UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019
Caldeira, Thayanne; Nascimento, Ana Maria. Domínio Da Linguagem Algébrica No 8º Ano Do Ensino Fundamental: Iniciação Científica Na Formação Do Professor De Matemática. In Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM.
DOMÍNIO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA NO 8º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL: INICIAÇÃO CIENTÍFICA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Thayanne Caldeira Maciel
Universidade Federal do Oeste da Bahia thayanne.cm@hotmail.com
Ana Maria Porto Nascimento
Universidade Federal do Oeste da Bahia anaporto40@hotmail.com
Resumo: Apresentam-se neste texto resultados parciais das atividades de iniciação científica
realizadas no primeiro ano do projeto de pesquisa intitulado Investigação sobre o Ensino e a Aprendizagem dos Conceitos Matemáticos: A construção da linguagem algébrica do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental (PIBIC/Cnpq), proposto com o objetivo de investigar o nível de compreensão dos estudantes em relação a linguagem algébrica em classes do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Inicialmente foi construído o referencial teórico da pesquisa, em seguida estudamos a Matriz de Referência em Matemática adotada pelo Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), para elaboração da Prova Brasil, com identificação dos descritores que avaliam o pensamento algébrico e analisamos os itens contidos nos simulados propostos aos estudantes do 8º ano da rede municipal de ensino. A análise geral dos resultados dos simulados indicou que no descritor 30, dos 1416 alunos que realizaram o simulado, apenas 20% acertaram o item, no descritor 33 apenas 25% acertaram o item. A análise qualitativa de 203 cadernos de prova apontou a inadequada construção da linguagem algébrica pelos estudantes do 8º ano, evidenciada nos registros escritos. Assim, existe a necessidade de continuar essa pesquisa e elaborar propostas de intervenção junto as escolas da rede municipal de ensino, de modo a envolver os professores em ações de formação continuada e integrar um maior número de licenciandos em projetos de iniciação científica como espaço de formação do professor de matemática.
Palavras-chave: Linguagem algébrica. Iniciação científica. Formação de professores. INTRODUÇÃO
No processo de formação do professor de matemática uma importante atividade é aprender a fazer pesquisa. Nesse trabalho estiveram juntas uma professora formadora do Curso de Licenciatura em Matemática e uma estudante do quinto semestre da graduação, bolsista
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) PIBIC/Cnpq. Ao longo do texto destacaremos as contribuições da participação dos licenciandos em projetos dessa natureza. O objetivo foi investigar o nível de compreensão dos estudantes em relação a linguagem algébrica em classes do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Inicialmente buscou-se identificar os autores que estudam sobre pensamento algébrico nos anos iniciais, por ser esse período considerado como a base na constituição dos conhecimentos que serão mobilizados nos anos finais do Ensino Fundamental. Sabe-se que os estudos mais elaborados em Matemática exigem o domínio da linguagem algébrica, isto está diretamente relacionado às habilidades de abstrair e generalizar.
A resolução de problemas prescinde dessa ferramenta de tradução da linguagem natural para a linguagem algébrica, o que implica na modelagem de situações matemáticas com uso de expressões que contem números e letras. O estudante desde muito cedo convive com situações em que é possível explorar as incógnitas e as variáveis. O uso de letras para substituir um valor desconhecido ou um valor variável em uma expressão algébrica é constante em matemática. Resultados de pesquisa mostram que esse é um conteúdo que tem causado muitas dificuldades aos estudantes, às vezes impossibilitando a compreensão de alguns conceitos relacionados ao campo da Álgebra. Se acreditarmos que o conhecimento matemático é historicamente construído e deve ser compreendido por todos os estudantes, cabe-nos investigar as razões das dificuldades em constituir o pensamento e compreender a linguagem algébrica, obtendo dados junto aos estudantes e os professores.
A EXPLORAÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NA AULA DE MATEMÁTICA
No Brasil, o estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental foi impulsionado e teve uma abrangência maior após a criação do documento: Elementos Conceituais e Metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino Fundamental - EMC (BRASIL, 2012). Isso ocorreu pelo fato de o documento abordar como um dos eixos estruturantes para o estudo da matemática, o pensamento algébrico.
Vale (2012) expressa que para uma aula de matemática ter seu objetivo alcançado é imprescindível o aperfeiçoamento constante do conhecimento matemático e didático dos professores, a pesquisa e o bom desenvolvimento de atividades de investigação que envolvam
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) a exploração do pensamento algébrico, principalmente tarefas com contextos figurativos que buscam a generalização e a descoberta de padrões.
A autora defende que o uso de contextos figurativos é ponto de partida para o desenvolvimento do estudo da álgebra, pois a descoberta de padrões é essencial para que o estudante alargue seus conceitos matemáticos e encontre um significado para os conteúdos que estuda, não apenas aplicando fórmulas e utilizando um conhecimento mecanizado da matemática, e ainda pode ajudá-los a constituir uma conexão com o que é estudado e os desafios que se apresentam no mundo em vivem.
Desse modo é preciso que os professores, formados e em formação, quebrem os paradigmas e os obstáculos que perpetuam por tantos anos no cenário educacional, tais como:
a falta de familiaridade com práticas inovadoras de ensino e de ferramentas adequadas; a falta de compreensão da matemática que ensinam; a sua incapacidade de comunicar com os estudantes de outras formas sem ser através do ensino directo; e a relutância a novos métodos de ensino, devido às crenças que possuem sobre o que os alunos precisam saber (e.g. HIEBERT, MORRIS, BERK, & JANSEN, 2007 apud VALE, p. 183, 2012).
Dessa forma os professores de matemática poderão ser motivados para ensinar com a preocupação de que seus estudantes, “aprendam e façam matemática”, por meio da criatividade e do refinamento das atividades construídas e propostas aos estudantes. O desenvolvimento intelectual do estudante depende da exploração do conteúdo, dos conhecimentos e da orientação de seu professor.
E, se os professores não tiverem nas suas práticas o hábito de propor aos alunos tarefas para exprimir as suas próprias generalizações, então não haverá lugar para o pensamento matemático, em particular, não há pensamento algébrico. (MASON, 1996 apud VALE, p. 190, 2012).
Lima (2016) apresenta um levantamento dos trabalhos publicados nos ENEM (Encontro Nacional de Educação Matemática), durante o período de 1998 a 2013, sobre o pensamento algébrico nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Essa pesquisa é importante, pois durante muito tempo o estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico tinha como principal cenário de pesquisa as séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Foi apontado na pesquisa que em seis edições do ENEM foram apresentados quatro trabalhos com o tema pensamento algébrico, dos quais três foram apresentados no XI ENEM e
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) um no X ENEM, respectivamente em 2013 e 2010, o que aponta um número reduzido de trabalhos que investigaram o desenvolvimento do pensamento algébrico.
O autor destaca que:
o pensamento algébrico objetiva a compreensão de padrões e relações nos diversos contextos e isso se traduz em uma nova maneira de o professor trabalhar e produzir um conhecimento que provocará efeitos na melhoria da compreensão dos aspectos formais da álgebra. (LIMA, p. 10, 2016).
Nesse sentido, reforça-se a necessidade de continuar e ampliar a presente pesquisa, pois vimos que a deficiência em álgebra começa desde os anos iniciais do ensino fundamental, quando as questões que poderiam auxiliar os estudantes a desenvolver o pensamento algébrico não são propostas pelos professores nas aulas de matemática.
Nessa perspectiva Luna e Souza (2013) apresentam uma análise de como este conteúdo poderia ser abordado nos anos iniciais (1° ao 5°) do Ensino Fundamental de modo a favorecer o estabelecimento das relações entre pensamento numérico e pensamento algébrico:
a relação entre aritmética e álgebra na maioria das vezes não é estabelecida e essa dissociação gera dificuldades de ensino-aprendizagem relacionadas à construção do raciocínio abstrato – necessário para a compreensão do pensamento algébrico.” (LUNA E SOUZA p. 824, 2013).
Assim os professores devem ficar atentos e procurar a melhor maneira de mostrar a passagem da aritmética para a álgebra e evidenciar que, uma é continuidade e fundamental para o entendimento da outra.
No período de transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico, muitos estudantes passam por dificuldades. Esse período ocorre formalmente no currículo escolar a partir do 7º ano do Ensino Fundamental. O ideal seria que ao chegar a essa série o estudante não apresentasse dificuldades em utilizar a linguagem algébrica, pois inicia seus estudos no primeiro ano do Ensino Básico.
De um modo geral, o estudante passa muito tempo acostumado apenas com os números e quando aparecem as letras observa-se uma resistência ao novo e uma rejeição ao modo de se ensinar e de como as situações-problemas, as atividades em sala e os exemplos começam a ser apresentados, principalmente causa estranheza o uso de letras para substituir um valor desconhecido ou um valor variável em uma expressão algébrica.
É relevante que existam pesquisas sobre como, quando e o quê deve-se explorar, nas aulas de matemática, quando o objetivo é desenvolvimento do pensamento algébrico e consequentemente compreender a álgebra. Os contratempos encontrados pelos estudantes de
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) matemática durante o estudo de álgebra são notoriamente atuais. Isso é demonstrado quando os estudantes passam do Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II, depois percorrem o Ensino Médio, e em alguns casos chegam à Universidade com dificuldades, principalmente nas disciplinas de Cálculo. Resultados de pesquisa mostram que esse problema origina-se nos anos iniciais, quando o estudante não teve uma orientação adequada para a consequente evolução do pensamento algébrico.
DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA
Para o desenvolvimento da primeira etapa da pesquisa foram apreciados textos de autores que realizam estudos na área e suas considerações sobre as dificuldades encontradas, no que se refere ao estudo da álgebra, tanto no desenvolvimento das aulas, como na preparação formativa dos professores.
A partir dessas indicações na segunda etapa da pesquisa, fizemos entrevista com a coordenadora da área de Matemática da Secretaria Municipal de Educação, Cultura, Esporte e Lazer de Barreiras e, foi possível entender o modo como os estudantes são avaliados em um sistema similar ao da avaliação externa proposta pelo SAEB/PROVA BRASIL. Observamos que na rede municipal são realizados testes simulados com o mesmo número de itens da Prova Brasil, de modo que o estudante vivencie a experiência de submeter-se a um instrumento de avaliação semelhante ao da avaliação externa e, o professor da rede possa proceder a análise do resultado obtido nesse instrumento.
Essa coordenação disponibilizou os resultados gerais de 1416 simulados, propostos aos estudantes do 8º ano de 22 escolas da rede municipal de ensino e 203 cadernos de provas para realizarmos a análise qualitativa da escrita dos estudantes. Desse modo, tornou-se possível ter acesso a evidências iniciais sobre de que forma está se constituindo o pensamento algébrico dos estudantes do Ensino Fundamental da rede municipal de ensino, o que atendeu aos objetivos para esse primeiro ano da pesquisa e norteará as próximas etapas do trabalho.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS PARCIAIS
Os estudos iniciais evidenciaram a necessidade de pesquisas específicas sobre a exploração da linguagem algébrica no Ensino Fundamental e, indicaram a formação de professores como um diferencial na exploração de propostas didáticas adequadas a constituição
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) do pensamento algébrico ao longo do processo de escolarização (Ensino Fundamental e Médio). As atividades dessa primeira etapa apontaram a necessidade de aprofundar os estudos nessa temática e envolver os professores que atuam na rede municipal nessa pesquisa.
O estudo da Matriz de Referência em Matemática adotada pelo Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), para elaboração da Prova Brasil, possibilitou a identificação dos descritores que avaliam o pensamento algébrico, foi possível perceber que esses itens tanto avaliam o domínio da linguagem algébrica pelo estudante quanto a sua habilidade em utilizar essa linguagem para modelar as situações matemáticas.
Os descritores, contidos na Matriz de Referência SAEB, que avaliam o pensamento algébrico estão expostos na Tabela 01.
Descritor Habilidade avaliada
D30 Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. D31 Resolver o problema que envolva equação de segundo grau.
D32 Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões).
D33 Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema. D34 Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema. D35 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de
equações de primeiro grau.
Tabela 01. Descritores que avaliam o pensamento algébrico na Prova Brasil.
Ainda nessa segunda etapa da pesquisa foi possível conhecer melhor o processo de elaboração, aplicação e análise dos resultados do simulado realizado pela coordenadora da área de Matemática da Secretaria Municipal de Educação de Barreiras. A coordenadora disponibilizou o instrumento diagnóstico proposto pela Secretaria aos estudantes da rede municipal como simulado da Prova Brasil. Identificamos dois itens referentes ao pensamento algébrico, questão 23 e questão 24 contidas no simulado.
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019)
Gráfico 01. Resultados gerais do simulado 2018 Matemática.
Fonte: Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
Observamos resultados inferiores a 30% nos descritores: D8 - Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos, (5%); D9 - Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas (18%); D11 - Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações, (22%); D23 - Identificar frações equivalentes, (24%); D24 - Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos, (28%); D25 - Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais, (19%); D26 - Resolver problema com números racionais que envolvam as operações, (18%); D29 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas, (28%); D30 - Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, (20%); D33 - Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema, (25%).
Esses percentuais mostram o desempenho dos estudantes em matemática em 10 dos 37 descritores avaliados pela Prova Brasil, e revelam um quadro preocupante em relação ao nível de aprendizagem, o que pode ser um indicador das dificuldades futuras desses estudantes no acesso ao Ensino Médio e Ensino Superior.
Além dos resultados gerais a coordenadora de área de matemática, disponibilizou 203 cadernos de provas aplicadas em três escolas da rede municipal de ensino. A análise quantitativa dos dados contidos nas resoluções das questões 23 e 24 das provas estão inseridas na tabela 02.
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019)
ESCOLA Nº DE
PROVAS QUESTÃO ACERTOS ERROS
NÃO RESPONDEU ESCOLA 01 29 23 7 19 3 24 11 16 2 ESCOLA 02 106 23 19 78 9 24 22 76 8 ESCOLA 03 68 23 10 58 0 24 9 59 0
Tabela 02. Análise quantitativa de dados do simulado.
Fonte: Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
Análise dos resultados dos itens referentes ao pensamento algébrico.
A figura 01 corresponde à questão 23 do simulado da Prova Brasil aplicado pela Secretaria Municipal de Educação de Barreiras nas escolas municipais da rede.
Figura 01: Questão 23 do Simulado de Matemática da Prova Brasil Fonte Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
A resolução dessa questão exigia que o estudante observasse a fórmula apresentada e os valores das variáveis que aparecem na fórmula. Nesse caso a resolução seria substituir os valores das variáveis P, H e D e realizar as operações de multiplicação que aparecem no numerador, e com este resultado dividir por 1000.
Na tabela 03, a seguir, estão identificados alguns registros dos alunos, correspondente à resolução da questão 23, e as observações sobre o respectivo registro.
D30. Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. O custo do banho pode ser calculado pela expressão:
1000
D H P
G , onde G é o gasto de energia, P é a potência do chuveiro, H é o tempo em horas de funcionamento e D é a quantidade de dias.
O consumo mensal do banho nas seguintes situações: P = 5000W, H = 1h e D = 30 dias, é:
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019)
REGISTRO DOS ESTUDANTES OBSERVAÇÕES
O estudante entendeu a questão e respondeu corretamente, seguindo a fórmula inserida e efetuando os cálculos necessários.
O estudante desconsiderou a fórmula apresentada na questão e utilizou uma regra de três.
O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula dada, considerando 1h igual a 60s, mas efetuou uma adição dos valores do numerador para encontrar a resposta, e para a resolução usou o valor do tempo igual a 1h.
O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula, efetuou uma adição no numerador e acrescentou uma vírgula na resposta, talvez porque na divisão por 1000 deslocamos a vírgula três casas para a esquerda no resultado final. O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula, considerando 100 no denominador e não 1000, e realizou apenas uma adição no numerador. Ao assinalar a alternativa ele considerou uma vírgula.
O estudante ignorou o 1000 da fórmula, armou uma multiplicação e efetuou uma adição.
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) aparecem no enunciado e ignorou a fórmula.
O estudante registrou de forma correta como deveria ser o procedimento para resolução da questão, porém não assinalou a alternativa que corresponde ao que ele escreveu.
Tabela 03. Análise qualitativa da questão 23.
Fonte Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
Nos 203 cadernos de prova observamos que na questão 23 foram apenas 42 acertos, 10 estudantes não responderam e 151 assinalaram alternativas incorretas, como apresentamos na tabela 02. Os registros escritos pelos estudantes revelam a dificuldade em calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
A figura 02 corresponde à questão 24 do simulado da Prova Brasil aplicado pela Secretaria Municipal de Educação de Barreiras nas escolas municipais da rede.
Figura 02: Questão 24 do Simulado de Matemática da Prova Brasil Fonte Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
Na tabela 04 estão identificados os registros destacados nos simulados analisados, correspondente à questão 24, e as observações.
D33. Identificar uma equação ou inequação do 1º grau que expresse um problema. Fernando comprou um sanduíche e um refrigerante e pagou pela compra R$ 7,50. O refrigerante custa a metade do valor do sanduíche.
A expressão que permite calcular o preço do sanduíche é
(A) 𝑥 + (𝑥 + 1 2) = 7,50 (B) 𝑥 + 1 2= 7,50 (C) 𝑥 + 𝑥 2= 7,50 (D) 𝑥 2= 7,50
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019)
REGISTRO DOS ESTUDANTES OBSERVAÇÕES
O estudante respondeu corretamente a questão e o registro evidencia que houve entendimento do enunciado e tradução para a linguagem algébrica.
O estudante registrou uma operação de divisão quando a questão solicitava apenas a expressão algébrica. Observa-se ainda que não foi
considerado que “x” é o valor do sanduíche e
𝑥
2 a metade do valor do sanduíche.
Tabela 04. Análise qualitativa da questão 24.
Fonte Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras
Nos 203 cadernos de prova observamos que na questão 24 foram apenas 36 acertos, 12 estudantes não responderam e 155 assinalaram alternativas incorretas, como apresentamos na tabela 02. Foram encontrados poucos registros escritos pelos estudantes, uma vez que a resolução dessa questão exigia leitura e interpretação do enunciado com a tradução da língua materna para uma expressão algébrica. No caso o valor do sanduíche corresponde a “𝑥” e a metade do valor do sanduiche seria representado por “𝑥
2”. Assim, a expressão correta seria “𝑥 + 𝑥
2= 7,50”. Nas provas analisadas 56 estudantes marcaram a alternativa B, o que pode indicar
que ao ler “metade”, houve uma associação a 1
2, desconsiderando que o valor do sanduíche
seria “x” e a metade do valor seria 𝑥
2. Os dados revelaram a dificuldade do estudante em escrever
uma expressão algébrica
CONCLUSÃO
Os resultados gerais do simulado indicaram a necessidade de continuidade da pesquisa em relação ao ensino e aprendizagem da matemática, com o envolvimento dos professores que atuam na rede, em projetos de formação continuada, pois são dados que revelaram um nível de aprendizagem inadequado tanto nos descritores referentes ao pensamento algébrico, quanto no pensamento geométrico, na resolução de cálculos e problemas com números racionais e proporcionalidade.
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) Pretendemos continuar a estudar esses dados com a coordenação de área de matemática da Secretaria Municipal de Educação e, estender a pesquisa aos estudantes do Ensino Médio e Ensino Superior, visto que uma grande causa de reprovação em Cálculo nas instituições de ensino superior nos cursos na área de ciências exatas tem relação com o domínio da linguagem algébrica e dos conceitos relacionados ao campo da Álgebra.
Destaca-se a importância da participação do licenciando em projetos dessa natureza, como espaço de formação para a pesquisa, principalmente a ampliação do conhecimento sobre o processo de constituição de conceitos e o estudo de propostas de ensino que sejam coerentes com o modo de pensar do estudante. O PIBIC no curso de Licenciatura abre espaços para o aperfeiçoamento da formação científica do futuro professor, o que aliado a iniciação à docência em projetos PIBID, poderá melhorar significativamente as experiências formativas dos licenciandos.
AGRADECIMENTOS
A agência financiadora Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico: 01bolsa PIBIC/Cnpq.
A coordenação de pesquisa da Universidade Federal do Oeste da Bahia.
A coordenadora da área de Matemática da Secretaria Municipal de Educação de Barreiras – Professora Verônica Maria Miranda da Silva.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Elementos Conceituais e Metodológicos para definição dos direitos de
aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino Fundamental. Brasília: MEC, SEB 2012
BRASIL, Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: Matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2011.
LIMA, José Roberto de Campos. Mapeamento de Trabalhos Sobre Pensamento Algébrico nos Anos Iniciais Apresentados nos Enem (1998-2013). Anais do XII Encontro Nacional de Educação Matemática. Disponível em:
<http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/7327_4156_ID.pdf>. Acesso em 28 de setembro de 2017.
Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019) sobre o ensino de álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Educação Matemática Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. ISSN 1983-3156, [S.l.], v. 15, n. 4, p. 817-835, dez. 2013. ISSN 1983-3156. Disponível em: <https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/ 17747>. Acesso em: 20 mar. 2017. VALE, Maria Isabel. As tarefas de padrões na aula de matemática: um desafio para professores e alunos. Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo. INTERACÇÕES NO. 20, PP. 181-207 (2012)
