Carregamento de Amplitude Variável. Deformação-Vida ( x N) Prof. Dr. José Benedito Marcomini NEMAF Núcleo de Ensaio de Materiais e Análise de Falhas

Carregamento de Amplitude Variável

Prof. Dr. José Benedito Marcomini

NEMAF – Núcleo de Ensaio de Materiais e Análise de Falhas

DEFINIÇÕES E CONCEITOS

Descrição do Ciclo de Carregamento

Tensão

, 



_max



_min Tensão média,



_m Amplitude de Tensão, _a Intervalo de Tensão, 



_a

= (

_max

-



_min

)/2



_m

= (

_max

+ 

_min

)/2

 = (

_max

-



_min

)

R = 

_min

/ 

_max

A = 

_a

/ 

_m

Repetição ou Variação de Carga

Tempo Cargas em solo T ensão Média em terra Vôo médio Carregamento em vôo

Estudo do Espectro de Tensão Aplicada

Str

ess

Nível de Tensão S₁ Nível de Tensão S₂ Nível de Tensão S₃ Nível de tensão S₄

Frequencia dos Níveis de tensão Aplicados

n

₁

Ciclos de níveis S

₁

n

₂

ciclos de

níveis S

₂

n

_i

ciclos de

níveis S

_i

n

₃

ciclos de

níveis S

₃

Dados S - N para vários níveis de tensão

N₁ Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a somente S₁ e assim por diante, sendo N_i Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a somente S_i

Nível d

e T

ens

ão

Núm. De ciclos para falhar, N

N

₁

S

₁

N

_i

S

_i

O dano acumulado total devido a uma história de

tensão aplicada

Assim, a fração de dano causado por S

_i

em 01 ciclo

D

_i

=

1

N

_i k k 3 3 2 2 1 1 i i 1 i

N

n

+

...

N

n

N

n

N

n

=

N

n

D

D













n



A falha irá acontecer se

1

N

n

D

i i







Regra de Palmgren – Miner

ou regra de Miner

Comentários sobre a regra de MINER

- Modelo linear de dano acumulado.

- Não leva em conta a seqüência de aplicação de cargas ou tensões

Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para sequências de alta para baixa tensões e de baixa para alta tensões. Na práticas estas histórias de carregamentos apresentam diferentes danos.

-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível de

tensão.

Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá em poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda vida é gasta para nucleação.

Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N

n

₁

N´

₁

N

₁

S

₁

Ciclos para falhar (escala log)

Ampl. de

T

ensã

o

(escala

lo

g)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

das tensões S

₁

por n

₁

ciclos

N´₁= (N₁ -n₁) é o novo valor de vida no nível S₁ após ter sido submetido a n₁ ciclos.

N´

₂

N

₂

S

₂

Ciclos para falhar, (escala log)

Amplitude

de t

ensão

(escala

log

)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

de S

₁

por n

₁

ciclos

Se o nível S

₂

é aplicado, o componente falhará em N´

₂

ciclos, ao invés de N

₂

.

Implementação da regra de Miner

1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a estrutura;

2. Espectro de tensão:

Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o número de ocorrências em uma unidade de operação (tal como dia, hora, ano, vôos, etc.)

3. Analise a geometria do componente para K_t , etc.;

4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao K_te níveis de tensão.

5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação usando a regra de Miner.

Exemplo da Implementação da regra de Miner

Um componente aeronáutico, sem entalhe e previamente sem tensões, fabricado de liga de Al é submetido a uma tensão alternada de 207 MPa e uma tensão média variável como segue:

_m = 0 para 10 ciclos/vôo

_m = 69 MPa para 6 ciclos/vôo

_m = 138 MPa para 3 ciclos/vôo

_m = 207 MPa para 0,2 “

_m = 276 MPa para 0,1 “

_m = 345 MPa for 0,05 “

Os dados S-N para o material sem entalhe é dado no diagrama.

a) Estime a vida em fadiga em número de vôos.

b) Usando um fator de espalhamento de 3 (coef. de

segurança), estime a vida segura em vôos se a média de vôo é de 45 min.

Diagrama S –N para diferentes

tensões médias. Liga de Al sem

entalhe

Solução:

a MPa m MPa No. _{of Ocorr.} por voô, n No._{de ciclos} para falhar, N [n/N] (106₎ 207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 0 69 (10) 138 (20) 207(30) 276(40) 345(50) 10 6 3 0,2 0,1 0,05 955.000 272.000 103.000 46.400 23.700 13.200 10,4712 22,0588 29,1262 4,31034 4,21941 3,78788 (n/N) 73,9738

A partir do espectro de tensões

Da curva S-N

-Continuação:

Dano por vôo, D

_f

=



(n/N) = 73,9738 x 10

-6

DanoTotal na vida, D =(Dano por vôo) x (Núm. de vôos)

Falha ocorre quando D =1

D =1

 = 73,9738 x 10

-6

_{x (Num. de vôos) =1}

Num. de vôos estimados para falhar = 13.515

Num. de vôos seguros = 13.515/(fator de espalhamento)

Num. de vôos seguros = 4.505

Teoria do Dano Não Linear

Para superar os problemas na regra de Miner

-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do material e de geometria que devem ser obtidas a partir de ensaios.

- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo pode ser trabalhoso.

- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner em alguns históricos de carregamentos simples, mas não é garantia de que ela funciona melhor do que a aplicação real da historia de carregamento real.

Descricão geral das teorias não lineares:

D



n

N













p

O exponente, p, é função do nível de tensão.

Geralmente, 0 < p < 1

Alta - Baixa

Da

no,

D

0

1

0

1

Razão de ciclos, n/N

S

₁

S

₂

•

•

•

n

₁

/N

₁

n

₂

/N

₂

A

B

Baixa - Alta

D

_B

D

_B

Da

no,

D

0

1

0

1

Razão de ciclos, n/N

S

₁

S

₂

•

•

•

n

₁

/N

₁

n

₂

/N

₂

A

B

Dano D_B no final dos blocos de carregamentos são diferentes.

S

₂

•

•

n

₁

n

₂

0

A

_B

S

₁

t

•

•

S

₂

•

•

n

₂

n

₁

0

A

B

S

₁

t

(c)

CONTAGEM DE CICLOS PARA HISTÓRICO

DE CARREGAMENTOS IRREGULARES

EXEMPLO

Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com uma história de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições necessárias para causar a falha do componente.

Constantes para a curva S-N para materiais estruturais

-CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)

S = 'f (2Nf)b = A(Nf)b a=C+D logNf Materiais Sy Su 'f A b C D Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica) 227 322 683 1584 1103 415 557 758 1757 1172 976 1089 938 1937 1758 886 1006 897 1837 1643 -0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977 545 703 780 1529 1247 -69.6 -83.0 -68.9 -148 -137 Liga de Al 2024-T4 303 476 900 839 -0.102 624 -69.9 Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida) 1185 1233 2030 1889 -0.104 1393 -157

(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa.

 A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando a

história retorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos:

 A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível.  A2-B2-A3

 A3-B3-A4

 O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.

 C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos serem formados.  Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estes

Ciclo j N_j _min MPa _max MPa _a MPa

N

_fj

N

_j

/N

_fj A-B C-D A-E 1 2 3 3 100 1 130 -140 -250 950 560 950 410 350 600 4,21X104 1,14X106 6,75X103 7,12X10-5 8,74X10-5 1,481X10-4 3,068x10-4

As constantes ’

_f

e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT

b f a f b f f a

N

N

/ 1 max max max

2

1

)

0

.(

...

)

2

(









































A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :

repetições

3259

3,068x

1

1

N

n

D

10

B

f -4 i i









_B



f

Tensão Equivalente e Fator de segurança

 Um procedimento alternativo é o calculo de um nível de tensão equivalente,

de amplitude constante que cause a mesma vida que a história de carregamento de amplitude variável, se aplicada para o mesmo número de ciclos.

 Considere:

 N_B = ciclos da história de carregamentos;  N_f = ciclos para falhar = B_f x N_B;

 Para cada ciclo uma _ar equivalente pode ser considerada a partir do par

amplitude de tensão e tensão média;

 Tratar cada ciclo individualmente, de maneira que N_j = 1 e substitua os valores de

N_fj na primeira equação, obtendo:

 

_                      









f arj b f f N b fj ar j _fj j f N N N N B B / 1 1 2 1 1 2

   

 

 

 

b k j B b arj j aq b j B b arj aq b f f aq b j B b arj b f f b j _f arj B f N N N N N N N N N N N B B B                                                              _ 1 / 1 1 / 1 1 / 1 / 1 1 2 1 2 1 2 .





















Para determinação do fator de segurança, a mesma lógica apresentada pode ser aplicada, sendo _a agora _aq e a curva S-N sendo dada por:

 

b f f aq



2

N







X

X

N

N

X

b N S aq aq f N 







...(

ˆ

)

ˆ

2





)

ˆ

...(

ˆ

1

N

N

X

f aq aq S









Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo o carregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhado fabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetições necessárias para falhar o CP.

j Nj _min _max _a _m Nfj Nj/Nfj 1 2 1 10 0 220 800 800 400 290 400 510 1,36 x 105 1,54 x 106 7,37 x 10-6 6,51 x 10-6 b m f a f m a

N

/ 1 min max min max 2 1 2 ... ... 2              





















_’

_f

_{= 1758 MPa e}

b = -0,0977

repetições x N

B

N

N

B

f j _fj j f B .. 000 . 72 388 , 1 / 1 1

₁₀

5 1             _ 



Considere a história de carregamento anterior e:

a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com

amplitude constante.

b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições,

qual o fator de segurança em vida e em tensão?

j Nj _min _max _a _m _arj Nj x (_arj)-1/b 1 2 1 10 0 220 800 800 400 290 400 510 517,8 408,5 6,036 x 1027 5,330 x 1027

 

x MPa b k j B b arj j aq

N

N

[1,137 /11] 435,8 ) 0977 , 0 ( 28 1 / 1

10

             



_



 

000 . 72 11 300 . 792 300 . 792 1758 8 , 435 2 1 2 1 2 0977 , 0 / 1 / 1                      



















f f f b f aq f b f f aq

N

B

N

N

Substituindo este valor em e calculando Nf:

O fator de segurança pode ser calculado como:

52 , 1 0 , 72 1000 11 300 . 792

72

ˆ

0977 , 0 2        

X

X

N

N

X

b N S f N x

Deformação - Vida Vs. Tensão Vida

10

0

₁₀

3

₁₀

6

_N

Tensão

Metodologia

Def. - Vida _Metodologia Tensão - Vida Fadiga de

baixo ciclo(FBC)

Fadiga de alto ciclo FAC

Tensão Nominal Vs Tensão Local







_n



_L Carregamento





Descarregamento Descarr. (Local) Descarr. (Nominal)

Ainda que a tensão nominal esteja dentro do intervalo elástico, a tensão local nos entalhes pode ser mais alta que o limite de escoamento.

A região do entalhe experimenta deformação permanente no descarregamento (Zona plástica).

• Tensão Nominal _n Tensão Local _L

Comportamento do Material

d

₀

_l

0

A

₀

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Tensão

Tensão de Eng. S = P/A

₀

Tensão Verd.  = P/A

d

₀

_l

0

A

₀

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Deformação 0

e

Eng.

de

Def.

l

l

l

l

-l

0 0

























0

ln

d

Verdadeira

Def.

0

l

l

l

l

l l



Comportamento do Material

Def. de Eng. & Def. Verdadeira

Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.

T ens ão de Eng. , S T en s ão V er d. , 

S

_y Def. de Eng. , e Def. Verd. ,  E=S/e x x Falha Emp. acontece em S_u Eng. S-e Verd. - _f    ln 1 e

 

  S A0 A  S 1 e

 

_ f

Relação Monotônica entre Tensão-Def

.

Descarregamento. elástico

E

E

•

P







_p



e



_t

Def. total 

_t

Def. Elast. 

_e

Def. Plast. 

_p



_t

= 

_e

+ 

_p



_e

=/E

Deformação Plástica

1.0

H

n

Log T ens ão V er d, (log  )

Log Def. Plast, (log_p)

H – Coeficiente de resistência

n - Expoente de encruamento

 

 

p n n p

n

H

H

or

H













log

log

log

1 p









Deform. Elástica, Plástica & Total

 

p e t p e























Total

H

Plástica

E

Elástica

n 1

n

1

H

E























_t

Relação tensão – Def.

Comportamento Cíclico dos Materiais

Laço de histerese:

Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos

_a =/2 = amplitude de def. _a = /2 amplitude de tensão _e - parte elástica _p – parte plástica





2







_e

2







_p

2

;





_e

 



E



_p



e





E





Comportamento Transiente – Encruamento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

(a) Amplitude de deform. Const.





1

3

5

2

4

Tempo

1

2

3

4

5

+

-

(b) Resposta da tensão

(aumentando o nível de tensão)

Comportamento Transiente – Amolecimento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

Tempo



1

2

3

4

5





1

2

3

4

5

(a) Ampl. De def. cíclica

(b) Resposta Tensão

(diminuindo o nível de tensão)

Encruamento Vs. Amolecimento









amolece

te

ciclicamen

material

0,1

n

ou

12

,

1

/

Se

endurece

te

ciclicamen

material

0,2

n

ou

4

,

1

/

Se

u





















y y u









Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.

Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto se o material irá encruar ou amolecer.

n 1

H

E























_t

Laço de Histerese do Cobre

Laço de Histerese estabiliz. em  =0.0084

Material exibe endureci-mento na condição de recozido.

Laço de histerese

estabilizado em  =0.0078

Material exibe amolecimento Cíclico na condição

parcialmente recozido

Laço de histerese estab. em  =0.0099

Material exibe amolecimento cíclico na cond. de traba-lhado a frio.



- Aplicar uma amplitude de def. de /2.

- O transiente de tensão é seguido de um laço de histerese estabilizado

- Estabeleça o laço de histerese estabilizado para este nível de def.

- Repetir o procedimento com uma diferente amplitude de def.

- Unir as pontas dos laços de histerese estabilizados.

- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

 

1n

H'

Plast,

Def.

E

,

Elast.

Def.

Total

Def.





























p e p e t

 

n p

'







H

H' – Coef. de Resist. cíclica

n' - Expoente de encruamento cíclico.

n 1

H'

E

que

maneira

De

























_t

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA 1.0 H' n' Log T ens ão cíc lica, (log  )

Log Def. Ciclica, (log_p)

 

 

p n p

ou













log

n

H'

log

log

H'

H'

n 1 p













CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Hipótese de Masing:

- Para materiais exibindo comportamento simétrico

em tração e compressão.

-Curva de histerese pode ser

ESTIMADA

a partir

da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.

- Dobrar os valores de tensão e def. da curva

estabilizada da curva tensão- def. cíclica.

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica, obter o

ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao ponto A na curva T X Def. cíclica





Curva tensão - def. cíclica estabilizada 0.002 270 A (a)   540 0.004 0 Curva de histerese estabilizada B (b)   =0.004  = 540 0 Laço de histerese estabilizada B (c)

EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE

Seguindo a hipótese de Masing:

n 1

H'

E

Relembre





























_t

2

2

/2

_{/2}

Eq. da

histerese

n 1 n 1

2H'

2

E

2H'

2E

2

que

maneira

De

 











 



















 





















Curvas Deformação-Vida

Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira

(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados

linearmente na escala log-log,



2N



2

b f f









_

ciclo)

2

1

reverso

um

(

falhar

para

reversos

2N

_f





f

f

resist.

verdadeir

a

a

fadiga,























fadiga

a

resist.

de

expoente

b

fadiga

a

resist.

de

coef.

f



_{Propriedade de fadiga} do material

Curvas Tensão-Deformação

Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (_p-N) podem ser, também, linearizados na coord. log-log. (Coffin-Manson)

 

2N

_f

2

c f p











plástica

def.

de

amplitude

2

p





















fadiga

em

e

dutillidad

de

expoente

c

fadiga.

em

dutilidade

de

coef.

f



_{Propriedade de} Fadiga do material



_f







_f

ciclo)

2

1

reverso

um

(

falhar

para

reversos

2N

_f





Como podemos relacionar a vida a Ampl. De Def. Total /2?

(2.39)

2E

2

2

2

2

Relembre,

e p e



























Relação

Def-vida







2N





2N



(2.41)

E

2

(2.40)

2N

E

2

2.39

&

2.37

De

c f f b f f b f f e



























elástica

plástica

Curvas Tensão-Deformação

As equações apresentadas são lineares no plano log-log





b f f e

₂

_N

E

2

'









2N

_f

10

0

E

f

'



b

2

e





f



f



c p

N

2

2





'





2N

_f

10

0

'

f



c

2

p





Relação Tensão – Vida Total

2

e





2

p







₂





_e

/2



_p

/2

/2

2N

_f





b f f e

₂

_N

E

2

'













c f f p

N

2

2





'













c f f b f f _{2N 2N} E 2 ' '      

Vida de Transição

Plástica _e/2 _p/2 /2 2N_f Dominante Elástica Dominante plástica

Total

Elástica 2N_t



2

2

:

2N

2N

Em

_f



_t





e







p



_f

'

E

 

2N

t b





_f

' 2N

 

_t c

 2N

_t





f

' E



_f

'













1 bc

Def. Total Def. Elástica Def. Plástica 600 100 106 100 2N t Aços BHN Duro 2N_t é pequena – mais de 2N_f é elástica

Mole  2N_t é grande – mais de 2N_f é plástica 2N_t

_e/2 _p/2 /2

Resistência e Dutilidade

Normalizado (material dútil)

Temperado (material duro) Dútil tem melhor vida em alto 

Duro tem melhor vida em baixo  2N_f , log  /2, log 100 ₁₀8 100 10-4

Propriedades de Fadiga

1. Nem todos os materiais podem ser representados por equações

de quatro parâmetros (i. e., ligas de Al & Ti)

2. Parâmetros obtidos pelo ajuste da curva – portanto, a acuracidade

depende dos números de pontos usados ou disponíveis.

3. Parâmetros aplicáveis à um dado intervado de dados – fora do

intervalo pode dar um grande erro

4. Conveniência estritamente matemática – sem base física.

b, c,



_f

´, 

_f

´: Constantes empíricas

Relação: H´ = 

_f

´/( 

_f

´)

n’

Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem ser obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades

monotônicas”

_f´  _f _f  S_u + 50 ksi para aços com BHN < 500

Su+345 [MPa]

b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085 ( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)



_f

´  

_f

RA

-1

1

ln

onde



_f



c varia entre – 0.5 to – 0.7

Para metais mutio dútil c  - 0.6 Para metais muito resist. c  - 0.5

Exemplo

A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-Def.

Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def.

–

vida)

Dados monotônicos:

S

_y

=158 ksi E = 28.410

3

_ksi

S

_u

=168 ksi 

_f

= 228 ksi

%RA = 52 

_f

= 0.734

50 68 122 256 350 488 1,364 1,386 3,540 3,590 9,100 35,200 140,000 162.5 162 155 143.5 143.5 136.5 130.5 126.5 121 119 114 106 84.5 0.0393 0.0393 0.02925 0.01975 0.0196 0.01375 0.00980 0.00980 0.00655 0.00630 0.00460 0.00360 0.00295 Reversos para Falhar, 2N_f Ampl. De tensão /2 (ksi) Ampl. de Def. Total, /2

Ampl. Def. Plástica, _p/2* 0.0336 0.0336 0.0238 0.0147 0.0145 0.00894 0.00521 0.00534 0.00229 0.00211 0.00059 0.00000 0.00000







p

2







2







_e

2







2







2E





2





f

' 2N



f



b





_p

2





f

' 2N

 

f c



_f

'  222 ksi b  - 0.076



_f

'  0.811 c  - 0.732

c log 2N_f log  p /2 b log 2N_f log  /2

Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)

 

n' p p H' 2 plástica, def. ampl. a e 2 entre, potência de curva uma ajuste (A)









    

H´ = 216 ksi n´=0,094

y = 0,0939x + 2,6081 2,32 2,34 2,36 2,38 2,4 2,42 2,44 2,46 2,48 2,5 2,52 2,54 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 Série1 Linear (Série1) n 1 H' 2 1 2E 2              

 



0,811



227

ksi

222

H'

0,104

0,732

-0,076

-b/c

n'

'

'

H'

Relembre

(B)

0,104 n' f f

















0,0001

0,001

0,01

0,1

1

1

100

10000

1000000

Def. Elástica Def. Plástica Def. Total Potência (Def. Plástica) Potência (Def. Elástica)

Reversos para falhar, 2N_f

Ampl. de De f. ,  /2