Teoria de Controle PID

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MECATRÔNICA ATUAL Nº 3 - ABRIL/2002

Existem basicamente dois tipos de natureza de Existem basicamente dois tipos de natureza de controle: os auto-operados e os operados por alguma controle: os auto-operados e os operados por alguma energia externa.

energia externa.

Entre os auto-operados podemos citar o mais Entre os auto-operados podemos citar o mais co-nhecido entre eles, o controle de nível por bóia, esse nhecido entre eles, o controle de nível por bóia, esse que existe em qualquer que existe em qualquer caixa d’ água de nossas caixa d’ água de nossas residências (

residências (figura 1figura 1).). Seu princípio de Seu princípio de funcio-namento é muito namento é muito sim-ples: quando o nível do ples: quando o nível do

reservatório está baixo a bóia não está acionada, reservatório está baixo a bóia não está acionada, fa-zendo com isso que o fluxo de água passe pela zendo com isso que o fluxo de água passe pela tubu-lação. Então, o nível de água vai subindo até que lação. Então, o nível de água vai subindo até que esta aciona a bóia cortando o fluxo de água. Eis uma esta aciona a bóia cortando o fluxo de água. Eis uma forma clássica de controle de nível empregada forma clássica de controle de nível empregada des-de a antigüidades-de até os dias des-de hoje.

de a antigüidade até os dias de hoje.

Já os controladores baseados em energia Já os controladores baseados em energia exter-na podem ser dos tipos:

na podem ser dos tipos: • Controlador pneumático; • Controlador pneumático; • Controlador hidráulico; • Controlador hidráulico;

• Controlador elétrico ou eletrônico. • Controlador elétrico ou eletrônico.

Como controlar, por exemplo, a velocidade de um motor para que em regime de operação

ele forneça sempre uma determinada rotação, independentemente da carga a ele acoplado?

Ou, como podemos garantir que em um processo a temperatura de um material esteja

inde-pendente de fatores externos a 250ºC ? Vamos abordar, neste artigo, um tema amplamente

pendente de fatores externos a 250ºC ? Vamos abordar, neste artigo, um tema amplamente

utilizado em todas as áreas onde precisamos de um controle realmente preciso de uma

deter-minada grandeza física, o controle PID.

minada grandeza física, o controle PID.

Figura 1 - Controle de nível por bóia. Figura 1 - Controle de nível por bóia.

Resumindo o funcionamento deles, temos que Resumindo o funcionamento deles, temos que uma grandeza precisa ser controlada (temperatura, uma grandeza precisa ser controlada (temperatura, nível, pressão, vazão, pH, velocidade, posição,...). nível, pressão, vazão, pH, velocidade, posição,...). Para manter essa grandeza sob controle precisamos Para manter essa grandeza sob controle precisamos de algumas informações: de algumas informações:

Juliano Matias

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o valor de correção na saída o valor de correção na saída do controlador para que o do controlador para que o va-lor do processo (PV) se lor do processo (PV) se apro-xime do valor desejado (SP), xime do valor desejado (SP), conforme ilustra a

conforme ilustra a figura 2figura 2.. Existem alguns Existem alguns algorit-mos de controle que verealgorit-mos mos de controle que veremos com maiores detalhes, os com maiores detalhes, os quais podem operar quais podem operar individu-almente ou trabalhar em almente ou trabalhar em conjunto, conforme a precisão junto, conforme a precisão esperada do controle e esperada do controle e tam-bém conforme o processo: bém conforme o processo:

• Controle ON-OFF; • Controle ON-OFF; • Controle com ação • Controle com ação pro-porcional (P);

porcional (P);

• Controle com ação • Controle com ação inte-gral (I);

gral (I);

• Controle com ação • Controle com ação deri-vativa (D).

vativa (D).

CONTROLE ON-OFF

É também conhecido com É também conhecido com o o controle de “duas o o controle de “duas posi- posi-ções”, ou controle “liga e ções”, ou controle “liga e des-liga”. O sinal de saída tem liga”. O sinal de saída tem apenas duas posições que apenas duas posições que vão de um extremo ao outro, vão de um extremo ao outro, podendo ser: válvula aberta podendo ser: válvula aberta ou válvula fechada, ou válvula fechada, resistên-cia ligada ou resistênresistên-cia cia ligada ou resistência desli-gada, compressor ligado ou gada, compressor ligado ou compressor desligado. compressor desligado. Anali-semos pela

semos pela figura 3figura 3 umum controlador ON-OFF. Neste controlador ON-OFF. Neste exemplo temos um ambiente exemplo temos um ambiente com temperatura controlada: com temperatura controlada: o valor desejado de o valor desejado de tempera-tura é dado pelo SP, o valor tura é dado pelo SP, o valor atual de temperatura (PV) é atual de temperatura (PV) é medido por um sensor de medido por um sensor de tem-peratura (por exemplo, um peratura (por exemplo, um termopar), a função do termopar), a função do contro-lador é a de chavear a lador é a de chavear a resis-tência tendo como parâmetro tência tendo como parâmetro o valor de temperatura o valor de temperatura forne- forne-cido pelo sensor de modo que cido pelo sensor de modo que mantenha a temperatura no mantenha a temperatura no

Figura 2 - Comparação entre o SP (valor desejado) e o PV (valor do processo). Figura 2 - Comparação entre o SP (valor desejado) e o PV (valor do processo).

Figura 3 - Controlador ON-OFF. Figura 3 - Controlador ON-OFF.

Figura 4 - Detalhamento do chaveamento de R pelo controlador ON-OFF. Figura 4 - Detalhamento do chaveamento de R pelo controlador ON-OFF.

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continua em queda durante continua em queda durante algum tempo, antes de algum tempo, antes de mani-festar tendência ascendente. festar tendência ascendente. O uso do controle O uso do controle ON-OFF é ideal em aplicações OFF é ideal em aplicações onde a variável a ser onde a variável a ser contro-lada possui um tempo de lada possui um tempo de res- res-posta lento. Alguns exemplos posta lento. Alguns exemplos de controle ON-OFF: de controle ON-OFF: • Estufas; • Estufas; • Ar-condicionado; • Ar-condicionado; • Ferro de passar roupa; • Ferro de passar roupa; • Refrigeração de motores • Refrigeração de motores a combustão, entre outros. a combustão, entre outros.

CONTROLE

PROPORCIONAL (P)

Em processos que Em processos que reque-rem um controle mais suave rem um controle mais suave que aquele fornecido pelo que aquele fornecido pelo controlador ON-OFF, pode ser controlador ON-OFF, pode ser empregado o controle empregado o controle propor-cional (P).

cional (P).

O controle proporcional O controle proporcional fornece uma relação linear fornece uma relação linear fixa entre o valor da variável fixa entre o valor da variável controlada e o valor que o controlada e o valor que o atuador de controle pode atuador de controle pode for-necer. Para ilustrar a ação de necer. Para ilustrar a ação de um controle proporcional, um controle proporcional, ve-rifiquemos a

rifiquemos a figura 5figura 5. Este é. Este é um processo em que a

um processo em que a temperaturtemperatura de operação podea de operação pode variar de 50ºC a 550ºC. O elemento controlador tem variar de 50ºC a 550ºC. O elemento controlador tem um raio de ação que fornece ao processo uma faixa um raio de ação que fornece ao processo uma faixa de temperatura que vai de

de temperatura que vai de 150ºC a 450ºC. O ponto 150ºC a 450ºC. O ponto cen-tral é 300ºC com uma faixa tral é 300ºC com uma faixa de controle de ±150ºC. de controle de ±150ºC. Quan-do a temperatura está em do a temperatura está em 150ºC ou menos, o elemento 150ºC ou menos, o elemento controlador é todo aberto. controlador é todo aberto. Quando a temperatura está Quando a temperatura está entre 150ºC e 450ºC, o entre 150ºC e 450ºC, o ele-mento controlador mento controlador movimen-ta-se para uma posição que ta-se para uma posição que é proporcional ao valor da é proporcional ao valor da grandeza controlada. A 225ºC grandeza controlada. A 225ºC o elemento controlador está o elemento controlador está

Com isso temos que a faixa de

Com isso temos que a faixa de valores é de 300ºC,valores é de 300ºC, porém, esse número expressa uma porcentagem da porém, esse número expressa uma porcentagem da faixa total de excursão da temperatura, que é de

faixa total de excursão da temperatura, que é de 500ºC500ºC (50ºC até 550ºC), portanto temos (50ºC até 550ºC), portanto temos que a faixa proporcional expressa que a faixa proporcional expressa 300ºC/500ºC, ou 60% de todo o 300ºC/500ºC, ou 60% de todo o alcance da escala.

alcance da escala.

Outra maneira de explicarmos Outra maneira de explicarmos o comportamento desse o comportamento desse contro- contro-lador é através do seu Ganho, que lador é através do seu Ganho, que é a relação entre a porcentagem é a relação entre a porcentagem de variação do elemento de variação do elemento controlador pela variação controlador pela variação propor-cional da grandeza. Assim temos: cional da grandeza. Assim temos:

Ganho = (% de variação do Ganho = (% de variação do ele- ele-mento controlador) / (% de mento controlador) / (% de

varia-Figura 5 - Ação de um controle proporcional. Figura 5 - Ação de um controle proporcional.

Figura 6 - Diagrama eletrônico de um controle proporcional. Figura 6 - Diagrama eletrônico de um controle proporcional.

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Podemos dizer então, que: Podemos dizer então, que:

Faixa proporcional = (100/Ganho) Faixa proporcional = (100/Ganho) Pensando eletronicamente, Pensando eletronicamente, pode-mos visualizar um Controle mos visualizar um Controle Propor-cional na

cional na figura 6figura 6, onde temos um, onde temos um circuito subtrator com circuito subtrator com Amplificado-res Operacionais, no qual, res Operacionais, no qual, calcula-mos primeiramente o erro entre o SP mos primeiramente o erro entre o SP e o PV, e depois vem um e o PV, e depois vem um amplifica-dor onde amplificamos o erro para dor onde amplificamos o erro para corrigir o valor PV alterado pelo corrigir o valor PV alterado pelo pro-cesso. Nessa mesma figura cesso. Nessa mesma figura pode-mos imaginar a seguinte situação: mos imaginar a seguinte situação:

te-mos que controlar a velocidade de um motor e mos que controlar a velocidade de um motor e partire-mos do princípio de que o motor está rodando na mos do princípio de que o motor está rodando na ve-locidade determinada pelo SP.

locidade determinada pelo SP.

cuito tente corrigir esse cuito tente corrigir esse dis-túrbio alterando a tensão de túrbio alterando a tensão de saída que está acionando o saída que está acionando o motor;

motor;

• A alteração é • A alteração é propor-cional ao erro e dada pelo cional ao erro e dada pelo ganho do circuito ganho do circuito amplifica-dor (R

dor (R₁₁ /R /R₂₂).).

Porém, quando o Porém, quando o circui-to se estabiliza ele não se to se estabiliza ele não se es-tabiliza no

tabiliza no set-point set-point (SP), e(SP), e

sim em um valor fora dele que sim em um valor fora dele que é chamado de

é chamado de off-set off-set ((figurafigura

77). Esse erro é uma caracte-). Esse erro é uma caracte-rística do circuito rística do circuito proporcio-nal e é maior quanto menor nal e é maior quanto menor for o ganho do

for o ganho do circuito, tornan-circuito, tornan-do-se menor à medida que do-se menor à medida que au-mentamos o ganho. Em mentamos o ganho. Em contrapartida, quando contrapartida, quando aumen-tamos o ganho aumenta-se tamos o ganho aumenta-se também a possibilidade de também a possibilidade de os-cilações na variável do cilações na variável do proces-so, portanto, esse é um so, portanto, esse é um pa-râmetro que deve ser muito râmetro que deve ser muito bem otimizado no controlador. bem otimizado no controlador.

Para a correção desse Para a correção desse off- off- set

set existem em alguns con-existem em alguns

con-troladores industriais um troladores industriais um reajuste manual que soma ou juste manual que soma ou subtrai do valor de saída um subtrai do valor de saída um valor correspondente à valor correspondente à eli-minação do

minação do off-set off-set (no nos-(no

nos-so exemplo da

so exemplo da figura 6figura 6 oo ajuste manual soma ou ajuste manual soma ou sub-trai tensão).

trai tensão).

CONTROLE INTEGRAL (I)

Quando se tem um Quando se tem um siste-ma onde utilizamos um ma onde utilizamos um controlador proporcional, nas controlador proporcional, nas alterações da carga o reajuste alterações da carga o reajuste do

dooff-set off-set deve ser feito de for-deve ser feito de

for-ma automática, e não forma automática, e não manual-mente como citado acima. mente como citado acima. Integrando-se o valor do erro no tempo obtemos Integrando-se o valor do erro no tempo obtemos esse reajuste; na prática o controle integral é esse reajuste; na prática o controle integral é utiliza-do em conjunto com o controle proporcional do em conjunto com o controle proporcional

forman-Figura 8 - Gráfico de um controle proporcional-integral (PI). Figura 8 - Gráfico de um controle proporcional-integral (PI).

Figura 9 - Circuito integrador. Figura 9 - Circuito integrador.

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CONTROLE

CONTROLE DERIVADERIVATIVO TIVO (D)(D)

O ajuste derivativo aplica ao sistema uma O ajuste derivativo aplica ao sistema uma cor-reção proporcional à velocidade com que o desvio reção proporcional à velocidade com que o desvio aumenta.

aumenta.

A ação derivativa associada com a ação A ação derivativa associada com a ação proporci-onal (PD) resulta em uma

onal (PD) resulta em uma cor-reção antecipada a um reção antecipada a um des-vio que ainda não

vio que ainda não aconteceu,aconteceu, podemos chamar também de podemos chamar também de supercorreção

supercorreção, conforme , conforme ilus- ilus-tram os gráficos da

tram os gráficos da figura 11figura 11.. Após a grande correção Após a grande correção inicial, o controlador começa inicial, o controlador começa a diminuir os seus efeitos a diminuir os seus efeitos dei-xando que as respostas xando que as respostas pro-porcionais (com ou sem ação porcionais (com ou sem ação integral em conjunto) integral em conjunto) posicio-nem o elemento de controle nem o elemento de controle final. Podemos verificar nas final. Podemos verificar nas figuras 12 e 13

figuras 12 e 13 uma combi-uma combi-nação das ações nação das ações proporcio-nal e derivativa utilizando nal e derivativa utilizando am-plificadores operacionais. plificadores operacionais. CONTROLE CONTROLE PROPORCIO-NAL INTEGRAL E NAL INTEGRAL E DERIVATIVO (PID) DERIVATIVO (PID)

Processos onde o tempo Processos onde o tempo morto é elevado (da ordem de morto é elevado (da ordem de 2 minutos) e/ou retardos de 2 minutos) e/ou retardos de processo são difíceis de processo são difíceis de con-trolar utilizando controles trolar utilizando controles pro-porcionais com ação integral porcionais com ação integral ou proporcionais com ação ou proporcionais com ação derivativa. Processos que derivativa. Processos que te-nham a faixa proporcional a nham a faixa proporcional a ser posicionada

ser posicionada extremamen extremamen--te ampla e onde o extremamen--tempo de te ampla e onde o tempo de reajuste é bastante grande a reajuste é bastante grande a fim de se evitar oscilações. O fim de se evitar oscilações. O controle PID resolve esse controle PID resolve esse pro-blema. Podemos verificar um blema. Podemos verificar um controle PID em sua forma controle PID em sua forma ele-trônica na

trônica na figura 14figura 14.. OTIMIZAÇÃO DE

OTIMIZAÇÃO DE

CONTROLADORES PID

eles são muito complicados, nem sempre estão eles são muito complicados, nem sempre estão dis-poníveis, e demandam um tempo muito grande de poníveis, e demandam um tempo muito grande de análise e, portanto, não são utilizados na prática. análise e, portanto, não são utilizados na prática.

Existem métodos mais simples de regulagem de Existem métodos mais simples de regulagem de um controlador, principalmente utilizando gráficos de um controlador, principalmente utilizando gráficos de resposta de variáveis do processo.

resposta de variáveis do processo.

Figura 10 - Circuito eletrônico de um controle PI. Figura 10 - Circuito eletrônico de um controle PI.

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Em uma malha de controle o objetivo é alcançar a Em uma malha de controle o objetivo é alcançar a estabilidade no menor tempo possível. Um

estabilidade no menor tempo possível. Um controladorcontrolador bem ajustado é aquele que tem um caimento de ¼, bem ajustado é aquele que tem um caimento de ¼, como mostra a

como mostra a figura 15figura 15..

Método de otimização Ziegler-Nichols

O método de ajuste de O método de ajuste de con-troladores em malhas fechadas, troladores em malhas fechadas, mais conhecido e utilizado até hoje, mais conhecido e utilizado até hoje, foi desenvolvido em 1942 por J.G. foi desenvolvido em 1942 por J.G. Ziegler e N.B.Nichols, quando Ziegler e N.B.Nichols, quando tra-balhavam na empresa americana balhavam na empresa americana Taylor Instrument Company, da Taylor Instrument Company, da ci-dade de Rochester, Nova Iorque. dade de Rochester, Nova Iorque. Esse método, apesar de ser o mais Esse método, apesar de ser o mais antigo, ainda é o mais utilizado por antigo, ainda é o mais utilizado por instrumentistas e profissionais da instrumentistas e profissionais da área de controle de processos. área de controle de processos.

O método consiste em O método consiste em determi-nar um ganho chamado de ganho nar um ganho chamado de ganho crítico (Gu) e um período

chama-crítico (Gu) e um período chama- Figura 12 - Circuito diferencial ou derivativo.Figura 12 - Circuito diferencial ou derivativo.

Tabela 1 - Equações de ajuste para controladores PID. Tabela 1 - Equações de ajuste para controladores PID.

do período crítico (Pu). Para isso, deve-se seguir do período crítico (Pu). Para isso, deve-se seguir al-guns passos:

guns passos:

• Tira-se a ação integral e a ação derivativa do • Tira-se a ação integral e a ação derivativa do controlador, deixando apenas a ação proporcional; controlador, deixando apenas a ação proporcional;

• Mantém-se o controlador em modo • Mantém-se o controlador em modo automáti-co em malha fechada;

co em malha fechada;

• Ajusta-se o ganho do controlador em um nível • Ajusta-se o ganho do controlador em um nível baixo a fim de se evitar oscilações no sistema; baixo a fim de se evitar oscilações no sistema;

• Aumenta-se o ganho, passo a passo, até que a • Aumenta-se o ganho, passo a passo, até que a oscilação fique constante em amplitude e período, oscilação fique constante em amplitude e período, como ilustrado na

como ilustrado na figura 16figura 16;;

Com base no ganho crítico e no período crítico os Com base no ganho crítico e no período crítico os ajustes do controlador são calculados para um ajustes do controlador são calculados para um ajus-te ideal do controlador.

te ideal do controlador.

Ziegler e Nichols observaram que

Ziegler e Nichols observaram que em um controladorem um controlador proporcional o ganho ideal é

proporcional o ganho ideal é a metade do ganho crítico,a metade do ganho crítico, isto é, Ganho = Gu/2 e, com

isto é, Ganho = Gu/2 e, com esse ganho obtemos apro-esse ganho obtemos apro-ximadamente uma razão de caimento de ¼.

ximadamente uma razão de caimento de ¼.

Através de testes, Ziegler Através de testes, Ziegler e Nichols descobriram que as e Nichols descobriram que as equações mostradas na equações mostradas na tabe- tabe-la

la 11 fornecem bons valoresfornecem bons valores de ajustes para

de ajustes para controladorescontroladores PID. Deve ser observado que PID. Deve ser observado que as equações são muito as equações são muito ge-néricas e existem várias néricas e existem várias ex-ceções.

ceções.

CONCLUSÃO

Cada tipo de controlador é Cada tipo de controlador é aplicável a processos que têm aplicável a processos que têm certas combinações de certas combinações de carac-terísticas básicas. Ao se terísticas básicas. Ao se es-colher um tipo de controlador, colher um tipo de controlador, deve-se escolher um que deve-se escolher um que aten-da as necessiaten-dades de uma da as necessidades de uma forma mais simples, sendo forma mais simples, sendo assim mais econômicas, por assim mais econômicas, por exemplo, a utilização de um exemplo, a utilização de um controlador PID onde poderia controlador PID onde poderia muito bem ser utilizado um muito bem ser utilizado um controle ON-OFF.

controle ON-OFF.

A FÁBULA DO

A FÁBULA DO REGULA-

REGULA-DOR PID E DA CAIXA

DOR PID E DA CAIXA

D’ÁGUA

Achei a estória tão Achei a estória tão

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Era uma vez uma pequena Era uma vez uma pequena cida-de que não tinha água encanada. de que não tinha água encanada. Mas, um belo dia, o

Mas, um belo dia, o prefeito mandouprefeito mandou construir uma caixa d’água na serra construir uma caixa d’água na serra e ligou-a a uma rede de distribuição. e ligou-a a uma rede de distribuição. A ligação da caixa com o rio foi feita A ligação da caixa com o rio foi feita por meio de uma tubulação. Nessa por meio de uma tubulação. Nessa tubulação colocou-se uma válvula tubulação colocou-se uma válvula para restringir ou aumentar a vazão. para restringir ou aumentar a vazão. Faltava somente uma pessoa para Faltava somente uma pessoa para acionar a válvula.

acionar a válvula.

Enfim, foi empregado um Enfim, foi empregado um velho sem quaisquer velho sem quaisquer conhe-cimentos técnicos. Apesar cimentos técnicos. Apesar disso, executou o seu disso, executou o seu servi-ço durante muitos anos, ço durante muitos anos, limi-tando-se a manter o nível tando-se a manter o nível d’água na caixa tão constante d’água na caixa tão constante como podia, alterando a vazão como podia, alterando a vazão sempre que necessário. sempre que necessário.

Quando o velho alcançou a Quando o velho alcançou a idade da aposentadoria, os seus idade da aposentadoria, os seus três filhos de nomes Isidoro, três filhos de nomes Isidoro, Pedro e Demétrio Pedro e Demétrio ofereceram-se para substituir o pai. se para substituir o pai.

Cada um queria resolver a Cada um queria resolver a tarefa da maneira mais tarefa da maneira mais sim-ples possível. Discutiram as ples possível. Discutiram as possibilidades de instalar possibilidades de instalar uma válvula acionada por uma válvula acionada por bóia. Ou de um ventil bóia. Ou de um ventil eletro-pneumático, ou de um pneumático, ou de um regu-lador hidráulico, etc...

lador hidráulico, etc...

Certo dia, em meio a Certo dia, em meio a es-sas discussões, apareceu um sas discussões, apareceu um primo de visita à casa. primo de visita à casa. Sen-do esse, engenheiro, do esse, engenheiro, pediram-lhe a sua opinião quanto às lhe a sua opinião quanto às idéias em discussão.

idéias em discussão.

O primo pensou e, ao O primo pensou e, ao in-vés de apontar uma das vés de apontar uma das al-ternativas como a melhor, ternativas como a melhor, perguntou qual a perguntou qual a característi-ca de função que possuíam ca de função que possuíam os reguladores por eles os reguladores por eles idea-lizados.

lizados.

Ficando os três irmãos um Ficando os três irmãos um pouco desapontados, pois pouco desapontados, pois es-peravam uma resposta mais peravam uma resposta mais

Figura 14 - Controle proporcional, integral e derivativo. Figura 14 - Controle proporcional, integral e derivativo.

Figura 15 - Controlador com caimento de 1/4. Figura 15 - Controlador com caimento de 1/4.

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dependam de qual está sendo regulado. (Ex: do dependam de qual está sendo regulado. (Ex: do ní-vel de água depende a pressão na rede de vel de água depende a pressão na rede de distri-buição).

buição).

Assim, no começo do dia, Isidoro, o filho mais Assim, no começo do dia, Isidoro, o filho mais ve-lho, encontra-se no lugar do pai. É um rapaz simples, lho, encontra-se no lugar do pai. É um rapaz simples, mas metódico. Quando nota que o nível d’água está mas metódico. Quando nota que o nível d’água está 10 cm abaixo do nível desejado, pensa que o 10 cm abaixo do nível desejado, pensa que o consu-mo aumentará. Por isso começa a abrir a válvula mo aumentará. Por isso começa a abrir a válvula len-tamente de maneira contínua, constatando ao tamente de maneira contínua, constatando ao mes-mo tempo que, pouco a pouco, o nível abaixa mais mo tempo que, pouco a pouco, o nível abaixa mais devagar, depois se estabiliza e, enfim, começa a devagar, depois se estabiliza e, enfim, começa a su-bir. No entanto, Isidoro abre a válvula ainda mais até bir. No entanto, Isidoro abre a válvula ainda mais até que alcance o nível anterior. Pouco depois, Isidoro que alcance o nível anterior. Pouco depois, Isidoro percebe que a água continua a subir, estando já percebe que a água continua a subir, estando já aci-ma do nível desejado. Por isso, só com a metade da ma do nível desejado. Por isso, só com a metade da velocidade Isidoro começa a fechar a válvula, velocidade Isidoro começa a fechar a válvula, resta-belecendo pouco a pouco o nível exato. Mas, a água belecendo pouco a pouco o nível exato. Mas, a água continua baixando. Assim, Isidoro vê-se forçado a continua baixando. Assim, Isidoro vê-se forçado a re-petir a sua manobra ainda algumas vezes sem que a petir a sua manobra ainda algumas vezes sem que a água se mantenha no nível desejado.

água se mantenha no nível desejado. Isidoro é a própria imagem

Isidoro é a própria imagem integral de controle, cujaintegral de controle, cuja velocidade de ação é proporcional ao desvio. Isidoro velocidade de ação é proporcional ao desvio. Isidoro acionará a válvula enquanto este existir, sem nunca acionará a válvula enquanto este existir, sem nunca alcançar estabilidade por ter a zona

alcançar estabilidade por ter a zona de regulagem tam-de regulagem tam-bém comportamento integral.

bém comportamento integral.

Em termos matemáticos pode-se dizer que para Em termos matemáticos pode-se dizer que para um desvio “X” do valor regulado, a ação integral é uma um desvio “X” do valor regulado, a ação integral é uma manobra do órgão de controle, que pode ser manobra do órgão de controle, que pode ser repre-sentada pela fórmula:

sentada pela fórmula:

∫ ∫

= =

Ao meio dia, Pedro substitui seu irmão Isidoro. Ao meio dia, Pedro substitui seu irmão Isidoro. Pedro possui o costume de calcular tudo que faz. Ele Pedro possui o costume de calcular tudo que faz. Ele percebe logo que, quando o nível d’água se encontra percebe logo que, quando o nível d’água se encontra 10 cm abaixo do nível desejado, deve dar 5 voltas ao 10 cm abaixo do nível desejado, deve dar 5 voltas ao volante da válvula no sentido de abertura para volante da válvula no sentido de abertura para elimi-nar o desvio. Por outro lado, Pedro não se preocupa nar o desvio. Por outro lado, Pedro não se preocupa

Ao fim do dia, Demétrio toma conta do serviço. Ao fim do dia, Demétrio toma conta do serviço. Demétrio é o mais sofisticado dos três irmãos. Não Demétrio é o mais sofisticado dos três irmãos. Não se preocupa somente com o valor do desvio, mas se preocupa somente com o valor do desvio, mas também com a velocidade com a qual este se altera. também com a velocidade com a qual este se altera. Caso a água desça rapidamente 10 cm abaixo do Caso a água desça rapidamente 10 cm abaixo do nível desejado, Demétrio dá de uma só vez 10 voltas nível desejado, Demétrio dá de uma só vez 10 voltas no volante da válvula em sentido de abertura. Vendo no volante da válvula em sentido de abertura. Vendo depois que a água sobe devagar, fecha também depois que a água sobe devagar, fecha também de-vagar a válvula, e mais dede-vagar quanto menor for a vagar a válvula, e mais devagar quanto menor for a velocidade de aumento de nível, até chegar velocidade de aumento de nível, até chegar progres-sivamente à abertura inicial. Caso a água ultrapasse sivamente à abertura inicial. Caso a água ultrapasse o nível desejado por 5 cm, Demétrio executa a o nível desejado por 5 cm, Demétrio executa a mes-ma mes-manobra de antes, porém em sentido contrário e, ma manobra de antes, porém em sentido contrário e, além disso, 50% menos acentuado.

além disso, 50% menos acentuado.

Demétrio é a própria imagem da ação diferencial, Demétrio é a própria imagem da ação diferencial, cujo valor é diretamente proporcional ao grau do cujo valor é diretamente proporcional ao grau do des-vio e inversamente proporcional à duração deste, vio e inversamente proporcional à duração deste, po-dendo ser representada pela fórmula:

dendo ser representada pela fórmula:

O prefeito encontrou-se diante uma decisão O prefeito encontrou-se diante uma decisão difí-cil. A qual dos candidatos deveria dar o emprego cil. A qual dos candidatos deveria dar o emprego definitivo?

definitivo?

Isidoro, a imagem do comportamento integral, Isidoro, a imagem do comportamento integral, de-morou bastante tempo para restituir o nível desejado morou bastante tempo para restituir o nível desejado na caixa d’água. Verdade é que ele acertou todas as na caixa d’água. Verdade é que ele acertou todas as vezes o nível exato. Seu método, porém, resultou vezes o nível exato. Seu método, porém, resultou numa instabilidade absoluta, porque, devido à sua numa instabilidade absoluta, porque, devido à sua atividade contínua, diversas vezes o nível oscilou atividade contínua, diversas vezes o nível oscilou fortemente. Seu único recurso contra esse fortemente. Seu único recurso contra esse inconve-niente foi acionar a válvula lentamente. Mas, na niente foi acionar a válvula lentamente. Mas, na pro-porção que a manobra era lentamente executada, porção que a manobra era lentamente executada, au-mentou-se o tempo que a população deveria esperar mentou-se o tempo que a população deveria esperar até receber água mesmo nos bairros mais elevados. até receber água mesmo nos bairros mais elevados. Pedro, a imagem do comportamento proporcional Pedro, a imagem do comportamento proporcional obteve um resultado diametralmente oposto. Seu obteve um resultado diametralmente oposto. Seu

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brando brando cada um cada um em uma em uma válvula válvula dife-rente de rente de acor-do com o seu do com o seu próprio método. próprio método. Quando o nível d’ Quando o nível d’ água encontra-se 10 água encontra-se 10 cm abaixo do nível cm abaixo do nível desejado, Pedro abre a válvula, jado, Pedro abre a válvula,

dando cinco voltas ao volante, dando cinco voltas ao volante, acaban-do assim com a queda d’água.

do assim com a queda d’água.

Isidoro, por sua parte, executa o seu trabalho Isidoro, por sua parte, executa o seu trabalho len-tamente e continuamente até reconduzir o

tamente e continuamente até reconduzir o nível d’águanível d’água ao valor desejado. Desta vez ele não precisa ao valor desejado. Desta vez ele não precisa preocu-par-se com a variação de consumo na cidade. É par-se com a variação de consumo na cidade. É sufi-ciente que ele corrija

ciente que ele corrija a inexatidão do serviço de a inexatidão do serviço de PedroPedro.. Assim, sua manobra é restrita e não provoca mais, Assim, sua manobra é restrita e não provoca mais,

serve apenas para restabelecer serve apenas para restabelecer mais rapidamente o nível mais rapidamente o nível exa-to. Ele confia mais na to. Ele confia mais na sua estimativa do sua estimativa do que na marca de que na marca de ní-vel, e como Pedro, vel, e como Pedro, ele não lê o ele não lê o des-vio residual após vio residual após a sua manobra. a sua manobra. Pedro parou a queda Pedro parou a queda por uma ação medida por uma ação medida e imediata. Demétrio e imediata. Demétrio acrescentou uma manobra acrescentou uma manobra enérgica, mas esporádica, que enérgica, mas esporádica, que exagera a ação exagera a ação momentanea-mente, acelera o mente, acelera o restabeleci-mento e diminui o desvio.

mento e diminui o desvio.

Mesmo assim, o nível Mesmo assim, o nível prescri-to não está ainda exatamente to não está ainda exatamente res-tabelecido.

tabelecido.

A ação A ação PROPORCIONAL-DIFE- PROPORCIONAL-DIFE-RENCIAL é caracterizada por uma RENCIAL é caracterizada por uma es-tabilização imediata no momento em que tabilização imediata no momento em que o desvio acontece. Um exagero da ação o desvio acontece. Um exagero da ação para obter uma absorção rápida do para obter uma absorção rápida do des-vio, mas também, infelizmente, uma vio, mas também, infelizmente, uma cer-ta imprecisão final do resulcer-tado.

ta imprecisão final do resultado. No dia seguinte, finalmente, os três No dia seguinte, finalmente, os três tra- tra-balham jun

balham juntos e cada um ao tos e cada um ao seu modo. Pseu modo. Paraara uma queda de 10 cm, Pedro abre 5 voltas, uma queda de 10 cm, Pedro abre 5 voltas, Demétrio exagera a ação (diferencial) até 10 Demétrio exagera a ação (diferencial) até 10 vol- vol-tas, para depois cancelar a manobra num tempo que tas, para depois cancelar a manobra num tempo que é em função da inércia do aumento de nível. Isidoro, é em função da inércia do aumento de nível. Isidoro, como de costume, não tem pressa, abre a válvula como de costume, não tem pressa, abre a válvula devagar (integraliza), até o momento em que ele devagar (integraliza), até o momento em que ele cons-tata que o nível prescrito é atingido, mas desta vez, a tata que o nível prescrito é atingido, mas desta vez, a sua manobra é bem menor, porque antes dele, os sua manobra é bem menor, porque antes dele, os seus irmãos já fizeram o principal. Pedro efetuou a seus irmãos já fizeram o principal. Pedro efetuou a

A U T O M A Ç Ã O

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