f x y x y 3 x y y(3,2) f (, ) lim y f x y e x y f x y f x y (, ) x f (, ) (, ) x y x K L P( K, L) . Calcule usando: (v) (b) (x)

(1)

1 Cálculo Diferencial e Integral II

Exercícios – Lista

Parte 1 – Derivadas Parciais e taxas relacionadas.

Parte 2 – Integrais definidas e indefinidas. 1. Considere

f x y

( , )



x

2



3 y

2. Calcule (a)

f

x

(3, 2)

_usando:

 

(

, )

( , )

,

lim

0

x

f

f x

x y

f x y

x



 





 



. (b)

f

_y

(3, 2)

usando:

( ,

)

( , )

lim

0

y

f

f x y

y

f x y

y



  



 



2. Considere

f x y

( , )

  

4 x y

2 (a) Calcule

f

_x

( 1, 2)



. (b) Calcule

f

_y

( 1, 2)



.

3. Calcule fx e fy para as seguintes funções: (a).

f x y

( , ) 7

   

x

10 y

(b)

f x y

( , )

  

x

2

3 y

2 (c) 2

1

3 ( , )

f x y

x

y





(d)

f x y

( , )

2

₃

6

₂

x

y





(e)

f x y

( , )



x

1 2



y

1 2 (f)

f x y

( , )



3

x



y

(g)

f x y

( , ) 4

  

x y

2 (h)

f x y

( , ) 10

     

x y

2

5 x y

2 (i)

f x y

( , )

     

e

x

2 x

2

6 y

10

(j)

f x y

( , ) ln



x

  

4 y

3

9

(k)

f x y

( , ) 3

 

x

seny

(l)

f x y

( , ) cos



x



ln

x e

 

y

10

(m)

f x y

( , )

   

x e

3 x

10 y

(n)

f x y

( , ) 2

  

y

2

ln

x

(o)

f x y

( , ) 3

  

y

2

cos

x

(p)

f x y

( , ) 4

    

y e

2 y

6 x

2 (q)

f x y

( , ) 20

   

x y senx

2 2 (r)

f x y

( , )

x y







(s)

( , )

2

3

x

e

f x y

x

y



  

(t)

( , )

ln

2 y

f x y

x

y



 

(u)

f x y

( , )



x y



(v)

f x y

( , )



x y x

 

2 (x)

f x y

( , ) ln



x

2



y

2 (y)

f x y

( , ) ln





e

x y

 

x

2

y

3



5. Considere a função de produção:

0.5 0.5

( , ) 3

P K L

 

K



L

Mostre que:

( , )

P K L

K

L

P K L

K

L





 





6. Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?

Parte 2: Diferencial, Regra da cadeia, Derivada direcional e Gradiente. Máximos e mínimos de Funções de várias variáveis.

1. Calcular o diferencial total e o crescimento total da função z=xy no ponto (2,3), se x=0,1 e

y=0,2:

2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuir altura do lado interno igual a 6cm, raio interno de 2cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é 10 centavos por cm 3, encontre o custo aproximado (por diferenciação) na fabricação da lata.

(2)

2

3. Nos exercícios abaixo, encontre a derivada parcial pelos dois métodos:

(a) Pela regra da cadeia:

       u r u x x r u y y r



(

)(

)



(

)(

)

;  us     u x x s u y y s



(

)(

)



(

)(

)

(b) Faça as substituições de x e y antes de derivar. (b1)

u



x

2



y

2

;

x



3 r



s y

;

 

r

2 s

;

_u_s

;

_u_r (b2)

u e

x

r

t y

rsent

y x u r u t



;



2 cos ;



4 ;

_

;

_ (b3)

u

x

xy

y

x

y

x

r

s y

r

s

u_r u_s















 

3

2

3

2

3

2 2

;

_

;

_

4. Uma caixa vai ser fabricada com madeira de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a quantidade aproximada de madeira que será utilizada na fabricação da caixa.

5. Dada a função f(x,y,z)= x2+ y2 +z2 achar a derivada

s

f



no ponto M (1,1,1): (a) Na direção do vetor

_

 



s

1



2 x

 

y

3 z

(b) Na direção do vetor

_

  

s

₂

  

x

y

z

6. Seja dada a função:

2 2 2

)

,

(

x

y

z

x

y

z

f





.

(a) Encontre o gradiente de f no ponto

M(1,1,1).

(b) Determine a derivada da função f(x,y,z) , no ponto M(1,1,1), na direção do gradiente.

7. Encontre a derivada direcional no Ponto P0

para a função dada, na direçãoe no sentido do vetor

u



: (a)

g x y

y tg x

u

x

y P

( , )

;



; (

, )



 



2 2 1 2 1 2 0 13

3

2 



(b)

(

,

)

;

ˆ

2

ˆ

;

0

(

2 ,

0 )

3 2 1 2

P

y

x

u

e

x

y

x

f





y







(c) h x y z xy sen yz u x y z P ( , , ) cos( ( );   ; ( , , )         ₁ 3 2 3 2 3 0 2 0 3 (d)

f x y z

x

y

z

u

x

y

z P

( , , )

ln(

);



; ( , , )









2 2 2 1 3 1 3 1 3 0

1 3 2



(e)f x y e y u x sen y P x ( , ) cos( ); cos( )  ( ) ; ( , )       3 12 12 0 12 3 0  _ _ _

8. Encontre o gradiente de f em P e a taxa de variação do valor da função na direção e sentido de u em P. (a)

f x y

x

y P

u

x

sen

y

( , )

; (

, );

 cos 











2 3 3

4 2 2

  (b)

f x y

( , )



e

2xy

; ( , ); 

P

2 1

u



4₅

x





3₅

y



9. A temperatura em qualquer ponto (x,y,z) do espaço é dada por

T

x y z



_{  }60 3

2 2 2 . A distância é medida em cm.

(a) Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto (3,-2,2) na direção do vetor



u

  

2 x

3 y



6 z

.

(b) Encontre a direção e magnitude da variação máxima de T(x,y,z) em P (3,-2,2).

10. Se V volts é o potencial elétrico em qualquer ponto (x,y,z) do espaço e

V

x

y

z





1

2 2 2 , encontre:

(a) A taxa de variação de V no ponto (2,2,-1). (b) A direção da taxa de variação máxima de

V em (2,2,-1).

11. A densidade de qualquer ponto P(x,y) de uma chapa retangular no plano xy é :

 



1

3

2 2

x

y

.

(a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor

 cos



u



2₃



x



sen

2₃



y

.

(b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação máxima de





f

em (3,2).

12. chapa de metal está situada no plano-xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja inversamente proporcional à distância à origem, e a temperatura em P(3,4) é 1000F.

(3)

3

(a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de

i







j

.

(b) Em que direção P aumenta mais rapidamente em P?

(c) Em que direção P decresce mais rapidamente em P?

(d) Em que direção a taxa de variação é 0? 13. A superfície de um lago é representada por uma região D no plano-xy, de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto (x,y) é

f x y

( , )



300 

2 x

2



3 y

2.

(a) Em que direção um bote em P(4,9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente?

(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?

14. O potencial elétrico V em (x,y,z) é :

V



x

2



4 y

2



9 z

2

(a) Ache a taxa de variação de V em P(2,-1,3) na direção de P para a origem.

(b) Ache a variação que produz a taxa máxima de variação de V em P.

(c) Qual é a taxa máxima de variação em P? 15. A temperatura em (x,y,z) é dada por:

T x y z

( , , )



4 x

2



y

2



16 z

2

Ache a taxa de variação de T em P(4,-2,1) na diração

2 i





6 

j



3 k



.

(a) Em que direção T aumenta mais rapidamente em P?

(b) Qual é esta taxa de variação?

(c) Em que direção T decresce mais rapidamente em P?

(d) Qual é essa taxa de variação?

16. O Potencial elétrico de uma carga elétrica puntiforme é dado por:

r

kQ

r

V

(

)



ou 2 2 2

)

,

(

z

y

x

kQ

z

y

x

V





Sabendo que o campo elétrico desta carga é dado por:

V

r

E



(

)









Demonstre que:

r

KQ

r

E



(

)



₂

ˆ

Onde:

r





ˆ

E

r



é o chamado vetor deslocamento:

z

y

x

r





ˆ



ˆ



ˆ

Possui módulo r dado por:

2 2 2

z

y

x

r





17. Dada a função f definida por:

f x y

( , )



2 x

4



y

2



x

2



2 y

:determine os extremos relativos de f, se existirem

18. Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa, tendo um volume específico V, se queremos usar a mínima quantidade de material em sua confecção:

19. Determine as dimensões de uma caixa retangular sem tampas que deve ser feita de tal forma que tenha o máximo volume possível.

20. Encontre 3 números positivos cuja soma seja 24 e seu produto o maior possível.

21. Dada:

y

x

y

x

y

x

f

(

,

)



4



3



32

2



27

:

(a) Determine os possíveis pontos críticos P0(x0,y0) de f(x,y). (b) Calcule o discriminante 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , ( _                         y x f y f x f y f y x f y x f x f y x D

e verifique se há máximos ou mínimos relativos.

Dado:

(i) f tem um valor mínimo relativo

(4)

4

D(x0 ,y0 ) > 0 e



2 2 0 0

0 f

x

(

x y

,

)



(ii) f tem um valor máximo relativo em (x0 , y0 ) se: D(x0 ,y0 ) > 0 e



2 2 0 0

0 f

x

( ,

x y

)



(iii) f não é extremo relativo em (x0 , y0 ) se D(x0 ,y0 ) < 0 :

(iv) Não podemos chegar a nenhuma conclusão se

D(x0 ,y0) = 0:

Para auxiliar a classificação, use a tabela abaixo. P0(x0,y0) D(x0,y0)

)

,

(

₀ ₀ 2 2

y

x

f



Classificação de P0(x0,y0)

22. O raio e a base de um cone circular reto valem, respectivamente, 10 cm e 25 cm com erro de 0.1 cm em cada dimensão. Determine o máximo erro no volume do cone.

23. Se R é a resistência equivalente de 3 resistores de resistências R1, R2 e R3, dada por:

1 2 3

1

1 R



R



R



R

Com valores: Resistências R1() R2() R3() Valores 25 40 50 R = 0.5%R

Estime o máximo valor em R.

24. Encontre a derivada direcional

f

u



no ponto

P e na direção do vetor dado.

(a) _{f x y}

 

_,    _{1 2} _x _y_P

 

_{3, 4}     _v ₄ _iˆ ₃ ˆ_j (b) _{f x y}

 

_, _ln



_x2_y2



_P

 

_2,1      _v ₁_iˆ ₂ _jˆ (c)





4 2 3

 

ˆ ˆ , 2,1 4 3 g p q p p q P     v i j (d) _{f r s}

 

_, _{arctg r s}

 

 _P

 

_{1, 2}     _v ₅ _iˆ ₁₀ _jˆ (e)



, ,



y z y



0,0,0



5,1, 2 f x y z       x e y e z e P  v  (f) _{f x y z}



_{, ,}



 _{x y z}  _P



_{3, 2,6}



   _v _{1, 2, 2} (f) _{f x y z}



_{, ,}

 

  _x ₂_y ₃_z



23_P



_{1,1, 2}



   _v ₂ ˆ_{j k}ˆ

25. Encontre a máxima taxa de variação da função dada,

max

f

u



no ponto P e indique a direção em que

ela ocorre. Observação: max

ˆ

P P P

f

u

f





 

 





(a)

 

2 , y 2, 4 f x y P x   (b)



_,



p q

 

_{0, 0} f q p  q e  p e P (c) _{f x y}

 

_, __{sen x y}



_



__P

 

_{1, 0} (d) _{f x y z}



_{, ,}

 

x y



_P



_{1,1, 2}



z     (e)





2 2 2





, , 3,6, 2 f x y z  x   y z P  (f) _{f x y z}



_{, ,}



_{tg x}



 ₂_y ₃_z



 _P



_5,1,1



(f) _{f x y z}



_{, ,}

 

  _x ₂_y ₃_z



23_P



_{1,1, 2}



   _v ₂ ˆ_{j k}ˆ Referências bibliográficas:

1. James Stewart, Calculus, concepts and context, 2° Edition.

2. Swokovski, "O Cálculo com Geometria Analítica", Volume II, 2ª Edição, Makron Books, Volume 2.

3. L. Leithold, "O Cálculo com Geometria Analítica", Volume 2, Editora Harbra. ISBN: 8529402065

4. Hamilton Luiz Guidorizzi “Um curso de Cálculo” , V 2, Editora LTC. 5. http://www.wolfram.com 6. http://www.wolframalpha.com Exercícios Resolvidos 1. Considere 2 2

( , )

3 f x y



x



y

(a) Calcule

f

_x

(3, 2)

usando 4.1. (b) Calcule

f

_y

(3, 2)

usando 4.2.  Solução: (a)

 

(

, )

( , )

,

lim

0

x

f

f x

x y

f x y

x



 





 



 









2 2 2 2

3

3 ,

lim

0

x

y

x

y

f x y

x

 









 



 

2

3

2 2

3

2

,

lim

0

x

x x

x

y

x

y

f x y

x

         





 



(5)

5  

2

,

lim

0

x

f x y

x

   



 



 

,

lim



2 

0

x

f

x y

x

    



 



 

,

lim 2

0

x

f x y

x



  

 

 

,

2

x

f x y

 

x

(3, 2)

2 3

6

x

f

  

(b)

( ,

)

( , )

lim

0

y

f

f x y

y

f x y

y



  



 







2 2 2 2

3

3 ( , )

lim

0

y

x

y

x

y

f x y

y



 

 



 





 



2 2 2 2 2

3

2

3 ( , )

lim

0

y

x

y

y y

y

x

y

f x y

y



    





 



2 2 2 2 2

3

6

3

3 ( , )

lim

0

y

x

y

y y

y

x

y

f x y

y



     



 



2

6

3 ( , )

lim

0

y

y y

y

f x y

y

   



 





6

3 

( , )

lim

0

y

f x y

y

 





 



( , )

lim 6

3

0

y

f x y

y



 

 

( , ) 6

y

f x y



y

(3, 2)

6 2 12

y

f

  

2. Considere 2

( , )

4 f x y

  

x y

(a) Calcule

f

_x

( 1, 2)



usando 4.1. (b) Calcule

f

_y

( 1, 2)



usando 4.2.  Solução: (a)





1 1 1 1 ₁

( , )

,

lim

x

f x y

f

f x y

x

x x







_{ }







_{ }

1

( , 2)

( 1, 2)

1, 2

lim

1

x

f x

f

x



_x

 



_{ }

 

 

1, 2

lim

4

2

4  

1 2

2

1

x

f

x

     









 

16

16 1, 2

lim

1

x

f

x

 









 

1 1, 2

lim 16

1

x

f

x











 

1,2

lim 16 1

1

x

f

x









 

1,2

16

x

f





(b) 1 1 1 1 1 1 1

( , )

lim

y y

f x y

f

f x y

y

y y







_{ }



 

2

 

2

4

1

4 1 2

( 1, 2)

lim

2

y

f

y



      











2

4

16 ( 1, 2)

lim

2

y

f

y

  









 

2

4 ( 1, 2)

lim

4

2

y

f

y











 

2

( 1, 2)

lim

4

2

y

f

y











 

2  

2 

( 1, 2)

lim

4

2

y

f

y

  











  



( 1, 2)

lim

4

2

y

f

y





  



  



( 1, 2)

4 2 2

16

y

f



     

3. Calcule fx e fy para as seguintes funções: 1.

f x y

( , ) 7

   

x

10 y

 

,

7

x

f

f x y

x





 

,

10

y

f

x y

y





2.

f x y

( , )

  

x

2

3 y

2

 

,

2

x

f

x y

x





 

 

2 1

,

3 2

6

y

f

x y

y







  

 

3.

f x y

( , )

1

₂

3 x

y





2 1

( , )

3 f x y



x



 

y



(6)

6    

2 1 3

,

2

x

f

f x y

x



  



  

 

3

2 ,

x

f

f x y

x





 

 

1 1 2

,

3

y

f

x y

y



  



 

 

2

3 ,

y

f

x y

y





4. 3 2

2

6 ( , )

f x y

x

y





3 2

( , ) 2

6 f x y

 

x



 

y



     

3 1 4

,

2

3

6

x

f

f x y

x



  



   

 

 

4

6 ,

x

f

f x y

x





     

2 1 3

,

6

2

12

y

f

x y

y





    

 

 



 

3

12 ,

y

f

x y

y





5.

f x y

( , )



x

1 2



y

1 2

 

11 1 2 2

1

1 ,

2

x

f

f x y

x



 



 

 

1 ,

2

x

f

f x y

x







 

11 1 2 2

1

1 ,

2

y

f

x y

y



 



 

 

1 ,

2

y

f

x y

y







6.

f x y

( , )



3

x



y

1 3 1 2

( , )

f x y



x



y

 

11 2 3 3 2 3

1

1 ,

3

x

f

x y

x



 



 





 

₃

1

₂

,

3

x

f

f x y

x

_x





_

 

11 1 2 2

1

1 ,

2

y

f

x y

y



 



 

 

1 ,

2

y

f

x y

y







7.

f x y

( , ) 4

  

x y

2

 

1 1 2 0 2

,

4

x

f

f x y

x

y

x y

x





 



   

 

2

,

4

x

f

f x y

y

x





 

 

2 1

,

4

2

y

f

x y

x

y





   



 

,

8

y

f

x y

y





  

8.

f x y

( , ) 10

     

x y

2

5 x y

2

 

1 1 2 2 1

,

10 5 2

x

f

f x y

x

y

x

y

x



 



 

   



 

2

,

10

x

f

f x y

y

x y

x





    

 

2 1 2 1 1

,

10

2

5

1

y

f

x y

x

y

x

y



 



   

   

 

2

,

20

5

y

f

x y

x

y





    

9.

f x y

( , )

     

e

x

2 x

2

6 y

10  

2 1

,

x

2 2

0

x

f

f x y

e

x





   





 

,

x

4

x

f

f x y

e

x





  

 

1 1

,

0 6 1

y

f

x y

y







   

 

,

6

y

f

x y

y





10.

f x y

( , ) ln



x

  

4 y

3

9  

1 ,

0

x

f

x y

x





 

 

1 ,

x

f

f x y

x





 

2 1

,

0 4 3

y

f

x y

y







   

 

2

,

12

y

f

x y

y





 

11.

f x y

( , ) 3

 

x

seny

(7)

7  

,

3 ln 3 0

x x

f

x y

x





 



 

,

3 ln 3

x x

f

x y

x





 

 

,

0 cos

y

f

x y

y





 

 

,

cos

y

f

x y

y





12.

f x y

( , ) cos



x



ln

x e

 

y

10  

1 ,

0

x

f

f x y

senx

x





 

 

 

1 ,

x

f

f x y

senx

x





 



 

,

0

y

0

y

f

x y

e

y





  

 

,

y y

f

x y

e

y





 

13.

f x y

( , )

   

x e

3 x

10 y

 

3

 

3

,

x x

0

x

f

f x y

x

e

x







 



 

 

2 3

,

3

x x x

f

f x y

x e

e x

x





    

 

2





,

x

3

x

f

f x y

x e

x





 



 

1 1

,

0 10 1

y

f

x y

y





   



 

,

10

y

f

x y

y





14.

f x y

( , ) 2

  

y

2

ln

x

 

2

 

2

1 ,

2 ln

2

x

f

f x y

y

x

y

x





  



  

 

2

,

x

f

y

f x y

x







 

2

 

,

2 ln

2 2

ln

y

f

x y

y

x

y

x

y





 





   

 

,

4 ln

y

f

x y

y

x

y





  

15.

f x y

( , ) 3

  

y

2

cos

x

 

2





2





,

3 cos

2

x

f

f x y

y

x

y

senx

x





  



   

 

2

,

3

x

f

f x y

y senx

x





   

 

2

 

,

3 cos

3 2

cos

y

f

x y

y

x

y

x

y





 





   

 

,

6 cos

y

f

x y

y

x

y





  

16.

f x y

( , ) 4

    

y e

2 y

6 x

2

 



2 1



,

0 6 2

x

f

x y

x







   

 

,

12

x

f

f x y

x





 

 

2

 

2

,

4

y

4

y

0

y

f

x y

y

e

y





 



  



 

 

2

,

4 2

y

4

y y

f

x y

y e

e

y





      

 

,

4

y



2 

y

f

x y

y e

y





  



17.

f x y

( , ) 20

   

x y senx

2 2

 



2 1



,

0 6 2

x

f

f x y

x





   



 

2 2 2 2





,

20

x

f

f x y

x

y senx

x

y

senx

x





 



 

   



 

2 2 2

,

20 2

20 cos

x

f

f x y

x y senx

x

y

x





    

   

 

2



2



,

20

2 cos

x

f

f x y

y x

senx x y

x





  



  

 

2

 

2

,

20

y

f

x y

x

y

senx

y





  





 

2

 

,

20

2

y

f

x y

x

y senx

y





    

18.

f x y

( , )

x y







(8)

8  



_{      }





2

,

x

x y

f

_x

f x y

x

x y



 

 

    







 



 







2

1

1 ,

x

x y

f

f x y

x

_{x y}



    





 





2

,

x

f

x y x y

f x y

x

x y



  





 





2

2 ,

x

f

y

f x y

x

x y









 



_{      }





2

,

y

x y

f

y

f x y

y

_{x y}



 

 

    







 



 

  





2

1

1 ,

y

x y

f

x y

y

x y



     





 





2

,

y

f

x y x y

f

x y

y

_{x y}



  





 





2

2 ,

y

f

x

f

x y

y

x y







19.

( , )

2

3

x

e

f x y

x

y



  

 

_

_

_{ }









2

3

2

3 ,

2

3

x x x

e

x

y

x

y

e

f

_x

f x y

x

y



   

    







  

 





 





2

3

2 ,

2

3

x x x

e

x

y

e

f

f x y

x

y



    





  

 





2

6

2 ,

2

3

x x x x

f

x e

y e

e

f x y

x

_x

_y



      



  

 









2

6

2 ,

2

3

x x

e x

y

f

f x y

x

_x

_y





  



  

 

_

_

_{ }









2

3

2

3 ,

2

3

x x y

e

x

y

x

y

e

f

y

f x y

y

_x

_y



_{   }

    







  

 





 





2

0 2

3

3 ,

2

3

x y

x

y

e

f

x y

y

_x

_y



    





  

 





2

3 ,

2

3

x y

f

e

f

x y

y

x

y



 



  

20.

( , )

ln

2 y

f x y

x

y



 

 

  

   







2

ln

2

2 ln

,

2

x

y

x

y

x

y

f

_x

f x y

x

y



  

   







 

  

  





2

0

2 ln

1 ,

2

x

y

f

f x y

x

y



   





 

 





2

ln

,

2

x

f

y

f x y

x

_x

_y







 

 

  

   







2

ln

2

2 ln

,

2

y

x

y

x

y

f

y

f x y

y

x

y



  

   







 

 



    





2

1

2 ln

2 ,

2

y

x

y

f

y

f x y

y

x

y



   

 



 

 





2

2 2ln

,

2

y

x

y

f

y

f x y

y

_x

_y



 



 

21.

f x y

( , )



x

0.3



y

0.7

 

0.3 1 0.7

,

0.3

x

f

f x y

x



 









 

0.7

0.3 ,

x

f

x y

x





 

0.7 1 0.3

,

0.7

y

f

x y

y



 









 

0.3

0.7 ,

y

f

x y

y





(9)

9

22.

f x y

( , ) 2

 

x

0.6



y

0.3

 

0.6 1 0.4

,

2 0.6

1.2

x

f

f x y

x



 



 







 

0.4

1.2 ,

x

f

x y

x





 

0.3 1 0.7

,

0.3

y

f

x y

y



 









 

0.7

0.3 ,

y

f

x y

y





23.

f x y

( , ) 10

  

x



y

1

  

0 

1  

1

,

10

x

f

f x y

x





_







  

 

1

10 ,

x

f

x y

x















  



1 1





,

1

y

f

x y

y

 



_



  



  

  

1 

,

y

f

x y

y









24.

f x y

( , ) ln 2





  

x

3 y



 













2

3 ln 2

3 ,

2

3

x

y

x

y

f

_x

f x y

x

y



   



  

_





  

 

2 ,

2

3

x

f

f x y

x

y





  

 













2

3 ln 2

3 ,

2

3

y

x

y

x

y

f

y

f

x y

y

x

y



   



  

_





  

 

3 ,

2

3

y

f

x y

y

x

y





  

25.

f x y

( , )



e

2  x 3y

 



2 5



2 5



2

5 

,

x y x y x

e

x

y

f

f x y

e

x



     



   







 

2 5

,

2

x y x

f

f x y

e

x



  



 

 



2 5



2 5



2

5 

,

x y x y y

e

_x

_y

f

x y

e

y



     



   







 

2 5

,

5

x y y

f

x y

e

y



  



 

26.

f x y

( , ) 2



x y

 

,

 

2

2 ln 2





x y x y x

x y

f

f x y

x



 



_{ }







 

,

2

x y

ln 2 1

x

f

f x y

x









 

,

2

x y

ln 2

x

f

x y

x









 

,

 

2

2 ln 2





x y x y y

x y

f

x y

y



 



_{ }







 

,

2

x y

ln 2 1

y

f

x y

y









 

,

2

x y

ln 2

y

f

x y

y









27. 2 2

( , )

x y

f x y



e



 





2 2 2 2 2 2

,

x y x y x

e

x

y

f

f x y

e

x



 



_

_







 

2 2

,

x y

2

x

f

f x y

e

x







 

 

2 2

,

2

x y x

f

x y

x e

x







  

 





2 2 2 2 2 2

,

x y x y y

e

_x

_y

f

x y

e

y



 



_

_







 

2 2

,

x y

2

y

f

x y

e

y







 

 

2 2

,

2

x y y

f

x y

y e

y







  

28.

( , )

x y

f x y



e



 

,

 

x y x y x

e

x y

f

f x y

e

x



 



 







 

,

x y x

f

x y

e

y

x







