PROJETO DAS DIMENSÕES E ANÁLISE DA DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO DE UM TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA

PROJETODASDIMENSÕESEANÁLISEDADENSIDADEDEFLUXOMAGNÉTICODEUM

TRANSFORMADORDEPOTÊNCIA

ADELICIO M. SOBRINHO1, JULIANA A. MALAGOLI1, JOSÉ R. CAMACHO1, PEDRO P. P. DOS SANTOS1, YASMIN J. S. CRUZ1

1. Laboratório de Fontes Alternativas de Energia, Faculdade de Engenharia Elétrica,

Universidade Federal de Uberlândia

Av.: João Naves de Ávila, nº 2121, Bairro: Santa Mônica, CEP: 38.408-100, Uberlândia-MG, Brasil. E-mails: adelmax@uft.edu.br, juliana.malagoni@gmail.com, jrcamacho@ufu.br,

pedrop_paulino@hotmail.com, yasminjsc@hotmail.com

Abstract Power transformers are one of the main equipment of the Electric Power System, therefore, are responsible for con-verting electrical energy from one voltage level to another, so that it be transmitted at high voltage with lower losses and then converted to levels more suited to consumers. This study aims to calculate the dimensions required for designing power trans-formers using computer programs OCTAVE and FEMM (Finite Element Method Magnetics). Through OCTAVE program ana-lytical calculations were carried out to design and determine the dimensions of a three-phase core type transformer, such as the area of the windows, width and height of the transformer core, were also calculated, the number of turns of the high and low voltage losses in the core, the magnetizing current to empty and their components. The calculation method is not a new approach, but the analytical results obtained in OCTAVE program was used to simulate the flux density in the core and yoke of the trans-former through the FEMM program, in order that the theoretical results have an objective in the practical result of the most relia-ble final project. They compared the values of the design and simulation of flux densities. In conclusion that the proposed meth-odology appears as an interesting alternative for the purpose described above.

Keywords Applications in Power Systems, Current Magnetization, Finite Element Method, Power Transformers.

Resumo Os transformadores de potências são uns dos principais equipamentos do Sistema Elétrico de Potência, pois, são os responsáveis por converter energia elétrica de um nível de tensão para outro, afim de que a mesma seja transmitida em alta tensão com menores perdas e depois convertida a níveis mais adequados aos consumidores. Este trabalho tem como objetivo calcular as dimensões necessárias para projetar transformadores de potência utilizando os programas computacionais OCTAVE e FEMM (Finite Element Method Magnetics). Através do programa OCTAVE foram realizados os cálculos analíticos para projetar e de-terminar as dimensões de um transformador trifásico tipo núcleo, tais como, a área das janelas, altura e largura do núcleo do transformador, foram calculadas também o número de espiras da alta e baixa tensão, perdas no núcleo, a corrente de magnetiza-ção a vazio e suas componentes. O método de cálculo não é uma nova abordagem, mas os resultados analíticos obtidos no pro-grama OCTAVE foram utilizados para simular a densidade de fluxo no núcleo e no jugo do transformador através do propro-grama FEMM, afim de que os resultados teóricos tenham um objetivo no resultado prático do projeto final mais confiável. Foram com-parados os valores das densidades de fluxo do projeto e da simulação. Conclui-se que a metodologia proposta configura-se como uma interessante alternativa para a finalidade acima descrita.

Palavras-chave Aplicações em Sistemas Elétricos, Corrente de Magnetização, Método de Elementos Finitos, Transformadores de Potência.

1 Introdução

Os transformadores são um dos principais elementos do sistema elétrico de potência, eles realizam a fun-ção de converter a energia elétrica em um nível de tensão para outro. Podem ser tanto abaixadores ou elevadores de tensão, dependendo da sua necessida-de necessida-de aplicação (Fitzgerald et al., 2013).

Um transformador consiste em dois ou mais enrolamentos acoplados por meio de um fluxo magnético comum. Se um dos enrolamentos, o primário, for conectado a uma fonte de tensão alternada, então será produzido um fluxo alternado cuja amplitude dependerá da tensão do primário, da frequência da tensão aplicada e do número de espiras (Mittle et al., 2009). O fluxo comum estabelece um enlace com o enrolamento secundário, induzindo uma tensão cujo valor depende do número de espiras do secundário, assim, como da magnitude do fluxo comum e da frequência. Ao estabelecer uma

proporção adequada entre os números de espiras do primário e do secundário, praticamente qualquer da relação de tensões, ou relação de transformação, pode ser obtida (Upadhyay, 2008).

O funcionamento de um transformador requer apenas a existência de um fluxo comum, variável no tempo, enlaçando dois enrolamentos. Tal ação pode ocorrer entre enrolamentos acoplados pelo ar, no entanto, o acoplamento entre enrolamentos pode se tornar muito mais eficiente usando-se um núcleo de ferro ou de algum outro material ferromagnético (Fitzgerald et al., 2013).

Os projetos de transformadores são importantes ferramentas aplicadas aos sistemas elétricos de potência. As potências e os níveis de tensão são determinados através das dimensões e tipos de materiais empregados no projeto. Dessa forma, é possível obter uma melhor eficiência e um custo mais acessível do equipamento (Mittle et al., 2009).

Além disso, nos projetos de transformadores, a determinação da corrente de magnetização a vazio é importante para calcularmos as perdas no núcleo e

no jugo do transformador, ou seja, as perdas totais no núcleo (Malagoli et al., 2014).

Nos últimos anos vários trabalhos propuseram metodologias de projetos de transformadores como: programação paralela para otimização do projeto global de transformadores de potência (Amoiralis et al., 2008), elementos finitos em dois e três dimensões para análise da corrente de partida e forças eletromagnéticas (Faiz et al., 2008) e outro que projeta transformador toroidal (León et al., 2014). Citam-se também outras aplicações dos projetos de transformadores monofásico através da otimização, utilizando evolução diferencial (Malagoli et al., 2014) e projeto ótimo multiobjetivo para interruptor isolado (Versèle et al., 2010). Por fim, destacou-se o projeto de transformador utilizando elementos finitos (Chaves et al., 2009).

Este trabalho apresenta dois estudos de casos, o primeiro dimensiona o projeto de um transformador e calcula-se a corrente de magnetização a vazio já o segundo caso simula os valores dimensionados e determina a densidade de fluxo do transformador no núcleo e no jugo. No estudo de caso 1 foram realizados diversos cálculos através do uso do programa OCTAVE, e o segundo caso utilizou-se o

software FEMM.

As próximas seções deste artigo são organizadas da seguinte maneira: na seção 2 será abordado o projeto do transformador, a formulação das suas dimensões e as equações da corrente de magnetização a vazio. Na seção 3 descreverá sobre o método de elementos finitos. Na seção 4 serão apresentados os resultados e discussões. Por fim, a seção 5 apresentará as considerações finais.

2 Projeto de Transformadores

2.1 Especificações de um Transformador

Para elaborar o projeto de um transformador o projetista deverá conhecer as seguintes especifica-ções (Mittle et al., 2009):

a) Capacidade nominal, em (kVA); b) Tensão nominal, em (kV);

c) Número de fases: Monofásico ou Trifásico; d) Frequência (Hz);

e) Conexões, Δ ou Y, para Transformadores

Trifásicos;

f) Tipo: Potência ou Distribuição;

g) Corrente a vazio e suas componentes; h) Perdas a vazio e no cobre.

2.2 Parâmetros do Transformador

A seguir são apresentadas as definições das dimen-sões de um transformador trifásico de núcleo de ferro (Mittle et al., 2009) e (Upadhyay, 2008):



w

W

Largura da janela (m);



w

h

Altura da janela (m);



W

Largura total do núcleo (m);



H

Altura total do núcleo (m);



d

Diâmetro interno do círculo limite do enrola-mento (m);



y

A

Área da secção transversal do jugo (m2);



i

A

Área da secção do núcleo (m2);



y

h

Altura do jugo (m);



D

Distância entre os centros de dois núcleos adja-centes (m);



c

W

Largura do núcleo.

A fim de se ter um melhor entendimento das grandezas descritas acima, foi elaborado com mais detalhes a Figura 1.

Figura 1. Dimensões de transformador trifásico de núcleo.

2.3 Equações de Projeto do Transformador

A seguir são apresentadas as fórmulas dos parâme-tros do transformador:

A potência Q do transformador é definida pela equação (1) (Upadhyay, 2008): 3 10 * * * * * * 33 , 3   f B Aw Kw J Q m (1) Onde:



f

Frequência (Hz);



m

B

Densidade de fluxo do núcleo (T);



J

Densidade de corrente (A/mm2);



w

K

Fator de espaço;



w

A

Área da janela (m2). O fator de espaço Kw é: 12 30 w K = + kV (2) Onde:

kV Tensão de fase do enrolamento de alta (V). A área da janela e suas componentes são calcu-ladas: * w w w A = h w (3)

)

*

9

,

0

(

)

*

2

(

D

d

=

w



(4)

A altura da janela é de 2 a 4 vezes maior do que a largura.

No transformador, a área do jugo é dada pela equação (5) (Mittle et al., 2009):

15

,

1

*

Ai

=

Ay

(5)

A densidade de fluxo magnético no jugo é:

Ay

Ai

Bm

=

By

₍₆₎

O peso total de ferro no núcleo é (Versèle et al., 2010):

*

Feri Fer Feri

Pt  V (7)

Onde:

Feri

V Volume do ferro no núcleo (m3);

Fer

 Densidade do ferro (W/m3).

Já as perdas do ferro no núcleo do transformador são dadas pela equação (8) (León et al., 2014):

Feri FER ic ic

=

P

V

w

*

*

(8) Onde: ic

W Perda específica do ferro no núcleo (W);

ic

P Perda específica no núcleo (W/kg). O volume do ferro no jugo é:

y y Fery

N

w

A

V



*

*

₍₉₎ Onde:

=

V

Fery Volume de ferro no jugo (m 3

);



y

N

Número de jugos;

A perda específica do ferro no jugo é: *

iy y Fer

W V  ₍₁₀₎

Consequentemente, a perda de ferro total é dada pela a soma das perdas específicas do núcleo e do jugo, conforme equação (11) (León et al., 2014):

iy ic i

W

W

Wtotal





(11)

2.4 Equações das Correntes a Vazio do Transforma-dor

Para suprir as perdas e a produção do fluxo magnéti-co, o primário absorve da rede de alimentação uma corrente denominada corrente a vazio (I0), cuja mag-nitude pode ser da ordem de até 6 (%) da magmag-nitude da corrente nominal (In) desse enrolamento (Mittle et al., 2009).

Considerando que a corrente a vazio tem por função o estabelecimento do fluxo magnético e o suprimento das perdas a vazio, é comum a sua de-composição em (Ic) e (Iµ).

Assim, sendo a corrente a vazio é:

2 2

0

I = I Ic (12)

Onde:

IcComponente ativa, responsável pelas perdas no núcleo, da corrente a vazio (A);

I Componente reativa, responsável pela produ-ção do fluxo magnético principal, da corrente a vazio (A).

A seguir são apresentadas as correntes compo-nentes das perdas no núcleo:

1

3*

wi Ic =

V (13)

A corrente de magnetização é calculada baseada na densidade de fluxo máxima (Bm). Portanto, o va-lor rms da corrente de magnetização, é (Upadhyay, 2008): 1

N

ATT

=

I

_{ (14)} Onde: 1

N Número de voltas no primário.

A curva B-H característica do Ferro é mostrada na Figura 2.

Figura 2. Curva B-H do ferro do núcleo do transformador.

3 Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em métodos numéricos diferentes que aproximam a so-lução de problemas resolvidos por equações diferen-ciais pardiferen-ciais (EDP) ou ordinárias (EDO) através da subdivisão da geometria em elementos menores, de-finidos como elementos finitos, nos quais a aproxi-mação da solução exata resolve por interpolação de uma solução aproximada (Malagoni, 2012). A seguir são definidas as etapas para aplicação do MEF.

Etapas para aplicação do Método dos Elementos Finitos:

A) Pré-Processamento:

 Definir o problema;

 Discretizar o domínio em elementos; B) Processamento:

 Obter as equações e escolher a função de aproximação;

 Acrescentar as condições iniciais e de contorno;

 Solucionar o sistema linear; C) Pós-Processamento:

 Apresentar os resultados;

Mesmo que o método tenha sido originalmente desenvolvido para a análise de sistemas estruturais, tem sido utilizado no estudo de engenharia, nos do-mínios do eletromagnetismo, transmissão de calor, de massa e na eletrostática, dentre outros. Além de sua adequação à programação em computadores di-gitais, à sua eficiência e flexibilidade, o MEF tem hoje uma grande difusão tanto no meio acadêmico como no industrial, estando disponível em grande número os softwares existentes no mercado: livre (FEMM e GMSH/GETDP) e comercial (ANSYS, COMSOL, FLUX 3D, etc.).

A seguir são estabelecidas as equações de

Maxwell, a lei de comportamento do material e as

condições de contorno para problemas magnetostáti-cos.

3.1 Equações de Maxwell

Todos os fenômenos eletromagnéticos são descritos por equações clássicas de Maxwell. Estas constituem um sistema de equações diferenciais parciais que ligam os fenômenos magnéticos e os fenômenos elé-tricos, que unificam todos os princípios do eletro-magnetismo (Malagoni, 2012). Para o modelo mag-netostático essas equações são:

J

=

H

rot

₍₁₅₎

0



B

div

₍₁₆₎ Onde:

H = Campo magnético (A/m);

J= Densidade de corrente de condução (A/mm2);

B= Densidade de fluxo magnético (T).

As equações (15) e (16) são respectivamente ge-neralização da Lei de Ampère e Lei de Gauss Mag-nética. Formam juntas as representações matemáticas do mesmo fenômeno físico: o campo eletromagnéti-co.

3.2 Lei de Comportamento do Material

A modelagem completa de fenômenos relacionados ao eletromagnetismo exige as leis de comportamento dos materiais, que estabelecem a relação entre cam-pos elétricos e magnéticos e o meio em que estão inseridos (Malagoni, 2012). A relação constitutiva é dada pela seguinte equação:

H

=

B





*



(17)

Onde:

= Permeabilidade magnética do material (H/m). Em geral, o comportamento dos materiais em modelos constitutivos que incluem um ou mais com-portamentos agrupa-se como os referidos em elasti-cidade, viscoelasticidade e outros.

3.3 Condições de Contorno

As condições de contorno devem ser aplicadas sobre a fronteira do domíniopara assegurar a unicidade

da solução. Conforme o problema considerado, elas podem ser relativas à componente tangencial de H . Na Figura 3 é apresentada a fronteirado domínio global para grandezas magnéticas.

Figura 3. Domínio estudado: grandezas magnéticas.

Nas superfícies



H e



B de



, as grandezas

magnéticas definem-se as seguintes condições:

0





H

H

n

₍₁₈₎

0





B

B

n

₍₁₉₎ H B     ₍₂₀₎

As condições de contorno homogêneas sobre os campos ocorrem por duas razões (Malagoni, 2012):

 Físicas: são condições associadas aos

mate-riais idealizados ou no infinito. Por exem-plo, a equação (18), é para os materiais magnéticos perfeitos, ou seja, de permeabi-lidade infinita;

 Simetria: são fixas as direções dos campos.

4 Resultados e discussões

Este trabalho foi elaborado para projetar as dimen-sões e calcular as correntes de magnetização a vazio de um transformador trifásico de potência, tipo nú-cleo com as especificações de acordo com a Tabela 1.

Tabela 1. Especificações do transformador.

Simbolo-gia Grandeza Valores

Q

Potência 50 (MVA) V1/V2 Relações de tensão 66/132



_{Eficiência 99 (%)}

f

Frequência 50 (Hz) m

B

Densidade de Fluxo no núcleo na AT 1,55 (T) y

B

Densidade de Fluxo no jugo 1,336 (T)

k

Relação de espiras 0,56 t

k

Constante de empi-lhamento 0,67

J

Densidade de

corren-te nos condutores 3,5 (A/mm 2

)

Primeiramente, foram calculadas as dimensões do transformador, a Tabela 2 mostra os valores

obti-H

dos através dos cálculos analíticos, utilizando o pro-grama OCTAVE.

Tabela 2. Dimensões calculadas no projeto do transformador.

Simbolo-gia Grandeza Valores

w

W

Largura da janela 2,0530 (m)

W

Largura total do núcleo 4,9748 (m) w

H

Altura da janela 4,1059 (m)

H

Largura total do _núcleo 4,7728 (m)

d

Diâmetro interno do enrolamento 0,3222 (m) itotal

W

Perdas totais no núcleo 16,33 (KW) A perda

W

_itotal é a somatória das perdas no nú-cleo e jugo.

As componentes das correntes de magnetização foram as seguintes: Ic=0,1427 (A); Iµ=0,7865 (A) e

Io= 0,7993 (A).

O valor da corrente de magnetização Io e os de-mais resultados das dimensões calculadas através do programa OCTAVE foram utilizados para simular os valores da densidade de fluxo magnético no núcleo e no jugo através do software FEMM.

As dimensões do transformador calculadas no projeto foram desenhadas no FEMM, conforme mos-tra a Figura 4.

Figura 4. Projeto simulado no FEMM.

Destacaram-se alguns pontos (1, 2, A, B e C) no núcleo e no jugo do transformador na Figura 4. Após desenhar o transformador, gerou-se a malha no do-mínio e por fim analisou-se o pós-processamento no FEMM.

A Figura 5 mostra a visualização do resultado da densidade de fluxo magnético no núcleo e no jugo do transformador.

Plotaram-se os gráficos dos mesmos. No caso, os pontos 1 e 2 mostram as densidades de fluxo magnético no jugo e os pontos A, B e C mostram as densidades de fluxo magnético no núcleo do

trans-formador. As Figuras 6 e 7 mostram os gráficos ge-rados.

Figura 5. Resultado do pós-processamento no FEMM (Densidade de Fluxo Magnético).

Figura 6. Gráfico da densidade de fluxo magnético no jugo nos pontos 1 e 2.

Figura 7. Gráfico da densidade de fluxo magnético no núcleo nos pontos A, B e C.

Já a Tabela 3 apresenta os resultados obtidos e o erro entre os valores inseridos no projeto e os da simulação.

Tabela 3. Resultados das densidades de fluxo magnético no núcleo e no jugo do transformador antes e depois da simulação.

Simbolo-gia Projeto Simulado Erro

m

B

1,55 (T) 1,52 (T) 1,93 (%) y

B

1,34 (T) 1,32 (T) 1,49 (%) 1 2 A B C 1 2 A B C

A Tabela 4 compara os valores do núcleo do transformador projetado com o catálogo do tanque de um transformador real de mesma potência e níveis de tensão.

Tabela 4. Resultados das dimensões do projeto e das dimensões de um tanque de transformador real.

Simbologia Dimensões do núcleo Projetado Tanque de Trafo real Folga (%)

W

4,9758 (m) 5,680 (m) 14,15 H 4,7728 (m) 5,580 (m) 16,84

Pode-se concluir que, após a simulação do pro-jeto do transformador no software FEMM, as densi-dades de fluxo magnético foram próximas e os erros foram abaixo de 2 (%). Além disso, constata-se que, para o estudo de caso analisado, o projeto analítico e a simulação em elementos finitos foram eficazes para análise dos resultados.

A fim de avaliar a confiabilidade dos resultados das dimensões do núcleo calculado e devido ao fato da dificuldade de encontrar os valores reais do nú-cleo de um transformador, de mesmas características, nos catálogos de fabricantes. Os resultados obtidos para o projeto do núcleo do transformador foram comparados com o tanque de um transformador real e foi verificado que as dimensões são bem próximas para inserir o núcleo projetado no tanque de um transformador real, de forma que com algumas pe-quenas adequações nas dimensões do tanque pode-se inserir o núcleo projetado.

5 Conclusões

A metodologia proposta é importantíssima para de-terminar as dimensões de projeto de transformador. A mesma foi importante também para determinar a corrente de magnetização a vazio e suas componen-tes. Por fim, determinou-se as perdas no núcleo do transformador.

Os resultados obtidos das dimensões do trans-formador e as correntes a vazio através do programa OCTAVE, foram utilizados para simular as densida-des de fluxo magnético no núcleo e no jugo do trans-formador que apresentaram valores muito próximos do esperado.

Os erros referentes ao projeto e a simulação das densidades de fluxo magnético no núcleo e no jugo foram respectivamente de 1,93 (%) e 1,49 (%). Os resultados obtidos e comparados entre o calculado e a simulação demonstram uma boa eficiência das fer-ramentas utilizadas, as quais, poderão contribuir muito para os projetos de transformadores.

Como propostas de trabalhos futuros, pode-se citar a utilização de técnicas de otimização para

má-quinas elétricas para minimizar custos e maximizar a eficiência energética.

Agradecimentos

A autora Juliana Almansa Malagoli agradece à CAPES pelos recursos destinados ao desenvolvimen-to deste trabalho de pesquisa.

Referências Bibliográficas

Amoiralis, E. I., Tsili, M. A., Georgilakis, P. S., Kla-das, A. G., Souflaris, A. T. (2008). A parallel mixed integer programming-finite element method technique for global design optimization of power transformers. IEEE Transactions on Magnetics, 44(6), 1022-1025.

Chaves, C. S., Saraiva, E., Camacho, J. R., Chaves, M. L. R. (2009). Análise da Distribuição de Flu-xo Magnético em Transformadores de 3 Colunas Utilizando o Programa FEMM, CEEL, Uberlân-dia-MG, Brasil.

Faiz, J., Ebrahimi, B. M., Noori, T. (2008). Three-and two-dimensional finite-element computation of inrush current and short-circuit electromag-netic forces on windings of a three-phase core-type power transformer. IEEE Transactions on Magnetics, 44(5), 590-597.

Fitzgerald, A. E., Kingsley Jr., C., Umans, S. D. (2013). Electric Machinery. McGraw-Hill Higher Education.

León, F., Purushothaman, S., Qaseer, L. (2014). Leakage Inductance Design of Toroidal Transformers by Sector Winding. IEEE Transactions on Power Electronics, 29(1), 473-480.

Malagoni, J. A. (2012). Os Elementos Finitos no Estudo de Eletromagnetismo Utilizando os Sof-tware Gmsh/GetDP. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Brasil. Malagoli, J. A., Lobato, F. S., Camacho, J. R.,

Ferreira, J. H. I. (2014). Projeto de Transforma-dor Monofásico Utilizando o Algoritmo de Evo-lução Diferencial. Blucher Mathematical Pro-ceedings, 1(1), 280-290.

Mittle , V. N., Mittal , A., (2009). Design of Electrical Machines. Standard Publishers Distributors, Delhi.

Upadhyay, K. G. (2008), Design of Electrical Machines. New Age International Publishers. New Delhi, India.

Versèle, C., Deblecker, O., Lobry, J. (2010). Multiobjective optimal design of transformers for isolated switch mode power supplies. In Power Electronics Electrical Drives Automation and Motion (SPEEDAM), International Symposium on (pp. 1687-1692). IEEE.