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FLUXO DE CARGA TRIFÁSICO COM ACOPLAMENTO MAGNÉTICO ENTRE FASES ATRAVÉS DO MÉTODO DA SOMA DE POTÊNCIAS

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Academic year: 2021

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FLUXO DE CARGA TRIFÁSICO COM ACOPLAMENTO MAGNÉTICO ENTRE FASES ATRAVÉS DO MÉTODO DA SOMA DE POTÊNCIAS

Manoel Firmino de Medeiros Jr., Paulo C. Souza Câmara

Laboratório de Eng. de Computação e Automação, Depto. de Eng. Elétrica, Univ. Fed. do Rio G. do Norte C.E.P. 59072-970 Natal, RN, BRAZIL

E-mails: firmino@leca.ufrn.br, pc_natal@uol.com.br

Resumo A determinação das equações de fluxo de carga para sistemas radiais trifásicos de distribuição de energia elétrica é o objetivo deste trabalho. Esse estudo representa uma ferramenta essencial para a operação e para o planejamento dos sistemas, devendo servir de base para outros estudos, tais como a avaliação de perdas, a localização otimizada de reguladores de tesão nos alimentadores primários, a alocação ótima de capacitores, etc. As equações de fluxo de carga foram deduzidas, de maneira a permitir a consideração dos diferentes. tipos de carga, com todos os tipos de desequilíbrio.

Abstract The derivation of load flow equations for three phase radial distribution systems, considering magnetic coupling between phases is the objective of this work. This study represents an essential tool for planning and operation's tasks. It should serve as background for other studies, such as evaluation of losses, optimized location of voltage regulators in primary feeders, optimal allocation of capacitors, etc. All possible load types and all kinds of unbalance are considered.

Key Words Three phase load flow, distribution systems, radial feeders, unbalanced networks

1 Introdução

Nos últimos anos, observa-se um aumento da prática de instalação de reguladores de tensão ao longo dos alimentadores trifásicos, o que tem representado uma melhoria significativa na qualidade do fornecimento, através da elevação do perfil de tensão ao longo dos alimentadores. A maneira como é realizada a determinação da localização desses reguladores de tensão, muitas vezes, baseia-se em procedimentos empíricos, aliados a um cálculo aproximado de queda de tensão.

Em um primeiro trabalho ([M. Firmino e P. Câmara, 2000]) mostrou-se uma metodologia para determinar a localização otimizada de um regulador de tensão em linhas, cujas cargas foram consideradas equilibradas e os acoplamentos mútuos entre as fases foram desconsiderados. Na pesquisa que se encontra em desenvolvimento, a determinação da localização do regulador está sendo feita considerando o caso mais geral, onde as cargas do sistema são desequilibradas e os efeitos de acoplamento entre as fases são considerados. Dessa forma, bancos de reguladores podem ser modelados, considerando efeitos diferenciados nas 3 fases da rede.

Além desses propósitos, deve-se considerar o fato de que a avaliação das perdas técnicas de alimentadores de distribuição precisa ser efetuada através de um fluxo de carga trifásico, quando o desequilíbrio das três fases é sensível. [Walmeran, 1994] mostrou que, para a situação de máximo desequilíbrio nas cargas, pode-se cometer um erro de avaliação nas perdas da ordem de 78%.

Considerando a necessidade de uma representação mais exata para análise dos Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica (SDEE), alguns

trabalhos têm sido desenvolvidos, nos últimos anos, para estabelecer uma metodologia de cálculo de fluxo de carga trifásico, levando em conta as especificidades desses sistemas. [Cheng & Shirmohammadi, 1995] mostraram um algoritmo para cálculo de fluxo de carga trifásico em redes de distribuição, para aplicação em tempo real. O algoritmo é uma expansão da metodologia de camadas, proposta em [Shirmohammadi & Hong, 1988]. [Zimmerman & Chiant, 1995] apresentaram uma técnica de desacoplamento do fluxo de carga Newton-Raphson em combinação com uma esquema de ordenação de alimentadores, explorando a estrutura radial dos SDEE. [Garcia, et. al., 1998] resolveram o problema de fluxo de carga trifásico em SDEE, através da aplicação do método de Newton-Rapson a um modelo de injeções de correntes, adotando coordenadas retangulares. O modelo permitiu construir uma matriz jacobiana com poucos elementos variáveis com a iteração, ficando a robustez do método quase que insensível à atualização dessa matriz. Entretanto, não evidenciou-se a maneira de tratar cargas sem conexão para a terra. O mesmo problema foi identificado na metodologia de [Walmeram, 1994], cujo desenvolvimento baseia-se no método da soma de potências [Cespedes, 1990]. Além disso, o acoplamento entre fases foi considerado na equação de perdas, mas não nas equações de cálculo das tensões.

O presente trabalho considera, em primeiro lugar, que o cálculo de fluxo de carga pelo método da soma de potências, para SDEE, possui excelentes características de convergência, quando comparado a outros métodos de fluxo de carga monofásico ([Aílson, 1995]). A partir daí, desenvolveram-se equações que permitem considerar tanto o desequilíbrio entre as fases,

(2)

como o seu acoplamento magnético, possibilitando a modelagem de cargas bifásicas ou em delta-aberto. Dessa forma, transformadores de distribuição monofásicos e bancos de reguladores de tensão podem ser facilmente incluídos no cálculo.

2 Determinação das Equações das Tensões

O estudo é iniciado analisando o esquema abaixo (fig. 1), o qual representa um trecho de uma linha trifásica, dando destaque às correntes nos condutores:

Figura 1: Trecho de alimentador trifásico, com impedâncias próprias e mútuas.

Aplicando a lei das malhas ao circuito, obtém-se o seguinte sistema:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 aa cc a c ca cc bb c b bc bb aa b a ab

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

(1)

Considerando as impedâncias mútuas entre os condutores, chega-se através da análise da figura a um outro sistema de equações, que representa as quedas de tensão no trecho considerado.

c c b bc a ca cc c bc b b a ab bb c ca b ab a a aa

I

Z

I

M

I

M

V

I

M

I

Z

I

M

V

I

M

I

M

I

Z

V

1 1 1

(2) onde: a

Z

,

Z

b,

Z

c: Impedâncias próprias entre os condutores;

ab

M

,

M

ac,

M

bc: Impedâncias mútuas entre os condutores;

Pode-se visualizar o sistema (2) melhor, através da forma matricial:

c b a c bc ca bc b ab ca ab a cc bb aa

I

I

I

Z

M

M

M

Z

M

M

M

Z

V

V

V

1 1 1 (3)

Transformando as impedâncias na forma retangular, tem-se:                                                       c b a c bc ac bc b ab ac ab a c b a cc bb aa I I I L L L L L L L L L j R 0 0 0 R 0 0 0 R V V V 1 1 1 (4)

Fazendo a substituição do sistema (2) no sistema (1):                                   c ca c b ab bc a a ca a c ca c c bc b bc b a ca ab c b bc c bc ca b b ab a ab a b a ab I ) M Z ( I ) M M ( I ) Z M ( V V I ) Z M ( I ) M Z ( I ) M M ( V V I ) M M ( I ) Z M ( I ) M Z ( V V 1 1 1 1 1 1 (5) Ou, então, em forma matricial:

                                                    c b a ca c ab bc a ca c bc bc b ca ab bc ca b ab ab a a c c b b a ca bc ab I I I M Z M M Z M Z M M Z M M M M Z M M Z V V V V V V 1 1 1 1 1 1 (6) Substituindo 1 1 1 1 1 1a ab bc c

V

V

V

nas equações (5), obtém-se:                                    c ca c b ab bc a a ca c b b a ca c c bc b bc b a ca ab c b bc c bc ca b b ab a ab a b a ab I ) M Z ( I ) M M ( I ) Z M ( V V V I ) Z M ( I ) M Z ( I ) M M ( V V I ) M M ( I ) Z M ( I ) M Z ( V V 1 1 1 1 1 1 1 1 (7)

Pode-se demonstrar facilmente que a terceira equação do sistema (7) é uma combinação linear das duas primeiras. Com isso, o sistema em questão se reduz a:

bc c bc c b b bc a ab ca c b ab c ca bc b ab b a a ab b a

V

I

)

M

Z

(

I

)

Z

M

(

I

)

M

M

(

V

V

I

)

M

M

(

I

)

M

Z

(

I

)

Z

M

(

V

1 1 1 1 (8)

(3)

A fim de relacionar as tensões iniciais com as potências equivalentes do trecho considerado, necessita-se utilizar as correntes de fase do sistema. Para isso, faz-se uso das seguintes relações:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a c c b a c b b a c b a a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

(9)

Agora, substituindo o sistema (9) no sistema (8), obtém-se:                                    bc c b a c bc c b a c b b bc a c b a ab ca c b ab c b a c ca bc b a c b ab b a c b a a ab b a V ) I I ( ) M Z ( ) I I ( ) Z M ( ) I I ( ) M M ( V V ) I I ( ) M M ( ) I I ( ) M Z ( ) I I ( ) Z M ( V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (10)

Ou ainda, isolando as correntes:

                                         bc a c ca ab bc c c b c bc b bc b a bc b ab ca c b ab a c ca bc ab a c b bc ca ab b b a b ab a ab b a V I ) M M M Z ( I ) Z M Z M ( I ) M Z M M ( V V I ) M M M Z ( I ) M M M Z ( I ) Z M Z M ( V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (11)

Porém, pode-se representar as correntes de fase através das potências aparentes e tensões de linha, a partir das seguintes expressões:

   1 1 1 1 1 b a a b a V S I ;   1 1 1 1 1 c b b c b V S I ;   1 1 1 1 1 a c c a c V S I (12)                                                                bc a c c ca bc ab c c b b bc c b b a a ca bc ab b c b ab a c c ca bc ab a c b b ca bc ab b b a a ab b a b a V V S ) M M M Z ( V S ) M 2 Z Z ( V S ) M M M Z ( V V V S ) M M M Z ( V S ) M M M Z ( V S ) M 2 Z Z ( V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (13)

Para maior facilidade nas manipulações algébricas, pode-se fazer as seguintes substituições:

ab b a Z 2 M Z      Z11 ca bc ab b M M M Z     Z12 e Z21 ca bc ab a M M M Z     Z13 bc c b Z 2 M Z      Z22 ca bc ab c

M

M

M

Z

 Z23 (14) E, sabendo que : * c b * b a * a c11

V

11

V

11

V

(15) as equações (13) tornam-se:                                       bc c b b a c 23 c b b 22 b a a 21 c b ab c b b a c 13 c b b 12 b a a 11 b a V V V S Z V S Z V S Z V V V V S Z V S Z V S Z V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (16) onde:                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c c c b b b a a a jQ P S jQ P S jQ P S (17)

3 Determinação das Equações das Perdas

Após determinar as tensões nas três fases das barras terminais do trecho de linha, pode-se determinar as expressões para o cálculo das perdas no mesmo trecho. Inicialmente, tem-se as seguintes expressões:                c cc pc b bb pb a aa pa I V S I V S I V S 1 1 1

(18)

Substituindo o sistema (2) no sistema (18), obtém-se:                      c b bc a ca c c pc b c bc a ab b b pb a c ca b ab a a pa I ) I M I M I Z ( S I ) I M I M I Z ( S I ) I M I M I Z ( S (19) Substituindo o sistema (9) no (18):

(4)

     

)

I

I

(

)]

I

I

(

M

)

I

I

(

M

)

I

I

(

Z

[

S

)

I

I

(

)]

I

I

(

M

)

I

I

(

M

)

I

I

(

Z

[

S

)

I

I

(

)]

I

I

(

M

)

I

I

(

M

)

I

I

(

Z

[

S

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a c b a c b bc a c b a ca c b a c c pc b a c b c b a c bc a c b a ab b a c b b pb a c b a c b a c ca b a c b ab a c b a a pa (20)

Colocando em evidência as correntes de fase e efetuando as multiplicações devidas, tem-se:

                                                                                                     ) I I I I ( ) M Z ( ) I I I I ( ) M Z ( ) I I I I ( ) M M ( S ) I I I I ( ) M M ( ) I I I I ( ) M Z ( ) I I I I ( ) M Z ( S ) I I I I ( ) M Z ( ) I I I I ( ) M M ( ) I I I I ( ) M Z ( S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a c a c a c ca c c b c b a c c b bc c c b b a a c b a ca bc pc b a a c c b a c bc ab b a c b c b c b bc b b a b a c b b a ab b pb a c a c b a a c ca a a c c b b a c b ca ab a c b a b a b a ab a pa (21)

Finalmente, utilizando (12), obtém-se:

                                                                                                                                                                                                              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a c b c 2 a c 2 c ca c 2 c b 2 b a c c b c b b c c c b b a b a a c b a c a ca b c p c b a a c a c c b a c b c b c ab b a c b a b 2 c b 2 b b c b 2 b a 2 a c b b a b a ab b p b 2 a c 2 c b a a c a c ca a a c c b c b b a c b a b ca ab a c b a c a 2 b a 2 a ab a p a V V S S V S ) M Z ( V S V V S S ) M Z ( V V S S V V S S ) M M ( S V V S S V V S S ) M M ( V V S S V S ) M Z ( V S V V S S ) M Z ( S V S V V S S ) M Z ( V V S S V V S S ) M M ( V V S S V S ) M Z ( S (28) 4 Resultados

O método desenvolvido e apresentado neste trabalho foi testado em vários SDEE reais através do uso de um programa computacional desenvolvido para essa finalidade. Um desses sistemas foi escolhido como representação do conjunto e os resultados apresentados será visto a seguir. O sistema em questão é um alimentador de 13.8 kV, com 30 nós e carregamento de 1083 kW e 555,6 kVAr.

A distribuição desigual das correntes em um circuito polifásico geralmente resulta em um total de perdas muito alto. O efeito do desequilíbrio das cargas no total das perdas elétricas do sistema foi analisado a partir da utilização do método apresentado anteriormente.

Fazendo uso do programa elaborado no trabalho anterior [M. Firmino e P. Câmara, 2000], onde trata com sistemas equilibrados, foram calculadas as tensões em todos os nós do sistema acima citado (considerando o mesmo com total equilíbrio entre as cargas) e esses valores foram comparados com os das tensões encontradas utilizando o mesmo sistema (simulando desequilíbrio entre as cargas) e fazendo uso das equações apresentadas neste trabalho.

Tanto para fazer as comparações entre as tensões, bem como para analisar o comportamento das perdas totais do sistema, foram simulados vários níveis de desequilíbrio entre as cargas. Esses níveis foram simulados através da variação do valor de X (fator de desequilíbrio – ver equações abaixo) em: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 31, 32, 33.3, 35, 40, 45, 50, 55 e 60%. Carga na fase a 3 S 100 X a Carga na fase b 3 S 100 X -67 b Carga na fase c 3 S 100 33 c

A seguir, têm-se os valores encontrados para o máximo desvio das tensões em todos os nós, com relação ao caso equilibrado e também os valores das perdas para cada fator de desequilíbrio (X) e em cada uma das três fases do sistema:

Tabela 1: Resultados Numéricos Obtidos.

Md,ab ; Md,ab ; Md,ab(%): Máximos desvios das

tensões Vab, Vbc e Vca, com reção ao caso equilibrado.

Pat(kW): Perdas ativas e reativas totais.

DPat(kW): Desvios das perdas ativas e reativas em

relação ao caso equilibrado.

X Md,ab Md,bc Md,ca Pat DPat 5 5.22 4.58 0.91 150.32 25.80 10 4.25 3.45 0.95 138.89 16.24 15 3.25 2.35 1.01 129.75 8.59 20 2.23 1.26 1.09 122.89 2.84 25 1.18 0.20 1.20 118.26 1.03

(5)

X Md,ab Md,bc Md,ca Pat DPat 30 0.15 0.87 1.32 115.88 3.02 31 0.12 1.05 1.35 115.67 3.20 32 0.34 1.26 1.38 115.55 3.30 33 0.63 1.53 1.42 115.53 3.31 35 1.00 1.87 1.47 115.74 3.14 40 2.14 2.87 1.63 117.86 1.36 45 3.31 3.85 1.82 122.29 2.34 50 4.51 4.82 2.03 129.06 8.20 55 5.74 5.77 2.26 138.25 15.70 60 7.01 6.70 2.51 149.93 25.47 Através do uso dos valores apresentados na tabela anterior, pode-se traçar os gráfico X versus Máximos Desvios e X versus Perdas Totais:

Figura 2:Máximos Desvios em Relação ao Fator de Desequilíbrio.

Legenda:

--- Máximos desvios para os valores de Vab

-.-.-.-.-.-. Máximos desvios para os valores de Vbc

--- --- --- Máximos desvios para os valores de Vca

Figura 3: Perdas Totais em Relação ao Fator de Desequilíbrio.

Pode-se perceber que, à medida que o sistema se aproxima do caso equilibrado, os máximos desvios das tensões Vab e Vbc tendem a zerar, porém, não zera devido aos efeitos mútuos entre as fases. Os máximos desvios de Vca quase não variam, uma vez que a potência na fase C foi

fixada. Esses valores na fase C não são exatamente constantes, também devido ao efeito das correntes de uma fase sobre a outra. No caso do comportamento das perdas com a variação fator de desequilíbrio, os resultados obtidos foram concordantes com os apresentados no trabalho de [Walmeran, 1994].

5 Conclusões

Fazendo o uso do algoritmo da soma de potências, conseguiu-se desenvolver as equações de fluxo de carga para sistemas trifásicos, considerando todos os tipos de desequilíbrio. As influências das impedâncias mútuas entre as fases puderam ser consideradas, tanto na equação de perdas, quanto na equação de correção das tensões. As aplicações práticas demonstraram que os resultados obtidos são equivalentes, senão mais confiáveis que os apresentados por trabalhos semelhantes. Isso permite adotar o método aqui apresentado como base para outras aplicações, baseadas no algoritmo da soma de potências.

Referências Bibliográficas

[ 1 ] D. Shirmohammadi, H. W. Hong, et al. A Compensation-based Power Flow Method for Weakly Meshed Distribution and Transmission Networks. IEEE Trans. On Power Systems, vol. 3, No. 2, May 1988, pp. 753-762.

[ 5 ] Walmeran José Trindade Jr . Fluxo de Potência Trifásico Radial para Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica. Tese de Mestrado, Universidade Federal da Paraíba, Campina Grande, 1994 .

[ 6 ] Cespedes, R. New Method for the Analisys of Distribution Networks. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 5, Jan 1990.

[ 7 ] C. S. Cheng., D Shirmohammadi. A Three-Phase Power Flow Method for Real-Time Distribution System Analisys, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 10, 1995.

[ 9 ] R Zimmerman, H. D. Chiang. Fast Decoupled Power Flow for Unbalanced radial Distribution Systems, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 10, 1995.

[10] Manoel Firmino de Medeiros Jr., Paulo César S. Câmara. Localização Ótima de Reguladores de Tensão em Sistemas de Distribuição Radias, XIII CBA, ibid

[11] P. A. N. Garcia, et. al. Fluxo de Potência para Sistema de Distribuição Baseado em Injeções de Corrente, XII Conferência Brasileira de Controle e Automação,1998.

[12] Ailson de Souza Barbosa. Fluxo de Potência em Sistemas de: Aplicações Práticas. Tese de Mestrado, Universidade Federal da Paraíba, Campina Grande, 1995.

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