2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

2.1 - Introdução

No presente capítulo são apresentados de um modo sucinto os conceitos básicos da teoria da elasticidade, nomeadamente, de elasticidade, homogeneidade, isotropia, tensão e extensão. É definido o tensor das tensões e o correspondente tensor das extensões. Com base nas equações de equilíbrio definido e indefinido são estabelecidas relações entre as componentes do tensor das tensões . As equações de compatibilidade são definidas a partir das componentes do tensor das extensões. Finalmente são estabelecidas as relações tensão-extensão (leis constitutivas do material) para os materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos.

2.2 - Conceitos de elasticidade, homogeneidade e isotropia

Um corpo tem comportamento elástico se após a retirada das acções que sobre ele actuam retomar a sua forma inicial (ver Figura 2.1).

l

l l

∆l

Forma inicial Forma final

F=F u 1 F Deslocamento u ∆l Força F α α u = Comp. linear Comp. não-linear 1

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Nesta publicação a matéria que constitui um corpo considera-se sempre homogénea, de tal forma que o menor elemento retirado do corpo possui as propriedades físicas específicas desse corpo. Um corpo será também considerado isotrópico, isto é, as suas propriedades elásticas são consideradas iguais em todas as direcções.

Quando as propriedades elásticas do material são diferentes em direcções distintas, de que são exemplo a maior parte dos materiais compósitos (Barros 1989), o material pode apresentar comportamento ortotrópico ou anisotrópico. Os materiais têm comportamento ortotrópico quando as propriedades num plano são iguais, mas distintas das que ocorrem numa direcção ortogonal a esse plano. Terá comportamento anisotrópico quando as propriedades diferem com a direcção considerada.

2.3 - Conceito de tensão num ponto e de tensor das tensões

A noção intuitiva de tensão é a de força por unidade de área. A tensão pode variar de ponto para ponto no interior de um corpo, e ainda com a orientação do plano que passa por esse ponto. Trata-se de um conceito matemático que permite determinar se esse corpo satisfaz os critérios de segurança exigidos, isto é, se a tensão máxima instalada é inferior à que o material resiste.

Se ao corpo em equilíbrio representado na Figura 2.2 for aplicado um sistema de forças exteriores Q_i c/ i=1,…7 desenvolvem-se forças internas entre as possíveis partes em que o corpo se pode dividir.

3 x 2 x x₁ O 1 Q Q₂ Q₄ Q₃ Q₅ Q₆ Q₇ δA σ C2 C1 S1

Figura 2.2 - Corpo submetido a um conjunto de forças exteriores Q_i.

Considere-se o corpo dividido em duas partes, C₁ e C₂, por intermédio da secção S₁ que contém o ponto O. Tomando-se, por exemplo, a parte C₁ do corpo, pode-se afirmar que ela está em equilíbrio sob a acção das forças externas Q , ₅ Q e Q_{6 7} e das forças internas

do corpo exercia sobre o material da parte C₁. Admite-se que as forças internas distribuem-se continuamente na área S₁, pelo que se trata de um conceito de tensão, isto é,

Tensão = t Q A =

em que A é a área da secção transversal S₁ do corpo e Q é a resultante das forças internas distribuídas em S₁.

No caso geral da Figura 2.2, a tensão não se distribui uniformemente em S₁. Admita-se que o objectivo é determinar o valor da tensão que actua numa pequena área δA , pertencente à secção transversal S₁ e contendo o ponto O. As forças que actuam nessa área elementar, devidas à acção do material da parte C₂ sobre o material da parte C₁, podem ser reduzidas a uma resultante δQ. Se agora se contrair continuamente a área elementar δA , o valor limite da relação δQ/δA dará o valor da tensão que actua na secção transversal S₁ no ponto O, isto é,

t im A Q A = → l δ δ δ 0 _{. (2.1)}

A direcção de t é a direcção de δQ. No caso geral, a direcção da tensão é inclinada em relação ao plano sobre o qual actua, podendo, por isso, ser decomposta em duas componentes: uma tensão normal, σ , ortogonal ao plano, e uma tensão de corte, τ , tangencial ao plano, tal como se representa na Figura 2.3.

direcção perpendicular ao plano S1

σ

τ χ

S1

Figura 2.3 - Decomposição da tensão t numa componente normal, σ , e numa componente tangencial, τ , ao plano S₁.

Considere-se o corpo de volume infinitesimal (muito pequeno) dV , com forma de um paralelipípedo de lados dx₁, dx₂ e dx e em equilíbrio, representado na Figura 2.4. A tensão ₃ resultante, t , no ponto A pode ser decomposta nas tensões que actuam nas faces do referido elemento de volume e que está orientado segundo o sistema ortogonal ox x x_{1 2 3}. A notação para as componentes de tensão que actuam nas faces deste elemento e os sentidos tomados como positivos são os indicados na Figura 2.4.

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade A B D C H G E F σ τ 3 σ1 σ2 32 τ31 τ23 τ21 12 τ τ13 dx2 dx1 x3 dv = dx1×dx2 ×dx3 1 σ 2 σ σ3 τ τ31 32 21 τ τ23 12 τ 13 τ σ σ σ τ τ τ τ τ τ x 1 x x1 2 2 x 3 x 1 3 x x 2 x x₁ x x_{2 3} x x3 1 x x_{3 2} dx3 2 x 1 x

Figura 2.4 - Tensões que actuam num paralelepípedo de volume infinitesimal.

As tensões estão representadas por um conjunto de dois índices, em que o primeiro índice indica a direcção da normal ao plano em que actua a tensão e o segundo índice indica o eixo segundo o qual a tensão se exerce (notação de Von Karman). Assim, por exemplo, a tensão que actua perpendicularmente às faces BDHF e ACGE será indicada por σ₁₁ (tensão segundo o eixo dos x₁ actuando num plano ortogonal a esse eixo). As componentes normais,

σ11, σ22 e σ33 serão consideradas positivas quando produzem tracção e negativas quando

produzem compressão.

Em cada plano, além da tensão normal, também actuam duas componentes de tensão de corte. Na notação adoptada, a tensão de corte, τ_ij, é a tensão na direcção de x_j actuando num plano perpendicular ao eixo dos x_i. Assim, a superfície BDHF está submetida às componentes de tensão σ₁₁, τ₁₂ e τ₁₃, enquanto as superfícies DCGH e EFHG estão submetidas às componentes σ₂₂, τ₂₁, τ₂₃ e σ₃₃, τ₃₁, τ₃₂, respectivamente, pelo que o estado de tensão no ponto A pode ser obtido a partir da entidade seguinte:

σ τ τ τ σ τ τ τ σ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (2.2)

que se denomina de tensor das tensões.

Considere-se o elemento de volume infinitesimal dV, de forma paralelepipédica representado na Figura 2.5. As tensões que actuam nas faces deste corpo estão ilustradas na figura. O operador genérico ∂σ_ij ∂x_j representa a variação da componente de tensão σ_ij com o incremento segundo o eixo x_j. Para que o elemento de volume se mantenha em equilíbrio é necessário que cumpra as condições de equilíbrio de forças segundo os eixos x , ₁ x e ₂ x : ₃

Σ

Σ

Σ

Q Q Q 1 2 3 0 0 0 = = = , (2.3)

e as equações de equilíbrio de momentos segundo os eixos x x₁, ₂ e x₃. Assim, considerando, por exemplo, a rotação do elemento de volume em relação ao eixo baricêntrico paralelo ao eixo dos x3 e calculando o momento em relação a esse eixo obtém-se (ver Figura 2.5),

21 12 2 3 1 2 2 21 21 2 3 1 21 1 3 2 1 1 12 12 1 3 2 12 0 2 2 2 2 τ τ τ τ τ τ τ τ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + dx dxdx dx dx d dx dx dx dx dx dx dx dx d dx dx dx (2.4a)

tendo-se desprezado as parcelas com infinitésimos de quarta ordem em face das parcelas com infinitésimos de ordem inferior.

σ1 σ2 τ23 τ21

dx

2

dx

1

dx

3

x

₃ 2

x

x

₁ τ 31 τ 32 3 ∂σ ∂x3 dx3 3 σ + 32 3 +∂τ_∂x dx3 3 ∂x3 ∂τ + 31 _dx 2 ∂x ∂τ + 23dx 2 1 ∂x ∂τ + 12 dx 1 12 τ 3 dx ∂τ31 ∂x3 13 τ + + ∂x dx1 1 1 ∂σ 2 21 ∂τ + ∂x dx2 + dx ∂x2 ∂σ 2 2 τ13 σ1 τ12 τ21 τ23 2 σ 31 τ τ32 3 σ

Figura 2.5 - Elemento de volume com dimensões infinitesimais dx₁, dx₂ e dx₃.

Procedendo-se de forma análoga em relação a eixos baricêntricos paralelos aos eixos dos x₂ e dos x₁ obtém-se:

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

τ13=τ31 (2.4b)

τ₂₃=τ₃₂ (2.4c)

respectivamente. Assim, das nove componentes do tensor das tensões, apenas seis componentes são distintas.

As forças exteriores que actuam sobre um corpo podem ser agrupadas nas denominadas forças de superfície, Q_S, e nas forças de massa ou de volume Q_V. As forças generalizadas (forças e momentos) aplicadas em pontos do contorno corpo ou distribuídas na sua superfície fazem parte das forças de superfície. As forças exercidas por outros corpos, a pressão hidrostática e a pressão do vento são exemplos de forças de superfície actuando sobre determinado corpo.

Conforme o nome sugere, as forças de massa ou de volume, Q_V, são proporcionais à massa ou ao volume do corpo. As forças que se exercem num determinado corpo devidas à aceleração da gravidade, as forças magnéticas e as forças de inércia (no caso do corpo estar em movimento) são exemplos de forças de massa ou de volume.

Considere-se então que o elemento de volume representado na Figura 2.5 está também sujeito às forças de volume com componentes Q_V,1, Q_V,2 e Q_{V ,3} segundo os eixos x₁, x₂ e x₃, respectivamente. Assim, a equação de projecção das forças exteriores na direcção do eixo x₁

conduz à seguinte expressão:

0 3 2 1 1 , 2 1 31 2 1 3 3 31 31 3 1 21 3 1 2 2 21 21 3 2 11 3 2 1 1 11 11 = + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + dx dx dx Q dx dx dx dx dx dx d dx dx dx dx dx dx d dx dx dx dx dx dx d V τ τ τ τ τ τ σ σ σ (2.5) resultando: d dx d dx d dx QV σ₁₁ τ τ 1 21 2 31 3 1 0 + + + _, = . (2.6a)

Estabelecendo as equações de projecção das forças exteriores na direcção dos eixos x2 e x3 obtém-se, d dx d dx dx QV τ12 σ ∂τ 1 22 2 32 3 2 0 + + + _, = (2.6b) e d dx d dx d dx QV τ13 τ σ 1 23 2 33 3 3 0 + + + , = , (2.6c)

respectivamente. As relações (2.6) denominam-se de equações de equilíbrio indefinido do corpo, também conhecidas por equações de Cauchy, que devem ser satisfeitas em cada ponto do interior do corpo. Em notação indicial estas equações resumem-se na seguinte:

d dx Q ji j V i σ + _, = 0 (2.7)

em que Q_V,i c/ i=1,…,3 representa as componentes das forças de volume por unidade de volume. Segundo a notação indicial a repetição de um índice num termo significa um somatório. Assim, em (2.7) dσ_ji /dx_j = dσ_1i /dx₁ + dσ_2i /dx₂ + dσ_3i /dx₃. Note-se que se

i= 1 então σ₂₁ e σ₃₁ representam tensões de corte, passando a representarem-se por τ₂₁ e

τ₃₁, respectivamente.

Na superfície de um corpo actuam forças de superfície Q_S com componentes Q_{S ,1}, Q_{S ,2} e Q_{S ,3} segundo os eixos x₁, x₂ e x₃, conforme se representa na Figura 2.6a.

x1 x b) 2 x₃ dA 1 σ τ 12 τ 13 τ₂₁ τ₃₁ τ₃₂ 3 σ σ₂ τ23 Q S,2 S,3 Q Q S,1 (a) dA dA cosα 3 2 x x1 n dA cosβ ^ β α γ dA cosγ dh (b)

Figura 2.6 - Corpo sujeito a forças de superfície.

Efectuando a projecção na direcção do eixo dos x₁ das forças exteriores que actuam no tetraedro representado na Figura 2.6 obtém-se a seguinte equação:

Q_S,1 dA ₁₁dAcos ₂₁ dAcos ₃₁ dAcos 1dh dA Q_V,1 .

3 0

−σ α τ− β τ− γ + = (2.8)

Diminuindo continuamente a altura dh do tetraedo obtém-se no limite

(

dh→ 0 :

)

Q_{S ,1}−σ₁₁cosα τ− _{2 1}cosβ τ− ₃₁cosγ = 0

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade ou

σ11cosα τ+ 21cosβ τ+ 31cosγ = QS,1. (2.9a)

As equações de projecção das forças exteriores (segundo os eixos x₂ e x ) obtém-se de ₃ maneira semelhante:

2 , 32

22

12cosα+σ cosβ+τ cosγ =QS

τ (2.9b)

3 , 33

23

13cosα+τ cosβ +σ cosγ =QS

τ . (2.9c)

As equações (2.9) são as de equilíbrio defenido do corpo, também conhecidas por equações de contorno. Estas equações devem ser satisfeitas em cada um dos pontos do contorno do corpo. Em notação indicial, as equações (2.8) reduzem-se à seguinte:

i s j jin =Q,

σ . (2.10)

em que n_j =

[

cosα cosβ cosγ

]

define a direcção (em relação ao referencial Ox₁x₂x₃) do versor normal à faceta em que actuam as forças exteriores de superfície .

S

Q

As equações (2.7) e (2.10) definem completamente o estado de tensão do corpo. Significa isto que, conhecidas as componentes da tensão num ponto, é possível, em função delas, determinar a tensão em qualquer elemento de superfície considerado nesse ponto, seja qual for a sua orientação.

2.5 - Deslocamento correspondente e deslocamentos generalizados

Os deslocamentos que ocorrem na maior parte das estruturas sob condições de serviço são pequenos quando comparados com as dimensões das estruturas. Neste trabalho considerar-se-á que as estruturas sofrem deslocamentos pequenos, i.e., infinitesimais.

Na Figura 2.7 representa-se um corpo submetido a um conjunto de forças Q_m. Em geral estas forças causam deslocamentos em todos os pontos do corpo, excepto nos que estão impedidos de se deslocar, por se encontrarem ligados ao exterior, como é o caso dos pontos A, B e C.

3 u 2 u u₁ Q_j Q₁ Q3 Q₄ Q₂ u 2 x x₃ x₁ A B C uQ_j u_j j α

Figura 2.7 - Deslocamentos num corpo submetido a um conjunto de forças Q_m.

O deslocamento num determinado ponto i, de coordenadas x_1,i, x_2,i, x_3,i denotar-se-á por u_i e é constituído pelas seguintes componentes no sistema de eixos 0x1x2x3:

{

}

T i i i i i i i u u u u u u u _{1, 2, 3,} , 3 , 2 , 1 = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = (2.11)

que é usualmente denominado de vector dos deslocamentos do ponto i. Note-se que o vector deslocamento do ponto j , u , não tem, em geral, a direcção de Q_{j j} (força aplicada no ponto j ). A componente de u_j na direcção de Q_j (u ) obtém-se por intermédio da seguinte Q_j equação: α cos j Q j u u = , (2.12)

sendo correntemente denominado de deslocamento correspondente. Em qualquer ponto do corpo existe, em geral, além dos deslocamentos u , também rotações

θ

. No caso de um corpo tridimensional o vector da rotação de determinado ponto tem três componentes de rotação, uma segundo cada eixo do referencial 0x x x_{1 2 3}:

{

}

θ = θ θ θ1 2 3

T

. (2.13) Assim, no caso geral, em determinado ponto de um corpo desenvolvem-se três deslocamentos

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade U u u u u T = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ 1 2 3 1 2 3 1 24 34 12θ θ θ4 34 θ (2.14)

{ }

U= ⎧⎨u u T ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= θ θ (2.15)

em que U é correntemente denominado de vector dos deslocamentos generalizados.

2.6 - Extensões

2.6.1 - Extensões normais

Considere-se um corpo com comportamento unidimensional, como é o caso da barra representada na Figura 2.8.

Secção

Transversal

x

₁

_Q

1

A

A'

B

B'

1

dx

u

_1B

_{= u}

_1A

₊

du

1 1

dx

( )

dx

1

l

l'

Figura 2.8 - Barra sujeita a tracção uniaxial.

Esta barra tem um comprimento inicial _{l e está submetida a uma força Q na sua extremidade} direita e encontra-se fixa na sua extremidade esquerda. Como a força Q está dirigida segundo o eixo da barra, denominado de eixo 0x₁, atribui-se a designação de Q₁ à força aplicada. Devido à actuação da carga Q₁, a barra sofre um alongamento segundo o seu eixo. Por exemplo, a secção A move-se para A’ ocorrendo um deslocamento u_1A= e a secção B u₁ move-se para B’ desenvolvendo um deslocamento u_1B=u₁+

(

du₁/dx₁

)

dx₁. Desta forma, a coordenada atribuída à secção A’ (x_1A') será igual à coordenada atribuída à secção A (x_1A) mais o deslocamento u₁, isto é, x_1A'=x_1A+u₁, enquanto a coordenada atribuída à secção B’ (x_1B') será igual à coordenada atribuída à secção B (x_1B) mais o deslocamento que B sofre ao deslocar-se para B’, isto é, x_1B'=x_1B+u₁+

(

du₁/dx₁

)

dx₁.

O comprimento do elemento de barra entre A' e B' , A B' ' , será obtido efectuando a diferença entre x_1B' e x_1A':

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1 ' 1 / / ' ' dx dx du dx u x dx dx du u dx x x u x x x B A A A A B B A B + = + − + + + = − + = − = . (2.16)

Assim, a extensão normal que a barra sofre segundo o seu eixo,

ε

₁₁, obtém-se por intermédio da seguinte relação:

(

)

[

]

1 1 1 1 1 1 1 1 11 / ' ' dx du dx dx dx dx du dx AB AB B A AB segmento do inicial o compriment AB segmento do o compriment de aumento = − + = − = = ε . (2.17a)

Se du dx_{1 1} for constante ao longo do comprimento da barra, então,

( )

l l l l l l l − = − − = − = ' 0 ' 1 1 1

1 u na extremidadelivre u na extremidade fixa

dx du

em que _{l' é o comprimento da barra após a sua deformação. Sendo}

ε

₁₁ a extensão segundo o eixo x₁, que é o eixo da barra, atribui-se a esta extensão a designação de extensão axial, longitudinal, ou normal.

As componentes de extensão segundo o eixo x₂, ε₂₂, e segundo o eixo x₃, ε₃₃, determinam-se efectuando procedimento semelhante ao descrito, obtendo-se,

ε₂₂ 2 2 = du dx (2.17b) e ε33 3 3 = du dx . (2.17c)

As extensões

ε ε

₁₁, ₂₂ e

ε

₃₃ designam-se correntemente por extensões normais.

2.6.2 - Extensões de corte

Considere-se três pontos OAB do corpo descarregado representado na Figura 2.9a. Admita-se que esses três pontos definem dois segmentos de recta ortogonais, tal como se representa na Figura 2.9a. Solicite-se agora esse corpo com um conjunto de forças exteriores. Sob estas acções o corpo deforma-se, passando os pontos OAB para O’’A’’B’’. Da configuração indeformada OAB para a configuração deformada final O’’A’’B’’ pode existir uma configuração deformada intermédia O’A’B’ (ver Figura 2.9b). Nesta configuração deformada intermédia podem ocorrer extensões dos segmentos OA e OB mas não haverão distorções, dado que o segmento O A' ' mantém-se ortogonal ao segmento O B' '. Assim, o

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade desenvolvimento de distorções ou extensões de corte realiza-se durante a passagem da configuração O’A’B’ para a configuração O’’A’’B’’.

O A B a) Configuração indeformada O B A O' A' B' O'' B'' A'' 1 Q Q₃ 2 Q Configuração deformada b)

Figura 2.9 - Corpo descarregado (configuração indeformada), (a), e corpo carregado (configuração deformada) (b).

Pode-se então definir como extensão de corte num ponto a variação do valor do coseno do ângulo realizado por dois segmentos de recta que, no estado do corpo indeformado, formam um ângulo recto entre si.

Se os pontos O, A e B estiverem inscritos no plano x x_{1 2} (ver Figura 2.10), então

γ

₁₂ representa a extensão de corte no ponto O do plano x x_{1 2}.

B O A dx2 1 dx A' B' O' O'' A'' B'' θ1 θ2 π 2 __ _γ 12 du dx1 2 1 dx dx du dx 1 2 2 dx + (du / dx ) dx1 1 u 1 1 1 d x + (d u / d x ) d x u2 2 2 2 2 X1 2 X

Figura 2.10 - Extensão de corte no plano x x_{1 2}.

Assim,

(

)

12 sin 12 2 cos '' '' '' cos π γ ⎟= γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = B O A . (2.18a)

Como se admite pequenos deslocamentos e pequenas deformações então sinγ₁₂ ≅γ₁₂, pelo que:

(

)

cos A O B'' '' '' ≅γ₁₂. (2.18b)

Além disto sabe-se que:

(

)

'' 3 ' 3 '' 3 '

3sin sin cos

cos '' '' '' cos A O B = θ θ + θ θ (2.19a) e

(

)

(

)

'' '' / sin ; '' '' / 1 cos ' 2 1 1 3 1 1 1 ' 3 A O dx x u A O dx x u ∂ ∂ θ ∂ ∂ θ = + = (2.19b)

(

)

(

)

'' '' / 1 cos ; '' '' / sin '' 2 2 2 3 2 2 1 '' 3 B O dx x u B O dx x u ∂ _θ ∂ ∂ ∂ θ = = +

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade pelo que:

(

)(

)

γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 12 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 = ⎛ + ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ + ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ u x u x u x u x dx dx O A'' '' O B'' '' . (2.20) Sabe-se ainda que:

1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 '' '' dx x u x u x u dx dx x u dx x u dx A O ≅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.21a)

dado que ∂u_i/∂x_j « 1 . Pelo mesmo raciocínio,

O B'' ''≅dx₂. (2.21b) Substituindo (2.21) em (2.20) obtém-se: 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 12 x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ = + + + . (2.22)

Se além dos deslocamentos u₁ e u₂ se se considerar também o deslocamento u₃ obtém-se:

2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 12 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ = + + + + . (2.23a)

Desenvolvendo para os planos x x_{1 3} e x x_{2 3} procedimento análogo ao acabado de realizar para o plano x x_{1 2} obtém-se:

3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 1 3 3 1 13 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ = + + + + (2.23b)

para extensão de corte no ponto O no plano x x_{1 3} e

3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 23 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ = + + + + (2.23c)

para extensão de corte no ponto O no plano x x_{2 3}.

2.6.3 - Tensor das extensões

Considere-se dois pontos A e B de um corpo sólido tridimensional, sendo ds a distância entre estes dois pontos (ver Figura 2.11).

X2 3 X X1 X'2 1 X' X2 1 X 3 X X'3 u2 u 1 dx 3 dx 2 dx ds 1 u B A ds' 3 u dx'2 1 dx' dx'3 A' B'

Sólido indeformado Sólido deformado

Figura 2.11 - Deformação de um elemento definido por dois pontos (A e B) de um corpo.

Ao corpo é aplicado um conjunto de forças que lhe induzem um estado de deformação. Como resultado, o ponto A move-se para A’ e o ponto B para B’. As coordenadas iniciais dos pontos A e B são x x x₁, ₂, ₃ e x₁+dx x₁, ₂+dx x₂, ₃+dx₃, respectivamente. Após a deformação as coordenadas destes pontos (A’ e B’) passam a ser x' , ' , '₁ x₂ x₃ e

x'₁+dx' , '₁ x₂+dx' ,₂ x₃+dx'₃, respectivamente, conforme se representa na Figura 2.11. O

comprimento ds do segmento que une os pontos A e B, no corpo indeformado, é obtido por intermédio da seguinte relação:

ds2 = dx₁2+dx₂2+dx₃2. (2.24)

Durante a deformação do corpo, este segmento varia de comprimento e de inclinação. O novo segmento, que liga os pontos A’ e B’, no corpo deformado, tem comprimento ds' obtido por

ds'2 dx' dx' dx' 1 2 2 2 3 2 = + + . (2.25)

O deslocamento do ponto A para A’ é caracterizado pelo vector u, que tem as seguintes componentes: u x x u x x u x x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 = − = − = − ' ' ' . (2.26)

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade du u x dx u x dx u x dx du u x dx u x dx u x dx du u x dx u x dx u x dx 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 = + + = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.27)

constituem as componente do vector d u. Substituindo (2.26) em (2.25) obtém-se: ds'2 dx dx dx du dx du dx du dx du du du . 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 = + + + + + + + + (2.28)

Considerando a relação (2.24), a equação (2.28) reduz-se à seguinte:

(

)

ds'2−ds2 = 2 du dx_{1 1}+du dx_{2 2}+du dx_{3 3} +du₁2+du₂2+du₃2. (2.29) Substituindo (2.27) em (2.29) obtém-se: 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 1 3 3 1 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ' dx dx x u x u x u x u x u x u x u x u dx dx x u x u x u x u x u x u x u x u dx dx x u x u x u x u x u x u x u x u dx x u x u x u x u dx x u x u x u x u dx x u x u x u x u ds ds ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (2.30a)

Note-se que ds,2−ds2 é nulo se não ocorrer deslocamento relativo entre os pontos A e B quando estes se movem para A’ e B’ durante a deformação imposta pelas forças exteriores que actuam no corpo. Esta situação corresponderia a um movimento de corpo rígido. Para

ds,2−ds2 diferente de valor nulo, o segmento AB mudou de comprimento, i.e., o sólido deforma-se. Assim, ds,2−ds2 pode ser escolhido como uma medida apropriada da deformação do sólido. Para definir as componentes de extensão, transforma-se a equação

3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 2 4 4 4 2 2 2 ' dx dx dx dx dx dx dx dx dx ds ds ε ε ε ε ε ε + + + + + = − (2.30b) em que, ε11 ∂_∂ ∂_∂ ∂_∂ ∂_∂ 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ u x u x u x u x (2.31a) ε22 ∂_∂ ∂_∂ ∂_{∂ ∂}∂ 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ u x u x u x u x (2.31b) ε33 ∂_∂ ∂_∂ ∂_∂ ∂_∂ 3 3 1 3 2 2 3 2 3 3 2 1 2 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ u x u x u x u x (2.31c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ + + +} = = 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 12 12 2 1 2 1 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ε (2.31d) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = = 3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 23 23 2 1 2 1 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ε (2.31e) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = = 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 3 1 1 3 31 31 2 1 2 1 x u x u x u x u x u x u x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ε (2.31f)

que em notação indicial se converte para:

(

)

ε_ik = 1 u_{i k} + u_{k i} + u u_{i k}

2 , , l, l, (2.32)

em que u_{i k,} representa a derivada de u_i em relação a x , i.e., _k

u u x i k i k , = . ∂ ∂ (2.33)

Se as componentes de extensão forem conhecidas, as relações extensão-deslocamento estabelecidas em (2.31) ou (2.32) constituem um sistema de equações não lineares de derivadas parciais nas incógnitas deslocamentos.

A entidade

ε

_ik estabelecida em (2.32) denomina-se de tensor das extensões de Green, apesar de ser usualmente considerada como tendo sido introduzida por Green e Saint-Venant. Em engenharia utiliza-se, correntemente, em vez de ε_ik

(

c i/ ≠ k

)

o

γ

_ik, em que

γik = 2εik p i/ ≠k (2.34)

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Em estruturas que desenvolvam deslocamentos grandes é necessário utilizar o tensor das extensões estabelecido nas equações (2.31). No caso de estruturas que desenvolvam deslocamentos pequenos, os termos infinitesimais de segunda ordem de (2.31) podem ser desprezados face aos termos de primeira ordem, resultando

3 , 1 1 , 3 3 1 1 3 31 2 , 3 3 , 2 2 3 3 2 23 1 , 2 2 , 1 1 2 2 1 12 3 , 3 3 3 33 2 , 2 2 2 22 1 , 1 1 1 11 u u x u x u u u x u x u u u x u x u u x u u x u u x u + = + = + = + = + = + = = = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε (2.35)

ou, em notação indicial,

(

)

εik = ui k + uk i

1

2 , , . (2.36)

As componentes de extensão (2.31) podem ser agrupadas no denominado tensor das extensões de Cauchy que apresenta a constituição seguinte:

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 21 12 31 13 c/ , e

ε

₃₂ =

ε

₂₃. (2.37)

sendo apenas seis as componentes independentes. Note-se que as equações (2.35) são agora lineares.

2.7 - Equações de compatibilidade

Apesar de ser necessário conhecer o valor das seis componentes do tensor das extensões, (2.37), as equações (2.35) ou (2.36) contêm apenas três componentes de deslocamento:u u u₁, ₂, ₃. Assim, este sistema de equações não possui uma solução única, pelo que as componentes independentes do tensor das extensões deverão satisfazer algumas condições adicionais. Considere-se, por exemplo, a derivada de γ₁₂ em relação a x₁ e x₂:

∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 12 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x u x x x u x = + . (2.38)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 2 2 1 f x x f x x = (2.39) pelo que, 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 12 2 x u x x u x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ _{= +} . (2.40)

Como ε₁₁= u∂ ₁/∂x₁ e ε₂₂= u∂ ₂/∂x₂ então (2.40) reduz-se à seguinte relação:

∂ γ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ 2 12 1 2 2 11 2 2 2 22 1 2 x x = x + x (2.41a)

o que significa que para se obter uma solução única no campo dos deslocamentos as extensões não podem ser independentes entre si. Por raciocínio semelhante obter-se-iam as seguintes restantes equações de compatibilidade:

2 2 33 2 2 3 22 2 3 2 23 2 x x x x ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ γ ∂ _{= +} (2.41b) 2 3 11 2 2 1 33 2 1 3 31 2 x x x x ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ γ ∂ _{= +} (2.41c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛_{− + −} = 2 31 1 23 3 12 3 2 1 33 2 2 x x x x x x ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ (2.41d) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛_{− + +} = 3 12 2 31 1 23 1 3 2 11 2 2 x x x x x x ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ (2.41e) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = 1 23 3 12 2 31 2 1 3 22 2 2 x x x x x x ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ (2.41f)

2.8 - Relações tensão-extensão para materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos

Considere-se que a barra representada na Figura 2.12 é constituída por um material homogéneo, isotrópico, com comportamento elástico e linear.

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade X3 X2 X1 1 l 2 l 3 l 11 11

Figura 2.12 - Barra sob estado de tensão uniforme

σ

₁₁.

Se nas faces x₁= l e x_{1 1} = for aplicado um estado de tensão uniforme 0 σ₁₁, sabe-se, pelas experiências realizadas por Robert Hooke, que a barra alongará de uma quantidade ∆l₁, sofrendo assim uma extensão

ε11 1 1

= ∆l

l (2.42)

que se relaciona com a tensão

σ

₁₁ por intermédio da denominada lei de Hooke:

σ

₁₁ = E

ε

₁₁ (2.43)

sendo E o módulo de elasticidade longitudinal do material. Sob o estado de tensão σ₁₁, além da extensão ε₁₁, desenvolvem-se extensões nas direcções x₂ e x₃,

2 2 22 l l ∆ = ε , 3 3 33 l l ∆ = ε (2.44)

devidas à variação das dimensões da barra nas direcções x₂ e x₃, conforme se representa na Figura 2.13.

1 x l3 1 l2 l x3 2 x

Figura 2.13 - Deformações na barra impostas pelo estado de tensão

σ

₁₁.

As extensões ε₂₂ e ε₃₃ relacionam-se com a extensão ε₁₁ por intermédio das seguintes relações: E 11 11 22 σ υ ε υ ε =− =− , E 11 11 33 σ υ ε υ ε =− =− (2.45)

em que υé o coeficiente de Poisson. Para os materiais mais utilizados nas estruturas de Engenharia Civil o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade longitudinal destes materiais é sensivelmente igual em tracção e em compressão. Nos betões correntes o E varia entre 25 a 40 GPa, enquanto o υ varia de 0.15 a 0.2. Por sua vez o aço apresenta um E

variando de 190 a 210 GPa e um υde aproximadamente 0.3.

Se a barra representada na Figura 2.12 estiver submetida nas suas faces à acção simultânea de um campo de tensões uniforme σ₁₁, σ₂₂ e

σ

₃₃, desenvolvem-se as seguintes extensões:

(

)

[

11 22 33

]

11 1 _{σ υσ σ} ε = − + E (2.46a)

(

)

[

22 33 11

]

22 1 _{σ υσ σ} ε = − + E (2.46b)

(

)

[

33 11 22

]

33 1 σ σ υ σ ε = − + E (2.46c)

em que se aplicou o princípio da sobreposição dos efeitos dado tratar-se de um material com comportamento linear e elástico. Assim, as expressões (2.46) podem ser obtidas adicionando os efeitos produzidos pela actuação separada de σ₁₁ , σ₂₂ e σ₃₃. Sob a actuação de σ₁₁ desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão:

ε₁₁ σ11 ε υσ ε υσ 22 11 33 11 = = − = − E ; E ; E . (2.47a)

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Sob a acção de σ₂₂ ocorrem as seguintes componentes de extensão:

ε11 υσ ε σ ε υ σ 22 22 22 33 22 = − = = − E ; E ; E . (2.47b)

Finalmente, sob a actuação de σ₃₃ desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão:

ε11 υσ ε υσ ε σ 33 22 33 33 33 = − = − = E ; E ; E . (2.47c)

Adicionando os correspondentes termos de (2.47) obtêm-se as expressões (2.46).

As equações (2.46) definem completamente o estado de deformação de um corpo sujeito às tensões normais

σ

₁₁ ,

σ

₂₂ e σ₃₃. Sob estas tensões o corpo sofre apenas extensões normais

ε

₁₁ ,

ε

₂₂ e

ε

₃₃. Assim, se o corpo indeformado for um paralelepípedo, ainda o será após a deformação a que for submetido sob o estado de tensão constituído pelas componentes σ₁₁ ,

σ₂₂ e σ₃₃. Pode-se provar que em corpos constituídos por material isotrópico e com comportamento linear e elástico, as componentes de tensão normal σ₁₁ , σ₂₂ e σ₃₃ apenas produzem extensões normais ε₁₁ , ε₂₂ e ε₃₃. Nestes mesmos corpos as componentes de tensão de corte τ₁₂ , τ₂₃ e τ₃₁ apenas induzem extensões de corte γ₁₂ , γ₂₃ e γ₃₁, que se relacionam por intermédio das seguintes equações:

γ₁₂ τ12 γ τ γ τ 23 23 31 31 = = = G ; G ; G (2.48) em que

(

)

G = E + 2 1 υ (2.49)

é o módulo de elasticidade transversal do material.

Se o prisma representado na Figura 2.12, além de solicitado pela tensão

σ

₁₁, estiver submetido a uma variação de temperatura ∆t desenvolvem-se as seguintes extensões:

ε₁₁ = σ11 +α E ∆t (2.50a) ε22 υσ α 11 = − + E ∆t (2.50b) ε33 υσ α 11 = − + E ∆t (2.50c)

em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material com valor da ordem de 10-5 para os betões e para os aços. Se o corpo estiver submetido, simultaneamente, a tensões σ₁₁ , σ₂₂ e

(

)

[

]

t E − + + ∆ = σ υσ σ α ε11 11 22 33 1 , (2.51a)

(

)

[

]

t E − + + ∆ = σ υσ σ α ε22 22 33 11 1 , (2.51b)

(

)

[

]

t E − + + ∆ = σ υσ σ α ε₃₃ 1 _{33 11 22} . (2.51c)

Um corpo tridimensional submetido a tensões normais σ₁₁ , σ₂₂ e σ₃₃ e tensões de corte

τ₁₂ , τ₂₃ e τ₃₁ desenvolve extensões normais ε₁₁ , ε₂₂ e ε₃₃ e extensões de corte γ₁₂ , γ₂₃ e γ₃₁ que em notação matricial se relacionam por intermédio da seguinte expressão:

(

)

(

)

(

)

ε ε ε γ γ γ ν ν ν ν ν ν ν ν ν σ σ σ τ τ τ 11 22 33 12 23 31 11 22 33 12 23 31 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = − − − − − − + + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ E (2.52a) ou

ε

= C

σ

(2.52b) em que

{

}

T 31 23 12 33 22 11 ε ε γ γ γ ε ε= (2.53)

é o vector das componentes de extensão,

{

}

T 31 23 12 33 22 11 σ σ τ τ τ σ σ= (2.54)

é o vector das componentes de tensão e C é a matriz de flexibilidade do elemento. Se além de submetido ao estado de tensão caracterizado pelo vector σ, o corpo estiver também sujeito a uma variação de temperatura de valor ∆t, a expressão (2.52b) passará a apresentar a seguinte configuração: ε =C σ +C_t (2.55) em que

{

}

T t t C =α∆ 1 1 1 0 0 0 (2.56)

é o vector correspondente à extensão de origem térmica. Invertendo a relação (2.52) obtém-se: σ ε ε = = − C D 1 (2.57)

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

(

)(

)

D= E + − − − − − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ . (2.58)

À relação (2.57) também é corrente atribuir-se a designação de lei constitutiva do material, dado que D inclui as propriedades do material, que no presente caso se admite ter comportamento linear e elástico.

Se o corpo também estiver submetido a variação de temperatura ∆t , a sua lei constitutiva obtém-se invertendo a equação (2.55), resultando:

σ = Dε + D_t (2.59) em que

{

}

T t t E D 1 1 1 0 0 0 2 1 υ α − ∆ − = (2.60)

é o vector que fornece as componentes de tensão de origem térmica.

Existem estruturas que, pelo seu modo de funcionamento, podem ser consideradas como estando submetidas a estado plano de tensão ou a estado plano de deformação. As vigas altas e as paredes são exemplos de estruturas submetidas a estado plano de tensão, dado que é nula a tensão normal ao plano da estrutura, σ₃₃ =0. Por sua vez, os túneis, as barragens de elevado comprimento longitudinal e os muros de suporte de terras são exemplos de estruturas que podem ser consideradas sob estado plano de deformação, dado que é nula a extensão normal ao plano da estrutura, ε₃₃ =0.

Estado Plano de Tensão

Uma estrutura é considerada em estado plano de tensão se for geometricamente plana e se for nula a tensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por exemplo, no plano definido pelos eixos 0x₁ e 0x₂, então

σ

₃₃=

τ

₂₃=

τ

₃₁=0, dado que as acções que solicitam essa estrutura actuam no plano da estrutura, isto é, no plano x x_{1 2}. Neste caso as relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração:

(

)

ε ε γ υ υ υ σ σ τ α 11 22 12 11 22 12 1 1 0 1 0 0 0 2 1 1 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ E ∆t , (2.61)

σ σ τ υ υ υ υ ε ε γ α υ 11 22 12 2 11 22 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 1 1 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − ₋ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ E E ∆t . (2.62)

Note-se que em estado plano de tensão a extensão

ε

₃₃ pode ser diferente de zero, sendo o seu valor obtido atribuindo o valor nulo a

σ

₃₃ na equação (2.46c) resultando:

(

)

ε_{33 = −}υ σ11 +σ22

E . (2.63)

Se a estrutura estiver submetida a uma variação de temperatura ∆t , será adicionado o termo

α

∆ta (2.63).

Estado Plano de Deformação

Uma estrutura é considerada em estado plano de deformação se for geometricamente plana e se for nula a extensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por exemplo, no plano definido pelos eixos 0x e 0₁ x , então ₂ ε₃₃= γ₂₃= γ₃₁= . Neste caso, as 0 relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte constituição:

(

)

ε ε γ υ υ υ υ υ σ σ τ υ α 11 22 12 11 22 12 1 1 0 1 0 0 0 2 1 1 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = + − − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ E ∆t , (2.64)

(

)(

)

σ σ τ υ υ υ υ υ υ υ ε ε γ α υ 11 22 12 11 22 12 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 2 2 1 2 1 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = + − − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ E E ∆t . (2.65)

Note-se que em estado plano de deformação σ₃₃ pode ser não nula. O seu valor é obtido a partir da equação (2.46c) tendo em conta que agora ε₃₃ = , pelo que: 0

(

)

[

]

0= 1 ₃₃− ₁₁+ ₂₂ E σ υ σ σ (2.66a) resultando

(

)

σ

33 =

υ σ

11+

σ

22 . (2.66b)

Estado de tensão e de deformação unidimensional

As barras de estruturas articuladas, isto é, de estruturas constituídas por barras com rótulas nas suas extremidades estão submetidas ao caso mais simples de estado de tensão e de extensão, dado que só têm uma componente de tensão e correspondente componente de

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade extensão. Assim, se o eixo da barra se orientar segundo o eixo x₁ e se a barra tiver um comprimento muito superior às dimensões de qualquer uma das possíveis secções transversais (de forma a desprezar as extensões

ε

₂₂ e

ε

₃₃), as barras de uma estrutura articulada estarão submetidas a estado unidimensional de tensão e de extensão, dado que

σ

₂₂=

σ

₃₃ =

τ

₁₂=

τ

₂₃=

τ

₃₁= 0 e ε₂₂ = ε₃₃ = γ₁₂ = γ₂₃ =γ₃₁ = . Neste caso as equações 0 (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração:

ε11 σ11 α 1 = + E ∆ (2.67) t e σ11= Eε11−Eα∆ (2.68) t