos de Sρ,δ −∞ m ∞ m as seguintes notações: S = ∩m∈R S1,0 e Sρ,δ = ∪m∈R Sρ,δ . m Se a ∈ Sρ,δ então. qα,β (a) = sup |Dξα Dxβ a(x, ξ)|hξi−m+ρ|α|−δ|β| x,ξ. dene uma seminorma em que o torna um espaço de Fréchet. Uma base de vizinhanças da origem é formada por conjuntos da forma m Sρ,δ. m ∩kj=1 {a ∈ Sρ,δ |qαj ,βj (a) < }. onde αj , βj ∈ Nn0 , > 0 e k ∈ N. As vezes é conveniente usar a família de seminormas. qn (a) = max qα,β (a) |α+β|≤n. que satisfaz qn ≤ qn+1 e gera a mesma topologia.. Proposição 3.3. As seguintes aplicações estão bem denidas e são contínuas: m1 m2 , • Sρ,δ ,→ Sρ,δ. se m1 ≤ m2 ..

(27) 3.2. OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. m−ρ|α|+δ|β|. m 7→ D α D β a ∈ S • a ∈ Sρ,δ ξ x ρ,δ. 15. .. max{m1 ,m2 }. m2 m1 7→ a + b ∈ Sρ,δ × Sρ,δ • (a, b) ∈ Sρ,δ. (consequência do primeiro item).. m1 +m2 m2 m1 . 7→ ab ∈ Sρ,δ × Sρ,δ • (a, b) ∈ Sρ,δ. Dado a um símbolo, denimos para cada u ∈ S e x ∈ Rn Z −n eix.ξ a(x, ξ)ˆ u(ξ)dξ. op[a]u(x) = (2π) Rn. .. Podemos vericar que a função op[a]u : Rn → C está em S e que op[a] : S → S é contínua na topologia usual de S . Além disso, o operador op[a] é unicamente determinado pelo seu símbolo. Enunciamos a seguir os resultados centrais da teoria dos operadores pseudodiferenciais. Assumiremos sempre 0 ≤ δ < ρ ≤ 1. m . Dizemos que uma sequência de símbolos a ∈ S mj , j ≥ 0, é uma Denição 3.4. Seja a ∈ Sρ,δ j ρ,δ. expansão assintótica para a, se mj é uma sequência decrescente de números reais com limj→∞ mj = −∞ e, para todo inteiro N ≥ 1, a−. N −1 X. mN aj ∈ Sρ,δ .. j=0. Neste caso, escrevemos a ∼. P∞. j=0 aj. .. P −1 mN +1 mN está num Note que, embora dN = a − N j=0 aj ∈ Sρ,δ , o símbolo dN +1 = dN − aN ∈ Sρ,δ mN +1 mN ⊂ Sρ,δ . espaço de ordem menor do que dN e aN visto que Sρ,δ Como já mencionamos, um operador pseudodiferencial é um operador linear de S nele mesmo. Sendo a composição de dois operadores em S também um operador em S , podemos nos perguntar se a classe de operadores pseudodiferenciais é preservada quando compomos dois elementos desta classe. A próxima proposição dá uma resposta a esta pergunta e ainda fornece uma expansão assintótica para o símbolo da composição. m1 m2 m1 +m2 Proposição 3.5. Sejam a ∈ Sρ,δ e b ∈ Sρ,δ . Então existe c ∈ Sρ,δ tal que op[c] = op[a] ◦ op[b]. possuindo expansão assintótica. c∼. X (−i)|α| α. α!. ∂ξα a∂xα b.. R Dadas duas funções u e v escrevemos (u, v) = Rn u(x)v(x)dx. Seja A : S → S linear. Um operador linear A∗ : S → S é o adjunto formal de A se para todo u e v em S temos (Au, v) = (u, A∗ v) Note que A∗ é único. De fato se A1 e A2 são adjuntos de A e v ∈ S é xado, então. (u, A1 v) = (Au, v) = (u, A2 v) o que implica (u, A1 v − A2 v) = 0 para todo u ∈ S . Logo A1 v = A2 v . Vamos ver como usar um adjunto para estender o operador A para S 0 . Suponha que A possua um adjunto A∗ : S → S contínuo. Dado u ∈ S 0 dena. hBu, vi = hu, A∗ v¯i. Não é difícil mostrar que a aplicação v ∈ S → A∗ v¯ ∈ S é linear e contínua. Sendo assim Bu ∈ S 0 e B : S 0 → S 0 é linear. Para vericar que B estende A observe que. hAu, vi = (Au, v¯) = (u, A∗ v¯) = hu, A∗ v¯i.

(28) 16. 3.3. OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. vale para qualquer u, v ∈ S . A próxima proposição diz que o adjunto formal de um pseudo ainda é um pseudo e fornece uma expansão assintótica para o símbolo de seu adjunto. Com isto, podemos estender um pseudo ao espaço das distribuições temperadas como foi feito acima, dado que já sabemos que um pseudo é um operador linear contínuo em S . m . Então existe a∗ ∈ S m tal que op[a∗ ] é o adjunto formal de op[a] Proposição 3.6. Seja a ∈ Sρ,δ ρ,δ. possuindo expansão assintótica. a∗ ∼. X (−i)|α| α. α!. ∂ξα ∂xα a ¯.. Como Lp ⊂ S 0 podemos considerar pseudos denidos em Lp . Para operadores de ordem zero temos o seguinte resultado clássico [Fef73]. 0 então op[a] ∈ B(Lp ). Temos ainda que Teorema 3.7. Seja 1 < p < ∞ e 0 ≤ δ < 1. Se a ∈ S1,δ 0 → B(Lp ) op : S1,δ. é contínuo. No caso p = 2, vale o mesmo para 0 ≤ δ < ρ ≤ 1 arbitrário.. Um resultado para operadores de ordem arbitrária será enunciado. Com auxílio dos operadores pseudodiferenciais vamos denir os espaços de Sobolev em Lp . Para s ∈ R denotamos J s o operador com símbolo a(x, ξ) = hξis .. Denição 3.8. Seja 1 < p < ∞ e s ∈ R. Denimos Wps = {u ∈ S 0 : J s u ∈ Lp }. Notamos que Wps é um subespaço vetorial de S 0 e que kuks,p = kJ s ukLp. dene uma norma em Wps . O par (Wps , k.ks,p ) será chamado espaço de Sobolev. Teorema 3.9. O espaço de Sobolev é um espaço de Banach e S é um subconjunto denso de Wps . m então op[a] : W s → W s−m Teorema 3.10. Seja 1 < p < ∞, 0 ≤ δ < 1 e m, s ∈ R. Se a ∈ S1,δ p p. m → B(W s , W s−m ) é contínuo. No caso p = 2, vale o mesmo é contínuo. Temos ainda que op : S1,δ p p para 0 ≤ δ < ρ ≤ 1 arbitrário.. 3.3. Álgebra dos símbolos. ∞ e da álgebra S 0 . ComeNesta seção discutimos alguns aspectos da álgebra dos símbolos Sρ,δ ρ,δ çamos esclarecendo a noção abstrata de álgebra.. Denição 3.11. Uma álgebra A é um espaço vetorial sobre um corpo K equipado com uma função. m : A × A → A,. chamada multiplicação (denotamos m(a, b) = ab), satisfazendo. • (ab)c = a(bc) • α(ab) = (αa)b = a(αb) • c(a + b) = ca + cb. e (a + b)c = ac + bc. para quaisquer a, b, c ∈ A e α ∈ K. Vamos assumir que m possui um elemento neutro 1 ∈ A, isto é, a1 = 1a = a. para todo a ∈ A..

(29) 3.4. ÁLGEBRA DOS SÍMBOLOS. 17. Observamos que a operação de multiplicação pode ser não comutativa, ou seja, pode haver ab 6= ba. Diremos que a ∈ A é invertível se existir b ∈ A tal que ab = ba = 1. É fácil ver que tal b é único. De fato, se b1 , b2 ∈ A satisfazem b1 a = 1 e ab2 = 1 então. b1 = b1 1 = b1 (ab2 ) = (b1 a)b2 = 1b2 = b2 Vamos escrever A−1 para o conjunto de elementos invertíveis e a−1 para inversa de a ∈ A−1 (não é dícil ver que o conjunto A−1 com a operação de multiplicação é um grupo). ∞ e satisfaz S m1 .S m2 ⊂ Veja que a.b(x, ξ) = a(x, ξ)b(x, ξ) dene uma multiplicação em Sρ,δ ρ,δ ρ,δ m1 +m2 . No entanto, nosso foco será na seguinte operação. Sρ,δ ∞ . Denotamos a#b para o símbolo da composição op[a] ◦ op[b]. Este Denição 3.12. Seja a, b ∈ Sρ,δ. símbolo está bem denido, devido à unicidade do símbolo (para a classe que estamos usando) de um operador pseudodiferencial. Denição 3.13. Uma álgebra de Fréchet é um espaço de Fréchet junto com uma operação de. multiplicação contínua que torna o espaço uma álgebra.. ∞ e satisfaz Teorema 3.14. A função m(a, b) = a#b é uma multiplicação em Sρ,δ m1 m2 m1 +m2 Sρ,δ #Sρ,δ ⊂ Sρ,δ m1 m2 m1 +m2 ∞ é uma álgebra e Além disso, # : Sρ,δ × Sρ,δ → Sρ,δ é contínua. Com esta multiplicação Sρ,δ 0 é uma álgebra de Frechét. Sρ,δ. Demonstração. A inclusão é consequência da Proposição 3.5. É simples mostrar que m é uma ∞ . Então multiplicação. Por exemplo para argumentar que m é associativa, sejam a, b e c em Sρ,δ. op[(a#b)#c] = op[a#b] ◦ op[c] = (op[a] ◦ op[b]) ◦ op[c] e. op[a#(b#c)] = op[a] ◦ op[b#c] = op[a] ◦ (op[b] ◦ op[c]). Como a composição de funções é associativa, segue que op[(a#b)#c] = op[a#(b#c)]. Logo, pela unicidade dos símbolos, (a#b)#c = a#(b#c). As demais propriedades seguem o mesmo racíocinio. m (m ∈ R) são Vamos mostrar que m é contínua. Notamos primeiro que como os espaços Sρ,δ Fréchet e a multiplicação é bilinear basta provar que m é separadamente contínua, isto é, basta que m1 m1 +m2 m2 m1 +m2 as aplicações lineares a ∈ Sρ,δ 7→ a#b0 ∈ Sρ,δ e b ∈ Sρ,δ 7→ a0 #b ∈ Sρ,δ sejam contínuas m1 m2 para todo a0 ∈ Sρ,δ e b0 ∈ Sρ,δ xados. m2 m1 +m2 Pelo Teorema do gráco fechado, a continuidade da aplicação ma0 : Sρ,δ → Sρ,δ , ma0 (b) = a0 #b (multiplicação à esquerda por a0 ) é equivalente ao gráco de ma0 ser fechado. Para mostrar m2 m1 +m2 m2 que ma0 tem gráco fechado, sejam b, bn ∈ Sρ,δ e c ∈ Sρ,δ tais que bn → b em Sρ,δ e a0 #bn → c m1 +m2 em Sρ,δ . Pela continuidade de op no Teorema 3.10, temos 1. op[bn ] → op[b] em B(W m1 +m2 , W m1 ). 2. op[a0 ] ◦ op[bn ] = op[a0 #bn ] → op[c] em B(W m1 +m2 , W 0 ). Ainda, como op[a0 ] ∈ B(W m1 , W 0 ) e pelo item 1, 3. op[a0 ] ◦ op[bn ] → op[a0 ] ◦ op[b] = op[a0 #b] em B(W m1 +m2 , W 0 ). Dos itens 2 e 3 e pela unicidade do limite temos que op[a0 #b] = op[c]. Logo a unicidade do símbolo garante que a0 #b = c, mostrando que o gráco de ma0 é fechado. A continuidade da multiplicação à direita é demonstrada de modo análogo..

(30) 18. 3.4. OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. 3.4. Inversa e. ψ -Álgebra. O resultados completos desta seção podem ser encontrado em [Wae71]. Dados X e Y dois subconjuntos de uma álgebra denotamos XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }.. Denição 3.15. Seja B uma álgebra. Um subconjunto A de B é uma subalgebra de B se A é um. subespaço vetorial de B e AA ⊂ A.. Uma subalgebra A de B sempre é uma álgebra munida das operações induzidas. No entanto, A pode não ter unidade ou mesmo ter uma unidade diferente daquela de B . Se A é uma subalgebra com mesma unidade então A é uma álgebra com unidade e temos a seguinte relação: A−1 ⊂ A∩B −1 . Esta inclusão pode ser própria signicando que pode haver um elemento de A invertível em B , mas com inversa fora de A (logo não-invertível em A).. Denição 3.16. Seja B uma álgebra de Banach. Dizemos que A é uma ψ -álgebra ou ψ -subalgebra. de B se • A. é uma subalgebra de B com mesma unidade e satisfaz A−1 = A ∩ B −1. • A é uma A ,→ B é. álgebra de Fréchet com uma topologia mais forte que a induzida por B , ou seja, contínuo.. Teorema 3.17. Se A é uma ψ -álgebra, então A−1 é aberto.. Demonstração. Como B é uma álgebra de Banach, já sabemos que B −1 é aberto em B . Logo, sendo a topologia de A mais forte, temos que A ∩ B −1 = A−1 é aberto em A.. Vamos vericar agora o seguinte: A operação de inversão de uma álgebra de Fréchet A em que é aberto é necessariamente contínua.. A−1. Proposição 3.18. Seja (M, d) uma espaço métrico completo e A ⊂ M um conjunto aberto. Existe. uma métrica d1 em A tal que •. O espaço (A, d1 ) é completo.. •. A métrica d1 é equivalente à métrica induzida por d.. Demonstração. Podemos supor que A é não vazio nem M . Escreva B = M \A. Note que a aplicação. (t, x) ∈ R × M 7→ td(x, B) ∈ R é contínua e, portanto, o conjunto F = {(t, x) ∈ R × M : td(x, B) = 1} é fechado em R × M . Como R × M é completo segue que F é completo. Vamos mostrar que a projeção restrita a F é um homeomorsmo entre F e A. Dado (t, x) ∈ F temos d(x, B) > 0 e, daí, temos x ∈ A. Isto mostra que a função projeção restrita a F tem imagem em A, isto é, p : F → A e p(t, x) = x. Claro que p é contínua. Denindo q : A → F por q(x) = (d(x, B)−1 , x) temos que q é contínua e p ◦ q(x) = x e q ◦ p(t, x) = (t, x). Logo p é bijetora e p−1 = q . Para nalizar dena d1 como a métrica induzida em A por q , isto é, d1 (x, y) = dF (q(x), q(y)) Assim (A, d1 ) é completo, pois F é completo, e q : (A, d1 ) → (F, dF ) é uma isometria (bijetora). Disto segue que d1 e d são equivalentes.. Proposição 3.19. Seja G um grupo e d uma métrica em G tal que •. O espaço (G, d) é completo;. •. A operação do grupo é separadamente contínua;.

(31) 3.4. INVERSA E. ψ -ÁLGEBRA. 19. Então a inversão, x ∈ G 7→ x−1 ∈ G, é contínua. Demonstração. A demonstração pode ser encontrada em [Sch95]. Teorema 3.20. Seja A uma álgebra de Fréchet com unidade. Se A−1 é aberto então a inversão é. contínua.. Demonstração. Tomando em A−1 a métrica da Proposição 3.18, vemos que estamos nas condições da Proposição 3.19. Portanto, a inversão será contínua em ambas as métricas já que elas são equivalentes. O seguinte resultado será usado sem demonstração [Bea77]. 0 é uma ψ -subalgebra de B(L2 (Rn )). Teorema 3.21. Sρ,δ 0 )−1 este resultado junto com os Teoremas 3.17 e 3.20 mostram que G é Chamando de G = (Sρ,δ aberto e a ∈ G 7→ a−# ∈ G é contínua..

(32) 20. OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. 3.4.

(33) Capítulo 4. Cálculo H ∞ para operadores pseudodiferenciais Neste capítulo demonstramos que uma classe de operadores pseudodiferenciais possui cálculo H ∞. Primeiro vamos esclarecer em que tipo de espaço de Banach nossos operadores estão agindo. Se m não é difícil ver que o operador op[a] : S ⊂ Lp (Rn ) → Lp (Rn ) é fechável e podemos nos a ∈ Sρ,δ questionar se seu fecho é setorial e se possui cálculo H ∞ . De modo mais geral, podemos vericar que se E é um espaço de Banach de distribuições temperadas contendo S e a inclusão E ,→ S 0 é contínua, então op[a] : S ⊂ E → E é fechável (ver Proposição 4.14). Isto permite colocar as mesmas questões anteriores para o fecho deste operador em E . Para um elemento a da classe de símbolos encontradas na Denição 4.1 e supondo que o espaço E satisfaz a seguinte condição 0 op ∈ B(Sρ,δ , B(E)) (4.1) iremos mostrar que o fecho de op[a] possui cálculo H ∞ (mais precisamente uma translação deste operador, ver Teorema 4.12). A condição (4.1) diz que o operador op associa continuamente símbolos de ordem zero à operadores limitados em E . No Teorema 3.7 do Capítulo 3 já vimos que E = Lp (Rn ) satisfaz esta condição quando ρ = 1 e δ < 1. Daremos a seguir uma ideia geral da demonstração. Baseado na construção da parametriz dos símbolos a−λ, como encontrada nos livros do KumanoGo [Kg81] ou Wong [Won14], estabelecemos uma espécie de cálculo funcional para a na álgebra de 0 (ver Teorema 4.11). Como vimos na seção 3.4 do Capítulo 3 a álgebra S 0 tem um Fréchet Sρ,δ ρ,δ grupo de invertíveis aberto. Este fato possibilitará o uso do seguinte argumento clássico de análise: Se A é uma matriz invertível e Bn → 0 então A + Bn é invertível para todo n sucientemente grande (ver demonstração do Teorema 4.8). Por m, a condição (4.1) permitirá passar estimativas 0 para norma de operadores em B(E), e assim, chegar a condição suciente nas seminormas de Sρ,δ do Teorema 2.23 do Capítulo 2. 4.1. Cálculo para o símbolo. Denotamos por Md o conjunto das matrizes d × d complexas e Md−1 o subconjunto das matrizes invertíveis. Assim o conjunto resolvente de a ∈ Md é ρ(a) = {λ ∈ C : (a − λ) ∈ Md−1 }. Fixamos 0 < θ < π e denotamos Λ = C \ Σθ . Mais explicitamente. Λ = {reiϕ : r ≥ 0,. |ϕ| ≥ θ}. m um símbolo podendo tomar valores Denição 4.1. Sejam 0 ≤ δ < ρ ≤ 1, m ≥ 0 e a ∈ Sρ,δ. matriciais. Dizemos que a é um símbolo HS (Hipoelíptico Setorial) se existir c > 0 tais que 1. Para x, ξ ∈ Rn Λ ∪ {|λ| ≤ c} ⊂ ρ(a(x, ξ)) 21.

(34) 22. CÁLCULO. H∞. PARA OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS. 4.1. No caso escalar ρ(a(x, ξ)) = C \ {a(x, ξ)}, logo a condição acima equivale a dizer que a(x, ξ) não pertence ao conjunto Λ ∪ {|λ| ≤ c}. 2. Para todo α, β ∈ Nn0 existe cα,β > 0 tal que |∂ξα ∂xβ a(x, ξ)||(a(x, ξ) − λ)−1 | ≤ cα,β hξi−ρ|α|+δ|β|. sempre que x, ξ ∈ Rn e λ ∈ Λ. A seguinte notação será conveniente. Ωx,ξ = {z ∈ Σθ : |z| < 2|a(x, ξ)|}.. Proposição 4.2. Seja a um símbolo HS. •. A estimativa 2 da Denição 4.1 continua valendo ao trocar o conjunto Λ por C \ Ωx,ξ .. •. Podemos encontrar c0 > 0 tal que |(a(x, ξ) − λ)−1 | ≤ c0 hλi−1. para λ ∈ C \ Ωx,ξ . Demonstração. Observe primeiro que para λ ∈ ρ(a) \ {0} e |λ| > |a| |(a − λ)−1 | = |λ|−1 |(a/λ − 1)−1 | ≤ |λ|−1. ∞ X. |a/λ|k = |λ|−1 (1 − |a/λ|)−1. k=0. Agora seja a um símbolo HS. Dados α, β ∈ Nn0 tomamos cα,β > 0 da estimativa 2. Notando que C \ Ωx,ξ é a união de Λ e C \ B(0, 2|a(x, ξ)|) basta mostrar a armação para |λ| ≥ 2|a(x, ξ)|. Neste caso (1 − |a/λ|)−1 ≤ 2. Como a(x, ξ) é invertível temos ainda |λ|−1 ≤ (2|a(x, ξ)|)−1 ≤ |a(x, ξ)−1 |/2. Logo usando a observação acima e estimativa 2 no caso λ = 0. |∂ξα ∂xβ a(x, ξ)||(a(x, ξ) − λ)−1 | ≤ |∂ξα ∂xβ a(x, ξ)||λ|−1 (1 − |a(x, ξ)/λ|)−1 ≤ |∂ξα ∂xβ a(x, ξ)|(|a(x, ξ)−1 |/2)2 = |∂ξα ∂xβ a(x, ξ)||a(x, ξ)−1 | ≤ cα,β hξi−ρ|α|+δ|β| Para mostrar a segunda armação veja que da identidade a(a − λ)−1 = 1 + λ(a − λ)−1 segue. |(a − λ)−1 | ≤ |λ|−1 |a(a − λ)−1 − 1| ≤ |λ|−1 (1 + c0,0 ) onde c0,0 é obtido do primeiro item fazendo α = β = 0. Como a é invertível obtemos a desigualdade desejada. Nosso objetivo será chegar em uma representação para inversa do símbolo a − λ com relação ao produto #. Para isso usaremos uma construção clássica da parametriz.. Denição 4.3. Para (x, ξ) ∈ Rn × Rn e λ ∈ C \ Ωx,ξ denimos b0 (x, ξ; λ) = (a(x, ξ) − λ)−1 bj+1 (x, ξ; λ) = −b0 (x, ξ; λ). X |α|+k=j+1, 0≤k≤j. se j ≥ 0.. 1 α ∂ a(x, ξ)Dxα bk (x, ξ; λ) α! ξ.

(35) 4.1. CÁLCULO PARA O SÍMBOLO. 23. Como b0 é C ∞ podemos vericar que cada bj é C ∞ e a recursão está bem denida. Isto signica que podemos computar previamente as derivadas de cada bk no somatório. Notemos que a recursão na Denição 4.3 em geral, preserva as propriedades de b0 . Por exemplo, é fácil ver que b0 é analítica em λ e portanto cada bj também será. Calculando as derivadas de ordem 1 de b0 temos. ∂b0 = b0 ∂ab0 , com isto podemos calcular, por exemplo, a derivada ∂ 2 = ∂ξ2 e obter. ∂ 2 b0 = (b0 ∂ab0 )∂ab0 + b0 (∂ 2 a)b0 + b0 ∂a(b0 ∂ab0 ). Por indução conseguimos mostrar que para cada α, β ∈ Nn0 e j ∈ N0 existe um r ∈ N0 para o qual ∂ξα ∂xβ bj se escreve como combinação linear de termos da forma. b0 (x, ξ; λ)∂ξα1 ∂xβ1 a(x, ξ)b0 (x, ξ; λ) . . . ∂ξαr ∂xβr a(x, ξ)b0 (x, ξ; λ) P P onde αk e βk são multi-índices em Nn0 tais que rk=1 |αk | = |α| + j e rk=1 |βk | = |β| + j .. Denição 4.4. Para (x, ξ) ∈ Rn × Rn e λ ∈ C \ Ωx,ξ denimos bN (x, ξ; λ) =. X. bj (x, ξ; λ). j<N. e se λ ∈ Λ,. rN (λ) = (a − λ)#bN (λ) − 1,. onde N ≥ 1. Apesar de ser uma simples consequência das observações anteriores a próxima proposição merece ser destacada devido à sua repetida utilização em algumas demonstrações.. Proposição 4.5. Sejam α, β ∈ Nn0 e j ≥ 0. Então existe M > 0 tal que |∂ξα ∂xβ bj (x, ξ; λ)| ≤ M |(a(x, ξ) − λ)−1 |hξi−(ρ−δ)j−ρ|α|+δ|β|. para todo x, ξ ∈ Rn e λ ∈ C \ Ωx,ξ . Demonstração. Sejam j ≥ 0 e r > 0 inteiros, α, β , αk , βk , com 1 ≤ k ≤ r, multi-índices tais que |α1 | + · · · + |αr | = j + |α| e |β1 | + · · · + |βr | = j + |β|. Dena. T (λ) = b0 (λ)∂ξα1 ∂xβ1 ab0 (λ) . . . ∂ξαr ∂xβr ab0 (λ) Do primeiro item da Proposição 4.2 temos. |T (λ)| ≤ M |b0 (λ)|hξi−ρ(|α1 |+...|αr |)+δ(|β1 |+...|βr |) = M |b0 (λ)|hξi−j(ρ−δ)−ρ|α|+δ|β| Desta estimativa e da observação sobre ∂ξα ∂xβ bj obtemos. |∂ξα ∂xβ bj (λ)| ≤ cα,β |b0 (λ)|hξi−j(ρ−δ)−ρ|α|+δ|β|. −j(ρ−δ) Proposição 4.6. A função λ ∈ Λ 7→ hλibj (λ) ∈ Sρ,δ é contínua e limitada.. Demonstração. Seja λ ∈ Λ. Como pelo segundo item da Proposição 4.2 vale |b0 (λ)| ≤ c0 hλi−1 ,.