1. Tensão Uma das repostas do MC ao carregamento. F r. forças internas. 1. Vector das tensões. sistema 3. sistema 2. sistema 1. sistema 2.

1. Tensão

Uma das repostas do MC ao carregamento

Conjunto( sistema 1 + sistema 2) está em equilíbrio Conjunto( sistema 1 + sistema 3) está em equilíbrio Conjunto( sistema 2 - sistema 3) está em equilíbrio sistema 2 e sistema 3 são equivalentes

sistema 3 exprime o efeito da parte B (com o sistema 2) sistema 1 e –sistema 3 são equivalentes “-sistema 3” exprime o efeito da parte A

(com o sistema 1) sistema 1 sistema 1 sistema 2 corte sistema 3 - sistema 3 sistema 2 A B forças internas

F

r

F

r

−

1. Vector das tensões

Princípio das tensões de Euler e Cauchy _{Augustin Cauchy (1789-1857)} Leonhard Euler (1707-1783)

t_x, t_y, t_z: componentes cartesianas do vector das tensões

( )

dA

F

d

lim

t

0 dA n P

r

r

→

=

Vector das tensões no ponto P Unidade N/m

2_=Pa

106_Pa=MPa

Define-se à volta do P uma vizinhança, ou seja um elemento infinitesimal de área

A faceta é sempre ligada ao resto do MC A faceta ligada a parte A

com a normal exterior (unitária)

A faceta ligada a parte B com a normal exterior (unitária) Vamos escolher um ponto P, que pertence à superfície de corte

que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas

P

dA

O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua

é indiferente do modo que dA tende para zero

é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual

2 componentes em 2D, 3 em 3D

P

( )n P

t

r

( )n P , y

t

r

( )n P , x

t

r

( )n P

t

r

P

( )n P , x

t

r

( )n P

t

r

( )n P , y

t

r

P

B

n

r

_P

B

F

d

r

A

n

r

A

F

d

r

Para poder determinar o vector das tensões no ponto P relacionado a qualquer faceta que nela passa, temos que saber vector das tensões relacionado

a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P (2 em 2D) t_n, t_t: componentes intrínsecas

do vector das tensões

2 componentes em 2D e em 3D

t_n: com sentido da normal tracção, positiva

t_n: contra sentido da normal compressão, negativa t_n: componente normal

t_t: componente tangencial ou de corte

Vamos manter o ponto P mas escolhemos um elemento com uma normal diferente as componentes do vector das tensões vão ser diferentes

É preciso determinar os valores necessários para poder unicamente exprimir qualquer vector das tensões

n

r

P

( )n P

t

r

( )n P , n

t

r

( )n P , t

t

r

n

r

P

( )n P

t

r

( )n P , n

t

r

( )n P , t

t

r

Neste caso diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P e introduzem-se as componentes de tensão

x

y

x

σ

x

σ

y

σ

y

σ

xy

τ

xy

τ

yx

τ

yx

τ

Componentes cartesianas do vector das tensões chamamos componentes de tensão quando as facetas têm a normal paralela com os eixos coordenados

Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo de coordenadas Convenções

Faceta positiva, o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo de coordenadas

Componente normal

Componente tangencial ou componente de corte o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Representação geométrica das componentes de tensão no rectângulo elementar

Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas coincidem, contudo o sentido satisfaz regras especiais

0

y

x

x

y

_yx xy

Δ

Δ

−

τ

Δ

Δ

=

τ

yx xy

=

τ

τ

⇒

força força momento momento

x

y

x

σ

x

σ

y

σ

y

σ

xy

τ

xy

τ

yx

τ

yx

τ

y

Δ

x

Δ

Tensão é simétrica ⇒ 3 componentes em 2D

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ

τ

τ

σ

=

σ

y xy xy x

Representação das componentes na forma matricial Equilíbrio dos binários

Nota: as condições de equilíbrio poderão ser escritas para forças e momentos,

mas não para componentes de tensão 2. Tensor das tensões

Vizinhança elementar rectangular em torno do ponto interior, P, mergulhada no MC

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ

τ

τ

σ

=

σ

y yx xy x

Representação das componentes na forma matricial

0

y

x

f

x

y

y

x

y

x

x

y

_x x _{xy xy} xy _x x

⎟⎟

Δ

+

Δ

Δ

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ

∂

τ

∂

+

τ

+

Δ

τ

−

Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_Δ

∂

σ

∂

+

σ

+

Δ

σ

−

0

f

y

x

x xy x

+

=

∂

τ

∂

+

∂

σ

∂

0

f

y

x

y y xy

+

=

∂

σ

∂

+

∂

τ

∂

Nota: o equilíbrio dos momentos dava a relação de simetria,

agora com a prova mais rigorosa do que no slide anterior

x

x

x x

∂

Δ

σ

∂

+

σ

x

σ

y

σ

x

x

xy xy

∂

Δ

τ

∂

+

τ

xy

τ

y

y

xy xy

∂

Δ

τ

∂

+

τ

y

y

y y

∂

Δ

σ

∂

+

σ

xy

τ

x

Δ

y

Δ

y

f

x

f

3. Equações de equilíbrio Vizinhança elementar rectangular em torno do ponto interior, P, mergulhada no MC

4. Cálculo das componentes do vector das tensões

{ }

t

=

[ ]

σ

⋅

{ }

n

Condições de fronteira

Carga distribuída na superfície x

p

x

σ

y

p

y

σ

xy

τ

xy

τ

α

_α

(

)

T

sin

,

cos

n

r

=

α

α

x

Δ

y

Δ

Δ

s

α

⋅

Δ

=

Δ

x

s

sin

Δ

y

=

Δ

s

⋅

cos

α

0

s

p

x

y

_{xy x} x

Δ

−

τ

Δ

+

Δ

=

σ

−

α

τ

+

α

σ

=

cos

sin

p

_{x x xy} y xy x x x

n

n

p

=

σ

+

τ

y y x xy y

n

n

p

=

τ

+

σ

Vizinhança elementar triangular do ponto de superfície P

Componentes cartesianas de analogia:

P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária

j ij i

n

t

=

σ

(

)

T

sin

,

cos

n

r

=

α

α

n

r

=

(

cos

α

,

cos

β

,

cos

γ

)

T

Componentes intrínsecas ( )

₌

{ }

( )

_⋅

{ }

₌

( )

_⋅

_⋅

_θ

cos

n

t

n

t

t

_nn n T

r

n

r

( ) ( )

( )

( )_n 2 n 2 n n t

t

t

t

=

r

−

O sentido da componente tangencial_{não está definido pela esta expressão}

Componente normal e tangencial calculam-se como escalares

A componente normal é positiva quando o sentido dela coincide com o sentido da normal: tracção

não dependem do referencial

Alternativamente, em 2D apenas!!! ( ) ( ) i j ij i n i n n

t

n

n

n

t

=

=

σ

{ } (

)

T

sin

,

cos

n

=

α

α

( )n

t

r

( )n n

t

( )n t

t

P

_n

r

θ

( )n n

t

( )n t

t

P

s

r

_{( )} n

t

r

α

{ } (

)

T

cos

,

sin

s

=

−

α

α

( )

₌

{ }

( )

_⋅

{ }

₌

( )

_⋅

_⋅

(

_π

₋

_θ

)

2

/

cos

s

t

s

t

t

_tn n T

r

n

r

( ) ( ) i j ij i n i n t

t

s

n

s

t

=

=

σ

x

y

z

x

σ

xy

τ

xz

τ

σ

y yz

τ

yx

τ

zx

τ

z

σ

zy

τ

Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas)

Tensão é tensor simétrico

⇒ 6 componentes em 3D

Representação das componentes na forma matricial

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

σ

τ

σ

τ

τ

σ

=

σ

z yz y xz xy x

sim

Equações de equilíbrio

0

f

z

y

x

y yz y xy

+

=

∂

τ

∂

+

∂

σ

∂

+

∂

τ

∂

[ ]

σ

⋅

{ } { } { }

∇

+

f

=

0

{ } (

)

T

z

/

,

y

/

,

x

/

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

0

f

z

y

x

x xz xy x

+

=

∂

τ

∂

+

∂

τ

∂

+

∂

σ

∂

0

f

z

y

x

z z yz xz

+

=

∂

σ

∂

+

∂

τ

∂

+

∂

τ

∂

5. Notas sobre 3D Equações de Cauchy

3 equações de equilíbrio não são

suficientes para resolver 6 incógnitas + condições

6. Tensões principais (revisão)

Para o ângulo de rotação θ_p, que satisfaz

( )

_{x y} xy p

2

2

tg

σ

−

σ

τ

=

θ

a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais

2

y x m

σ

+

σ

=

σ

2 xy 2 y x

2

R

⎟

+

τ

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

−

σ

=

R

m 1

=

σ

+

σ

σ

₂

=

σ

_m

−

R

, onde

≥

σ

₁ 1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

p

θ

( )

2

( )

1

0

xy

>

τ

R

m max

=

σ

+

σ

σ

_min

=

σ

_m

−

R

2

σ

≥

qualquer componente _{Tensão de corte máxima:}

acompanhada de

2

R

1 2 max

σ

−

σ

=

=

τ

m

σ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ

σ

2 1

0

0

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ

τ

±

τ

±

σ

m max max m

( )

1

( )

2

7. Estados de tensão Tracção pura 1

σ

1

σ

Compressão pura 2

σ

2

σ

xy

τ

xy

τ

xy

τ

xy

τ

Pressão hidrostática

p

p

p

p

Estado tangencial puro

xy 1

=

τ

σ

xy 1

=

τ

σ

xy 2

=

−

τ

σ

xy 2

=

−

τ

σ

Homogéneo ou uniforme:

as componentes do tensor das tensões não variam com a posição

Estacionário: as componentes do tensor das tensões não variam com o tempo

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

σ

τ

±

τ

±

=

σ

0

0

m max max m 0 C≡

8. Outras designações Tensor esférico e tensor desviador de tensão,

importante para a energia de deformação

[ ]

σ

=

σ

_m

[ ] [ ]

I

+

σ

'

onde σ_m é a tensão média

3

I

3

3

1 z y x 3 2 1 m

=

σ

+

σ

+

σ

=

σ

+

σ

+

σ

=

σ

m 1 oc

=

I

/

3

=

σ

σ

2 2 1 oc

I

3

I

3

2

₋

=

τ

{ }

(

)

T

3

/

1

,

3

/

1

,

3

/

1

n

=

Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão no plano cuja normal é importante para teoria

Tensão de von Mises

2 vM

=

−

3 ′

I

σ

2 2 m 2 2 2 1 2 1 vM

=

σ

−

σ

σ

+

σ

=

σ

+

3

R

σ

(

) (

) (

)

(

2

)

3 2 2 3 1 2 2 1 vM

2

1

σ

−

σ

+

σ

−

σ

+

σ

−

σ

=

σ

2D 3D consequentemente

I

₁

′

=

0

de plasticidade Importante para teoria de plasticidade