ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA FREQUÊNCIA DE UM
SISTEMA ELÉTRICO SOB SOBRECARGAS
Daiane Rezende Carrijo, Raphael Ferreira Vieira, Rodrigo Sousa Ferreira, Geraldo Caixeta Guimarães
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Engenharia Elétrica, Uberlândia – MGe-mail: daianecarrijo51@gmail.com, ferreiraraphael@hotmail.com, rodrigosfufu@gmail.com, gcaixetag@gmail.com
Resumo – Este trabalho tem por meta estudar os
fenômenos observados durante a operação de um sistema elétrico sob sobrecargas devidas a déficit de geração.
Neste sentido, será analisado graficamente o
comportamento da freqüência do sistema quando este é sujeito a sobrecargas, considerando os efeitos de amortecimento da carga e geração e a magnitude da constante de inércia. São também investigadas as conseqüências de um esquema de rejeição de carga para restaurar a freqüência do sistema.
Palavras-Chave – Amortecimento da carga,
amortecimento da geração, comportamento da
freqüência, rejeição de carga, sistema elétrico, sobrecarga.
DYNAMIC BEHAVIOR ANALYSIS OF
FREQUENCY OF AN ELECTRIC SYSTEM
UNDER OVERLOADS
Abstract - This work aims to study the phenomena observed during the operation of an electric system under overloads produced by a generation deficit. In this sense, it will be graphically analyzed the system frequency behavior when it is subject to overloads, taking into account the effects of load and generation dampings, and the inertia constant magnitude. It is also evaluated the consequences of a load rejection scheme to recover the system frequency.
1
Keywords – Electric system, frequency behavior,
generation damping, load damping, load rejection, overload.
I. INTRODUÇÃO
Variações na freqüência de um sistema elétrico de potência são definidas como sendo desvios no valor de sua freqüência fundamental ou nominal (60 Hz no Brasil) o qual está diretamente associado à velocidade de rotação dos geradores. Sendo assim, pequenas variações de freqüência podem ser observadas como resultado do balanço dinâmico entre carga e geração. Variações de freqüência que
ultrapassam os limites aceitáveis para operação normal em regime permanente podem ser causadas, por exemplo, por faltas nos sistemas de transmissão, saída de um grande bloco de carga ou pela saída de operação de uma grande fonte de geração.
Em sistemas isolados, entretanto, como é o caso de indústrias com geração própria, na eventualidade de um distúrbio, o tempo de permanência das máquinas operando fora da velocidade nominal, resulta em desvios da freqüência em proporções mais significativas [1].
Neste sentido, este trabalho apresenta um estudo qualitativo do comportamento da freqüência de um sistema elétrico com geração e carga concentradas num único barramento. Este poderia estar, por exemplo, na entrada principal de uma indústria, onde são identificados os pontos de conexão de suas unidades geradoras e de sua carga total, além de representar o suprimento da concessionária de energia local por uma unidade geradora. Assim, pode-se analisar a perda de qualquer potência de alimentação bem como verificar a quantidade de carga que deve ser desligada para manter a carga prioritária da empresa atendida com um padrão aceitável de freqüência.
O sistema proposto é analisado sobre a influência de efeitos tais como, amortecimento da carga, constante de inércia das máquinas geradoras, constante de amortecimento da carga e rejeição de carga.
II. ANÁLISE DE SISTEMA SEM AMORTECIMENTO
A. Modelagem Matemática
A primeira análise a ser feita trata-se de uma simplificação dos fenômenos reais, pois admite-se que os efeitos de amortecimento da freqüência são desconsiderados, ou seja, as variações de carga e geração com a freqüência são ignoradas.
Admitindo que o sistema de geração possa ser representado por um único gerador equivalente, a equação clássica de balanço do sistema, desprezando o efeito de amortecimento elétrico introduzido pelas cargas, é dada pela equação (01) [2]: 2 0 0 2 2 ( m e) 2 a d T T T H H dt ω ω δ = − = (01) Sendo:
δ Ângulo do rotor em relação ao campo girante de referência [rad],
0
ω Velocidade angular do campo girante de referência (2 fπ 0) ou velocidade síncrona [rad/s],
0
f freqüência nominal do sistema [Hz],
m
T Torque mecânico de acionamento [pu],
e
T Torque elétrico da carga [pu],
a
T Torque acelerante [pu], t Tempo [s],
H Constante de inércia do sistema de geração [s ou
MJ/MVA].
A análise de uma máquina síncrona permite escrever as seguintes relações: θ = ω0t + δ = ωt = 2πft
f
2
dt
d
dt
d
0+
δ
=
ω
=
π
ω
=
θ
dt df 2 dt d dt d dt d 2 2 2 2 π = ω = δ = θ (02) Sendo:θ posição elétrica do rotor em relação a uma referência fixa (rad)
ω velocidade angular elétrica do rotor (rad/s) f freqüência elétrica do rotor (Hz)
Sendo f0 a freqüência elétrica nominal do sistema, tem-se
que ω0 = 2πf0. Substituindo esta expressão e a equação (02)
na equação (01) obtém-se: a 0T H 2 f 2 dt df 2 π = π a 0 T H 2 f dt df f&= =
Mas, em p.u., Pa ≅Ta (P = Tω e ωpu ≅ 1). Daí chega-se a
uma expressão que fornece a taxa de variação da freqüência do sistema com o tempo, dada por:
0
2
af
df
f
P
dt
H
=
=
&
(03) Sendo:f0 freqüência nominal do sistema (Hz)
Pa potência de aceleração existente no sistema de geração
(p.u.)
H constante de inércia equivalente do sistema de geração (segundos ou MJ/MVA)
Assim, o comportamento da freqüência (f) do sistema, no instante t, será dada por:
t f f f(t)= 0+& (04) onde: a
P Potência de aceleração existente no sistema de
geração [pu].
f0 freqüência nominal do sistema (Hz)
f freqüência elétrica do rotor (Hz)
Neste caso, a potência acelerante do sistema (Pa), tomada
em pu, na base da geração restante, é obtida da seguinte relação: gr c a gr
P
P
P
P
−
=
(05) Onde:Pgr potência da geração restante ou remanescente
Pc potência total de carga
Nota: Pa corresponde a diferença entre as potências
mecânicas (geração) e de carga. Assim, tem-se:
Pa > 0 ⇒ Excesso de geração ⇒ Aceleração das
máquinas
Pa < 0 ⇒ Déficit de geração ⇒ Desaceleração das
máquinas A constante de inércia de uma unidade geradora traduz a quantidade de energia cinética armazenada (em MJ por MVA) nas massas girantes.
A constante de inércia equivalente (H) de um conjunto de unidades geradoras do sistema interligado pode ser obtida a partir das constantes de inércias individuais através da média ponderada de todas elas, em função das capacidades (potências) das unidades, como mostrado a seguir:
1 2 n 1 2 n B B B S S S H H H H S S S = + +L+ (06) onde:
H1, H2, ..., Hn = constantes de inércia (em s) das
unidades geradoras 1, 2, ..., n, , respectivamente,
S1, S2, ..., Sn = potências ou capacidades (em MVA)
das unidades geradoras 1, 2, ..., n, respectivamente,
SB = S1 + S2 + ... + Sn = potência ou capacidade total do
sistema (em MVA).
Quando ocorre uma perda repentina de geração dentro do sistema, sem uma compensação por decréscimo na carga, a potência de aceleração do sistema será negativa, acarretando, por conseguinte, uma desaceleração das máquinas. Nestas condições, a variação da freqüência no tempo será função, fundamentalmente, da constante de inércia do sistema e da respectiva sobrecarga ou potência de aceleração. A sobrecarga (SC) imposta a um sistema quando da perda de uma quantidade de geração é definida por:
c gr gr
P P
Carga (Geração remanescente) SC
Geração remanescente P − −
= = (07)
A quantidade de geração perdida (Pg perd) é :
g gr g gperd
P
P
P
inicial
Geração
perdida
Geração
P
=
=
−
(08)sendo Pg a geração total inicial.
Nota: Observe que a quantidade de sobrecarga, SC, devido a
um déficit de geração, não é igual à quantidade de geração perdida, Pgperd. Na verdade, ela é maior devido
à geração remanescente ser menor que a geração inicial. Por outro lado, comparando as expressões (07) e (05) constata-se facilmente que SC é exatamente igual ao negativo de Pa, isto é, SC = – Pa.
B. Simulação Computacional e Análise
Para realizar a análise qualitativa do fenômeno estudado, foi proposto um sistema simples, reduzido ao barramento de entrada da indústria, conforme mostrado na Figura 1.
Fig. 1. Sistema elétrico proposto para análise.
O sistema da Figura 1 é composto por quatro geradores síncronos de constante de inércia H =3, 0s e potências:
1 0,5pu
G = , G =2 2, 0pu, G =3 1,5pu e G =4 1, 0pu,
alimentando, por meio de um barramento, uma carga total de potência igual a 5, 0pu .
No decorrer deste trabalho serão apresentados os resultados da análise do efeito da perda de uma das unidades geradoras do sistema da figura 1. Será verificado o comportamento da freqüência do sistema sob duas condições distintas: inicialmente desconsiderando os efeitos de amortecimento da freqüência e, posteriormente, os considerando-os.
Partindo da equação (03) pode-se mostrar graficamente o comportamento da freqüência diante de uma sobrecarga causada pela perda de uma das unidades geradoras. A Figura
2 mostra o comportamento da freqüência para várias sobrecargas impostas ao sistema proposto, supondo inalterada a constante de inércia equivalente.
Analisando-se os gráficos da Figura 2, nota-se que quanto maior a sobrecarga sobre o sistema, ou seja, quanto maior a potência do gerador perdido, maior a variação da freqüência no tempo. 0 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Tempo [s] F re q u ê n c ia [ H z ] saída G1 saída G2 saída G3 saída G4
Fig. 2. Efeito da perda de geração sobre a freqüência desconsiderando o amortecimento para H = 3s.
III. ANÁLISE DE SISTEMA COM AMORTECIMENTO
A. Modelagem Matemática
Neste momento o sistema proposto será analisado com mais detalhes, considerando nos estudos os efeitos das variações de carga e geração com a freqüência, aproximando-se da realidade.
1) Variação do Torque da Carga com a Freqüência
Considerando que qualquer carga passiva possa ser representada por uma composição de resistências e reatâncias indutivas e capacitivas, pode-se afirmar que a potência absorvida pela carga varia diretamente com a freqüência, sendo esta relação expressa por [2]:
L D L P =Kf (09) Onde: L
P Potência da carga [pu],
K Constante para obtenção de PL [pu],
f Freqüência [Hz],
L
D Fator de amortecimento (função da composição da carga, variando de 1 a 25 sendo que, para as análises seguintes será adotado igual a 1,5) [pu].
O parâmetro DL também chamado “coeficiente de
amortecimento” mede a variação da carga ∆PL com a
o Lo L L Pf//fP D ∆ ∆ = [pu] (10)
Tendo em vista a relação entre torque e potência, pode-se obter uma expressão para o torque da carga (TL), em pu, em função da freqüência [2]. Assim, utilizando a equação (09) obtém-se: ( 1) 2 2 L L D D L L P Kf K T f f ω π π − = = = (11) Onde:
ω Velocidade angular do rotor [rad/s]
Sendo assim, para pequenas variações na freqüência, o torque da carga é dado por:
(
)
01 1 = + − L L L T T D f (12) Onde: 0 LT Torque inicial da carga [pu]
f Variação da freqüência em pu ( f = ∆f/f0)
2) Variação do Torque de Geração com a Frequência
O torque do gerador (Tg) varia inversamente com a
freqüência sendo dado por [2]:
g D g g T =K f− (13) Onde: g
K Constante para obtenção da potência de geração [pu]
g
D Fator de amortecimento de geração (D =g 1)
Deste modo, para pequenas variações na freqüência, o torque do gerador é expresso por:
(
)
0 1 = − g g T T f (14) Onde: 0 gT Torque inicial do gerador [pu] 3) Variação da Frequência no Tempo
De posse das expressões (12) e (14) obtém-se a expressão do coeficiente de amortecimento total (DT):
(
)
0 1 0 T g L L D =T + D − T (15) Onde: TD Coeficiente de amortecimento total (leva em consideração o efeito dos amortecimentos da carga e de geração) [pu]
Considerando a equação de balanço do sistema, e os coeficientes de amortecimento encontrados, chega-se à equação (16), que mostra a variação da freqüência no tempo considerando o amortecimento. 2 0 0 1 − = − T D t H a T T f f e D (16) Onde:
f
Variação da freqüência, em pu (f
= ∆f/f0),Ta0 Torque acelerante, em pu, do sistema de geração
remanescente,
DT Fator de amortecimento total, em pu,
H Constante de inércia, em s, do sistema de geração remanescente
t Tempo, em s.
B. Simulação Computacional e Análise
Partindo da equação (16) pode-se mostrar graficamente o comportamento da freqüência diante de uma sobrecarga causada pela perda de uma das unidades geradoras do sistema proposto. 0 1 2 3 4 5 6 7 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Tempo [s] F re q u ê n c ia [ H z ] saída G1 saída G2 saída G3 saída G4
Fig. 3. Efeito da perda de geração sobre a freqüência considerando o amortecimento para H = 3s.
Analisando o gráfico anterior, nota-se que da mesma forma que foi encontrado para a análise sem amortecimento, quanto maior a sobrecarga sobre o sistema, ou seja, quanto mais elevada a potência do gerador perdido, maior a variação da freqüência no tempo. Porém, nota-se que considerando o efeito do amortecimento depois de um determinado tempo a freqüência atinge certo valor aproximadamente constante, o que não ocorre quando este efeito é desconsiderado.
IV. REJEIÇÃO DE CARGA
Um sistema de Rejeição de Cargas consiste de um programa preestabelecido para se desligar (rejeitar) cargas em função do balanço energético disponível no sistema de geração interno e do grau de severidade do desbalanço de potência que tenha ocorrido no sistema. Para isto, um sistema
de REJEIÇÃO DE CARGAS deve cumprir os seguintes requisitos [2]:
Detectar através de dispositivos de precisão (relés estáticos) e do parâmetro confiável, isto é, a freqüência, que o sistema está sob contingência do tipo perda de geração.
Rejeitar a menor quantidade possível de cargas, em função de um programa de seleção das cargas pré-determinadas e da geração disponível, de forma a restabelecer o balanço carga-geração, além de assegurar que não sejam alcançados os valores críticos de subfreqüência.
Restabelecer a freqüência do sistema ao seu valor nominal, ou pelo menos, a um valor dentro da zona tolerável.
Evitar um distúrbio maior ou total do sistema (colapso), reduzindo a possibilidade de desligamentos em cascata das unidades geradoras remanescentes.
Deste modo, neste item é mostrado o efeito deste processo no comportamento da freqüência do sistema estudado.
A quantidade de carga a ser retirada do sistema será igual a sobrecarga e a rejeição poderá ocorrer tanto por freqüência como pelo instante de tempo, levando em conta a possível atuação de um relé de subfrequencia.
A. Rejeição Determinada pelo Nível de Freqüência
Neste item ocorre rejeição de carga quando, após uma sobrecarga causada pela perda de uma unidade geradora, a freqüência atingir um determinado valor. A Figura 4 mostra o comportamento da freqüência do sistema proposto para uma rejeição de carga por freqüência, quando esta atinge o valor de 59,1Hz. 0 1 2 3 4 5 6 7 59 60 61 62 63 64 65 66 67 Tempo [s] F re q u ê n c ia [ H z ] saída G1 saída G2 saída G3 saída G4
Fig. 4. Efeito da perda de geração sobre a freqüência considerando o amortecimento e rejeição de carga por
freqüência.
Analisando o gráfico anterior, pode-se perceber que quanto maior a sobrecarga provocada, mais rapidamente o sistema atinge a freqüência de corte estabelecida, o que faz com que o dispositivo de proteção tenha que atuar mais rápido. Além disso, após a rejeição de carga a freqüência que antes decrescia, começa a aumentar e o acréscimo é tanto maior quanto mais intensa for a sobrecarga.
B. Rejeição Determinada após um intervalo Tempo
Neste item, diferentemente do anterior, ocorre rejeição de carga após um determinado tempo que tenha ocorrido a sobrecarga causada pela perda de uma unidade geradora. A Figura 5 mostra o comportamento da freqüência do sistema proposto para uma rejeição de carga por tempo, ou seja, uma carga de valor igual a sobrecarga é desconectada do sistema 1s após a perda da unidade geradora.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 55 56 57 58 59 60 61 62 63 Tempo [s] F re q u ê n c ia [ H z ] saída G1 saída G2 saída G3 saída G4
Fig. 5. Efeito da perda de geração sobre a freqüência considerando o amortecimento e rejeição de carga por tempo.
Partindo-se de uma análise da Figura 5, é possível afirmar que quanto maior a potência da unidade geradora perdida, maior a variação da freqüência antes e após a rejeição de carga.
V. EFEITO DA CONSTANTE DE INÉRCIA Para verificar o efeito da constante inércia equivalente no comportamento da freqüência do sistema proposto, seu valor foi alterado de 3s para 4s para todas as quatro unidades geradoras da Figura 1. A Figura 6 mostra a curva da resposta da freqüência do barramento para a saída (perda) de um dos geradores, levando em conta os amortecimentos devido a carga e a geração.
Fazendo uma análise comparativa entre as Figuras 2 e 6, percebe-se que o valor da constante de inércia é inversamente proporcional à taxa de variação da freqüência, uma vez que o aumento do valor de H resultou em uma menor inclinação das curvas.
0 1 2 3 4 5 6 7 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Tempo [s] F re q u ê n c ia [ H z ] saída G1 saída G2 saída G3 saída G4
Fig. 6. Efeito da perda de geração sobre a freqüência considerando o amortecimento para H = 4s.
VI. CONCLUSÃO
Neste trabalho foram apresentadas as equações necessárias para simular o comportamento dinâmico de um sistema elétrico simples e isolado sob contingências do tipo perda de geração de uma das unidades geradoras, seguida ou não de rejeição de carga, não incluindo e depois considerando os efeitos de amortecimento da carga e da geração, A influência da constante de inércia do sistema nos resultados foi também observada. De posse das equações básicas, foram traçados diversos gráficos que demonstram o comportamento da freqüência do sistema adotado para os estudos.
As simulações aqui realizadas têm intuito didático pois servem para preparar um profissional para atuar na área de sistemas de potência, disponibilizando uma ferramenta simples, desenvolvida no ambiente do MatLab, que permite compreender os fenômenos dinâmicos decorrentes de uma situação de perda de parte da geração de um sistema elétrico, seguida ou não por um corte (automático) de carga.
É importante relembrar que várias simplificações foram feitas nos modelos matemáticos utilizados, as quais afetam a precisão dos resultados, porém, as tendências do sistema pós-distúrbio permaneceram inalteradas e servem de orientação prática aos estudiosos do tema.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] E. Franco, “Qualidade de Energia - Causas, Efeitos e
Soluções”. Acedido em 20 de Fevereiro de 2009, em:
http://www.engecomp.com.br.
[2] G. C. Guimarães, “Curso de Dinâmica de Sistemas
Elétricos – Parte II”, Departamento de Engenharia
Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia, 1996. [3] S. J. Chapman, “Programação em MATLAB para
engenheiros”, Thomson Learning, 1ª Edição, 2003.
[4] W. D. Stevenson, “Elementos de análise de sistemas de
potência”, Mac Graw – Hill, 1974
BIOGRAFIAS
Daiane Rezende Carrijo nasceu em
Uberlândia – MG, Brasil, estudante de graduação no 7º período de Engenharia Elétrica na Universidade Federal de Uberlândia e bolsista do grupo PET/ Eng. Elétrica. Suas áreas de interesse são: Sistemas Elétricos de Potência, Fontes Alternativas de Energia e Qualidade da Energia Elétrica.
Raphael Ferreira Vieira nasceu em
Tupaciguara-MG, Brasil, estudante de graduação do 7º período de Engenharia Elétrica na Universidade Federal de Uberlândia. e membro do laboratório de Dinâmica de Sistemas Elétricos.Suas áreas de interesse são: Sistemas Elétricos de Potência, Fontes Alternativas de Energia e Qualidade de Energia
Rodrigo Sousa Ferreira nasceu em
Monte Alegre de Minas – MG, Brasil, estudante de graduação no 8º período de Engenharia Elétrica na Universidade Federal de Uberlândia e membro do grupo PET/ Eng. Elétrica. Suas áreas de interesse são: Sistemas Elétricos de Potência, Fontes Alternativas de Energia e Eletrônica de Potência.
Geraldo Caixeta Guimarães nasceu em
Patos de Minas–MG, Brasil, tendo graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU), recebido o título de mestrado pela Universidade Federal de Santa Catarina, em 1984, e o título de doutorado (PhD) pela University of Aberdeen, Escócia, em 1990. É professor e pesquisador da Faculdade de Engenharia Elétrica da UFU desde janeiro de 1978. Suas principais áreas de interesse são: Sistemas Elétricos de Potência, Dinâmica, Geração Distribuída, Energia Renovável e Eletromagnetismo Aplicado.
