Teoria dos Jogos. Ivan Sendin. 12 de novembro de FACOM - Universidade Federal de Uberlândia

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Teoria dos Jogos Solu¸c˜ao para Estrat´egia Mista

Otimiza¸c˜

ao

Teoria dos Jogos

Ivan Sendin

FACOM - Universidade Federal de Uberlˆandia

ivansendin@yahoo.com,sendin@ufu.br

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Otimiza¸c˜ao

Decisões dado um cenário Modalegem Matemática Solu¸cão Gráfica/Simplex

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estratégia Mista Decisões dado um cenário/regras e um adversário

RACIONAL

(competidor, chefe, mercado,...) Jogadores

Definir uma estrat´egia: benef´ıcio Matriz de benef´ıcio

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista B₁ B₂ . . . B_m

A1 a11 a12 . . . a1m

A2 a21 a22 . . . a2m

. . . . An an1 an2 . . . anm

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para Estrat´egia Mista

A escolhe uma estratégia i de 1 a n B escolhe uma estratégia j de 1 a m Não tem condicional

”Se A escolher x ent˜ao eu...”

(pode ser iterativo...voce pode mudar de estrat´egia!) A ganha aij

B perde aij

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OPT-Dual

Ivan Sendin

Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista _{A empresa A precisa decidir a estrat´}_{egia de}

propaganda

Radio, televisao, jornal,... Concorrente B

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OPT-Dual

Ivan Sendin

Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 8 −2 9 −3

A2 6 5 6 8

A3 2 4 −9 5

Que estrat´egia A deve escolher? Que estrat´egia B deve escolher? O que ocorre?

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OPT-Dual

Ivan Sendin

Teoria dos Jogos

A “deve” escolher a linha que maximiza o minimo B “deve” escolher a coluna que minimiza o

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Teoria dos Jogos

https://mathinsight.org/media/applet/image/ large/saddle_point_two_variables.png

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OPT-Dual

Ivan Sendin

Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista A “deve” escolher a linha que maximiza o

minimo: maxmin

B “deve” escolher a coluna que minimiza o maximo: minmax

Ponto de sela /saddle point

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista B1 B2 B3 B4

A1 8 −2 9 −3

A2 6 5 6 8

A3 2 4 −9 5

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista B1 B2 B3 B4

A1 8 −2 9 −3 -3

A2 6 5 6 8 5

A3 2 4 −9 5 -9

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Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 8 −2 9 −3

A2 6 5 6 8

(14)

Teoria dos Jogos

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Teoria dos Jogos

Exemplo 13.4.2

A escolhe cara(H) ou coroa(T ) B escolhe cara(H) ou coroa(T ) Se forem iguais A ganha $1 Se forem diferentes A perde $1 (montar a matriz)

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Teoria dos Jogos

BH BT

AH 1 -1

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Teoria dos Jogos

Maxmin = -1 Minmax = 1

N˜ao existe uma estrat´egia “pura”

“A estrat´egia ´e alguma coisa entre H e T ” Escolher Ah com p = 1₂

O valor do jogo ´e representado por uma faixa −1 ≤ valor ≤ 1

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista B₁ B₂ B₃ B₄

A1 −1 2 7 −3

A2 3 5 2 8

A3 2 11 −9 5

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Estrat´egia de A

B1 B2 B3 B4

A1 −1 2 7 −3 -3

A2 3 5 2 8 2

A3 2 11 −9 5 -9

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Teoria dos Jogos

A1 −1 2 7 −3 -3 A2 3 5 2 8 2 A3 2 11 −9 5 -9 A4 12 3 −1 −2 -2 12 11 7 8 Estrat´egia A2 Estrat´egia B3 2 ≤ v ≤ 7

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Exercicio 13.4A-1

B1 B2 B3 B4

A1 8 6 2 8

A2 8 9 4 5

A3 7 5 3 5

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Exercicio 13.4A-2

B1 B2 B3

A1 1 q 6

A2 p 5 10

A3 6 2 3

(23)

Teoria dos Jogos

Exercicio 13.4A-3 B1 B2 B3 B4 A1 1 9 6 0 A2 2 3 8 4 A3 -5 -2 10 -3 A4 7 4 -2 -5

(24)

Teoria dos Jogos

(25)

Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 2 2 3 -1

(26)

Teoria dos Jogos

(27)

Teoria dos Jogos

N˜ao existe ponto de sela Estrat´egia mista

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Teoria dos Jogos

A1 2 2 3 -1

A2 4 3 2 6

Para B1 temos o valor ganho de A entre 2 e 4;

Vamos chamar de x1 a vari´avel que indica se A

escolheu a estrat´egia 1;

Para x1 = 1 temos A ganhando 2;

O ganho de A para B1 ´e dado pela f´ormula:

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Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 2 2 3 -1

A2 4 3 2 6

O ganho de A para B2 ´e dado pela f´ormula:

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Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 2 2 3 -1

A2 4 3 2 6

(31)

Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 2 2 3 -1

A2 4 3 2 6

Para B4 temos o valor ganho de A entre -1 e 6;

Para x1 = 1 temos A ganhando -1;

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Estrat´egia B Valor para A

1 −2x1 + 4

2 −x1+ 3

3 x1+ 2

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Teoria dos Jogos

Cada estrat´eia de B produz uma “reta” com o ganho de A (variando de 0 a 1)

(34)

Teoria dos Jogos

1 2 3 4 5 1 0.5 B1 B2 B3 B4

(35)

Teoria dos Jogos

B3 e B4 estabelecem um piso para o anho de A;

Quero maximizar o piso de A em fun¸c˜ao de x1

(36)

Teoria dos Jogos

1 2 3 4 5 1 0.5 B1 B2 B3 B4

(37)

Teoria dos Jogos

O “melhor do pior” esta no ponto x = 0.5... ... misturar as estrat´egias A1 e A2 meio a meio

(38)

Teoria dos Jogos

O “melhor do pior” esta no ponto x = 0.5... ... misturar as estrat´egias A1 e A2 meio a meio

(39)

Teoria dos Jogos

E B?

A estrat´egia de B ´e determinada pelas retas B3 e B4

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Teoria dos Jogos

1 2 3 4 5 1 0.5 B1 B2 B3 B4

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Teoria dos Jogos

B1 B2 B3 B4

A1 2 2 3 -1

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Seja y3 o indicador de Estrat´egia B3

y3 = 1 → B3

y3 = 0 → B4

Estrat´egia A Valor para B

1 4y3− 1

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista Igualando as equa¸c˜oes:

4y3− 1 = −4y 3 + 6

y3 = 7/8

(44)

Teoria dos Jogos

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Teoria dos Jogos

Vimos em um prolema pequeno (2x4) que um problema de Teoria dos Jogos pode ser resolvido usando PL;

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OPT-Dual

Ivan Sendin Teoria dos Jogos

B1 B2 B3

A1 3 -1 -3

A2 -2 4 -1

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista max z = v

s.a v − 3x1+ 2x2+ 5x3 ≤ 0 v + 1x1− 4x2+ 6x3 ≤ 0 v + 3x1+ 1x2− 2x3 ≤ 0 x1+ x2+ x3 = 1 x1, x2, x3 ≥ 0 v ´e irrestrita

(48)

Teoria dos Jogos

(49)

Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista v ´e o valor do jogo

pode ser positivo ou negativo

xi ´e a probabilidade de escolha de cada uma das

estrat´egias Maior que zero Limitado a 1

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Teoria dos Jogos

Solu¸c˜ao para

Estrat´egia Mista min z = v

s.a v − 3y1 + 1y2+ 3y3 ≥ 0 v + 2y1− 4y2+ 1y3 ≥ 0 v + 5y1+ 6y2− 2y3 ≥ 0 y1+ y2+ y3 = 1 y1, y2, y3 ≥ 0 v ´e irrestrita