Modelos de Avaliação de Risco de Crédito: Paradigmas para a Realidade do Brasil

Modelos de Avaliação

de Risco de Crédito:

Paradigmas para a Realidade do Brasil

Programa:

1. Metodologias de Cálculo de Risco de Crédito 2. Modelos Estruturais

3. Modelos baseados em Marcação-a-Mercado 4. Modelos Atuariais

5. Basiléia II

6. Uso de Paradigmas no Brasil 7. Tratamento de Securitizações 8. Perspectivas

O primeiro modelo estrutural: o modelo de Merton de 1976

Modelo de Merton (1976)

t t t

dV

dt

dw

V

=

µ

+

σ

O modelo de Merton é uma “caricatura” de modelo de uma empresa em um mundo ideal de

Modigliani-Miller...

O valor dos ativos Vt é observável e segue um

processo difusivo geométrico.

As ações (Equity) St são negociadas no mercado e sua

volatilidade é conhecida.

A empresa é financiada pelo Patrimônio líquido e por um “título de renda fixa de cupom zero”, D_t, que vence em T e tem valor de face F. Sob as hipóteses de

Modigliani-Miller, vale V_t = S_t+ D_t.

PREMISSAS TEÓRICAS V_t F t t t

dV

dt

dw

V

=

µ

+

σ

t t t

V

=

D

+

S

Modelo de Merton ( ) ( ) 1 2 2

(

)

(

)

(

)

t r T t r T t t t B _{P D}

N

d

D

F e

N

d

F e

V

N d

− − − −



_

_





_

₋

_







=

−



−



−





























1

42 4

3

₁

₄₂₄

₃

1 4 4 42 4 4 43

LGD No modelo de Merton, os parâmetros de risco são endógenos... ( )

(

₁

)

(

)

r T t t

N

d

LGD

Fe

V

N d

− −

−

=

−

2

(

)

P D

=

N

−

d

O modelo de Black-Scholes-Merton para opções e a relação de

Modigliani-Miller podem ser usados para calcular o valor da dívida, dos valores da ação e do valor da empresa endogenamente. fornece o valor da dívida também de forma endógena:

O apreçamento dos instrumentos financeiros em modelos estruturais é completamente endógeno.

O modelo depende da volatilidade do valor de seus ativos, esta, por sua vez, calculada a partir da volatilidade do valor de suas ações, pressupondo mercados líquidos para as

ações !!!

A estrutura dos passivos é caricatural e dada por um único valor em um único Duration.

Modelo de crescimento do valor dos ativos é simples. Como calcular a taxa de crescimento ?

Modelo assume taxa de juros constante. Como incorporar uma estrutura a termo de taxas de juros volátil ?

Etc.

Distância ao Default (DD_i) :

“Metodologia KMVTM_{: DISTANCE TO DEFAULT”}

i 2 o V 1 log T 2 i V i T i T V D DD T µ σ σ  _{  } + −         =

O modelo de Merton sugere o uso de DD (

“Distance-to-Default”) como uma métrica que pode ser usada como

Mapeamento DD-EDF 0,01 0,00 0,00 9,90-10,0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0,47 0,45 0,40 4,00-4,10 ... ... 39,72 T= 2 anos (%) ... ... 38,23 T= 1 ano (%) ... ... 43,98 T= 3 anos (%) ... ... 0-0,10 DD

Baseado em informações históricas de uma grande amostra de empresas ao longo de um extenso período, estima-se a proporção

de firmas de um dado intervalo de DD, que

entraram em default em 1, 2, 3, ..., n anos.

As probabilidades estimadas deixam de ser endógenas, passando a depender das

frequências reais de default. Estas

probabilidades são chamadas de “EDF”:

PD

Mapeamento DD-EDF

Difícil uso no Brasil:

Mercados Líquidos para Ações das empresas

(amostra consistindo de um reduzido número de

empresas com ações listadas na BOVESPA )

Mercados Líquidos de Dívidas

Disponibilidade, Complexidade e Transparência de informações contábeis

Modelo KMVTM_{: É uma metodologia que está baseada na}

Paradigmas

Vamos ser menos ambiciosos...

Se temos o “risco” (PD+LGD) dos

ativos de um portfólio de dívidas,

qual o risco agregado do portfólio ?

Paradigmas de mensuração de Risco de Crédito

Evento de default

Evento de default

Incerteza no que é obtido Incerteza no que é perdido

MODELOS DE VAR DE CRÉDITO Modelos de Gestão de Risco de Crédito

CREDITMETRICS

1997, RMG 1997, CSFB Modelos Proprietários

CREDITRISK+

KMV/Moody’s

Outros modelos

Modelo de Vasicek_{de 1-fator}

Paradigmas de Cálculo de Risco de Crédito

Modelos de Gestão de Risco de Crédito com Paradigma Atuarial

Distribuição de incerteza é no Valor da Carteira

KMV/Moody’s

CREDITMETRICS CREDITRISK+

Modelos de Gestão de Risco de Crédito com Paradigma MTM

Distribuição de incerteza é na Perda da Carteira

Difícil aplicação onde não existem mercados líquidos de dívidas !!!!

Excelente aplicação para mercados ilíquidos de dívidas !

CreditMetrics

TM 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P 0.95 0.95 0.15 0.15 1.00 1.00 0.03 0.03 0.02 0.02 0.70 0.70

...

CreditMetricsTM

Apreçamento é feito totalmente via preços de mercado.
Utiliza-se matrizes de transição de ratings

Todos os elementos de um rating específico são exatamente iguais

As correlações são tratadas via modelo de retornos setoriais

Fácil aplicação na existência de mercados de títulos de crédito líquidos (“corporates” ou debêntures)

Transições entre Ratings N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1 N N-1 ... i ... 5 4 3 2 1

Transições entre Ratings

( , )= ( ( )

|

( )

)

ij

Matriz de Transição de Ratings

Matriz de Transições de Ratings

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P 0.95 0.95 0.15 0.15 1.00 1.00 0.03 0.03 0.02 0.02 0.70 0.70 ...

Valor t=0 _{t=1 ano} Rating Inicial é o Rating 1 Uso as curvas de desconto para o rating 2… Rating Final é o Rating 2 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P 1.00 0.00 0.00 3 0.15 0.70 0.15 2 0.02 0.03 0.95 1 3 2 1 P

Valor t=0 t=1 ano Estrutura a Termo de Taxas de Juros em t=0 para cada Rating Estrutura a Termo de Taxas de Juros em t=1 ano para cada Rating

Curvas Spots dos ratings

Curvas forward dos ratings

Taxas de desconto em 1 ano

CreditMetricsTM

Difícil uso, mas não impossível, no Brasil:

Mercados Líquidos para Equity da empresa

Matrizes de Transição de Ratings

Curvas de Desconto para cada Rating

Escolhas de Indices Setoriais e criação de um

modelo de retornos ( correlações)

Modelo CreditMetricsTM_{: É uma metodologia que está}

baseada na existência de mercados líquidos para ações de empresas.

CreditRisk+

TM

D ist rib uição d e Perd as d a C art eira

-0,20% 0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 0 20.000.000 40.000.000 60.000.000 80.000.000 Perd a m m j j j=1 j=1 - +

G(z)=e

j zν µ µ

∑

∑

Modelo atuarial: 2 estados

Default do Contrato

Solvência do Contrato

Contrato

Modelo Atuarial de Default

Assumir que os eventos de default do portfólio são p_i

Modelo atuarial: 2 estados

1

0

i



= 



I

se default ocorre

se default não ocorre

Função Indicadora de Default

n

i i

VaR de Crédito

Perda Esperada

Perda Inesperada

$

%

Qual a perda máxima, dentro de _{um nível de confiança, e dentro}

de um horizonte de risco T, de uma carteira de instrumentos de dívida com risco de default de pagamentos de obrigações dentro do horizonte T ?

Abordagem Atuarial

O modelo CreditRisk+ trata um fluxo temporal de exposições financeiras

como uma carteira de créditos individuais, cada

um deles com uma probabilidade de default

...

E

E

...

E

Estrutura a Termo do Risco de Crédito t=0 t=1 t t=T

( )

j

t

p

Em modelos de paradigma atuarial é fundamentalmente importante que as probabilidades de default expressem a estrutura a termo do risco de crédito e descrevam o risco de default do período em questão...

HIPÓTESES NO MODELO CREDITRISK+

Estrutura a Termo do Risco de Crédito

0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 70.00% 80.00% 90.00% 100.00% 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 P D Rating 1 Rating 2 Rating 3 Rating 4 Rating 5 Rating 6 Rating 7 Rating 8 Rating 9 Rating 10 Rating 11 Rating 12 Rating 13 Rating 14

Paradigma Atuarial

Modelo

CreditRisk+

FREQUÊNCIA:

Quantos eventos de default

ocorrem na carteira ?

SEVERIDADE:

Conhecido o número de

eventos de default, qual sua

contribuição para a perda do

portfólio ?

Conceitos do Modelo CREDITRISK+ Portólio original com múltiplas exposições

...

E

₁

E

₂

...

E

_n ... ...

Subportólio j com exposições em múltiplos de uma unidade

de perda L

E

_j1

_E

_jl

E

_jmj

...

... _... ...

A determinação da perda se converte em uma questão de contagem:

Exemplo: Portfólio com N=10 ativos e com

uma unidade básica de perda de L= $500

1850 1000 2000 800 2500 1600 2000 1500 750 EAD 4 9 2 8 4 7 2 6 5 5 3 4 4 3 3 2 1 1 ν ν ν ν Ativo 1 10 8 2 6 4 3 7 9 5

Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 4 Banda 5

2 Banda j 1

..

.

m(j)

Bandas de Exposição e Processo de Poisson

Distribuição de Poisson 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 D e n s id a d e d e P ro b a b . 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 F u n ç ã o d e D is tr ib u iç ã o

Densidade de Probab. Distrib. Probab

n

-P(n) e

n!

µ

µ

=

A j

=

p

A j ν ν

µ

=

∑

APROXIMAÇÃO DE POISSON: Se a probabilidade de default de uma exposição é pequena, a distribuição da perda é aproximada por um processo de Poisson onde a ocorrência de mais de um evento de default é probabilisticamente desprezível.

1

2 2

m(1)

Banda 1 Banda j Banda m

1 1 ... ... .. . .. . ... m(j) m(m) 2

Agregação das Perdas

Distribuição de Poisson 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 D en s id a d e d e P ro b ab . 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 F u n çã o d e D is tr ib uiç ão

Densidade de Probab. Distrib. Probab

Distribuição de Poisson 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 De ns id ad e d e P ro ba b. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 F un ção d e D is tr ib u iç ão

Densidade de Probab. Distrib. Probab

Distribuição de Poisson 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 D en sid ad e d e P ro ba b. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 F u nç ão d e D is tr ib u iç ão

Densidade de Probab. Distrib. Probab

D ist r i b uição d e Per d as d a C ar t ei r a

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% m m j j j=1 j=1 - +

G(z)=e

j zν µ µ

∑ ∑

PROCESSO DE

POISSON: Usado para

medir a frequência das

perdas do portfólio

FUNÇÃO GERADORA DE PROBABILIDADE: Usada para

agregar a severidadedas perdas e

contabilizar as perdas dos buckets em uma distribuição de perda

CreditRisk+ e Correlações

No modelo CreditRisk+ correlações podem ser

introduzidas através das volatilidades das taxas de default.

O modelo se apóia sobre o paradigma de independência condicional: eventos de default são independentes

quando condicionados à realização de um valor para as taxas de default ( incerteza sobre o ciclo da economia).
Uma distribuição Gamma para as taxas de default

conduz à uma forma analítica para a distribuição de perdas do portfólio.

APROXIMAÇÃO DE POISSON

Calcanhar de Aquiles do modelo

CreditRisk+

TM

_{: A aproximação de}

Poisson não funciona muito bem para

carteiras contendo muitos créditos de

baixa qualidade e prazos longos!

Como resolver este problema no Brasil ?
Crédito popular ( varejo, CDC, etc.)

Altas taxas de inadimplência

Expansão das carteiras tem custo alto de provisão de créditos duvidosos

O Resgate : Método do “Ponto de Sela”

Método do Ponto de Sela

( )

1

(

)

2

L K s st

e

P L t

ds

i

s

π

+∞ − −∞

> =

∫

CreditRisk+ e Aproximação de Poisson

No modelo CreditRisk+ a aproximação de Poisson pode

causar distorções no cálculo do VaR se as probabilidades de default forem elevadas e/ou muito voláteis. O VaR

pode ser maior que o outstanding !

A aproximação de Poisson é uma aproximação

estrutural: substitui um modelo de default multinomial por um modelo de Poisson. A aproximação de ponto de sela é uma aproximação numérica para o cálculo de uma distribuição de perda multinomial...

O método do Ponto de Sela não faz discretização das

O método de Ponto de Sela 1 ( ) log [ ] log[(1 ) i ] n se sL L i i i K s e p p e = = E =

∑

− +

Função Cumulante de Perdas

( _L ( ) ) 0 d _{s s t} K d s − = 2 2 2 2 2 2

1

(

)

exp(

( )

( ))

( )

2

L t t t _t t _t

d K

d K

P L

t

K

t

N

ds

ds

ξ

ξ

ξ

_ξ



ξ

_ξ



>

=

−

+



_

−



_





Aproximação de Ponto de Sela para VaR Paramétrico

Método de Ponto de Sela & Monte-Carlo

Estudos numéricos com benchmark Monte-Carlo mostram precisão nas caudas

Variantes do método são igualmente eficazes para

cálculo do núcleo da distribuição. Usado para cálculo em estruturas de securitizações, como p.ex. para o cálculo do risco de cotas júnior e sênior de um FIDC ( Fundo de

Investimento em Direitos Creditórios )

A Aproximação de Ponto de Sela é excelente para uso em

um país como o Brasil, onde as taxas de default são bastante elevadas e voláteis. Aqui a aproximação de Poisson é de uso discutível...

Método de Ponto de Sela & Monte-Carlo

Comparação entre VaR Monte-Carlo & VaR Paramétrico Ponto de Sela

Variação entre VaR Paramétrico & Monte-Carlo ( em % Notional Portfólio )

0.0000% 0.5000% 1.0000% 1.5000% 2.0000% 2.5000% 3.0000% 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 D e lt a V a R

Finalmente, comparando as

várias abordagens...

Quadro Comparativo CreditRisk+ CreditMetrics KMV Não Sim Sim Ajuste ao Risco Média Alta Muito alta

Qualidade das Saídas

Respostas Média Médio Alto Alta Média Alta Baixa Em relação ao ambiente Flexibilidade Baixo Baixo Baixa Baixa Muito Alto Custo/tempo Muito Alto Muito Alta Alta Esforço Estatístico Quantidade Informações Complexidade Entradas

Como ficam as Securitizações

(FIDC´s ) ?

Paradigmas de Cálculo de Risco de Crédito para FIDC´s

Distribuição de Perda Atuarial do Pool Securitizado

Distribuição de Retornos da Cota Júnior ( Equity)

FIDC

...

E₁ E₂ E_n

...

Pool Securitizado

Cota Júnior Cota Sênior

Distribuição de Valores da Cota Sênior ( Bond) Ativos Ilíquidos Investidor se preocupa com valor das Cotas do Fundo

Modelo de Vasicek de 1 fator

( )

p

1

( )

1

x

x

ρ

ρ

         

−

Ν

−

Ρ

= Ν

−

Basiléia II

Modelo de Vasicek de 1-fator

É o modelo por trás do método IRB para cálculo de capital regulatório.

Por quê o modelo de Vasicek foi escolhido como motor de cálculo regulatório de risco de crédito pelo comitê da Basiléia ?

Qual a principal vantagem para os reguladores da adoção do modelo de Vasicek no acordo de capital da Basiléia do ponto de vista regulatório ?

Modelo de Vasicek de 1-fator

Modelo de Vasicek de 1-fator

( )

p

1

( )

1

x

x

ρ

ρ

         

−

Ν

−

Ρ

= Ν

−

Distribuição de Perdas Binomial ( N=100 )

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 No. Defaults D e n s id a d e d e P ro b a b il id a d e rho=0 rho=1% rho=10% rho=20%

O modelo de Vasicek embute e funde duas características dos

modelos CreditMetrics e

CreditRisk+: as probabilidades de default são voláteis porquê o

score de default é correlacionado com um único fator sistêmico de risco( fator latente).

As contribuições de risco são lineares na exposição. O risco é aditivo ! ( Gordy 2001)

(

)

1 − =

Vantagens Regulatórias

VANTAGEM REGULATÓRIA DO MODELO DE VASICEK:

O modelo é

totalmente aditivo

, isto é, o capital

mínimo exigido de uma carteira é a soma das

parcelas de capital mínimo exigido para cada

operação individual. Não é possível a

arbitragem de capital regulatório

através da

alocação das exposições em sub-portfólios.

As correlações de default entre os ativos já

estão sendo levadas em conta através do

acoplamento de cada ativo com o (único) fator

de risco econômico.

Perspectivas

Estrutura de Correlações de Default
Modelagem de Garantias e Colaterais
Risco de Concentração