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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL - UNIJUÍ SANDRA EDINARA BARATTO VIECELLI

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL - UNIJUÍ

SANDRA EDINARA BARATTO VIECELLI

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO DE UMA BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS.

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SANDRA EDINARA BARATTO VIECELLI

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO DE UMA BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.

Orientador: Dr. Antonio Carlos Valdiero

Ijuí / RS – BRASIL 2014

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DCEEng – DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO DE UMA BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS

Elaborado por

SANDRA EDINARA BARATTO VIECELLI

Como Requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática

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Ao meu grande amor, Rodrigo, por estar sempre ao meu lado, nos melhores e piores momentos de minha vida.

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AGRADECIMENTOS

A Deus, por sempre me conceder sabedoria nas escolhas dos melhores caminhos, coragem para acreditar, força para não desistir e proteção para me amparar.

Ao meu esposo, pelo amor incondicional, paciência na minha ausência e nas horas de sofrimento e desespero, ajudando a obter forças para lutar e seguir em frente, com muito amor, carinho e muita coragem para não desistir de meus sonhos. Rodrigo, obrigada por não desistir de mim.

A Minha Família, em especial aos Meus Pais, e a Minha Irmã, um enorme obrigada por acreditarem sempre em mim e naquilo que faço e por todos os ensinamentos de vida. Espero que esta etapa, que agora termino, possa de alguma forma, retribuir e compensar todo o carinho, apoio e dedicação que me oferecem.

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos transmitidos, pela orientação e direcionamento de pesquisa, pela paciência, disponibilidade e dedicação. Além disso, devo a ele inúmeras tardes de conversa produtiva sobre a evolução deste trabalho. Dessa forma um agradecimento especial ao meu mentor e amigo.

A todos os meus amigos, por compreender minhas inúmeras ausências durante a produção deste trabalho e por valorizar a trajetória que escolhi seguir. Agradeço também aos meus amigos pelos momentos de diversão, pelos conselhos, e pelas palavras de conforto nos momentos mais difíceis.

Aos colegas do Mestrado em Modelagem Matemática, pelos momentos de estudos e descontração, também pelas palavras amigas e pelo carinho a mim dedicado. Agradeço em especial meu colega e parceiro Claudio pela amizade e pelas trocas de conhecimentos. Muitas foram às tardes e noites de estudos no Laboratório.

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Á UNIJUÍ pela infraestrutura disponibilizada e a todos os professores do Mestrado pelos conhecimentos transmitidos.

Aos bolsistas do laboratório de pesquisa da UNIJUÍ, campus Panambi, pelo auxilio na construção da bancada, em especial ao Djonatan.

Ao CNPq pelo apoio financeiro em forma de bolsa.

(7)

Não existe felicidade completa. Quando compreendemos e aceitamos esse fato, ficamos mais sábios, passando a saborear melhor cada gota de felicidade proporcionada por nosso destino e nossos esforços.

(8)

SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS ... 10 LISTA DE TABELAS ... 13 LISTA DE SÍMBOLOS ... 14 RESUMO ... 18 ABSTRACT ... 20 1 INTRODUÇÃO ... 21 1.1 Generalidades ... 21

1.2 Descrição do Atuador Pneumático ... 23

1.3 Bancada Didática para o Concurso de Pórticos ... 24

1.4 Antecedentes e Revisão Bibliográfica ... 27

1.5 Objetivos e Justificava ... 30

1.6 Metodologia ... 31

1.7 Problema Proposto e Organização do Trabalho ... 32

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO ... 34

2.1 Introdução ... 34

2.2 Modelo Não Linear de 3ª Ordem. ... 35

2.3 Desenvolvimento do Modelo Matemático dos componentes do Atuador Pneumático .. 37

2.3.1 Não Linearidade da Zona Morta na Válvula ... 37

2.3.2 Caracterização da Vazão Mássica na Servoválvula ... 39

2.3.3 Dinâmica das Pressões nas Câmaras do Cilindro ... 41

2.3.4 Equação do Movimento com Inclusão da Dinâmica do Atrito ... 42

2.4 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem... 49

2.5 Discussões ... 49

3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL ... 50

3.1 Introdução ... 50

3.2 Descrição da Bancada de testes do Atuador Pneumático ... 50

3.5 Implementação Computacional ... 65

3.5.1 Diagrama de blocos do modelo de 3ª ordem ... 65

3.5.2 Diagrama de blocos do modelo de 5ª ordem ... 67

3.5.3 Diagrama de blocos para uma estratégia de força ... 71

3.6 Resultados de Validação Experimental ... 72

(9)

3.7 Teste Experimental de uma Estratégia para Aplicação de Forças ... 76

3.8 Discussões ... 87

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS ... 89

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Desenho esquemático do Atuador Pneumático (ISO 1219) ... 23

Figura 2: Vista isométrica da bancada de ensaio de estruturas (a) desenho, (b) fotografia da construção da bancada de pórticos. ... 25

Figura 3: Fotografia da bancada de ensaios de estruturas ... 26

Figura 4: Fotografia dos integrantes do projeto ‘Concurso de Pórticos’ ... 26

Figura 5: Desenho esquemático da bancada de testes ... 32

Figura 6: Desenho esquemático da modelagem da bancada de testes ... 35

Figura 7: Desenho em corte de uma servoválvula direcional ... 38

Figura 8: Representação gráfica da não linearidade da zona morta ... 39

Figura 9: Representação gráfica da equação da vazão mássica em função da diferença de pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da servoválvula. ... 40

Figura 10: Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático com haste ... 41

Figura 11: Desenho esquemático de um cilindro pneumático ... 43

Figura 12: Desenho sistema não linear massa-superfície envolvendo o atrito ... 44

Figura 13: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente ... 45

Figura 14: Representação da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato ... 46

Figura 15: Características de atrito viscoso (a) e de arraste (b)... 47

Figura 16: Bancada de aquisição de dados experimentais ... 51

Figura 17: Fotografia conector de sinais da placa dSPACE ... 52

Figura 18: Interface do programa ControlDesk ... 52

Figura 19: Fonte HP 6543A para alimentação da vávula proporcional ... 53

Figura 20: Unidade de conservação de ar ... 54

Figura 21: Transdutores de pressão ... 54

Figura 22: Fotografia da servoválvula pneumática ... 55

Figura 23: Cilindro pneumático de haste simples e dupla ação ... 55

Figura 24: Transdutor de posição ... 56

Figura 25: Análise da velocidade constante para a identificação do atrito. ... 58

(11)

Figura 27: Mapa Estático do Atrito obtido experimentalmente ... 61

Figura 28: Mapa do Atrito estático com ajuste dos parâmetros ... 62

Figura 29: Diagrama de blocos do modelo matemático de 3ª ordem. ... 66

Figura 30: Gráfico da frequência natural em função da posição ... 66

Figura 31: Diagrama de blocos do modelo matemático de 5ª ordem ... 67

Figura 32: Diagrama de blocos da equação da vazão ... 68

Figura 33: Diagrama de blocos da dinâmica das pressões ... 69

Figura 34: Diagrama de blocos da Equação do Movimento ... 69

Figura 35: Diagrama de blocos da Dinâmica do Atrito ... 70

Figura 36: Diagrama de blocos ds Dinâmica das Microdeformações ... 70

Figura 37: Atrito em Regime Permanente ... 71

Figura 38: Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica da função alfa do modelo Lugre. 71 Figura 39: Diagrama de blocos da equação da vazão com a inclusão do vetor das pressões de suprimento. ... 72

Figura 40: Gráfico do sinal de controle no teste experimental com entrada de 4,1 volts... 73

Figura 41: Gráfico do comportamento das pressões com sinal de controle de 4,1 volts no teste experimental. ... 74

Figura 42: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional do modelo de 3ª Ordem para o movimento de avanço ... 75

Figura 43: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional do modelo de 5ª Ordem para o movimento de avanço ... 76

Figura 44: Gráfico representativo do momento em que do cilindro é centrado ... 77

Figura 45: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 1,1 bar ... 78

Figura 46: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 1,1 bar... 78

Figura 47: Posição do êmbolo para a força pneumática exercida ... 79

Figura 48: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 1,5 bar ... 80

Figura 49: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 1,5 bar... 80

Figura 50: Posição do êmbolo para a força pneumática exercida ... 81

Figura 51: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 2,05 bar ... 82

Figura 52: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 2,05 bar... 82

Figura 53: Posição do êmbolo para a força pneumática exercida ... 83

Figura 54: Gráfico da força pneumática em função da deformação vertical da estrutura ... 84

Figura 55: Gráfico do comportamento das pressões no teste experimental ... 85

(12)

Figura 57: Gráfico experimental da força pneumática em função do tempo ... 86 Figura 58: Gráfico teórico da função pneumática em função do tempo ... 86 Figura 59: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional da força pneumática em função do tempo. ... 87

(13)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Principais componentes da bancada experimental ... 57

Tabela 2 - Experimentos realizados com voltagens positivas ... 59

Tabela 3 - Experimentos realizados com voltagens negativas ... 60

Tabela 4 - Parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito no cilindro pneumático ... 63

Tabela 5 - Valores dos parâmetros das não linearidades da servoválvula pneumática utilizada ... 64

Tabela 6 - Valores dos parâmetros relacionados ao fluido ar... 64

Tabela 7 - Valores dos parâmetros das não linearidades do cilindro pneumático utilizado ... 65

Tabela 8 – Valores obtidos experimentalmente da força pneumática em função da deformação da estrutura ... 83

(14)

LISTA DE SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

A1 Área da câmara A do cilindro [m2]

A2 Área da câmara B do cilindro [m2]

A Câmara do cilindro A

B Câmara do cilindro B

B Coeficiente de amortecimento viscoso [Ns/m]

Cp Calor específico do ar a pressão constante

Cv Calor específico do ar a volume constante

D Diâmetro do êmbolo do cilindro [m]

Diâmetro da haste do cilindro [m]

Fatr Força de atrito [N]

Fatr, ss Força de atrito em regime permanente [N]

Fc Força de atrito Coulomb [N]

FL Força de carga [N]

Fp Força pneumática [N]

Fs Força de atrito estático [N]

gss( ) Função que descreve parte das características do atrito

em regime permanente

g1(Pa, sign(u)) Função não linear dos componentes dependentes

do sinal de controle

g2(Pb, sign(u)) Função não linear dos componentes dependentes

do sinal de controle

Coeficiente de rigidez [N/m]

Ganho de velocidade

L Comprimento do curso total do cilindro [m]

M Massa acoplada ao êmbolo do atuador [kg]

md Inclinação direita da zona morta me Inclinação esquerda da zona morta

(15)

Patm Pressão atmosférica [Pa]

Pa, y3 Pressão na câmara A do cilindro [Pa]

Pb, y4 Pressão na câmara B do cilindro [Pa]

pai Pressão inicial na câmara A do cilindro [Pa]

pbi Pressão inicial na câmara B do cilindro [Pa]

ps Pressão de suprimento [Pa]

qma Vazão mássica na câmara A do cilindro [kg/s]

qmb Vazão mássica na câmara B do cilindro [kg/s]

R Constante universal dos gases [jkg/k]

T Temperatura do ar [k]

UT Sinal de controle [V]

Uzm Sinal de controle da zona morta [V]

Va0 Volume morto na câmara A do cilindro quando [m3]

o êmbolo está na posição inicial ( )

Vb0 Volume morto na câmara B do cilindro quando [m3]

o êmbolo está na posição inicial ( )

Velocidade stribeck [m/s]

Componente plástica do deslocamento [m]

xv Posição do carretel da servoválvula [m]

Posição do êmbolo do atuador [m]

Posição do êmbolo do atuador [m]

Velocidade do atuador [m/s]

Aceleração do atuador [m/s]

Microdeformações médias das rugosidades entre [m] as superfícies de contato

z Componente plástica do deslocamento [m]

zba Deslocamento de força de quebra [m]

zmax Valor máximo das microdeformações [m]

zmd Limite direito da zona morta [V]

zme Limite esquerdo da zona morta [V]

Microdeformações em regime permanente [m]

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Alfabeto Grego

Coeficiente constante da função exponencial

Coeficiente de vazão para a câmara enchendo Coeficiente de vazão para a câmara esvaziando

Relação entre os calores específicos do ar

Coeficientes de rigidez das microdeformações [N/m] Coeficiente de amortecimento das microdeformações [Ns/m] Coeficiente de arraste [Ns2/m2]

Frequência Natural [rad/s]

(17)

Símbolos

Variação

Derivada primeira

Derivada segunda

(18)

RESUMO

O presente trabalho trata da modelagem matemática de um atuador pneumático responsável pelo acionamento de uma bancada para ensaios de estruturas mecânicas, a qual será utilizada no projeto de título “Concurso de Pórticos” (processo CNPq nº409998/2013-3, Chamada nº 18/2013 MCTI/CNPq/Secretaria de Políticas da Mulher-PR/Petrobras - Meninas e Jovens Fazendo Ciências Exatas, Engenharias e Computação). As contribuições principais deste trabalho são a modelagem e identificação das características não lineares do atrito no atuador utilizado para a aplicação de forças, bem como a sistematização do modelo matemático completo, sua simulação computacional e validação experimental. Os atuadores pneumáticos são utilizados na maioria das instalações industriais e nos campos da automação e da robótica pelas diversas vantagens que o caracterizam. Dentre estas vantagens considera-se uma tecnologia de baixo custo, manutenção fácil, boa relação peso/potência, rapidez de resposta e principalmente uma tecnologia limpa, que não polui o meio ambiente. Porém, para atuadores pneumáticos a modelagem matemática é complexa quando comparada a outros tipos de acionamentos, pois apresentam limitações no controle decorrente das características não lineares inerentes ao sistema. Estas características não lineares resultam da alta compressibilidade do ar e das não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta, além do atrito nas vedações do cilindro linear. A modelagem matemática é muito importante para entendimento e previsão do comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e pode contribuir para a adequada aplicação e desempenho em sistemas automáticos, principalmente na definição de estratégias de controle. Neste trabalho, desenvolveu-se a formulação de um modelo matemático não linear completo de 5ª ordem que representa o comportamento dinâmico do atuador pneumático. Com o objetivo de comparação com o modelo desenvolvido, apresenta-se também um modelo matemático não linear de 3ª ordem, validados experimentalmente. Por fim, foram realizados testes de controle de força em malha aberta variando-se a pressão de suprimento do sistema. Os resultados obtidos ilustram as características do modelo matemático desenvolvido.

(19)

Palavras-Chave: Modelagem Matemática do atrito, Atuador Pneumático, Validação Experimental.

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ABSTRACT

The following paper deals with the mathematical modeling of the pneumatic actuator responsible for triggering a bench for testing mechanical structures, which will be used in the project entitled "Structures Concourse" (CNPq process number 409998/2013-3, Call No. 18/2013 MCTI / CNPq / Secretariat of Woman Policies-PR/Petrobras - Girls and Young Women Making Exact Sciences, Engineering and Computing). The main contributions of this paper are the modeling and identification of nonlinear characteristics of friction in the actuator used for the application of forces and the systematization of the complete mathematical model, its computer simulation and experimental validation. The pneumatic actuators are used in most industrial facilities and in the fields of automation and robotics because of the several advantages that characterize it. Among these benefits, it is considered a technology of low cost, easy maintenance, good power/weight ratio, fast response, and especially, it is a clean technology that does not pollute the environment. However, for pneumatic actuators mathematical modeling is complex when compared to other types of drives, since they have limitations in the control system due to the inherent non-linear characteristics. These nonlinear features are result of the high compressibility of air and the nonlinearities present in pneumatic systems, such as the non-linear behavior of the mass flow holes of the valve and its dead zone, in addition to the friction of the seals in the linear cylinder. Mathematical modeling is very important for understanding and predicting dynamic behavior of pneumatic actuators and can contribute to the proper implementation and performance in automated systems, especially in the definition of control strategies. In this study, a mathematical formulation of the nonlinear full model of 5th order was developed, and which represents the dynamic behavior of the pneumatic actuator. With the purpose of comparison with the developed model, it is also presented a nonlinear mathematical model of 3rd order, experimentally validated. Finally, control tests under open loop varying the supply pressure of the system were carried out. The results obtained illustrate the features of the developed mathematical model.

Keywords: Mathematical Modeling of Friction, Pneumatic Actuator, Experimental Validation.

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Este trabalho trata da modelagem matemática e da validação experimental do atuador pneumático de uma bancada para ensaio de estruturas mecânicas compostas de colunas e vigas. Esta dissertação está inserida na linha de pesquisa de Modelagem Matemática de Sistemas Não Lineares e Controle de Sistemas Dinâmicos, relacionada com o campo interdisciplinar.

Devido o aumento do desenvolvimento tecnológico que caracteriza o mundo moderno, as aplicações de precisão tem conquistado um crescente espaço no ambiente industrial. Em particular, os campos da automação e da robótica que estão presentes em diversas áreas de produção (SOBCZYK, 2009), e utilizam a pneumática como meio de aplicações pelas diversas vantagens que o caracterizam.

A pneumática é o ramo da engenharia que estuda a aplicação do ar comprimido para a tecnologia de acionamentos e comandos. Nos últimos anos a pneumática tornou-se uma das tecnologias mais utilizadas no setor industrial e de automação, por se tratar de uma tecnologia de baixo custo, manutenção fácil, boa relação peso/potência, rapidez de resposta e, principalmente, uma tecnologia limpa, que não polui o meio ambiente (NISHIOKA et al., 2010; LEE et al., 2010; VALDIERO et al., 2011; QIONG et al., 2011; WANG et al., 2011). A utilização do ar comprimido como fonte de energia apresenta grandes vantagens, tratando-se de uma tecnologia limpa onde não existe o risco de contaminação do ambiente como acontece com a energia hidráulica, destaca, MOREIRA (2012). Além das vantagens citadas acima os atuadores pneumáticos, segundo, (LE et al, 2013), em comparação com atuadores elétricos tem maior proporção de força para massa e pode gerar mais força sem qualquer mecanismo de redução.

Contudo, para atuadores pneumáticos a modelagem matemática é complexa quando comparada a outros tipos de acionamentos, pois apresentam limitações severas no controle decorrente das características altamente não lineares inerentes ao sistema. Dentre essas não linearidades, pode-se destacar a compressibilidade do ar (Suzuki, 2010), a vazão mássica nos orifícios da válvula e a zona morta (Valdiero et al., 2011), além do atrito entre as partes

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móveis e as vedações do atuador que também exibe características não lineares, tornando difícil o controle do sistema, (BAVARESCO, 2007).

Atualmente, diversos autores (PRADIPTA et al., 2013, LAGHROUCHE et al., 2013) apresentam estudos relacionados aos efeitos de degradação do desempenho do movimento causados pelas características não lineares do atrito que precisam ser conhecidas e compensadas para o bom desempenho do sistema dinâmico. Shen et al. (2013) destaca que a compensação e a modelagem do atrito dinâmico têm feito grandes avanços, motivada por modelos em combinação com métodos de identificação baseados em dados experimentais para a compensação de atrito.Valdiero (2012) enfatiza que o atrito é um fenômeno que exibe diversas características não lineares. As características de atrito são em geral dependentes da velocidade, da temperatura, do sentido do movimento, da lubrificação e do desgaste entre as superfícies. As características dinâmicas do atrito são responsáveis por degradações no desempenho do sistema e necessitam serem observadas para uma adequada compensação e consequentemente diminuição de seus efeitos.

As vazões mássicas são funções não lineares das pressões nas câmaras do cilindro e da tensão aplicada a servoválvula. É através da servoválvula que se obtêm a vazão mássica a qual é liberada pelos orifícios e coloca em funcionamento o cilindro. A vazão mássica de ar está relacionada à variação de pressão nas câmaras do cilindro utilizando-se o princípio da conservação de energia.

A zona morta é uma relação estática de entrada-saída na qual para uma faixa de valores de entrada a resposta de saída é nula. Sua inclusão na modelagem matemática do atuador pneumático é importante, pois possibilita minimizar os erros de seguimento de trajetória e também contribui para que não ocorra degradação no desempenho do controlador, destaca Ritter (2010).

Dessa forma, ao modelar o comportamento dinâmico de um atuador pneumático, é necessário considerar as não linearidades presentes neste sistema dinâmico, como uma forma de compensar essas características não lineares e minimizar seus efeitos danosos, os quais prejudicam o desempenho do sistema. O controle de servoposicionadores pneumáticos tem evoluído muito na última década, sendo que existem diversos trabalhos publicados nesta área.

A modelagem matemática desenvolvida neste trabalho fundamenta-se no modelo matemático não linear de 5ª ordem para o atuador pneumático apresentado por Ritter (2010). A seção seguinte descreve o atuador pneumático e a bancada de testes de ensaios de estruturas, o qual é o principal objeto da pesquisa.

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1.2 Descrição do Atuador Pneumático

O servoposicionador pneumático é um sistema que possibilita o posicionamento de uma carga mecânica em uma localização desejada ou seguir uma trajetória variável em função do tempo. O elemento responsável pela aplicação da força sobre a carga é dito atuador e sua forma de acionamento pode ser elétrica, hidráulica ou pneumática. Neste trabalho, o sistema de posicionamento a ser estudado é composto por um atuador pneumático.

O servoposicionador pneumático linear em estudo é um sistema dinâmico composto por uma servoválvula de controle direcional, um cilindro pneumático linear de dupla ação e haste simples, bem como o sistema de controle. Na Figura 1 está ilustrado o desenho esquemático do servoposicionador pneumático.

Figura 1: Desenho esquemático do Atuador Pneumático (ISO 1219)

Fonte: Autoria própria

O atuador pneumático funciona com o ar comprimido que é fornecido à servoválvula a uma dada pressão de suprimento ( antecipadamente regulada. Durante a operação, o controlador gera uma tensão de controle u, que energiza as bobinas do solenoide da válvula de

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modo que uma força magnética resultante é aplicada no carretel da servoválvula, produzindo o deslocamento do carretel. Este, ao ser deslocado, abre os orifícios de controle para que uma das câmaras do cilindro seja ligada à linha de pressão de suprimento e a outra seja ligada à pressão atmosférica ( . Dessa forma, produz uma diferença de pressão nas câmaras do

cilindro, que resulta em uma força pneumática que movimenta o êmbolo do cilindro e gera um deslocamento y, positivo ou negativo, dependendo do sinal de entrada.

1.3 Bancada Didática para o Concurso de Pórticos

A bancada de ensaios em estudo é formada por uma estrutura mecânica composta de colunas e vigas, um atuador pneumático, uma válvula direcional que permite regular a entrada e a saída de ar nas câmaras do cilindro e um sensor de posição que define a posição de deslocamento da haste do cilindro pneumático.

Esta bancada de ensaio para pórticos tem fins didáticos e de pesquisa e foi desenvolvida para os testes de controle. Nesta bancada monta-se a estrutura do tipo pórtico, para ensaio de aplicação de uma carga central com a medição do espaço útil disponível, da massa da estrutura, da máxima força de carga que a estrutura resiste e da deflexão central da estrutura.

A Figura 2 ilustra o desenho esquemático da bancada, bem como a fotografia da construção da estrutura de madeira.

(25)

Figura 2: Vista isométrica da bancada de ensaio de estruturas (a) desenho, (b) fotografia da construção da bancada de pórticos.

Fonte: Autoria própria

Para o acionamento desta estrutura será utilizado um servoposicionador pneumático de dupla ação e haste simples, uma servoválvula de controle direcional e um sistema de controle composto por uma placa de controle e aquisição de dados dSPACE 1104, que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação. Na Figura 3 está ilustrada a fotografia da bancada experimental utilizada para testes experimentais com aplicação de força de carga.

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Figura 3: Fotografia da bancada de ensaios de estruturas

Fonte: Autoria própria

A bancada experimental foi desenvolvida pelo Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) nos Laboratórios do curso de Engenharia Mecânica da UNIJUÍ Campus Panambi e com o apoio do projeto: Concurso de Pórticos, Meninas e Jovens Fazendo Ciências Exatas, Engenharia e Computação. A Figura 4 mostra as integrantes do projeto.

Figura 4: Fotografia dos integrantes do projeto ‘Concurso de Pórticos’

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1.4 Antecedentes e Revisão Bibliográfica

A modelagem matemática está intrinsecamente relacionada com a aplicabilidade da matemática e de seus conceitos em fenômenos do mundo real. Para modelar uma situação ou fenômeno, matematicamente, é necessário que se tenha suficiente experiência ou entendimento da questão para ser capaz de descrever e refinar com clareza a transformação de problemas da realidade em problemas matemáticos.

Com intuído de aprimorar o conhecimento em relação à modelagem matemática proposta neste trabalho, buscou-se uma fundamentação teórica baseada em estudos realizados anteriormente, a qual se faz importante para o entendimento e o bom andamento da pesquisa, assim como, para analisar o que está sendo estudado e também o que foi estudado por outros pesquisadores acerca do estudo proposto.

Diversas são as contribuições oriundas de dissertações em Modelagem Matemática da UNIJUÍ, mais precisamente do grupo de pesquisa “Projeto em Sistemas Mecânicos, Mecatrônica e Robótica”, inserido na linha de pesquisa Modelagem Matemática de Sistemas Não Lineares e Controle de Sistemas Dinâmicos. Dentre estes trabalhos pode-se citar (BAVARESCO, 2007; ENDLER, 2009; RITTER, 2010; PORSCH, 2012; ZAMBERLAN, 2013; RICHTER, 2013), que constituem um importante antecedente desta pesquisa.

Uma contribuição importante feita por Bavaresco (2007) em seu estudo trouxe um levantamento de modelos matemáticos utilizados em acionamentos pneumáticos, dentre estes, observou modelos de 3ª a 5ª ordem, disponíveis na literatura, aos quais observou uma grande variação de complexidade dos modelos estudados.

Para o desenvolvimento da pesquisa Bavaresco (2007) adotou então, um modelo não linear de 3ª ordem, com adaptações do modelo proposto por Vieira (1998), com o objetivo de facilitar a síntese e a implementação de estratégias de controle. Com base no modelo não linear adotado, formulou-se um projeto de controlador através de uma metodologia testada em sistemas caóticos, que ainda não tinha sido utilizada em atuadores pneumáticos. Porém, a não linearidade da zona morta da servoválvula, mostrou-se prejudicial ao sistema e foi compensada pela inversa de seu modelo parametrizado.

Dando sequência ao trabalho de Bavaresco (2007), Endler (2009) propôs uma metodologia de controle ótimo por realimentação para sistemas não lineares, por meio de uma nova proposta para a dinâmica da vazão mássica através dos orifícios da servoválvula, a partir do levantamento de dados experimentais para as pressões em função do tempo. O modelo implementado foi de 4ª ordem descrito em forma de variáveis de estado, que resultou em uma

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nova equação da vazão, facilitando assim, a implementação do projeto de controle de servoposicionadores pneumáticos.

A fim de compor um modelo matemático mais completo, Ritter (2010), apresentou em seus estudos a sistematização das diversas não linearidades presentes no comportamento dinâmico do atuador pneumático, implementado um modelo completo de 5ª ordem. Este sistema de equações apresenta a combinação do modelo da servoválvula com a do cilindro, e inclui a não linearidade da zona morta, da vazão nos orifícios da servoválvula, a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e o atrito dinâmico. Também, apresentou um estudo comparativo da influência do tamanho do cilindro no comportamento dinâmico do modelo não linear.

Porsch (2012) em sua dissertação desenvolveu a aplicação da modelagem matemática de uma bancada de simulação de declive de terrenos com acionamento pneumático. O modelo matemático não linear proposto é de 5ª ordem, o qual descreve as variações de inclinação lateral de uma colheitadeira autopropelida de grão. Este modelo matemático apresenta todas as não linearidades presentes no sistema incluindo a dinâmica da plataforma girante. Este trabalho foi de grande valia, pois apresenta a modelagem matemática de um mecanismo muito utilizado na agricultura, contribuindo assim para a pesquisa de mecanismos agrícolas com valores mais acessíveis para pequenos agricultores.

Em seu estudo, Zamberlan (2013) apresentou a modelagem matemática de um atuador pneumático elaborado para compor um mecanismo articulado para aplicação na poda de árvores. O modelo matemático adotado foi de 5ª ordem que permite simular o comportamento dinâmico do atuador em estudo. O diferencial desde trabalho é o fato de o cilindro ter sido construído em laboratório, o que dificulta o controle do mesmo.

Richter (2013) propôs em seu trabalho uma proposta de modelagem matemática e o controle de posição de um atuador pneumático para uma dada aplicação em um equipamento florestal. Propôs também o controle da posição de um cilindro especial de haste simples e dupla ação. O modelo matemático adotado foi de 5ª ordem, o qual caracteriza a não linearidades presentes no sistema. O diferencial deste estudo é a modelagem matemática e desenvolvimento do controle de posição de um cilindro pneumático linear para aplicação deste equipamento florestal para uma faixa de trabalho em torno de 2,5m de curso.

Além dos estudos desenvolvidos em dissertações de mestrado da UNIJUÍ, realizou-se uma pesquisa em trabalhos recentes (SOBCZYK, 2009; HENÉ, 2010; ALLGAYER, 2011; SUSUKI, 2010; CUKLA, 2012; TAHERI et al 2014), que foram desenvolvidos por diversos

(29)

pesquisadores de outras instituições, a fim de contextualizar sobre estudos relacionados na área do presente trabalho.

Em relação ao controle preciso do segmento de trajetória de um servoposicionador pneumático, Sobczyk (2009) apresentou em sua tese um modelo matemático, com atenção voltada a modelagem dos efeitos do atrito. Para a representação desses efeitos, propôs uma modificação da estrutura matemática do modelo de atrito utilizado no contexto dos algoritmos de controle em tempo real, (modelo LuGre). Além disso, estudou o grau de similaridade entre os comportamentos para o atrito por meio dos dois modelos. Demonstrou então, que a escolha adequada dos parâmetros do modelo aproximado permite que os resultados sejam muito próximos dos obtido com o uso do modelo original.

Para que o melhoramento do desempenho de sistemas de posicionamentos pneumáticos, Hené (2010) enfatiza em seu estudo que é necessário alcançar um correto dimensionamento da válvula e do cilindro para que a condição operacional do sistema seja perfeitamente compreendida. Sendo assim, analisou a influência dos valores obtidos de catálogos de fabricantes de válvulas em relação aos valores obtidos através de ensaios experimentais. Através deste estudo foi possível elaborar um método de dimensionamento de sistemas pneumáticos que auxilie na escolha dos componentes pneumáticos, apresentando um conceito alternativo aos tradicionais métodos de dimensionamento. Além disso, os estudos de caso apresentados, demonstraram que o método se comporta satisfatoriamente.

Com a proposta do projeto de um manipulador robótico cilíndrico acionado pneumaticamente e de baixo custo, Allgayer (2011) desenvolveu um robô para realizar operações de movimentação de peças que venham substituir trabalhos insalubres e repetitivos. O controle deste sistema foi realizado por meio da técnica de realimentação de estados, a partir de um modelo de 3ª ordem. Embora, sem a existência de um protótipo físico para comparar com o modelo proposto, concluiu-se, que o resultado de seu estudo apresentou uma resposta adequada, baseados na literatura e em cálculos. Contudo, Allgayer (2011) destaca que os resultados obtidos podem divergir da realidade, principalmente em relação ao atrito.

Susuki (2010) propôs estudar o controle de um servoposicionador pneumático através da aplicação do método de linearização por realimentação aliada ao método de controle por realimentação de estados. Como estratégia de linearização utilizou as estimativas das não linearidades do modelo matemático para linearizar o comportamento do servoposicionador pneumático. Também fez uma análise de robustez em relação ao comportamento do sistema frente as incertezas dos parâmetros estimados. Em sua pesquisa concluiu, que os resultados do

(30)

controlador mostraram-se promissores com redução no erro de posição no segmento da trajetória e na parada precisa.

Em uma contribuição mais recente em relação ao controle de atuadores pneumáticos Cukla (2012) apresentou uma proposta de estudo com objetivo de desenvolver um sistema de controle para servoposicionadores pneumáticos que utilize software e hardware economicamente acessíveis e que apresentem dimensões compactas e fácil utilização e com um desempenho similar aos comerciais. Constatou em seus estudos que o trabalho atingiu as metas propostas de desenvolver o controle preciso de servoposicionadores pneumáticos.

Quanto a aplicação de força em cilindros pneumáticos, Taheri et al (2014), propôs um novo controlador força-rigidez através de deslizamento - backstepping. Com base num modelo matemático detalhado do sistema pneumático que incluiu a dinâmica das válvulas, o algoritmo proposto foi provado capaz de controlar a força desejada e rigidez de forma independente, sem bater. A validação dos experimentos foi realizada utilizando uma plataforma em tempo real por um cilindro pneumático adequado para aplicações robóticas wearable e por duas servovávulas proporcional. Os resultados experimentais validaram a eficácia do modelo matemático e do desempenho do algoritmo de controle. A força desejada e rigidez foram monitorados com precisão, com baixo erro na amplitude e mudança de fase mínima. Verificou em seu trabalho que o algoritmo de controle proposto pode ser utilizado em qualquer aplicação que exige controle da força - rigidez de um cilindro pneumático.

A partir do levantamento bibliográfico acerca de vários estudos realizados sobre servoposionadores pneumáticos bem como seus componentes, foi possível observar que existe um grande número de pesquisas relacionadas ao controle das não linearidades apresentadas em atuadores pneumáticos. Sendo assim, o intuito desta dissertação é em contribuir para a evolução destas pesquisas, pois o objetivo deste trabalho é fazer a identificação das não linearidades, bem como o controle de um servoposicionar pneumático que será utilizado para o acionamento de uma bancada de testes para ensaios de estruturas mecânicas.

1.5 Objetivos e Justificava

O principal objetivo deste trabalho é pesquisar, desenvolver e validar a modelagem matemática do comportamento dinâmico do atuador pneumático responsável pela aplicação de uma força de carga em uma bancada experimental de ensaio de pórticos e outras estruturas

(31)

mecânicas, desenvolvida pelo Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) nos Laboratórios do curso de Engenharia Mecânica da UNIJUÍ Campus Panambi.

Para alcançar o objetivo principal deverão ser atingidos os seguintes objetivos específicos:

 Desenvolver um modelo matemático para o atuador pneumático adotado para a aplicação de forças de carga;

 Realizar simulações computacionais;

 Analisar o comportamento dinâmico do atuador pneumático;

 Validar experimentalmente o modelo desenvolvido através de testes e ensaio de estruturas;

A bancada de ensaio de estruturas foi desenvolvida para testes de controle de aplicação de força e tens fins didáticos e de pesquisa, visto que esta bancada será utilizada para o projeto do CNPq titulado como ‘Concurso de Pórticos’, que visa incentivar as meninas e jovens a fazer Ciências Exatas, Engenharias e Computação. Pretende-se também através deste trabalho contribuir para a melhoria do desempenho das aplicações com atuadores pneumáticos.

1.6 Metodologia

A partir de uma ampla revisão bibliográfica sobre o tema proposto, a pesquisa consiste em estudos relacionados a analise de diferentes modelos matemáticos que sistematizam as principais não linearidades em atuadores pneumáticos, observando as relações e as simplificações consideradas pelos antecedentes desta pesquisa.

Tem-se então a elaboração do modelo matemático que contempla as não linearidades presentes no sistema, sendo a dinâmica da vazão mássica nos orifícios da servoválvula, a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, o movimento do êmbolo do cilindro e a dinâmica do atrito, compondo assim, um modelo matemático não linear de 5ª ordem, que descreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático em estudo.

Para as simulações computacionais utiliza-se o software MatLab/Simulink e para os testes experimentais, dispõe-se de uma bancada com um servoposicionador pneumático e um sistema de instrumentação eletrônica dSPACE, disponível no laboratório de automação da

(32)

Unijuí, campus Panambi. Na Figura 5 encontram-se ilustrados os componentes que integram a bancada de testes experimental.

Figura 5: Desenho esquemático da bancada de testes

Fonte: Autoria própria

1.7 Problema Proposto e Organização do Trabalho

A presente dissertação de mestrado propõe um modelo matemático composto por uma servoválvula direcional e um cilindro pneumático a fim de modelar matematicamente o seu comportamento dinâmico. Propõe-se através deste trabalho contribuir para a melhoria do desempenho das aplicações com atuadores pneumáticos, através da identificação do atrito dinâmico, da implementação e validação experimental de uma bancada de ensaio de estruturas tipo pórticos para testes de aplicação de força.

(33)

Este trabalho está organizado em 4 capítulos. O capítulo 2 descreve a modelagem matemática do atuador pneumático em estudo e apresenta as não linearidades presentes no sistema. Primeiramente é apresentado um modelo matemático de 3ª ordem e posteriormente o modelo matemático da servoválvula e do cilindro, assim como a não linearidade de zona morta, resultando no modelo adotado de 5ª ordem.

Em seguida, no capítulo 3, é apresentada a descrição da bancada utilizada para a realização dos testes experimentais, a identificação dos parâmetros do atrito, e a determinação dos demais parâmetros utilizados no modelo apresentados por meio de tabelas. Neste capítulo apresenta-se os resultados da implementação computacional e da validação do modelo matemático de 3ª ordem e de 5ª ordem para fins de comparação. Por fim, têm-se os testes experimentais para aplicação de força de carga.

O capítulo 4 apresenta as conclusões sobre o estudo realizado bem como as perspectivas de trabalhos futuros.

(34)

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO

2.1 Introdução

Modelagem de acordo com dicionário da língua portuguesa significa “molde”, logo modelagem matemática significa moldar alguma situação que está inserida em outro contexto, a fim de explicar matematicamente situações que ocorrem no cotidiano.

O ser humano na busca de resolver situações da realidade procura representar ou fazer uso de representação, ou seja, modelando ou utilizando-se de modelos. Isso nos sugere que a essência da modelagem está presente em quase todas as atividades humanas desde os tempos mais primitivos, o que pode contribuir para os avanços científicos.

Araújo (2009) destaca que a Modelagem Matemática pode ser entendida como o uso de modelos matemáticos para a resolução de problemas reais. Ou seja, significa buscar representações matemáticas para uma situação real, procurando interpretá-la e entendê-la, na tentativa de resolver problemas relacionados à situação.

A modelagem matemática é a area do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como, física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja, modelagem matemática consiste na tentativa de se descrever matematicamente um fenômeno.

Dessa forma, a modelagem matemática é muito importante para entendimento e previsão do comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e pode contribuir para a adequada aplicação e desempenho em sistemas automáticos, principalmente na definição de estratégias de controle.

Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática que descreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático bem como suas características não lineares. O atuador pneumático em estudo é composto por uma servoválvula direcional proporcional e um cilindro de haste simples e dupla ação. O modelo matemático propostos é descrito por um sistema de equações diferenciais ordinárias de 5ª ordem o qual descreve o servoposicionador pneumático linear, representado na forma de variáveis de estado. Também será implementado

(35)

um modelo matemático de 3ª ordem proposto por Bavaresco (2007), para fins de comparação de resultados.

A Figura 6 mostra o diagrama de blocos esquemático dos principais elementos incluídos na modelagem matemática utilizados para representar o comportamento dinâmico do atuador pneumático para o acionamento de uma bancada de ensaio de estruturas, considerando as principais não linearidades da zona morta, a equação da vazão mássica e a equação do movimento incluindo o atrito dinâmico.

Figura 6: Desenho esquemático da modelagem da bancada de testes

Fonte: Autoria própria

2.2 Modelo Não Linear de 3ª Ordem.

O modelo matemático proposto nesta seção tem como referência os trabalhos de Vieira (1998) apud Bavaresco (2007). Este modelo matemático representa de maneira mais simplificada os atuadores pneumáticos, sendo assim, um ponto de partida para o estudo do comportamento dinâmico do atuador, facilitando a aplicação de técnicas de controle. Este modelo pode ser escrito por um sistema de equações representado através de variáveis de estado:

(36)

(2.1) (2.2) (2.3)

onde é a posição do êmbolo do atuador, é a velocidade, é a aceleração, e são respectivamente a frequência natural e a taxa de amortecimento do movimento do sistema, é o ganho de velocidade da malha aberta e é o sinal de controle em tensão aplicado a servoválvula. O ganho de velocidade em malha aberta pode ser calculado através da equação (2.4).

(2.4)

sendo a vazão volumétrica normal da válvula, a pressão atmosférica, a pressão de suprimento e a tensão máxima de entrada na válvula.

A expressão geral para determinação da frequência natural de atuadores lineares é dado por:

(2.5)

onde M é massa total acoplada do êmbolo do atuador, A é área da seção transversal do cilindro, e são respectivamente os volumes nas câmaras 1 e 2 e é o fator de compressibilidade do ar dado por:

(2.6)

onde é a relação entre os calores específicos do ar e a pressão de suprimento.

O volume das câmaras depende da posição do êmbolo do atuador, dessa forma a expressão para representação da frequência natural em atuadores pneumáticos é descrita pela seguinte equação não linear:

(37)

(2.7)

onde e são os volumes mortos nas câmaras 1 e 2 respectivamente.

2.3 Desenvolvimento do Modelo Matemático dos componentes do Atuador Pneumático O modelo matemático proposto nesta seção apresenta a combinação da dinâmica da válvula com a dinâmica do cilindro, incluindo o modelo dinâmico do atrito, ou seja, o modelo Lugre. São apresentados os princípios físicos e as deduções matemáticas para a obtenção de um modelo não linear mais completo do atuador pneumático.

2.3.1 Não Linearidade da Zona Morta na Válvula

Esta subseção trata da identificação da zona morta em servoválvula proporcionais direcionais. Estudos realizados por (VALDIERO et al, 2005; SALCEDO, 2010), mostram que o sistema eletromecânico de controle da válvula apresenta uma largura de banda maior que a do sistema pneumático. Assim é possível assumir que há uma relação estática entre a entrada em tensão e a saída em deslocamento do carretel de controle.

Gury (2008) destaca que a zona morta é uma faixa pré-determinada da entrada na qual a saída permanece inalterada, independente da mudança de direção do sinal de estrada. Bavaresco (2007) destaca que este tipo de imperfeição é bastante comum em sistemas mecânicos, principalmente em servoválvulas. A presença da zona morta nas servoválvulas gera limitações significativas no desempenho de controladores por realimentação, principalmente no que diz respeito à minimização do erro de posicionamento e de seguimentos de trajetórias, diante disso, se faz necessário a utilização de metodologias de identificação e compensação dessa não linearidade. A Figura 7 apresenta o desenho esquemático do corte da uma servoválvula direcional com seus principais elementos.

(38)

Figura 7: Desenho em corte de uma servoválvula direcional

Fonte: Bavaresco (2007)

A zona morta é uma relação estática de entrada e saída, em que para uma faixa de domínio não há resposta, ou seja, a saída é nula. O modelo matemático que descreve as não linearidades presentes em servoválvulas direcionais é dado por Tao e KaKotovic, o qual apresentam um modelo genérico, descrito pela equação (2.8):

(2.8)

onde é o limite direito da zona morta, é o limite esquerdo da zona morta, u é o sinal de entrada, é a inclinação direita da zona morta e a inclinação esquerda da zona morta. A Figura 8 mostra a representação do trecho de zona morta do sinal de entrada u em relação ao sinal de saída .

(39)

Figura 8: Representação gráfica da não linearidade da zona morta

Fonte: Valdiero (2005)

Portanto, para atuadores pneumáticos é importante que a abertura dos orifícios da servoválvula seja proporcional ao sinal de controle aplicado para que se obtenha um sistema de controle eficaz. Para que isso ocorra é necessário que seja feita a compensação da zona morta, através da identificação dos parâmetros por meio de testes experimentais.

2.3.2 Caracterização da Vazão Mássica na Servoválvula

A servoválvula é empregada para controlar o escoamento do ar sob pressão. É através da servoválvula que se obtêm a vazão mássica a qual é liberada pelos orifícios e coloca em funcionamento o cilindro, contudo depende da tensão de controle e também das pressões nas câmaras do cilindro. A vazão mássica de ar esta relacionada a variação de pressão nas câmaras do cilindro atuador utilizando-se o princípio da conservação de energia, conforme descrito amplamente na literatura (BOBROW e MCDONELL, 1998; VIEIRA, 1998; PERONDI, 2002; ENDLER et al., 2009). Contudo, a maior dificuldade encontrada na literatura é em isolar o sinal , dificultando a aplicação de um controlador não linear que leva em consideração as características não lineares do sistema.

Com o intuito de facilitar a modelagem matemática da vazão mássica, Endler (2009) apresentou um equacionamento completo através de curvas de pressão em função do tempo levantadas experimentalmente, conforme descrito pelas equações (2.9) e (2.10):

(40)

(2.9) (2.10)

onde e são funções de sinal dadas por:

(2.11)

(2.12)

onde é a pressão de suprimento, é a pressão atmosférica, e são coeficientes constantes característicos respectivamente do enchimento e do esvaziamento das câmaras do cilindro. Estes coeficientes foram levantados experimentalmente por Endler (2009) o qual serão utilizados para este estudo. A Figura 9 representa graficamente o comportamento da vazão mássica em um dos orifícios da servoválvula, versus o sinal de entrada e a diferença das pressões .

Figura 9: Representação gráfica da equação da vazão mássica em função da diferença de pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da servoválvula.

(41)

2.3.3 Dinâmica das Pressões nas Câmaras do Cilindro

Utilizando-se das leis da conservação de energia é obtida a formulação do modelo matemático da dinâmica das pressões. A conservação da energia é empregada para realizar o balanço energético entre a energia da massa que entra no volume de controle, a potência do movimento do pistão e a variação da energia interna no volume de controle (Perondi, 2002).

A fim de equacionar a dinâmica das pressões, deve-se assumir algumas hipóteses:

 O ar funciona como um gás perfeito;

 O sistema é considerado adiabático, ou seja, com trocas de calor desprezíveis através das paredes do cilindro;

 Os processos são reversíveis, caracterizando um comportamento isentrópico para o sistema;

A Figura 10 ilustra um desenho esquemático do cilindro pneumático com haste considerado nesta modelagem.

Figura 10: Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático com haste

Fonte: Autoria própria

Para determinação da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro utiliza-se a equação da continuidade e a equação do movimento da haste, baseando-se no princípio de conservação de energia, cujo detalhamento poderá ser encontrado em Perondi (2002) e mais recentemente em Endler (2009). A equação resultante do balanço energético é:

(42)

onde, T é a temperatura do ar de suprimento, é a vazão mássica na câmara A do cilindro, é a pressão na câmara A do cilindro, é a relação entre os calores específicos do ar, onde é o calor específico do ar à pressão constante, é o calor especifico do ar a volume constante, é o volume na câmara A e R é constante universal dos gases.

Ponderando, que o volume total da câmara A do cilindro é dado pela soma dos volumes variáveis da câmara com o seu volume morto, tem-se:

(2.14)

onde A é a área do êmbolo, é o deslocamento do êmbolo e é o volume morto na câmara

A incluindo às tubulações. A taxa de variação deste volume é dada por , onde é a velocidade do êmbolo.

Sendo assim, derivando a equação (2.13) em relação à e considerando a relação , tem-se:

(2.15)

Análoga para a pressão na câmara A, tem-se para a câmara B:

(2.16)

2.3.4 Equação do Movimento com Inclusão da Dinâmica do Atrito

O movimento da haste de um cilindro é gerado através das forças aplicadas sobre o êmbolo do cilindro. De maneira geral quando se trabalha com sistemas que envolvam movimento é necessário tratar com muito cuidado os resultados procedentes do atrito, pois este pode causar dificuldades no controle, bem como a degradação do sistema. Sendo assim, a modelagem das características do atrito e a equação do movimento constituirá o enfoque desta subseção. Através da Figura 11 ilustra-se as forças atuantes consideradas no cilindro pneumático em estudo.

(43)

Figura 11: Desenho esquemático de um cilindro pneumático

Fonte: Autoria própria

Conforme pode-se observar na Figura 11, as forças exercidas no êmbolo são: a força de atrito Fatr, que ocorre principalmente nas superfícies de contato entre a haste e as vedações,

FL que representa a força de carga e que á força pneumática.

A partir da aplicação da 2ª Lei de Newton, tem-se a determinação da equação de equilíbrio dinâmico das forças, dada por:

(2.17)

onde M é a massa deslocada composta pelo êmbolo e pela haste do cilindro, é a aceleração da haste do cilindro pneumático, Fatr é a força de atrito, Fp é a força pneumática, dada pela

diferença de pressão nas câmaras do cilindro, logo:

(2.18)

Assim, pode-se reescrever a equação (2.17) da seguinte forma:

(44)

O atrito é um aspecto importante de muitos sistemas de controle, tanto para os mecanismos pneumáticos quanto para sistemas hidráulicos. O atrito é o efeito ocasionado pelo contato entre duas superfícies que apresenta movimento, comprometendo o controle dos sistemas pneumáticos, pois apresenta características não lineares e de difícil modelagem (SOBCZYK, 2009). Em atuadores pneumáticos, a principal fonte de atrito provém do contato com as vedações do cilindro (Perondi, 2002).

A Figura 12 representa o contato entre duas superfícies com rugosidades que descreve esta não linearidade envolvendo o atrito. Neste sistema tem-se uma massa deslizando sobre uma superfície plana, devido a força aplicada sobre a mesma, tendo a ação contrária de uma força de atrito , apresentado assim, um deslocamento do corpo rígido ( ), que pode ser decomposto em uma componente elástica ( ) e em outra plástica ( ).

Figura 12: Desenho sistema não linear massa-superfície envolvendo o atrito

Fonte: Ritter (2010)

Atrito é um fenômeno não linear que exibe diversas características não lineares. As características de atrito são em geral dependentes da velocidade, da temperatura, do sentido do movimento, da lubrificação e do desgaste entre as superfícies. As características dinâmicas do atrito são responsáveis por degradações no desempenho do sistema e necessitam serem observadas para uma adequada compensação e consequentemente diminuição de seus efeitos. (VALDIERO, 2012).

Dentre esses efeitos pode-se mencionar as principais características dinâmicas do atrito estático, o atrito de Coulomb, o atrito viscoso ou o atrito de arraste, o atrito de Stribeck, a memória de atrito e o deslocamento de predeslizamento, que muitas vezes resultam em

(45)

efeitos danosos ao controle, como os efeitos conhecidos na literatura por adere-desliza (stick-slip), oscilações em torno da posição desejada (hunting), perda de movimento (standstill) e erros nas inversões de movimento em dois eixos ortogonais (quadrature glich). O estudo mais detalhado destas características pode ser encontrado em Valdiero (2005). A combinação das características do atrito resulta em uma função não linear conforme ilustrado pela Figura 13 que representa a força de atrito versus a velocidade em regime permanente.

Figura 13: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente

Fonte: Valdiero (2005)

Devido ao fato do atrito ser uma não linearidade presente nos sistemas mecânicos e por causar dificuldades de controle, surgiram diversos modelos para atender esta demanda, cada um procurando descrever o atrito de uma maneira mais completa. Mesmo sendo o atrito um fenômeno bastante estudado por pesquisadores nos últimos anos não se tem um modelo dinâmico aceito universalmente, no entanto a escolha de um modelo mais adequado que inclua todas essas características se dá ao conhecido modelo LuGre, proposto por Canudas de Wit et al. (1995). Este modelo está fundamentado no entendimento do mecanismo microscópico do fenômeno do atrito. Neste nível, as superfícies são muito irregulares e seu contato se dá através de rugosidades o que dificulta o deslizamento entre elas. A Figura 14 ilustra este fenômeno.

(46)

Figura 14: Representação da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato

Fonte: Miotto (2009)

Esta microdeformação causa uma força de atrito descrita por:

(2.20)

onde o parâmetro representa o coeficiente de rigidez das deformações microscópicas entre as superfícies de contato, é um estado interno não mensurável que representa a deformação média entre as superfícies e é o coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação , é o coeficiente de arraste, é a velocidade relativa entre as superfícies e a função sinal que tem a finalidade de manter a característica do elemento. Sendo que a força de atrito é composta por três parcelas, a primeira proporcional as médias das deformações ( ), a segunda proporcional a taxa de variação das deformações a terceira refere-se ao atrito de arraste o qual é causado pela resistência ao movimento de um corpo através de um fluído, sendo proporcional ao quadrado da velocidade e muitas vezes decorrente de um escoamento turbulento.

(2.21)

Em contrapartida, o atrito viscoso, é linearmente proporcional a velocidade e corresponde a uma situação de boa lubrificação, porém a resposta do sistema com este atrito foi insatisfatória, o qual não foi utilizado na modelagem. A Figura 15 e equação (2.22) descrevem suas características:

(47)

onde B é o coeficiente de amortecimento viscoso.

Figura 15: Características de atrito viscoso (a) e de arraste (b)

Fonte: Valdirero (2005)

A dinâmica das microdeformações denotada pela variável não mensurável é modelada através da seguinte equação:

(2.23)

onde representa uma função positiva que descreve parte das características do atrito em regime permanente, descrita por:

(2.24)

onde é o atrito de Coulomb, é o atrito estático e é a velocidade de Stribeck .

De acordo com Dupont et al. (2000), a função foi incorporada ao modelo Lugre e é empregada para obter a representação do atrito estático em velocidades baixíssimas. Sendo que esta função é definida por:

(48)

 

 

 

 

 

 

                                                  z y se y z z se y z z z se z z se z y z z y z z sen y z ba ba ba ba sgn sgn , ) ( , , 0 , 1 , 1 2 1 2 2 1 0 0 , max max max max         (2.25) (2.26)

onde é o deslocamento de força de quebra, de modo que para todo o movimento

na interface de atrito é composto apenas de comportamentos elásticos, e é o valor máximo das microdeformações e depende da velocidade.

Deste modo, ao considerar a dinâmica das microdeformações, onde se encontra modelada na equação (2.23), pode-se ressaltar que, em regime permanente, a velocidade é constante, e tem-se . Entretanto, pode-se aproximar o desvio por meio da seguinte equação:

(2.27)

Assim, substituindo-se a equação (2.27) na equação (2.23), obtêm-se então a equação (2.28), onde esta representa a força de atrito em regime permanente para movimentos com velocidades constantes:

(2.28)

Esta equação será de fundamental importância para a identificação dos parâmetros estáticos de atrito ( , , , ).

(49)

2.4 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem

O modelo matemático proposto é descrito por um sistema de equações diferenciais ordinárias de 5ª ordem o qual descreve o servoposicionador pneumático linear, representado na forma de variáveis de estado. Este modelo é descrito pelas equações apresentadas na subseção 2.3, considerando , , , e , tem-se

(2.29) (2.30) (2.31) (2.32) (2.33)

onde é a posição do êmbolo, é a velocidade, e as pressões na câmaras A1 e A2 do

cilindro, e é a dinâmica das microdeformações, Fatr a força de atrito, qma e qmb são as

vazões mássicas nas câmaras A e B do cilindro, A é a área do cilindro, Va0 e Vb0 os volumes

das câmaras A e B, respectivamente, T é a temperatura do ar de suprimento, R é a constante universal dos gases, e é a relação entre os calores específicos do ar.

2.5 Discussões

Este capítulo apresentou a modelagem matemática das principais características não lineares do atuador pneumático para o acionamento de uma bancada para ensaios de estruturas. A combinação das diversas não linearidades presentes neste sistema resultou em um modelo matemático de 5ª ordem que representa o comportamento dinâmico do atuador em estudo. Este modelo considera a não linearidade da dinâmica das pressões, zona morta, a vazão nos orifícios da servovávula e a dinâmica do movimento que inclui o atrito dinâmico.

A modelagem matemática apresentada neste capítulo torna-se necessária para a implementação, simulação computacional e análise do comportamento dinâmico do sistema pneumático.

(50)

3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL

3.1 Introdução

Este capítulo descreve a simulação computacional e validação do modelo matemático não linear de 3ª ordem, bem como do modelo adotado de 5ª ordem proposto no capítulo 2, para fins de comparação dos resultados. Apresenta-se também as simulações experimentais da bancada de ensaio de estruturas para aplicação de força de carga.

As simulações computacionais apresentadas são realizadas no software Matlab/Simulink e na solução das equações teve como método numérico Runge Kutta. Os parâmetros utilizados nas simulações numéricas foram identificados através de testes experimentais realizados no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Sistemas (NIMASS).

3.2 Descrição da Bancada de testes do Atuador Pneumático

A estrutura geral da bancada é composta pelos seguintes elementos: sistema de aquisição de dados, unidade de condicionamento de ar, válvula reguladora de pressão, cilindro pneumático e transdutores de pressão e posição. A Figura 16 ilustra os componentes da bancada experimental.

(51)

Figura 16: Bancada de aquisição de dados experimentais

Fonte: Autoria própria

O sistema de aquisição de dados envolve os seguintes componentes: um microcomputador, uma placa dSPACE1104 que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk, responsáveis pela captura dos dados da bancada experimental, para que em seguida sejam analisados e comparados com os dados obtidos nas simulações computacionais pois, permite a construção de uma interface gráfica para controle e manipulação de um conjunto de parâmetros em tempo real e por um conector de sinais da placa dSPACE.

A Figura 17 mostra a fotografia do conector de sinais da placa dSPACE utilizada neste trabalho.

Referências

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