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Roteiro de Estudos – OBMEP NA ESCOLA
Grupo N2 – Ciclo 1
1ª semana: encontro de formação: Professores da Educação Básica e Coordenadores
Nesse encontro, antecedendo as aulas a serem ministradas aos alunos, espera-se que sejam discutidos os conteúdos, as estratégias para o desenvolvimento dos estudos e os materiais de apoio ao ensino que foram disponibilizados. Dois aspectos fundamentais devem ser enfatizados nesse encontro:
- a metodologia a ser utilizada no Programa OBMEP na Escola se baseia no ensino da matemática através da resolução de problemas. Assim, a seguir foram fornecidas listas de questões, uma a cada encontro presencial, que devem ser trabalhadas junto aos alunos. Espera-se que ao longo desse trabalho uma discussão qualitativa sobre conceitos e resultados correlatos aos assuntos em foco seja estimulada;
- o aluno deve ter o pleno conhecimento de que a atividade presencial é apenas o início do processo de ensino inerente ao ciclo. Não é esperado que essa atividade presencial seja amplamente abrangente e conclusiva quanto a formação do aluno em relação aos conteúdos abordados. Então, os materiais presentes no Portal da Matemática irão complementar essa ação formativa. Logo, o aluno deve ser claramente informado da existência do Portal, dos materiais complementares lá existentes e da forma de acesso a esse ambiente virtual. As atividades presenciais e virtuais se complementam e cabe ao professor enfatizar isso junto aos alunos, incentivando continuamente a participação dos alunos nas atividades presentes no Portal. Salientamos que não é aceitável atitudes que se omitam de buscar essa parceria entre ações presenciais e virtuais.
- Assuntos a serem abordados:
Encontro 1:
Paridade.
Representações e operações numéricas: naturais, inteiros, racionais e reais.
O sistema decimal.Encontro 2:
Divisão Euclidiana.
Fenômenos periódicos: padrões numéricos. Números primos e fatoração.
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- Material de apoio ao professor:
Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar.
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
- Materiais complementares presentes no Portal da Matemática: Sobre Paridade:
Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade” (http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53) videoaulas: “Problemas envolvendo paridade”, “Problemas com dominós”, “Dominós, pesagens e outros problemas”.
Sobre Sistema Decimal:
Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade” (http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53) videoaulas: “Sistema de numeração decimal”.
Sobre Divisão Euclidiana:
8º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana”
(http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=33) videoaulas: “Teorema da Divisão Euclidiana”.
Sobre Números Primos:
8º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Números Naturais: Representação, Operações e Divisibilidade”
(http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=52) videoaulas: “Números Primos: Teorema Fundamental da Aritmética”.
ENCONTRO 1
2ª semana: aula para alunos convidados
-
Assuntos a serem abordados: Paridade. Representações e operações numéricas: naturais, inteiros, racionais e reais. O sistema decimal.
Página 3 de 13 Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar.
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
A seguir estamos disponibilizando uma lista com oito exercícios. O Professor deverá discutir esses exercícios com seus alunos, acompanhando e auxiliando no entendimento das estratégias de resoluções apresentadas pelos alunos. É importante incentivar o envolvimento coletivo de todos nessas discussões das resoluções, cabendo ao Professor enfatizar e aprofundar os conhecimentos matemáticos associados às questões apresentadas. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, então cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados, nesse sentido a apostila indicada será um elemento auxiliar importante.
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 1
Os exercícios 1, 2 e 3 objetivam explorar o conjunto dos números naturais através da sua divisão entre números pares e ímpares. Observamos que a análise da paridade dos números pode ser utilizada na solução de vários problemas interessantes. Os exercícios 4 e 5 visam despertar a atenção dos alunos quanto às representações e operações numéricas fundamentais envolvendo números naturais, inteiros, racionais e reais. Por fim, os exercícios 6, 7 e 8, contribuem para um correto entendimento do sistema posicional de numeração. É esperado que os alunos observem que na representação decimal de um número, a posição de um algarismo interfere em seu valor relativo. As soluções dos exercícios serão apresentadas ou indicadas a seguir.
EXERCÍCIO 1. Você pode encontrar cinco números ímpares cuja soma seja 100? Justifique a sua resposta.
(Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 4)
EXERCÍCIO 2.Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192. Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou escritos nas folhas. Esta soma poderia ser igual a 1990? Justifique a sua resposta. (Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 6)
EXERCÍCIO 3. Determine a paridade do número
27
9997321 1001 321876
Página 4 de 13 Sugestão: Como as potências são grandes esqueça a calculadora....incentive o aluno a observar que a potência inteira positiva de um número mantém a sua paridade.
EXERCÍCIO 4. Na abertura de um hipermercado, os uniformes dos funcionários são numerados conforme eles forem contratados. O primeiro a ser contratado terá uniforme numerado com o 1, o segundo com o 2 e assim por diante com a numeração aumentando de 1 em 1. Cada funcionário irá utilizar apenas um uniforme, com a respectiva numeração por ele obtida no ato de sua contratação. Sabendo que há 406 funcionários e, que a cada cinco algarismos estampados sequencialmente nos uniformes, será necessário utilizar um litro de tinta fluorescente, então quando litros de tinta serão necessários para pintar os algarismos dos números presentes em todos os uniformes?
EXERCÍCIO 5. Dois meses atrás o prefeito de uma cidade iniciou a construção de uma nova escola. No primeiro mês foi feito
3 1
da obra e no segundo mês mais 3 1
do que faltava. Determine o número racional que corresponde à parte da obra que ainda não foi construída.
(Esse exercício encontra-se na apostila “Banco de Questões 2005”, nível 2, questão 18)
EXERCÍCIO 6. Retire 10 dígitos do número 1234512345123451234512345 de modo que o número remanescente seja o maior possível?
(Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 11)
EXERCÍCIO 7. Encontre o menor número natural de nove algarismos cuja soma desses algarismos seja 59. Você poderá utilizar algarismos repetidos em suas simulações.
Sugestão: Esse número não poderá começar por zero e quanto mais zeros pudermos utilizar melhor pois desejamos o menor número nas condições exigidas.
Página 5 de 13 (a) Construa todos os números com dois algarismos distintos possíveis de serem
formados com os algarismos A, 2 e C.
(b) Sabendo que a soma de todos os números obtidos no item (a) é 132, determine o valor da soma A+C.
SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 1
EXERCÍCIO 1. Suponha que existam 5 números impares cuja a soma é 100, isto é,
Como a soma de dois números ímpares é um número ímpar, temos
Como a soma de dois números pares é um número par, obtemos
Como a soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar, concluímos
Página 6 de 13 Portanto, concluímos que a soma de 5 números ímpares não pode ser 100, visto que 100 não é um número ímpar.
EXERCÍCIO 2. Em cada página, de um lado está escrito um número par e do outro lado está escrito um número ímpar. Assim, Vitor somou 25 números pares (obtendo um número par) e somou 25 números ímpares (obtendo um número ímpar). Como a soma de um número par e um ímpar é um número ímpar, esta soma não pode ser igual a 1990.
EXERCÍCIO 3. No primeiro parêntesis, há uma diferença entre um ímpar e um par resultando, portanto, em um número ímpar. No segundo, há uma soma de dois ímpares, resultando em um par. Como um número elevado a um expoente tem sua paridade preservada (usando a sugestão), temos uma soma de um número ímpar (primeiro parêntesis) com um par (segundo parêntesis). Disto, o número obtido ao final é ímpar.
EXERCÍCIO 4. Analisemos as utilizações de algarismos nas numerações: - de 1 a 9 são necessários 9 algarismos.
- de 10 a 99 temos 90 números de dois algarismos: 2x90=180 algarismos. - de 100 a 406 temos 307 números de três algarismos: 3x307=921 algarismos. Logo, a quantidade total de algarismos é de 921+180+9=1110. Assim, serão necessários 222
5 1110
= litros de tinta.
EXERCÍCIO 5. No primeiro mês foi construído 3 1
da escola, restando assim,
3 2 3 1 3 3 1
1 da escola para serem construídos. Logo, no segundo mês foi
construído 3 1 dos 3 2 restantes, isto é, 9 2 3 3 2 1 3 2 3 1
da escola. Logo, nos dois meses
foram construídos 9 5 9 2 3 9 2 3 1
da escola. Portanto, falta construir
9 4 9 5 9 9 5 1 da escola.
EXERCÍCIO 6. Nosso objetivo é ter o maior número possível de algarismos iguais a 5 à esquerda. Para isso podemos retirar a sequência inicial 1234, deixando um 5, isto é,
Página 7 de 13 Continuando nosso raciocínio, retiramos a próxima sequência 1234, obtendo o número
1234512345123451234512345.
Está ação é possível, pois até o momento retiramos apenas 8 dígitos. Se tivéssemos deixado algum dos algarismos diferente de 5 à esquerda, o nosso número não seria o maior. Entretanto, não podemos obter outro 5, visto que para tanto teríamos que retirar 12 algarismos do nosso número inicial, o que não é permitido. Assim sendo, neste momento podemos retirar apenas 2 algarismos. Logo, retiramos os dois próximos algarismos pequenos, isto é, a sequência 12, obtendo
1234512345123451234512345.
Portanto, o maior número que conseguimos obter retirando 10 algarismos do número 1234512345123451234512345 é o número
553451234512345.
EXERCÍCIO 7. Considere um número de 9 algarismos, conforme indicado abaixo: __ __ __ __ __ __ __ __ __
Como queremos o menor possível, na primeira casa, da esquerda para a direita, devemos ter 1 (0 ou 1). De fato, o algarismo 0 não pode ser escolhido, pois neste caso o número teria oito e não nove algarismos.
Logo, começamos com o preenchimento: 1 __ __ __ __ __ __ __ __
No restante, como sobraram oito algarismos, a soma máxima possível é 8x9=72, que supera 59. Colocamos 0 na próxima casa:
1 0 __ __ __ __ __ __ __
Sobraram agora sete algarismos, cuja soma máxima é de 9x7=63, que ainda supera 59. Com isto, procedemos como antes colocando o 0:
1 0 0 __ __ __ __ __ __
Porém, sobram seis casas somando, no máximo, 9x6=54. Portanto, não podemos preencher com 0 a terceira casa, mas devemos preencher com 4, obtendo, ao final, o número: 1 0 4 9 9 9 9 9 9 .
EXERCÍCIO 8. (a) Com os algarismos A, 2 e C podemos construir seis números distintos: A2, AC, 2A, 2C, CA e C2.
Página 8 de 13 A2 = Ax10 + 2; AC = Ax10 + C; 2A = 2x10 + A; 2C = 2x10 + C; CA = Cx10 + A; C2 = Cx10 + 2. Agora, como A2+AC+2A+2C+CA+C2 = 132, segue que 22A+22C+44=132, o que implica que 22A+22C+44=132
22(A+C) = 88
A+C = 4.3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos
professores
Em cada ciclo, a terceira semana é destinada para estudos individuais ou em grupo. Nesta semana, alunos e professores devem se dedicar para o estudo dos materiais teóricos indicados, para assistir as videoaulas e para resolver os exercícios propostos. Nesta semana não existe nenhuma aula programada e nenhum encontro entre coordenadores, professores e alunos. Esta é uma semana de estudo. Por este motivo, é muito importante que no primeiro encontro entre professores e alunos convidados, o professor passe o maior número possível de informações para os alunos, indicando apostilas, videoaulas e exercícios.
ENCONTRO 2
4ª semana: aula para alunos convidados
Assuntos a serem estudados:
Divisão Euclidiana. Fenômenos periódicos: padrões numéricos.
Números primos e fatoração.A referência que segue será nossa fonte principal de apoio:
Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar.
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
A seguir estamos disponibilizando uma lista com oito exercícios. O Professor deverá discutir esses exercícios com seus alunos, acompanhando e auxiliando no entendimento das estratégias de resoluções apresentadas pelos alunos. É importante incentivar o envolvimento coletivo de todos nessas discussões das resoluções, cabendo ao Professor enfatizar e aprofundar os conhecimentos matemáticos associados às questões apresentadas. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, então cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados, nesse sentido a apostila indicada será um elemento auxiliar importante.
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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 2
As questões 1, 2 e 3 estão associadas ao algoritmo da divisão, enfatizando operações algébricas associadas a esse algoritmo. As questões 4 e 5 buscam integrar o algoritmo da divisão à busca e percepção de padrões numéricos e fenômenos periódicos. Por fim, as questões 6, 7 e 8, contribuem para o entendimento do conceito de números primos e da possibilidade de fatoração de um número natural arbitrário como produto de primos, estabelecendo uma primeira relação com o teorema fundamental da aritmética. As soluções dos exercícios serão apresentadas ou indicadas a seguir.
EXERCÍCIO 1. Efetue a divisão euclidiana nos casos que seguem, identificando os restos:
a) de -43 por 3 ; b) de 43 por 3 ; c) de -1453 por 10000
EXERCÍCIO 2. Sabe-se que 503 e 418 deixam restos 7 e 2 quando divididos por 8, respectivamente. Quais são os restos das divisões de 503 + 418 e 503 x 418 por 8? Qual é o resto da divisão de 503 – 418 por 8?
(Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 44)
EXERCÍCIO 3. O dobro de um número, quando dividido por 5, deixa resto 1. Qual é o resto da divisão deste número por 5?
(Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 61)
EXERCÍCIO 4. Com o intuito de organizar os documentos arquivados, o gerente de uma empresa está numerando as caixas de documentos e colocando em várias estantes com duas colunas de 6 prateleiras, conforme o esquema seguinte. As estantes estão dispostas em fileiras e também são numeradas da esquerda para a direita.
Página 10 de 13 Terminada esta organização, um funcionário precisava encontrar documentos que estavam na caixa de número 115. Em qual estante e em qual coluna ele encontrará esta caixa? Esta caixa estará na parte inferior ou na parte superior da estante?
EXERCÍCIO 5. As vogais a, e, i, o,
u
estão sendo colocadas em círculos concêntricos sobre quatro semirretas 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário conforme mostra o esquema seguinte.Com base na ilustração determine: (a) a centésima vogal;
(b) o número do círculo no qual a centésima vogal será colocada; (c) a semirreta no qual a centésima vogal será colocada.
EXERCÍCIO 6. Dê a fatoração em primos de 378, 1800 e 241.
EXERCÍCIO 7. Liste todos os divisores positivos do número a = 23.52. (Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 53)
EXERCÍCIO 8. O número 32016 – 1 é primo ou composto? Justifique a sua resposta. Sugestão: Efetuando as operações distributivas, discuta com seus alunos a validade da igualdade
x
1 .
(
x
n1
x
n2
x
n3
...
x
2
x
1)
x
n
1
, em que n é um número natural. Utilize tal igualdade com n = 2016 e x = 3.Página 11 de 13
SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 2
EXERCÍCIO 1. O algoritmo da divisão estabelece que dados dois inteiros a e b, com a positivo e não nulo, então existe um único par de inteiros q (quociente) e r (resto) tal que
b = aq + r, com
0
r
< a. Assim, a condição que limita a variação do resto r impõe uma condição de este seja não negativo. Logo,a) -43 = 3. (-15) + 2, então o resto é 2; b) 43 = 3 . 14 + 1, então o resto é 1;
c) -1453 = 10000. (-1) + 8547, então o resto é 8547.
EXERCÍCIO 2. Observe que 503 = 8q + 7 e 418 = 8k +2, com q e k inteiros. Logo, 503 + 418 = 8 (q+k+1) +1, ou seja, o resto da divisão desse número por 8 é 1;
503 x 418 = (8q + 7) x (8k+2), efetuando as distributivas e associando convenientemente segue que 503 x 418 = 8 {q(8k+2) + 7k + 1} + 6, ou seja, o resto da divisão desse número por 8 é 6;
503 - 418 = (8q + 7) - (8k+2) = 8(q-k) + 5, ou seja, o resto desse número por 8 é 5. Observe que a unicidade do resto é preponderante em todos os casos.
EXERCÍCIO 3. Existem duas soluções apresentadas na apostila
PIC da OBMEP
“Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar, página 61.
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
Entendemos ser interessante discutir essas duas soluções com os alunos.
EXERCÍCIO 4.
Cada estante comporta 12 caixas, para encontrar a estante
correta basta dividirmos 115 por 12, obtendo que 115 = 9 x 12 + 7, o que
significa que a caixa está na estante 9. Além disso, a caixa está na 2
acoluna,
pois a primeira coluna foi preenchida com 6 caixas e a sétima caixa deve estar
alocada na próxima coluna, ou seja, 2
acoluna. Logo, seguindo o padrão da
organização, a caixa está na primeira posição da 2
acoluna, ou seja, está na
parte superior da estante.
Página 12 de 13 EXERCÍCIO 5.
(a) Como temos 5 vogais, ao distribuí-las sobre os círculos, elas
se repetirão a cada múltiplo de 5 somado com 1, ou seja, a letra a está na
posição 1, 6, 11, ... . Desse modo, notamos que a letra a aparece na posição
101, portanto na centésima posição teremos a letra que antecede a letra a , ou
seja, teremos a letra u .
(b) Cada círculo contém 4 vogais, como temos dispostas 100 delas, então elas
ocuparão
254 100
círculos. Deste modo a centésima vogal estará no círculo de
número 25.
(c) Como cada círculo é preenchido por vogais partindo da semirreta 1 e
terminando na semirreta 4 e, além disso, como completaremos o círculo 25
com quatro vogais, então a centésima vogal pertence à semirreta 4.
EXERCÍCIO 6
. Efetuando as respectivas divisões sucessivas pelos primos 2, 3,
5 e 7 encontramos que 378 = 2.3
3.7, 1800 = 2
3.3
2.5
2. O caso 241 é motivador
para se utilizar o Crivo de
Eratóstenes. Observe que “se um número natural
a>1 é composto, então ele é múltiplo de algum número primo p tal que p
2
a “.
Esse resultado é simples de justificar (se a é composto ele pode ser escrito na
forma a = p.b, em que p é o menor primo do qual a é múltiplo. Naturalmente p e
b são menores do que a e por sua vez b = q.k é múltiplo de algum primo q,
podendo inclusive o próprio b ser primo e nesse caso k = 1. Dessa forma, a =
p.b = p.q.k, assim q é também um fator primo de a. Portanto, p
q pois p foi
escolhido como menor fator, então p
2
p.q
a). Vale destacar que usualmente
utilizamos o resultado mencionado na seguinte forma equivalente: “é primo
todo número a que não é múltiplo de nenhum número inteiro primo p tal que p
2< a ”. Consequentemente, como 241 15,54
basta testar p = 2,3,5,7,11 ou 13.
Observe que 241 não é múltiplo de 2
2=4, 3
2=9, 5
2= 25, 7
2=49, 11
2= 121 ou
13
2= 169, logo o próprio 241 é primo.
EXERCÍCIO 7.
A solução do exercício é apresentada na apostila PIC da OBMEP
“Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar, página 53.
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
Observe que não desejamos apenas a quantidade de divisores e sim a
listagem dos mesmos, então nesse momento evite falar em princípio
multiplicativo que determinaria essa quantidade sem a listagem (futuramente
poderemos explorar esse fato).
Página 13 de 13 EXERCÍCIO 8.
Utilizando
a
igualdade
sugerida
segue
que
2016 2015
3 1 (3 1).(3 ... 3 1) 2.("monstro")
,
ou seja, o “monstro” é um
número positivo grande que juntamente com o fator 2 irão produzir uma
decomposição do número dado. Assim, concluímos que 3
2016– 1 é composto.
Existe uma resolução simples que se associa à paridade, observe: 3 é ímpar e
como potência inteira positiva de um número mantém a sua paridade, então
3
2016é ímpar, por outro lado, como 1 é ímpar e diferença de ímpares é um
número par, segue que 3
2016– 1 é par e naturalmente diferente de 2, portanto
composto.
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OBSERVAÇÃO: REITERAMOS A NECESSIDADE DE INCENTIVAR OS ALUNOS A UTILIZAREM O PORTAL DA MATEMÁTICA, NELE DARÃO CONTINUIDADE AOS SEUS ESTUDOS FAZENDO USO DE VIDEOAULAS, TEXTOS COMPLEMENTARES E LISTAS AUXILIARES DE QUESTÕES. A NOSSA ATIVIDADE PRESENCIAL SE CONFIGURA NUM PRIMEIRO PASSO NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM. OS ALUNOS DEVEM SER CONTINUAMENTE INFORMADOS E MOTIVADOS À PARTICIPAREM DAS AÇÕES VIRTUAIS PRESENTES NO PORTAL. ESPERAMOS E NECESSITAMOS QUE VOCÊ PROFESSOR NOS AUXILIE NA DIVULGAÇÃO DO PORTAL, SOMENTE DESSA FORMA ATINGIREMOS OS OBJETIVOS PRETENDIDOS NO PROGRAMA OBMEP NA ESCOLA.
