Números virtuais racionais de Betti de grupos solúveis de tipo homológico FPn

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

FATEMEH YEGANEH MOKARI

Números virtuais racionais de Betti de grupos

solúveis de tipo homológico FP

n

Campinas

2016

Números virtuais racionais de Betti de grupos solúveis de

tipo homológico FP

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática .

Orientadora: Dessislava H. Kochloukova

Este exemplar corresponde à versão

final da Tese defendida pela aluna

Fatemeh Yeganeh Mokari e orientada

pela Profa. Dra. Dessislava H.

Koch-loukova.

Campinas

2016

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Mokari, Fatemeh Yeganeh,

M729n MokNúmeros virtuais racionais de Betti de grupos solúveis de tipo homológico FPn / Fatemeh Yeganeh Mokari. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

MokOrientador: Dessislava Hristova Kochloukova.

MokTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Mok1. Grupos metabelianos. 2. Teoria de homologia. 3. Betti, Números de. I. Kochloukova, Dessislava Hristova,1970-. II. Universidade Estadual de

Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Virtual rational Betti numbers of solvable groups of homological type FPn

Palavras-chave em inglês: Metabelian groups

Homology theory Betti numbers

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutora em Matemática Banca examinadora:

Dessislava Hristova Kochloukova [Orientador] Francesco Matucci

Artem Lopatin

Daciberg Lima Gonçalves Mikhajolo Dokuchaev

Data de defesa: 11-08-2016

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). DESSISLAVA HRISTOVA KOCHLOUKOVA

Prof(a). Dr(a). FRANCESCO MATUCCI

Prof(a). Dr(a). ARTEM LOPATIN

Prof(a). Dr(a). DACIBERG LIMA GONÇALVES

Prof(a). Dr(a). MIKHAJOLO DOKUCHAEV

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

Gostaria de agradecer:

À minha orientadora, professora Dessislava, pela atenção na orientação acadê-mica e respeito pela minha personalidade e meu ritmo de trabalho. Pela sempre confiança e por partilhar suas experiências que, ao longo desses anos de convivência, amadureceram-me como pessoa e profissional.

Ao meu marido e colega, Dr. Behrooz Mirzaii, pelo acompanhamento acadêmico e por sempre me apoiar com palavras positivas ao longo desses anos.

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), pelo auxílio financeiro que possibilitou o desenvolvimento deste trabalho.

À UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas) e ao IMECC (Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica) pela oportunidade de estar aqui.

Esta tese, definitivamente, não é um trabalho solitário e não seria realizada sem o apoio de várias pessoas. Os erros que porventura nela estejam contidos são de inteira responsabilidade da autora.

Nesta tese estudamos os números virtuais racionais de Betti dos grupos abelianos-por-policíclicos e grupos nilpotentes-por-abelianos que são de tipo FPn. Os números virtuais

racionais de Betti de um grupo finitamente gerado estudam o crescimento dos números de Betti do grupo como passamos sobre subgrupos de índice finito.

O n-ésimo número virtual racional de Betti de um grupo finitamente gerado G é definido por

vbnpGq : sup MPAG

dim_QHnpM, Qq,

em que AG é o conjunto de todos os subgrupos de índice finito de G. Não é difícil encontrar

exemplos de grupos de tipo FPn, até mesmo metabeliano, nos quais alguns números

virtuais racionais de Betti são infinitos.

Seja G um grupo abeliano-por-policíclico, isto é, contém um subgrupo normal abeliano A

tal que Q : G{A é policíclico. Suponham que n ¥ 2 e

k

â Q

pA bZQq é finitamente gerado como um QQ-módulo via a ação diagonal de Q para todo k ¤ 2n. Além disso, se G não é metabeliano, então assumimos que G é de tipo FP3. Então, demonstramos que

vbjpGq   8 para todo 0 ¤ j ¤ n.

Como um caso especial, mostramos que se G é um grupo abeliano-por-(nilpotente de classe 2) de tipo FP2n, então vbjpGq   8 para todo 0 ¤ j ¤ n.

Além disso, seja G um grupo nilpotente-por-abeliano finitamente gerado, isto é, contém um subgrupo nilpotente normal N de classe de nipotência c tal que Q : G{N é abeliano. Se N{N1 é 2pcpn
1q 1q-manso, então também provamos que para todo 0 ¤ j ¤ n, vbjpGq é finito.

Para provar estes resultados, utilizamos muitos resultados da Teoria de Grupos, da Álgebra Homológica e da Álgebra Comutativa. Os principais resultados desta tese são concentrados nos capítulos 3 e 4, em que também provamos algumas propriedades agradáveis das homologias dos grupos abelianos finitamente gerados e homologias dos grupos nilpotentes. Os capítulos 1 e 2 têm papel introdutórios, com resultados que coletamos alguns resultados das Teoria de Grupos e Álgebra Homológica e que são necessários nos outros capítulos.

Palavras-chave: Homologias de grupos, grupos metabelianos, groups de tipo FPn, os

In this thesis we study the virtual rational Betti numbers of abelian-by-polycyclic groups and nilpotent-by-abelian groups which are of type FPn. The virtual rational Betti numbers

of a finitely generated group study the growth of the Betti numbers of a group as one passes to subgroups of finite index.

The n-th virtual rational Betti number of a finitely generated group G is defined as

vbnpGq : sup MPAG

dim_QHnpM, Qq,

where AG is the set of all subgroups of finite index in G. It is not difficult to give examples

of groups of type FPn, even metabelian ones, where some of their virtual rational Betti

numbers are infinite.

Let G be an abelian-by-polycyclic group, i.e. contains an abelian normal subgroup A

such that Q : G{A is polycyclic. Let n ¥ 2 and let

k

â Q

pA bZQq be finitely generated as a QQ-module via the diagonal action of Q for all k ¤ 2n. Furthermore, if G is not metabelian, then assume that G is of type FP3. Then we show that

vbjpGq   8 for 0 ¤ j ¤ n.

As a special case we show that if G is an abelian-by-(nilpotent of class 2) group of type FP2n, then vbjpGq   8 for 0 ¤ j ¤ n.

Moreover let G be a finitely generated nilpotent-by-abelian group which contains a nilpotent normal subgroup N of nilpotent class c such that Q : G{N is abelian. If N{N1 is 2pcpn
1q 1q-tame, then we also prove that for any 0 ¤ j ¤ n, vbjpGq is finite.

To prove these results we use many result from Group Theory, Homological Algebra and Commutative Algebra. The main results of this thesis are concentrated in Chapters 3 and 4, where we also prove some nice properties about the homology of finitely generated abelian groups and the homology of nilpotent groups. Chapters 1 and 2 are of introductory nature and we gather some results from group theory and homological algebra that are needed in other chapters.

Keywords: Homology of groups, metabelian groups, groups of type FPn, virtual rational

Introdução . . . 10

1 HOMOLOGIAS DE GRUPOS . . . 14

1.1 Complexos e resoluções . . . 14

1.2 Co-invariantes e invariantes de G-módulos . . . 18

1.3 Homologias e cohomologias de grupos . . . 21

1.4 O homomorfismo transferência . . . 28

1.5 Sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre . . . 30

1.6 Produto cup e produto cap . . . 39

2 GRUPOS SOLÚVEIS DE TIPO FPn . . . 43

2.1 Grupos solúveis e nilpotentes . . . 43

2.2 Grupos policíclicos . . . 46

2.3 Apresentações de grupos . . . 48

2.4 Grupos de tipo FPn . . . 51

2.5 Invariante geométrico de Bieri-Strebel . . . 54

3 NÚMEROS VIRTUAIS RACIONAIS DE BETTI DE GRUPOS ABELIANOS-POR-POLICÍCLICOS. . . 59

3.1 Números virtuais racionais de Betti de grupos . . . 59

3.2 Homologias de grupos abelianos finitamente gerados . . . 63

3.3 Números virtuais racionais de Betti de grupos abelianos-por-policíclicos 72 3.4 Alguns exemplos . . . 78

4 NÚMEROS VIRTUAIS RACIONAIS DE BETTI DE GRUPOS NILPOTENTES-POR-ABELIANOS . . . 85

4.1 Segunda diferenciais da sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre . . . 85

4.2 Homologias dos grupos nilpotentes . . . 88

4.3 Ação nilpotente sobre homologias de grupos nilpotentes . . . 93

4.4 Números virtuais racionais de Betti dos grupos nilpotentes-por-abelianos . . . 99

4.5 Alguns exemplos . . . 103

Introdução

Os números virtuais racionais de Betti de um grupo finitamente gerado estudam o crescimento dos números de Betti do grupo como passamos para subgrupos de índice finito. A seguir (BRIDSON; KOCHLOUKOVA,2015), definimos o n-ésimo número virtual racional de Betti de um grupo finitamente gerado G por

vbnpGq : sup MPAG

dim_QHnpM, Qq,

em que AG é o conjunto de todos os subgrupos de índice finito de G.

Bridson e Kochloukova introduziram e estudaram o primeiro número virtual racional de Betti de G e mostraram que, se G é ou um grupo abeliano-por-policíclico de tipo FP3 ou um grupo finitamente apresentado nilpotente-por-abeliano, então vb1pGq é finito (BRIDSON; KOCHLOUKOVA, 2015) . Na verdade, eles demonstraram que a finitude do primeiro número virtual racional de Betti de um grupo metabeliano G, com um subgrupo abeliano normal A e o quociente abeliano Q : G{A, é intimamente relacionado com o 2-mansidade de A como Q-módulo, um invariante dos grupos metabelianos introduzido por Bieri e Strebel (BIERI; STREBEL,1980).

Nesta tese estudamos os números virtuais racionais de Betti dos grupos abelianos-por-policíclicos e grupos nilpotentes-por-abelianos de tipo FPn e nosso principal

objetivo será generalizar os resultados de Bridson e Kochloukova para outros números virtuais racionais de Betti desses grupos.

Lembre-se que um grupo G é de tipo FPn se houver uma resolução projetiva

do ZG-módulo trivial Z de modo que todos os módulos projetivos desta resolução em dimensões ¤ n, são finitamente geradas e G é de tipo homotópico Fn se houver um

espaço classificador KpG, 1q que é um CW-complexo com um número finito de células em dimensão ¤ n. Desde que um grupo finitamente apresentado é de tipo Fn se, e somente se,

ele é de tipo FPn, deduzimos que para um grupo metabeliano as propriedades de tipo FPn

e Fn são equivalentes. A seguinte conjectura devida a Bieri e Groves sugere a classificação

dos grupos metabelianos de tipo FPn (BIERI; GROVES, 1982).

FPn-Conjectura 2.1. S ejam A  G  Q uma sequência exata de grupos

com A e Q abelianos e G finitamente gerado. Então as seguintes condições são equivalentes:

(i) G é de tipo FPn,

(ii) A é n-manso como um ZQ-módulo.

Vale ressaltar que o principal resultado de (BIERI; STREBEL, 1980) mostra que um grupo metabeliano é de tipo FP2 se, e somente se, ele é finitamente apresentado

(ou seja, de tipo F2) se, e somente se, a FPn-conjectura é verdadeira para n 2. Como

demonstrado por Bestvina e Brady em (BESTVINA; BRADY, 1997), este fato não é verdadeira em geral, existem grupos de tipo FP₈ que não são finitamente apresentados. Mas esses grupos não são solúveis. É um problema em aberto se as propriedades FPn e Fn

coincidirem para grupos solúveis.

A FPn-Conjectura foi resolvido para qualquer n para algumas classes especiais

de grupos metabelianos: grupos de posto finito de Prüfer (ABERG, 1986), para A um grupo torção de dimensão de Krull 1 (BUX, 1997), (KOCHLOUKOVA, 1996) e para alguns casos especiais, quando A tem dimensão de Krull 2 (GROVES; KOCHLOUKOVA,

2006).

Embora não há uma completa caracterização de apresentabilidade finita dos grupos abelianos-por-policíclicos, a estrutura de um grupo metabeliano finitamente apre-sentado é completamente compreendida, em termos do invariante de Bieri-Strebel ΣApQq

(BIERI; STREBEL, 1980). O estudo deste invariante no caso metabeliano está profunda-mente ligado à Teoria de Valorização (BIERI; GROVES, 1984).

No capítulo 3, utilizando o invariante de Bieri-Strebel, estudaremos os números virtuais racionais de Betti dos grupos abelianos-por-policíclicos. O resultado principal deste capítulo é o seguinte teorema.

Teorema 3.6. S ejam n¥ 2 um número natural e A  G  Q uma sequência

exata de grupos, em que A é abeliano, Q é policíclico e

k

â Q

pA bZQq é finitamente gerado como um QQ-módulo via a ação diagonal de Q para todo k ¤ 2n. Além disso, suponha que, se G não é metabeliano, então G é de tipo FP3. Então

vbjpGq   8 para todo 0 ¤ j ¤ n.

O ponto de partida na prova do teorema acima é o resultado de Groves, Kochloukova e Rodrigues, em que grupos abelianos-por-policíclicos de tipo FP3 são nilpotentes-por-abelianos-por-finitos (GROVES; KOCHLOUKOVA; RODRIGUES, 2008). Este fato, juntamente com alguns resultados provados sobre as homologias dos grupos abelianos finitamentes gerados, na seção 3.2, desempenham papel principais na prova do teorema 3.6.

Generalizando um resultado de Bieri e Groves, em (KOCHLOUKOVA,1999)

Kochloukova mostrou que se Q é abeliano, então

k

© Q

pA bZQq é finitamente gerado QQ-módulo via a ação diagonal de Q se, e somente se,

k

â Q

pA bZ Qq é finitamente gerado QQ-módulo via a ação diagonal de Q. Pode-se generalizar este resultado para um grupo

nilpotente Q de classe 2 onde Q1 age nilpotentemente sobre A (veja a demonstração da proposição 3.2). Isto, juntamente com o teorema 3.6, implica o seguinte resultado.

Proposição 3.2. S ejam n ¥ 2 um número natural e G um grupo

abeliano-por-(nilpotente de classe 2) de tipo FP2n. Então

vbjpGq   8 para todo 0 ¤ j ¤ n.

Quando n  1, o resultados acima foi demonstrado, independentemente, por Bridson e Kochloukova em (BRIDSON; KOCHLOUKOVA, 2015). É um problema em aberto se existe um grupo finitamente apresentado G que não é grande mas vb1pGq é infinito. Um grupo finitamente gerado G é dito grande se existe um homomorfismo sobrejetor de G a

F2, onde F2 é um grupo livre de posto 2.

Grupos solúveis finitamente gerados que ocorrem em aplicações são muitas vezes nilpotentes-por-abelianos-por-finitos, isto é, um tal grupo G contém subgrupos normais N H  G tais que N é nilpotente, H{N é abeliano e G{H é finito. Utilizando os resultados do capítulo 3, no capítulo 4 estudaremos os números virtuais racionais de Betti dos grupos nilpotentes-por-abelianos-por-finitos. Desde que vbnpGq  vbnpHq (lema 3.1),

basta estudar os números virtuais racionais de Betti dos grupos nilpotentes-por-abelianos de tipo FPn. Este é o teorema principal do capítulo 4.

Teorema 4.4. S eja N _{ G  Q uma sequência exata de grupos, em que G é}

finitamente gerado, N é nilpotente de classe c e Q é abeliano. Se N{N1 é 2pcpn
1q 1q-manso, então para qualquer 0¤ j ¤ n, vbjpGq é finito.

Para provar o teorema acima, precisamos estudar alguns aspectos das homo-logias dos grupos nilpotentes. Os grupos nilpotentes têm grande quantidade de comu-tatividade embutida em suas estruturas. Portanto, é natural esperar que algumas das propriedades das homologias dos grupos abelianos, de alguma forma, podem ser comparti-lhadas pelos grupos nilpotentes. No capítulo 4, estudaremos duas propriedades. Para mais analogias entre as homologias dos grupos abelianos e dos grupos nilpotentes, referimos o leitor a (DWYER, 1975), (HILTON; MISLIN; ROITBERG,1975) e (ROBINSON, 1976).

A n-ésima homologia de um grupo abeliano A com coeficientes racionais é

isomorfo a

n

© Q

pA bZQq. Provamos um resultado análogo sobre grupos nilpotentes. Mais precisamente, provaremos o seguinte teorema.

Teorema 4.2. S eja N um grupo nilpotente de classe c. Então existe uma

filtração natural de HjpN, Qq,

tal que para todo 0 ¤ k ¤ l, Ek{Ek
1 é um subquociente de um espaço vetorial no conjunto

tâs Q

Vu0_{¤s¤cpj
1q 1}, onde V : pN{N1q bZ_Q.

Quando o grupo é nilpotente livre mostraremos que o teorema acima ainda vale mesmo com coeficientes Z. Embora a existência da filtração acima não é algo novo e pode ser facilmente obtida por indução, mas o limitante superior cpj
1q 1 é um novo resultado e é muito importante para nossas aplicações. Além disso, apresentamos alguns exemplos que sugerem que este limitante superior é nítido.

Devemos mencionar que o caso especial do teorema acima para c 2, também foi provado por J. R. Groves. Sua prova foi disponibilizada para nós por Profa. Kochloukova. Sua prova é diferente da prova apresentada nesta tese, mas foi muito útil na nossa formulação final do teorema acima. Gostaríamos de agradecê-lo por sua ajuda e sugestão.

Se N é um subgrupo normal nilpotente de G e G age nilpotentemente sobre

N{N1, em seguida, o teorema4.2implica que G age nilpotentemente sobre HkpN, Qq. Mas,

com um método direto, provaremos um resultado mais geral. Seja T um RG-módulo, em que R é um anel comutativo. No capítulo 4, mostraremos que, se G age nilpotentemente sobre N{N1 e T , então G age nilpotentemente sobre cada HkpN, T q e HkpN, T q. Como

uma aplicação, mostraremos que se G{N é finito, de l-torsão e 1{l P R, então a ação natural de G{N sobre HkpN, T q e HkpN, T q é trivial e, portanto, os homomorfismos naturais

corG_N : HkpN, T q Ñ HkpG, T q, resGN : H

k_{pG, T q Ñ H}k_{pN, T q}

são isomorfismos. Estes resultados serão utilizados na prova do teorema 4.4.

Como motivação para o estudo dos números virtuais racionais de Betti, po-demos mencionar um resultado de Lück que diz que os números L2-Betti podem ser calculados como um limite direto envolvendo os números ordinários de Betti dos subgrupos de índice finito. Aqui, mostramos que para estes grupos não há crescimento, isto é, a sequência está limitada. Portanto, nosso resultado confirma uma fórmula de Lück através de estabelecimento de uma propriedade mais forte para estas classes de grupos

1 Homologias de grupos

Neste capítulo recordamos alguns fatos e estabelecemos algumas notações que serão frequentemente utilizadas ao longo da tese. Neste capítulo estudaremos os complexos e as resoluções, os invariante e co-invariante de módulos sobre grupos, as homologias de grupos, o homomorfismo de transferência para grupos, a sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre e o produto cup e produto cap. Na maioria das vezes não faremos as demonstrações dos resultados aqui anunciados. Indicamos as referências principais (BROWN, 1994) e (WEIBEL, 1994) para maiores detalhes.

1.1

Complexos e resoluções

Seja R um anel (não necessariamente comutativo) com unidade. Um complexo

de R-módulos à esquerda (ou à direita) é uma família K : tKn,BKnunPZ

de R-módulos à esquerda (ou à direita) Kn e R-homomorfismos

BK

n : KnÑ Kn
1 tais que BnK B K n 1  0

para todo nP Z. Chamamos BK_n o n-ésimo homomorfismo diferencial de K . Denotamos este complexo por

K :    ÝÑ Kn 1 BK n 1 ÝÑ Kn B K n ÝÑ Kn
1 ÝÑ    .

A partir de B_nK BK_{n 1} 0, é fácil ver que

BnpK q : impBn 1K q „ ZnpK q : kerpBKnq.

A homologia do complexo K é definida por

HnpK q : kerpBKnq{impB K

n 1q  ZnpK q{BnpK q.

Dizemos que o complexo K é exato em dimensão n, se HnpK q  0 e dizemos

que o complexo é exato se ele for exato em qualquer dimensão. Para facilitar, o complexo zero 0 : tKn  0, BnK  0unPZ será denotado por 0, o qual claramente é um complexo

exato.

A família f : tfn : Kn Ñ LnunPZ de R-homomorfismos é chamada de

morfismo entre K e L se para cada nP Z,

fn
1 BKn  B L n  fn.

É fácil verificar que, para qualquer n P Z, o morfismo f : K Ñ L induz um

R-homomorfismo

Hnpf q : HnpK q Ñ HnpL q, ¯x ÞÑ fnpxq.

Além disso, se f : K Ñ L e g : L Ñ M são dois morfismos, então a família

g  f : tgn fn: Kn Ñ MnunPZ é um morfismo entre K e M e temos

Hnpg  f q  Hnpg q  Hnpf q.

Por outro lado, se idK : K Ñ K é o morfismo identidade, então

HnpidK q  idHnpK q.

Em outras palavras, a n-ésima homologia Hnp
q é um funtor da categoria de complexos

de R-módulos para a categoria de R-módulos (à esquerda ou à direita).

Uma sequência K ÝÑ L f ÝÑ M g é chamada de complexo (de complexos) se para cada n P Z, gn fn  0 e é chamada exata se kerpgnq  impfnq para cada n. Esta

definição pode ser estendida sobre uma sequência com mais complexos da maneira usual. Dizemos que a sequência

0Ñ K ÝÑ L f ÝÑ M g Ñ 0 é exata, se para cada n P Z a sequência 0 Ñ Kn

fn ÝÑ Ln

gn

ÝÑ Mn Ñ 0 é exata. Note que a

exatidão do complexo acima não depende da exatidão dos complexos K , L e M .

Agora estamos prontos para enunciar nosso primeiro teorema importante.

Teorema 1.1 (Sequência exata longa). Seja 0ÑK ÑL f ÑM g Ñ 0 uma sequência exata

curta de complexos de R-módulos. Então para cada n, existe um R-homomorfismo natural δn 1 : Hn 1pM q Ñ HnpK q, o chamado pn 1q-ésimo homomorfismo de conexão, tal que

  ÑHn 1pM q δn 1 ÝÑHnpK q Hnpf q
ÝÑ HnpL q Hnpg q
ÝÑ HnpM q δn ÝÑ Hn
1pK q Hn
1pf q
ÝÑ Hn
1pL q Hn
1pg q
ÝÑ Hn
1pM q Ñ   

é uma sequência exata. Além disso, os homomorfismos δn são naturais, isto é, qualquer

diagrama comutativo de complexos com linhas exatas

0ÝÑ K ÝÑ L f ÝÑ M g ÝÑ 0 Ók Ól Óm

0ÝÑ K 1 ÝÑ Lf 1 1 ÝÑ Mg 1 1 ÝÑ 0

induz o diagrama comutativo com linhas exatas

   ÑHn 1pM q δn 1 ÝÑHnpK qÑHnpL qÑ HnpM q δn Ñ Hn
1pK q Ñ    ÓHn 1pm q ÓHnpk q ÓHnpl q ÓHnpm q ÓHn
1pk q    ÑHn 1pM 1q δ_n1 ₁ ÝÑHnpK 1qÑHnpL1 qÑ HnpM 1q δ1n ÝÑHn
1pK 1qÑ    .

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, teorema 1.3.1).

Uma sequência de R-módulos e R-homomorfismos

K :    ÝÑ Kn
1 B n
1 K

ÝÑ KnÝÑ KBnK n 1_{ÝÑ    ,}

é chamada um co-complexo se para cada n P Z, B_Kn  Bn_K
1  0. Novamente é fácil verificar que impB_Kn
1q „ kerpBn_Kq. A n-ésima cohomologia do co-complexo K é definida por

HnpK q : kerpB_Knq{impB_Kn
1q.

As outras noções definidas e afirmações provadas sobre complexos, podem ser facilmentes estendidos sobre co-complexos. Detalhes são deixados para o leitor (BROWN, 1994).

Exemplo 1.1. Seja K um complexo de R-módulos à direita.

(i) Se M é um R-módulo à esquerda, então a sequência K bRM , dada por

   Ñ Kn 1bRM BK n 1bidM


ÝÑ KnbRM BK nbidM


ÝÑ Kn
1bRM Ñ   

será um complexo de Z-módulos. Se R for um anel comutativo, então K bR M é um

complexo de R-módulos.

(ii) Se M é um R-módulo à direita, então a sequência HomRpK , Mq, dada por

  ÑHomRpKn
1, Mq Bn
1 Hom
ÝÑHomRpKn, Mq Bn Hom
ÝÑHomRpKn 1, Mq Ñ  

será um co-complexo de Z-módulos, em que BHomn pfq : f  B K

n 1. Novamente, se R for um

anel comutativo, então HomRpK , Mq é um co-complexo de R-módulos.

Um R-módulo à esquerda (respectivamente à direita) F é dito um R-módulo

livre à esquerda (respectivamente à direita) se F é isomorfo a uma soma direta de cópias

de R, isto é, F  à

xPX

Rx, onde Rx  R para cada x P X. Um R-módulo à esquerda

(respectivamente à direita) P é dito um R-módulo projetivo à esquerda (respectivamente à direita) se P é sumando direto de um R-módulo livre à esquerda (respectivamente Um

R-módulo à esquerda (respectivamente à direita) P é dito um R-módulo plano à esquerda

(respectivamente à direita) se o funtor
bRP (respectivamente P bR
q é exato.

Uma resolução de um R-módulo à esquerda M é uma sequência exata de

R-módulos à esquerda como

P ÝÑ M :    Ñ P2ε B

P

2

ÝÑ P1 ÝÑ P0BP1 ÝÑ M Ñ 0.ε

Quando cada Pi é livre (resp. projetivo, plano), esta resolução é chamada uma resolução

livre (resp. projetiva, plana) de M . Uma resolução de um R-módulo à direita pode ser

Lema 1.1. Uma resolução livre (assim projetiva e plana) de qualquer R-módulo (à esquerda

ou à direita) existe.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, lema 2.2.5).

Por exemplo, qualquer R-módulo livre F admite uma resolução livre como

0Ñ F ÝÑ F Ñ 0.idF

Seja P ÝÑ M uma resolução projetiva de R-módulo à direita M e seja N umε

R-módulo à esquerda (ou à direita). Definimos

TorR_npM, Nq : HnpP bRNq e ExtnRpM, Nq : H

n_pHom

RpP , Nqq,

onde P é o complexo obtido por exclusão de M , isto é,

P :    ÝÑ Pn

BP n

ÝÑ    ÝÑ P2 ÝÑ P1BP2 ÝÑ P0B1P Ñ 0.

Proposição 1.1. (i) As definições de TorR_npM, Nq e Extn_RpM, Nq, a menos de isomorfismo,

não dependem da escolha da resolução projetiva P Ñ M, isto é, se P 1 Ñ M for outra1 resolução projetiva de M , então

TorR_npM, Nq  HnpP 1 bRNq, ExtnRpM, Nq  H

n_pHom

RpP 1, Nqq.

(ii) Se Q Ñ N é qualquer resolução projetiva de N, então TorR_npM, Nq  HnpM bRQ q.

(iii) Se F Ñ M e F 1 Ñ N são resoluçãos planas de M e N respectivamente, então

TorR_npM, Nq  HnpF bRNq  HnpM bRF 1q.

Demonstração. Essas afirmações seguem dos (WEIBEL,1994, teorema 2.2.6, teorema 2.7.2 e lema 3.2.8).

Exemplo 1.2. Suponha que a resolução projetiva P Ñ M e o R-módulo N são como

acima.

(i) Como o produto tensorial
bRN é um funtor exato à direita, a sequência

P1bRN BP 1bidN

ÝÑ P0 bRN εbidN
ÝÑ M bRN Ñ 0 é exata. Portanto TorR₀pM, Nq  H0pP bRNq  pP0bRNq{impBP1 b idNq  M bRN.

(ii) Por outro lado, HomRp
, Nq é um funtor exato à esquerda e assim a

sequência

0Ñ HomRpM, Nq Ñ HomRpP0, Nq Ñ HomRpP1, Nq

é exata. Este fato implica que

Ext0_RpM, Nq  H0pHomRpP , Nqq  HomRpM, Nq.

Lema 1.2. Se M e N são dois grupos abelianos (Z-módulos), então TorZ

1pM, Nq é um

grupo de torção e TorZ

npM, Nq  0 para todo n ¥ 2. Em particular, se M ou N é livre de

torção, então TorZ

npM, Nq  0 para todo n  0.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, proposições 3.1.2 e 3.1.4).

1.2

Co-invariantes e invariantes de G-módulos

Seja G um grupo multiplicativo. O anel de grupo ZG de G é definido da seguinte maneira: Como o grupo abeliano aditivo, ZG é o grupo abeliano livre gerado pelos elementos de G. A multiplicação em ZG é dada pela fórmula

p¸ gPG mggq.p ¸ hPG nhhq : ¸ g,hPG mgnhgh.

Um G-módulo à esquerda é um grupo abeliano A juntamente com um homo-morfismo de grupos

σ : GÑ AutpAq, g ÞÑ σg.

Em outras palavras, o elemento g de G age através do automorfismo σg de A, isto é,

g.a : σgpaq.

A imagem de aP A através do automorfismo σg será denotada por ga.

Como AutpAq „ EndpAq, o homomorfismo de anéis

σ1 _{: ZG Ñ EndpAq,} ¸ gPG ngg ÞÑ ¸ gPG ngσg,

transforma A em um módulo à esquerda sobre ZG. Reciprocamente, se A é um módulo à esquerda sobre ZG, então A é um G-módulo à esquerda de forma natural, com o homomorfismo σ : G Ñ AutpAq definido por g ÞÑ pσg : a ÞÑ gaq. Assim não precisamos

fazer nenhuma distinção entre os conceitos de G-módulos e ZG-módulos.

Um G-módulo à esquerda A é chamado trivial se o homomorfismo σ : G Ñ AutpAq é trivial, isto é, ga  a para todo g P G e a P A. Neste caso, dizemos que G age trivialmente sobre A. Qualquer grupo abeliano A pode ser considerado como um G-módulo trivial à esquerda.

Um G-módulo à direita pode ser definido de maneira análoga e tem as mesmas propriedades. Nesta tese sempre consideraremos Z como um G-módulo trivial

(à esquerda ou à direita) para qualquer grupo G.

Exemplo 1.3. (i) Sejam G um grupo cíclico de ordem n e g um gerador de G. Então o

conjunto tgi|0 ¤ i ¤ n
1u forma uma Z-base de ZG e segue-se facilmente que

ZG Ñ ZrT s{xTn
1y, n¸
1 i0 nigi ÞÑ n¸
1 i0 niT i ,

é um isomorfismo de anéis, em que T : T xTn
1y.

(ii) Se G é o grupo cíclico infinito com um gerador g, então o conjunto tgi|i P Zu é uma Z-base de ZG. Assim ZG pode ser identificado com o anel de polinômios de Laurent

ZrT , T
1s, através do homomorfismo ZG Ñ ZrT , T
1s, l ¸ i
k nigi ÞÑ l ¸ i
k niTi.

O homomorfismo de anéis ε : ZG Ñ Z, definido por

εp¸ gPG nggq  ¸ gPG ng,

é dito a aplicação de aumento (de G) e seu núcleo

JG : kerpεq

é dito o ideal de aumento de G.

Seja X um conjunto. Um grupo F é dito livre com base X, se existe uma aplicação ι : X Ñ F de modo que para qualquer grupo G e qualquer aplicação f : X Ñ G existe um homomorfismo único ϕ : F Ñ G tal que f  ϕ  ι. É fácil verificar que um grupo F com base X existe, e único a menos de isomorfismo e a aplicação ι : X Ñ F é necessariamente injetora. Quando X é finito com n elementos, dizemos que F é livre de

posto n.

Lema 1.3. (i) O ideal de aumento JG é um Z-módulo livre com uma base tg
1|g P

Gzt1uu „ ZG.

(ii) Se o subconjunto S „ G gera G, então JG, como um ZG-módulo, é gerado

pelo conjunto ts
1|s P Su.

Proposição 1.2. Se G é um grupo livre com a base X, então JG, como um ZG-módulo,

é livre com a base tx
1|x P Xu. Portanto

0Ñ JG ÝÑ ZG ε

ÝÑ Z Ñ 0

é uma resulação livre de Z sobre ZG.

Demonstração. Veja (WEIBEL, 1994, proposição 6.2.6) ou (ROTMAN, 2009, proposi-ção 9.54).

Lema 1.4. Seja H um subgrupo de G. Então ZG é livre como H-módulo à esquerda (ou

à direita).

Demonstração. Veja (BROWN, 1994, proposição 3.1, exercício 1, §3, cap. I).

Observação 1.1. Se R é um anel comutativo arbitrário, então podemos definir o álgebra

de grupo RG de maneira completamente análoga ao anel ZG. Assim RG é o R-móduo livre gerado pelos elementos de G e a multiplicação em RG é definida pela extensão da multiplicação de G de maneira usual. Tudo que fizemos até agora sobre ZG pode ser generalizado de maneira óbvia sobre RG. Pelo exemplo, um RG-módulo é simplesmente um R-módulo M juntamente com uma ação (R-linear) de G sobre M .

Os grupos de co-invariante e invariante de um G-módulo M são definidos como

MG : M{xgm
m|g P G, m P My,

MG : tm P M| gm  m para todo g P Gu,

respectivamente. É fácil ver que, MG e MG são G-módulos triviais. De fato, MG é o maior

quociente de M e MG é o maior submódulo de M no qual G age trivialmente.

Lema 1.5. Sejam H um subgrupo normal de G e M um G-módulo. Então

(i) MG  Z bZGM e MG  HomZGpZ, Mq,

(ii) A ação de G sobre M induz uma ação de G{H sobre MH e temos MG 

pMHqG{H.

Demonstração. Veja (WEIBEL, 1994, lema 6.1.1) e (BROWN, 1994, exercício 3, §2, cap. II).

Lembre-se que o produto tensorial MbRN é definido quando M é um R-módulo

considerar ambos deles como ZG-módulos à esquerda ou à direita, utilizando o

anti-automorfismo gÞÑ g
1 de G. Assim, qualquer G-módulo à esquerda M será considerado como um G-módulo à direita, pela definição

mg : g
1m, mP M e g P G.

Desta forma, o produto tensorial Mb_ZGN faz sentido para quisquer G-módulos

à esquerda (ou à direita) M e N . Assim em M bZGN temos a fórmula g
1mb n  m b gn.

Substituindo m por gm, esta igualdade é da forma

mb n  gm b gn,

e logo obtemos o isomorfismo

M bZGN  pM bZNqG,

em que G age diagonalmente sobre M bZN : g.pm b nq : gm b gn. Em particular, este

fato mostra que o produto tensorial de G-módulos é comutativo, isto é,

MbZGN  N bZGM.

Se H é um subgrupo normal de G, então pelo lema 1.5 temos

N bZGM  pN bZMqG  ppN bZMqHqG{H  pN bZH MqG{H. (1.1)

Para facilitar, denotamos N bZGM por N bGM e N bZM por N b M.

Lema 1.6. Sejam H um subgrupo normal de G e M um H-módulo. Então

(i) ZG bH Z  ZrG{Hs,

(ii) ZG bH M  ZrG{Hs b M,

(iii) MH  ZrG{Hs bGM como G{H-módulos.

Demonstração. Veja (BROWN, 1994, exercício 3, §2, cap. II).

1.3

Homologias e cohomologias de grupos

Sejam P Ñ Z uma resolução projetiva de Z sobre ZG e M um G-módulo. Para cada inteiro n¥ 0, definimos a n-ésima homologia e a n-ésima cohomologia do grupo

G com coeficientes em M como

HnpG, Mq :HnpP bGMq  TorZGn pZ, Mq,

respectivamente (veja o exemplo 1.1).

Existe uma generalizção óbvia de HnpG,
q. Tome as resoluções projetivas

F Ñ M e P Ñ N dos G-módulos M e N respectivamente e seja n ¥ 0. Pela proposição1.1

temos que

TorZG

n pN, Mq  HnpP bGMq  HnpN bGF q.

Se N  Z, recuperamos HnpG, Mq como TorZGn pZ, Mq.

Proposição 1.3. Sejam M e N dois G-módulos. Se N é livre de Z-torção, então para

cada n¥ 0,

TorZG

n pN, Mq  HnpG, N b Mq,

onde G age diagonalmente sobre N b M.

Demonstração. Veja (BROWN, 1994, proposição 2.2, §2, cap. III).

Exemplo 1.4. Seja 0Ñ M1 αÑ M Ñ Mβ 2 Ñ 0 uma sequência exata curta de G-módulos

e seja P Ñ N uma resolução projetiva de Z sobre ZG. Então a sequência de complexos

0Ñ P bGM1 Ñ P bGM Ñ P bGM2 Ñ 0

é exata. Agora pelo teorema 1.1 e pela definição da homologia de G temos a sequência exata longa    Ñ Hn 1pG, M2q δn 1 ÝÑ HnpG, M1q Hnpαq ÝÑ HnpG, Mq Hnpβq ÝÑ HnpG, M2q ÝÑ    ÝÑ H1pG, M2_qÝÑ H0δ1 pG, M1qH0pαq ÝÑ H0pG, Mq H0pβq ÝÑ H0pG, M2_{q Ñ 0,}

em que Hnpαq : HnpidP b αq e Hnpβq : HnpidP b βq. Além disso, pela definição de

TorZG

n p
,
q temos a sequência exata longa

   Ñ TorZG

n 1pN, M2q Ñ TorZGn pN, M1q Ñ TorZGn pN, Mq Ñ

   Ñ TorZG

1 pN, M2q Ñ N bGM1 Ñ N bGM Ñ N bGM2 Ñ 0.

Exemplo 1.5 (0-ésima homologia). De acordo com o exemplo 1.2 e o lema 1.5 temos H0pG, Mq  TorZG

0 pZ, Mq  Z bGM  MG,

H0pG, Mq  Ext0_ZGpZ, Mq  HomGpZ, Mq  MG.

Em particular, se M  Z, considerando como um G-módulo com a ação trivial de G, então H0pG, Zq  H0pG, Zq  Z.

Exemplo 1.6 (Homologias do grupo trivial). Se G  t1u é o grupo trivial, então ZG  Z.

Logo o complexo

é uma resolução livre de Z sobre ZG. Assim, para qualquer G-módulo M , temos HnpG, Mq  HnpG, Mq  $ & % M se n 0 0 se n 0 .

Exemplo 1.7 (Homologias dos grupos livres). Seja X um conjunto. Se G é o grupo livre

gerado por X, então pela proposição 1.2, 0Ñ JG Ñ ZG Ñ Z Ñ 0 é uma resolução livre

de Z sobre ZG. Portanto, para qualquer G-módulo M ,

HnpG, Mq  HnpG, Mq  0, n¥ 2.

Além disso, se G age trivialmente sobre M , então a n-ésima homologia de G com coefici-entes em M é igual à n-ésima homologia do complexo

0Ñ JGbGM Ñ ZG bGM Ñ 0.

Este complexo é igual ao complexo 0Ñ à

xPX M ÝÑ M Ñ 0 e portanto0 HnpG, Mq $ ' & ' % M se n 0 à xPX M se n 1. De maneira similar, podemos demonstrar que

HnpG, Mq $ ' & ' % M se n 1 à xPX M se n 0.

Exemplo 1.8 (Homologias do grupo cíclico infinito). O grupo livre G gerado por X  txu

é isomorfo ao grupo Z, isto é, G  xxy  Z. Assim, pelo exemplo anterior, temos HnpZ, Mq  HnpZ, Mq  $ & % M se n 0, 1 0 se n¥ 2 ,

em que M é um G-módulo trivial.

Exemplo 1.9 (Homologias dos grupos cíclicos finitos). Seja Gm o grupo cíclico finito de

ordem m e gerado por g P Gm, isto é, Gm  xgy  Z{m. O elemento norma N de ZGm é

N : 1 g g2    gm
1 P ZGm. Como 0 gm
1  pg
1qN, a sequência    N ÝÑ ZGm g
1 ÝÑ ZGm N ÝÑ ZGm g
1 ÝÑ ZGm  ÝÑ Z Ñ 0

é um complexo. Demonstramos que este complexo é uma resolução livre de Z sobre ZGm.

Claramente, impg
1q „ kerpεq. Sejam x 

m¸
1 i0

nigi P kerpεq e gi
1  pg
1qti por algum

ti P ZGm. Então m¸
1 i0 ni  0 e temos x m¸
1 i0 nipgi
1q  m¸
1 i0 nipg
1qti  pg
1qp m¸
1 i0 nitiq.

Esta fórmula implica que kerpεq „ impg
1q. Além disso, é fácil ver que impNq „ kerpg
1q. Se x

m¸
1 i0

nigi P kerpg
1q, então pg
1qpxq  0 e assim

nm
1 n0g n1g2    nm
2gm
1  n0 n1g n2g2    nm
1gm
1.

Desde t1, g, . . . , gm
1u é uma base de ZGm como Z-módulo, n0  n1      nm
1 e assim

x n0p

m¸
1 i0

giq  n0N  Npn0.1q

que implica que kerpg
1q „ impNq. Por outro lado, impg
1q „ kerpNq. Seja x 

m¸
1 i0

nigi P

kerpNq. Como para cada gi P G o conjunto giG é igual a G, temos que Npgiq  giN  N. Daí 0 Npxq  m¸
1 i0 niNpgiq  m¸
1 i0 niN  p m¸
1 i0 niqN.

Isso implica que

m¸
1 i0

ni  0. Além disso, como acima temos x  pg
1qp m¸
1

i0

nigiq, que

mostra que kerpNq „ impg
1q. Portanto, mostramos que o complexo acima é uma resolução de Z sobre ZGm.

Agora aplicando o funtor
bGmM sobre esta resolução e tomando as homologias

do complexo obtido, temos que

HnpGm, Mq  $ ' ' ' & ' ' ' % M{pg
1qM se n 0 MGm{NM _{se n é ímpar} tx P M : Nx  0u{pg
1qM se n é par Em particular, se M  Z, então HnpGm, Zq  $ ' ' ' & ' ' ' % Z se n 0 Z{m se n é ímpar 0 se n é par

Exemplo 1.10. Suponham que tMiuiPI é uma família de G-módulos e P Ñ Z é uma

resolução projetiva de Z sobre ZG. Como P bGp à iPI Miq  à iPI pP bGMiq

e como o funtor HnpG,
q comuta com a soma direta, para todo n, temos o isomorfismo

HnpG, à iPI Miq  à iPI HnpG, Miq.

Proposição 1.4. Seja G um grupo. Então H1pG, Zq  G{rG, Gs.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, teorema 6.1.11).

Lema 1.7 (Lema de Shapiro). Sejam H um subgrupo de G e M um H-módulo. Então

para cada n¥ 0,

HnpH, Mq  HnpG, ZG bH Mq,

em que a ação de G sobre ZG bH M é dada por g.px b mq : gx b m.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, lema 6.3.2).

Corolário 1.1. Se M é um Z-módulo, então

HnpG, ZG b Mq  $ & % M se n 0 0 se n 0 .

Demonstração. Se no lema de Shapiro 1.7 escolhemos H  t1u, então

HnpG, ZG b Mq  HnpG, ZG bH Mq  HnpH, Mq.

Agora o resultado segue do exemplo 1.6.

Sejam M um G-módulo e P Ñ Z uma resolução projetiva de Z sobre ZG e considere o homomorfismo natural

ψ :pP bGZq b M Ñ P bGM.

É fácil verificar que,

ψnpZnpP bGZq b M q „ ZnpP bGMq,

ψnpBnpP bGZq b M q „ BnpP bGMq,

que induzem um homomorfismo natural

Teorema 1.2 (Teorema dos Coeficientes Universais). Se o grupo G age trivialmente sobre

um grupo abeliano M , então temos a sequência exata (não necessariamente canônica) cindida

0Ñ HnpG, Zq b M Ñ HnpG, Mq Ñ TorZ1pHn
1pG, Zq, Mq Ñ 0.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, teorema 6.1.12).

Corolário 1.2. Se K é um corpo de característica 0, considerando como um G-módulo

trivial, então para cada n¥ 0,

HnpG, Kq  HnpG, Zq b K.

Em particular, HnpG, Kq é um espaço vetorial sobre K.

Demonstração. Como charpKq  0, K é um Z-módulo livre de torção, por isso, para

qualquer grupo abeliano A, temos TorZ

1pA, Kq  0 (veja o lema 1.2). Assim a afirmação segue do teorema dos Coeficientes Universais 1.2.

Seja GM a seguinte categoria: Um objeto de GM é um par pG, Mq, onde G é um grupo e M é um G-módulo. Um morfismo em GM é um par

pα, σq : pG, Mq Ñ pG1_{, M}1_q,

onde α : GÑ G1 é um homomorfismo de grupos e σ : M Ñ M1 é um homomorfismo de grupos abelianos tais que

σpgmq  αpgqσpmq

para todos g P G e m P M. Em outras palavras, σ é um homomorfismo de G-módulos se consideramos M1 como um G-módulo com a definição g.m1 : αpgqm1. Nesse caso também dizemos que σ é um α-homomorfismo.

Dado um morfismo pα, σq em GM, seja P ÝÑ Z (respectivamente P 1 ÝÑ Z)1 uma resolução projetiva de Z sobre ZG (respectivamente sobre ZG1). Agora pelo teorema de Comparação (WEIBEL, 1994, teorema 2.2.6), existe um morfismo

τ : P Ñ P 1,

tal que 1 τ0  id_Z   . Além disso, esse morfismo é compatível com o homomorfismo

α : GÑ G1. Isso significa que τ é um α-morfismo, isto é, para qualquer n, τn: Pn Ñ Pn1 é

um α-homomorfismo.

Se consideramos P 1 como um complexo de G-módulos via α, existe um morfismo

de modo que, para cada n¥ 0, induz um homomorfismo bem definido pα, σq : Hnpα, σq : HnpG, Mq Ñ HnpG1, M1q.

Quando M  M1 e σ  idM1, escrevemos simplesmente α no lugar de pα, σq. É óbvio

que σ  idM1 é um α-homomorfismo, pois

idM1pg.m1q  g.m1  αpgqidM1pm1q.

Observe que o homomorfismo pα, σq sempre pode ser escrito como a composição

HnpG, Mq pidG,σq

ÝÑ HnpG, M1q pα,idM 1q

ÝÑ HnpG1, M1q, pois pα, σq  pα, idM1q  pidG, σq.

Exemplo 1.11. Dados um subgrupo H de G e um H-módulo M , o isomorfismo

HnpH, Mq  HnpG, ZG bH Mq

no lema de Shapiro 1.7 é induzido por pi, σq, onde i : H Ñ G é a inclusão e σ : M Ñ

ZG bH M é definido por mÞÑ 1 b m.

Exemplo 1.12. Dado um G-módulo M e um elemento g P G, considere o homomorfismo

de grupos αg : GÑ G definido por h ÞÑ ghg
1 e o homomorfismo de G-módulos σg : M Ñ

M definido por m ÞÑ gm. Então σg é um αg-homomorfismo, pois para qualquer hP G e

m P M,

σgphmq  ghm  ghg
1.gm αgphqσgpmq.

Assim o morfismo pαg, σgq : pG, Mq Ñ pG, Mq induz o homomorfismo

pαg, σgq : HnpG, Mq Ñ HnpG, Mq.

Teorema 1.3. Suponha que gP G e sejam αg e σg definidos como acima (veja o exemplo

1.12). Então para todo n¥ 0, pαg, σgq  idHnpG,Mq.

Demonstração. Veja (BROWN, 1994, proposição 8.1, §8, cap. III).

Corolário 1.3. Seja αg : GÑ G dado por h ÞÑ ghg
1, onde gP G. Então o homomorfismo

pαgq : HnpG, Zq Ñ HnpG, Zq

coincide com o homomorfismo identidade idHnpG,Zq.

Demonstração. Como id_{Z: Z Ñ Z é um α}g-homomorfismo, pelo teorema anterior,pαgq :

Sejam H um subgrupo normal de G e M um G-módulo. Definimos uma ação de G sobre HnpH, Mq como

g.x : Hnpαg, σgqpxq, g P G e x P HnpH, Mq,

onde αg : H Ñ H, h ÞÑ ghg
1, e σg : M Ñ M, m ÞÑ gm. Se g P H, pelo teorema 1.3,

Hnpαg, σgq  idHnpH,Mq. Logo H age trivialmente sobre HnpH, Mq:

h.x Hnpαh, σhqpxq  idHnpH,Mqpxq  x.

Esta observação nos permite definir uma ação de G{H sobre HnpH, Mq por

gH.x : g.x  Hnpαg, σgqpxq.

Assim, provamos o seguinte resultado.

Corolário 1.4. Sejam H um subgrupo normal de G e M um G-módulo. Então a ação

conjugação de G sobre pH, Mq, dada por g.ph, mq  pghg
1, gmq, induz uma ação natural de G{H sobre HnpH, Mq.

Observação 1.2. Se H é um subgrupo central de G e M é um G-módulo trivial, então,

pelo corolário 1.4, G{H age trivialmente sobre HnpH, Mq.

1.4

O homomorfismo transferência

Dados uma inclusão α : H ãÑ G de grupos e um G-módulo M, vimos que, para qualquer n¥ 0, existe um homomorfismo natural

α_ : HnpH, Mq Ñ HnpG, Mq.

Denotamos α_ com corG_H, o chamado homomorfismo correstrição. Observamos que se K é um subgrupo de H, então claramente

corG_K  corG_H  corH_K.

Queremos mostrar que se rG : Hs   8, então existe um homomorfismo na outra direção, o chamado de homomorfismo transferência. Então seja rG : Hs   8 e considere a função

π : M Ñ MH, mÞÑ

¸

gHPG{H

g
1m.

Como G{H é finito, a soma acima faz sentido. Além disso, π está bem definido: se

gH  g1H, então g1  gh, para algum h P H, e portanto

¸ g1HPG{H g1
1m ¸ ghHPG{H pghq
1_m ¸ ghHPG{H h
1g
1m  ¸ gHPG{H g
1m.

Por outro lado, para todo g1 P G e m1 P M, π leva g1
1m1
m1 em zero: ¸ gHPG{H g
1pg1
1m1
m1q  ¸ gHPG{H pg1_gq
1_m1
¸ gHPG{H g
1m1  ¸ g1gHPG{H pg1_gq
1_m1
¸ gHPG{H g
1m1  0. Portanto, o homomorfismo π : MGÑ MH, m ÞÑ ¸ gHPG{H g
1m,

está bem difinido. Se P Ñ M é uma resolução projetiva de M sobre ZG, então o homomorfismo π induz um morfismo natural de complexos

Z bGP  pP qG Ñ pP qH  Z bH P .

Assim, para cada n¥ 0, obtemos um homomorfismo dos grupos de homologias resG_H : HnpG, Mq Ñ HnpH, Mq,

o chamamos homomorfismo transferência. A partir da construção acima, é fácil ver que se

K é um subgrupo de índice finito de H, então

resG_K  resH_K resG_H.

Proposição 1.5. Sejam H um subgrupo de índice finito de G e M um G-módulo.

(i) Então para qualquer z P HnpG, Mq, corGH  res G

Hpzq  rG : Hsz.

(ii) Se H é um subgrupo normal, então para qualquer z P HnpH, Mq,

resG_H  corG_Hpzq  p ¸

gPG{H

gqz  Nz,

onde N P ZrG{Hs é o elemento norma.

Demonstração. Veja (BROWN, 1994, proposição 9.5, cap. III).

Como aplicação do homomorfismo transferência podemos provar o seguinte resultado:

Corolário 1.5. Sejam M um G-módulo e H um subgrupo de índice finito de G tais que

para cada n, HnpH, Mq  0. Então HnpG, Mq é aniquilada por rG : Hs. Em particular,

se rG : Hs é invertível em M pisto é, se a multiplicação por rG : Hs é um isomorfismoq, então HnpG, Mq  0.

Demonstração. Os resultados seguem imediatamente pela proposição 1.5 parte (i), pois neste caso corG_H  resG_H  rG : HsidHnpG,Mq.

Corolário 1.6. Se G é um grupo finito e M é um G-módulo, então HnpG, Mq é aniquilada

por |G| para todo n ¥ 0. Em particular, se |G| é invertível em M (por exemplo M é um

QG-módulo), então HnpG, Mq  0 para todo n ¡ 0.

Demonstração. Isto segue pelo corolário 1.5 se colocamos H  t1u.

Corolário 1.7. Sejam G um grupo abeliano e H um subgrupo de índice finito de G. Então

para cada n¥ 0, HnpH, Qq  HnpG, Qq.

Demonstração. Seja rG : Hs  n. Em seguida pela proposição 1.5parte (i), corG_H  resG_H 

nidHnpG,Qq e assim p 1 ncor G Hq  res G

H  idHnpG,Qq. Por outro lado, como a ação de G{H sobre HnpH, Qq é trivial (veja a observação 1.2), pela proposição1.5 parte (ii) temos que

resG_H  corG_Hpzq  ¸ gPG{H gz  Nz  nz e assim resG_H  p1 ncor G Hq  idHnpH,Qq. Portanto o resultado segue.

1.5

Sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre

Um módulo bi-graduado de primeiro quadrante pCp,q, dp,qqp,qPZ de R-módulos e

de bi-grau pa, bq é uma coleção de R-módulos tCp,qup,qPZ com homomorfismos dp,q : Cp,q Ñ

Cp a,q b, chamados diferenciais, e que satisfazem

dp,q dp
a,q
b 0.

O primeiro quadrante significa que Cp,q  0 para p   0 ou q   0 (ou ambos). Podemos

calcular as homologias deste módulo bi-grau e construir um novo módulo bi-grau. Se temos novos diferenciais neste novo módulo bi-grau, podemos obter um novo módulo bi-grau, e assim por diante.

Uma sequência espectral de primeiro quadrante (tipo de homologia) é um módulo bi-grau de primeiro quadrante tpE_p,qr , dr_p,qqur¥0 e de bi-grau p
r, r
1q tal que

(i) E_p,qr  0 para qualquer p   0 ou q   0 (ou ambos), (ii) os diferenciais dr_p,q: E_p,qr Ñ E_pr
_{r,q r
1} têm a propriedade

dr_p,q dr_{p r,q
r 1}  0,

(iii) E_p,qr 1 é isomorfo à homologia de E _, em pp, qq coordenada, isto é,

E_p,qr 1  kerpdr_p,qq{impdr_{p r,q
r 1}q.

É fácil ver que quando r ¡ maxtp, qu 2, então E_p,qr  E_p,qr 1     , e denotamos por E_p,q8:

E_p,q8 : E_p,qr  E_p,qr 1    

Definição 1.1. Dizemos que a sequência espectral de primeiro quadrante E _,  tE_p,qr ur¥a

converge à família H  tHnun¥0, e escrevemos

E_p,qa ñ Hp q,

se, para cada n¥ 0, Hn tem uma filtração de submódulos

0 F
1Hn„ F0Hn„    „ Fn
1Hn„ FnHn  Hn,

tal que para qualquer 0¤ p ¤ n,

E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn.

Normalmente, o número a é igual a 1 ou 2.

Lema 1.8. Seja E_p,q2 ñ Hp q. Então, para cada n,

(i) existe um homomorfismo sobrejetor E_0,n2 Ñ E_0,n8 , (ii) E_n,08 „ E_n,02 .

Demonstração. (i) Como E_p,q2  0 para p   0, temos que E_p,qr  0 para todo p   0 e r ¥ 2. Assim, kerpdr0,nq  E_0,nr e logo E_0,nr 1  kerpd0,nq{impdr r_{r,n
r 1}q  E0,n{impdr r_{r,n
r 1}q. Portanto temos os homomorfismos sobrejetores E_0,n2 _{ E0,n}3 _{     E0,n}r _{     E0,n}8 .

(ii) Como E_{n r,1}r
_r  0 para r ¡ 1, temos que E_n,0r 1  kerpdr_n,0q{impdr_{n r,1
r}q  kerpdr_n,0q. Daí E_n,02 … E_n,03 …    … E_n,08 .

Lema 1.9 (Lema de duas linhas). Seja E_p,q2 ñ Hp q e suponha que Ep,q2  0 para todo

q  0, 1. Então para todo n, temos a sequência exata

   Ñ Hn 1ÑEn 1,02 d2 n 1,0 ÝÑ E2 n
1,1 Ñ HnÑ En,02 d2 n,0 ÝÑ E2 n
2,1 Ñ Hn
1 Ñ    .

Demonstração. Como E_p,q2 ñ Hp q, Hn tem uma filtração da forma

0 F
1Hn „ F0Hn „    „ Fn
1Hn „ FnHn Hn

tal que, para cada 0¤ p ¤ n,

E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn.

Por um lado, como E_p,q2  0 para todo q  0, 1, temos que E_p,q8  0. Por outro lado, para

q  0 temos

E_p,03  kerpd2_p,0q{impd2_{p 2,
1}q  kerpd2_p,0q{0  kerpd2_p,0q „ E_p,02 .

É claro que para r ¥ 3, dr_p,q  0. Logo E_p,03  E_p,08 e portanto obtemos a sequência exata 0Ñ E_p,08 Ñ E_p,02 d 2 p,0 ÝÑ E2 p
2,1 Ñ E 2 p
2,1{impd 2 p,0q Ñ 0.

Analogamente, para q 1 temos

E_p3
_2,1  kerpd2_p
2,1q{impd2_p,0q  E_p2
_2,1{impd2_p,0q, e E_p3
_2,1  E_p8
_2,1,

e logo obtemos a sequência exata

0Ñ E_p,08 Ñ E_p,02 d 2 p,0 ÝÑ E2 p
2,1 Ñ Ep8
2,1 Ñ 0. (1.2) Se p ¤ n
2, então E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn 0. Assim 0 F
1Hn     Fn
2Hn.

Desde Fn
2Hn 0, En8
1,1  Fn
1Hn. Daí a fórmula En,08  Hn{Fn
1Hndá-nos a sequência

exata curta

0Ñ E_n8
_1,1 Ñ Hn Ñ En,08 Ñ 0. (1.3)

A partir das sequências exatas (1.2) e (1.3) para p n, obtemos a sequência exata 0Ñ E_n8
_1,1 Ñ HnÑ En,02 ÝÑ E

2

n
2,1 Ñ En8
2,1 Ñ 0. (1.4)

Além disso, a partir das sequências exatas (1.2) para p n 1 e (1.4), obtemos a sequência exata

0Ñ E_{n 1,0}8 Ñ E_{n 1,0}2 Ñ E_n2
_1,1 Ñ Hn Ñ En,02 Ñ En2
2,1Ñ En8
2,1 Ñ 0.

Se continuamos esse processo, obtemos a sequência exata desejada.

Uma filtração canônica tFiC ui¥
1 do complexo

C :    Ñ C3 Ñ C2 Ñ C1 Ñ C0 Ñ 0. é uma cadeia de sub-complexos de C da forma

0 F
₁C „    „ FpC „ Fp 1C „    „ C

tal que, para qualquer p, FpCp  Cp e F
1Cp  0. Em particular, Cp tem a seguinte

filtração de Cp,

0 F
1Cp „ F0Cp „    „ FpCp  Cp.

Teorema 1.4 (Teorema da Convergência Clássica). Suponha que C é um complexo com Cp  0 para p   0.

(i) Qualquer filtração canônica F de C induz uma sequência espectral de primeiro quadrante

(ii) A convergência acima é canônica, isto é, se f : C Ñ C 1 é um morfismo de complexos filtrados, isto é, f pFpC q „ FpC 1, então temos um morfismo das sequências

espectrais

E_p,q1  Hp qpFpC {Fp
1C q ñ Hp qpC q

ÓHp qpf q ÓHp qpf q

E11_p,q  Hp qpFpC 1{Fp
1C 1q ñHp qpC 1q.

Isto significa que para qualquer par pp, qq, temos um diagrama comutativo E_p,qr dr p,q


ÝÑ Er p
r,q r
1 Ó Ó E1r_p,q d1rp,q


ÝÑE1r p
r,q r
1,

no qual, para cada n ¥ 0, induz um homomorfismo Hnpf q como

E_p,n8
_p  FpHnpC q{Fp
1HnpC q Ñ FpHnpC 1q{Fp
1HnpC 1q  E18p,n
p.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, teorema 5.5.1).

Um bi-complexo é uma família de módulos C _, : pCp,qqp,qPZ com diferenciais

horizontais B_p,q1 de bi-grau p
1, 0q e diferenciais verticais B_p,q2 de bi-grau p0,
1q, tais que B1

p,q
1 Bp,q2  Bp2
1,q B1p,q, isto é, o diagrama a seguir é comutativo:

Cp,q B1 p,q


ÝÑ Cp
1,q ÓB2 p,q ÓBp2
1,q Cp,q
1 B1 p,q
1


ÝÑCp
1,q
1.

Um bi-complexo pode ser considerado, de duas maneiras diferentes, como um complexo na categoria de complexos. Para cada q, a partir do complexo horizontal C _,q com os diferenciais B _,q2  tB2_p,q: Cp,q Ñ Cp,q
1u, conseguimos os morfismos B _,q2 : C ,q Ñ C ,q
1.

É fácil verificar queB _,q
12  B2 _,q 0. Da mesma maneira, para cada p, a partir do complexo vertical Cp, com os diferenciais Bp,1  tBp,q1 : Cp,q Ñ Cp
1,qu, conseguimos os morfismos

B1

p, : Cp, Ñ Cp
1, tais que Bp1
1,  B1p,  0.

Um bi-complexo C _, dá-nos um complexopT Cq , o chamado de complexo total, da forma

pT Cqn :

à

p qn

Cp,q,

com os diferenciais Bn dados por

Bn|Cp,q : Cp,q Ñ Cp
1,q ` Cp,q
1, xÞÑ pB 1

O produto tensorial de dois complexos C 1 e C 2 é um bi-complexo C _, : C 1 bRC 2 de modo que Cp,q  Cp1 bRCq2, B1p,q: Bp1 b idCq2, B 2 p,q : idCp1 b B 2 q.

Portanto, o diferencial Bn do complexo total D : T pC 1 bRC 2q é dado por

Bn : pB 1 pb idCq2 p
1q p_id C1pb B 2 qqp qn. (1.5)

Definimos duas filtrações do complexo total D como

F_n1Dk : à p qk,p¤n C_p1 bRCq2, Fn2Dk: à p qk,q¤n C_p1 bRCq2.

Agora pelo teorema da convergência clássica 1.4, estas duas filtraçãoes induzem duas sequências espectrais de primeiro quadrante. De fato, provamos o seguinte conhecido teorema:

Teorema 1.5. Para quaisquer dois complexos não negativos C 1 e C 2, existem duas sequências espectrais de primeiro quadrante

E11_p,q  HqpCp1 bRC 2q ñ Hp qpT pC 1 bRC 2qq, E21_p,q HqpC 1 bRCp2q ñ Hp qpT pC 1 bRC 2qq, onde d11_p,q: HqpB 1 pb idC 2q e d21p,q : HqpidC 1 b B 2 pq.

Precisamos do teorema acima na construção da sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

Teorema 1.6 (Sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre). Para qualquer subgrupo

normal H de G e qualquer G-módulo M , existe uma sequência espectral canônica de primeiro quadrante

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq.

Além disso, se pα, σq : pG, Mq ÝÑ pG1, M1q é um morfismo na categoria GM tal que αpHq „ H1, H1 um subgrupo normal de G1, então existe um morfismo de sequências espectrais

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq

ÓHppα,Hqpα|H,σqq ÓHp qpα,σq

E12_p,q  HppG1{H1, HqpH1, M1qqñHp qpG1, M1q.

Demonstração. Suponha que F 1 Ñ Z é uma resolução livre de Z sobre ZG. Pelo lema 1.5,

F 1 bGM  pF 1 bH MqG{H. Se C : F 1bH M , então

Mas F 1 Ñ Z é uma resolução livre de Z sobre ZH (veja o lema1.4), assim

HnpH, Mq  HnpF 1bH Mq  HnpC q.

Considere a ação natural de G{H sobre Cp  Fp1 bH M  pFp1b MqH. Seja F Ñ Z uma

resolução livre de Z sobre ZrG{Hs. Pelo teorema 1.5 temos duas sequências espectrais de primeira quadrante

E11_p,q  HqpFp bG{HC q ñ Hp qpT pF b C qq,

E21_p,q  HqpF bG{H Cpq ñ Hp qpT pF b C qq.

Pelo exemplo 1.10, o lema 1.6 e o corolário1.1, temos que

E21_p,q  HqpF bG{HCpq  HqpG{H, Cpq  HqpG{H, Fp1 bH Mq  HqpG{H, p à I ZGq bH Mq à I HqpG{H, ZG bH Mq  à I HqpG{H, ZrG{Hs b Mq  $ ' & ' % à I M se q  0 0 se q  0  $ & % F_p1 bGM se q  0 0 se q  0. Assim, para qualquer q  0, E22_p,q  0. Como E22_p,0 é a homologia de

E21_{p 1,0}Ñ E21_p,0 Ñ E21_p
1,0,

pelo cálculo acima E22_p,0 é a homologia de

F_{p 1}1 bGM Ñ Fp1 bGM Ñ Fp1
1bGM.

Isto implica que

E22_p,q $ & % Hp qpG, Mq se q  0 0 se q  0 .

Daí pelo lema 1.9, E22_p,0  HppT pF b C qq e portanto para qualquer n,

HnpT pF b C qq  HnpG, Mq.

Por outro lado, como Fp é um G{H-módulo livre, utilizando o exemplo 1.10 temos

HqpFp bG{HC q  Hqp à J ZrG{Hs bG{HC q  Hqp à J C q  à J HqpC q  à J ZrG{Hs bG{HHqpC q  pà J ZrG{Hsq bG{HHqpC q  F_p b_G{HHqpC q.