Avaliação de títulos conversíveis com opções
de compra e de venda
Carlos Patricio Samanez
Professor do Departamento de Engenharia Industrial da PUC-Rio e da Faculdade de Ciências Econômicas da UERJ, Rio de Janeiro – RJ Rua Marquês de S. Vicente, 225
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e-mail: marcio.palmeira@elpaso.com Resumo
Em artigo publicado no Journal of Finance, McConnell; Schwartz (1986) desenvolveram um modelo para apreçamento de Liquid Yield Option Notes (LYON’s), títulos que têm como caracterís-ticas principais: a ausência de eventos geradores de fluxo de caixa antes da data de vencimento, a existência de opções de compra (em poder do emissor) e de venda (direito do investidor), além da possibilidade de conversão dos contratos emitidos em um número determinado de ações da empre-sa emissora. Tomando por base tal artigo, o presente trabalho desenvolve um modelo alternativo para apreçamento e análise de LYON’s fazendo uso da teoria clássica de derivativos, de modo a incorporar corretamente ao preço justo do título, tanto a influência das opções presentes no contra-to, quanto a sua conversibilidade, ponto que indubitavelmente se mostra de grande relevância, principalmente quando da tomada de decisão por parte da instituição interessada no lançamento do título, no que tange às características que os contratos necessariamente deverão incorporar.
Abstract
In 1986, McConnell; Schwartz published an article in the Journal of Finance, in which they described a new valuation methodology for Liquid Yield Option Notes (LYON’s), a zero-coupon bond with an embedded put/call option and a particular convertibility feature. Building on that article, this paper presents an alternative approach to the valuation of such contracts. The approach involves the determination of the fair price of that kind of bond using the classical theory of derivatives, and values not only the embedded options but the conversion feature as well, taking into account the synergy that exists between them. This last item is relevant to possible issuers, who must certainly be interested in the properties these bonds should have in order to attract the necessary demand.
Keywords: Convertible bonds, Options, Derivatives, Contingent claim analysis.
1- Introdução
Um dos grandes problemas com que as empresas se deparam é a dificulda-de dificulda-de conseguir financiamento dificulda-dentro dos prazos apropriados às suas necessi-dades. Além disso, há problemas ainda com a própria percepção de qual seria o prazo e o valor mais apropriado a se captar. Freqüentemente, um projeto pode requerer um investimento inicial e, quando financeiramente rentável, exigir novos recursos após um determinado período, o que se caracterizaria como uma opção de investimento real. A existência de incerteza quanto ao valor des-sa opção de investimento real no futuro, que muitas vezes se torna nulo, é ape-nas um dos fatores determinantes da dificuldade em se detectar valores e pra-zos de um financiamento a ser tomado.
Em geral, quanto maior o prazo médio das captações de uma empresa, melhor será a percepção da solidez desta; entretanto, desconsiderando-se a importância da classificação de risco (rating) da empresa pelo mercado como fator redutor das taxas de futuras captações, o ideal seria obter um “casa-mento” entre os prazos das captações necessárias para o financiamento dos projetos potencialmente rentáveis e o período de recuperação do capital investido.
Para atingir tal objetivo, uma opção seria a emissão de um título que não contemplasse opções ou a possibilidade de conversão (straight bond), no valor e no prazo necessários ao atendimento do investimento inicial do projeto. Se em um determinado momento, anterior à maturidade da opção de investimento real, esta se mostrasse valiosa, emitir-se-ia, então, um novo título para dar con-tinuidade ao projeto.
Conforme Mayers (1998), uma alternativa interessante aos financiamentos seqüenciais de menor escala seria a emissão de títulos conversíveis com opções implícitas no contrato, que, além de apresentar-se como instrumento de capta-ção mais flexível em relacapta-ção a um título comum, apresenta custos mais baixos, dentre outras coisas, devido à economia de escala e à conversibilidade.
O fato é que, quer pelas particularidades inerentes, quer pelos benefícios oriundos da lei tributária, títulos conversíveis como o LYON (liquid yield option note) têm se transformado em um importante meio de captação de recursos no mercado internacional, sendo interessante tanto para entidades emissoras quanto
para os investidores de maneira geral, fato que conduz à excepcional liquidez obtida por estes ativos.
O presente artigo está dividido em cinco seções. A primeira apresenta uma breve introdução ao trabalho. Já a segunda se preocupa em detalhar as-pectos gerais inerentes ao título, descrevendo seu funcionamento, suas carac-terísticas e particularidades. Na terceira seção, são apresentados em detalhes a metodologia e os passos a serem seguidos quando da definição do modelo teórico de apreçamento do LYON. A quarta seção consiste na aplicação do modelo e na comparação dos resultados obtidos com aqueles apresentados por McConnell; Schwartz (1986). A última é dedicada aos comentários e conclusões finais.
2- Detalhamento do título
Lançados em 1985, os LYON’s vêm despertando a atenção de grande parte dos investidores internacionais, os quais se mostram atraídos pelas peculiarida-des peculiarida-destes contratos de investimento.
Dentre as principais características destes ativos, pode-se destacar: • Não há pagamento previsto de cupom: no caso de não haver conversão ou
exercício das opções, só haverá ocorrência de fluxo de caixa na data de vencimento.
• São conversíveis em um número específico de ações: de acordo com a taxa de conversão definida no contrato, o LYON pode ser convertido, a qual-quer instante, em um determinado número de ações da empresa emissora. • Maturidade: seus prazos de vencimento são em geral de 15 a 20 anos. • Opção de venda: são previstas em contrato datas nas quais os investidores
poderão se desfazer de suas posições originais por um determinado preço de exercício.
• Opção de compra: o emissor tem o direito de “chamada” sobre o ativo emi-tido, a qualquer instante e não somente nas datas em que os preços de exer-cício estão previstos no contrato. Esta opção mostra-se interessante para o emissor, uma vez que confere maior flexibilidade em relação ao passivo adquirido quando do lançamento dos títulos, tornando possível a adequa-ção da dívida em relaadequa-ção a novas condições de mercado.
• Proteção à opção de compra (call protection): quando suave (soft call protection), é estabelecido que a opção de compra só poderá ser exercida após um certo período ou até que o preço da ação, referida neste artigo como “ativo-base”, ultrapasse determinado patamar. Alguns contratos con-sideram apenas o período em que a opção de compra não poderá ser exercida, não importando o nível no qual esteja cotado o ativo-base; isto corresponde ao que se chama de proteção rígida (hard call protection).
• Prêmio sobre o valor de conversão: representa a diferença percentual entre o valor atual do título conversível e o valor de conversão corrente (mede o
ganho obtido pela utilização do LYON como ferramenta de captação, em detrimento do lançamento/emissão de ações).
Respondendo por uma parcela razoável do mercado americano de títulos conversíveis, os LYON’s apresentam inúmeras vantagens em relação às ferra-mentas usuais de captação, como, por exemplo, a emissão de ações e títulos que não contemplem a possibilidade de conversão. Dentre essas vantagens, merecem destaque:
• O valor obtido quando da emissão de um LYON seria superior àquele cor-respondente ao lançamento de um título de características semelhantes, mas que não possua opções ou possibilidade de conversão.
• Acesso a uma nova base de investidores, podendo uma eventual captação atingir quantias consideráveis.
• Benefícios fiscais auferidos por parte das empresas emissoras.
• Inexistência de desembolsos antes do vencimento do título (exceto no exer-cício da opção de venda ou conversão por parte do investidor).
• Exercício da opção de venda: o emissor teria captado recursos a uma taxa consideravelmente inferior à de um straight bond com as mesmas caracte-rísticas.
• Conversão: do ponto de vista do emissor, a situação é análoga ao lançamen-to de novas ações no mercado, negociadas com o acréscimo de um prêmio. • Passivo de longo prazo: a vida útil destes ativos varia de 15 a 20 anos.
3- Modelo
3.1- Metodologia
O modelo desenvolvido para apreçamento e análise do LYON faz uso da teoria de opções, desenvolvida por Black; Scholes (1973) e complementada por Merton (1973), definindo a equação diferencial que descreve o mento do preço do ativo como função das variáveis que regem seu comporta-mento. No presente trabalho foram realizadas algumas simplificações, no to-cante à não adoção de modelo estocástico para representar o comportamento futuro da taxa de juros, sendo a mesma definida como parâmetro determinístico na modelagem. Vale lembrar que tal simplificação não invalida os resultados obtidos; pelo contrário, alguns trabalhos desenvolvidos nesta área mostram que o trade-off entre a praticabilidade e o ganho na precisão dos resultados torna questionável a utilização de um modelo mais sofisticado (McCONNELL; SCHWARTZ, 1986)
Obtida a equação diferencial que determina o comportamento do valor do título, mas que não apresenta solução analítica conhecida, torna-se necessário o emprego de procedimentos numéricos. Diversas metodologias desenvolvi-das atualmente para apreçamento de derivativos poderiam ser utilizadesenvolvi-das,
den-tre as quais destacamos o Método de Diferenças Finitas Explícito (MDFE) e o Método de Diferenças Finitas Implícito (MDFI). Apesar de conceitualmente mais simples e de fácil implantação, o MDFE apresenta sérios problemas de convergência, o que no entendimento dos autores desaconselharia seu uso. Desta forma, escolhemos o MDFI para o desenvolvimento do algoritmo utilizado para solucionar o problema em questão.
Para valorar um título conversível, a premissa básica a ser adotada diz que o valor de equilíbrio do título é aquele que impossibilita ganhos com arbitra-gem, tanto por parte do emissor quanto do investidor, uma vez que o primeiro possui estratégia ótima em relação à conversão e à venda, e o segundo em relação à compra do título. Ao analisar o ativo em questão, observa-se que os investidores e os emissores do ativo possuem direitos que, quando exercidos, automaticamente eliminam os demais antes existentes1. Por esta razão, para
determinar o valor justo do título, as estratégias ótimas de conversão, venda e compra devem ser avaliadas mediante uma análise conjunta da atitude ótima das partes para cada uma das situações possíveis. Sob este aspecto, ao derivar a estratégia de conversão (ou de compra ou de venda) é necessário adotar pre-missas sobre a sua contrapartida. Seguindo o procedimento utilizado por Brennan; Schwartz (1977, 1980) e por McConnell; Schwartz (1986) no presen-te modelo, cada parpresen-te possui uma dada estratégia ótima (descrita a seguir) e espera que a contraparte faça o mesmo:
• Os emissores seguem a estratégia de compra que minimiza o valor do título em cada instante.
• Os investidores seguem as estratégias de venda e conversão que maximizam o valor do título em cada instante.
3.2- Estratégias
Estratégia de conversão - A cláusula de conversão confere ao investidor um direito que, dado o objetivo de maximização do valor do título a cada instante, o investidor jamais irá permitir que o valor do título seja inferior ao valor de conversão.
Conseqüência: em nenhum instante o valor do título poderá ser menor que o valor de conversão.
Estratégia de compra - A opção de compra é um direito do emissor que, em vista do fato de que seu objetivo é minimizar o valor do título a cada instan-te, ele jamais irá permitir que o valor do título exceda o preço de exercício
1. Por exemplo, o direito de converter o título em uma data futura T* somente poderá ter valor neste instante no caso de as opções de compra (por parte do emissor) e de venda (por parte do investidor) não tiverem sido exercidas em nenhuma data anterior a T*.
da opção de compra. Vale lembrar que o exercício da opção de compra pode ocorrer fora das datas previstas no contrato, sendo o preço de exercí-cio ajustado à taxa de juros implícita entre as datas dos preços de exercíexercí-cio. Conseqüência: em nenhum instante o valor do título pode exceder o máxi-mo entre o preço de exercício da opção de compra e o valor de conversão do título.
Estratégia de venda - A opção de venda é um direito do investidor que, no objetivo de maximizar o valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor do título seja inferior ao preço de exercício da opção de venda. Conseqüência: em qualquer data prevista de exercício da opção de venda, o valor do título não pode ser menor que o preço de exercício da opção. 3.3- Modelo matemático
Sendo o comportamento do preço do ativo-base descrito pelo seguinte pro-cesso estocástico (movimento geométrico browniano):
dS = µSdt + σSdZ
onde dZ segue um processo de Wiener, ou seja:
Pela aplicação do método convencional de avaliação de ativos contingentes com o Lema de Itô, e considerando o processo estocástico definido para o ati-vo-base, tem-se a seguinte equação diferencial parcial:
(1) onde L, S, D(S, t), r e t representam, respectivamente, o derivativo em questão, o preço do ativo-base (no caso, o preço da ação do emissor), a taxa de dividen-dos, a taxa de juros sem risco e o tempo.
Supondo que o pagamento de dividendos num período t qualquer seja dado por:
D (S, t) = dy S + dy g(t-t0)
obtém-se a equação que descreve o comportamento do valor do título: (2)
onde dy é a taxa (percentual) de pagamento de dividendos; d é o valor (em
dinheiro) do dividendo; g é a taxa constante de crescimento do dividendo; e t0
é a data de emissão do título.
Desta forma, tem-se o resultado final do apreçamento mediante a resolução da equação (2) de acordo com as condições de contorno a serem definidas, em decorrência das estratégias ótimas de conversão, venda e compra, bem como das condições de maturidade especificadas no contrato.
3.4- Condições de contorno
1) Condição de maturidade (maturity condition). Na data de vencimento, o valor do título será o máximo entre o valor de conversão e o valor de face do contrato:
L (S, T) = Max (CrS, F) onde:
L (S,T) = valor do LYON para o preço S do ativo-base (ação) no prazo de vencimento T
Cr = taxa de conversão (conversion ratio) S = valor do ativo-base (ação)
F = valor de face do título T = prazo de vencimento
2) Condição de conversão (conversion condition). A qualquer instante, o valor do título deve ser maior ou igual ao valor de conversão:
L (S, t) > CrS onde:
L (S,T) = valor do LYON para o preço S do ativo-base (ação) no prazo de vencimento T
Cr = taxa de conversão (conversion ratio) S = valor do ativo-base (ação)
3) Condição de venda (put condition). Nas datas de exercício da opção de venda, o valor do título deverá ser maior ou igual aos preços de exercício:
L (S, tp) > P (tp)
onde:
tp = instante de tempo em que há possibilidade de exercício da opção de venda
S = valor do ativo-base (ação)
P(tp) = preço de exercício da opção de venda no instante tp
4) Condição de compra (call condition). Conforme já dito, quando o emis-sor exerce a opção de compra, o investidor pode escolher entre receber o preço de exercício ou o valor de conversão. Assim, a qualquer instante o valor do título deve ser menor ou igual ao máximo entre o preço de exercício da opção de compra e o valor de conversão do título:
L (S, t) < Max {C (t), Crs} onde:
L (S,t) = valor do LYON para um determinado S em um instante em que há possibilidade de exercício de opção de compra, ou seja, um instante que esteja fora do período de proteção à opção de compra (call protection) Cr = taxa de conversão (conversion ratio)
S = valor do ativo-base (ação)
C(t) = preço de exercício da opção de compra no instante t
4- Resolução numérica
Resolvendo-se a equação diferencial (2), sujeita às quatro condições de con-torno citadas anteriormente, obtém-se o valor do título dadas as premissas até aqui adotadas. Conforme já mencionado, o MDFI é o método mais indicado, já que não existe uma solução analítica para a equação. Na aplicação do método, a equação diferencial é convertida em um conjunto de equações a diferenças, que são resolvidas iterativamente.
Assim, a equação diferencial que determina o comportamento do LYON assume a forma:
ai,j Li,j-1 + bi,j Li,j + ci,j Li,j+1 = L (3)
onde:
Processa-se a discretização dos valores que delimitam as possibilidades fu-turas para o nível do preço do ativo-base e do instante de tempo compreendido entre a emissão do contrato (ou data-base, ou seja, momento de análise) e a data de vencimento do título. Aproximando-se desta forma um espaço de infinitas possibilidades (espaço contínuo) por um conjunto finito de pontos e, conse-qüentemente, a equação diferencial por equações a diferenças. Dessa forma, o ajuste do modelo será tanto melhor quanto menores forem os passos utilizados na discretização proposta.
O valor do LYON no vencimento (t = T) pode ser expresso por máximo [Cr j ∆S; F], onde Cr é o número de ações em que cada título pode ser
converti-do (taxa de conversão) e F é o valor de face converti-do contrato: LN,j = máx [C, j∆S, F] j = 0,1,2,3... M
Se S = Smáx, o título será convertido Li,M = Cy M∆S i = 0,1,2,3... N
onde M∆S=Smáx
Se S = 0, tem-se a falência (default) do emissor, logo: Li,0 = 0 i = 0,1,2,3... N
A Figura 1, apresentada a seguir, ilustra tanto o processo de discretização do espaço paramétrico das variáveis que regem o comportamento do preço do título, quanto a aplicação das condições de contorno citadas anteriormente (ven-cimento, conversão e default).
Definidas as condições de contorno, resta utilizar recursivamente a equação (3) de forma a determinar o valor do ativo em cada um dos pontos que descre-vem o espaço discreto, comparando os valores obtidos em cada caso com a estratégia ótima a ser adotada. Abordando primeiramente os pontos correspon-dentes ao instante T-∆t, ou seja, com i = N - 1:
aN-1,j LN-1,j-1 + bN-1,j LN-1,j + cN-1,j LN-1,j+1 = LN-j Assim, tem-se: para j = 1: aN-1,1 LN-1,0 + bN-1,1 LN-1,1 + cN-1,1 LN-1,2 = LN,1 para j = 2: aN-1,2 LN-1,1 + bN-1,2 LN-1,2 + cN-1,2 LN-1,3 = LN,2 para j = 3: aN-1,3 LN-1,2 + bN-1,3 LN-1,3 + cN-1,3 LN-1,4 = LN,3 ... para j = M-1: aN-1,M-1 L N-1,M-2 + bN-1,M-1 LN-1,M-1 + cN-1,M-1 LN-1,M = LN,M-1
5- Aplicação do modelo
Para ser possível avaliar os resultados obtidos pelo modelo desenvolvido, torna-se necessário um parâmetro de comparação. Assim, na presente seção, o trabalho propõe a análise da emissão realizada pela empresa Waste Management em 12 de abril de 1985, ou seja, o mesmo exemplo utilizado por McConnell; Schwartz (1986).
Para a aplicação do modelo foram utilizados os seguintes dados: Volatilidade anual do preço do ativo-base = 30%
Taxa de juros livre de risco = 11,21% a.a. Taxa de dividendos (dividend yield) = 1,6% a.a.
Estes são os mesmos parâmetros utilizados por McConnell; Schwartz (1986) para a avaliação de seu modelo. Os preços de fechamento efetivos da data de emissão até 10 de maio de 1985 são apresentados na Tabela 1. Pode-se obser-var ainda nesta tabela que o erro de previsão, definido pela diferença entre o valor observado no mercado e o valor previsto pelo modelo, foi sempre menor
no modelo proposto pelo presente trabalho do que naquele utilizado como parâmetro de comparação. Em termos monetários, o maior erro do modelo proposto foi de 6,62, contra 8,40 do modelo de McConnell; Schwartz (1986), o que representa erros relativos de, respectivamente, 2,648% e 3,360%.
Tabela 1.- Preço de Fechamento da Ação da Waste Management e Preço de
Fechamento do LYON de 12 de abril de 1985 a 10 de maio de 1985. Preço Teórico (Modelo Schwartz e McConnell), Preço Teórico Modelo Proposto.
Além do apreçamento propriamente dito, o modelo desenvolvido permite que se realizem análises de sensibilidade do valor do título frente a mudanças nos valores usados no chamado “cenário-base”, permitindo melhor visualização dos riscos envolvidos no contrato, causados tanto por uma mudança repentina destes parâmetros quanto pela má estimativa dos mesmos.
A seguir, são apresentados os resultados das análises, as quais tomaram por base a volatilidade do preço da ação e a taxa de juros empregadas no modelo de apreçamento.
Sensibilidade em relação a mudanças na volatilidade da ação:
As Tabelas 2 e 3 ilustram a sensibilidade do valor do LYON na emissão frente a mudanças na volatilidade do preço da ação. A Tabela 2 exibe os novos
preços, enquanto que a Tabela 3 mostra a variação percentual. O valor do LYON aumenta monotonicamente com aumentos no preço da ação, bem como na volatilidade deste.
Assim, ao se considerar no modelo uma volatilidade menor que a observa-da no mercado, o modelo subavaliará o LYON frente ao que, teoricamente, o mercado estaria disposto a pagar. Se, por outro lado, ao se considerar na mode-lagem uma volatilidade superior àquela praticada, o modelo superavaliará o título.
Tabela 2.- Sensibilidade do valor do bond na emissão frente a mudanças na
volatilidade.
Tabela 3.- Variação percentual do valor do bond na emissão frente a mudanças na
Sensibilidade em relação a mudanças na taxa de juros:
Uma das características presentes no LYON é a possibilidade do investidor exercer a opção de compra de acordo com as datas e os preços de exercício especificados no contrato. A opção de venda será especialmente valiosa para o investidor se a taxa de juros aumentar de forma acentuada (e inesperada) du-rante a vida útil do título. Neste caso, o investidor exerceria a opção de venda e aplicaria o valor recebido à nova taxa. Por outro lado, a opção de compra se mostrará especialmente valiosa se a taxa de juros cair de forma abrupta em algum momento anterior ao vencimento do título. Neste caso, o emissor exer-ceria a opção de compra e emitiria um novo título a um custo mais baixo.
Assim, percebe-se que as variações na taxa de juros podem produzir diver-sos efeitos sobre o preço do título, tornando imprescindível a análise da sensi-bilidade de seu valor a este parâmetro.
A seguir são apresentadas algumas tabelas comparativas.
A Tabela 4 ilustra a sensibilidade do valor do LYON frente a mudanças na taxa de juros. Observa-se que o valor do LYON cai à medida que a taxa de juros sobe. Observandose as variações no valor do LYON em termos percentuais Tabela 5 -percebe-se o quão sensível o modelo se mostra a oscilações neste parâmetro, evidenciando a importância de uma estimativa precisa da taxa de juros. Sensibilidade em relação a mudanças nas opções de compra e venda:
Além das análises apresentadas, o modelo proposto possibilita avaliar a sensibilidade do valor do LYON frente a mudanças nas datas e/ou preços de exercício das opções de compra e venda. Como existem infinitas possibilida-des de mudanças nas opções, a Tabela 6 procura ilustrar esse efeito mediante a
Tabela 4.- Sensibilidade do valor do bond na emissão frente a mudanças na taxa
comparação entre o valor do LYON, que possui opção de compra e de venda, com o de um título hipotético que possua somente opção de venda (noncallable redeemable bond), um outro que apresente apenas a opção de compra (callable nonredeemable bond), e um terceiro, que não contemple nenhuma das opções possíveis (noncallable nonredeemable bond).
Como era esperado, ao retirar-se a opção de compra do título seu valor aumenta, pois este estaria sendo negociado com um benefício a menos para o emissor. Já ao se excluir a opção de venda seu valor diminui, pois neste caso o investidor não teria a proteção que a opção de venda proporciona.
Tabela 5.- Variação percentual do valor do bond na emissão frente a mudanças na
taxa de juros.
Tabela 6.- Análise dos valores do bond na emissão em relação a existência ou não
A última coluna apresenta o valor do LYON quando se retiram as duas opções. Observando-se esta coluna um fato importante fica evidente: o valor encontrado não é a simples soma dos valores das opções individuais, pois, além da possibilidade de conversão, existe a sinergia entre as opções embutidas no contrato.
6- Conclusões
O LYON é um título que envolve uma certa complexidade, dentre outras coisas devido à existência de opções. O uso da metodologia de contingent claim analysis para apreçamento de ativos vem sendo feito freqüentemente, e a pre-sença de derivativos no ativo em questão levou também ao uso desta metodologia.
Para definição do modelo fez-se uso de procedimentos numéricos, tornan-do a resolução tornan-do problema de certa maneira sofisticada, porém não trazentornan-do prejuízos em termos de facilidade de aplicação, já que o software desenvolvido mostrou-se extremamente eficiente, tanto em termos de precisão nos resulta-dos como no tempo de processamento.
Além da valoração do título, o modelo permite também avaliar o comporta-mento do valor frente a mudanças nos parâmetros do contrato e nas variáveis de mercado, fato interessante para o emissor, já que devido às suas particulari-dades, muitos emissores em potencial perdem a oportunidade de emiti-lo por não possuírem o entendimento adequado.
Em relação ao modelo de McConnell; Schwartz (1986) utilizado como parâmetro de comparação, os resultados aqui encontrados mostraram-se mais precisos, reafirmando a idéia de que a utilização de uma taxa de juros determinística não traz nenhum tipo de problema que justifique o desenvolvi-mento de um modelo mais sofisticado.
7- Referências bibliográficas
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