Simulado. enem. Matemática. e suas. Tecnologias VOLUME 2 DISTRIBUIÇÃO GRATUITA

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VOLUME 2

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Simulado

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2014

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2014

(2)

Questão 1 Matemática

Gabarito: C Comentários:

A ) O aluno, ao multiplicar as dimensões do retângulo para obter a área, não multiplicou os denominadores. 101 2 125 2 12625 2 5 505 2 ⋅ = = .

B ) O aluno obteve o perímetro do retângulo ABCD. 2 101

2 125 2 101 125 +       = + .

C ) Gabarito. Para determinar a área do retângulo, primeiro é preciso determinar a distância entre os pontos A e B e entre B e C. d d A B B C , , ( ) . ( ) = + + − +    = + = = − + − −    2 3 3 2 1 5 1 4 101 2 2 3 3 2 4 2 2 2 2  = + −_ _ = 2 2 1 11 2 125 2 .

A área é dada por 101

2 125 2 12625 4 5 505 4 ⋅ = = .

D ) O aluno obteve apenas a distância entre os pontos A e B. E ) O aluno obteve apenas a distância entre os pontos B e C.

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-

-científicas, usando representações algébricas.

Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de

argumentação.

Gabarito: A Comentários:

A ) Gabarito. A equação da reta que descreve a trajetória pela rua dos Tupinambás é dada por x p y q x y x y + = → + = → + =1 4 3 1 3 4 12.

B ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x p y q x y x y + = → + = → + =1 4 3 1 4 3 12.

C ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x p y q x y x y + = → + = → + =1

4 3 1 3 4 1. (e ainda interpretou que sempre se cancela o denominador de uma fração

(3)

D ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x p y q x y x y + = → + = → + =1

4 3 1 4 3 1. (E ainda errou ao somar as duas frações e interpretou que sempre se

cancela o denominador após obter o mínimo múltiplo comum.

E ) Para chegar a este cálculo, o aluno utilizou o fato de que a equação geral da reta é y = ax + b, obteve o seguinte

sistema 0 4 3 0 = + = ⋅ +    a b a b, e ao resolvê-lo obteve b = 3 e a= − 4

3, concluindo que a equação da reta é 4x + 3y = 3.

argumentação.

Gabarito: B Comentários:

A ) O aluno interpretou que a menor distância é dada por d= (0 3− + −)2 (0 5)2 = 9 16+ = 25 5= hm=50m.

B ) Gabarito. A equação da reta é dada por _px+ = → + = → + =_qy 1 x y_{4 3} 1 3x 4y 12. A distância do ponto (0, 0) a essa

reta é d a b a b hm m p r, | | | | , . = ⋅ + ⋅ − + = −+ = = = 0 0 12 12 9 16 12 5 2 4 240 2 2

C ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por x

p y q x y x y + = → + = → + =1 4 3 1 3 4 12. A distância do ponto (0, 0) a essa reta é d a b a b hm p r, | | | | , = ⋅ + ⋅ − + = −+ = = 0 0 12 12 9 16 12 5 2 4

2 2 e não houve a compreensão de que deveria

converter o resultado obtido de hectômetros para metros.

D ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por x

p y q x y x y + = → + = → + =1 4 3 1 3 4 1. Ao calcular a distância obteve d a b a b hm m p r, | | | | , . = ⋅ + ⋅ − + = −+ = = = 0 0 1 1 9 16 1 5 0 2 20 2 2

E ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por y = ax + b. Ao obter o seguinte sistema 0 4

3 0 = + = ⋅ +    a b a b e resolvê-lo, obteve b = 3 e a= −4

3 , concluindo que a equação da reta é 4x + 3y = 3 e que a distância entre o ponto

(0, 0) e essa reta é d a b a b hm m p r, | | | | , . = ⋅ + ⋅ − + = −+ = = = 0 0 3 3 9 16 3 5 0 6 60 2 2

(4)

Gabarito: D Comentários:

A ) O aluno interpretou que a equação da circunferência é dada por

(x− ) + −(y ) = → + = r x y (x y ) .   → + = 0 0 19 2 2 19 2 2 2 2 2 2 2

B ) O aluno interpretou que 19 representa o raio.

C ) O aluno interpretou que r2_{= 2r = d. Logo, fez que a equação da circunferência é dada por}

(x−0)2+ −(y 0)2= → + = → + = → + =r2 x2 y2 2r x2 y2 d x2 y2 19.

D ) Gabarito. Como o centro é o ponto (0, 0) e o raio é r=19

2 , tem-se que a equação da circunferência é dada por

(x− ) + −(y ) =  x y (x y ) .    → + = → + = 0 0 19 2 361 4 4 361 2 2 2 2 2 2 2

E ) O aluno interpretou que a equação da circunferência é dada por

(x− ) + −(y ) = → + = r x y (x y ) (x y )    → + = → + = 0 0 19 2 2 19 2 36 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _11.

argumentação.

Gabarito: E Comentários:

A ) O aluno calculou que a área procurada é igual a A=π(5 3− )2=4π.

B ) O aluno interpretou que o raio da circunferência maior é

x2_{+ −}y2 _{2 2}₍ x y_{+ −}₁₀₎_{= → + − − − = → + − − = → =}₀ x2 y2 ₄x ₂y _{20 0} x2 y2 ₄x ₂y ₂₀ r ₁₀_{e que o raio da}

circunfe-rência menor é x2_{+ − − − = → = . Obtendo a área igual a A =}y2 ₄x ₂y _{4 0} r ₄ _π₍_{100 16}₋ ₎₌₈₄_π_.

C ) O aluno obteve a área do círculo maior. D ) O aluno obteve a área do círculo menor. E ) Gabarito. O raio da circunferência maior é

x2_{+ −}y2 _{2 2}₍ x y_{+ +}₁₀₎_{= → + − − − = → − + − + − + − −}₀ x2 y2 ₄x ₂y _{20 0} x2 ₄x _{4 4} y2 ₂y _{1 1 20}₌₌

− + − − = → − + − = → =

0

22 22 25 0 22 22 25 5

(x ) (y ) (x ) (y ) r .

O raio da circunferência menor é x y x y x x y y

x y r 2 2 2 2 2 2 4 2 4 0 4 4 4 2 1 1 4 0 2 1 9 3 + − − − = → − + − + − + − − = − + − = → = ( ) ( ) ..

(5)

argumentação.

A ) O aluno calculou C(0) e C(2).

B ) Gabarito. Como o 1 é raiz de multiplicidade 2 do polinômio, pode-se usar o método de Briott-ruffini duas vezes da seguinte maneira:

1 1 –10 32 –38 15

1 1 –9 23 –15 0

1 –8 15 0

O polinômio resultante possui grau 2 e coeficientes iguais a 1, –8 e 15. Assim, basta encontrar as raízes de

t2_{− + , que equivalem a 3 e 5.}_{8 15}t

C ) O aluno aplicou o método de Briot-ruffini apenas uma vez.

1 1 –10 32 –38 15

1 1 –9 23 –15 0

D ) O aluno obteve a soma dos coeficientes do polinômio, resultante da aplicação dupla do método de Briot-ruffini (8) e calculou C(2).

E ) O aluno obteve a soma dos coeficientes do polinômio resultante da aplicação dupla do método de Briot-ruffini (8) e calculou C(0).

argumentação.

A ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa, e na afirmativa III, ao substituir a abscissa do ponto na expressão da função, não elevou esse valor ao quadrado, e concluiu que o valor da ordenada é igual a 0.

(6)

B ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Fazendo x=5 2 , ob-tém-se f x( )= 5 − + = − + = . 2 5 5 2 6 25 4 15 2 6 1 4 2

Na afirmativa III, ao substituir a abscissa do ponto na expressão da função, não elevou esse valor ao quadrado e concluiu que o valor da ordenada é igual a 0.

C ) Gabarito. A equação possui quatro raízes. Fazendo |x| = y, tem-se que as raízes da equação y2_{– 5y + 6 são 2 e 3.}

Assim, as raízes da função f x( ) | |= x2−₅| |x +_{6 , são}| |

| | x x x x = ⇔ = ± = ⇔ = ± 2 2 3 3, logo I é falsa.

Calculando um dos pontos de mínimo, tem-se que x b

a v= − = 2 5 2 e yv = − + = − + = − 25 4 25 2 6 25 50 24 4 1 4. Logo, a afirmação II é verdadeira. Se x=3 2, então f 3 2 3 2 5 3 2 6 9 4 15 2 6 9 30 24 4 3 4 2   

= − + = − + = − + = . Logo, a afirmação III é verdadeira.

D ) O aluno considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa.

E ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa.

argumentação.

A ) O aluno interpretou que deveria representar o desconto sobre um valor x, e não converteu o valor em porcentagem.

B ) O aluno interpretou que deveria representar o desconto sobre um valor x.

C ) O aluno interpretou que o desconto e a expressão que representa o valor a ser pago, após o desconto, equivalem

a 100 0 03 99 97− , = , → =V 99 97, x.

D ) O aluno não converteu o valor em porcentagem para número decimal.

E ) Gabarito. O desconto é dado por 100 3 97− = %=0 97, . Logo, a expressão que representa o valor V do IPVA a ser

pago em cota única, em função do valor real x, equivale a V = 0,97x

(7)

A ) O aluno não transformou o valor em porcentagem para número decimal. Interpretando que a expressão que

relaciona P e v é P=100v− ⋅ =3 v 97 , concluindo que o coeficiente angular da reta equivale a 97.v

B ) O aluno não transformou o valor em porcentagem para número decimal. Interpretou que a expressão que relacio-na P e v é P = 3 . v, concluindo que o coeficiente angular da reta equivale a 3.

C ) O aluno interpretou que a expressão que relaciona P e v é P = 0,03 . v, e concluiu que o coeficiente angular da reta equivale a 0,03.

D ) Gabarito. A expressão que relaciona P e v é P = 0,97 . v, considerando que o desconto dado é de 3% sobre o valor original v. Logo o coeficiente angular da reta vale 0,97.

E ) O aluno interpretou que 3% equivale a 0,3, concluindo que a expressão que relaciona P e v é P = 0,3 . v e que o coeficiente angular da reta equivale a 0,3.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

A ) Gabarito. A parte imaginária y do número complexo é 10

( )

2_{= + → = −}12 _y2 _y 3_{, pois o ponto P está no}

quar-to quadrante. Logo, o número complexo Z equivale a 1 – 3i e a expressão equivale a

E i i i i E i i i E i = − − + + + = + − − + + = − ( ) ( ) . 1 3 2 1 3 1 3 2 6 1 2 4

B ) O aluno obteve apenas o número complexo Z.

C ) O aluno não obteve o conjugado do número complexo Z na expressão iz− + +2z (1 i) , fazendo

i(1 3− − − + + = + − + + + = +i) 2 1 3 1( i) i i 3 2 6 1i i 2 8i.

D ) Ao aplicar a propriedade distributiva em i(1 – 3i), o aluno obteve i(1 3_{− = − = −}i i) 3i2 i 3.

E ) O aluno interpretou que o número complexo Z é igual a 1− 10⋅i , concluindo que a expressão equivale a

i(1− 10i)− +2 1( 10i)+ + =1 i i(2 10 2+ +) 10 1− .

(8)

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu o sinal de desigualdade.

B ) Gabarito. |2x−145 45|≤ → − ≤ −45 2x 145 45≤ →100 2≤ ≤x 190→ ≤ ≤50 x 95.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno considerou que x representa a temperatura, variando entre 12°C e 23°C. D ) Para chegar a esse resultado, o aluno considerou que x representa a temperatura, variando entre 12°C e 23°C e

inverteu o sinal de desigualdade.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou apenas os dados fornecidos no enunciado, interpretando que a

expressão que representa os possíveis valores para o percentual de umidade equivale a |x−50 90|≤ .

Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

A ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por 2400

2300= , .1 04

B ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por 100 2 3

100

97 7

100 0 977

− , ₌ , ₌

, .

C ) O aluno dividiu 100 por 2,3, e em seguida interpretou que, para obter o resultado final em porcentagem, deveria dividir o resultado obtido por 100.

D ) Gabarito. A redução percentual equivale a 2400 2300

2400

100

2400 4 17

− ₌ _{≅ , .}

E ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por 2300

2400= , .0 95

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a soma entre 16:9 e 88, concluindo que a altura equivale a

88 16

9 808

9 89 7

+ = = , .

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou que 16

9 88

1408

9 156 4

(9)

C ) Gabarito. Como a largura é de 88 centímetros, tem-se que a altura obedece à proporção 16 9 , ou seja, 16 9 88 16 792 792 16 49 5 = → = → = = x x x , .

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno subtraiu 16

9 de 88, concluindo que a altura da TV equivale a

88 16

9 776

9 86 2

− = = , .

E ) Ao multiplicar 9 por 88 utilizando o algoritmo da multiplicação, o aluno não considerou as dezenas resultantes da

multiplicação entre as 8 unidades e 9, obtendo 9 . 88 = 722. Logo, 16

9 88 16 722 722 16 45 1 = → = → = = x x x , .

Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução

de problemas do cotidiano.

Habilidade ENEM: 16 – resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente

proporcionais.

A ) Gabarito. A reta determinada pela quantia y a ser paga ou restituída do imposto de um salário x de modo que r$ 3.418,60 ≤ x ≤ 4.271,59 de um trabalhador que possui três dependentes equivale a

y= ⋅ − ⋅ −x x y   = − − → = − 3 17197 22 5 100 577 515 91 0 225 577 0 22 , , , ( , ) , 55x+1092 91, .

B ) O aluno não fez a regra de sinais y= ⋅ − ⋅ −x x





= − −

3 17197 22 5

100 577 515 91 0 225 577

, , , ( , ), concluindo que o

coe-ficiente angular vale 0,225.

C ) O aluno analisou o exemplo fornecido, não fez a regra de sinais e concluiu que o coeficiente angular equivale a 0,075. D ) O aluno analisou o exemplo fornecido e concluiu que o coeficiente angular equivale a –0,075.

E ) O aluno utilizou a alíquota para um salário entre 2 563,92 ≤ x ≤ 3 418,59.

argumentação.

A ) Gabarito. Os juros após um mês equivalem a J C i t= ⋅ ⋅ =8 500 0 0527 1 447 95⋅ , ⋅ = , .

B ) O aluno interpretou que a taxa de juros é 5,24%. Assim, os juros após um mês equivalem a

(10)

C ) O aluno interpretou que o aumento de 5,27% foi dado sobre o percentual de 5,24, concluindo que a taxa equivale

a 5 27 5 24 27 6, ⋅ , = , %=0 27, . Assim, os juros após um mês são iguais a J C i t= ⋅ ⋅ =8 500 0 27 1 2 295 00⋅ , ⋅ = , .

D ) O aluno interpretou que a taxa de juros equivale a 10,51 (5,24 + 5,27). Logo, os juros após um mês equivalem a

J C i t= ⋅ ⋅ =8 500 0 1051 1 893 35⋅ , ⋅ = _{, .}

E ) O aluno interpretou que a taxa de juros equivale a (5,27 – 5,24). Logo, os juros após um mês equivalem a

J C i t= ⋅ ⋅ =8500 0 03 1 255 00⋅ , ⋅ = , .

A ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000

35 =200% da quantidade de

cafeína presente na xícara de café instantâneo.

B ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000

50 =140% da quantidade de

cafeína presente na xícara de café instantâneo.

C ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 3300

35 = , % da quantidade 94 28

de cafeína presente na xícara de café instantâneo.

D ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 3500

33 =106 06, % da quantidade

de cafeína presente na xícara de café instantâneo.

E ) Gabarito. A cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000

33 =212 12, % da quantidade de cafeína

presente na xícara de café instantâneo.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por

J C i t t t t = ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ → = 10000 5000 5000 5 24 100 5000 5000 0 0524 19 , , .

(11)

B ) Gabarito. O montante é determinado por M C it t t = + → = + = → = ( ) ( , ) ( , ) ( , 1 10000 5000 1 0 0527 10000 5000 1 0527 2 1 05227 2 1 0527 2 1 0527 0 3 4 023 4 0 3 0 02 )

log log( , ) log

log , , , , , t t _t t = → = = − = 22= ,13 6 .

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por

J C i t t t t = ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ → = 10 000 5 000 5 000 10 51 100 5 000 5 000 0 1051 9 5 , , , ..

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por

J C i t t t t = ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅ = ⋅ → = 10 000 5 000 5 000 0 03 5 000 150 33 3 , , .

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por

M C i t t t t = + → = + = → = ( ) ( , ) , , 1 10000 5000 1 0 0527 10000 5263 5 10000 5263 5==189, .

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor gasto com aluguel equivale a 0,10 . S. Um aumento

de 28% sobre esse valor corresponde a 128 0 10, ⋅ , ⋅ =S 0 128, ⋅S Considerando que o salário aumentará 7%, tem-se .

que o novo valor corresponde a 1,07 . S.

Assim, o valor a ser pago no aluguel será equivalente a 0 128

1 07 0 1196 1196 , , , , %. ⋅ ⋅ = = S S

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a porcentagem do salário a ser gasta com aluguel equivale

a 12%+0 28 0 07 100, ⋅ , ⋅ %= +12 196 13 96, = , %.

C ) Gabarito. Considerando como S o salário, o valor gasto com aluguel equivale a 0,12 . S. Um aumento de 28% sobre

esse valor corresponde a 128 0 12, ⋅ , ⋅ =S 0 1536, ⋅S Considerando que o salário aumentará 7%, tem-se que o novo .

valor corresponde a 1,07 . S.

Assim, o valor a ser pago no aluguel será equivalente a 0 1536

1 07 0 1435 14 35 , , , , %. ⋅ ⋅ = = S S

(12)

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno somou 28% com 7%, obtendo 35% como percentual do salário que será gasto com aluguel.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual do salário que será gasto com aluguel equivale

a 12 28

7 12 4 16

+ = + = %.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como foi dado um desconto de 70%, para se ter o valor original deve-se acrescer o equivalente a 70% do valor atual.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o percentual referente ao preço do produto após o desconto.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou: 0 3

0 7 0 4285 42 85 , , , , %. ⋅ ⋅ = = V V

D ) Gabarito. representando por V o valor original de um produto, após um desconto de 70% o valor equivale a 0,3 . V.

O valor original agora representará o equivalente a V

V

0 3, ≅3 33 333, = % do valor com desconto. Então deve ser

acrescido 233% sobre o valor com desconto.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como foi dado um desconto de 70%, para se ter o valor original deve-se acrescer o equivalente a 170% do valor atual.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo

118 5 5 6 49 6 5, ⋅ , = , ≅ , .

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo

110 5 5 6 05 6, ⋅ , = , ≅ .

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo 322 7

69 62 4 63

,

, = , .

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo 110 322 7 118 59 354 97 69 62 5 09 5 1 , , , , , , , . ⋅ ⋅ = = ≅

E ) Gabarito. Considerando o acréscimo no número de vagas e no número de candidatos, tem-se que a nova relação

candidato/vaga equivale a 118 322 7 110 59 5 86 5 9 , , , , , . ⋅ ⋅ = ≅

(13)

proporcionais.

A ) Gabarito. Se o número que representa 87% do quadro atual de temporários na rede pública de ensino equivale a

43 mil, então a quantidade total equivale a 4300

87 = , .49 42

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de

tem-porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 5900

87 = , .67 81

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de

13 =453 8, .

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de

13 =330 7, .

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de tem-porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 322 7 100

87 370 9

,

, .

⋅ ₌

A ) O aluno multiplicou 5,4 por 5. B ) O aluno adicionou 5,4 e 5.

C ) Gabarito. O percentual total de reajuste é dado por 1,054 . 1,05 = 1,1067, representando um aumento de 1 – 1,1067 = 0,1067 = 10,67%.

D ) O aluno interpretou que o total de reajuste é dado por 1,054 . 0,05 = 0,0527 = 5,27. E ) O aluno interpretou que o total de reajuste é dado por 0,054 . 1,05 = 0,0567 = 5,67.

(14)

A ) O aluno considerou o valor de depreciação no lugar do valor restante após o “desconto”.

B ) O aluno considerou que, no ano de lançamento do veículo, já ocorreu depreciação de 3%. No primeiro ano, o valor

será de V−3%⋅ =V 0 97, ⋅V. No segundo ano, 0 97_, _V₋3_{% ,}_⋅0 97_V₌_{( , )}0 972_{⋅ e assim por diante. Logo, no oitavo}_V

ano o valor do veículo será igual a V⋅( , ) .0 978

C ) O aluno considerou o valor de depreciação no lugar do valor restante, após o “desconto” e interpretou que, no ano de lançamento do veículo, já ocorreu depreciação de 3%.

D ) Gabarito. A cada ano que passa o preço do veículo é 3% menor. Considere que no primeiro ano o valor do veículo

é V. No segundo ano, o valor será de V−3%⋅ =V 0 97, ⋅V. No terceiro ano, 0 97_, _V₋3_{% ,}_⋅0 97_V₌_{( , )}0 972_{⋅ e assim}_V

por diante. Logo, no oitavo ano o valor do veículo será igual a V⋅( , ) .0 977

E ) O aluno interpretou que o carro foi lançado considerando a depreciação de 3%, concluindo que, no primeiro ano, o

valor do veículo é de 0 97_, _V₋3_{% ,}_⋅0 97_V₌_{( , )}0 972_{⋅ . Logo, no oitavo ano o valor do veículo será igual a}_V _V_{⋅( , ) .}_{0 97}9

Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual ideal de gasolina corresponde a

42 25 75 42 75 25 126 % % % % %. ↔ ↔ → = ⋅ = x x

B ) Gabarito. O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 25

75 42 75 25 126 % % % % %. ↔ ↔ → = ⋅ =

x x Logo, deve-se

acrescen-tar 126% de gasolina para que a quantidade de álcool atinja o limite de 25%. A quantidade de gasolina equivale a

58%. Em relação a este valor, 126% representa V⋅( , )0 93 ⋅100 126⋅ = , %

58 217 2

7 _{da quantidade de gasolina presente}

no reservatório. Logo, deve ser aumentado 117,2%.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual ideal de gasolina corresponde a

42 100 17 1700 42 40 4 % % % % , %. ↔ ↔x → =x =

D ) O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 ₇₅25 42 25

75 14 % % % % %. ↔ ↔ → = ⋅ = x x

E ) O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 25

75 42 25 75 14 % % % % %. ↔ ↔ → = ⋅ =

x x Logo, deve-se acrescentar 14%

de gasolina para que a quantidade de álcool atinja o limite de 25%. A quantidade de gasolina equivale a 58%. Em

relação a este valor, 14% representa 100 14

(15)

proporcionais.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o crescimento percentual da dívida externa pública. 120 83

83

37

83 0 4457 44 57

− = = , = , %.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual da dívida externa privada equivale

a 235 95

235

140

235 0 5957 59 57

− = = , = , %.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual é dado por x=21500=

318 67 61, %.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual é dado por 318 215 318 103 318 0 3238 32 38 − ₌ ₌ ₌ , , %.

E ) Gabarito. O crescimento percentual é dado por 318 215 215

103

215 0 4790 47 9

− ₌ ₌ ₌

, , %.

A ) Gabarito. O valor do PIB em 2003 corresponde a 21500

38 8, = 554,12 bilhões de dólares.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 31800

13 9, =2 287 76, bilhões

de dólares.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 21500

612, =35130, bilhões

de dólares.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 31800

86 1, =369 33, bilhões

de dólares.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 9 500

38 8, =224 84, bilhões

de dólares.

(16)

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB é equivalente a

38 8 13, − ,9 24 9= , .

B ) Gabarito. O valor do PIB em 2003 é equivalente a 21500

38 8, = 554,12 bilhões de dólares. Em 2013, o PIB equivale a

31800

13 9, =2287 76, bilhões de dólares. Logo, o crescimento percentual é igual a

2287 7 554 12 554 12 1733 58 554 12 3 128 312 8 , , , , , , , %. − ₌ ₌ ₌

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB é equivalente a 2287 7 554 12 2287 7 1733 58 2287 7 0 7577 75 77 , , , , , , , %. − ₌ ₌ ₌

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno subtraiu 215 de 318.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB equivale a 1,139 . 1,388 = 1,5809, concluindo que o aumento foi de 0,5809 = 58,09%

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o foco é uma das raízes da função y.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não interpretou que deveria apresentar a solução na ordem dada. C ) Gabarito. A equação da parábola pode ser representada por

40 40 40 40 40 20 400 40 400 20 2 2 2 2 y x x y x x y x y x = − + → − = − → − = − − − + = − → − ( ) ( ) 440₍_y₋10_{) (}_{= −}_x 20_{) .}2

Comparando esta equação com a equação geral da parábola, cuja diretriz é paralela ao eixo x com foco da diretriz

x x− p y y

(

)

= −

(

−

)

(

0

)

2

0

2 , em que o vértice é (x₀, y₀) o foco é x y₀ ₀ p

2 , −    , tem-se que p=20;x0=20;y0=10.

Logo, a equação da reta diretriz, as coordenadas do foco e do vértice equivalem respectivamente a y = 20; (20,0) e (20,10).

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a reta diretriz é tangente à parábola e paralela ao eixo x. E ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu as coordenadas do vértice e não apresentou a solução na ordem

(17)

Argu-mentação.

A ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.

B ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.

C ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.

D ) Gabarito. O centro é o ponto médio entre os focos. Como o ponto médio entre os focos dados equivale a 0,

tem-se que o centro é a origem do sistema cartesiano. Se a equação da elipse equivale a x y

2 2

25 16+ = , então 1

a = 5 e b = 4. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que c = 3 e a excentricidade da elipse é e c

a

= = =3

5 0 6, . A

afirma-ção III é falsa pois os pontos que representam as extremidades dos eixos indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui eixo maior sobre o eixo y.

E ) O aluno interpretou que a afirmação II é falsa, obtendo que a excentricidade é 9

25= , .0 36

Argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve apenas o valor de b e não multiplicou por 2. B ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o valor de a e não multiplicou por 2.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o valor de c e multiplicou o resultado por 2:

(18)

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o comprimento horizontal é dado por 2b, como b vale 12, tem-se que o comprimento equivale a 24.

E ) Gabarito. Se a equação da elipse é x y

2 2

169 144+ = . Então, o valor de a equivale a 13. Multiplicando esse valor por 1

2, obtém-se o comprimento horizontal.

Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

A ) Gabarito. O valor de a é 10 e o valor de b é 8. Assim, a área da região iluminada é igual a πab =3 14 10 8 2512, ⋅ ⋅ = , .

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno multiplicou 100 por 3,14. C ) Para chegar a esse resultado, o aluno multiplicou 64 por 3,14.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno realizou o seguinte cálculo: 100 64 3 14 113 04

(

−

)

⋅ , = , .

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu os valores de a e c, fazendo que a área equivale a

8 6⋅ ⋅ = ⋅π 48 3 14 150 72, = , .

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno utilizou a terceira relação de Girard de maneira equivocada,

interpretan-do que a b c a a ⋅ ⋅ = =1 = 3 1400 1 1400.

B ) Gabarito. A capacidade total é dada por a . b . c, em que a, b e c representam as raízes do polinômio

x3₋₇₇x2₊₁₄₀₀x₋_{2 500}_{. Utilizando a terceira relação de Girard, tem-se que a b c} a

a m

⋅ ⋅ = − =0

3

2 500 . Como o

centro de treinamento da Vila Olímpica possui uma piscina, tem-se que a capacidade total de água que pode ser armazenada equivale a 2 500 m³.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x3₋₇₇x2₊₁₄₀₀x₋_{2 500}_e

utilizou o método de Briot-ruffini

2 1 –77 1 400 –2 500

1 –75 1 250 0

(19)

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x3₋₇₇x2₊₁₄₀₀x₋_{2 500}_e utilizou o método de Briot-ruffini

2 1 –77 1400 –2500

1 –75 1250 0

E interpretou que o volume é dado pela soma dos coeficientes 1, –75 e 1 250, obtendo 1 176.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x3₋₇₇x2₊₁₄₀₀x₋_{2 500}_{e fez}

que o volume a . b . c é dado por 1400

2 =700.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a área total do paralelepípedo reto-retângulo, 2(ab ac bc+ + )=2 800.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a área total é dada por

(ab ac bc+ + )= ⋅ + ⋅ + ⋅ =50 25 50 2 25 2 1400.

C ) Gabarito. A área total é dada por 2(ab ac bc+ + ), em que a, b e c representam as raízes do polinômio

x3₋₇₇x2₊₁₄₀₀x₋_{2 500}_{. Se uma das raízes vale 2, então pelo método de Briot-ruffini, tem-se que as outras duas}

raízes são raízes do polinômio x² – 75x + 1250, ou seja, equivalem a 25 e 50.

2 1 –77 1 400 –2 500

1 –75 1 250 0

Logo, a área interna da piscina ocupada pelos azulejos corresponde a

2(ab ac bc+ + )− ⋅ =50 25 2 50 25 50 2 25 2 50 25 2 800 1250 1550( ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =) − = m22_.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve as raízes e as multiplicou, obtendo 2 500.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a área total e interpretou que a parte que fica sem azulejo correspon-de a 50 . 2 = 100. Logo, concluiu que a área revestida por azulejos corresponcorrespon-de a 2 700 m².

(20)

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio fatorado equivale a

2_{⋅ − +}₍_x2 7_x 10₎_{= ⋅ −}2 ₍_x 7₎₍_x₊10_).

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não subtraiu o comprimento ocupado por cada porta, ou seja, não subtraiu 6.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou que x2_{− + − + − =}₇x x2 ₇x _{26 6 2}x2_{+ =}_{20 2}₍x2₊₂₀_).

D ) Gabarito. O perímetro da casa onde haverá vegetação é dado por x x x x x x

x x x x 2 2 2 2 7 7 26 6 2 14 20 2 7 10 2 2 5 − + − + − = − + = ( − + )= ⋅ − ⋅ −( ) ( ).

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não subtraiu o comprimento ocupado por cada porta, ou seja, não subtraiu

6 e concluiu que o polinômio fatorado equivale a 2_{⋅ − +}₍_x2 7_x 13 2₎₌ ₍_x₋7₎₍_x₋13_).

argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que sec πt

6     é igual a –1. L t t ( ) sec = +     = − 10 000 1000 6 10 π 000 1000 = 9 000.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que sec πt

6     é igual a 1. L t t ( ) sec = +     = 10 000 1000 6 10 π 000 + 1000 = 11000.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno substituiu cos π

3     por 22 . L t t L L ( ) sec ( ) cos = +     → = + ⋅  ⋅    10 000 1000 6 2 10 000 1000 2 6 π π (( )t cos L = + ⋅    → ⋅ = ⋅ 10 000 1000 3 10 2 2 10 2 π 000 + 1000 000 + 500 (( )2 10= 000 + 705 10= 705.

(21)

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a secante é a relação inversa do seno. L t t L sen ( ) sec ( ) = +     → = + ⋅  ⋅    10 000 1000 6 2 10 000 1000 2 6 π π LL t( )= + ⋅sen   → ⋅ = 10 000 1 000 3 10 3 2 10 π 000 + 1 000 000 + 5500 000 + 850. ⋅ = = 3 2 10 850 10 L( )

E ) Gabarito. Para calcular o lucro, em reais, no mês de fevereiro, basta substituir t por 2. L t t L L ( ) sec ( ) cos = +     → = + ⋅  ⋅    10 000 1000 6 2 10 000 1000 2 6 π π (( ) cos ( t L = + ⋅    → ⋅ = 10 000 1 000 3 10 1 2 10 000 + 1000 000 + 500 π 22 10)= 500.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a afirmação II é verdadeira, fazendo

1 2 1 2 2 2 2 2 +cot _{+ +} ₌ + ₊ + cot cos cos cos g g tg tg sen sen sen sen θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 22 2 2 2 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen ⋅ + ⋅ = + θθ= θ θ ⋅ = = 1 1 1 3 3 3 9 3 3 3 sen cos .

(22)

B ) Gabarito. Pelo teorema de Pitágoras, o segmento PS vale 2 2 . Aplicando as relações trigonométricas no triângulo

retângulo OPS, tem-se que sen θ

2 1 3    = e cos θ2 2 2 3    = . cossec cos θ θ θ θ = =    ⋅     = ⋅ ⋅ = = 1 1 2 2 2 1 2 1 3 2 2 3 1 4 2 9 9 4 2 sen _sen == 9 2 8 . sec cos _cos . θ θ θ θ = =    −     = − = = 1 1 2 2 1 8 9 1 9 1 7 9 9 7 2 _sen2

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que cossecθ .

θ = 1 = =1 1 3 3 sen

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que cossecθ θ = 1 = =1 1 3 3 sen e que sec cos . θ θ = 1 = 1 = = 3 3 3 3 3

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que sec

cos . θ θ = 1 = 1 = = 3 3 3 3 3 e fez que 1 2 1 2 2 2 2 2 +cot _{+ +} ₌ + ₊ + cot cos cos cos g g tg tg sen sen sen sen θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 22 2 2 2 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen ⋅ + ⋅ = + θθ θ θ θ θ = + + ⋅ = + =

( )

+ ⋅ = + sen sen cos cos . 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3

(23)

A ) Gabarito. A quantidade será máxima quando cossec πt

12  



 for igual a 1, ou seja, quando sen

t π 12     for igual a 1. Como o sen π 2 1    = , tem-se que π π t t

12 2= → = . Como t = 0 representa o mês de janeiro, tem-se que t = 6 6

representa o mês de julho.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que t = 6 representa o mês de junho.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou a cossecante é a relação inversa do cosseno, a quantidade

máxi-ma ocorre quando o cosseno vale 1, ou seja, cos

( )

π =1. , π π= → = .

12 12

Logo t t

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que sen π

4 1    = , concluindo que π π t t 12 4= → = que representa 3 o mês de abril.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que sen π

4 1    = , concluindo que π π t t 12 4= → = que representa 3 o mês de março.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o módulo igual a cos30 2 3

2 2 4 3 3 ° = → = → = ρ ρ ρ e argumento igual a 6 π

e não multiplicou esse resultado por 2

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento equivale a

6

π

e não multiplicou esse resultado por 2. C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento equivale a

6

π_.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno não multiplicou o argumento por 2.

E ) Gabarito. O módulo do número complexo é cos30 2 3

2

2 4 3

3

° = → = → =

ρ ρ ρ e o argumento é dado por

180 30 210 7

6

°+ ° = ° = π. O quadrado desse número é | | cos( )z 2 ₂ i sen( )₂ 16 cos i sen .

3 7 3 7 3 θ + ⋅ θ π π

[

]

=  + ⋅   

(24)

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento do número complexo é 3 π .

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o módulo do número complexo é ρ2_{= + → =}_{3 1}2 2 ρ ₁₀_.

C ) Gabarito.

O módulo do número complexo é dado por ρ2=

( )

3 2+ → = . O argumento θ é 27012 ρ 2 60 330 11

6

°+ ° = ° = π.

Logo, a forma trigonométrica do número complexo z é z=  + ⋅i sen

   2 11 6 11 6 cos π π .

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento do número complexo é 3 π

, e que o módulo do

número complexo é ρ2_{= + → =}_{3 1}2 2 ρ ₁₀_.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento é igual a

( )

3 2_{= + → =}_ρ2 12 _ρ 2_.

argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z₁ é igual a –2 + 2i, e o número

complexo z₂ é igual a 1+ ⋅i 3. A expressão i z⋅ +₁ 3i z

( )

₂−1 2 equivale a +

i⋅ − + +( 2 2i) 3 1i

(

− ⋅i 3 1 2−

)

+ = − + + −2 2 3 3 3 3 2i i − + = − −i 2 3 3 4i + .

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não obteve o conjugado do número complexo z₂.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z₁ é igual a –2 + 2i e o número

complexo z₂ é igual a 3+i . A expressão i z⋅ +₁ 3i z

( )

₂−1 2 equivale a +

i

⋅ − + +

(

2 2

i

)

3 i

(

3 − −

i

1 2

)

+ = − − + −

2 2 3 3 3 3 3 2

i

+ − + = − −

i

2 3 3 3

i

+

.

D ) Gabarito. O número complexo z₁ é igual a –2 + 2i e o número complexo z₂ é igual a 1+ ⋅i 3. A expressão

i z⋅ +₁ 3i z

( )

₂−1 2 equivale a i+ ⋅ − + +( 2 2i) 3 1i

(

− ⋅i 3 1 2−

)

+ = − − + +2 2 3 3 3 3 2i i − + = − +i 2 3 3i .

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z₁ é igual a –2 + 2i e o número

complexo z₂ é igual a 3+i . A expressão i z⋅ +1 3i z

( )

2−1 2 equivale a +

(25)

argumentação.

A ) Gabarito. Como –2 é raiz de P(x), utilizando o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios, tem-se que

–2 2 15 40 40 0 –16

–2 2 11 18 4 –8 0

–2 2 7 2 –4 0

–2 2 3 –2 0

Logo, a multiplicidade da raiz –2 é 4, pois divide o P(x) quatro vezes.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou o grau do polinômio e interpretou que –2 divide P(x) 5 vezes. C ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios duas vezes. D ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios três vezes. E ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios uma vez.

argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente, e concluiu que o perímetro total sempre aumenta 3 = 300% em relação ao perímetro total anterior.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente, e concluiu que o perímetro total sempre aumenta 3% em relação ao perímetro total anterior.

C ) Gabarito. O triângulo original possui perímetro igual a 3. Após uma iteração (repetição), restam três triângulos equiláteros cujos lados equivalem à metade do lado do triângulo original, ou seja, o perímetro total destes três

triângulos é 3 1

2 3 3

1 2

2

⋅ ⋅ = ⋅ . Após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos equiláteros cujos lados medem 1

4 do lado do triângulo retângulo original, ou seja, o perímetro total destes 9 triângulos é igual a 3

1 2

3 2

⋅ . Assim,

pode-se concluir que a cada repetição, o perímetro total representa 3

2 do perímetro original, ou seja, houve um

(26)

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como o lado do triângulo sempre será dividido ao meio, o perímetro total aumenta 150% em relação ao perímetro total anterior.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não converteu o número decimal 3

2 em porcentagem.

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas,

usando representações algébricas.

argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente, e concluiu que a área total sempre aumenta 3% em relação ao perímetro total anterior.

B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos

equi-láteros cujos lados medem 1

4 do lado do triângulo retângulo original, ou seja, a área total destes 9 triângulos

representa 25% da área total anterior.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como o lado do triângulo sempre será dividido ao meio e a área total ficará multiplicada por 4, representando um aumento de 4% em relação à área total anterior.

D ) Gabarito. O triângulo original possui lado igual 1 e área igual a 3

4 . Após uma iteração (repetição), restam três

triângulos equiláteros, cujos lados equivalem à metade do lado do triângulo original, ou seja, a área total desses três triângulos é 3 3

42 . Após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos equiláteros cujos lados medem

1 4

do lado do triângulo retângulo original, ou seja, a área total destes 9 triângulos é igual a 3 3

4

2

3 . Assim, pode-se

concluir que a cada repetição, a área total é 3

4 da área original, ou seja, representa 75% da mesma.

E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não converteu o número decimal 3

4 em porcentagem.

(27)

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{− + + e fez}₃) (x ₁)

que P(–2) é igual a (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{− + + = − − − − + − + = − − − = − =114.}₃) (x ₁) (_{4 6 1 2 3})( ) ( _{2 1}) ( )( )_{3 5 1 15 1}

B ) Gabarito. O polinômio P(x) equivale a (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{+ + − . Logo, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual}₁) (x ₃)

a P(–2), ou seja, (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{+ + − = − − − + + − − = − − − = − = −22.}₁) (x ₃) (_{4 6 1 2 1})( ) ( _{2 3}) ( )( )_{3 1 5 3 5}

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a

(x2_{+ − + + + − . Logo, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(–2), ou seja,}₃x ₁) (x ₁) (x ₃)

(x2_{+ − + + + − = − − + − + + − − = − + − − = − ..}₃x ₁) (x ₁) (x ₃) (_{4 6 1}) ( _{2 1}) ( _{2 3}) ( ) ( )₃ _{1 5} ₉

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou corretamente que polinômio P(x) equivale a

(x2_{+ −}₃x ₁)(x_{+ + − . Porém, fez que o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(2), ou seja,}₁) (x ₃)

(x2_{+ −}₃x ₁)(x_{+ + − = + −}₁) (x ₃) (_{4 6 1 2 1})( _{+ + − =}) (_{2 3}) ( )( )_{9 3 1 27 1 26}_{− = − =} .

E ) (Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{− + + e fez}₃) (x ₁)

que P(2) é igual a (x2_{+ −}₃x ₁)(x_{− + + = + −}₃) (x ₁) (_{4 6 1 2 3})( _{− + + =}) (_{2 1}) ( )( )_{9 1 3}_{− + = − + = −}_{9 3} ₆.

argumentação.

A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que estão assinalados apenas três números com exceção da origem. B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a trajetória representa uma reta decrescente.

C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o segmento com extremidades (0,0) e (4,4) possui ponto médio, concluindo que o valor da ordenada é igual a metade do valor da abscissa.

D ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou o ponto (4,4) e (2,2), concluindo que o extremo (4,4) é o dobro do ponto médio.

E ) (E) Gabarito. A trajetória passa pelos pontos (1,1); (2,2); (3;3). Assim, o valor da ordenada é igual ao valor da abscissa.

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(29)

(30)

(31)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Nome da Escola: _______________________________________________________________ Aluno(a): _____________________________________________________________________ Série: ______________________ Turma: ___________________________________ Data: ______________________ Assinatura: ________________________________ 1 A E C B D 24 A E C B D 13 A E C B D 36 A E C B D 2 A E C B D 25 A E C B D 14 A E C B D 37 A E C B D 3 A E C B D 26 A E C B D 15 A E C B D 38 A E C B D 4 A E C B D 27 A E C B D 16 A E C B D 39 A E C B D 5 A E C B D 28 A E C B D 17 A E C B D 40 A E C B D 6 A E C B D 29 A E C B D 18 A E C B D 41 A E C B D 7 A E C B D 30 A E C B D 19 A E C B D 42 A E C B D 9 A E C B D 32 A E C B D 21 A E C B D 44 A E C B D 23 A E C B D 45 A E C B D 11 A E C B D 34 A E C B D 8 A E C B D 31 A E C B D 20 A E C B D 43 A E C B D 22 A E C B D 10 A E C B D 33 A E C B D 12 A E C B D 35 A E C B D GABARITO

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