Circuitos RLC em Corrente Alternada Senoidal Monofásica

Escola Técnica Estadual Monteiro Lobato - CIMOL

Apostila sobre:

Circuitos RLC em Corrente Alternada Senoidal

Monofásica

(última atualização: 23/07/2015)

Professor: Fabiano da Rosa Hollweg

SUMÁRIO

1.

CAPÍTULO 1 – CORRENTES ALTERNADAS... 3

2.

CAPÍTULO 2 – REATÂNCIAS CAPACITIVA E INDUTIVA ... 9

3.

CAPÍTULO 3 – CIRCUITO RLC SÉRIE ... 15

4.

CAPÍTULO 4 – CIRCUITO RLC PARALELO ... 30

5.

CAPÍTULO 5 – POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA ... 38

6.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM SÉRIE... 55

7.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM PARALELO ... 57

8.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE OS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4 ... 59

9.

MODELO/EXEMPLO DE PROVA COM A MATÉRIA DOS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4 ... 60

1. CAPÍTULO 1 – CORRENTES ALTERNADAS

A maioria das casas e repartições são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (c.a.), isto é, corrente cujo valor varia no tempo e, geralmente, de forma senoidal, trocando de sentido 60 vezes por segundo (mais comumente). À primeira vista, pode parecer um procedimento estranho.

A velocidade escalar de deriva dos elétrons de condução num fio condutor é cerca de 4×10−5_{m/s. Se,}

agora, invertermos seus sentidos a cada intervalo de 1/60 do segundo, estes elétrons poderiam mover-se apenas 6×10−7_{m, na metade de um ciclo. Com esta taxa, um elétron típico mover-se-ia passando por não mais do que}

aproximadamente vinte átomos da rede cristalina do cobre antes que fosse forçado a inverter o sentido do movimento. Como o elétron poderia vir a alcançar qualquer parte do fio?

Embora o fato possa ser embaraçoso, não implica preocupação. Os elétrons de condução não têm que “alcançar qualquer parte do fio”. Quando dizemos que a corrente que percorre um fio é igual a um ampère, significa que os portadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal ao fio na taxa de 1 coulomb por segundo. A velocidade escalar com que os portadores atravessam esse plano não entra diretamente neste cálculo; um ampère pode corresponder a muitos portadores de carga se movendo lentamente ou a poucos se movendo rapidamente. Além disso, o sinal que obriga os elétrons a inverterem seus sentidos de movimento − que resulta da fem (força eletromotriz) alternada fornecida pelo gerador − propaga-se ao longo do fio a uma velocidade praticamente igual a da luz, que é de aproximadamente 300.000km/s no vácuo. Todos os elétrons, independentemente de onde estejam localizados, recebem este sinal que os obriga a mudarem de sentido praticamente no mesmo instante. Finalmente, notamos que em muitos dispositivos, tais como lâmpadas ou torradeiras elétricas, não interessa o sentido do movimento dos elétrons e sim que estejam em movimento e, desse modo, transferindo energia ao dispositivo.

Uma das principais vantagens da corrente alternada é a seguinte: à medida que a corrente se alterna, o

campo magnético que circunda o condutor também se alterna. Tal fato torna possível a aplicação da lei da

indução de Faraday que, dentre outras coisas, nos permite aumentar ou diminuir, à vontade, o valor de uma tensão alternada, usando um dispositivo chamado transformador (que funciona somente em c.a., lembre-se “muito bem” disto). Além disso, a corrente alternada é mais adequada para o uso em máquinas rotativas, tais como geradores e motores, do que a corrente contínua (c.c.). Por exemplo, girando-se uma bobina num campo magnético externo, como na Figura 1.1, a fem induzida na bobina é alternada. Extrair uma tensão alternada de uma bobina e, a seguir, transformá-la numa tensão de magnitude e polaridade constantes para que se possa suprir um sistema de distribuição de energia de corrente contínua, tem sido um desafio para a engenharia.

Figura 1.1 − Ao lado, os rudimentos do princípio básico de um gerador de corrente alternada, também conhecido por alternador, o qual consiste na rotação de uma bobina num campo magnético externo. Nesta figura,

B é o vetor campo magnético (juntamente

com as linhas de indução), I é a corrente alternada (induzida) e ε é a fem induzida.

As fems e as correntes alternadas geradas por elas são fundamentais, não apenas para os sistemas de geração e distribuição de energia, mas também para o rádio, a televisão, a comunicação através de satélites, os computadores, a medicina e para um grande número de situações que caracterizam nosso estilo moderno de vida.

Freqüência

A frequência (f) é uma grandeza física associada a movimentos de característica ondulatória, a qual indica o número de revoluções (ciclos, voltas, oscilações, etc) por unidade de tempo. A unidade da freqüência no SI (Sistema Internacional de Unidades de Medidas) é o inverso do segundo, ou seja, 1/s = s−1_{, também conhecida}

por rps (rotações por segundo), a qual recebeu uma denominação especial, o hertz, cuja abreviação é Hz. Pode-se também medir a freqüência em rotações por minuto (rpm). Uma rps (ou seja, 1Hz) equivale a 60rpm.

Período

Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular recebe o nome de período (T). Em outras palavras, o período é o tempo necessário para que um movimento volte a se repetir. A unidade SI do período é o segundo (s). Matematicamente, a freqüência é o inverso do período, ou seja,

T

f = 1 . (1)

Freqüência Angular

A freqüência angular (ω) é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI, a freqüência angular é medida em radianos por segundo (rad/s). É apenas um múltiplo da freqüência (f). Matematicamente,

f

π

ω

=

2

(2) ou T

π

ω

= 2 . (3) Onda Senoidal

A onda senoidal é o mais básico dos sinais elétricos. Ela é usada freqüentemente, por exemplo, para testar circuitos eletrônicos. Além disso, sinais complicados podem ser reduzidos a uma superposição de várias ondas senoidais.

Figura 1.2 - Senóide

Observe, na Figura 1.2, como a tensão aumenta de zero até um máximo positivo aos 90º, diminuindo para zero em 180º, atinge um máximo negativo em 270º e volta a zero em 360º. Conforme foi indicado, Vp é o valor de pico de uma onda

seno, ou seja, o valor máximo que ela atinge. A senóide tem um pico positivo em 90º e um negativo em 270º.

) ( t sen V

v= _p ⋅

ω

⋅ , (4)

onde v é a tensão instantânea, Vp é a tensão de pico, ω é a freqüência angular da rede e t representa o tempo.

Aqui, vamos adotar uma convenção: sempre que nos referirmos à valores instantâneos das grandezas elétricas c.a. em estudo, tais como corrente, tensão e potência, usaremos letras minúsculas. Por exemplo: se nos referirmos a tensão instantânea sobre um resistor R, um capacitor C e um indutor L, usaremos vR, vC, e vL,

respectivamente; se nos referirmos a corrente instantânea sobre um resistor R, um capacitor C e um indutor L, usaremos iR, iC, e iL, respectivamente; se nos referirmos a potência instantânea sobre um um resistor R, um

capacitor C e um indutor L, usaremos pR, pC, e pL, respectivamente. Da mesma forma, quando nos referirmos à

valores rms (que será visto a seguir) ou de amplitude (pico) de grandezas elétricas, usaremos letras maiúsculas. Por exemplo: se nos referirmos a tensão de pico de um resistor R, um capacitor C e um indutor L, usaremos VR,

VC, e VL, respectivamente; se nos referirmos a corrente de pico de um resistor R, um capacitor C e um indutor L,

usaremos IR, IC, e IL, respectivamente; se nos referirmos a tensão rms de um resistor R, um capacitor C e um

indutor L, usaremos VR(rms), VC(rms), e VL(rms), respectivamente; e se nos referirmos a corrente rms de um resistor R,

um capacitor C e um indutor L, usaremos IR(rms), IC(rms), e IL(rms), respectivamente.

Ainda na equação (4), o produto ω⋅t que aparece no argumento da função seno corresponde ao

deslocamento angular (θ) efetuado pela onda seno durante o ciclo de oscilação do sinal c.a., ou seja,

t

⋅ =

ω

θ

. (5)

A Figura 1.3 mostra que uma onda senoidal pode ser descrita por uma circunferência, na qual o vetor (flecha) representa o valor de amplitude da tensão alternada (aqui, neste exemplo, sendo a amplitude de tensão de um volt). Quando este vetor for projetado no eixo vertical, numa determinada posição angular (ω⋅t), o mesmo

fornece o valor instantâneo v da tensão alternada neste instante. Todo tipo de movimento oscilatório e, portanto, “periódico” (tipo seno e cosseno), pode ser descrito de tal forma (via circunferência), na qual um vetor “gira” no sentido anti-horário, com velocidade angular ω, efetuando um deslocamento angular dado por θ = ω⋅t. Este vetor

que “gira” é denominado fasor. Os fasores e diagramas fasoriais serão retomados nos capítulos mais adiante.

Figura 1.3 – como desenhar uma onda senoidal Valor de Pico

O valor de pico de uma onda senoidal é o valor máximo (amplitude) que a onda seno atinge, ou seja, é a máxima amplitude da onda seno.

Valor de Pico a Pico

O valor de pico a pico de uma onda senoidal é o dobro do valor de pico. Para a tensão senoidal acima, o valor de pico a pico (Vpp) é

p

pp V

Valor Eficaz (rms)

O valor rms (raiz média quadrática, rms, do inglês root mean square, algumas vezes também traduzido por raiz quadrática média, rqm) de uma onda senoidal, também chamado valor eficaz (Vef), valor c.a. (Vca) ou

valor de aquecimento, é definido como a tensão c.c. que produz a mesma quantidade de calor que a tensão senoidal. Para tais cálculos usamos a relação

2

p ca ef rqm rms

V

V

V

V

V

=

=

=

=

. (7)

Se uma tensão senoidal aparecer através de um resistor, ela produzirá uma corrente senoidal em fase1

através do resistor. Em outras palavras, o resistor dissipa uma quantidade constante de calor como se houvesse uma tensão c.c. através dele. Colocando de outra forma, usando-se os valores médios quadráticos para as grandezas alternadas, a taxa média de dissipação de energia (a potência média Pmed) será, para circuitos de

corrente alternada, a mesma que para circuitos de corrente contínua com uma fem constante.

Logo, a única razão (e de grande vantagem) para o uso de valores médios quadráticos em circuitos de corrente alternada é o fato de que estes nos permitem aplicar as relações familiares de potência dos circuitos de corrente contínua. Veremos isso em capítulos mais adiante.

Valor Médio

O valor médio de uma onda senoidal ao longo de um ciclo é zero. Isto porque a onda senoidal é simétrica: cada valor positivo da primeira metade do ciclo é compensado por um valor igual e negativo da segunda metade do ciclo. Se somarmos todos os valores da onda seno entre 0º e 360º, teremos zero como resultado, o que implica um valor médio zero.

Contudo, algumas vezes é de interesse saber o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio ciclo de oscilação. Para tanto, o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio período é dado por

π

)

(

2

valor

de

pico

médio

valor

=

⋅

. (8)

Assim, por exemplo, o valor médio de uma tensão senoidal (Vmed) num meio ciclo de oscilação, em

função da amplitude de tensão (Vp) da onda seno, é dado pela relação:

π

p med

V

V

=

2

⋅

, (9)

enquanto que a corrente média (Imed), num meio ciclo de oscilação, em função da amplitude (pico) de corrente

(Ip) da onda seno, é dada pela relação

π

p med

I

I

=

2

⋅

. (10)

Instrumentos de Medidas Elétricas – Amperímetros e Voltímetros

Os amperímetros/voltímetros quando ajustados na escala c.a. medem apenas valores eficazes. Em Porto Alegre, por exemplo, a tensão nas tomadas é, em geral, de 110V (isto é: 110Vrms = 110Vrqm = 110Vef = 110Vca),

Um voltímetro c.c. indicará zero se for usado para medir uma tensão senoidal. Por quê? Porque o ponteiro de um voltímetro c.c. tenta flutuar positiva e negativamente com amplitudes iguais. Porém, a inércia das partes móveis o impede de fazê-lo. Então, ele indica um valor médio igual a zero. Isto, é claro, supõe uma freqüência maior do que aproximadamente 10Hz, de modo que o ponteiro não possa acompanhar variações rápidas.

Gerador c.a.

Na figura abaixo, à direita, há o símbolo para um gerador c.a., que consiste num círculo com uma senóide inscrita. Em comparação, na figura à esquerda, temos o já conhecido gerador c.c., onde a seta, na fonte, indica o sentido (convencional) dos portadores de carga (positiva), que é do terminal positivo para o terminal negativo no circuito externo (a carga R) e do terminal negativo para o positivo no circuito interno (dentro da fonte).

Figura 1.4: circuito com gerador c.c. Figura 1.5: circuito com gerador c.a. EXEMPLOS

1) Considere uma tensão senoidal cuja função é

v

=

16

,

97

⋅

sen

(

376

,

8

⋅

t

)

, sendo estes valores medidos em unidades do SI. Determine, então, para esta senóide:

a) A tensão de pico. b) A tensão de pico a pico. c) A tensão eficaz.

d) A freqüência angular. e) A freqüência em Hertz.

f) O período em milisegundos (ms).

g) Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para esta senóide. h) A tensão instantânea quando se atinge três quartos de um ciclo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Considere uma tensão senoidal cuja função é

v

=

282

,

84

⋅

sen

(

314

⋅

t

)

, sendo estes valores medidos em unidades do SI. Determine, então, para esta senóide:

a) A tensão de pico. b) A tensão de pico a pico. c) A tensão eficaz.

d) A freqüência angular. e) A freqüência em Hertz.

f) O período em milisegundos (ms).

g) A tensão instantânea quando se atinge a metade de um ciclo. h) A tensão média ao longo de um ciclo completo de oscilação.

2) O gráfico ao lado ilustra uma tensão senoidal ao longo de um ciclo de oscilação. Determine, então, para esta senóide:

a) A tensão de pico. b) A tensão de pico a pico. c) A tensão eficaz.

d) O período de oscilação da senóide, em milisegundos (ms). e) A freqüência em Hertz.

f) A freqüência angular, em rad/s. g) A equação da tensão instantânea.

3) Qual a principal vantagem de se trabalhar com correntes alternadas em sistemas de produção e distribuição de energia?

4) Qual a principal vantagem de se trabalhar com valores eficazes em circuitos que operam em correntes alternadas?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. a) 282,84V; b) 565,68V; c) 200V; d) 314rad/s; e) 50Hz; f) 20ms; g) Zero; h) Zero; i) Faça você mesmo. 2. a) 100V; b) 200V; c) 70,71V; d) 12,56ms; e) 79,62Hz; f) 500rad/s; g)

v

=

100

⋅

sen

(

500

⋅

t

)

.

3. Faça você mesmo. 4. Faça você mesmo.

2. CAPÍTULO 2 – REATÂNCIAS CAPACITIVA E INDUTIVA

Resistência Elétrica

Quando uma corrente elétrica é estabelecida em um condutor metálico, um número muito elevado de elétrons livres passa a se deslocar nesse condutor. Nesse movimento, os elétrons colidem entre si e também contra os átomos que constituem o metal. Portanto, os elétrons encontram certa dificuldade para se deslocar, isto é, existe uma “resistência” à passagem da corrente elétrica no condutor. Para medir essa resistência, definiu-se uma grandeza denominada resistência elétrica (R).

A resistência elétrica é a capacidade de um corpo qualquer se opor à passagem de uma corrente elétrica (I) pelo mesmo, quando existe uma tensão (V) aplicada entre seus extremos. Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de medida para resistência elétrica é o ohm (Ω). Matematicamente, a resistência ôhmica2 _{obedece a relação}

I R

V = ⋅ . (1)

Nos cursos de corrente contínua (c.c.), vemos que a associação de resistências em série ou em paralelo resulta numa chamada resistência equivalente (Req), de um ponto de vista geral para o circuito em questão. Em

tais casos:

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

R

R

R

R

R

R

1 3 2 1

...

. (Resistências em Série) (2)

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

R

R

R

R

R

R

_{1 2 3 1}

1

1

...

1

1

1

1

. (Resistências em Paralelo) (3)

Para o caso especial de duas resistências associadas em paralelo, há uma relação bastante útil, derivada do somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:

2 1 2 1

R

R

R

R

R

_eq

+

⋅

=

. (Duas Resistências em Paralelo) (4)

Capacitância

A capacitância (C) ou capacidade é a grandeza elétrica de um capacitor, determinada fundamentalmente como sendo a constante de proporcionalidade entre a quantidade de carga elétrica (Q) armazenada neste dispositivo e a tensão (V) entre as suas placas, sejam estas planas ou não. Matematicamente, a capacitância obedece a relação:

V

C

Q

=

⋅

(5)

2 _{Ressaltando o fato de que as resistências ôhmicas são grandezas lineares. Ou seja, a relação V versus I para uma resistência}

ôhmica resulta num gráfico linear. Existem elementos não lineares, como é o caso do diodo semicondutor de silício. Neste caso, a relação V versus I para esses elementos resulta num gráfico V versus I não linear.

Segundo o SI, a unidade de medida da capacitância de um capacitor é o farad (F). Um capacitor, em suma, é um dispositivo destinado a armazenar energia elétrica através do campo elétrico que se estabelece entre suas placas.

Nos cursos de corrente contínua, vemos que a associação de capacitâncias em série ou em paralelo resulta numa chamada capacitância equivalente (Ceq), de um ponto de vista geral para o circuito em questão. Em

tais casos:

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

C

C

C

C

C

C

1 2 3 1

1

1

...

1

1

1

1

. (Capacitâncias em Série) (6)

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

C

C

C

C

C

C

1 3 2 1

...

. (Capacitâncias em Paralelo) (7)

Para o caso especial de duas capacitâncias associadas em série, há uma relação bastante útil, derivada do somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:

2 1 2 1

C

C

C

C

C

eq

+

⋅

=

. (Duas Capacitâncias em Série) (8)

Indutância

Um indutor é um dispositivo que apresenta a propriedade denominada indutância (L). A unidade SI de medida para a indutância é o henry (H). Um indutor, que consiste em nada mais do que uma bobina, é usado para criar um campo magnético conhecido numa determinada região. Quando uma corrente elétrica I percorre N espiras num indutor, um fluxo magnético Φ atravessa este dispositivo. A indutância (L) do indutor é então matematicamente definida pela relação

I N

L= ⋅Φ . (9)

Nos cursos de corrente contínua, vemos que a associação de indutâncias em série ou em paralelo resulta numa chamada indutância equivalente (Leq), de um ponto de vista geral do circuito em questão. Em tais casos:

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

L

L

L

L

L

L

1 3 2 1

...

. (Indutâncias em Série) (10)

∑

=

=

+

+

+

+

=

n j j n eq

L

L

L

L

L

L

1 2 3 1

1

1

...

1

1

1

1

. (Indutâncias em Paralelo) (11)

Para o caso especial de duas indutâncias associadas em paralelo, há uma relação bastante útil, derivada do somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:

2 1 2 1

L

L

L

L

L

eq

+

⋅

Reatância

A reatância (X), ou reagência elétrica, é a oposição (resistência) oferecida à passagem de corrente alternada por uma indutância ou uma capacitância ou, mais especificamente, ambas (capacitância e indutância), num circuito elétrico qualquer submetido a uma fem alternada. Como a reatância desempenha um papel de resistência, a mesma é medida, no SI, em ohms (Ω). A reatância constitui uma componente da impedância (Z) de um circuito em c.a., grandeza essa que será estudada mais adiante. Por hora, basta saber que a impedância representa a resistência total de um circuito à passagem da corrente alternada pelo mesmo.

Porém, é importante aqui ressaltar que a forma de se determinar reatância X num circuito resistivo-indutivo-capacitivo (RLC) do tipo série difere daquela para um circuito de associação destes elementos (RLC) em paralelo. Mostraremos isso nos próximos capítulos, mas antes precisamos saber como determinar a reatância devida especificamente à capacitância (C) e a indutância (L) do circuito considerado; estamos falando da reatância capacitiva (XC) e da reatância indutiva (XL). Estas, por sua vez, independem da forma como se ligam os

elementos C e L no circuito, sendo necessárias para a determinação da reatância X do circuito considerado.

Reatância Capacitiva

A reatância capacitiva (XC) é matematicamente expressa por

C X_C ⋅ =

ω

1 , (13)

onde ω é a freqüência angular da fonte de fem c.a. e C é a capacitância do capacitor. A reatância capacitiva

também relaciona-se com a tensão de pico (VC) e a corrente de pico (IC) no capacitor pela definição de

resistência:

C C

C

X

I

V

=

⋅

. (14)

Também, a mesma (XC) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é,

) ( ) (rms C C rms C X I V = ⋅ . (15) Reatância Indutiva

A reatância indutiva (XL) é matematicamente expressa por

L

X

L

=

ω

⋅

, (16)

onde ω é a freqüência angular da fonte de fem c.a. e L é a indutância do indutor. A reatância indutiva também relaciona-se com a tensão de pico (VL) e a corrente de pico (IL) no indutor pela definição de resistência:

L L

L

X

I

V

=

⋅

. (17)

Também, a mesma (XL) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é,

) ( ) (rms L Lrms L X I V = ⋅ (18)

Curvas de XL e XC versus f

Como se pode perceber em (13), a reatância capacitiva XC é inversamente proporcional a freqüência

angular ω (e conseqüentemente a freqüência f) e também a capacitância C. Ou seja, aumentando-se a freqüência

f do circuito, ω aumenta e a reatância capacitiva XC diminui. Por outro lado, se mantivermos a freqüência f fixa

(conseqüentemente fixando ω) e aumentarmos a capacitância C, a reatância capacitiva XC também se reduz. Com

a reatância indutiva XL, o efeito é diferente. Como se pode perceber em (16), a reatância indutiva XL é

diretamente proporcional à freqüência angular ω (e conseqüentemente a freqüência f) e também à indutância L.

Ou seja, aumentando-se a freqüência f do circuito, ω aumenta e a reatância indutiva aumenta. Por outro lado, se

mantivermos a freqüência f fixa (conseqüentemente fixando ω) e aumentarmos a indutância L, a reatância indutiva XL também se eleva.

Ambas as equações (13) e (16) envolvem a freqüência angular no grau 1 (isto é, ω1 = ω), assim como a

freqüência f (isto é, f1 = f). Isto indica que a equação (13) é uma função cujo gráfico XL versus f resulta numa

hipérbole, conforme se verifica na Figura 2.1. Já a equação (16) é uma função linear (do primeiro grau), cujo gráfico XC versus f resulta numa reta crescente, conforme se verifica na Figura 2.1. Essa figura exibe as duas

curvas, de XL e XC versus f, superpostas no mesmo plano coordenado. Observe que há uma freqüência

característica para a qual as duas reatâncias, indutiva e capacitiva, se igualam. Essa é a denominada freqüência de ressonância fRES. A ressonância de um circuito em corrente alternada, e seus efeitos, será discutida em

capítulos mais adiante. Mas, por hora, é importante saber que essa condição para que um circuito em c.a., contendo elementos indutivos e capacitivos, entre em ressonância é que suas reatâncias devem se igualar.

Figura 2.1 – Curvas de XL e XC com relação a freqüência f .

Circuitos c.a.

Nos cursos de corrente contínua, geralmente estudamos circuitos elétricos que consistem na associação em série, em paralelo e mista de resistências as quais são conectadas a uma fonte de fem c.c. (constante). Pergunta-se: Se a fonte de fem não for contínua (c.c.), e sim alternada (c.a.), como se procede? Responde-se: Para resolver um circuito c.a., somente com resistências, procede-se da mesma forma que para um circuito c.c. No entanto, deve-se observar se a tensão fornecida é a tensão eficaz (Vrms) ou de pico (VP). Aplicamos, assim

como nos circuitos c.c., as leis de Kirchhoff, conforme for conveniente.

Existe a “reatância resistiva”? Não existe uma reatância resistiva. Seja em c.c. ou c.a., a resistência (R) é sempre a “resistência”. A mesma relaciona-se com a tensão de pico (VR) e a corrente de pico (IR) no resistor pela

definição de resistência:

Também, a mesma (R) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é, ) ( ) (rms Rrms R R I V = ⋅ . (20)

A resistência, assim como a reatância, constitui uma componente da impedância (Z) de um circuito, grandeza essa que será estudada posteriormente, conforme colocado anteriormente.

E como se procede caso, no lugar de resistências, tivermos a associação em série, em paralelo e até mista de capacitores ou, então, indutâncias? Como em c.a. os capacitores e indutores se comportam como resistências, o procedimento é idêntico ao descrito acima para as resistências puras. E como se procede caso tivermos um circuito que combine os três elementos: resistor, capacitor e indutor? Este tipo de circuito será estudado nos capítulos seguintes.

EXEMPLOS

1. Um capacitor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 120Hz, apresenta uma tensão de pico de 50V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 100mA. Qual a capacitância deste capacitor em microfarads (µF)?

2. Um indutor é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 60Hz. Sabendo-se que a tensão medida sobre o mesmo é de 63,83V e que a amplitude da corrente c.a. que o atravessa é de 2A, determine a indutância deste indutor, em mili-henrys (mH).

3. Para qual a freqüência, em hertz (Hz), um capacitor de 10µF e um indutor de 10H apresentarão a mesma reatância?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um capacitor de 100µF é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 60Hz. Determine a reatância capacitiva deste capacitor.

2. Um capacitor de 100pF é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 2MHz. Determine a reatância capacitiva deste capacitor.

3. Um capacitor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 60Hz, apresenta uma tensão de pico de 100V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 150mA. Qual a capacitância deste capacitor em microfarads (µF)?

4. Um capacitor de 5µF conectado a uma fem alternada apresenta uma reatância de 1kΩ. Sendo assim, qual a freqüência, em hertz (Hz), de oscilação desta fem?

5. Um indutor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 120Hz, apresenta uma tensão de pico de 45V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 75mA. Qual a indutância deste indutor em mili-henrys (mH)?

6. Um indutor de 45mH é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 1kHz. Determine a reatância indutiva deste indutor.

7. O gráfico ao lado ilustra a tensão instantânea sobre um capacitor (vC)

e sobre um indutor (vL) num circuito

submetido a uma fem c.a. senoidal. Sabendo-se que o valor eficaz da corrente que atravessa o capacitor e o indutor são de 212,77mA e

354,61mA, respectivamente,

determine:

a) O valor do capacitor, em microfarads (µF).

b) O valor do indutor, em mili-henrys (mH).

8. Para qual a freqüência, em quilo-hertz (kHz), um capacitor de 10nF e um indutor de 10mH apresentarão a mesma reatância?

9. Diferencie uma resistência ôhmica de uma reatância.

10. Afirmativa: “A reatância capacitiva aumenta conforme aumenta a freqüência da fonte de fem alternada”. Verifique a validade desta afirmativa (ou seja, responda se a mesma é válida ou não e justifique sua resposta).

11. Afirmativa: “A reatância indutiva aumenta conforme aumenta a freqüência da fonte de fem alternada”. Verifique a validade desta afirmativa (ou seja, responda se a mesma é válida ou não e justifique sua resposta).

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. 26,53Ω 2. 796,18Ω. 3. 3,98µF. 4. 31,85Hz. 5. 796mH. 6. 282,6Ω. 7. a) 5,32µF; b) 190,42mH. 8. 15,92kHz.

9. Faça você mesmo. 10. Faça você mesmo. 11. Faça você mesmo.

3. CAPÍTULO 3 – CIRCUITO RLC SÉRIE

Impedância e Reatância

Impedância elétrica ou simplesmente impedância (quando, em domínio de circuitos ou sistemas elétricos e Engenharia Elétrica, não houver possibilidade de confusão com outras possíveis acepções de impedância), em circuitos elétricos, é a relação entre o valor eficaz da tensão entre dois pontos do circuito em consideração e o valor eficaz da corrente resultante no circuito. A impedância é expressa em ohms (Ω), e designada geralmente pela letra Z. A impedância indica a oposição total que um circuito, constituído de resistências puras (ôhmicas) e mais as reatâncias, oferece ao fluxo de uma corrente elétrica variável no tempo. Matematicamente, exprime-se a impedância de duas maneiras. Vejamos estas:

(1) Conforme mencionado acima, determina-se a impedância elétrica (Z) por

rms rms

=

Z

⋅

I

ε

. (1)

Também, a impedância pode ser expressa pelos valores de pico da fem entre os terminais do determinado circuito elétrico c.a. e da corrente resultante no mesmo, ou seja,

P P

=

Z

⋅

I

ε

. (2)

(2) Pode-se relacionar a impedância com a resistência ôhmica R e a reatância X. Aqui, vamos subdividir em dois casos: o primeiro, (2.1), para um circuito RLC série e o segundo, (2.2), para um circuito RLC paralelo. Este último será tratado no próximo capítulo.

(2.1) Circuito RLC série:

Este tipo de circuito, conforme ilustra a Figura 3.1, consiste de uma resistência R, uma capacitância C e uma indutância L associadas em série, de modo que esta combinação seja conectada a uma fonte de fem, seja c.c. ou c.a..

Figura 3.1 – Circuito RLC série.

No presente caso, estamos nos restringindo a estudar o comportamento de circuitos submetidos a uma fem c.a.. Nesta configuração (série), a impedância Z do circuito é matematicamente expressa em termos da resistência R e da reatância X pela equação

2 2

X R

Nesta equação, a impedância elétrica Z, a resistência ôhmica R e a reatância X são, no SI, medidas em ohms (Ω). Normalmente, a reatância X num circuito RLC série é expressa pela diferença entre a reatância indutiva (XL) e a

reatância capacitiva (XC), ou seja,

C

L

X

X

X

=

−

. (4)

Ainda, no circuito RLC série, a amplitude da fem c.a. no gerador pode ser obtida por uma relação semelhante a da impedância dada em (3) para este tipo de circuito, isto é,

2 2 X R P

=

V

+

V

ε

. (5)

Nesta equação, a fem de pico εP, a tensão de pico na resistência VR e na reatância VX são, no SI, medidas em

volts (V). O valor rms da fem c.a do gerador pode ser obtido por uma relação semelhante a (6), isto é,

2 ) ( 2 ) (rms X rms R rms

=

V

+

V

ε

. (6)

Normalmente, a tensão de pico na reatância VX de um circuito RLC série é expressa pela diferença entre a tensão

de pico da reatância indutiva (VL) e da reatância capacitiva (VC), ou seja,

C L

X

V

V

V

=

−

. (7)

O valor rms da tensão na reatância VX(rms) de um circuito RLC série também pode ser expresso pela diferença

entre os valores rms da tensão de pico da reatância indutiva (VL) e da reatância capacitiva (VC), ou seja, ) ( ) ( ) (rms Lrms Crms X V V V = − . (8)

A reatância também relaciona-se com sua tensão de pico (VX) e sua corrente de pico (IX) pela definição de

resistência,

X

X

X

I

V

=

⋅

, (9)

e, também, com seus valores rms de tensão e corrente, isto é,

) ( ) (rms X rms X X I V = ⋅ . (10)

Ângulo de Fase (ou Defasagem)

No Capítulo 1 vimos a maneira básica da produção de corrente alternada senoidal, a qual consiste na rotação de uma bobina num campo magnético externo. Matematicamente, a fem c.a. induzida na bobina pode ser descrita pela equação

)

(

t

sen

P

⋅

⋅

=

ε

ω

ε

, (11)

onde ε é a fem instantânea, εP é a fem de pico,

ω

é a freqüência angular da rede e t representa o tempo.

Agora, por exemplo, considerando que um gerador c.a. conectado num circuito RLC série tenha uma fem descrita pela equação (11) acima, pergunta-se: Qual é a corrente instantânea i que circula por esta malha? A

discussão precedente para responder detalhadamente esta questão está além do objetivo aqui proposto, de forma que, simplesmente, apresentaremos o resultado final, o qual matematicamente é expresso pela equação

)

(

ω

⋅

−

φ

⋅

=

I

sen

t

i

_P . (12)

Exatamente como nos circuitos de corrente contínua, a corrente alternada instantânea i, no circuito RLC série, tem a mesma intensidade em qualquer parte da malha. Além disso, a freqüência angular ω da corrente i é

necessariamente a mesma da fem do gerador c.a. de (11), sendo IP a amplitude da corrente no circuito. A

novidade aqui é a constante de fase φ, mais conhecida como ângulo de fase (ou defasagem), que aparece no argumento da função seno, subtraindo o deslocamento angular ω⋅t efetuado pela fem senoidal do gerador c.a..

Ainda, o argumento da função seno da equação (12), correspondente à diferença ω⋅t−φ, chama-se fase da onda

senoidal.

O que é o ângulo de fase φ (ou defasagem φ) que aparece no argumento da função seno da corrente i no

circuito RLC série? Matematicamente, o ângulo de fase φ mede a defasagem angular (isto é, a separação angular)

entre a tensão alternada e a corrente alternada no circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou misto. Fisicamente, o ângulo de fase (ou defasagem) entre a tensão alternada e a corrente alternada é uma grandeza proporcional à quantidade de energia na forma reativa presente no circuito. Assim, quanto maior for a defasagem angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou misto, maior será a quantidade de energia reativa do circuito. Em outras palavras, o ângulo de fase (ou defasagem) é uma grandeza proporcional à potência reativa do circuito. Ou seja, quanto maior for a defasagem angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou misto, maior será a potência reativa do circuito. O estudo de potência em circuitos de c.a. será realizado no Capítulo 5. No entanto, para fins de entendimento prévio, pode-se dizer que a potência reativa, em circuitos de c.a., é análoga à potência de perdas dos circuitos em c.c.. Logo, pode-se compreender, por analogia entre circuitos c.a. e c.c., que a potência reativa, em circuitos de c.a., desempenha um papel similar à potência de perdas dos circuitos em c.c.. Dessa ótica, a defasagem angular entre a tensão e a corrente alternada em circuitos de c.a., é proporcional ao grau de desperdício (ou desaproveitamento) de energia do circuito na forma reativa. Portanto, quanto maior a defasagem angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito de c.a., maior será o desperdício (ou desaproveitamento) de energia no circuito (na forma de energia reativa).

Por que ocorre a defasagem entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC submetido a uma fem c.a.? O que significa “defasagem entre tensão alternada e corrente alternada” em um circuito RLC submetido a uma fem c.a.? Para responder a estas perguntas, vamos considerar, inicialmente, três circuitos separadamente: um circuito puramente resistivo (circuito resistivo R), um circuito puramente capacitivo (circuito capacitivo C) e um circuito puramente indutivo (circuito indutivo L); todos estes circuitos submetidos a uma fem c.a. dada por (11).

Circuito Resistivo R

A Figura 3.2 mostra um circuito contendo apenas um elemento resistivo R e o gerador de fem c.a., a qual obedece (11).

Figura 3.2 – Circuito R.

0

=

−

v

R

ε

. (13) Usando (11), obtemos

)

(

t

sen

v

_R

=

ε

_P

⋅

ω

⋅

. (14)

Como a amplitude de tensão VRatravés do resistor R é igual à amplitude εP da fem c.a. do gerador, podemos

escrever a equação anterior como

)

(

t

sen

V

v

_R

=

_R

⋅

ω

⋅

. (15)

Usando a definição de resistência (V = R⋅I), também podemos escrever (11) como

) ( ) ( t I sen t sen R V R v i R R _R R = = ⋅

ω

⋅ = ⋅

ω

⋅ , (16) ou seja,

)

(

t

sen

I

i

_R

=

_R

⋅

ω

⋅

. (17)

Comparando (17) com (12), vemos que no caso de uma carga puramente resistiva R, o ângulo de fase vale φ = 0º. Então, a comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vR e iR estão em

fase. Isto significa dizer que os máximos e mínimos correspondentes de tensão e corrente ocorrem no mesmo

instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de oscilação) considerado. Os gráficos superpostos de vR e iR, na Figura 3.3, ilustram este fato.

Figura 3.3

De (16), vemos também que a amplitude de tensão VR e a amplitude de corrente IR estão relacionadas

pela equação

R

R

R

I

V

=

⋅

, (18)

a qual foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação para o circuito puramente resistivo R, ela se aplica a um resistor distinto em qualquer circuito c.a., não importando quão complexo este seja.

Circuito Capacitivo C

A Figura 3.4 mostra um circuito contendo apenas um elemento capacitivo C e o gerador de fem c.a., a qual obedece (11).

Figura 3.4 – Circuito C.

De acordo com a lei das malhas, temos

0

=

−

v

_C

ε

. (19) Usando (11), obtemos

)

(

t

sen

v

_C

=

ε

_P

⋅

ω

⋅

. (20)

Como a amplitude de tensão VCatravés do capacitor C é igual à amplitude εP da fem c.a., podemos escrever a

equação anterior como

)

(

t

sen

V

v

_C

=

_C

⋅

ω

⋅

. (21)

Usando a definição de capacitância (Q = C⋅V), também podemos escrever (21) como

)

(

t

sen

V

C

v

C

q

_C

=

⋅

_C

=

⋅

_C

⋅

ω

⋅

. (22)

Contudo, não estamos interessados na carga (instantânea) do capacitor, e sim, na corrente (instantânea). Assim sendo, através de uma matemática avançada (derivando a quantidade de carga instantânea qC com relação ao

tempo t na equação anterior; ou seja, fazendo-se iC = dqC /dt), obtemos, a partir de (22), que

)

cos(

t

V

C

i

_C

=

ω

⋅

⋅

_C

⋅

ω

⋅

, (23)

donde o produto ω⋅C⋅VC corresponde a amplitude de corrente IC no capacitor (visto que ω⋅C = 1/XC), de forma

que (23) pode ser reescrita como

)

cos(

t

I

i

C

=

C

⋅

ω

⋅

. (24)

Usando-se um pouco de trigonometria, verifica-se que

) º 90 ( ) cos(ω⋅t = sen ω⋅t+ . (25)

Com isto, (24) pode ser escrita como

)

º

90

(

⋅

+

⋅

=

I

sen

t

i

_{C C}

ω

. (26)

Comparando (26) com (12), vemos que, no caso de uma carga puramente capacitiva C, o ângulo de fase vale φ = −90º. A comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vC e iC estão

defasadas em 90º, ou seja, em um quarto de ciclo, o que significa que os máximos e mínimos correspondentes de tensão e corrente não ocorrem no mesmo instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de oscilação) considerado. Os gráficos superpostos de vC e iC, na Figura 3.5, ilustram este fato. Vemos que iC está

avançada em relação a vC, ou seja, acompanhando-se as variações temporais da corrente iC e da tensão vC,

percebe-se que o máximo de iC ocorre um quarto de ciclo antes do máximo de vC.

Figura 3.5

De (23) e (24), vemos também que a amplitude de tensão VC e a amplitude de corrente IC estão

relacionadas pela equação

C C C

X

I

V

=

⋅

, (27) sendo C X_C ⋅ =

ω

1 . (28)

Esta relação já foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação para o circuito puramente capacitivo C, ela se aplica a um capacitor distinto em qualquer circuito c.a., não importando quão complexo este seja.

Circuito Indutivo L

A Figura 3.6 mostra um circuito contendo apenas um elemento indutivo L e o gerador de fem c.a., a qual obedece (11).

Figura 3.6 – Circuito L.

De acordo com a lei das malhas, temos

0

=

−

v

Usando (11), obtemos

)

(

t

sen

v

L

=

ε

P

⋅

ω

⋅

. (30)

Como a amplitude de tensão VLatravés do indutor L é igual à amplitude εP da fem c.a., podemos escrever a

equação anterior como

)

(

t

sen

V

v

_L

=

_L

⋅

ω

⋅

. (31)

Usando a definição de auto-indutância em termos de derivada,

dt dI L⋅ − = ε , (32)

e desprezando o sinal negativo (referente à lei de Lenz), também podemos escrever

dt di L v L L = ⋅ , (33) dt di L t sen V L L⋅ (ω⋅ )= ⋅ , (34) ) ( t sen L V dt diL ₌ L_{⋅ ω⋅ , (35)}

Contudo, não estamos interessados na taxa de variação temporal da corrente (diL/dt), e sim na corrente

propriamente dita. Assim sendo, através de uma matemática avançada, obtemos, a partir de (35), que

) cos( t L V i L L ⋅ ⋅ ⋅ − =

ω

ω

, (36)

onde o termo VL/(ω⋅L) corresponde a amplitude de corrente IL no indutor (visto que XL = ω⋅L), de forma que (36)

pode ser reescrita como

)

cos(

t

I

i

_L

=

−

_L

⋅

ω

⋅

. (37)

Usando-se um pouco de trigonometria, verifica-se que

) º 90 ( ) cos( ⋅ = ⋅ − − ω t sen ω t . (38)

Com isto, (38) pode ser escrita como

)

º

90

(

⋅

−

⋅

=

I

sen

t

i

_{L L}

ω

. (39)

Comparando (39) com (12) vemos que no caso de uma carga puramente indutiva L, o ângulo de fase vale φ = +90º. A comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vL e iL estão defasadas

em 90º, ou seja, em um quarto de ciclo, o que significa que os máximos correspondentes de tensão e corrente

não ocorrem no mesmo instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de oscilação) considerado.

ou seja, acompanhando-se as variações temporais da corrente iL e da tensão vL, percebe-se que o máximo de iL

ocorre um quarto de ciclo depois do máximo de vL.

Figura 3.7

De (36) e (37), vemos também que a amplitude de tensão VL e a amplitude de corrente IL estão

relacionadas pela equação

L L L

X

I

V

=

⋅

, (40) sendo

L

X

_L

=

ω

⋅

, (41)

Esta relação já foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação para o circuito puramente indutivo L, ela se aplica a um indutor distinto em qualquer circuito c.a., na importando quão complexo este seja.

Como vimos, analisamos separadamente cada um dos componentes, resistor (R), indutor (L) e capacitor (C), submetidos a fem c.a. dada por (9) e introduzimos o conceito de fase (ou defasagem) entre tensão e corrente em um circuito c.a. simples (ou seja, com apenas um dos componentes: ou resistor, ou indutor ou capacitor). Porém, em um circuito mais complexo, como é o caso do circuito RLC série, por exemplo, o avanço ou atraso da corrente em relação à fem c.a. aplicada do gerador dependerá exclusivamente do valor das reatâncias capacitiva e indutiva. Se o circuito RLC série for predominantemente indutivo (alto valor de XL, de modo que XL será maior

que XC), a corrente do circuito estará atrasada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de fase

φ assumirá valores entre 0º e 90º. Consequentemente, a reatância (X) e a tensão reativa (VX) do circuito

assumirão valores positivos. Em contrapartida, se o circuito for predominantemente capacitivo (alto valor de XC,

de modo que XC será maior que XL), a corrente do circuito estará avançada em relação à fem c.a. do gerador, de

maneira que o ângulo de fase φ assumirá valores entre −90º e 0º. Consequentemente, a reatância (X) e a tensão

reativa (VX) do circuito assumirão valores negativos. E no caso de um circuito RLC paralelo? Isto será tratado no

próximo capítulo, conforme mencionado anteriormente. Então, resumindo tudo que foi tratado neste ponto:

RLC série: para

X

L

>

X

C, temos que X >0,

V

L

>

V

C,

V

X

>

0

e, consequentemente,

0

º

<

φ

<

90

º

.

RLC série: para

X

L

<

X

C, temos que X <0,

V

L

<

V

C,

V

X

<

0

e, consequentemente,

−

90

º

<

φ

<

0

º

.

Como se determina o ângulo de fase em um circuito RLC série? O ângulo de fase φ para um circuito

R X

V

V

tg

(

φ

)

=

(42) ou R X tg(

φ

)= , (43)

bastando, para tanto, considerar o arcotangente da quantidade (tangente) obtida (seja por VX/VR ou X/R).

Fasores

Pergunta: Por que o cálculo da impedância (Z), da amplitude de fem c.a. (εP) e do ângulo de fase (φ) para

um circuito RLC série (e também no paralelo, já adiantando) têm expressões matemáticas de caráter pitagórico (lembre aqui do teorema de Pitágoras), como é o caso das relações (3) e (5), e trigonométrico, como é o caso de todas as relações para os valores instantâneos de tensão e corrente vistas para o resistor, o indutor e o capacitor e, também, nas relações (42) e (43) para o ângulo de fase? Resposta: Porque tratamos as amplitudes de tensão e corrente como grandezas vetoriais e não como grandezas escalares, como estas naturalmente são.

Em um circuito RLC submetido ao regime de corrente alternada, tratamos os valores instantâneos das grandezas elétricas de interesse, como é o caso da tensão e da corrente, como estas naturalmente são, isto é, como grandezas escalares, enquanto que as amplitudes e valores eficazes de tensão e corrente são tratadas como grandezas vetoriais. Esta última consideração é suficiente para justificar porque a amplitude da fem do gerador c.a. no circuito RLC série estudado neste capítulo não corresponde à soma (algébrica) das amplitudes de tensão do resistor, do indutor e do capacitor, pois aqui a referida soma trata-se de uma soma vetorial, e não algébrica (escalar). Isto, contudo, não implica que as amplitudes e, portanto, os valores eficazes, de tensões e correntes em corrente alternada sejam vetores. Apenas é feito um tratamento vetorial destas grandezas.

Por que isto é feito? Porque esse tipo de abordagem evita a resolução de problemas via equações

diferenciais, que é uma ferramenta matemática que está muito fora ou muito além (!) do objetivo da disciplina.

As equações diferenciais podem ser aplicadas também na resolução de problemas referentes a grandezas elétricas variantes no tempo, seja em circuito c.a. e, também, em c.c.3_{. No presente caso, diversas das relações}

anteriores, como, por exemplo, as equações (12), (17), (21) e (31), dentre outras, são obtidas mediante a resolução de tais equações para alguma grandeza elétrica de interesse como, por exemplo, a carga elétrica instantânea no capacitor qC ou a corrente instantânea i no circuito. Embora a resolução de equações diferenciais

para a análise de circuitos RLC em regime de corrente alternada seja bastante vantajosa (no sentido de que podemos, inclusive, analisar a fase transiente das oscilações elétricas), o método geométrico dos fasores é, qualitativamente e matematicamente, muito mais que suficiente e, também, muito mais “simples” para certos propósitos, como é o caso do nosso estudo.

Conforme discutido no Capítulo 1, uma função senoidal ou cossenoidal é dita “periódica”. Toda função senoidal, e portanto periódica, pode ser descrita por um vetor que “gira” no sentido anti-horário, denominado

fasor. O mesmo efetua um deslocamento angular, correspondente ao produto ω⋅t, medido em relação ao eixo

horizontal, partindo da direita, com a mesma velocidade angular (frequência angular) ω do gerador. O fasor

descreve, então, ao final de um ciclo, uma circunferência completa. No caso da tensão alternada, a magnitude do fasor representa a amplitude da mesma, de maneira que quando este (fasor) for projetado no eixo vertical, do plano coordenado, sua projeção (também denominada componente do fasor) fornecerá o valor instantâneo da fem c.a. do gerador no presente instante de tempo t do ciclo considerado.

3 _{Embora pareça estranho, podemos ter grandezas elétricas variáveis no tempo em c.c., como é o caso da carga e descarga}

de um capacitor em um circuito RC série submetido a um fem constante (c.c.). Neste caso, o circuito RC série foi submetido a uma fem c.c.. Porém, a carga elétrica q no circuito varia exponencialmente com o tempo no processo de carga e descarga.

A Figura 3.8 mostra as características básicas de um diagrama fasorial para o circuito RLC série estudado neste capítulo. Para tanto, consideramos (arbitrariamente) um circuito predominantemente indutivo, de maneira que a fem c.a. está adiantada em relação à corrente c.a., conforme se verifica na Figura 1-c.

Figura 3.8 – (a) Um fasor representando a amplitude da corrente alternada IP, no circuito RLC série. Também são mostradas

a corrente instantânea i (que é a projeção no eixo vertical do fasor IP) e a fase (ω⋅t−φ) da corrente senoidal. (b) O fasor de

(a) e os fasores representando as amplitudes de tensão através do resistor, do capacitor e do indutor. Note que a amplitude de tensão do resistor VR está em fase com a amplitude de corrente IP, enquanto que as amplitudes de tensão no indutor VL e

no capacitor VC exibem suas diferenças de fase, de 90º (indicadas pela simbologia perpendicular ⊥), em relação à amplitude

de corrente alternada IP. (c) Os fasores de (b) se somando fasorialmente (vetorialmente) para fornecer o fasor (vetor)

resultante que representa a amplitude da fem alternada εP do gerador c.a..

A amplitude de corrente do circuito RLC série é IP. Portanto, este é o fasor IP. Em certo instante de

tempo t do período de oscilação da tensão senoidal, o ângulo descrito pelo fasor IP em relação ao eixo horizontal

do plano coordenado é dado pela fase (ω⋅t−φ) da onda seno da equação (12), o que pode ser observado na

Figura 3.8-a. Logo, a projeção deste fasor IP sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo i da corrente

alternada no circuito; isto é, estamos falando da equação (12), a qual fornece a corrente instantânea em um circuito RLC série.

Como foi visto anteriormente, em um resistor a tensão está em fase com a corrente. Isto pode ser observado na Figura 3.8-b, onde os vetores (fasores) IP e VR têm mesma direção e sentido. Logo, a projeção deste

fasor VR sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo da tensão no resistor (vR), isto é,

)

(

ω

⋅

−

φ

⋅

=

V

sen

t

v

_{R R} . (44)

Esta é exatamente a equação que fornece a tensão instantânea na resistência num circuito RLC série. Ainda pela Figura 3.8-b, uma análise semelhante, usando um pouco mais de trigonometria, nos permite concluir que as tensões instantâneas no capacitor (vC) e no indutor (vL) são dadas, respectivamente, através das equações

)

cos(

ω

⋅

−

φ

⋅

−

=

V

t

v

_{C C} (45) e

)

(

ω

⋅

−

φ

⋅

=

V

sen

t

v

_{L L} . (46)

Estas são exatamente as equações que fornecem a tensão instantânea num capacitor e num indutor num circuito

RLC série. Note o sinal negativo na equação da tensão instantânea vC no capacitor (?!).

Da discussão acima, deve ficar claro que os valores instantâneos da tensão no resistor, no indutor e no capacitor, no circuito RLC série, somam-se algebricamente de modo a fornecer a fem c.a. instantânea (ε) do

gerador, pois estas são (naturalmente) grandezas escalares, de modo que a segunda lei de Kirchhoff é aplicável, o que nos fornece

L C R j j

v

v

v

v

=

+

+

=

∑

= 3 1

ε

. (47)

Agora, pela Figura 3.8-c, percebe-se claramente que as amplitudes de tensão no resistor, no indutor e no capacitor somam-se vetorialmente de modo a fornecer a amplitude da fem c.a. do gerador (εP), pois as

amplitudes de tensão e de fem são tratadas como grandezas vetoriais, de modo que a segunda lei de Kirchhoff

não é aplicável, visto ser esta uma lei referente a grandezas escalares, e não grandezas vetoriais. Ou seja, a

amplitude de fem do gerador c.a. (εP) obedece a equação vetorial dada por

L C R j j P

V

V

V

V

r

r

r

r

r

+

+

=

=

∑

= 3 1

ε

. (48)

Assim, a magnitude do vetor (fasor) amplitude de fem do gerador c.a. (εP) é, pela Figura 3.8-c, dada pela

equação (8). Em outras palavras, embora isto não seja muito correto, digamos que (48) é a forma vetorial da segunda lei de Kirchhoff para amplitudes de tensão em circuitos c.a.. Inclusive, note o caráter vetorial (com a “seta”) nas amplitudes de tensão em (48). O mesmo vale para as tensões e fems c.a. eficazes, de modo que

) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( R rms C rms Lrms j rms j rms

V

V

V

V

r

r

r

r

r

+

+

=

=

∑

=

ε

. (49)

No próximo capítulo, serão também analisadas e discutidas as características básicas de um diagrama fasorial para um circuito RLC paralelo.

EXEMPLOS

1. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 160Ω, um capacitor de 15µF e um indutor de 230mH conectados numa fonte de fem c.a. de 36V de pico que oscila numa freqüência de 60Hz. Sendo assim, determine:

a) A reatância capacitiva do circuito. b) A reatância indutiva do circuito. c) A reatância do circuito.

d) A impedância do circuito.

e) O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito. f) A corrente de pico do circuito, em miliampères (mA). g) A corrente de pico no resistor, em miliampères (mA). h) A corrente de pico no capacitor, em miliampères (mA). i) A corrente de pico no indutor, em miliampères (mA). j) A tensão de pico no resistor.

k) A tensão de pico no capacitor. l) A tensão de pico no indutor.

2. Uma bobina de indutância igual a 88mH, um resistor de valor desconhecido e um capacitor de 940nF são ligados em série a uma fem c.a. que oscila numa freqüência de 930Hz. Sabendo-se que o ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito é de 75º, qual é o valor do resistor?

3. Um circuito RLC série consiste de uma fonte c.a. com uma fem de amplitude igual a 30V e que opera numa freqüência de 60Hz. Sabe-se que a tensão máxima no indutor é o triplo da tensão máxima no capacitor a qual, por sua vez, é igual a tensão máxima no resistor. Além disso, a corrente máxima do circuito tem uma intensidade de 300mA. Sendo assim, determine:

a) O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito. b) O valor do resistor.

c) O valor do capacitor, em microfarads (µF). d) O valor do indutor, em mili-henrys (mH).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 27Ω, um capacitor de 2µF e um indutor de 900mH conectados numa fonte de fem c.a. de 50V de pico que oscila numa freqüência de 120Hz. Sendo assim, determine:

a) A reatância capacitiva do circuito. b) A reatância indutiva do circuito. c) A reatância do circuito.

d) A impedância do circuito.

e) O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito. f) A corrente de pico do circuito.

g) A corrente de pico no resistor. h) A corrente de pico no capacitor. i) A corrente de pico no indutor. j) A tensão de pico no resistor. k) A tensão de pico no capacitor. l) A tensão de pico no indutor.

2. Circuito RC série. Um circuito RC série, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma resistência ôhmica (R) em série apenas com uma capacitância (C), além da fonte de f.em. alternada do tipo senoidal. Como não há indutância neste circuito (L = 0), a reatância indutiva do mesmo é nula (XL = 0) e,

consequentemente, a reatância do circuito se resume ao negativo do valor da reatância capacitiva do mesmo (X = −XC). Considere um circuito RC série, o qual consiste de um resistor de 27Ω e um capacitor

de 2µF conectados numa fonte de fem c.a. de 50V de pico a qual, por sua vez, oscila em uma frequência de 120Hz. Sendo assim, determine:

a) A reatância capacitiva do circuito. b) A reatância do circuito.

c) A impedância do circuito.

d) O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito. e) A corrente de pico do circuito.

f) A corrente de pico no resistor. g) A corrente de pico no capacitor. h) A tensão de pico no resistor. i) A tensão de pico no capacitor.

3. Circuito RL série. Um circuito RL série, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma resistência ôhmica (R) em série apenas com uma indutância (L), além da fonte de f.em. alternada do tipo senoidal. Como não há capacitância neste circuito, a reatância capacitiva do mesmo é nula (XC = 0) e,