Inform´
atica no Ensino da Matem´
atica
Humberto Jos´
e Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Lista de Exerc´ıcios 8
ATIVIDADE 1
Estude os tutoriais do GeoGebra 4.2 de n´umeros 13 a 16 dispon´ıveis no seguinte endere¸co (escolha a op¸c˜ao “V´IDEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Neste tutorial, vocˆe aprender´a a construir mediatrizes e bissetrizes com o GeoGebra 4.2. Depois de ver as anima¸c˜oes, ´e importante que vocˆe tente implement´a-las sozinho no Geo-Gebra 4.2 pois, fazendo assim, vocˆe ganhar´a mais proficiˆencia no uso do programa!
ATIVIDADE 2
(Uma fal´acia cl´assica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstra¸c˜ao errada para o seguinte teorema falso: “todo triˆangulo ´e is´osceles”.
(a) Usando somente l´apis e papel, tente descobrir qual passo est´a errado. Anote a sua resposta! O ideal ´e que vocˆe fa¸ca os seus pr´oprios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
A B C F O E D .
Passo 1. No triˆanguloABC, seja O o ponto de interse¸c˜ao da mediatriz←→F O do lado AB com a bissetriz ←→CO do ˆangulo ∠ACB.
Passo 2. Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao lado BC, respectivamente.
Passo 3. Os triˆangulos retˆangulos CEO e CDO s˜ao congruentes e, portanto, EO =
DO e EC = DC.
Passo 4. Como AO = BO, o triˆangulo retˆangulo AEO ´e ent˜ao congruente ao triˆangulo retˆanguloBDO e, assim, AE = BD.
Passo 5. Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triˆangulo ABC ´e is´osceles.
ATIVIDADE 3
(Uma fal´acia cl´assica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstra¸c˜ao errada para o seguinte teorema falso: “todo ˆangulo ´e reto”. Implemente estes passos no
Ge-oGebra 4.2 e descubra qual ´e o erro da demonstra¸c˜ao!
Passo 1. Dado um ˆanguloα, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com BE = BC e m(∠EBA) = α. Sejam tamb´em R o ponto m´edio de DE, P o ponto m´edio de DC, Q o ponto m´edio de AB e O a interse¸c˜ao da reta ←→P Q com a mediatriz do segmento DE (veja a figura a seguir).
B A D C E R Q P O
Passo 2. Os triˆangulos ΔAQO e ΔBQO s˜ao congruentes, desde que ←→OQ ´e a mediatriz do segmento AB. Segue-se ent˜ao que AO = BO.
Passo 3. Os triˆangulos ΔDRO e ΔERO s˜ao congruentes desde que ←→RO ´e a mediatriz do segmento DE. Segue-se ent˜ao que DO = EO.
Passo 4. Agora,DA = BE, pois ABCD ´e um quadrado e E ´e um ponto escolhido de tal maneira que BE = BC.
Passo 5. Desta maneira, os triˆangulos ΔOAD e ΔOBE s˜ao congruentes porque seus lados possuem o mesmo tamanho.
Passo 6. Segue-se, portanto, que m(α) = m(∠EBA) = m(∠EBO) − m(∠ABO) =
m(∠OAD) − m(∠OAB) = BAD = 90◦. ATIVIDADE 4
(O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre a
reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→AE e ←→DB, Q o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→AF e ←→DC e R o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→BF e ←→EC:
P =←→AE ∩←→DB, Q =←→AF ∩←→DC e R =←→BF ∩←→EC.
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos e das reta r e s devem aparecer! Use cores diferentes para real¸car as retas que definem os pontos P , Q e R.
(b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geom´etrico. Ob-serva¸c˜ao: um invariante geom´etrico ´e uma propriedade geom´etrica (concorrˆencia, co-linearidade, comprimento, medida de ˆangulo, etc) que permanece constante (invari-ante!) para qualquer configura¸c˜ao da constru¸c˜ao satisfazendo certas propriedades pr´ e-estabelecidas.
ATIVIDADE 5
(O teorema de Pascal para o c´ırculo) Seja C um c´ırculo. Construa os pontos A, B, C,
D, E e F sobre o c´ırculo C. Sejam P o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→AE e←→DB, Q o ponto
de interse¸c˜ao das retas ←→AF e ←→DC e R o ponto de interse¸c˜ao das retas←→BF e ←→EC:
P =←→AE ∩←→DB, Q =←→AF ∩←→DC e R =←→BF ∩←→EC.
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para real¸car os v´arios elementos da constru¸c˜ao.
ATIVIDADE 6
Seja ΔABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triˆangulo equil´ate-ro ΔABQ “para dentro” do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triˆangulo equil´a-tero ΔCBR “para fora” do quadrado. Que propriedade marcante os pontos P , Q e R possuem? Identifique um invariante geom´etrico e demonstre-o!
A B
P C
Q
R
ATIVIDADE 7
Estude o tutorial do GeoGebra 4.2 de n´umero 17 dispon´ıvel no seguinte endere¸co (escolha a op¸c˜ao “V´IDEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Neste tutorial, vocˆe aprender´a a construir pontos semilivres e a desenhar lugares geom´etricos com o GeoGebra 4.2. Depois de ver a anima¸c˜ao, ´e importante que vocˆe tente implement´a-la sozinho no GeoGebra 4.2 pois, fazendo assim, vocˆe ganhar´a mais proficiˆencia no uso do programa!
ATIVIDADE 8
Sejam C um c´ırculo de centro em O e P um ponto de C. Para cada X em C, considere o ponto m´edio M do segmento P X. Qual ´e o lugar geom´etrico do ponto M quando X se desloca sobre o c´ırculo C? Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra 4.2, investigue, fa¸ca uma conjectura e tente prov´a-la!
ATIVIDADE 9
Considere dois c´ırculos C1 e C2, com C1 contido no interior de C2. O c´ırculo C1 tem centro no ponto A e ele passa pelo ponto B. O c´ırculo C2 tem centro no ponto C e ele passa pelo ponto D. Seja agora X um ponto do c´ırculo C1. Marque o ponto Y que ´e a interse¸c˜ao da semirreta −−→AX com o c´ırculo C2. Finalmente, construa o ponto m´edio M do segmento XY . (a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos devem aparecer!
(b) Quais s˜ao os pontos livres, semilivres e fixos desta constru¸c˜ao?
(c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o c´ırculo C1. O lugar geom´etrico descrito pelo ponto M ´e um c´ırculo? Justifique a sua resposta!
C D A B X Y M
ATIVIDADE ELETR ˆONICA 17
Implemente a constru¸c˜ao do Teorema de Pappus (Atividade 4 desta lista), salve-a sob o nome pappus.ggb e envie o arquivo correspondente para o seguinte e-mail:
novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com
(note o ponto. entre as palavras). Use “AE-17: Teorema de Pappus” como assunto (subject) do e-mail. S´o ser˜ao aceitos e-mails enviados at´e o dia 28/09/2011. N˜ao esque¸ca de incluir o seu nome completo. Sua atividade eletrˆonica s´o ser´a contabilizada se vocˆe implementar corretamente o teorema no GeoGebra 4.2! Seja criativo: use cores diferentes para elementos diferentes e, tamb´em, para evidenciar as propriedades geom´etricas da constru¸c˜ao.
ATIVIDADE ELETR ˆONICA 18
Seja ΔABC um triˆangulo qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente, triˆangulos equil´ateros ΔP AB e ΔRCA “para fora” do triˆangulo ΔABC. Sobre o lado BC, construa o triˆangulo equil´atero ΔQCB “para dentro” do triˆangulo ΔABC. Por fim, trace os segmentos P Q e QR.
(b) Que propriedade marcante o quadril´atero P QRA possui? Identifique o invariante geom´etrico e demonstre-o!
B C
A Q
P
R
Implemente este enunciado no GeoGebra 4.2, salve a constru¸c˜ao com o nome aqueci-mento.ggb e envie o arquivo para o seguinte e-mail:
novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com
(note o ponto . entre as palavras). Escreva no e-mail o enunciado da sua conjectura e a respectiva demonstra¸c˜ao. Use “AE-18: Invariante Geom´etrico” como assunto da mensagem. S´o ser˜ao aceitos e-mails enviados at´e o dia 28/09/2011. N˜ao esque¸ca de incluir o seu nome completo. Sua atividade eletrˆonica s´o ser´a contabilizada se vocˆe implementar corretamente o teorema no GeoGebra 4.2!
