Aula 4. Frações. Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental

(1)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Frações

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula

(2)

77 Aula 4 – Fr ações

Objetivos

Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:

1. relacionar a representação matemática com a leitura das frações;

2. representar graficamente as frações;

3. reconhecer as frações próprias, impróprias e as frações aparentes;

4. identificar frações equivalentes;

5. aplicar os conceitos de simplificação de fração; 6. aplicar os conceitos de operação com frações;

7. identificar e aplicar propriedades e regras em expressões matemáticas.

Pré-requisito

Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever o conceito de Números Racionais (Aula 3).

(3)

Aula 4

–

Fr

ações

Usando uma simples corda como ferramenta de trabalho...

No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores. Porém, todos os anos, no mês de julho, as águas do rio Nilo inundavam essa região. Em setembro, quando as águas baixavam, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, mais conhecidos como “estiradores de corda”, pois mediam os terrenos com cordas marcadas com uma unidade de medida.

A fração é um conceito matemático amplamente utilizado em nossa vida. Quando estamos cozinhando ou quando enchemos o tanque do carro de combustível, estamos operando com frações sem necessariamente estar entendendo os conceitos envolvidos.

Nesta aula, pretendemos utilizar experiências cotidianas com o propósito de construir o conhecimento, que muitas vezes é mecânico, sobre as frações e suas operações.

(4)

78 e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 79 Aula 4 – Fr ações

Com isso, queremos sensibilizá-lo para a importância das frações em nosso dia-a-dia, sobre a qual daremos mais detalhes e exemplos ao longo desta aula.

Quem parte e reparte pode não ficar com a melhor

parte

Ao partir um bolo, por que as pessoas o cortam em pedaços do mesmo tamanho? Pense na confusão que seria se esse bolo fosse cortado em tamanhos diferentes... Quem ficaria com a maior parte? É claro que alguém sairia no prejuízo...

Agora imagine que você e seu melhor amigo, numa bela tarde de sábado, saíram para comer uma pizza. Como a pizza era pequena, vocês a partiram em quatro fatias de mesmo tamanho. Sendo assim, cada um teria direito a comer dois pedaços.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 4.1: Uma fatia da pizza representa uma parte do todo.

Gabri

el Robled

o

Essas cordas eram esticadas e verificava-se quantas vezes a tal unidade cabia no terreno. O problema era que nem sempre essa medida cabia inteira no lado do terreno, surgindo, assim, a necessidade de trabalhar com partes da corda, como, por exemplo, 2_, 4

(5)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações

junto com vocês. E agora, quem vai dar um pedaço para a amiga? Qual deve ser o tamanho do pedaço? Seria uma boa solução cada um dar uma fatia da pizza para a amiga, já que cada um de vocês tem direito a dois pedaços... Gostou dessa idéia? Não! Como você resolve essa situação para que todos comam partes iguais?

Aprendendo frações na prática

Quando você e seu amigo resolveram dividir a pizza em quatro partes iguais, as suas fatias representaram duas partes do todo (da pizza inteira).

E como representar em forma de fração essas duas fatias a que você teria direito? Então, vamos lá!

Mas antes de qualquer coisa, você sabe o que é uma fração? Uma fração é representada de modo genérico, como a

b, sendo a b, ∈ Ζ e b≠ 0,

indica a:b, ou seja, este número a dividido em b partes iguais. Assim, a corresponde

ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser

igual a zero. Agora sim!

Como a pizza, assim que chegou à mesa, foi dividida em quatro partes iguais e você pode comer duas fatias, representamos essa fração por 1

2 2 4

3 6

= = (lê-se dois quartos).

Uma pizza inteira _{Quatro pedaços de pizza}

2 fatias 4 fatias

=

2

4

Numerador Denominador

(6)

Leitura de uma fração

Na tabela a seguir, indicamos o nome de cada parte em que foi dividida a unidade.

Tabela 4.1: Conhecendo o nome das partes

Número de partes Nome de cada parte

2 Meio 3 Terço 4 Quarto 5 Quinto 6 Sexto 7 Sétimo 8 Oitavo 9 Nono 10 Décimo 11 Onze avos 12 Doze avos 13 Treze avos 100 Centésimo 1000 Milésimo

Para efetuar a leitura de uma fração, você deve ler o numerador e, em seguida, o número de partes em que foi dividida a unidade, a que chamamos de denominador da fração.

Exemplos:

lê-se “dois terços”;

lê-se “quatro meios”;

Pratique um pouco para fixar esses conceitos iniciais e a seguir você vai conhecer as frações próprias, as frações impróprias e as frações aparentes.

lê-se “nove décimos”;

lê-se “vinte e três centésimos”. 2 3 4 2 9 10 23 100

(7)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações Atende ao Objetivo 1 Atividade

1

Complete os quadros a seguir:

Fração Leitura

Um terço

Sete oitavos

Fração Leitura

Dez onze avos

Atende ao Objetivo 2 Atividade

2

1 3 6 100 3 2 14 25

Pinte o que você achar mais conveniente, os 2 3 ou os

3

4 de cada figura. Depois, usando frações, indique ao lado de cada figura a parte que você pintou.

a. d.

b.

e.

(8)

Conhecendo os tipos de frações

Imagine que você quer construir um portão de madeira para um galinheiro. Você dispõe de uma tábua retangular e, para a construção do portão, precisará usar 3

4 dessa tábua.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 4.2: A tábua já foi dividida em partes iguais e esses três pedaços serão usados na construção do portão.

Em primeiro lugar, você precisa dividir essa tábua em quatro partes iguais. Veja:

Você tem em mão uma tábua e precisa dividi-la em quatro partes iguais.

Depois de dividir em quatro partes iguais, você vai precisar de três dessas partes para fazer o portão do galinheiro.

(9)

Podemos observar, aqui, que o numerador é menor que o denominador, o que caracteriza uma fração própria.

E quando a situação é inversa, ou seja, o numerador é maior que o denominador, chamamos de fração imprópria.

Observe outra situação:

Agora vamos fazer plantios de alface, cenoura, beterraba e agrião, em dois canteiros do mesmo tamanho:

=

3

4

alface cenoura beterraba agrião

NÚMEROMISTO

Decomposição de uma fração imprópria (o numerador é maior que o denominador) em uma parte inteira e uma parte fracionária.

canteiro I canteiro II

Podemos observar que o canteiro I foi todo plantado e no canteiro II o agrião foi plantado somente em uma parte do canteiro.

Como representar as frações que correspondem aos canteiros I e II? Isso você já aprendeu! Como o canteiro I foi dividido em três partes iguais e cada uma dessas partes foi utilizada para o plantio, a fração correspondente é 3

3. Já no canteiro II, a fração que corresponde à parte plantada é igual a 1

3.

Como o canteiro I foi plantado por inteiro e no canteiro II a plantação ocupa apenas um terço da área total, podemos representar essas partes pelo NÚMERO MISTO 11

(10)

Exemplos de frações impróprias: 7 3

10 4

, e 23

5. Agora, observe apenas o canteiro I.

canteiro I

Como você já percebeu, esse canteiro foi dividido em três partes iguais para o plantio de alface, cenoura e beterraba. A fração correspondente, você também já conhece: é 3

3.

Essa fração, na verdade, representa um número inteiro. Quando o numerador é divisível pelo denominador, a fração é chamada de aparente. Veja alguns exemplos: 4 2, 7 7, 100 10 e 0 5 .

alface cenoura beterraba

= =

3

1

3

Classifique as frações como impróprias, próprias ou aparentes. a. b. 1 4 2 5

(11)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações d. 6 2

A seguir, você vai aprender a determinar frações equivalentes e a simplificar frações. Esses são conceitos importantes. Preste bastante atenção!

Equivalência e simplificação de frações

Vamos representar, por HIPÓTESE, a horta de sua casa com canteiros de mesmos

tamanhos.

HIPÓTESE

Suposição que se faz de alguma coisa possível ou não e da qual se tiram as conseqüências a verificar.

(12)

Você pode observar que a área plantada no canteiro I é a mesma do canteiro II e do canteiro III. Concluímos que as frações 1

2 2 4 3 6 = = , 1 2 2 4 3 6 = =, 1 2 2 4 3 6

= = são chamadas de FRAÇÕES EQUIVALENTES, ou seja, 1 2 2 4 3 6 = = .

Para obter frações equivalentes a uma fração dada, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero.

Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, estamos simplificando essa fração. Por exemplo: vamos simplificar a fração 12

18.

Veja que podemos dividir o numerador e o denominador por 2. Daí, 12 18 2 2 ÷ ÷ = 6

9 e ainda podemos dividir essa fração por 3. Assim, 6 9 3 3 ÷ ÷ = 2 3 é a fração simplificada.

Você percebeu que para simplificar a fração 12

18, efetuamos divisões sucessivas: primeiro por 2 e depois por 3, até encontrar 2

3, que é uma FRAÇÃO

IRREDUTÍVEL. Observe: canteiro I canteiro II canteiro III agrião taioba

alface cenoura cebola tomate FRAÇÕESEQUIVALENTES Representam a mesma parte do inteiro. Uma FRAÇÃO é IRREDUTÍVELquando

(13)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações O mdc passo a passo

Como calcular o mdc entre 528 e 3312?

Regra para se calcular o mdc pelas divisões sucessivas: mdc (528, 3312).

1º passo: Dividimos o número maior pelo menor;

2º passo: Não dando resto zero, dividimos o divisor pelo resto da divisão anterior;

3º passo: Prosseguimos com as divisões até obter resto zero. O mdc é o divisor da última divisão efetuada.

Veja o dispositivo prático:

Portanto, o mdc (3312, 528) = 48.

entre o numerador e o denominador, dividindo o numerador e o denominador da fração diretamente por esse valor.

No exemplo anterior, o máximo divisor comum entre 12 e 18 é o 6. Portanto, poderíamos dividir diretamente a fração 12

18 por 6, chegando na fração 2

3, que é a forma mais simplificada.

3312 528 144 6 Quocientes mdc Restos 6 3 ₁ ₂ 48 96 144 528 3312 144 96 48 0 Saiba mais...

(14)

Coloque V (verdadeiro) ou F (falso): a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) f. ( ) Atende ao Objetivo 4 Atividade

4

Simplifique a fração 48 30. Atende ao Objetivo 5 Atividade

5

2 4 1 2 = 1 2 3 6 = 3 6 2 4 ≠ 3 9 1 3 = 1 3 2 6 = 2 6 3 9 ≠

(15)

é importante termos o conhecimento das operações matemáticas com frações, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição e subtração de frações

A Matemática possui uma linguagem que se expressa por meio de símbolos e gráficos. Por isso, é importante conhecer e interpretar esses símbolos para efetuarmos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre diferentes núme-ros, sejam eles fracionários, naturais

ou inteiros. No que se refere aos números fracionários, existem dois casos específicos para a adição e subtração, conforme apresentamos nos exemplos a seguir:

1º caso: denominadores iguais No mercado gastei 2

5 do que pos-suía em alimentos e 1

5 em mate-rial de limpeza. Quanto gastei da importância que possuía?

P aul Gr an t Sanja Gjen er o Fonte: www.sxc.hu

Figura 4.3: Os alimentos e os produtos de limpeza também contribuem para explicar as operações com frações.

(16)

Vamos representar graficamente. Gastos em alimentos =

Gastos com material de limpeza =

Total gasto no mercado =

Ou seja,

Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, devemos repetir o denominador e realizar a operação desejada (adição ou subtração) nos numeradores.

Como o total gasto no mercado foi 2 5

1 5

3 5

+ = do dinheiro que possuía, você saberia calcular quanto sobrou?

Para saber quanto sobrou, devemos fazer: 1 3 5 − ; sabemos que 5 5 = 1; substi-tuindo, temos: 5 5 3 5 − = 2

5, ou seja, dois quintos foi a fração que sobrou. 2º caso: denominadores diferentes

Quando os denominadores são diferentes, devemos, em primeiro lugar, obter frações equivalentes que tenham denominadores iguais.

Exemplo: 3 10 2 6 + 6 20, 9 30, 12 40, 15 50, 18

60, ... são frações equivalentes a 3 10 2 6 + . 10 30, 12 36 , 14 42, ..., 20

60, ... são frações equivalentes a 3 10

2 6

+ .

Após a escolha das frações equivalentes que têm o mesmo denominador, usamos a regra anterior. Observe:

2 5 1 5 2 5 1 5 3 5 + = 2 5 1 5 3 5 + =

(17)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações 30 30 30 60 60 60 Simplificando, temos: 38 60 19 30 2 2 ÷ ÷ = .

Para calcular o denominador comum do exemplo anterior, também podemos utilizar o chamado mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores da operação, no caso, 10 e 6.

O que é o mmc? Como calculá-lo?

O menor múltiplo comum de dois ou mais números naturais é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.

Podemos calcular o mmc de dois ou mais números utilizando a fatoração. Neste cálculo, temos as seguintes etapas:

i. decompomos os números em fatores primos; ii. o mmc será o produto desses fatores.

Números primos

Os números naturais podem ser escritos como o produto de vários números primos (chamados de fatores primos). Os números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1. 3 tem apenas os divisores 1 e 3; portanto, 3 é um número primo. 2. 17 tem apenas os divisores 1 e 17; portanto, 17 é um número primo. 3. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10; portanto, 10 não é um número primo.

A seguir, vamos fazer o cálculo do mmc entre 6 e 10, que são os denominadores do nosso último exemplo:

6 10 2 3 5 3 1 5 5 1 1 quacientes divisores primos Saiba mais...

(18)

Como você deve ter observado, a decomposição dos números 6 e 10 é feita por meio da divisão dos mesmos por um fator primo comum aos dois, no caso, 2. Dividindo 6 e 10 por 2, temos como resultado 3 e 5. Como não vamos encontrar um fator primo comum entre 3 e 5, efetuamos a divisão por 3 e repetimos o 5 na próxima linha. Depois, efetuamos a divisão por 5 e repetimos o resultado da divisão anterior na próxima linha; no caso, 1. Assim fazemos esta operação sucessivamente até encontrarmos as unidades (1 e 1).

Portanto, o mmc (6,10) = 2 × 3 × 5 = 30.

Quando temos frações com denominadores diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo denominador, ou seja, um denominador comum às frações, para efetuarmos as operações de adição e subtração.

Agora que você já relembrou o cálculo do mmc, vamos calcular o valor de 32 15 – 4 33 + 1 3.

Para resolver essa operação, vamos seguir os passos aqui apresentados:

1º passo: Vamos calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores.

2º passo: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador.

3º passo: Dividimos o denominador comum (novo) por cada denominador antigo e multiplicamos o resultado pelo numerador antigo.

4º passo: Depois basta repetir o denominador comum e operar com os numeradores. 32 15 4 33 1 3 165 165 165 − + = − + 15 33 3 3 5 11 1 5 1 11 1 11 1 1 1 3. 5. 11 = 165 32 15 4 33 1 3 32 11 165 4 5 165 1 55 165 352 165 20 165 55 1 − + = .( )− .( )+ .( )= − + 665 352 165 20 165 55 165 352 20 55 165 387 165 − + = − + =

(19)

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.

Exemplo:

Na divisão de números racionais, deve ser realizada multiplicando-se o numerador pelo inverso do denominador.

Exemplo:

Propriedades das frações

i. Potenciação

Na potenciação, basta elevar o numerador e o denominador ao expoente indicado. Exemplo: 2 5 2 5 8 125 3 3    = =

ii. Raiz quadrada

Para se extrair a raiz quadrada de uma fração, basta extrair a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador.

Exemplo: 16 49 16 49 4 7 = =

Agora que já estudamos um pouco sobre frações, vamos voltar ao início da aula para resolver aquele problema da pizza. Relembrando o problema: você precisa dividir uma pizza, que já foi repartida em quatro partes iguais, para três pessoas de modo que ninguém saia no prejuízo.

27 8 1 5 27 8 5 1 135 8 = . = 2 5 3 7 2 3 5 7 6 35 . .( ) .( ) = = Saiba mais...

(20)

Então, tem alguma idéia? Você já é capaz de solucionar esse problema? Veja:

Para que as três pessoas comam fatias de mesmo tamanho, sem que ninguém saia prejudicado, basta achar um mínimo múltiplo comum (mmc) entre elas e as 4 fatias.

O mmc (3,4) = 12, pois 3 e 4 são primos entre si.

Propriedade do mmc

O mmc (x, y, z, w...) = x.y.z.w se x, y, z e w são primos entre si. Obs.: Números são primos entre si quando o mdc entre eles é igual a 1.

Portanto, a pizza deve ser dividida em doze partes iguais para que todos comam a mesma fração. Em outras palavras, dividindo cada um dos quatro pedaços em três fatias de mesmo tamanho, cada um pode comer 4 fatias.

Agora que você já está familiarizado com as frações, tente resolver um problema do Sr. “KBrito”:

Existe água pingando sem parar na torneira da cozinha da casa do Sr. KBrito. Este vazamento desperdiça cerca de 60 litros de água por dia.

a. Quantos litros de água serão desperdiçados em 1 5 de dia?.60

Se em 1 dia são desperdiçados 60 litros de água, então em 1

5 do dia serão .60 desperdiçados 1

5 de 60 litros de água..60

(21)

numerador e o denominador pelo o denominador.

Veja: 60 litros 60 1 5 60 1 5 60 1 1 60 5 1 60 5 12 = . = . = . = = . litros.

Observe que o número 60 não tem denominador. Neste caso, o denominador é 1, pois 60

1 =60.

b. Quantos litros de água serão desperdiçados em 2 5 1 5 3 5 + = de dia? 2 5 1 5 3 5 + = de 60 3 5 60 3 5 60 1 3 60 5 1 180 5 36 1 36 5 5 = . = . = . = _÷÷ = = . litros.

Podemos simplificar a fração 180

5 dividindo o numerador e o denominador por 5. 1 5.60de 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 = 12 litros

(22)

c. Caso se perceba o vazamento e o conserto seja feito após 12 horas do seu início, quantos litros de água serão economizados nas 12 horas seguintes? Num dia, são desperdiçados 60 litros. Em 12 horas (metade do dia), será economizada metade do volume, ou seja, 1

2.60 30= litros.

Agora que o problema do Sr. KBrito já foi resolvido, tente solucionar as próximas atividades.

Na pesca da tainha, perde-se 1

4 do pescado na limpeza. Pescando-se 16 kg de

tainha, quantos quilos de tainha limpas teremos? Atende ao Objetivo 6 Atividade

6

Fonte: www.sxc.hu Figura 4.4: Perder 1

4 do pescado é o mesmo que perder

1 2

2.

Laxm

an

O ARROZem casca, ao ser BENEFICIADO, sofre uma perda de 10₁₀−₁₀3 . Quantos quilos de =₁₀7

arroz beneficiado é possível extrair de um saco de arroz de 70 kg de arroz em casca? Atende ao Objetivo 6

Atividade

7

ARROZBENEFICIADO

O produto que foi limpo e está preparado para o consumo.

(23)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações Saiba mais... Atende ao Objetivo 6 Atividade

8

Numa fazenda onde se produz laranja para comercialização é preciso atender a um pedido de 1.500 kg de tal fruta. Ao fim do primeiro dia de trabalho, colheu-se 1

5 do pedido; no segundo, foram colhidos .60 1

5 do pedido. Qual a fração .60 do pedido que é atendida com esses dois dias de trabalho? Quantos quilos ainda ficam faltando?

Depois de aprender as operações e as propriedades de potenciação e radiciação de números fracionários, que tal juntar tudo isso? A seguir você vai aprender a trabalhar com expressões matemáticas.

Expressões com frações

Você sabe o que é uma expressão matemática? Podemos dizer que uma expressão é a combinação de números, operadores e símbolos gráficos (como parênteses, colchetes e chaves).

Numa expressão que tem potenciação e radiciação, adição e subtração, mul-tiplicação e divisão, primeiro precisamos resolver as potenciações e radiciações, multiplicações e divisões, depois adição e subtração.

Nas expressões com parênteses, colchetes e chaves convencionou-se que de-vemos calcular primeiro as expressões que estão dentro dos parênteses, em seguida as dos colchetes e por último aquelas entre chaves.

(24)

98 e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 99 Aula 4 – Fr ações Saiba mais...

Observe o exemplo: Vamos resolver a expressão: 1 2 1 4 2 3 1 4 2 + ⋅     − Preste atenção na solução passo a passo:

1° passo: Devemos aplicar as propriedades em todas as potências, radicais e frações equivalentes existentes na expressão.

Assim, 1 2 1 4 2 3 1 4 1 2 1 4 2 3 1 4 2 2 2 + ⋅     − = + ⋅       − = + ⋅1₂ 1₄ _4₉_−1₄

2º passo: Nesta etapa, vamos trabalhar todas as multiplicações existentes na expressão. Neste exemplo, há uma multiplicação.

Daí, 1 2 1 4 4 9 1 4 + ⋅    − = + ⋅⋅ − 1 2 1 4 4 9 1 4 = + − 1 2 4 36 1 4

3° passo: Agora, devemos observar os denominadores de todas as frações. Em nosso exemplo, temos de calcular o mmc e determinar as frações equivalentes, pois todos os denominadores são diferentes.

Assim, o mmc (36, 4, 2) = 36

Propriedade do mmc

O mmc (x, y, z, w...) = x, se x (o maior número) é divisível pelos outros menores

y, z, w...

4º passo: Para finalizar a expressão, temos de efetuar as operações indicadas. Com isso, 1 2 5 36 1 4 12 36 5 36 9 36 12 5 9 36 8 36 2 9 4 4 + − = + − = + − = ÷ = ÷ Ou seja, 1 2 1 4 2 3 1 4 2 9 2 + ⋅     − = .

Agora que você já sabe resolver uma expressão fracionária, pratique um pouco fazendo a próxima atividade.

(25)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 4 – Fr ações Resolva as expressões: a. b. 3 9 16 2 4 100 100 + − ⋅     3 1 3 2 4 6 2 2 2 ⋅    − ⋅

( )

+

Concluímos esta aula afirmando que as frações são importantes instrumentos para a compreensão dos próximos assuntos. Por isso, conhecê-las e as suas operações são fundamentais para o bom andamento do seu curso de Matemática Instrumental.

• Uma fração é representada de modo genérico como a

b, sendo a, b ∈ Z

e b ≠ 0. Assim, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

• Na leitura de uma fração, você deve ler o numerador e, em seguida, o número de partes em que foi dividido o todo, o que chamamos de denominador da fração.

Resumindo...

9

(26)

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos conhecer os números decimais. Até lá!

• As frações podem ser classificadas como: próprias (quando o numerador é menor que o denominador), impróprias (quando o numerador é maior que o denominador) e aparentes (quando o numerador é divisível pelo denominador).

• Para obter frações equivalentes a uma fração dada, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero. Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, estamos simplificando essa fração.

• Outra maneira de simplificar uma fração é obter o máximo divisor comum (mmc) entre o numerador e o denominador, dividindo a fração diretamente por esse valor.

• Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, devemos repetir o denominador e realizar a operação desejada (adição ou subtração) nos numeradores. Quando os denominadores são diferentes, devemos, em primeiro lugar, obter frações equivalentes que tenham denominadores iguais, ou seja, calcular o mínimo múltiplo comum (mmc).

• As frações possuem algumas propriedades, como a potenciação e a radiciação. Na potenciação, basta elevar o numerador e o denominador ao expoente indicado. Para se extrair a raiz quadrada de uma fração, basta extrair a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. • Numa expressão que tem potenciação e radiciação, adição e subtração, multiplicação e divisão, primeiro precisamos resolver as potenciações e radiciações, multiplicações e divisões, depois adição e subtração.

(27)

Atividade 1

Fração Leitura Um terço Três meios Sete oitavos

Atividade 2

Pinte o que você achar mais conveniente, os = =2 3

4 6 ou os = 3

4 de cada figura. Depois, usando frações, indique ao lado de cada figura a parte que você pintou.

a. d. b. e. c.

Atividade 3

a. fração própria b. 2 5 fração própria c. 5 3 fração imprópria = =2 3 4 6 = =2 3 4 6 =3 4 = =3 4 12 16 = =3 4 6 8 Fração Leitura Seis centésimos Dez onze avos Quatorze vinte e cinco avos 6 100 10 11 14 25 1 3 3 2 7 8 1 4

(28)

102 e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 103 Aula 4 – Fr ações d. 6 2 fração aparente

Atividade 4

a. ( V ) b. ( V ) c. ( F ) d. ( V ) e. ( V ) f. ( F )

Atividade 5

1º passo: dividimos o número maior pelo número menor; 48

30 = 1 (com resto 18)

2º passo: dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30

18 = 1 (com resto 12) 18

12 = 1 (com resto 6) 12

6 = 2 (com resto zero − divisão exata) 2 4 1 2 = 1 2 3 6 = 3 6 2 4 ≠ 3 9 1 3 = 1 3 2 6 = 2 6 3 9 ≠

(29)

Para simplificar a fração 48

30, basta dividir o numerador e o denominador por 6, ou seja,48 30 8 5 6 6 ÷ ÷ = é a forma irredutível.

Atividade 6

1 4 16 1 16 4 4 ⋅ de = = kg.

Se perde 4 kg, pode-se aproveitar 12 kg.

Portanto, o total de tainhas limpas será de 12 kg.

Atividade 7

Vamos representar o saco de arroz como na figura abaixo e imaginar que cada parte do saco tem 7 kg, pois o total é 70 kg (70:10 = 7 kg).

Sabemos que 10₁₀−₁₀3 é a fração de arroz perdido e, por conseqüência, =₁₀7 10 10 3 10 7 10 − =

é a fração de arroz beneficiado. Assim, para saber quanto de arroz beneficiado é possível extrair de um saco de 70 kg, basta multiplicar 7 kg por sete saquinhos e chegamos ao resultado de 49 kg.

Atividade 8

1 5 2 3 3 15 10 15 3 10 15 13 15 + = + = + = 1 5 2 3 3 15 10 15 3 10 15 13 15 + = + = + 1= 5 2 3 3 15 10 15 3 10 15 13 15 + = + = + =

1

o

_dia

₂

_o

_dia

1 4 16 1 16 4 4 ⋅ = = kg.

70 kg

7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg

(30)

104 e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Como 3 e 5 são primos entre si, o mmc(5, 3) = 5.3 = 15. Temos que 15 15 13 15 2 15

− é a fração do pedido que é atendida. Desta forma, = 15 15 13 15 2 15 − = ; então, 15 15 13 15 2 15

− = é a fração do pedido que falta. Com isso, faltam 15 15 13 15 2 15 − = do total de 1.500. Assim, 15 15 13 15 2 15 − = de 1 500. =₁₅2 .1 500.₁ =2 100.₁ =200kg. Logo, a fração do pedido que falta é 15

15 13 15 2 15 − = , correspondendo a 200 kg de laranjas.

Atividade 9

a. 1º passo: 2º passo: 3º passo: e o mmc (3,2,1) = 6 4º passo: b. 1º passo: 2º passo: 3º passo: 1 – 8 + 18 = 11. 3 9 16 2 4 100 100 1 3 4 1 2 1 + − ⋅    = + − .( ) 1 3 4 2 4 1 1 3 4 1 2 + − ⋅

( )

= + − 1 3 4 1 2 1 3 4 1 1 2 + − = + − 1 3 4 1 1 2 1 2 6 4 6 6 1 3 6 2 24 3 6 23 6 + − = .

( )

+ ⋅

( )

− ⋅

( )

= + − = 3 1 3 2 4 6 2 3 1 3 4 4 36 2 3 1 3 2 4 2 2 ⋅    − ⋅

( )

+ = ⋅   − ⋅

( )

+ = ⋅   − ⋅

( ))

+ 36 2 3 1 3 2 4 36 2 1 8 18 ⋅    − ⋅

( )

+ = − +

Referências bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática. São Paulo. Editora FTD. 2002. 6a_{e 7}a_séries.

IEZZI, Gelson et al. Matemática e realidade. São Paulo. Atual Editora. 2005. 5ª Ed. 6a_{e 7}a_séries.

Aula 4. Frações. Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental

Frações

Aula

Meta

Objetivos

Pré-requisito

Quem parte e reparte pode não ficar com a melhor

parte

Aprendendo frações na prática

=

2

4

Leitura de uma fração

1

2

Conhecendo os tipos de frações

=

=

3

4

= =

3

3

1

3

Equivalência e simplificação de frações

4

5

Adição e subtração de frações

6

7

8

Expressões com frações

( )

9

Informação sobre a próxima aula

Atividade 1

Atividade 2

Atividade 3

Atividade 4

Atividade 5

Atividade 6

Atividade 7

Atividade 8

1

dia

2

dia

70 kg

Atividade 9

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ))

( )

Referências bibliográficas

_dia

₂

_dia