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Planejamento e Otimização de Experimentos. Metas. Livros de Consulta PROGRAMA. Planejamento e Otimização de Experimentos (Turma 01)

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(1)

Universidade Federal da Paraíba Departamento de Química

Planejamento e Otimização de

Experimentos

Professor: Márcio Coelho

Semestre 2013.1

1

Planejamento e Otimização de

Experimentos

(Turma 01)

(Segunda-Feira e Quarta- Feira) Horário: 14:00 – 16:00 hs

2

3

Estudar técnicas estatísticas para

planejar

experimentos

que forneçam

dados relevantes

e

para

analisar esses dados

para a resolução de

problemas práticos.

OBJETIVOS DA DISCIPLINA

Metas

4

Convencer o aluno de que a utilização das

técnicas estudadas evitará desperdício de

tempo e dinheiro e levará a conclusões mais

rápidas e seguras sobre o problema em

questão.

PROGRAMA

1) INTRODUÇÃO 2) ESTATÍSTICA BÁSICA

3) PLANEJAMENTOS FATORIAIS DE DOIS NÍVEIS 4) PLANEJAMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS 5) MODELAGEM POR MÍNIMOS QUADRADOS 6) MODELAGEM DE MISTURAS

7) OTIMIZAÇÃO SIMPLEX

5

OBS: Programa completo Sumário do Livro-Texto

6

Box, G. E. P., Hunter, W. G., Hunter, J. S., STATISTICS FOR

EXPERIMENTERS, New York: Wiley, 1978.

Sharaf, M. A., Ilmann, D. L., Kowalski, B. R., CHEMOMETRICS, New York: Wiley, 1986.

Massart, D. L., Vandeginste, B. G. M., Deming, S. N., Michotte, Y., Kaufman, L., CHEMOMETRICS: A TEXTBOOK, Amsterdã: Elsevier, 1988.

(2)

7

Periódicos Internacionais

Chemometrics and Intelligent

Laboratory Systems

Avaliação

Três Avaliações

 1ª Atividade: Com quantos feijões se faz uma feijoada ? ( Entrega de um Relatório ).

+ Exercícios solicitados em sala.

Formas:

8

 2ª Atividade: Realização de um Experimento Apresentação por escrito e oral dos resultados.

 3ª Atividade: A definir

Avaliação

Segunda Chamada

 A reposição será sobre a atividade não realizada.

Final

 Prova sobre todo assunto abordado no semestre.

9

 Média aritmética das três avaliações;

Nota Final

Introdução

 A partir de 1970 – Surgimento de muitos dados químicos Computadores & Instrumentação Eletrônica

Tratamento de Dados

Quimometria

11

Química Analítica Clássica Métodos trabalhosos

Análises demoradas

Poucos Dados

Química Analítica Moderna Métodos instrumentais Análises rápidas Muitos Dados 0 2000 4000 6000 8000 10000 Difícil Interpretação 12

É a subárea da Química que emprega métodos

matemáticos e estatísticos para:

Quimometria

D

efinição

o Projetar ou selecionar experimentos e procedimentos ótimos de medição;

o Fornecer o máximo de informação química relevante a partir de dados químicos

(3)

13

Estatística

É possível para um engenheiro fazer uma investigação sem usar estatística, e é impossível para um estatístico fazer o mesmo sem algum conhecimento de engenharia. No entanto, um bom engenheiro torna-se um engenheiro muito melhor se usar métodos estatísticos.

(Box, Hunter & Hunter)

Nada pode substituir o

conhecimento técnico!!!

14

Experimento

É uma

interferência deliberada

em um processo

Para Coletar Informação

Visando a Tomada de Decisão

15

Experimento

Dados

Obtenção

Análise

Interpretação

Não há análise que possa salvar um experimento mal planejado!!!

Planejamento é mais importante que análise

16

“Chamar o especialista em estatística depois que o

experimento foi feito pode ser o mesmo que pedir a

ele para fazer um exame post-mortem. Talvez ele

consiga dizer de que foi que o experimento morreu”

R. A. Fisher.

17

Extrair do sistema em estudo o

máximo

de informação útil

, fazendo um

mínimo

de experimentos.

Planejamentos Experimentais

18

Definir claramente o objetivo da

investigação.

Se você não sabe para onde está indo,

vai terminar chegando em outro lugar

(4)

19 20 2. Estatística Básica

Planejamento e Otimzação de Experimentos

Índice

21

Por que fazemos experimentos?

R. Para encontrar a solução de determinados problemas.

“ Estatística indica a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões”.

(Toledo , G. e Ovalle, I.I. Estatística Básica,… )

 minimiza os custos operacionais

 garante resultados que contêm informações relevantes  facilita a extração de conclusões válidas

 torna trivial a análise dos dados

2. Estatística Básica

Planejamento Experimental

22

“Estudar (ou rever)

conceitos estatísticos

que

serão aplicados à resolução de problemas

práticos”

Objetivo da Unidade

o Erros

o Populações, amostras e distribuições o A distribuição normal

o Covariância e correlação

o Amostragem aleatória em populações

Conteúdo

23

Para obter dados confiáveis, é preciso: a) Ter o problema bem definido;

b) Escolher corretamente o método para resolver.

Exemplo:

a) Qual o teor de ácido acético numa amostra de vinagre?

(valor de referência = mínimo de 4%)

b) Titulação ácido-base

2.1. Erros

24

2.1. Erros

(a) Preparar a solução do padrão primário; (b) Usá-la para padronizar a solução de

hidróxido de sódio de concentração apropriada;

(c) Realizar a titulação propriamente dita.

Cada uma dessas etapas envolverá várias operações básicas: pesagem, diluições e leitura de volumes.

(5)

25 Tab. 1. Resultado da titulação de 2 amostras de vinagre de procedências diferentes.

AMOSTRA Concentração (%)

A 3,80 (?)

B 4,20

Com base nesse resultado, a amostra A deve ser rejeitada e B pode ser aceita por estar acima do limite ?

Não dá para responder é preciso avaliar a INCERTEZA

Consideremos, erro = ± 0,30% ↔ 3,50 < CA < 4,10 e 3,90 <cB < 4,50

NÃO PODEMOS REJEITAR A NEM B 26

Tipos de Erros

o Erros Grosseiros

Por ex.: Falta de um indicador.

o Erros Sistemático

Por ex.: Substituição da fenolftaleina pelo vermelho de metila.

o Erros Aleatórios (ao acaso)

Não tem causa definida e são tratados com uso da Estatística.

27 Para investigar os erros aleatórios → Exemplo: Titulações de vinagre

28 OBSERVAÇÕES

oFlutuação ao acaso

oFlutuação em torno de um valor central

o Maioria dos valores  4 %

Parece que a amostra está fora de

especificação.

Resultados de 20 titulações feitas na mesma amostra de

vinagre.

29

2.2. Populações, Amostras e Distribuições

Para tratar estatisticamente os erros aleatórios

Passo

Admitir uma hipótese sobre sua distribuição

Considerando-se as

MEDIÇÕES

Hipótese:

A distribuição dos erros é

gaussiana ou NORMAL

30

Distribuições estatísticas teóricas não são distribuições de números absolutos de observações mas de frequências

Probabilidade de certos valores de interesse serem observados

Testar hipóteses sobre a população

Representação gráfica da distribuição de frequências

• retângulo  intervalo

• base = largura

• área ou altura (= ou  ) frequência

• área total = 1 HISTOGRAMA

(6)

Aspecto Prático:

Com quantos feijões se faz uma feijoada?

Discussão e consequências

Palpites ?

32 Evidentemente a resposta dependerá, entre outros fatores, do tamanho da feijoada.

Com quantos feijões se faz uma feijoada?

Considerar 1 kg de Feijão

Definir a Receita.

Uma possível solução seria:

Contar todos os caroços (um por um) de 1 kg de feijão.

Descartada porque estamos interessados em uma

abordagem estatística.

33

Vamos adotar uma solução alternativa

:

Descobrir quanto pesa 1 (um) caroço

1 caroço

X gramas

x

1000 gramas

1 kg de feijão

1 kg

34

 Primeiro caroço retirado aleatoriamente:

0,1188 g ~ 8418 caroços/kg de feijão.

 Segundo caroço retirado aleatoriamente:

0,2673 g ~ 3741 caroços/kg de feijão.

Qual dos dois é o valor correto?

R. Em princípio, nenhum dos dois. Como o peso varia

de um caroço para outro,

não devemos usar pesos

individuais nas nossas contas

, mas sim o

peso

médio de todos os caroços

.

35

Média => Seria a melhor estimativa

.

PM =  PI/N

Onde,

PM= peso médio, PI= peso individual e N= no de caroços (???)

ESTACA ZERO (não queremos contar todos os caroços)

Observações:

• 0 < peso de um caroço < 1kg

• A maioria dos grãos têm o mesmo tamanho  os pesos flutuam em torno de um valor central.

36

Objetivo de qualquer experimento:

Inferências sobre a POPULAÇÃO (Ex.: o pacote de feijão)

POPULAÇÃO=

Qualquer conjunto de indivíduos ou valores, finito ou infinito

P/ distribuição exata dos pesos:

 todos

os pesos individuais

Média Verdadeira

()

A partir de alguns caroços (Amostra)

(7)

37

Se a

amostra for representativa

, a

média amostral

deverá ser uma boa

aproximação da

média populacional

e

poderemos usá-la para tirar conclusões

sobre a população.

38 AMOSTRA = uma parte da população, normalmente

selecionada para se fazer inferências sobre a população

AMOSTRA REPRESENTATIVA = Apresenta as características

relevantes da população mantendo a mesma proporção.

AMOSTRA ALEATÓRIA = Amostra de N valores ou

indivíduos obtida de tal forma que todos os possíveis conjuntos de N valores da população tenham a mesma

chance de ser escolhidos.

39

Como descrever as características da amostra

Pesos de 140 caroços extraídos aleatoriamente de um pacotre de 1 kg de feijão preto (em gramas).

40

Para facilitar a interpretação dos dados

1- Organizar os dados em ordem crescente

2- Definir uma faixa que acomode todos os valores ( Ex.: 0,10 – 0,32)

3- Dividir a faixa em intervalos iguais (Ex.: 11 x 0,02)

4- Contar o número de valores em cada intervalo (Ex.: no de grãos)

5- Dividir o número de valores do intervalo pelo número total =

frequência

41 42

Observações :

maior frequência ~ 0,20 g (valor central) menores frequências quanto mais afastado do centro Características básicas:  Localização das observações numa região o eixo horizontal

(8)

43 Como determinar as características básicas do histograma

a) Localização ↔ Média aritmética (uma medida da tendência central) b) Dispersão ↔ Desvio padrão

Nosso exemplo:

44

Para obter a medida da dispersão das observações em torno da média,

Variância amostral

 

       N i N i i i x x d N s x V 1 1 2 2 2 1 1

onde, s2 = variância do conjunto de observações

di = desvio de cada valor individual em relação à média

 

x s g V s 20,0363

Desvio-padrão amostral

45 Observações:

s2 = espécie de média dos quadrados dos desvios, mas o

denominador = N-1.

di = 0

(restrição vinda do cálculo da média)

Dos N desvios, apenas N-1 desvios podem flutuar aleatoriamente. Portanto, no de GL = N-1.

Por que?

Se conhecermos N-1 deles, o valor que falta estará automaticamente determinado: é aquele que torna o total igual a zero.

46

47 48 48

Qual a porcentagem dos caroços que pesam entre 0,26 g a 0,28 g?

R. 5% Isso nos permite dizer que a probabilidade de retirarmos aleatoriamente um caroço com o peso na faixa 0,26 a 0,28 g é 5%.

Temos condições de fazer essa afirmação porque conhecemos a distribuição exata das frequências dos pesos nessa pequena população (140 caroços).

Obs. Poderíamos fazer o mesmo com um caroço retirado ao acaso do pacote de 1 kg, ou seja, da própria população original, se conhecêssemos exatamente a distribuição

populacional, e não somente a amostral. Infelizmente, para

isso seria necessário pesar todos os caroços, um por um.

(9)

49

Inferências sobre a população  a partir de um MODELO

(tema central do curso)

Modelo estatístico importante:

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou gaussiana) Gauss – início séc XIX

p/ calcular probabilidade de ocorrência de erros em medições

No nosso caso, um modelo adequado para a distribuição dos pesos de todos os caroços do pacote.

Carl F. Gauss 50 f( X )

Grandeza da variável X

•  divide a curva gaussiana em duas metades simétricas; • o valor mais provável é a média de todos os valores (); • desvios positivos e negativos são igualmente prováveis; desvios pequenos são mais prováveis que os grandes.

- + Desvio, Xi-

51 52

Como calcular probabilidade de ocorrência?

Distribuição estatística = função que descreve o comportamento

de uma variável aleatória.

Variável aleatória = grandeza que pode assumir qualquer valor dentro do conjunto de valores do sistema a que ela se refere. Cada valor tem uma certa probabilidade de ocorrência, governada por uma certa distribuição de probabilidades.

Conhecendo essa distribuição é possível calcular probabilidades de ocorrência

Definições:

53

A distribuição normal descreve a distribuição de uma variável aleatória (x) . É uma distribuição contínua

Uma distribuição contínua da variável x é definida pela sua densidade de probabilidade, f(x).

f(x) = função matemática com um certo número de parâmetros

Na distribuição normal → 2 parâmetros:  e 2 x pode assumir qualquer valor dentro

de um intervalo pré-definido

54 Onde:

f(x) – probabilidade de ocorrência (relação entre o número de casos em que o resultado ocorre e o número total de resultados observados) de um valor xi da variável x;

µ é a média da população e  é o desvio padrão populacional; (x - ) é o desvio de x em relação à média.

(10)

55

b a

f

x

dx

b

x

a

P

b

x

a

P

(

)

(

)

(

)

P = probabilidade de que o valor de x de densidade de probabilidade f(x) seja observado no intervalo [a,b].



  

)

(

)

0

,

6826

68

,

26

%

(

x

f

x

dx

P

 

  

2

2

)

(

)

0

,

954

95

,

44

%

(

x

f

x

P

            

3 3 ( ) 0,9974 99,74% ) 3 3 ( x f x P

PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA

56

PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA

57

Interpretação das informações das curvas da figura anterior:

grande número de medidas ou análises,

68% delas apresentarão um resultado no intervalo  1 95% e 99,7% estarão no intervalo  2 e  3 , respectivamente.

Em outras palavras, em uma determinação

desvios menores ou iguais a 1 , 2 e 3 ocorrerão

com proabilidade de 68, 95 e 99,7%, respectivamente. 58

Na prática, felizmente não precisamos calcular as

integrais para obter as informações anteriores. Em vez disso, basta aprendermos a utilizar os dados da Tabela mostrada adiante.

Antes, é preciso introduzir o conceito de padronização. Padronizar uma variável aleatória “x” é construir uma nova variável aleatória z usando a expressão:

 

x

z

 x  variável aleatória com distribuição N  (, )  z  variável aleatória com distribuição N  (0, 1), logo z segue a distribuição normal padrão ou padronizada

59 60 f( X )  ,XiDesvio   -3 -2 -1 0 1 2 3 Grandeza variável, X , i Desvio X 0

Probabilidade de ocorrência é tomada em função dos desvios em unidades de z.

X

i

z

(11)

61    Xi z

A integração da curva de distribuição normal de - a -, que é interpretada graficamente como o cálculo da área total abaixo da curva de distribuição normal, dá a probabilidade total, que corresponde ao valor 1 (100%);

62

A probabilidade de se ter um desvio maior que 1 (z = 1) é aproximadamente igual a 31,74%  a integração da curva

entre os limites -1 e +1 corresponde a uma probabilidade de cerca de 68,26% (a área sob a curva entre os limites -1 e +1 é  68,26% da área total)    Xi z 63 Fonte: B. Barros Neto, I.S. Scarminio, R.E.Bruns, Como fazer experimentos, 2010, Bookman

Área da cauda à direita da distribuição normal padronizada

64 Qual a probabilidade de se ter um desvio maior que 2 (z = 2)?

Qual a probabilidade de se ter um desvio maior que 3 (z = 3)?

Se um resultado de uma análise é X, então a média verdadeira está no intervalo = X 1,  = X 2 ou = X 3, com

68,26%, 95,44% ou 99,74%, respectivamente.

65

Exercício::Qual a probabilidade de

um caroço retirado ao acaso pesar

entre 0,18 g e 0,25 g?

(12)

67

Com isso, a pergunta não se refere mais aos pesos,

e sim a

z

. O que queremos saber agora é:

qual a

probabilidade de z cair no intervalo [-0,62, 1,31]?

68

A resposta a nossa questão inicial, portanto, é que

63,73 %

dos caroços (cerca de 2/3) devem pesar de

0,18 g a 0,25 g

.

Obs. Não devemos esquecer de que essa reposta

se baseia na validade de nossas duas suposições:

(1) distribuição dos pesos dos caroços é normal e

(2) os parâmetros populacionais são iguais aos

valores amostrais.

69 AMOSTRAL (histograma) POPULACIONAL (curva normal) DIFERENÇA

Conclusão:

Suposição válida

podemos

aceitar a distribuição normal para descrever

nossa a amostra.

Tabela de comparação entre as duas distribuições

70

Qual a probabilidade de que um anel retirado ao

acaso tenha diâmetro entre 73,980 e 74,020 (limites

de especificação) ?

Dados: Diâmetros do Anel (mm) 74,0300 74,0020 74,0190 73,9920 74,0080 73,9950 73,9920 74,0010 74,0110 74,0040 73,9880 74,0240 74,0210 74,0050 74,0020 74,0020 73,9960 73,9930 74,0150 74,0090 73,9920 74,0070 74,0150 73,9890 74,0140 74,0090 73,9940 73,9970 73,9850 73,9930 73,9950 74,0060 73,9940 74,0000 74,0050 73,9850 74,0030 73,9930 74,0150 73,9880 74,0080 73,9950 74,0090 74,0050 74,0040 73,9980 74,0000 73,9900 74,0070 73,9950 73,9940 73,9980 73,9940 73,9950 73,9900 74,0040 74,0000 74,0070 74,0000 73,9960 73,9830 74,0020 73,9980 73,9970 74,0120 74,0060 73,9670 73,9940 74,0000 73,9840 74,0120 74,0140 73,9980 73,9990 74,0070 74,0000 73,9840 74,0050 73,9980 73,9960 73,9940 74,0120 73,9860 74,0050 74,0070 74,0060 74,0100 74,0180 74,0030 74,0000 73,9840 74,0020 74,0030 74,0050 73,9970 74,0000 74,0100 74,0130 74,0200 74,0030 73,9880 74,0010 74,0090 74,0050 73,9960 74,0040 73,9990 73,9900 74,0060 74,0090 74,0100 73,9890 74,0130 74,0090 74,0140 74,0150 74,0080 73,9930 74,0000 74,0100 73,9820 73,9840 73,9950 74,0170 Qual a probabilidade de 74,0200 a 74,0300 mm? 71

Covariância e correlação

Peso de um caroço  variável aleatória (x)  valores independentes Volume de um caroço  variável aleatória (y)  valores independentes

Novidade: peso e volume não são independentes

relação entre x e y = densidade do caroço

Histograma de y distribuição ̴ normal em torno

de um valor central

 Desvios de x e y em relação às suas médias tendem a ser de mesmo sinal algébrico

 Quando x aumenta y também aumenta (e vice-versa) Qual é a Relação entre x e y?

72

Altos valores de y tendem a ocorrer ao mesmo tempo que altos valores de x e vice-versa  COVARIÂNCIA

(a)V/ m =1/d para d=cte

(b) d varia de um caroço para outro

(a)

(13)

73

COVARIAR = VARIAR JUNTO

74 Cov(x,y) depende da escala usada para x e y

Para comparar o grau de associação estatística entre diferentes pares de variáveis aleatórias

Espécie de covariância normalizada

Coeficiente de correlaçãoamostral das variáveis aleatórias x e y

Definição:

75

Coeficiente de correlação

amostral

das variáveis

aleatórias x e y

Variáveis estatisticamente independentes  r(x,y) = 0; A recíproca não é verdadeira  r é uma medida da associação linear entre duas variáveis;

Relação linear perfeita  r(x,y) = +1 ou r(x,y) = -1;

Cuidado com uso do r(x,y).

76

77

Quatro conjuntos de dados com o mesmo coeficiente de

correlação (r=0,82), mas representando realidades

muito diferentes.

78

Exercício:

Os valores abaixo são os volumes, em mililitros, dos

caroços cujos pesos aparecem na primeira linha da

tabela contendo os pesos dos feijões. Calcule a

covariância e o coeficiente de correlação entre os pesos

e os volumes desses sete caroços:

(14)

Combinações lineares de variáveis aleatórias

Sejam x

1

e x

2

variáveis aleatórias, com

x1 ( 1, 12 ) e x2 (2,22)

onde: y= nova variável aleatória

a1 e a2 =parâmetros fixos (constantes)

Combinação linear de x1 e x2 y= a1x1 +a2x2

80

81 Como calcular um intervalo de confiança para a média, .

z

x

z

x

i

i

O intervalo de confiança para

é dado por:

xi  valor de uma observação

  desvio padrão populacional

z  ponto da distribuição N(0,1) correspondendo

ao nível de confiança desejado

=> A partir de uma única observação! (no nosso exemplo, o peso de um único caroço)

82

O que esse valor nos permite inferir a

respeito de

?

1

,

96

0

,

1188

1

,

96

1188

,

0

Suponha que apenas um caroço de feijão tenha

sido pesado resultando no valor

0,1188 g

Com 5% de significância, z=1,96 83

Supondo que

= 0,0363 g

1899

,

0

0477

,

0

1000 g / 0,0477 g 20.964 caroços 1000 g /0,1899 g 5.266caroços Conclusões:

a) O número total de caroços no pacote de 1 kg deve estar entre 5.266 e 20.964 e ainda há 5% de probabilidade de estarmos enganados! b) Depois faremos uma estimativa para “”partindo da média dos pesos dos 140 caroços, o que leva a resultados mais precisos.

84

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA EM POPULAÇÕES NORMAIS

Vamos supor que sejam extraídas eleatoriamente amostras de

“N elementos” de uma população normal de média “” e variância “2”. Então, podemos ter:

)

N

/

,

(

N

x

2

N

/

s

x

t

N1

As médias amostraisse distribuem de acordo com N (, 2/N)

Variável aleatória tque segue a distribuição t,

com “N – 1” graus de liberdade, proposta pelo Químico W.S. Gosset (pseudônimo Student).

OBS: Podemos usar as informações acima para obter intervalos de confiançade modo análogo ao que fizemos antes.

(15)

85

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

N

z

x

N

z

x

A partir da média amostral e da distribuição normal

A partir da média amostral e da distribuilção t (de Student)

N

s

t

x

N

s

t

x

N

1

N

1

z= ponto da distribuição N(0,1)correspondendo ao nível de confiança desejado (ver Tabela A.1)

tN-1= ponto da distribuição t, com N-1 graus de liberdade, paro o nível

de confiança desejado (ver Tabela A.2)

86

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

Suponha uma amostra com 10 caroços extraída

aleatoriamente do pacote de feijão

A partir da média amostral e da distribuição normal

g

x

0

,

1887

Para os 10 primeiros valores da Tabela (de 0,1188 g até 0,1409 g).

Para 95% de confiança, z = 1,96

10

96

,

1

+

1887

,

0

<

<

10

96

,

1

1887

,

0

σ

μ

σ

87

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

Supondo novamente que

= 0,0363 g

2112

,

0

1662

,

0

1000 g / 0,1662 g 6.017 caroços 1000 g / 0,2112g 4.735 caroços Conclusões:

a) Segundo essa estimativa, o total de caroços no pacote de 1 kg deve estar, com 95% de confiança, entre 4.735 e 6.017.

b) O novo intervalo é bem melhorque o obtido como base numa única observação.

c) Ele pode tornar-se ainda mais precisose usarmos uma amostra mais numerosa!

88

Veremos agora como nos livrar dessa restrição e obter intervalos de confiança sem precisar recorrer a valores

populacionais. Até agora, nas determinações dos Intervalos de confiança.

Valor do desvio padrão populacional

era conhecido.

Mesmo obtido a partir de uma amostra numerosa.

89

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

Considerando a mesma amostra anterior

(

N = 10

) e o nível de

95% de confiança

A partir da média amostral e da distribuição de Student

t

= 10-1 = 9

= ?

Tabela A.2!

N

s

t

x

N

s

t

x

N1

N1 90 DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT

A Tabela A.2 fornece fornece valores de tpara algumas áreas da cauda à direita na distribuição de Student.

Como usá-la?

Ler o valor de t na interseção da nona linha ( = 9) com a coluna correspondente a 0,025 (95% de confiança).

Neste caso, obtemos

(16)

91

10

0423

,

0

26

,

2

1887

,

0

10

0423

,

0

26

,

2

1887

,

0

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

A partir da média amostral e da distribuição de Student

92

COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “

A partir da média amostral e da distribuição de Student

93

ATENÇÃO!

 Distribuição t- Student  rigorosamente válida para amostras aleatórias retiradas de uma população normal;

Recomenda-se utilizar Distribuição t-Student quando  for < 30.

 O no de GL() na distribuição t se refere ao cálculo de s e não da média

tN-1

N s

μ x

Ex. Amostra de 10 caroços  = N-1= 9 , a 95% de confiança  t=2,262 Para N a 95%  z=1,96

IC a partir de t são mais largos que a partir de N( 0, 1)

RAZÃO: usar s para estimar (quanto menor a

amostra maior o erro) 94

A escala de absorbância de um espectrofotômetro é testada em um comprimento de onda particular com uma solução padrão, que tem uma absorbância de 0,470. 10 medidas da absorbância com um espectrofotômetro fornecem um valor médio de 0,461, e um desvio padrão de 0,003. Encontre o intervalo de confiança para a absorbância média medida pelo espectrofotômetro, e então decida se há erro sistemático presente.

Exercício

95 96

Como o intervalo de confiança não inclui a absorbância

conhecida de 0,470, tudo indica que há um errro

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