Cap´ıtulo 4
Fun¸
c˜
oes Reais de Vari´
avel Real:
Primitiva¸
c˜
ao
4.1
Primitivas imediatas
Defini¸c˜ao 4.1.1 Sejam f e F duas fun¸c˜oes definidas num intervalo I. Diz-se que F ´e uma primitiva de f em I se F′(x) = f (x), ∀x ∈ I.
EXEMPLO 1: Como (sen(x))′ = cos(x) temos que sen(x) ´e primitiva de cos(x).
EXEMPLO 2: De (x2)′ = 2x conclu´ımos que x2 ´e primitiva de 2x.
Defini¸c˜ao 4.1.2 Uma fun¸c˜ao f diz-se primitiv´avel num intervalo I se existir uma primitiva de f , definida em I.
NOTA: H´a fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao primitiv´aveis. Por exemplo, a fun¸c˜ao f : R → R definida por
f(x) = ½
0, se x < 2 1, se x ≥ 2
n˜ao ´e primitiv´avel em R. De facto, a existˆencia de uma fun¸c˜ao F : R → R tal que F′(x) = f (x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f n˜ao toma nenhum valor entre
0 e 1.
Teorema 4.1.1 Se F ´e primitiva de f , num intervalo I, ent˜ao, qualquer que seja C ∈ R, a fun¸c˜ao G(x) = F (x) + C ´e tamb´em primitiva de f em I.
Demonstra¸c˜ao: Basta notar que G′(x) = F′(x) + C′ = F′(x) = f (x).
Teorema 4.1.2 Se F e G s˜ao duas primitivas de f num intervalo I, ent˜ao F − G ´e constante em I.
Demonstra¸c˜ao: Usa-se o Corol´ario 2 do Teorema de Lagrange, notando que F′(x) =
G′(x) = f (x), ∀x ∈ I.
NOTAS:
1. Como consequˆencia dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f s˜ao da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R.
2. Se F ´e uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva de f em I, isto ´e, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer.
Geometricamente:
Figura 4.1
Defini¸c˜ao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de deriva¸c˜ao.
A partir das regras de deriva¸c˜ao obt´em-se facilmente:
Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas fun¸c˜oes primitiv´aveis num intervalo I e a ∈ R. Ent˜ao a) P a f (x) = a P f (x);
b) P (f (x) + g(x)) = P f (x) + P g(x).
Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.
f(x) P f(x) xα, α6= −1 x α+1 α+ 1 + C (u(x))αu′(x), α 6= −1 (u(x)) α+1 α+ 1 + C 1 x log(|x|) + C
4.1 Primitivas imediatas 69 f(x) P f(x) u′(x) u(x) log(|u(x)|) + C ex ex+ C eu(x)u′(x) eu(x)+ C ax, (a > 0) a x log(a) + C au(x)u′(x), (a > 0) a u(x) log(a) + C cos(x) sen(x) + C cos(u(x)) u′(x) sen(u(x)) + C sen(x) − cos(x) + C sen(u(x)) u′(x) − cos(u(x)) + C 1 √ 1 − x2 arc sen(x) + C u′(x) p
1 − (u(x))2 arc sen(u(x)) + C
−√ 1
1 − x2 arc cos(x) + C
− u
′(x)
p
1 − (u(x))2 arc cos(u(x)) + C
1
1 + x2 arc tg(x) + C
u′(x)
1 + (u(x))2 arc tg(u(x)) + C
sec2(x) tg(x) + C
f(x) P f(x)
cosec2(x) −cotg(x) + C
cosec2(u(x)) u′(x) −cotg(u(x)) + C
EXEMPLOS: P(x2+ x + 1) = P x2+ P x + P 1 = x 3 3 + x2 2 + x + C; P cos2(x) = P 1 + cos(2x) 2 = 1 2(P 1 + P cos(2x)) = 1 2 µ x+sen(2x) 2 ¶ + C; P 2x√3 x2+ 3 = P 2x(x2+ 3)1 3 = (x 2+ 3)1 3+1 1 3 + 1 + C = 3 4(x 2+ 3)√3 x2+ 3 + C; P 3x 2 x3+ 1 = log |x 3 + 1| + C; P e5x = 1 5P 5 e 5x = 1 5 e 5x+ C; P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C; P 2 1 + (2x)2 = arc tg(2x) + C;
P (cos(x) − 2 e3x) = P cos(x) − 2P e3x = sen(x) −2
3e 3x+ C; P x 2 3 √ x3− 1 = P x 2(x3− 1)−13 = 1 3 · (x3− 1)−13+1 −1 3 + 1 + C = 1 2 3 p (x3− 1)2+ C.
Teorema 4.1.4 Seja f uma fun¸c˜ao primitiv´avel num intervalo I. Ent˜ao, para cada x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma s´o, primitiva F de f tal que F (x0) = y0.
Em particular, existe uma, e uma s´o, primitiva de f que se anula em x0.
EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f′(x) = x√x e f (1) = 2.
Comecemos por calcular as primitivas F de f′, pois f ´e uma dessas fun¸c˜oes.
F(x) = 2 5x
5 2 + C.
4.1 Primitivas imediatas 71 Mas f(1) = 2 ⇔ 2 5 + C = 2 ⇔ C = 8 5 , portanto, f (x) = 2 5x 5 2 +8 5 ·
EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f′′(x) = 12x2 + 6x − 4, f(0) = 4 e
f(1) = 5.
A fun¸c˜ao f pertence ao conjunto das fun¸c˜oes F tais que F′(x) = 4x3+ 3x2− 4x + C
e, portanto, ser´a uma fun¸c˜ao da forma F (x) = x4+ x3− 2x2+ Cx + C
1. Como ½ f(0) = 4 f(1) = 5 ⇔ ½ C1 = 4 C = 1 ent˜ao f (x) = x4+ x3− 2x2+ x + 4.
4.2
M´
etodos gerais de primitiva¸
c˜
ao: Primitiva¸
c˜
ao por
partes e por substitui¸
c˜
ao
Teorema 4.2.1 (Primitiva¸c˜ao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma fun¸c˜ao diferenci´avel em I. Ent˜ao
P(f g) = F g − P (F g′)
Demonstra¸c˜ao: Pela regra da deriva¸c˜ao do produto (F g)′ = F′g+ F g′ = f g + F g′, o que
implica que f g = (F g)′− F g′ e, portanto, P (f g) = F g − P (F g′).
EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: considere-mos f (x) = x e g(x) = log(x). P (x log(x)) = x 2 2 log(x) − P µ x2 2 · 1 x ¶ = x 2 2 log(x) − 1 2P (x) = x2 2 log(x) − x2 4 + C. EXEMPLO 2: Podemos primitivar a fun¸c˜ao h(x) = log(x) usando este m´etodo. Sejam f(x) = 1 e g(x) = log(x).
P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P µ
x 1 x
¶
= x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C. EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f (x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Ent˜ao
P(cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P µ
sen(x)cos(x) sen(x)
¶
= sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x)) = sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C.
EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f (x) = 1 e g(x) = cos(log(x)). Ent˜ao
P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)). Esta ´ultima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se
P(cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)), e, portanto,
4.2 Primitiva¸c˜ao por partes e por substitui¸c˜ao 73
ou seja,
P (cos(log(x))) = x
2(cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3(x), f (x) = 1 e g(x) = log3(x).
P(1. log3(x)) = x log3(x) − P (3 log2(x)).
Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para P(log(x)), obtemos
P (1. log3(x)) = x log3(x) − 3 (x log2(x) − P (2 log(x))) = x log3(x) − 3x log2(x) + 6x log(x) − 6x + C.
Teorema 4.2.2 (Primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao) Sejam f uma fun¸c˜ao primitiv´avel num intervalo J e ϕ uma fun¸c˜ao bijectiva e diferenci´avel no intervalo I tal que ϕ(I) = J. Seja Φ(t) = P (f (ϕ(t))ϕ′(t)). Ent˜ao a fun¸c˜ao F (x) = Φ(ϕ−1(x)) ´e uma primitiva de f
em J.
Demonstra¸c˜ao: Seja F uma primitiva de f . Como, por hip´otese, x = ϕ(t) temos F (x) = F(ϕ(t)). Pela regra de deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao composta
(F (ϕ(t)))′ = F′(ϕ(t))ϕ′(t) = f (ϕ(t))ϕ′(t) = Φ′(t),
porque design´amos por Φ(t) uma primitiva de f (ϕ(t))ϕ′(t).
Como F (ϕ(t)) e Φ(t) s˜ao ambas primitivas de f (ϕ(t))ϕ′(t) sabemos que
F(ϕ(t)) − Φ(t) = C, C constante real, ou ainda,
F(ϕ(t)) = Φ(t) + C, o que implica que
F(x) = Φ(ϕ−1(x)) + C.
EXEMPLO 1: Seja f (x) = x
3
√
x− 1 . Para calcular a primitiva de f fa¸camos √ x− 1 = t, isto ´e, ϕ(t) = 1 + t2 = x. P(f (ϕ(t)).ϕ′(t)) = P(1 + t 2)3 t 2t = 2 P (1+t 2)3 = 2 P (1+3t2+3t4+t6) = 2(t+t3+3t5 5+ t7 7). Assim, P x 3 √ x− 1 = 2 µ√ x− 1 + (√x− 1)3+3 5( √ x− 1)5+ 1 7( √ x− 1)7 ¶ + C.
EXEMPLO 2: Consideremos f (x) = 1
ex+ e−x · Podemos calcular a sua primitiva fazendo
ex= t, isto ´e, ϕ(t) = log(t).
P(f (ϕ(t)).ϕ′(t)) = P 1 t+ t−1 · 1 t = P 1 1 + t2 = arc tg(t). Consequentemente, P f(x) = arc tg(ex) + C.
NOTA: Usamos, por vezes a nota¸c˜ao
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 75
4.3
Primitiva¸
c˜
ao de fun¸
c˜
oes racionais
Sejam
P(x) = anxn+ · · · + a1x+ a0
e
Q(x) = bmxm+ · · · + b1x+ b0,
n, m∈ N0, an 6= 0, bm 6= 0, dois polin´omios com coeficientes aj, bj ∈ R; n e m os graus
de P e Q, respectivamente.
Defini¸c˜ao 4.3.1 Chama-se fun¸c˜ao racional toda a fun¸c˜ao f : D ⊂ R → R que pode ser expressa na forma
f(x) = P(x) Q(x)
em que P e Q s˜ao polin´omios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.
Defini¸c˜ao 4.3.2 Dois polin´omios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) = Q(x), ∀x ∈ R.
Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = anxn+ · · · + a1x+ a0 e Q(x) = bmxm+ · · · +
b1x+ b0, se tem
P(x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ an= bm, . . . , a1 = b1, a0 = b0.
Dados dois polin´omios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polin´omios M e R tais que P (x) = M (x) Q(x) + R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se o polin´omio quociente e R o polin´omio resto.
Defini¸c˜ao 4.3.3 Um polin´omio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem polin´omios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1(x)P2(x). O
polin´omio P diz-se irredut´ıvel se n˜ao for redut´ıvel. ´
E poss´ıvel determinar quais s˜ao precisamente os polin´omios irredut´ıveis. Considere-se, sem perda de generalidade, os polin´omios unit´arios (com coeficiente an = 1): P (x) =
xn+ a
n−1xn−1+ · · · + a1x+ a0.
• Todos os polin´omios de grau 1, P (x) = x − a, s˜ao irredut´ıveis.
• Um polin´omio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c ´e irredut´ıvel se, e s´o se, n˜ao tem
ra´ızes reais, isto ´e, b2 − 4ac < 0. Assim os polin´omios de grau 2 irredut´ıveis s˜ao
precisamente os polin´omios da forma P (x) = (x − α)2 + β2, α, β ∈ R, β 6= 0,
• Os ´unicos polin´omios irredut´ıveis s˜ao os considerados e mostra-se que todo o po-lin´omio P (x) com grau maior ou igual a 1 ´e produto de popo-lin´omios irredut´ıveis:
P(x) = (x − a1)n1· · · (x − ap)np[(x − α1)2+ β12]m
1
· · · [(x − αq)2+ βq2] mq
em que ni, mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente
factor em P .
Defini¸c˜ao 4.3.4 Uma fun¸c˜ao racional f (x) = P(x)
Q(x) diz-se irredut´ıvel se P e Q n˜ao tiverem ra´ızes comuns.
Dada uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos: 1o O grau do polin´omio P ´e maior ou igual ao grau do polin´omio Q.
2o O grau do polin´omio P ´e menor do que o grau do polin´omio Q.
No primeiro caso, fazendo a divis˜ao dos polin´omios obtemos P(x) = M (x) Q(x) + R(x),
em que M e R s˜ao polin´omios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior ao grau de Q). Temos ent˜ao
P(x)
Q(x) = M (x) + R(x) Q(x) o que implica que
P µ P (x) Q(x) ¶ = P (M (x)) + P µ R(x) Q(x) ¶ ·
A primitiva de M ´e imediata por ser a primitiva de um polin´omio. A segunda ´e a primitiva de uma fun¸c˜ao racional, em que o grau do numerador ´e menor do que o do deno-minador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das fun¸c˜oes racionais irredut´ıveis em que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, isto ´e, ficamos reduzidos ao 2o caso atr´as considerado. Os teoremas seguintes, que n˜ao demonstraremos,
permitem-nos decompor uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel do 2o caso na soma de fun¸c˜oes
racionais cujas primitivas s˜ao “f´aceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida.
Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o seguinte teorema:
Teorema 4.3.1 Se P(x)
Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 77
com a1, a2, . . . , ap n´umeros reais distintos e n1, n2, . . . , np ∈ N, ent˜ao a fun¸c˜ao ´e
decom-pon´ıvel numa soma da forma P(x) Q(x) = An1 (x − a1)n1 + · · · + A1 x− a1 + · · · + Bnp (x − anp) np + · · · + B1 x− anp
onde An1, . . . , A1, . . . , Bnp, . . . , B1 s˜ao n´umeros reais.
NOTA: Nas condi¸c˜oes do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decomp˜oe a fun¸c˜ao tem primitiva imediata:
P A (x − a)p = A 1 − p · 1 (x − a)p−1 ,se p 6= 1 P A x− a = A log |x − a|
1o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto ´e, Q decomp˜oe-se em factores do tipo
x− a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo A
x− a, com A constante a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = 4x
2+ x + 1
x3− x ·
Como o n´umero de ra´ızes de um polin´omio n˜ao ultrapassa o seu grau e x3− x admite
as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao 4x2+ x + 1 x3− x = A x + B x− 1+ C x+ 1 = A(x 2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) x3− x = (A + B + C)x 2 + (B − C)x − A x3− x
Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos A+ B + C = 4 B− C = 1 −A = 1 ⇔ B+ C = 5 B− C = 1 A = −1 ⇔ B = 3 C = 2 A = −1 Assim: 4x2+ x + 1 x3− x = −1 x + 3 x− 1 + 2 x+ 1
e P µ 4x 2+ x + 1 x3− x ¶ = P µ −1 x ¶ + P µ 3 x− 1 ¶ + P µ 2 x+ 1 ¶
= − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C = log µ¯ ¯ ¯ ¯ (x − 1)3 x ¯ ¯ ¯ ¯(x + 1) 2 ¶ + C.
2o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite x − a, com
a ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposi¸c˜ao, a cada raiz a de Q de multiplicidade p vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma:
Ap (x − a)p + Ap−1 (x − a)p−1 + · · · + A1 x− a, com Ap, Ap−1, . . . , A1 constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = 2x
3+ 5x2+ 6x + 2
x(x + 1)3 ·
Como x(x + 1)3 admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x + 1 aparece 3 vezes na factoriza¸c˜ao
do polin´omio, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e multiplicidade 3, respectivamente. Ent˜ao 2x3+ 5x2+ 6x + 2 x(x + 1)3 = A x + B (x + 1)3 + C (x + 1)2 + D x+ 1 = A(x + 1) 3 + Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)2 x(x + 1)3 = (A + D)x 3+ (3A + C + 2D)x2+ (3A + B + C + D)x + A x(x + 1)3
Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos A+ D = 2 3A + C + 2D = 5 3A + B + C + D = 6 A = 2 ⇔ D = 0 C = −1 B = 1 A = 2 Assim: 2x3+ 5x2+ 6x + 2 x(x + 1)3 = 2 x + 1 (x + 1)3 + −1 (x + 1)2
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 79 e P µ 2x 3+ 5x2+ 6x + 2 x(x + 1)3 ¶ = P µ 2 x ¶ + P µ 1 (x + 1)3 ¶ − P µ 1 (x + 1)2 ¶ = 2 log |x| −1 2 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1 + C = log (x2) −1 2 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1 + C. Vejamos agora os casos em que o polin´omio Q admite ra´ızes complexas. Teorema 4.3.2 Se P(x)
Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se α + iβ (α, β ∈ R) ´e uma raiz de Q, de multiplicidade r, ent˜ao
P(x) Q(x) = Mrx+ Nr [(x − α)2+ β2]r + · · · + M1x+ N1 (x − α)2+ β2 + H(x) Q∗(x)
onde H e Q∗ s˜ao polin´omios tais que o grau de H ´e menor que o grau de Q∗, M r,
Nr, . . . , M1, N1, s˜ao n´umeros reais e nem α + iβ nem α − iβ s˜ao ra´ızes do polin´omio Q∗.
1o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto ´e, Q admite como divisores
polin´omios de grau 2, (uma ´unica vez cada polin´omio), que n˜ao tˆem ra´ızes reais. Na decomposi¸c˜ao, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com a seguinte forma:
Ax+ B (x − α)2+ β2
com A e B constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = x
2+ 2 (x − 1)(x2+ x + 1)· Como (x − 1)(x2+ x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 2± i √ 3 2 podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao
x2+ 2 (x − 1)(x2+ x + 1) = A x− 1+ Bx+ C (x + 12)2+ 3 4 = A(x 2+ x + 1) + (Bx + C)(x − 1) (x − 1)(x2+ x + 1) = (A + B)x 2+ (A − B + C)x + A − C (x − 1)(x2+ x + 1)
Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos A+ B = 1 A− B + C = 0 A− C = 2 ⇔ A = 1 B = 0 C = −1 Assim: x2+ 2 (x − 1)(x2+ x + 1) = 1 x− 1+ −1 (x + 12)2+3 4 e P µ x2+ 2 (x − 1)(x2 + x + 1) ¶ = P µ 1 x− 1 ¶ + P µ −1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ = log |x − 1| − P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ . A primitiva P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶
calcula-se fazendo a substitui¸c˜ao x + 1 2 = √ 3 2 t, isto ´e, ϕ(t) = √ 3 2 t− 1
2· (No caso geral, sendo a + ib a raiz, a substitui¸c˜ao ´e x − a = bt). Ent˜ao
P f(ϕ(t)).ϕ′(t) = P Ã 1 (√23t)2+ 3 4 · √ 3 2 ! = √2 3P 1 t2+ 1 = 2 √ 3arc tg(t), portanto, P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ = √2 3arc tg µ 2 √ 3x+ 1 √ 3 ¶ . Finalmente, P f(x) = log |x − 1| − √2 3arc tg µ 2 √ 3x+ 1 √ 3 ¶ + C.
2o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite como divisores
polin´omios de grau 2 que n˜ao tˆem ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polin´omio na factoriza¸c˜ao de Q. Na decomposi¸c˜ao, a cada par de ra´ızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma:
Apx+ Bp ((x − α)2 + β2)p + Ap−1x+ Bp−1 ((x − α)2+ β2)p−1 + · · · + A1x+ B1 (x − α)2+ β2
com Ap, Ap−1, . . . , A1, Bp, Bp−1, . . . , B1 constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f(x) = x
4− x3+ 6x2− 4x + 7
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 81
Como
(x − 1)(x2+ 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i√2
e (x − 1)(x2+ 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e
multiplicidade 2, respectivamente. Ent˜ao x4− x3+ 6x2− 4x + 7 (x − 1)(x2 + 2)2 = A x− 1 + Bx+ C (x2+ 2)2 + Dx+ E x2+ 2 = A(x 2+ 2)2+ (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x2+ 2) (x − 1)(x2+ 2)2
Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos A = 1 B = 1 C = −1 D = 0 E = −1 Assim: x4− x3+ 6x2− 4x + 7 (x − 1)(x2+ 2)2 = 1 x− 1+ x− 1 (x2+ 2)2 + −1 x2+ 2 e P µ x 4− x3+ 6x2− 4x + 7 (x − 1)(x2+ 2)2 ¶ = P µ 1 x− 1 ¶ + P µ x− 1 (x2 + 2)2 ¶ + P µ −1 x2+ 2 ¶ = log |x − 1| + P µ x− 1 (x2+ 2)2 ¶ − P Ã 1 2 1 + x2 2 ! = log |x − 1| + P µ x− 1 (x2+ 2)2 ¶ − √1 2P 1 √ 2 1 +³√x 2 ´2 = log |x − 1| + P µ x− 1 (x2+ 2)2 ¶ − √1 2arc tg µ x √ 2 ¶ . A primitiva P µ x− 1 (x2+ 2)2 ¶ = P Ã x− 1 (x2 +√22)2 !
P f(ϕ(t)).ϕ′(t) = P à √ 2 t − 1 (2t2+ 2)2 · √ 2 ! = √ 2 4 P Ã√ 2 t − 1 (t2 + 1)2 ! = √ 2 4 P à √ 2 t (t2 + 1)2 − 1 (t2+ 1)2 ! = √ 2 4 à P √ 2 t (t2 + 1)2 − P 1 (t2+ 1)2 ! = √ 2 4 Ã√ 2 2 P 2t(t 2+ 1)−2− P 1 (t2+ 1)2 ! = √ 2 4 à − √ 2 2 (t 2+ 1)−1− P 1 + t 2− t2 (t2+ 1)2 ! = −1 4 1 t2+ 1 − √ 2 4 µ P 1 + t 2 (t2+ 1)2 − P t2 (t2+ 1)2 ¶ = −1 4 1 t2+ 1 − √ 2 4 µ P 1 t2+ 1 − P t 2 2t (t2+ 1)2 ¶ = −14t21+ 1 − √ 2 4 µ arc tg(t) − µ −t21+ 1 t 2+ P 1 2 1 t2+ 1 ¶¶ = −14t21+ 1 − √ 2 4 arc tg(t) − √ 2 4 t 2(t2+ 1) + √ 2 8 arc tg(t) = − √ 2t + 2 8(t2+ 1) − √ 2 8 arc tg(t), portanto, P µ x− 1 (x2+ 2)2 ¶ = −4(xx2+ 2+ 2) − √ 2 8 arc tg µ x √ 2 ¶ . Finalmente, P f(x) = log |x − 1| − 5 √ 2 8 arc tg µ x √ 2 ¶ − x+ 2 4(x2+ 2) + C.
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 83
NOTA: Se P(x)
Q(x) admite uma decomposi¸c˜ao da forma que aparece neste teorema, a sua primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de fun¸c˜oes da forma
Ax+ B
(x − α)2+ β2 e
Cx+ D
[(x − α)2+ β2]p , p >1.
Temos no primeiro caso, usando a substitui¸c˜ao x − α = βt,
P Ax+ B (x − α)2+ β2 = ½ Pt A(α + βt) + B β2t2+ β2 · β ¾ t=x−α β Pt A (α + βt) + B β2t2+ β2 · β = P A α+ B + A βt β(t2+ 1) = P A α+ B β(t2+ 1) + P A βt β(t2+ 1) = A α+ B β P 1 t2+ 1 + A P t t2+ 1 = A α+ B β arctg(t) + A 2 log(t 2+ 1) Portanto, P Ax+ B (x − α)2+ β2 = A α+ B β arctg µ x − α β ¶ +A 2 log "µ x− α β ¶2 + 1 # + C. No segundo caso, usando a mesma substitui¸c˜ao,
P Cx+ D [(x − α)2+ β2]p = ½ Pt C(α + βt) + D (β2t2+ β2)p · β ¾ t=x−αβ . Pt C(α + βt) + D (β2t2+ β2)p · β = P C α+ D + C βt β2p−1(t2+ 1)p = P C α+ D β2p−1(t2 + 1)p + P C βt β2p−1(t2+ 1)p = C α+ D β2p−1 P 1 (t2+ 1)p + C β2p−2 P t (t2+ 1)p = C α+ D β2p−1 P 1 (t2+ 1)p − C 2β2p−2 · 1 p− 1· 1 (t2+ 1)p−1
Resta-nos calcular P 1 (t2+ 1)p · Mas 1 (t2+ 1)p = 1 + t2− t2 (t2+ 1)p = 1 (t2+ 1)p−1 − t2 (t2+ 1)p
o que implica que
P 1 (t2+ 1)p = P 1 (t2+ 1)p−1 − P t2 (t2+ 1)p = P 1 (t2+ 1)p−1 − P t 2· 2t (t2+ 1)p = P 1 (t2+ 1)p−1 + t 2(p − 1)(t2+ 1)p−1 − P 1 2(p − 1)(t2+ 1)p−1 = t 2(p − 1)(t2+ 1)p−1 + 2p − 3 2p − 2P 1 (t2+ 1)p−1,
isto ´e, o c´alculo da primitiva de 1
(t2+ 1)p ficou apenas dependente do c´alculo da primitiva
de 1
(t2+ 1)p−1, que por sua vez pode, de modo an´alogo, fazer-se depender do c´alculo da
primitiva de 1
(t2+ 1)p−2, e assim sucessivamente at´e chegarmos `a primitiva de
1
1 + t2 que
´e imediata.
Teorema 4.3.3 Se P(x)
Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se
Q(x) = a0(x − a)p· · · (x − b)q[(x − α)2+ β2]r· · · [(x − γ)2+ δ2]s
ent˜ao a fun¸c˜ao ´e decompon´ıvel numa soma da forma P(x) Q(x) = Ap (x − a)p + · · · + A1 x− a + · · · + Bq (x − b)q + · · · + B1 x− b+ + Mrx+ Nr [(x − α)2+ β2]r + · · · + M1x+ N1 (x − α)2+ β2 + · · · + + Vsx+ Zs [(x − γ)2+ δ2]s + · · · + V1x+ Z1 (x − γ)2+ δ2
4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 85
4.4
Primitiva¸
c˜
ao de fun¸
c˜
oes alg´
ebricas irracionais
Vejamos agora alguns tipos de fun¸c˜oes cuja primitiva¸c˜ao pode reduzir-se `a primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais com uma substitui¸c˜ao adequada. Introduza-se em primeiro lugar a no¸c˜ao de polin´omio e fun¸c˜ao racional em v´arias vari´aveis.
Defini¸c˜ao 4.4.1 Designa-se por polin´omio em duas vari´aveis , x e y, com coefici-entes reais, a aplica¸c˜ao P : R × R → R, dada por
P(x, y) = amnxmyn+ · · · + a11xy+ a10x+ a01y+ a00,
com m, n ∈ N0, aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i + j tal que aij 6= 0.
Mais geralmente define-se, de modo an´alogo, polin´omio em p vari´aveisu1, . . . , up,
como a aplica¸c˜ao P : R × · · · × R | {z } p vezes → R, dada por P(u1, . . . , up) = X i1,...,ip ai1...ipu i1 1 . . . uipp, i1, . . . , ip ∈ N0, ai1...ip ∈ R e X i1,...,ip
uma soma finita em i1, . . . , ip.
Defini¸c˜ao 4.4.2 Se P (u1, . . . , up) e Q(u1, . . . , up) s˜ao dois polin´omios em p vari´aveis,
chama-se fun¸c˜ao racional em p vari´aveis a uma aplica¸c˜ao da forma R(u1, . . . , up) =
P(u1, . . . , up)
Q(u1, . . . , up)
definida nos elementos (u1, . . . , up) ∈ R × · · · × R
| {z }
p vezes
tais que Q(u1, . . . , up) 6= 0.
Analisemos ent˜ao algumas classes de fun¸c˜oes suscept´ıveis de serem racionalizadas por convenientes mudan¸cas de vari´avel. No que se segue R designa uma fun¸c˜ao racional dos seus argumentos. Express˜ao Substitui¸c˜ao f(x) = R(xmn, x p q, . . . , xrs) x= tµ µ= m.m.c.{n, q, . . . , s} f(x) = R³x,¡a x+bc x+d¢ m n ,¡a x+b c x+d ¢p q , . . . ,¡a x+b c x+d ¢r s´ a x+b c x+d = t µ µ= m.m.c.{n, q, . . . , s} f(x) = xα(a + b xβ)γ xβ = t
EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = √ 1 x+√3 x = 1 x12 + x 1 3· A substitui¸c˜ao a
usar ´e x = ϕ(t) = t6 e a primitiva a calcular ´e
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P 1 t3+ t2 · 6t 5 = P 6t5 t2(t + 1) = 6 P t3 t+ 1 = 6 P µ t2− t + 1 − 1 t+ 1 ¶ = 6µ t 3 3 − t2 2 + t − log |t + 1| ¶ = 2t3− 3t2+ 6t − 6 log |t + 1| tendo-se assim P√ 1 x+√3 x = 3 √ x− 3√3 x+ 6√6 x− 6 log(√6 x+ 1) + C. EXEMPLO 2: Seja f (x) = √ 2x + 3 1 −√4 2x + 3· A substitui¸c˜ao 2x + 3 = t 4 permite resolver o problema. Temos P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P t 2 1 − t· 2t 3 = −2 P t 5 t− 1 = −2P µ t4+ t3+ t2+ t + 1 + 1 t− 1 ¶ = −2µ t 5 5 + t4 4 + t3 3 + t2 2 + t + log |t − 1| ¶ e P f(x) = −2µ ( 4 √ 2x + 3)5 5 + (√4 2x + 3)4 4 + (√4 2x + 3)3 3 + (√4 2x + 3)2 2 + 4 √ 2x + 3 + log(√4 2x + 3) ¶ + C EXEMPLO 3: Seja f (x) = xp√3
x2+ 2. Fa¸camos a substitui¸c˜ao x23 = t. Obtemos:
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P t32(2 + t) 1 2 3 2t 1 2 = 3 2P t 2√2 + t
que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substitui¸c˜ao 2 + t = z2,
isto ´e, 3 2P t 2√2 + t = 3 2 © Pz(z2− 2)2 · z · 2z ª z=√2+t = 3 2 © Pz2(z6− 4z4+ 4z2) ª z=√2+t = 3½ z 7 7 − 4 z5 5 + 4 z3 3 ¾ z=√2+t = 3 7 ³√ 2 + t´7− 12 5 ³√ 2 + t´5 + 4³√2 + t´3
4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 87 tendo-se finalmente P x q 3 √ x2+ 2 = 3 7 µq x23 + 2 ¶7 − 125 µq x23 + 2 ¶5 + 4 µq x23 + 2 ¶3 + C. Express˜ao Substitui¸c˜ao √ a x2+ b x + c =√a x+ t se a > 0 √ a x2+ b x + c = t x +√c f(x) = R(x,√a x2 + b x + c) se c > 0 √ a x2+ b x + c = t (x − α) ou√a x2+ b x + c = t (x − β)
se α e β s˜ao zeros reais distintos de a x2+ b x + c
EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = 1
x √3x2− x + 1. Como a = 3 podemos
usar a substitui¸c˜ao√3x2− x + 1 =√3 x + t, tendo-se:
3x2− x + 1 = 3x2+ 2√3xt + t2 −x − 2√3xt = t2− 1 x= 1 − t 2 1 + 2√3t = ϕ(t) o que implica ϕ′(t) = −2 √ 3t2− 2t − 2√3 (2√3t + 1)2 ·
A primitiva a calcular ´e
P 1 1 − t2 1 + 2√3t µ√ 3 · 1 − t 2 1 + 2√3t + t ¶ · −2 √ 3t2− 2t − 2√3 (2√3t + 1)2 = P −2 √ 3t2− 2t − 2√3 √ 3(1 − t2)2+ t(1 − t2)(2√3t + 1 = P −2( √ 3t2+ t +√3) (√3 −√3t2+ 2√3t2+ t)(1 − t2)
= −2P 1 1 − t2 = −2P µ 1 2 1 − t+ 1 2 1 + t ¶
= log |1 − t| − log |1 + t| = log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − t 1 + t ¯ ¯ ¯ ¯ o que implica que
P 1 x √3x2− x + 1 = log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −√3x2− x + 1 +√3x 1 +√3x2− x + 1 −√3x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + C.
EXEMPLO 2: Primitivemos a fun¸c˜ao f (x) = 1
x √−x2+ 4x − 3· Tendo em conta que
−x2+ 4x −3 = 0 ⇔ x = 1∨x = 3 podemos usar a substitui¸c˜ao√−x2+ 4x − 3 = t(x−3).
√ −x2+ 4x − 3 = t(x − 3) p −(x − 3)(x − 1) = t(x − 3) −(x − 3)(x − 1) = t2(x − 3)2 −(x − 1) = t2(x − 3) x= 3t 2+ 1 t2+ 1 = ϕ(t) o que implica ϕ′(t) = 4t (t2 + 1)2·
A primitiva a calcular ´e
P 1 3t2+ 1 t2+ 1 · t µ 3t2+ 1 t2+ 1 − 3 ¶ · 4t (t2+ 1)2 = P 4 (3t2+ 1)(3t2+ 1 − 3t2− 3) = P −2 3t2+ 1 = − 2 √ 3arc tg( √ 3t) o que implica que
P 1 x √−x2+ 4x − 3 = − 2 √ 3arc tg( √ 3 · √ −x2+ 4x − 3 x− 3 ) + C.
4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 89 Express˜ao Substitui¸c˜ao √ a2− x2 x= a cos(t) ou x = a sen(t) √ x2− a2 x= a sec(t) ou x = a cosec(t) √ x2+ a2 x= a tg(t) ou x = a cotg(t) EXEMPLO 1: Seja f (x) = √ 9 − x2
x2 · Fa¸camos a substitui¸c˜ao x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos
ϕ′(t) = 3 cos(t) e P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P p 9 − 9 sen2(t) 9 sen2(t) · 3 cos(t) = P p 1 − sen2(t) sen2(t) · cos(t) = P cos 2(t) sen2(t) = P cotg 2(t) = P (cosec2 (t) − 1) = −cotg(t) − t e, assim, P √ 9 − x2 x2 = −cotg(arc sen( x 3)) − arc sen( x 3) + C = − √ 9 − x2 x − arc sen( x 3) + C EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = 1
x3 √x2 − 16e a substitui¸c˜ao x = 4 sec(t) =
ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 4 sec(t) tg(t) e
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P 1
43sec3(t)p16 sec2(t) − 16 · 4 sec(t) tg(t)
= P tg(t) 43sec2(t)psec2(t) − 1 = P tg(t) 43sec2(t) tg(t) = 1 43 P 1 sec2(t) = 1 43 P cos 2(t) = 1 43 µ t 2+ sen(2 t) 4 ¶ e, assim, P 1 x3 √x2− 16 = 1 43 µ 1 2arc sec( x 4) +
sen(2 arc sec(x 4))
4
¶ + C
EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f (x) = 1
subs-titui¸c˜ao x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 2 sec2(t) e P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P 1 4 tg2(t)p4 tg2(t) + 4 · 2 sec 2(t) = P sec 2(t) 4 tg2(t)ptg2(t) + 1 = P sec2(t) 4 tg2(t) sec(t) = 1 4P sec(t) tg2(t) = 1 4P cotg(t) cosec(t) = −14cosec(t) e, assim, P 1 x2 √x2+ 4 = − 1 4cosec(arc tg( x 2)) + C = − 1 4 √ x2+ 4 x + C
4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes 91
4.5
Primitiva¸
c˜
ao de fun¸
c˜
oes transcendentes
Express˜ao Substitui¸c˜ao
f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x 2) = t
f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x) = t R(−y, −z) = R(y, z), ∀y, z
f(x) = R(ex) ex= t
A substitui¸c˜ao tg³ x 2
´
= t conduz a uma fun¸c˜ao racional de t. De facto, de
sen(x) = 2 sen³ x 2 ´ .cos³ x 2 ´ = 2 tg ¡x 2 ¢ q 1 + tg2¡x 2 ¢ · 1 q 1 + tg2¡x 2 ¢ = 2 tg ¡x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 2t 1 + t2 e cos(x) = cos2³ x 2 ´ − sen2³ x 2 ´ = 1 1 + tg2¡x 2 ¢ − tg2¡x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 1 − tg 2¡x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 1 − t 2 1 + t2
conclui-se, tendo em conta que tg³ x 2 ´ = t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ′(t) = 2 1 + t2, P f(x) = ½ PtR µ 2t 1 + t2, 1 − t2 1 + t2 ¶ . 2 1 + t2 ¾ tg(x2)=t
A substitui¸c˜ao indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares s˜ao prefer´ıveis outras substitui¸c˜oes. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) ´e fun¸c˜ao par em sen(x) e cos(x) (isto ´e, se n˜ao se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x) e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substitui¸c˜ao tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e
sen(x) = √ t
1 + t2 e cos(x) =
1 √
1 + t2·
EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f (x) = 1
´e tg³ x 2 ´ = t: P 1 21 − t 2 1 + t2 + 1 · 1 + t2 2 = P 2 3 − t2 = √1 3P µ 1 √ 3 − t + 1 √ 3 + t ¶ = √1 3(− log | √ 3 − t| + log |√3 + t|) = √1 3log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ √ 3 + t √ 3 − t ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
o que implica que
P 1 2 cos(x) + 1 = 1 √ 3log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ √ 3 + tg³ x 2 ´ √ 3 − tg³ x2´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + C.
EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f (x) = 1
cos2(x) − sen2(x) fazemos a
substi-tui¸c˜ao tg(x) = t e obtemos P 1 1 1 + t2 − t2 1 + t2 ·1 + t1 2 = P 1 1 − t2 = 1 2P µ 1 1 − t+ 1 1 + t ¶ = 1 2(− log |1 − t| + log |1 + t|) = 1 2log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + t 1 − t ¯ ¯ ¯ ¯ e, portanto, P 1 cos2(x) − sen2(x) = 1 2log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + tg(x) 1 − tg(x) ¯ ¯ ¯ ¯+ C EXEMPLO 3: Para primitivar a fun¸c˜ao f (x) = 1
ex+ 1 usa-se a substitui¸c˜ao e x = t: P 1 t+ 1 · 1 t = P −1 1 + t + P 1
t = − log |1 + t| + log |t| = log ¯ ¯ ¯ ¯ t 1 + t ¯ ¯ ¯ ¯ e P 1 ex+ 1 = log µ ex ex+ 1 ¶ + C.
As fun¸c˜oes do tipo f (x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podem primitivar-se tendo em conta que
sen(ax).sen(bx) = 1
4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes 93 e conclui-se que P sen(ax).sen(bx) = sen(a − b)x 2(a − b) − sen(a + b)x 2(a + b) + C De modo an´alogo,
P cos(ax). cos(bx) = sen(a − b)x 2(a − b) +
sen(a + b)x 2(a + b) + C
Se pretendermos primitivar um produto de v´arios factores sen(amx) e cos(bnx)
po-demos come¸car por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associa¸c˜ao de novos pares de factores; e assim sucessivamente at´e esgotar todos os factores.
EXEMPLO:
P sen(3x) cos(5x)sen(6x)
= P 1
2(sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x)
= 1 2P 1 2(cos(2x) − cos(14x)) − 1 2P 1 2(cos(−4x) − cos(8x)) = 1 4Pcos(2x) − 1 4P cos(14x) − 1 4P cos(4x) + 1 4P cos(8x) = 18 µ
sen(2x) − sen(14x)7 − sen(4x)2 +sen(8x) 4
¶ + C
As fun¸c˜oes do tipo f (x) = p(x)eax, onde p ´e um polin´omio de grau n em x e a ´e uma
constante, primitivam-se por partes: P p(x)eax= 1
ae
axp
(x) − 1aP eaxp′(x).
A primitiva que aparece no segundo membro ´e ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p′(x) ´e inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o
mesmo processo at´e chegar a um polin´omio de grau zero, obt´em-se P f(x) = e ax a µ p(x) −p ′(x) a + p′′(x) a2 + · · · + (−1) np(n)(x) an ¶ + C. EXEMPLO: Primitivemos a fun¸c˜ao f (x) = (x2+ 2x + 1)e3x.
P(x2+ 2x + 1)e3x = 1 3(x 2+ 2x + 1)e3x − 13P (2x + 2)e3x = 1 3 µ (x2+ 2x + 1)e3x− 1 3(2x + 2)e 3x+ 1 3P2e 3x ¶ = 1 3e 3x µ (x2+ 2x + 1) − 1 3(2x + 2) + 2 9 ¶ + C.
As primitivas que obtivemos foram sempre fun¸c˜oes elementares, isto ´e, fun¸c˜oes alg´e-bricas, a fun¸c˜ao exponencial, as fun¸c˜oes trigonom´etricas e as trigonom´etricas inversas e, de um modo geral, as fun¸c˜oes que se possam obter por composi¸c˜ao destas em n´umero finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de fun¸c˜oes elementarmente primitiv´aveis. Nem todas as fun¸c˜oes est˜ao nesta situa¸c˜ao. No entanto,
Teorema 4.5.4 Toda a fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [a, b] ´e primitiv´avel nesse inter-valo.