UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ MARCIA FRITSCH GONCALVES

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MARCIA FRITSCH GONCALVES

MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL

ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES

IJUÍ, RS – BRASIL.

2012

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós – Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, como requisito parcial à obtenção do título Mestre em Modelagem Matemática

ORIENTADOR: DOUTOR ANTONIO CARLOS VALDIERO

IJUÍ, RS - BRASIL 2012

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DCEEng DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES

Elaborada por

MARCIA FRITSCH GONÇALVES

Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUÍ (Orientador)

Prof. Dr. Eduardo André Perondi – UFRGS

Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia - UNIJUÍ

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A Deus, pela vida e por mais esta conquista, pelos momentos felizes e por ter me iluminado em todos os períodos difíceis de minha vida.

A minha família, em especial meu esposo Daniel e meu filho Diego pelo amor, carinho e compreensão, nos dias e noites em que minha atenção e meus pensamentos estavam voltados para os estudos.

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos, orientação, dedicação, compreensão e paciência nesta caminhada, também pelo exemplo profissional.

Aos professores e bolsistas do Campus Panambi em especial ao Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia, pelo auxílio e apoio nas tarefas e estudos.

Aos professores e colegas do Mestrado, em especial Márcia, Daiane e Sandra, por terem propiciado a oportunidade de trocarmos experiências e juntas construirmos conhecimentos. Obrigada também, pelo convívio harmonioso e pelo incentivo.

À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal em Nível Superior pelo apoio concedido na realização desta pesquisa.

À MCT/FINEP e SEBRAE/RS pelos recursos destinados ao Projeto Kit Colheitadeira.

À UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul e ao DCEEng - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias pela oportunidade de realização do Programa de Pós Graduação em Modelagem Matemática e, em especial à secretária Geni, pela dedicação, atenção e amizade.

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"A mente que se abre a uma nova idéia, jamais volta ao seu tamanho original".

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SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS ... 8 LISTA DE TABELAS... 10 SIMBOLOGIA ... 11 RESUMO ... 14 ABSTRACT ... 15 1 INTRODUÇÃO... 16 1.1 GENERALIDADES... 16 1.2 OBJETIVOS E JUSTIFICATIVAS... 18

1.3 ANTECEDENTES DESTE TRABALHO NA UNIJUÍ... 19

1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 20

1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO... 22

2 MODELAGEM MATEMÁTICA ... 24

2.1 INTRODUÇÃO... 24

2.2 DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL... 24

2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR HIDRÁULICO... 26

2.3.1 Introdução ... 26

2.3.2 Não Linearidade da Zona Morta ... 29

2.3.3 Equação da vazão nos orifícios da válvula proporcional direcional ... 31

2.3.4 Dinâmica das pressões ... 32

2.3.5 Equação do Movimento com a Dinâmica do Atrito... 35

2.3.6 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem para o Atuador Hidráulico ... 39

2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DO MOVIMENTO DA BANCADA... 41

2.5 DISCUSSÃO... 46

3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA DINÂMICA DA BANCADA COM ACIONAMENTO HIDRÁULICO ... 47

3.2 PARÂMETROS DO ATUADOR HIDRÁULICO E DA BANCADA... 47

3.3 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DO ATRITO... 49

3.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO MATEMÁTICO... 51

3.5 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL... 57

3.6 DISCUSSÃO... 63

4 DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS

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4.2 DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL... 64

4.3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS... 67

4.4 VALIDAÇÃO... 70

4.5 DISCUSSÕES... 74

5 CONCLUSÕES ... 75

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Fotografia de uma colheitadeira realizando trabalho em campo (John Deere, 2012)

... 18

Figura 2 – Fotografia do Protótipo da Bancada... 25

Figura 3 – Fotografia da instrumentalização do protótipo de controle de nivelamento por acionamento hidráulico e avaliação em laboratório ... 25

Figura 4 – Diagrama esquemático do sistema de atuação hidráulica ... 27

Figura 5 – Vista em corte da válvula com destaque para a sobreposição no orifício de passagem do fluido (Valdiero, 2005) ... 29

Figura 6 – Representação gráfica da não linearidade da zona morta da válvula... 30

Figura 7 – Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste simples ... 32

Figura 8 – Desenho esquemático do escoamento de um fluido na câmara genérica... 32

Figura 9 – Desenho esquemático mostrando o contato microscópico entre as superfícies em movimento relativo com a representação de uma rugosidade elástica (VALDIERO, 2005)... 35

Figura 10 – Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato (MIOTTO, 2009). ... 37

Figura 11 – Combinação das características de atrito em regime permanente... 39

Figura 12 – Desenho esquemático das forças atuantes da bancada... 41

Figura 13 – Desenho esquemático da bancada com representação dos sistemas coordenados de referência e das forças atuantes ... 43

Figura 14 – Diagrama de blocos esquemático dos principais componentes da modelagem matemática da bancada. ... 46

Figura 15 – Determinação do mapa de atrito estático em um cilindro hidráulico... 50

Figura 16 – Diagrama de blocos do modelo matemático da bancada hidráulica ... 52

Figura 17 – Diagrama de blocos da Equação da Vazão. ... 53

Figura 18 – Diagrama de blocos da dinâmica da força hidráulica. ... 54

Figura 19 – Diagrama de blocos das forças presentes no atuador hidráulico... 55

Figura 20 – Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica do atrito no cilindro. ... 55

Figura 21 – Diagrama de blocos da componente da força de gravidade. ... 56

Figura 22 – Diagrama de blocos da dinâmica da plataforma girante. ... 57

(9)

Figura 24 – Inclinação angular da bancada para 3 V. ... 58

Figura 25 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico... 59

Figura 26 - Inclinação angular da bancada para 3 V. ... 59

Figura 27 - Inclinação angular da bancada para - 3 V... 60

Figura 28 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico... 61

Figura 29 – Diagrama de blocos em malha fechada utilizado na simulação do modelo... 62

Figura 30– Representação gráfica da trajetória desejada e da trajetória da simulação computacional... 62

Figura 31– Representação gráfica da trajetória desejada e trajetória da simulação computacional... 63

Figura 32 – Fotografia da bancada de instrumentação para aquisição de dados... 65

Figura 33 – Fotografia do encoder incremental... 66

Figura 34 - Fonte Instruthem para alimentação dos sensores e fonte HP para alimentação da válvula direcional proporcional ... 66

Figura 35 – Fotografia da Válvula proporcional de Controle Direcional 4WRAE e transdutores de pressão Zurich PSI - 420 ... 67

Figura 36 – Inclinação da bancada experimental em graus... 68

Figura 37 – Inclinação da bancada experimental em graus... 68

Figura 36 – Inclinação da bancada experimental, em graus, com entrada senoidal... 69

Figura 39 – Resultado experimental e computacional com entrada de 3V ... 71

Figura 40 – Resultado experimental e computacional com entrada de - 3V... 71

Figura 41 – Resultado experimental e computacional entrada senoidal ... 72

Figura 42 – Resultado experimental e computacional com corte para entrada senoidal... 73

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Especificações dos equipamentos hidráulicos utilizados ... 26

Tabela 2 – Parâmetros do atuador hidráulico utilizado ... 48

Tabela 3 – Parâmetros da plataforma girante ... 48

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SIMBOLOGIA

Alfabeto Grego

θ

Ângulo da plataforma girante

[ ]

rad

( )

z &,y

α

( )

⋅⋅ Derivada segunda

( )

⋅ Derivada terceira Alfabeto Latino

a Distancia entre a origem dos sistemas A e B do atuador

N

( )

y

f₁ Função não linear

( )

y

f₂ Função não linear

F Força

[ ]

N atr F Força de atrito

[ ]

N ss , atr

F Força de atrito em regime permanente

[ ]

N

c

(12)

L

F Força de carga

[ ]

N

S

y

gss & Função de atrito em regime permanente

I Momento de Inércia da Bancada

[

]

2 s kg⋅ s k Constante hidráulica

[

a 1/2

m

md

Inclinação direita da zona morta

me

Inclinação esquerda da zona morta

M Massa da haste + êmbolo + cilindro do atuador

[ ]

kg

y

M && Força de inércia

[

2

]

s . m . kg − P Pressão

3 1

]

s m ⋅ −

b

Q Vazão na câmara B do cilindro

[

3 1

]

s m ⋅ − r

Distância do centro de giro ao ponto de aplicação da força

[ ]

m

t Tempo

[ ]

s

atr

T Torque de atrito

[ ]

N.m

g

(13)

u Sinal de entrada da válvula 10

V Volume inicial na câmara A

[ ]

3

x1, y1

)

Coordenadas do ponto fixo da Bancada

v

x Deslocamento do carretel da válvula

[ ]

m

y Posição do atuador

[ ]

m

s

y& Velocidade de Stribeck

[

1

m

zmd Limite direito zona morta

[ ]

V

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RESUMO

Neste trabalho apresenta-se a modelagem matemática da dinâmica de uma bancada acionada hidraulicamente para simulação de aclives. Os sistemas hidráulicos são um conjunto de elementos físicos convenientemente associados, que utilizando um fluído óleo-hidráulico como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. Os sistemas hidráulicos são usados onde há necessidade de forças e torques relativamente altos, alta velocidade de resposta para o início, parada e reversão da velocidade. Os atuadores hidráulicos têm grande aplicação em sistemas industriais, em robótica, simuladores de movimento, plantas automatizadas, exploração de minérios, prensas, entre outras. As características dinâmicas do sistema e as não linearidades presentes nos atuadores hidráulicos dificultam seu controle e, conseqüentemente, precisam ser estudadas para melhor definição das estratégias de controle. O objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática e a simulação computacional da dinâmica de uma bancada acionada por atuadores

hidráulicos para simulação de terrenos inclinados e, posteriormente, validar

experimentalmente o modelo no protótipo de uma bancada construído em laboratório. Para realizar a modelagem matemática do sistema hidráulico da bancada utilizam-se as equações da dinâmica da bancada, da vazão nos orifícios da válvula, da variação das pressões nas câmaras do cilindro, do atrito dinâmico e a equação do movimento da carga do cilindro. Após a modelagem matemática, implementou-se o modelo na forma de diagrama de blocos no MatLab/Simulink para posterior análise e interpretação dos resultados da simulação. Os resultados obtidos ilustram o comportamento dinâmico da bancada com acionamento hidráulico. A partir dos resultados obtidos, pretende-se contribuir para a elaboração de estratégias de controle e também para a realização de melhorias e modificações em protótipos experimentais de inovações em máquinas agrícolas. A contribuição desta dissertação consiste no acoplamento do modelo matemático de um atuador hidráulico do modelo dinâmico do movimento do mecanismo da bancada.

Palavras-chave: Atuador Hidráulico, Simulação Computacional de Declives, Modelagem Matemática

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ABSTRACT

This paper presents the mathematical modeling of the dynamics of a hydraulically actuated workbench for simulating uphill. Hydraulic systems are used where there is need for relatively high forces and torques, high response speed to start, stop and reverse speed. The hydraulic actuators have wide application in industrial systems, robotics, motion simulators, automated plants, mineral exploration, presses, among others. Hydraulic systems are a set of physical conveniently associated with that using oil hydraulic fluid as a means of energy transfer allows the transmission and control forces and movements. The dynamic characteristics of the system and the nonlinearities present in the hydraulic actuators make its control difficult, and consequently need to be studied to better define the control strategies. The objective of this study is to perform mathematical modeling and computer simulation of the dynamics of bench-driven hydraulic actuators to simulate a slope and then experimentally validate the model in a prototype constructed in laboratory bench. To perform the mathematical modeling of the hydraulic system of the bench using the equations of the dynamics of the bench, the flow into the holes of the valve, the pressure variation in the chambers of the cylinder, of dynamic friction and the equation of motion of the loading cylinder. After the mathematical model was implemented the model in the form of block diagram in Matlab / Simulink for further analysis and interpretation of simulation results. The results illustrate the dynamic behavior of the bench with hydraulic drive. From the results it is possible contribution in the development of control strategies and also to carry out improvements and modifications in experimental prototypes of innovations in agricultural machinery. The contribution of this dissertation is the coupling of the mathematical model of a hydraulic actuator in the dynamic model of the mechanism of movement of the bench.

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Este trabalho trata da modelagem matemática e da validação do modelo proposto de uma bancada experimental acionada hidraulicamente para simulação de aclives. A validação do modelo é feita através da comparação dos dados experimentais com os dados obtidos por meio de simulação computacional. Para a implementação e a validação do modelo inclui-se a dinâmica do atrito, resultando em um sistema de equações diferenciais ordinárias de 5ª ordem.

A automação de processos vem crescendo cada vez mais em diversos setores da atividade humana. Isto se deve, dentre outros fatores, à evolução da eletrônica, da informática e dos dispositivos de acionamento e medição. A partir desta evolução surge a necessidade de se desenvolver técnicas de trabalho que permitam ao homem o aprimoramento dos processos produtivos e a busca da qualidade. Neste contexto, há um grande destaque para os sistemas mecânicos, pois têm um papel fundamental na automação de tarefas que exigem o posicionamento de materiais, objetos ou ferramentas. Os sistemas mecatrônicos compõem-se de três principais componentes: mecanismo, acionamento e sistema de controle (VALDIERO, 2012) e podem ser acionados por atuadores elétricos, hidráulicos ou pneumáticos.

Em um sistema com acionamento hidráulico uma forma de energia de entrada fluída é convertida e condicionada, de modo a se ter como saída energia mecânica útil (DE NEGRI, 2001). Os sistemas hidráulicos possuem amplo campo de aplicação onde há controle de forças ou pressões com alta precisão e resposta rápida aos comandos.

Os atuadores hidráulicos são utilizados em diversas aplicações e diferentes áreas de trabalho devido à sua capacidade de manipular grandes forças com baixa inércia, pouca vibração e pela capacidade de trabalho por longos períodos de tempo. Porém, um dos maiores problemas no uso deste tipo de atuador, para aplicações que requerem alto desempenho na manipulação de objetos, são suas características dinâmicas que dificultam seu controle em malha fechada (VALDIERO, 2005).

O uso dos atuadores hidráulicos possui vantagens conhecidas há muito tempo sobre os atuadores pneumáticos e elétricos. As principais vantagens dos sistemas de acionamento hidráulicos são: alta relação força/tamanho, paradas e partidas rápidas; facilidade de instalação quando comparado aos acionamentos elétricos; produz perfil desejado de força de

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carregamento na estrutura em teste. Abrange aplicações em diferentes áreas, tais como: extração mineral, indústria aeroespacial, veículos de transportes e passeio, equipamentos odontológicos, construção civil, entre outros.

Linsingen (2003) descreve o sistema hidráulico como um conjunto de elementos físicos convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. Aponta como características importantes dos sistemas hidráulicos a baixa relação peso/potência; bom comportamento em relação ao tempo, ou seja, resposta rápida a partida e inversão de movimento sob carga devido aos baixos momentos de inércia; adaptação automática de força ou torque; sistemas adequados tanto para o controle de processos em que o movimento é rápido quanto para os de movimento de precisão lento; segurança eficaz contra sobrecargas; componentes lubrificados pelo próprio fluido de trabalho e possibilidade de combinação com outros sistemas.

Por outro lado, esse mesmo autor apresenta algumas desvantagens no uso dos atuadores hidráulicos, tais como: custo elevado em relação aos sistemas mecânicos e elétricos compatíveis; perda de potência devida à dissipação por atrito viscoso, o qual limita a velocidade do fluido e, como conseqüência, a velocidade dos atuadores hidráulicos; perdas por vazamentos internos; possibilidade de presença de ar no sistema e elevada dependência da temperatura.

Miotto (2009) apresenta as vantagens, desvantagens e custo de cada tipo de atuador (pneumático, óleo-hidráulico, hidro-hidráulico, elétricos rotativos e elétricos lineares).

Avila et al. ( 2004) propuseram uma técnica de controle integral para o controlador de um atuador hidráulico impulsionado por uma servoválvula para compensar os erros de posicionamento do atuador devido as constantes perturbações externas e às não linearidades presentes no sistema, como o atrito. Através de simulações computacionais, validam o modelo proposto e asseguram a estabilidade do sistema.

Rahmat et al. (2011) propuseram a criação de um controlador robusto para compensar as não-linearidades e incertezas causadas pela presença de atrito e a identificação do vazamento interno. O modelo matemático do sistema é representado pela relação do atrito e por um modelo matemático que representa o vazamento interno. O atrito foi representado pelo modelo LuGre. Por meio dos resultados indicam que o controlador melhora o desempenho e a precisão de seguimento do sistema. Destacam também, a importância do trabalho pela contribuição significativa no controle de aplicações de posicionamento dos equipamentos modernos.

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1.2 Objetivos e Justificativas

O objetivo geral deste trabalho é contribuir para a pesquisa em modelagem matemática aplicada na utilização de atuadores hidráulicos numa bancada de simulação de aclives. Neste sentido, podem-se destacar os seguintes objetivos específicos:

• Realização de revisão bibliográfica em literatura recente das características não

lineares de sistemas hidráulicos;

• Formulação de um modelo matemático que represente adequadamente o

comportamento de um atuador hidráulico acoplado a uma bancada experimental que simula, em laboratório, o sistema mecânico de colheitadeiras de grãos durante seu funcionamento em terrenos irregulares com inclinações transversais.

• Implementação dos algoritmos do modelo proposto, avaliando os resultados obtidos

na simulação computacional e validação do modelo comparando com os resultados obtidos na bancada experimental.

A representação das irregularidades dos terrenos é importante e tem como principal justificativa a prevenção em laboratório das condições de funcionamento de máquinas agrícolas em campo e para o desenvolvimento e testes de inovações para sua adequada

compensação. Na Figura 1 está apresentada uma colheitadeira executando as tarefas em

campo.

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1.3 Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ

Com o intuito de dar continuidade a trabalhos que já vem sendo realizado no programa de Mestrado em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, e que de alguma forma já contribuíram para uma melhor visão no que se refere a acionamentos hidráulicos, esta dissertação refere-se à modelagem matemática, a simulação computacional e a validação da dinâmica de uma bancada acionada por atuadores hidráulicos para simulação de aclives de terrenos. A simulação de terrenos inclinados é importante para prever as condições de funcionamento em laboratório das máquinas agrícolas nas condições em campo.

Na área que envolve o uso de atuadores hidráulicos, os trabalhos que contribuíram para a pesquisa e que antecederam esta dissertação, são os de Dilda (2008), Miotto (2009) e Fracaro (2011).

Dilda (2008) realizou a modelagem matemática, e o controle de um atuador hidráulico trabalhando com um modelo matemático não linear de 4ª ordem, interpretado como dois subsistemas interconectados: um subsistema mecânico acionado por um subsistema hidráulico). Nesse trabalho, a autora propôs o uso de uma estratégia em cascata para o atuador hidráulico, com o objetivo de projetar uma lei de controle para o subsistema mecânico onde a saída siga uma trajetória desejada (ou o mais próximo possível) para então projetar uma lei de controle para o sistema hidráulico, que gere como resposta a força hidráulica necessária.

Miotto (2009) teve como objeto de estudo a modelagem matemática da dinâmica do atrito e sua aplicação no projeto de controle ótimo de um atuador hidráulico. O atrito considerado em Miotto é descrito através do modelo LuGre. O atuador modelado é composto por uma válvula direcional de controle proporcional simétrica e um cilindro hidráulico de dupla haste, que, com a inclusão do atrito, resultou num modelo de 5ª ordem.

Fracaro (2011) apresentou a modelagem matemática de um sistema de atuação com hidráulica proporcional aplicado numa bancada para testes de vibração. Realizou a simulação computacional, bem como, a validação experimental do modelo proposto.

Também antecede esta dissertação, o estudo de Valdiero (2005) que utilizou o modelo LuGre de atrito, proposto por Canudas de Wit. et al. (1995), porém com uma modificação conforme propõe o modelo de Dupont (2000).

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1.4 Revisão Bibliográfica

Nesta seção apresenta-se uma breve descrição da revisão bibliográfica relacionada à modelagem matemática de atuadores hidráulicos e suas aplicações.

A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real (Bassanezi, 2002). Através da modelagem matemática é possível fazer previsões e obter o comportamento acerca de um determinado fenômeno e ou problema. Porem é preciso ter consciência de que os modelos são apenas representações simplificadas da realidade.

Devido à crescente demanda por produtividade e a utilização de equipamentos com grau de precisão cada vez mais elevado, algumas áreas tem se destacado, tais como: modelagem e simulação dinâmica de sistemas. Recebem tanta atenção por parte das indústrias, como das áreas da aeronáutica, da automobilística, das máquinas pesadas, quanto de instituições de pesquisa e desenvolvimento tecnológico.

Atualmente os sistemas de atuação hidráulica são muito usados na indústria, por exemplo, nas plantas automatizadas, em robótica, simuladores de movimento, plantas de processamento de metal, exploração de minérios, prensas, maquinaria pesada, etc. Geralmente são empregados onde são necessários forças e torques relativamente altos, alta velocidade de resposta para o inicio, parada e reversão da velocidade, etc.

Conforme Valdiero et al. (2007), os sistemas hidráulicos são muito utilizados nas industrias do setor metal – mecânica, na mecanização agrícola e no manuseio e transporte de materiais. Do mesmo modo, Valdiero e Andriguetto (1999) mostram a aplicação de robôs seriais acionados hidraulicamente em ambientes insalubres, como soldagem, pintura, polimento, tratamentos térmicos e químicos, além da movimentação de cargas.

Os atuadores hidráulicos podem ser definidos como conversores de energia de uma fonte externa em energia mecânica controlada. Utilizam a potência hidráulica para prover determinado trabalho mecânico apresentando as seguintes vantagens: grandes forças e densidade de trabalho (mais do que qualquer outro atuador) e hastes tão longas quanto necessário (GOMIS-BELLMUNT. et al., 2008).

Os atuadores hidráulicos também podem ser chamados de cilindros hidráulicos e são utilizados para fazer movimentos translacionais. São aplicados em sistemas hidráulicos de controle para posicionar grandes cargas. De acordo com Linsingen (2003) a classificação de cilindros hidráulicos é realizada de acordo com sua forma de ação (dupla ou simples), tipo construtivo (tirante ou flanges) e pela forma de fixação. Além destas características, destaca a

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importância de considerar as condições operacionais a que estes são submetidos para projetar e analisar sistemas hidráulicos, visto que, situações de dinâmica extrema (elevada inércia das massas associadas) afetam expressivamente o comportamento operacional do sistema.

As aplicações mais comuns da hidráulica são para transmissão e regulação de força e velocidade, bem como para posicionamento. Sistemas de posicionamento hidráulico possuem grande aplicação no meio industrial, pois apresentam baixa relação peso/potência, quando comparados com sistemas elétricos equivalentes. Além disto, oferecem a versatilidade de um controlador eletrônico (Merritt, 1967; Eryilmaz e Wilson, 1999). Outra característica que favorece a utilização em larga escala dos sistemas hidráulicos é a repetibilidade, pois estes sistemas têm vida útil prolongada.

Diversas aplicações de sistemas hidráulicos são citadas na literatura cientifica e também na indústria em geral. Dentre elas podemos destacar: controle de robôs (Valdiero, 2005), simuladores de vôo (Plummer, 1995), controle de lemes e flaps na indústria naval e aeronáutica (De Negri, et al. 1997), na abertura de válvulas de plantas químicas industriais (De Negri, et al. 1997), no posicionamento de rolos laminadores em linhas de produção de chapa (De Negri, et al. 1997). Pode-se citar ainda a aplicação de um simulador sísmico acionado por um sistema hidráulico (Newell et al., 1995) e a utilização para posicionamento e controle de pressão realizado com uma servo-válvula (Fink, 1997).

Muitas outras aplicações estão presentes na indústria bélica, aeronáutica e espacial. Através da diversidade de aplicações percebe-se que os sistemas hidráulicos permitem controlar o movimento da carga em condições estáticas e dinâmicas requeridas para cada área de aplicação (Rodrigues et al., 2003).

Sun, J e Miao, Y. (2011) propuseram a criação de um sistema de auto-nivelamento para um pulverizador agrícola com acionamento hidráulico. Destacam a importância na escolha do cilindro hidráulico e da válvula de acordo com especificações e utilização dos mesmos. Além disto, indicaram um controlador de compensação para o sistema hidráulico para ter certeza de uma resposta rápida ao comando de nivelamento da barra do pulverizador inclinado.

Já, Miotto et al.. (2008), destacam a importância da utilização de atuadores hidráulicos, pois possuem ampla variedade de aplicação de força e posicionamento. Porém, destacam algumas dificuldades de modelagem, simulação e controle, como: dificuldade de obtenção dos parâmetros, dinâmicas pouco amortecidas e não linearidades significativas em suas dinâmicas, como a zona morta e a dinâmica do atrito. Na seção 2.3 serão apresentadas e

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discutidas as não linearidades que afetam os atuadores hidráulicos, principalmente a zona morta e o atrito dinâmico.

De acordo com Machado (2003), a compensação do atrito não linear é uma das maiores dificuldades de modelagem do atuador hidráulico. Este mesmo autor realizou o estudo do atrito e a sua compensação em malha fechada com um controlador em cascata fixo comparando os resultados obtidos com dados experimentais. Destaca que este controlador apresenta desempenho superior quando comparado aos controladores clássicos como PID e controlador de estados, pois sua implementação no modelo possibilita a redução erros de seguimento de trajetória.

Valdiero (2005) apresenta as características do atrito, definindo-o como um fenômeno não linear multifacetado que exibe diversas características não lineares. Estas características são compostas pelos conhecidos e clássicos atrito estático, atrito de Coulomb, atrito viscoso e de arraste, os quais compõem os modelos baseados em mapas estáticos; além disso, são formados por fenômenos dinâmicos mais complexos, tais como: atrito de Stribeck, atrito estático crescente, memória de atrito e deslocamento de predeslizamento.

Já, Canudas de Wit e Lischinski (1997) enfatizam que o atrito ocorre em todas as máquinas que incorporam peças com movimento relativo, causando assim erros típicos de regime permanente em controle de posição e atrasos no seguimento, podendo até mesmo causar instabilidade.

Autores como Wang e Su (2007) apud Dilda (2008), apresentam a modelagem e controle do braço de um robô hidráulico para jateamento de concreto na construção de túneis.

1.5 Organização do Trabalho

Para a efetivação deste trabalho, realizou-se inicialmente uma ampla revisão bibliográfica pertinente ao tema em estudo, seguido da definição do modelo a ser adotado e da identificação dos parâmetros do atrito e da bancada a serem utilizados na simulação computacional do modelo. O modelo tem sua validação experimental realizada em uma bancada hidráulica no Núcleo de Inovação de Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ/Campus Panambi.

Este trabalho está estruturado em 5 Capítulos. O primeiro capítulo é dedicado à revisão bibliográfica do tema, apontando o que já foi pesquisado anteriormente. Traz também

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os objetivos e a justificativa deste trabalho. No Capítulo 2, inicialmente, é feita descrição bancada experimental acionada hidraulicamente. Após, é feita a modelagem matemática do atuador hidráulico incluindo o modelo do atrito dinâmico (modelo de atrito de Lugre), e em seguida, é feita a modelagem matemática da inércia da bancada utilizada para simulação de aclives. No Capítulo 3 apresentam-se alguns resultados obtidos através da simulação computacional da dinâmica da bancada em malha aberta e é feita a identificação dos parâmetros do modelo e explicitado a implementação computacional do modelo. O Capítulo 4 traz os testes experimentais assim como, a descrição da bancada de teste, resultados obtidos e validação do modelo. No Capítulo 5 apresentam-se as conclusões, discussões e perspectivas para trabalhos futuros.

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2 MODELAGEM MATEMÁTICA

2.1 Introdução

Neste capitulo é feita a modelagem matemática da dinâmica de uma bancada acionada por atuadores hidráulicos para simulação de aclives de terrenos. Este estudo destaca-se pela importância da realização de testes em laboratório prevendo, assim, erros que podem ser corrigidos antes da criação dos modelos protótipos. A bancada construída em laboratório prevê ainda o comportamento irregular do solo encontrado na maioria das lavouras, simulando as variações de inclinação lateral das peneiras de separação e limpeza de grãos de uma colheitadeira autopropelida de grãos.

Propõe-se apresentar um modelo matemático para a bancada experimental acionada por um atuador hidráulico. Partindo das características não lineares dos sistemas hidráulicos, incluindo também, o modelo da dinâmica inercial da bancada experimental para simular aclives, realizar-se-á a simulação computacional e a validação do modelo proposto. Os parâmetros do sistema são obtidos a partir de dados experimentais do protótipo da bancada construída em laboratório.

2.2 Descrição da bancada experimental

A bancada experimental é formada por um mecanismo, composto de uma base fixa e uma plataforma móvel que gera movimentos angulares. Seu acionamento é composto por uma válvula de controle direcional descrita conforme Miotto (2009) e um cilindro hidráulico de haste simples; e um sistema de controle composto por uma placa de controle e aquisição de dados dSPACE 1104 que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação. A Figura 2 apresenta a imagem do atuador hidráulico acoplado a uma bancada experimental que simula, em laboratório, o sistema mecânico em colheitadeiras de grãos durante seu funcionamento em terrenos irregulares com inclinações transversais.

Na Figura 3 está apresentada a representação da instrumentalização utilizada para a aquisição dos dados do sistema de controle. Este sistema é composto por uma placa de

(25)

controle e aquisição de dados dSPACE 1104 que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação.

Figura 2 – Fotografia do Protótipo da Bancada

Figura 3 – Fotografia da instrumentalização do protótipo de controle de nivelamento por acionamento hidráulico e avaliação em laboratório

(26)

Na tabela 1, estão descritos os principais componentes utilizados na bancada experimental da Figura 2:

Tabela 1 – Especificações dos equipamentos hidráulicos utilizados

Fabricante Código

catálogo Especificações:

Cilindro Hidráulico Bosch RexRoth

CDT3MP3/4 0/28/500Z1X /R1CDD TWW Curso = 0,5 m Diâmetro = 0,04 m Válvula Proporcional de Controle Direcional Bosch RexRoth 4WRAE6E1 15-2X/ G24K31/A1 V

Vazão nominal 15 l/minuto 2 / a b Q Q = Vazão assimétrica 0 – 10v

Transdutor de pressão Zurich PSI - 420 0 a 100 bar

Encoder Incremental (medição da posição angular

da bancada)

Hohner

7510- 0622- 1000

1000 pulsos por rotação

Unidade de Potência e Acondicionamento

Hidráulico

- -

Reservatório de 180 L Vazão máxima de 50 l/min

Pressão máxima 100 bar

2.3 Modelagem matemática do atuador hidráulico

2.3.1 Introdução

Nesta seção é descrita a modelagem matemática que apresenta o comportamento dinâmico do atuador hidráulico e suas principais características não lineares. O modelo proposto é de 5º ordem e apresenta a combinação da dinâmica da válvula com a dinâmica do cilindro, bem como, o modelo dinâmico do atrito, ou seja, o modelo Lugre. São apresentados os princípios físicos e as deduções matemáticas para a obtenção de um modelo não linear de um atuador hidráulico.

O sistema de atuação hidráulica considerado na modelagem é composto de um cilindro de dupla ação e haste simples e uma válvula proporcional de controle direcional de 4

(27)

vias e 3 posições. Na Figura 4 está ilustrado o desenho esquemático de um atuador hidráulico.

Figura 4 – Diagrama esquemático do sistema de atuação hidráulica

O atuador hidráulico tem a seguinte forma de funcionamento: o fluido hidráulico é fornecido a válvula proporcional por uma Unidade de Potência e Condicionamento Hidráulico (UPCH) sob condições de pressão e vazão previamente reguladas. Durante a operação, o sinal de controle u energiza o solenóide da válvula de modo que uma força resultante é aplicada no carretel da válvula, produzindo o deslocamento do carretel. O deslocamento do mesmo gera orifícios de passagem, fornecendo fluido a alta pressão para uma das câmaras do cilindro e permitindo que o fluido da outra escoe para o reservatório. Conseqüentemente, há a variação de pressão nas câmaras do cilindro, resultando numa força que movimenta a haste do cilindro

com deslocamento y, positivo ou negativo, dependendo do sinal de entrada. Esta força

hidráulica gerada pelo atuador hidráulico é dada pelo produto da área da seção transversal da câmara 1, A₁, do cilindro pela pressão p_a nesta câmara subtraída do produto da área da

seção transversal da câmara 2, A₂, do cilindro pela pressão p_b na câmara 2.

Na modelagem do atuador hidráulico, utiliza-se a equação da conservação da energia (Equação de Bernoulli) para a modelagem das vazões na válvula proporcional e são utilizadas as equações da continuidade e do movimento para modelagem da dinâmica das pressões e o movimento, respectivamente, no cilindro hidráulico. Também se inclui a modelagem

(28)

matemática das não-linearidades do atuador hidráulico, tais como: a zona morta e a dinâmica do atrito.

Para a elaboração do modelo matemático, foram estabelecidas as seguintes premissas:

• Foi desprezada a dinâmica elétrica dos solenóides proporcionais e do

movimento da válvula por serem muito rápidas. Como conseqüência, dado o sinal elétrico de controle u, considera-se o movimento do carretel da válvula seja instantâneo,

representado por x_v =u. Foram desprezadas a dinâmica elétrica dos solenóides

proporcionais e do movimento da válvula.

• O atrito entre o pórtico da válvula e o carretel não foi considerado.

• Considera-se constante o coeficiente de vazão nos orifícios da válvula

(

k_a ek_b

)

,_{o qual agrega propriedades consideradas constantes para o escoamento e para}

o fluido, por exemplo, o peso específico do fluido e as características geométricas da válvula.

• O módulo de elasticidade do fluido é considerado constante. Seu valor está

sujeito à pressão e à temperatura do fluido, portanto, esses efeitos não foram considerados no modelo.

• O vazamento que ocorre no cilindro não é considerado na modelagem e tem o

efeito de amortecimento do sistema.

• O atrito que ocorre entre o embolo e o cilindro e também entre a haste e as

vedações do cilindro foi modelado através do Modelo LuGre, conforme descrição nas seções seguintes.

Estas hipóteses simplificadoras são consideradas na modelagem matemática das

características não lineares do atuador hidráulico.

A zona morta é uma caracteristica comum em válvulas hidráulicas, pois na maioria das vezes a largura do ressalto do carretel é maior que a largura do orifício de passagem do fluido, de forma que para uma determinada posição não há passagem do fluido. Outra não-linearidade é a relação entre vazão e pressão nos orifícios da válvula que depende da diferença de pressão do orifício e da abertura da válvula. Igualmente, o modelo para a dinâmica das pressões que é obtido através da equação da continuidade e resulta em duas equações não lineares de primeira ordem.

(29)

O atrito é uma das principais não linearidades que perturbam o controle de atuadores hidráulicos. Nestes, o atrito ocorre, principalmente, entre as superfícies de contato nas vedações da haste com o cilindro, mas também nas paredes do cilindro com o êmbolo. O atrito varia constantemente e depende de fatores ambientais, como temperatura e condições de lubrificação. Neste trabalho será descrito o modelo de atrito pelo método de LuGre, que foi proposto em Canudas et al. (1995) e aperfeiçoado por Dupont et al. (2000) para incluir as características dinâmicas.

2.3.2 Não Linearidade da Zona Morta

A válvula considerada para a modelagem é uma válvula proporcional de controle direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou seja, a largura do ressalto é maior que a largura do pórtico de passagem do fluido. A Figura 5 mostra um desenho em corte da válvula destacando a sobreposição existente entre o ressalto do carretel e o orifício do pórtico. Esta sobreposição é comum em sistemas mecânicos, principalmente em válvulas de centro supercrítico e é a principal causa da não linearidade da zona morta da válvula.

Figura 5 – Vista em corte da válvula com destaque para a sobreposição no orifício de passagem do fluido (Valdiero, 2005)

(30)

Na Figura 6 está apresentada a representação gráfica da zona morta. Esta não linearidade ocorre quando é dado um sinal de entrada e o carretel não se desloca suficientemente para liberar a passagem do fluido causando, deste modo, atrasos e erros na resposta do sistema, requerendo a identificação e sua adequada compensação.

Figura 6 – Representação gráfica da não linearidade da zona morta da válvula

Valdiero et al. (2006) propuseram uma metodologia para a identificação da zona morta, admitindo-a como uma não linearidade de entrada do sistema e que pode ser compensada na saída do controlador e ter seus efeitos minimizados. A expressão que caracteriza a zona morta é dada pelas condições da Equação (2.1):

     ≤ − < < ≥ − = zme ) t ( u se ) zme ) t ( u ( me zmd ) t ( u zme se 0 zmd ) t ( u se ) zmd ) t ( u ( md ) t ( u_zm (2.1)

onde, ué o sinal de entrada, u_zm é o valor de saída, zmdé o limite direito da zona morta,

zme é o valor esquerdo da zona morta, mdé a inclinação direita da zona morta e meé a

(31)

2.3.3 Equação da vazão nos orifícios da válvula proporcional direcional

Neste trabalho, a determinação das vazões nos orifícios da válvula em função do

sinal do deslocamento x do carretel, pode ser obtida através da Equação de Bernoulli _v

(balanço de energia), resultando nas equações (2.2) e (2.3).

)) ( , ( ) , (x p k x g₁ p sign u Q_a _v _a = _a _v _a (2.2) )) ( , ( ) , (x p k x g2 p sign u Qb v b =− s v b (2.3)

onde, k_aek_b é o coeficiente de vazão dos orifícios a e b da válvula, x_v é o deslocamento do

carretel da válvula e as funções g₁(p_a,sign(x_v)) eg₂(p_b,sign(x_v )), são definidas em Bu e Yao (2000), apud Valdiero (2005) como:

    < − ≥ − = = 0 x para p p 0 x para p p p )) x ( sign , p ( g v r a v a s a v a 1 ∆ (2.4)     < − ≥ − = ∆ = 0 0 )) ( , ( 2 v b s v r b b v b x para p p x para p p p x sign p g (2.5)

onde, p_s é a pressão de suprimento, p_ré a pressão de retorno, p_a e p_b são as pressões nas

câmaras 1 e 2 do cilindro hidráulico, respectivamente.

As não linearidades das vazões Q_a(x_v,p_a) e Q_b(x_v,p_b)fornecidas pela válvula são representadas pelas funções g₁( p_a,sign(x_v )) eg₂(p_b,sign(x_v )), as quais dependem do deslocamento do carretel da válvula e da raiz quadrada da diferença de pressão nos orifícios

de controle. Se ∆p=0, pode-se observar que não há variação de pressão nos orifícios da

válvula. Logo, analisando as equações (2.2) e (2.3), verifica-se que não há vazão de fluído entre a válvula e as câmaras do cilindro.

(32)

2.3.4 Dinâmica das pressões

Para a modelagem matemática o cilindro hidráulico usado é considerado simétrico e de haste simples. Utilizou-se a equação da continuidade para determinação da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, e a equação do movimento da haste. A Figura 7 mostra um desenho esquemático do cilindro.

Figura 7 – Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste simples

Para compreender os fenômenos físicos que ocorrem no cilindro hidráulico, inicia-se deduzindo a equação da continuidade do cilindro para uma câmara genérica. Esta equação determina que a diferença da vazão que entra e a vazão que sai em um dado volume de controle é igual à taxa de variação do volume com o tempo, somada a parcela correspondente à expansão ou compressão do fluido neste volume de controle (DE NEGRI, 2001). Observe o escoamento de fluido na câmara genérica mostrada na Figura 8.

(33)

Deste modo, aplicando-se o principio da conservação de massa para o volume de controle genérico, tem-se (DE NEGRI, 2001; VALDIERO, 2001):

0 VC

dV

t

SC

A

d

v

=

∂

+

∫

ρ

r

ρ

(2.6)

Onde a primeira integral representa o fluxo liquido de massa através da superfície de controle e a segunda integral representa a variação da massa no interior do volume de

controle. Considerando a massa especifica

ρ

constante no espaço, pois se admite que a

massa seja uniformemente distribuída no volume de controle,

(2.9)

(34)

Portanto, considerando-se o cilindro simétrico de haste simples, conforme mostrado na

Figura 6, no qual as expressões dos volumes V1e V2, das câmaras 1 e 2, e suas variações são

dadas por: y A V V1 = 10 + 1 (2.10) y A V V₂ = ₂₀ − ₂ (2.11) y A dt dV & 1 1 = (2.12) y A dt dV & 2 2 =− _(2.13)

ondeV10e V20 são, respectivamente, os volumes iniciais nas câmaras 1 e 2 (incluindo os

volumes das tubulações que ligam estas câmaras às saídas da válvula) .

A

₁ e

A

₂ referem-se

as áreas das seções transversais nas câmaras 1 e 2 do êmbolo do cilindro e y e y& são, respectivamente, a posição e a velocidade do êmbolo do cilindro.

Aplicando-se a Equação (2.9) às câmaras 1 e 2 do cilindro de haste simples considerado e substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.10), (2.11), (2.12) e (2.13) obtém-se :

dt dp y A V y A dt dp V dt dV Q a a a       + ⋅ + ⋅ = + =

β

1 10 1 1 1 _& (2.14) dt dp y A V y A dt dp V dt dV Q b b b       − ⋅ + ⋅ − = + = −

β

2 20 2 2 2 _& (2.15)

x

v

,

p

a

)

e

Q

b

(

x

v

,

p

b

f ⋅ + = 1 10 1 1 (2.18)

( ) (

y V A y

)

f ⋅ − = 2 20 2 1 (2.19)

2.3.5 Equação do Movimento com a Dinâmica do Atrito

Devido à complexa natureza do atrito e à sua grande influência no comportamento dinâmico do sistema, é preciso obter os parâmetros para os modelos de atrito utilizados, pois, o atrito gera dificuldades de controle e a degradação do desempenho do sistema, podendo gerar a instabilidade.

Na Figura 9 está representado um contato entre as superfícies com rugosidades e descreve o sistema não linear envolvendo o atrito. O sistema consiste em uma massa,

representada por M, deslizando sobre uma superfície plana, sob influência de uma força de

entrada Fh tendo a ação contrária de uma força de atrito Fatr e apresentando um deslocamento

de corpo rígido (y), que pode ser decomposto em uma componente elástica (z) e em outra

plástica (inelástica) (w).

Figura 9 – Desenho esquemático mostrando o contato microscópico entre as superfícies em movimento relativo com a representação de uma rugosidade elástica (VALDIERO, 2005)

(36)

Aplicando a 2ª Lei de Newton para o equilíbrio das forças no êmbolo resulta na seguinte equação: h g atr F F F y M &&+ + = _(2.20)

onde M é a massa total deslocada, composta pela massa da haste do cilindro mais carga e pela massa do fluido deslocado, y&& _{é a aceleração do cilindro,}

g

F

é força gravitacional,

F

h é

a força hidráulica dada pela diferença de pressão nas câmaras do cilindro, ou seja,

b 2 a 1p A p

A − , A1e A2 _{são as respectivas áreas nas seções transversais do êmbolo do cilindro}

e Fatr é a força de atrito que será discutida e modelada na seqüência.

O atrito é um fenômeno não linear multifacetado que exibe diversas características não lineares. Para sua modelagem, uma das maiores dificuldades, é a diversidade das suas características dinâmicas, tais como: o atrito estático, o atrito de Coulomb, o atrito viscoso ou o atrito de araste, o atrito de Stribeck, a memória de atrito e o deslocamento de predeslizamento. Muitas vezes, estas características resultam em efeitos danosos ao controle, como os efeitos conhecidos por adere-desliza (stick-slip), oscilações em torno da posição dos eixos ortogonais (quadratureglitch). Suas características e os efeitos danosos provocados podem ser encontrados no estudo realizado por Valdiero (2005).

Definir um modelo que inclua todas estas características do atrito não é uma tarefa tão simples. Nos últimos anos, vários pesquisadores têm estudado o atrito e isto tem contribuído significativamente para a melhoria no desempenho dos modelos de compensação do atrito.

O modelo de Dahl descreve o atrito na fase de predeslizamento, porém não inclui a característica de atrito de Stribeck conforme Canudas de Witt et al., (1995). Já o modelo de Lugre, proposto por Canudas de Witt (1995), é o modelo de Dahl aprimorado, ou seja, é baseado no entendimento do mecanismo microscópio do fenômeno de atrito. Nessa escala, as superfícies possuem irregularidades chamadas rugosidades e a complexa relação de contato entre estas irregularidades das superfícies dificulta o deslizamento entre elas. Porem, este modelo também apresenta algumas limitações na fase de predeslizamento conforme verificadas por simulação (DUPONT et al., 2000) e por meio de testes experimentais (SWEVERS et al., 2000). A Figura 10 mostra o desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato.

(37)

Figura 10 – Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato (MIOTTO, 2009).

Portanto, a equação da força de atrito entre as superfícies, conforme proposta por Canudas de Wit et al.. (1995), é dada por:

y z z

F_atr =

σ

α

σ

= (2.22)

ondeg_ss

( )

y& _{é uma função positiva que descreve parte das características do atrito em regime}

permanente, e é descrita por:

( )

(

)

2 y y c s c ss s e F F F y g         − − + = & & & (2.23)

(38)

A função α

( )

z &,y foi incorporada ao modelo LuGre, conforme proposto por Dupont et

al.(2000) e é usada para representar o regime de atrito estático em velocidades baixas. A

função é definida pelas equações:

( )

z sgn y sgn z sgn y sgn se , 0 z z se , 1 y z z z se , 1 z 2 z y z z sen 2 1 0 z z se , 0 y , z ba max ba z y max ba max ba ba =                           ≠ ≥ < < <                     ₊ − < ≤ = ₋ & & & & & & π α (2.24)

( )

=

( )

∀ ∈ℜ < < para y 0 y ss g y max z ba z

0 & & &

σ (2.25)

onde

z

ba _{representa o deslocamento de força de quebra, de modo que para}

z

<

z

ba todo

movimento na interface de atrito é composto apenas de comportamento elásticos, e

z

max é o

valor máximo das microdeformações e depende da velocidade.

Considerando a dinâmica das microderformações como a expressão modelada na

equação (2.22), pode-se observar que, em regime permanente, a velocidade

y&

é constante,

( )

z

,

y

&

=

1 α

e tem-se

z

&

=

0 .

Ou seja, pode-se aproximar o desvio

z

por meio da equação

(2.26):

( )

_{( )}

(

)

0 y y c s c 0 ss s ss 2 s e F F F y sgn y g y y z σ σ           − + = =         − & & & & & & (2.26)

Deste modo, substituindo-se a Equação (2.26) na Equação (2.22), obtêm-se a Equação (2.27), que representa a força de atrito em regime permanente para movimentos com velocidades constantes:

(39)

( )

y F

(

F F

)

e y sgn y 0 z F 2 y y c s c 2 1 ss 0 ss , atr 2 s _& & & & & σ σ σ σ +           − + = + + =         − (2.27)

Esta equação é utilizada na identificação dos parâmetros estáticos do atrito

(

σ

0, &ys,Fc e Fs

)

_{. Na Figura 11 esta representada a Equação (2.27), no qual tem-se o gráfico}

da combinação das características do atrito em regime permanente.

Figura 11 – Combinação das características de atrito em regime permanente (Fonte: VALDIERO, 2005)

2.3.6 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem para o Atuador Hidráulico

Nesta seção será apresentada a modelagem matemática do atuador hidráulico com a inclusão do modelo dinâmico do atrito. Combinando as equações da dinâmica das pressões nas câmaras A e B, a equação do movimento de carga do cilindro com a equação do atrito dinâmico obtêm-se um modelo matemático não linear de 5ª e é dado pelas seguintes equações: g M ) p p ( A F y

M&&+ atr = a − b − ⋅ (2.28)

) y A ) p , x ( Q ( ) y ( f p&_a =β⋅ ₁ ⋅ _a _v _a − ₁⋅& _(2.29)

(40)

) ) , ( ( ) ( ₂ 2 y Q x p A y f p&_b =

β

⋅ ⋅ _b _v _b − ⋅ & _(2.30) y z z

F_atr =

e Q_b

(

u,p_b

)

são funções descritas respectivamente pelas equações 2.2 e 2.3. Porém, a variável x foi substituída por v u que é o sinal de controle, pois a dinâmica da

válvula foi desprezada, f₁

( )

y e f₂

( )

y são representadas pelas Equações (2.18) e (2.19), respectivamente.

O modelo matemático de 5ª ordem citado pelas equações (2.28), (2.29), (2.30), (2.31) e (2.32) pode ser escrito como um sistema de equações na forma de variáveis de estado, considerando

y

₁

=

a,

y

4

=

p

be

y

5

=

z

, fica:

2 1 y y& = _(2.33) G atr F x M A x M A x x M F y =− + − 4− 2 3 1 5 2 2 & _(2.34) ) ( ₁ ₂ 1 1 10 3 Q A y y A V y _a − + = β & _(2.35) ) ( ₂ ₂ 1 2 20 4 Q A y y A V y _b − − = β & _(2.36) 5 2 2 0 2 5 2 5 ( ) ) ( ) , ( sign y y y g y y y y ss σ α − = & _(2.37)

ondey₁ é a posição do êmbolo, y₂é a velocidade, y e 3 y4são as pressões na câmara A e B do

cilindro, e y é a dinâmica das microdeformações, ₅ F é dado pela Equação (2.21), _atr Q e _a Q_b

são as vazões nas câmaras A e B do cilindro, dadas pelas equações (2.14) e (2.15) respectivamente, A₁ e A₂são as áreas do cilindro, V e ₁₀ V são os volumes iniciais nas ₂₀

câmaras A e B, respectivamente, β é o módulo de elasticidade do fluido e M é a massa do