ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS
Prova Final de Estatística I
Curso: Graduação
Data: Junho / 2011
Professores: Felipe Zambaldi, Francisco Aranha, Nelson Barth Nome do Aluno
Assinatura
Nome do Professor Turma
Instruções:
É proibida a consulta a quaisquer materiais.
É proibido o intercâmbio de quaisquer informações ou materiais entre os alunos.
Não soltar o grampo das folhas.
Se você precisar se ausentar da sala, a prova deverá ser encerrada e entregue.
Calculadoras são permitidas. São proibidos computadores, celulares, smartphones e quaisquer outros equipamentos que permitam comunicação (os alunos devem colocar esses itens na parte da frente da sala de prova).
A prova deverá ser respondida no cartão de leitura ótica:
deverão ser entregues ao professor: o cartão de leitura ótica e as folhas de prova;
o cartão de leitura ótica deve ser preenchido com caneta esferográfica preta ou azul;
NÃO RASURAR;
seu código (que consta do topo do cartão) deve ser assinalado na área apropriada;
confira se seu código está correto nas folhas de provas;
assinalar uma e somente uma alternativa por questão;
Q1. As notas na prova final de estatística no Massachussets Institute of Technology tem distribuição normal
com média 6 e desvio-padrão 2. A probabilidade de que um aluno seja reprovado (nota inferior a 5) é aproximadamente: a) 0 b) 20% c) 80% d) 70% e) 30%
Q2. Uma empresa de cartões de crédito desenvolveu um novo programa de premiação destinado a 5% dos
clientes, a saber, aqueles com os maiores gastos em 2010. Assim, determinou-se que os clientes que gastaram mais do que R$ 7.000,00 seriam premiados. Os gastos dos clientes seguem uma distribuição normal com média R$ 4.000,00. Qual é o desvio padrão do valor das contas?
a) aproximadamente R$ 2.000 b) aproximadamente R$ 1.530 c) aproximadamente R$ 1.000 d) aproximadamente R$ 1.830
e) faltam informações para que o desvio-padrão possa ser determinado
Q3. O tempo de espera X (em minutos) em uma fila de atendimento segue uma distribuição exponencial,
cuja Função Densidade de Probabilidade está representada abaixo. A probabilidade de passar menos de 9 minutos na fila está:
a) entre 0% e 15% b) entre 15% e 30% c) entre 45% e 60% d) entre 30% e 45% e) acima de 60%
Q4. Na questão Q3, a probabilidade de passar mais tempo na fila do que a “média + 1 desvio-padrão” é
aproximadamente igual a (não use Chebyshev): a) 86,5%
b) 13,5% c) c) 15,9% d) 34,1% e) 65,9%
Q5. Se, de uma população muito grande, retirarmos inúmeras amostras com 1000 observações cada, então
a variância da média amostral será dada por Var(X) / 1000. Por quê? Assinale a melhor alternativa.
a) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância da média amostral será igual à variância da população dividida por n, onde n é o tamanho da amostra. 0,05
b) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, as médias amostrais terão a mesma distribuição que a população (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância das médias amostrais será n-1 vezes menor que a variância da população, onde n é o tamanho da amostra. Como n é grande, o uso de n-1 ou n gera pouca diferença.
c) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a variância em cada amostra tenderá a zero conforme se aumenta o número de amostras (pelo Teorema do Limite Central). Como estamos lidando com 1000 amostras sem repetição, então segue que a variância da média amostral será um milésimo da variância da população (desde que haja a independência).
d) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que o desvio-padrão da média amostral será igual ao desvio-padrão da população dividido por n, onde n é o número de amostras.
e) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância da média amostral será n vezes menor que a variância da população, onde n é o número de amostras retiradas da população.
Q6. A FGV está estudando a compra de lâmpadas para os projetores. Para verificar se a lâmpada se
comporta segundo as especificações, isto é, se ela dura 1.000 horas, foram realizados testes de duração de várias lâmpadas. Nestes testes, o tempo até a cada lâmpada queimar foi registrado, formando uma amostra de tempos. Considere as seguintes afirmações:
I) quanto maior for o tamanho da amostra, menor a variabilidade da média amostral; II) quanto maior for o tamanho da amostra, maior a variabilidade da média amostral;
III) quanto maior for o tamanho da amostra, mais próxima de 1.000 horas estará a média amostral; IV) quanto maior for o tamanho da amostra, menor será a margem de erro;
V) quanto mais longe a média amostral estiver de 1.000 horas, mais evidência haverá de que o interruptor
não atende às especificações. Assinale a alternativa certa:
a) As afirmações I, III e IV estão sempre corretas. b) As afirmações II, III, IV e V estão sempre corretas. c) As afirmações II, IV e V estão sempre corretas. d) A afirmação III é a única que está sempre correta. e) As afirmações I, IV e V estão sempre corretas.
Q7. Uma loja planejou vender, em média, 100 iPADs por dia, com um desvio-padrão de 10 aparelhos e
distribuição normal. O departamento de compras decidiu confirmar se as vendas estão ocorrendo conforme o planejado, pois suspeita que, com a crise financeira, elas tenham caído. Para decidir se reduz suas encomendas ou não, observou as vendas de 10 dias, considerando-as observações independentes. Assumindo
= 10%
, realizou então um teste da hipótese H0: venda diária média = 100 aparelhos contraHa: venda diária média < 100 aparelhos. Assinale a melhor alternativa:
a) Se o valor-p do teste der 6%, então não haverá indícios de queda nas vendas. b) Se o valor-p do teste der 6%, então haverá indícios de queda nas vendas.
c) Se a região de rejeição incluir a média de vendas nos 10 dias observados, então deve-se rejeitar a hipótese alternativa.
d) Se a região de rejeição não incluir a média de vendas dos 10 dias observados, então deve-se aceitar a hipótese alternativa.
e) Se a região de rejeição incluir o valor-p do teste, deve-se reduzir as encomendas (ressalvando-se que existe 10% de probabilidade de subestimação das vendas).
Q8. Uma empresa de importação e exportação trabalha com a informação de que em média seus
executivos fazem 15 viagens internacionais por ano, com desvio-padrão de 6 viagens. Como há dúvidas sobre essa média (para mais ou para menos), determinou-se uma amostra aleatória de 36 executivos e verificou-se que, nessa amostra, em média os executivos fizeram 12 viagens em um ano. Sendo X: número de viagens anuais de um executivo e fazendo um teste de hipótese com H0: = 15 e HA: 15,
utilizando-se = 5%, conclui-se que:
a) |Z| = 3 e |Zcrítico| = 1,65. Não se rejeita H0.
b) |Z| = 3 e |Zcrítico| = 1,65. Rejeita-se H0.
c) |Z| = 3 e |Zcrítico| = 1,96. Rejeita-se H0.
d) |Z| = 3 e |Zcrítico| = 1,96. Não se rejeita H0.
e) |Z| > 3 e |Zcrítico| = 1,65. Rejeita-se H0.
Q9. Se X e Y são variáveis independentes, então (assinale a alternativa correta):
a) Var(2X-2Y) = 4.Var(X) + 4.Var(Y) b) Var(2X-2Y) = 4.Var(X) - 4.Var(Y) c) Var(2X+2Y) = 2.Var(X) + 2.Var(Y) d) Var(X+Y)2 = Var(X2) + Var(Y2) e) Var(X+Y)2 = 2.Var(X) + 2.Var(Y)
Q10. Duas ações da Bovespa têm correlação igual a –0,4. A variância do retorno diário da ação 1 é 1,21 e a
variância do retorno diário da ação 2 é 1,44. Calcule a variância de uma carteira com 20% da ação 1 e 80% da ação 2. a) aproximadamente 1,30 b) aproximadamente -0,09 c) aproximadamente 0,75 d) aproximadamente 0,64 e) aproximadamente 0,80
Q11. Uma indústria alimentícia produz chocolate em barra. Com relação à produção de 2010, o peso médio
do conteúdo da barra é de 250g e o desvio-padrão desse peso é de 5g (distribuição normal). Foi coletada uma amostra de 25 barras e calculou-se o peso médio dessa amostra.
I. De todas as barras de chocolate produzidas por esta indústria, 95% delas terão peso dentro do intervalo com 95% de confiança para a média.
II. O intervalo de 99% de confiança com base nessa amostra será mais largo do que um intervalo de 95% de confiança.
III. Se, a partir de muitas amostras de 25 barras de chocolate, construirmos intervalos de 95% de confiança, todos os intervalos com certeza incluirão o valor do peso médio da respectiva amostra.
IV. Se, a partir de muitas amostras de 25 barras de chocolate, construirmos intervalos de 95% de confiança, estes com certeza incluirão o valor de 250 g mencionado no enunciado.
a) As afirmativas I e III estão corretas. b) As afirmativas I e IV estão corretas. c) As afirmativas II e III estão corretas. d) As afirmativas I, III e IV estão corretas. e) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
Q12. Deseja-se estimar a quantidade média de horas mensais de uso do Facebook pelos paulistas. No
planejamento da pesquisa, deseja-se estimar esta média com margem de erro de 0,5 horas, e 99% de confiança. Admita que o desvio-padrão do número de horas é 3. Qual deve ser, aproximadamente, o tamanho da amostra? (escolha a alternativa que mais se aproxime)
a. 195 entrevistados b. 16 entrevistados c. 239 entrevistados d. 14 entrevistados e. 152 entrevistados
Q13. O seguinte teste de hipóteses sobre uma população foi feito:
H0: μ 100;
HA: μ > 100.
A média amostral encontrada foi 105 e o valor-p obtido no teste foi 0,01. Isto significa que: a) a probabilidade de a média populacional ser diferente de 105 é 0,01;
b) se H0 for falsa, a probabilidade de se observar uma média amostral maior que 105 é 0,01;
c) a probabilidade de a média populacional ser maior que 100 é 0,01;
d) se H0 for verdadeira, a probabilidade de se observar uma média amostral maior que 105 é 0,01;
e) a probabilidade de a média populacional ser menor que 100 é 0,01.
Q14. (McClave) A quantidade de dinheiro arrecadada na lanchonete de uma universidade foi anotada
diariamente nos últimos 5 anos. Suponha que a média populacional seja 2500 e o desvio-padrão populacional seja 400. A distribuição da quantidade de dinheiro arrecadada é assimétrica devido a dias em que há jogos na universidade. Suponha que 100 dias desses 5 anos foram selecionados aleatoriamente e a média amostral foi calculada. Qual das alternativas abaixo descreve a distribuição de probabilidade dessa média amostral?
a) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 400 b) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 4 c) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 40 d) Assimétrica com média 2500 e desvio-padrão 400
e) Assimétrica com média 2500 e desvio-padrão 40
Q15. Com relação a testes de hipóteses, assinale a alternativa verdadeira:
a) A Estatística da Amostra é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula.
b) O Valor-p do teste é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula.
c) O Valor Crítico é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula.
d) O Valor-p é sempre maior que a região crítica em testes unicaudais. e) O Valor-p é sempre maior que a região crítica em testes bicaudais.
Q16. Acredita-se que os atrasos de um trem seguem uma distribuição contínua, com formato
aproximadamente triangular, com média de 0 minutos. Se o trem adianta, entende-se que houve atraso negativo. Assim, acredita-se que, em média, o trem nem atrasa nem adianta. Um técnico em trens suspeita dessa média 0 e quer fazer um teste bicaudal: Ho: μ=0 e Ha: μ≠0 . Anotou os atrasos (e adiantamentos) de uma amostra aleatória simples de 100 chegadas do trem. Nesses 100 trens, a média de atraso foi de 1 minuto. Sabe-se que o desvio-padrão dos atrasos do trem é de 10 minutos. O valor-p do teste é aproximadamente:
b) Impossível calcular, visto que os atrasos não seguem uma distribuição normal c) 5%
d) 16% e) 32%
Q17. Na Atividade Monitorada II, vocês puderam verificar que:
a) quanto maior for o número de amostras simuladas, maior será a precisão do estimador da média populacional μ;
b) a precisão do estimador da média populacional μ independe do tamanho da amostra de tickets, visto que há independência na amostragem;
c) quanto maior for o tamanho da amostra de tickets, maior será a precisão do estimador da média populacional μ;
d) a variância de uma amostra diminui conforme aumenta o tamanho dessa amostra; e) a variância de uma amostra aumenta conforme aumenta o tamanho dessa amostra.
Folha de Consulta
Distribuição Normal
Distribuição Exponencial
Variáveis aleatórias bidimensionais
Distribuição amostral da média
Teste de hipótese sobre a média de uma população
Intervalo de confiança
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