Funções Reais de Variável Real:

Cap´ıtulo 4

Fun¸

c˜

oes Reais de Vari´

avel Real:

Primitiva¸

c˜

ao

4.1

Primitivas imediatas

Defini¸c˜ao 4.1.1 Sejam f e F duas fun¸c˜oes definidas num intervalo I. Diz-se que F ´e uma primitiva de f em I se F′_{(x) = f (x), ∀x ∈ I.}

EXEMPLO 1: Como (sen(x))′ _{= cos(x) temos que sen(x) ´e primitiva de cos(x).}

EXEMPLO 2: De (x2₎′ _{= 2x conclu´ımos que x}2 _{´e primitiva de 2x.}

Defini¸c˜ao 4.1.2 Uma fun¸c˜ao f diz-se primitiv´avel num intervalo I se existir uma primitiva de f , definida em I.

NOTA_{: H´a fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao primitiv´aveis. Por exemplo, a fun¸c˜ao f : R → R definida} por

f(x) = ½

0, se x < 2 1, se x ≥ 2

n˜ao ´e primitiv´avel em R. De facto, a existˆencia de uma fun¸c˜ao F : R → R tal que F′_{(x) = f (x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f n˜ao toma nenhum valor entre}

0 e 1.

Teorema 4.1.1 Se F ´e primitiva de f , num intervalo I, ent˜_{ao, qualquer que seja C ∈ R,} a fun¸c˜ao G(x) = F (x) + C ´e tamb´em primitiva de f em I.

Demonstra¸c˜ao: Basta notar que G′_{(x) = F}′_{(x) + C}′ _{= F}′_{(x) = f (x).}

Teorema 4.1.2 Se F e G s˜ao duas primitivas de f num intervalo I, ent˜_{ao F − G ´e} constante em I.

Demonstra¸c˜ao: Usa-se o Corol´ario 2 do Teorema de Lagrange, notando que F′_{(x) =}

G′_{(x) = f (x), ∀x ∈ I.}

NOTAS:

1. Como consequˆencia dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f s˜ao da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R.

2. Se F ´e uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva de f em I, isto ´e, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer.

Geometricamente:

Figura 4.1

Defini¸c˜ao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de deriva¸c˜ao.

A partir das regras de deriva¸c˜ao obt´em-se facilmente:

Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas fun¸c˜_{oes primitiv´aveis num intervalo I e a ∈ R. Ent˜ao} a) P a f (x) = a P f (x);

b) P (f (x) + g(x)) = P f (x) + P g(x).

Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.

f(x) P f(x) xα_{, α6= −1} x α+1 α+ 1 + C (u(x))α_u′_{(x), α 6= −1} (u(x)) α+1 α+ 1 + C 1 x log(|x|) + C

4.1 Primitivas imediatas 69 f(x) P f(x) u′_(x) u(x) log(|u(x)|) + C ex _ex_{+ C} eu(x)u′_{(x) e}u(x)_{+ C} ax, (a > 0) a x log(a) + C au(x)u′_{(x), (a > 0)} a u(x) log(a) + C cos(x) sen(x) + C cos(u(x)) u′_{(x) sen(u(x)) + C} sen(x) _{− cos(x) + C} sen(u(x)) u′_{(x) − cos(u(x)) + C} 1 √ 1 − x2 arc sen(x) + C u′_(x) p

1 − (u(x))2 arc sen(u(x)) + C

−√ 1

1 − x2 arc cos(x) + C

− u

′_(x)

p

1 − (u(x))2 arc cos(u(x)) + C

1

1 + x2 arc tg(x) + C

u′_(x)

1 + (u(x))2 arc tg(u(x)) + C

sec2(x) tg(x) + C

f(x) P f(x)

cosec2_{(x) −cotg(x) + C}

cosec2_{(u(x)) u}′_{(x) −cotg(u(x)) + C}

EXEMPLOS: P(x2_{+ x + 1) = P x}2_{+ P x + P 1 =} x 3 3 + x2 2 + x + C; P cos2_{(x) = P} 1 + cos(2x) 2 = 1 2(P 1 + P cos(2x)) = 1 2 µ x+sen(2x) 2 ¶ + C; P 2x√3 x2_{+ 3 = P 2x(x}2_{+ 3)}1 3 = (x 2_{+ 3)}1 3+1 1 3 + 1 + C = 3 4(x 2_{+ 3)}√3 x2_{+ 3 + C;} P 3x 2 x3_{+ 1} = log |x 3 + 1| + C; P e5x ₌ 1 5P 5 e 5x ₌ 1 5 e 5x_{+ C;} P 10x cos(5x2 _{+ 7) = sen(5x}2 _{+ 7) + C;} P 2 1 + (2x)2 = arc tg(2x) + C;

P _{(cos(x) − 2 e}3x_{) = P cos(x) − 2P e}3x _{= sen(x) −}2

3e 3x_{+ C;} P x 2 3 √ x3_{− 1} = P x 2_(x3_{− 1)}−13 = 1 3 · (x3_{− 1)}−13+1 −1 3 + 1 + C = 1 2 3 p (x3_{− 1)}2_{+ C.}

Teorema 4.1.4 Seja f uma fun¸c˜ao primitiv´avel num intervalo I. Ent˜ao, para cada x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma s´o, primitiva F de f tal que F (x0) = y0.

Em particular, existe uma, e uma s´o, primitiva de f que se anula em x0.

EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f′_{(x) = x}√_{x e f (1) = 2.}

Comecemos por calcular as primitivas F de f′_{, pois f ´e uma dessas fun¸c˜oes.}

F(x) = 2 5x

5 2 + C.

4.1 Primitivas imediatas 71 Mas f_{(1) = 2 ⇔} 2 5 + C = 2 ⇔ C = 8 5 , portanto, f (x) = 2 5x 5 2 +8 5 ·

EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f′′_{(x) = 12x}2 _{+ 6x − 4, f(0) = 4 e}

f(1) = 5.

A fun¸c˜ao f pertence ao conjunto das fun¸c˜oes F tais que F′_{(x) = 4x}3_{+ 3x}2_{− 4x + C}

e, portanto, ser´a uma fun¸c˜ao da forma F (x) = x4_{+ x}3_{− 2x}2_{+ Cx + C}

1. Como ½ f(0) = 4 f(1) = 5 ⇔ ½ C1 = 4 C = 1 ent˜ao f (x) = x4_{+ x}3_{− 2x}2_{+ x + 4.}

4.2

M´

etodos gerais de primitiva¸

c˜

ao: Primitiva¸

c˜

ao por

partes e por substitui¸

c˜

ao

Teorema 4.2.1 (Primitiva¸c˜ao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma fun¸c˜ao diferenci´avel em I. Ent˜ao

P_{(f g) = F g − P (F g}′₎

Demonstra¸c˜ao: Pela regra da deriva¸c˜ao do produto (F g)′ _{= F}′_{g+ F g}′ _{= f g + F g}′_{, o que}

implica que f g = (F g)′_{− F g}′ _{e, portanto, P (f g) = F g − P (F g}′_).

EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: considere-mos f (x) = x e g(x) = log(x). P (x log(x)) = x 2 2 log(x) − P µ x2 2 · 1 x ¶ = x 2 2 log(x) − 1 2P (x) = x2 2 log(x) − x2 4 + C. EXEMPLO 2: Podemos primitivar a fun¸c˜ao h(x) = log(x) usando este m´etodo. Sejam f(x) = 1 e g(x) = log(x).

P _{(log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P} µ

x 1 x

¶

= x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C. EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f (x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Ent˜ao

P_{(cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P} µ

sen(x)cos(x) sen(x)

¶

= sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x)) = sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C.

EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f (x) = 1 e g(x) = cos(log(x)). Ent˜ao

P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)). Esta ´ultima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se

P_{(cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)),} e, portanto,

4.2 Primitiva¸c˜ao por partes e por substitui¸c˜ao 73

ou seja,

P (cos(log(x))) = x

2(cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3(x), f (x) = 1 e g(x) = log3(x).

P(1. log3(x)) = x log3_{(x) − P (3 log}2(x)).

Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para P(log(x)), obtemos

P (1. log3(x)) = x log3_{(x) − 3 (x log}2_{(x) − P (2 log(x)))} = x log3_{(x) − 3x log}2_{(x) + 6x log(x) − 6x + C.}

Teorema 4.2.2 (Primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao) Sejam f uma fun¸c˜ao primitiv´avel num intervalo J e ϕ uma fun¸c˜ao bijectiva e diferenci´avel no intervalo I tal que ϕ(I) = J. Seja Φ(t) = P (f (ϕ(t))ϕ′_{(t)). Ent˜ao a fun¸c˜ao F (x) = Φ(ϕ}−1_{(x)) ´e uma primitiva de f}

em J.

Demonstra¸c˜ao: Seja F uma primitiva de f . Como, por hip´otese, x = ϕ(t) temos F (x) = F(ϕ(t)). Pela regra de deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao composta

(F (ϕ(t)))′ _{= F}′_(ϕ(t))ϕ′_{(t) = f (ϕ(t))ϕ}′_{(t) = Φ}′_(t),

porque design´amos por Φ(t) uma primitiva de f (ϕ(t))ϕ′_(t).

Como F (ϕ(t)) e Φ(t) s˜ao ambas primitivas de f (ϕ(t))ϕ′_{(t) sabemos que}

F_{(ϕ(t)) − Φ(t) = C, C constante real,} ou ainda,

F(ϕ(t)) = Φ(t) + C, o que implica que

F(x) = Φ(ϕ−1_{(x)) + C.}

EXEMPLO 1: Seja f (x) = x

3

√

x_{− 1} . Para calcular a primitiva de f fa¸camos √ x_{− 1 = t,} isto ´e, ϕ(t) = 1 + t2 _{= x.} P(f (ϕ(t)).ϕ′_{(t)) = P}(1 + t 2₎3 t 2t = 2 P (1+t 2₎3 _{= 2 P (1+3t}2_+3t4_+t6_{) = 2(t+t}3₊₃t5 5+ t7 7). Assim, P x 3 √ x_{− 1} = 2 µ√ x_{− 1 + (}√x_{− 1)}3+3 5( √ x_{− 1)}5+ 1 7( √ x_{− 1)}7 ¶ + C.

EXEMPLO 2: Consideremos f (x) = 1

ex_{+ e}−x · Podemos calcular a sua primitiva fazendo

ex= t, isto ´e, ϕ(t) = log(t).

P(f (ϕ(t)).ϕ′_{(t)) = P} 1 t+ t−1 · 1 t = P 1 1 + t2 = arc tg(t). Consequentemente, P f(x) = arc tg(ex_{) + C.}

NOTA: Usamos, por vezes a nota¸c˜ao

4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 75

4.3

Primitiva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes racionais

Sejam

P(x) = anxn+ · · · + a1x+ a0

e

Q(x) = bmxm+ · · · + b1x+ b0,

n, m_{∈ N}0, an 6= 0, bm 6= 0, dois polin´omios com coeficientes aj, bj ∈ R; n e m os graus

de P e Q, respectivamente.

Defini¸c˜ao 4.3.1 Chama-se fun¸c˜ao racional toda a fun¸c˜_{ao f : D ⊂ R → R que pode} ser expressa na forma

f(x) = P(x) Q(x)

em que P e Q s˜_{ao polin´omios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.}

Defini¸c˜ao 4.3.2 Dois polin´omios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) = Q_{(x), ∀x ∈ R.}

Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = anxn+ · · · + a1x+ a0 e Q(x) = bmxm+ · · · +

b1x+ b0, se tem

P_{(x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ a}n= bm, . . . , a1 = b1, a0 = b0.

Dados dois polin´omios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polin´omios M e R tais que P (x) = M (x) Q(x) + R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se o polin´omio quociente e R o polin´omio resto.

Defini¸c˜ao 4.3.3 Um polin´omio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem polin´omios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1(x)P2(x). O

polin´omio P diz-se irredut´ıvel se n˜ao for redut´ıvel. ´

E poss´ıvel determinar quais s˜ao precisamente os polin´omios irredut´ıveis. Considere-se, sem perda de generalidade, os polin´omios unit´arios (com coeficiente an = 1): P (x) =

xn_{+ a}

n−1xn−1+ · · · + a1x+ a0.

• Todos os polin´omios de grau 1, P (x) = x − a, s˜ao irredut´ıveis.

• Um polin´omio de grau 2, P (x) = x2 _{+ bx + c ´e irredut´ıvel se, e s´o se, n˜ao tem}

ra´ızes reais, isto ´e, b2 _{− 4ac < 0. Assim os polin´omios de grau 2 irredut´ıveis s˜ao}

precisamente os polin´omios da forma P (x) = (x − α)2 _{+ β}2_{, α, β ∈ R, β 6= 0,}

• Os ´unicos polin´omios irredut´ıveis s˜ao os considerados e mostra-se que todo o po-lin´omio P (x) com grau maior ou igual a 1 ´e produto de popo-lin´omios irredut´ıveis:

P_{(x) = (x − a}1)n1· · · (x − ap)np[(x − α1)2+ β12]m

1

· · · [(x − αq)2+ βq2] mq

em que ni, mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente

factor em P .

Defini¸c˜ao 4.3.4 Uma fun¸c˜ao racional f (x) = P(x)

Q(x) diz-se irredut´ıvel se P e Q n˜ao tiverem ra´ızes comuns.

Dada uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos: 1o _{O grau do polin´omio P ´e maior ou igual ao grau do polin´omio Q.}

2o _{O grau do polin´omio P ´e menor do que o grau do polin´omio Q.}

No primeiro caso, fazendo a divis˜ao dos polin´omios obtemos P(x) = M (x) Q(x) + R(x),

em que M e R s˜ao polin´omios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior ao grau de Q). Temos ent˜ao

P(x)

Q(x) = M (x) + R(x) Q(x) o que implica que

P µ P (x) Q(x) ¶ = P (M (x)) + P µ R(x) Q(x) ¶ ·

A primitiva de M ´e imediata por ser a primitiva de um polin´omio. A segunda ´e a primitiva de uma fun¸c˜ao racional, em que o grau do numerador ´e menor do que o do deno-minador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das fun¸c˜oes racionais irredut´ıveis em que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, isto ´e, ficamos reduzidos ao 2o _{caso atr´as considerado. Os teoremas seguintes, que n˜ao demonstraremos,}

permitem-nos decompor uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel do 2o _{caso na soma de fun¸c˜oes}

racionais cujas primitivas s˜ao “f´aceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida.

Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o seguinte teorema:

Teorema 4.3.1 Se P(x)

Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se

4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 77

com a1, a2, . . . , ap n´umeros reais distintos e n1, n2, . . . , np ∈ N, ent˜ao a fun¸c˜ao ´e

decom-pon´ıvel numa soma da forma P(x) Q(x) = An1 (x − a1)n1 + · · · + A1 x_{− a}1 + · · · + Bnp (x − anp) np + · · · + B1 x_{− a}np

onde An1, . . . , A1, . . . , Bnp, . . . , B1 s˜ao n´umeros reais.

NOTA: Nas condi¸c˜oes do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decomp˜oe a fun¸c˜ao tem primitiva imediata:

P A (x − a)p = A 1 − p · 1 (x − a)p−1 ,se p 6= 1 P A x_{− a} = A log |x − a|

1o _{caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto ´e, Q decomp˜oe-se em factores do tipo}

x_{− a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo} A

x_{− a}, com A constante a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = 4x

2_{+ x + 1}

x3_{− x} ·

Como o n´umero de ra´ızes de um polin´omio n˜ao ultrapassa o seu grau e x3_{− x admite}

as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao 4x2_{+ x + 1} x3_{− x} = A x + B x_{− 1}+ C x+ 1 = A(x 2 _{− 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)} x3_{− x} = (A + B + C)x 2 + (B − C)x − A x3_{− x}

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos    A+ B + C = 4 B_{− C} = 1 −A = 1 ⇔    B+ C = 5 B_{− C = 1} A _{= −1} ⇔    B = 3 C = 2 A _{= −1} Assim: 4x2_{+ x + 1} x3_{− x} = −1 x + 3 x_{− 1} + 2 x+ 1

e P µ 4x 2_{+ x + 1} x3_{− x} ¶ = P µ −1 x ¶ + P µ 3 x_{− 1} ¶ + P µ 2 x+ 1 ¶

= − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C = log µ¯ ¯ ¯ ¯ (x − 1)3 x ¯ ¯ ¯ ¯(x + 1) 2 ¶ + C.

2o _{caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite x − a, com}

a _{∈ R, como divisor p vezes. Na decomposi¸c˜ao, a cada raiz a de Q de multiplicidade p} vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma:

Ap (x − a)p + A_p−1 (x − a)p−1 + · · · + A1 x_{− a}, com Ap, Ap−1, . . . , A1 constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = 2x

3_{+ 5x}2_{+ 6x + 2}

x(x + 1)3 ·

Como x(x + 1)3 _{admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x + 1 aparece 3 vezes na factoriza¸c˜ao}

do polin´omio, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e multiplicidade 3, respectivamente. Ent˜ao 2x3_{+ 5x}2_{+ 6x + 2} x(x + 1)3 = A x + B (x + 1)3 + C (x + 1)2 + D x+ 1 = A(x + 1) 3 _{+ Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)}2 x(x + 1)3 = (A + D)x 3_{+ (3A + C + 2D)x}2_{+ (3A + B + C + D)x + A} x(x + 1)3

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos        A+ D = 2 3A + C + 2D = 5 3A + B + C + D = 6 A = 2 ⇔        D = 0 C _{= −1} B = 1 A = 2 Assim: 2x3_{+ 5x}2_{+ 6x + 2} x(x + 1)3 = 2 x + 1 (x + 1)3 + −1 (x + 1)2

4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 79 e P µ 2x 3_{+ 5x}2_{+ 6x + 2} x(x + 1)3 ¶ = P µ 2 x ¶ + P µ 1 (x + 1)3 ¶ − P µ 1 (x + 1)2 ¶ = 2 log |x| −1 2 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1 + C = log (x2_{) −}1 2 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1 + C. Vejamos agora os casos em que o polin´omio Q admite ra´ızes complexas. Teorema 4.3.2 Se P(x)

Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se α + iβ (α, β ∈ R) ´e uma raiz de Q, de multiplicidade r, ent˜ao

P(x) Q(x) = Mrx+ Nr [(x − α)2_{+ β}2_]r + · · · + M1x+ N1 (x − α)2_{+ β}2 + H(x) Q∗_(x)

onde H e Q∗ _{s˜ao polin´omios tais que o grau de H ´e menor que o grau de Q∗, M} r,

Nr, . . . , M1, N1, s˜ao n´umeros reais e nem α + iβ nem α − iβ s˜ao ra´ızes do polin´omio Q∗.

1o _{caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto ´e, Q admite como divisores}

polin´omios de grau 2, (uma ´unica vez cada polin´omio), que n˜ao tˆem ra´ızes reais. Na decomposi¸c˜ao, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com a seguinte forma:

Ax+ B (x − α)2_{+ β}2

com A e B constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f (x) = x

2_{+ 2} (x − 1)(x2_{+ x + 1)}· Como (x − 1)(x2+ x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 2± i √ 3 2 podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao

x2_{+ 2} (x − 1)(x2_{+ x + 1)} = A x_{− 1}+ Bx+ C (x + 1₂)2₊ 3 4 = A(x 2_{+ x + 1) + (Bx + C)(x − 1)} (x − 1)(x2_{+ x + 1)} = (A + B)x 2_{+ (A − B + C)x + A − C} (x − 1)(x2_{+ x + 1)}

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos    A+ B = 1 A_{− B + C = 0} A_{− C} = 2 ⇔    A = 1 B = 0 C _{= −1} Assim: x2+ 2 (x − 1)(x2_{+ x + 1)} = 1 x_{− 1}+ −1 (x + 1₂)2₊3 4 e P µ x2_{+ 2} (x − 1)(x2 _{+ x + 1)} ¶ = P µ 1 x_{− 1} ¶ + P µ −1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ = log |x − 1| − P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ . A primitiva P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶

calcula-se fazendo a substitui¸c˜ao x + 1 2 = √ 3 2 t, isto ´e, ϕ(t) = √ 3 2 t− 1

2· (No caso geral, sendo a + ib a raiz, a substitui¸c˜ao ´e x − a = bt). Ent˜ao

P f(ϕ(t)).ϕ′_{(t) = P} Ã 1 (√₂3t)2₊ 3 4 · √ 3 2 ! = √2 3P 1 t2_{+ 1} = 2 √ 3arc tg(t), portanto, P µ 1 (x + 1 2)2+ 3 4 ¶ = √2 3arc tg µ 2 √ 3x+ 1 √ 3 ¶ . Finalmente, P f_{(x) = log |x − 1| − √}2 3arc tg µ 2 √ 3x+ 1 √ 3 ¶ + C.

2o _{caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite como divisores}

polin´omios de grau 2 que n˜ao tˆem ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polin´omio na factoriza¸c˜ao de Q. Na decomposi¸c˜ao, a cada par de ra´ızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma:

Apx+ Bp ((x − α)2 _{+ β}2₎p + A_p−1x+ B_p−1 ((x − α)2_{+ β}2₎p−1 + · · · + A1x+ B1 (x − α)2_{+ β}2

com Ap, Ap−1, . . . , A1, Bp, Bp−1, . . . , B1 constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸c˜ao f definida por f(x) = x

4_{− x}3_{+ 6x}2_{− 4x + 7}

4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 81

Como

(x − 1)(x2+ 2)2 _{= 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i}√2

e (x − 1)(x2_{+ 2)}2 _{tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e}

multiplicidade 2, respectivamente. Ent˜ao x4_{− x}3+ 6x2_{− 4x + 7} (x − 1)(x2 _{+ 2)}2 = A x_{− 1} + Bx+ C (x2_{+ 2)}2 + Dx+ E x2_{+ 2} = A(x 2_{+ 2)}2_{+ (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x}2_{+ 2)} (x − 1)(x2_{+ 2)}2

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos            A = 1 B = 1 C _{= −1} D = 0 E _{= −1} Assim: x4_{− x}3_{+ 6x}2_{− 4x + 7} (x − 1)(x2_{+ 2)}2 = 1 x_{− 1}+ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 + −1 x2_{+ 2} e P µ x 4_{− x}3_{+ 6x}2_{− 4x + 7} (x − 1)(x2_{+ 2)}2 ¶ = P µ 1 x_{− 1} ¶ + P µ x_{− 1} (x2 _{+ 2)}2 ¶ + P µ −1 x2_{+ 2} ¶ = log |x − 1| + P µ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 ¶ − P Ã ₁ 2 1 + x2 2 ! = log |x − 1| + P µ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 ¶ − √1 2P    1 √ 2 1 +³_√x 2 ´2    = log |x − 1| + P µ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 ¶ − √1 2arc tg µ x √ 2 ¶ . A primitiva P µ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 ¶ = P Ã x_{− 1} (x2 ₊√₂2₎2 !

P f(ϕ(t)).ϕ′_{(t) = P} à √ 2 t − 1 (2t2_{+ 2)}2 · √ 2 ! = √ 2 4 P Ã√ 2 t − 1 (t2 _{+ 1)}2 ! = √ 2 4 P à √ 2 t (t2 _{+ 1)}2 − 1 (t2_{+ 1)}2 ! = √ 2 4 à P √ 2 t (t2 _{+ 1)}2 − P 1 (t2_{+ 1)}2 ! = √ 2 4 Ã√ 2 2 P 2t(t 2_{+ 1)}−2_{− P} 1 (t2_{+ 1)}2 ! = √ 2 4 à − √ 2 2 (t 2_{+ 1)}−1_{− P} 1 + t 2_{− t}2 (t2_{+ 1)}2 ! = −1 4 1 t2_{+ 1} − √ 2 4 µ P 1 + t 2 (t2_{+ 1)}2 − P t2 (t2_{+ 1)}2 ¶ = −1 4 1 t2_{+ 1} − √ 2 4 µ P 1 t2_{+ 1} − P t 2 2t (t2_{+ 1)}2 ¶ = −1_4t21_{+ 1} − √ 2 4 µ arc tg(t) − µ −_t21_{+ 1} t 2+ P 1 2 1 t2_{+ 1} ¶¶ = −1_4t21_{+ 1} − √ 2 4 arc tg(t) − √ 2 4 t 2(t2_{+ 1)} + √ 2 8 arc tg(t) = − √ 2t + 2 8(t2_{+ 1)} − √ 2 8 arc tg(t), portanto, P µ x_{− 1} (x2_{+ 2)}2 ¶ = −_4(xx2+ 2_{+ 2)} − √ 2 8 arc tg µ x √ 2 ¶ . Finalmente, P f_{(x) = log |x − 1| −} 5 √ 2 8 arc tg µ x √ 2 ¶ − x+ 2 4(x2_{+ 2)} + C.

4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 83

NOTA: Se P(x)

Q(x) admite uma decomposi¸c˜ao da forma que aparece neste teorema, a sua primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de fun¸c˜oes da forma

Ax+ B

(x − α)2_{+ β}2 e

Cx+ D

[(x − α)2_{+ β}2_]p , p >1.

Temos no primeiro caso, usando a substitui¸c˜ao x − α = βt,

P Ax+ B (x − α)2_{+ β}2 = ½ Pt A(α + βt) + B β2_t2_{+ β}2 · β ¾ t=x−α β Pt A (α + βt) + B β2_t2_{+ β}2 · β = P A α+ B + A βt β(t2_{+ 1)} = P A α+ B β(t2_{+ 1)} + P A βt β(t2_{+ 1)} = A α+ B β P 1 t2_{+ 1} + A P t t2_{+ 1} = A α+ B β arctg(t) + A 2 log(t 2_{+ 1)} Portanto, P Ax+ B (x − α)2_{+ β}2 = A α+ B β arctg µ x − α β ¶ +A 2 log "µ x_{− α} β ¶2 + 1 # + C. No segundo caso, usando a mesma substitui¸c˜ao,

P Cx+ D [(x − α)2_{+ β}2_]p = ½ Pt C(α + βt) + D (β2_t2_{+ β}2₎p · β ¾ t=x−α_β . Pt C(α + βt) + D (β2_t2_{+ β}2₎p · β = P C α+ D + C βt β2p−1_(t2_{+ 1)}p = P C α+ D β2p−1_(t2 _{+ 1)}p + P C βt β2p−1_(t2_{+ 1)}p = C α+ D β2p−1 P 1 (t2_{+ 1)}p + C β2p−2 P t (t2_{+ 1)}p = C α+ D β2p−1 P 1 (t2_{+ 1)}p − C 2β2p−2 · 1 p_{− 1}· 1 (t2_{+ 1)}p−1

Resta-nos calcular P 1 (t2_{+ 1)}p · Mas 1 (t2_{+ 1)}p = 1 + t2_{− t}2 (t2_{+ 1)}p = 1 (t2_{+ 1)}p−1 − t2 (t2_{+ 1)}p

o que implica que

P 1 (t2_{+ 1)}p = P 1 (t2_{+ 1)}p−1 − P t2 (t2_{+ 1)}p = P 1 (t2_{+ 1)}p−1 − P t 2· 2t (t2_{+ 1)}p = P 1 (t2_{+ 1)}p−1 + t 2(p − 1)(t2_{+ 1)}p−1 − P 1 2(p − 1)(t2_{+ 1)}p−1 = t 2(p − 1)(t2_{+ 1)}p−1 + 2p − 3 2p − 2P 1 (t2_{+ 1)}p−1,

isto ´e, o c´alculo da primitiva de 1

(t2_{+ 1)}p ficou apenas dependente do c´alculo da primitiva

de 1

(t2_{+ 1)}p−1, que por sua vez pode, de modo an´alogo, fazer-se depender do c´alculo da

primitiva de 1

(t2_{+ 1)}p−2, e assim sucessivamente at´e chegarmos `a primitiva de

1

1 + t2 que

´e imediata.

Teorema 4.3.3 Se P(x)

Q(x) ´e uma fun¸c˜ao racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que o grau de Q e se

Q(x) = a0(x − a)p· · · (x − b)q[(x − α)2+ β2]r· · · [(x − γ)2+ δ2]s

ent˜ao a fun¸c˜ao ´e decompon´ıvel numa soma da forma P(x) Q(x) = Ap (x − a)p + · · · + A1 x_{− a} + · · · + Bq (x − b)q + · · · + B1 x_{− b}+ + Mrx+ Nr [(x − α)2_{+ β}2_]r + · · · + M1x+ N1 (x − α)2_{+ β}2 + · · · + + Vsx+ Zs [(x − γ)2_{+ δ}2_]s + · · · + V1x+ Z1 (x − γ)2_{+ δ}2

4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 85

4.4

Primitiva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes alg´

ebricas irracionais

Vejamos agora alguns tipos de fun¸c˜oes cuja primitiva¸c˜ao pode reduzir-se `a primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais com uma substitui¸c˜ao adequada. Introduza-se em primeiro lugar a no¸c˜ao de polin´omio e fun¸c˜ao racional em v´arias vari´aveis.

Defini¸c˜ao 4.4.1 Designa-se por polin´omio em duas vari´aveis , x e y, com coefici-entes reais, a aplica¸c˜_{ao P : R × R → R, dada por}

P(x, y) = amnxmyn+ · · · + a11xy+ a10x+ a01y+ a00,

com m, n ∈ N0, aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i + j tal que aij 6= 0.

Mais geralmente define-se, de modo an´alogo, polin´omio em p vari´aveisu1, . . . , up,

como a aplica¸c˜_{ao P : R × · · · × R} | {z } p vezes → R, dada por P(u1, . . . , up) = X i1,...,ip ai1...ipu i1 1 . . . uipp, i1, . . . , ip ∈ N0, ai1...ip ∈ R e X i1,...,ip

uma soma finita em i1, . . . , ip.

Defini¸c˜ao 4.4.2 Se P (u1, . . . , up) e Q(u1, . . . , up) s˜ao dois polin´omios em p vari´aveis,

chama-se fun¸c˜ao racional em p vari´aveis a uma aplica¸c˜ao da forma R(u1, . . . , up) =

P(u1, . . . , up)

Q(u1, . . . , up)

definida nos elementos (u1, . . . , up) ∈ R × · · · × R

| {z }

p vezes

tais que Q(u1, . . . , up) 6= 0.

Analisemos ent˜ao algumas classes de fun¸c˜oes suscept´ıveis de serem racionalizadas por convenientes mudan¸cas de vari´avel. No que se segue R designa uma fun¸c˜ao racional dos seus argumentos. Express˜ao Substitui¸c˜ao f(x) = R(xmn, x p q, . . . , xrs) x= tµ µ_{= m.m.c.{n, q, . . . , s}} f(x) = R³x,¡a x+b_{c x+d}¢ m n _,¡a x+b c x+d ¢p q _{, . . . ,}¡a x+b c x+d ¢r s´ a x+b c x+d = t µ µ_{= m.m.c.{n, q, . . . , s}} f(x) = xα_{(a + b x}β₎γ _xβ _{= t}

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = _√ 1 x+√3 x = 1 x12 + x 1 3· A substitui¸c˜ao a

usar ´e x = ϕ(t) = t6 _{e a primitiva a calcular ´e}

P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P} 1 t3_{+ t}2 · 6t 5 _{= P} 6t5 t2_{(t + 1)} = 6 P t3 t+ 1 = 6 P µ t2_{− t + 1 −} 1 t+ 1 ¶ = 6µ t 3 3 − t2 2 + t − log |t + 1| ¶ = 2t3_{− 3t}2_{+ 6t − 6 log |t + 1|} tendo-se assim P_√ 1 x+√3 x = 3 √ x_{− 3}√3 x+ 6√6 x_{− 6 log(}√6 x+ 1) + C. EXEMPLO 2: Seja f (x) = √ 2x + 3 1 −√4 2x + 3· A substitui¸c˜ao 2x + 3 = t 4 _{permite resolver o} problema. Temos P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P} t 2 1 − t· 2t 3 = −2 P t 5 t_{− 1} = −2P µ t4+ t3+ t2+ t + 1 + 1 t_{− 1} ¶ = −2µ t 5 5 + t4 4 + t3 3 + t2 2 + t + log |t − 1| ¶ e P f_{(x) = −2}µ ( 4 √ 2x + 3)5 5 + (√4 2x + 3)4 4 + (√4 2x + 3)3 3 + (√4 2x + 3)2 2 + 4 √ 2x + 3 + log(√4 2x + 3) ¶ + C EXEMPLO 3: Seja f (x) = xp√3

x2_{+ 2. Fa¸camos a substitui¸c˜ao x}23 = t. Obtemos:

P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P t}32(2 + t) 1 2 3 2t 1 2 = 3 2P t 2√_{2 + t}

que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substitui¸c˜ao 2 + t = z2_,

isto ´e, 3 2P t 2√_{2 + t =} 3 2 © Pz(z2− 2)2 · z · 2z ª z=√2+t = 3 2 © Pz2(z6− 4z4+ 4z2) ª z=√2+t = 3½ z 7 7 − 4 z5 5 + 4 z3 3 ¾ z=√2+t = 3 7 ³√ 2 + t´7₋ 12 5 ³√ 2 + t´5 + 4³√2 + t´3

4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 87 tendo-se finalmente P x q 3 √ x2_{+ 2 =} 3 7 µq x23 + 2 ¶7 − 12₅ µq x23 + 2 ¶5 + 4 µq x23 + 2 ¶3 + C. Express˜ao Substitui¸c˜ao √ a x2_{+ b x + c =}√_{a x+ t} se a > 0 √ a x2_{+ b x + c = t x +}√_c f(x) = R(x,√a x2 _{+ b x + c) se c > 0} √ a x2_{+ b x + c = t (x − α)} ou√a x2_{+ b x + c = t (x − β)}

se α e β s˜ao zeros reais distintos de a x2_{+ b x + c}

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = 1

x √3x2_{− x + 1}. Como a = 3 podemos

usar a substitui¸c˜ao√3x2_{− x + 1 =}√_{3 x + t, tendo-se:}

3x2_{− x + 1 = 3x}2_{+ 2}√_{3xt + t}2 −x − 2√3xt = t2_{− 1} x= 1 − t 2 1 + 2√3t = ϕ(t) o que implica ϕ′_{(t) =} −2 √ 3t2_{− 2t − 2}√3 (2√3t + 1)2 ·

A primitiva a calcular ´e

P 1 1 − t2 1 + 2√3t µ√ 3 · 1 − t 2 1 + 2√3t + t ¶ · −2 √ 3t2_{− 2t − 2}√₃ (2√3t + 1)2 = P −2 √ 3t2_{− 2t − 2}√₃ √ 3(1 − t2₎2_{+ t(1 − t}2₎₍₂√_{3t + 1} = P −2( √ 3t2_{+ t +}√₃₎ (√_{3 −}√3t2_{+ 2}√_3t2_{+ t)(1 − t}2₎

= −2P 1 1 − t2 = −2P µ 1 2 1 − t+ 1 2 1 + t ¶

= log |1 − t| − log |1 + t| = log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − t 1 + t ¯ ¯ ¯ ¯ o que implica que

P 1 x √3x2_{− x + 1} = log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −√3x2_{− x + 1 +}√_3x 1 +√3x2_{− x + 1 −}√_3x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + C.

EXEMPLO 2: Primitivemos a fun¸c˜ao f (x) = 1

x √_−x2_{+ 4x − 3}· Tendo em conta que

−x2_{+ 4x −3 = 0 ⇔ x = 1∨x = 3 podemos usar a substitui¸c˜ao}√_−x2_{+ 4x − 3 = t(x−3).}

√ −x2_{+ 4x − 3 = t(x − 3)} p −(x − 3)(x − 1) = t(x − 3) −(x − 3)(x − 1) = t2_{(x − 3)}2 −(x − 1) = t2_{(x − 3)} x= 3t 2_{+ 1} t2_{+ 1} = ϕ(t) o que implica ϕ′_{(t) =} 4t (t2 _{+ 1)}2·

A primitiva a calcular ´e

P 1 3t2_{+ 1} t2_{+ 1} · t µ 3t2_{+ 1} t2_{+ 1} − 3 ¶ · 4t (t2_{+ 1)}2 = P 4 (3t2_{+ 1)(3t}2_{+ 1 − 3t}2_{− 3)} = P −2 3t2_{+ 1} = − 2 √ 3arc tg( √ 3t) o que implica que

P 1 x √_−x2_{+ 4x − 3} = − 2 √ 3arc tg( √ 3 · √ −x2_{+ 4x − 3} x_{− 3} ) + C.

4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais 89 Express˜ao Substitui¸c˜ao √ a2_{− x}2 _{x= a cos(t) ou x = a sen(t)} √ x2_{− a}2 _{x= a sec(t) ou x = a cosec(t)} √ x2_{+ a}2 _{x= a tg(t) ou x = a cotg(t)} EXEMPLO 1: Seja f (x) = √ 9 − x2

x2 · Fa¸camos a substitui¸c˜ao x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos

ϕ′_{(t) = 3 cos(t) e} P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P} p 9 − 9 sen2_(t) 9 sen2_(t) · 3 cos(t) = P p 1 − sen2_(t) sen2_(t) · cos(t) = P cos 2_(t) sen2_(t) = P cotg 2_{(t) = P (cosec}2 (t) − 1) = −cotg(t) − t e, assim, P √ 9 − x2 x2 = −cotg(arc sen( x 3)) − arc sen( x 3) + C = − √ 9 − x2 x − arc sen( x 3) + C EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = 1

x3 √_x2 _{− 16}e a substitui¸c˜ao x = 4 sec(t) =

ϕ(t). Temos ϕ′_{(t) = 4 sec(t) tg(t) e}

P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P} 1

43_sec3_(t)p_{16 sec}2_{(t) − 16} · 4 sec(t) tg(t)

= P tg(t) 43_sec2_(t)p_sec2_{(t) − 1} = P tg(t) 43_sec2_{(t) tg(t)} = 1 43 P 1 sec2_(t) = 1 43 P cos 2_(t) = 1 43 µ t 2+ sen(2 t) 4 ¶ e, assim, P 1 x3 √_x2_{− 16} = 1 43 µ 1 2arc sec( x 4) +

sen(2 arc sec(x 4))

4

¶ + C

EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f (x) = 1

subs-titui¸c˜ao x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ′_{(t) = 2 sec}2_{(t) e} P f(ϕ(t))ϕ′_{(t) = P} 1 4 tg2_(t)p_{4 tg}2_{(t) + 4} · 2 sec 2_(t) = P sec 2_(t) 4 tg2_(t)p_tg2_{(t) + 1} = P sec2_(t) 4 tg2_{(t) sec(t)} = 1 4P sec(t) tg2_(t) = 1 4P cotg(t) cosec(t) = −1₄cosec(t) e, assim, P 1 x2 √_x2_{+ 4} = − 1 4cosec(arc tg( x 2)) + C = − 1 4 √ x2_{+ 4} x + C

4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes 91

4.5

Primitiva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes transcendentes

Express˜ao Substitui¸c˜ao

f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x 2) = t

f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x) = t R_{(−y, −z) = R(y, z), ∀y, z}

f(x) = R(ex_{) e}x_{= t}

A substitui¸c˜ao tg³ x 2

´

= t conduz a uma fun¸c˜ao racional de t. De facto, de

sen(x) = 2 sen³ x 2 ´ .cos³ x 2 ´ = 2 tg ¡_x 2 ¢ q 1 + tg2¡x 2 ¢ · 1 q 1 + tg2¡x 2 ¢ = 2 tg ¡_x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 2t 1 + t2 e cos(x) = cos2³ x 2 ´ − sen2³ x 2 ´ = 1 1 + tg2¡x 2 ¢ − tg2¡x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 1 − tg 2¡x 2 ¢ 1 + tg2¡x 2 ¢ = 1 − t 2 1 + t2

conclui-se, tendo em conta que tg³ x 2 ´ = t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ′_{(t) =} 2 1 + t2, P f(x) = ½ PtR µ 2t 1 + t2, 1 − t2 1 + t2 ¶ . 2 1 + t2 ¾ tg(x2)=t

A substitui¸c˜ao indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares s˜ao prefer´ıveis outras substitui¸c˜oes. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) ´e fun¸c˜ao par em sen(x) e cos(x) (isto ´e, se n˜ao se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x) e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substitui¸c˜ao tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e

sen(x) = √ t

1 + t2 e cos(x) =

1 √

1 + t2·

EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f (x) = 1

´e tg³ x 2 ´ = t: P 1 21 − t 2 1 + t2 + 1 · _{1 + t}2 ₂ = P 2 3 − t2 = _√1 3P µ 1 √ 3 − t + 1 √ 3 + t ¶ = √1 3(− log | √ 3 − t| + log |√3 + t|) = √1 3log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ √ 3 + t √ 3 − t ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

o que implica que

P 1 2 cos(x) + 1 = 1 √ 3log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ √ 3 + tg³ x 2 ´ √ 3 − tg³ x₂´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + C.

EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f (x) = 1

cos2_{(x) − sen}2_(x) fazemos a

substi-tui¸c˜ao tg(x) = t e obtemos P 1 1 1 + t2 − t2 1 + t2 ·_{1 + t}1 ₂ = P 1 1 − t2 = 1 2P µ 1 1 − t+ 1 1 + t ¶ = 1 2(− log |1 − t| + log |1 + t|) = 1 2log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + t 1 − t ¯ ¯ ¯ ¯ e, portanto, P 1 cos2_{(x) − sen}2_(x) = 1 2log ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + tg(x) 1 − tg(x) ¯ ¯ ¯ ¯+ C EXEMPLO 3: Para primitivar a fun¸c˜ao f (x) = 1

ex_{+ 1} usa-se a substitui¸c˜ao e x _{= t:} P 1 t+ 1 · 1 t = P −1 1 + t + P 1

t = − log |1 + t| + log |t| = log ¯ ¯ ¯ ¯ t 1 + t ¯ ¯ ¯ ¯ e P 1 ex_{+ 1} = log µ ex ex_{+ 1} ¶ + C.

As fun¸c˜oes do tipo f (x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podem primitivar-se tendo em conta que

sen(ax).sen(bx) = 1

4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes 93 e conclui-se que P sen(ax).sen(bx) = sen(a − b)x 2(a − b) − sen(a + b)x 2(a + b) + C De modo an´alogo,

P cos(ax). cos(bx) = sen(a − b)x 2(a − b) +

sen(a + b)x 2(a + b) + C

Se pretendermos primitivar um produto de v´arios factores sen(amx) e cos(bnx)

po-demos come¸car por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associa¸c˜ao de novos pares de factores; e assim sucessivamente at´e esgotar todos os factores.

EXEMPLO:

P sen(3x) cos(5x)sen(6x)

= P 1

2(sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x)

= 1 2P 1 2(cos(2x) − cos(14x)) − 1 2P 1 2(cos(−4x) − cos(8x)) = 1 4Pcos(2x) − 1 4P cos(14x) − 1 4P cos(4x) + 1 4P cos(8x) = 1₈ µ

sen(2x) − sen(14x)₇ − sen(4x)₂ +sen(8x) 4

¶ + C

As fun¸c˜oes do tipo f (x) = p(x)eax_{, onde p ´e um polin´omio de grau n em x e a ´e uma}

constante, primitivam-se por partes: P p(x)eax= 1

ae

ax_p

(x) − 1_aP eaxp′_(x).

A primitiva que aparece no segundo membro ´e ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p′_{(x) ´e inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o}

mesmo processo at´e chegar a um polin´omio de grau zero, obt´em-se P f(x) = e ax a µ p_{(x) −}p ′_(x) a + p′′_(x) a2 + · · · + (−1) np(n)(x) an ¶ + C. EXEMPLO: Primitivemos a fun¸c˜ao f (x) = (x2_{+ 2x + 1)e}3x_.

P(x2_{+ 2x + 1)e}3x ₌ 1 3(x 2_{+ 2x + 1)e}3x − 1₃P (2x + 2)e3x = 1 3 µ (x2+ 2x + 1)e3x₋ 1 3(2x + 2)e 3x₊ 1 3P2e 3x ¶ = 1 3e 3x µ (x2_{+ 2x + 1) −} 1 3(2x + 2) + 2 9 ¶ + C.

As primitivas que obtivemos foram sempre fun¸c˜oes elementares, isto ´e, fun¸c˜oes alg´e-bricas, a fun¸c˜ao exponencial, as fun¸c˜oes trigonom´etricas e as trigonom´etricas inversas e, de um modo geral, as fun¸c˜oes que se possam obter por composi¸c˜ao destas em n´umero finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de fun¸c˜oes elementarmente primitiv´aveis. Nem todas as fun¸c˜oes est˜ao nesta situa¸c˜ao. No entanto,

Teorema 4.5.4 Toda a fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [a, b] ´e primitiv´avel nesse inter-valo.