Universidade Federal da Paraíba Departamento de Química
Planejamento e Otimização de
Experimentos
Professor: Márcio Coelho
Semestre 2013.1
1Planejamento e Otimização de
Experimentos
(Turma 01)
(Segunda-Feira e Quarta- Feira) Horário: 14:00 – 16:00 hs
2
3
Estudar técnicas estatísticas para
planejar
experimentos
que forneçam
dados relevantes
e
para
analisar esses dados
para a resolução de
problemas práticos.
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Metas
4
Convencer o aluno de que a utilização das
técnicas estudadas evitará desperdício de
tempo e dinheiro e levará a conclusões mais
rápidas e seguras sobre o problema em
questão.
PROGRAMA
1) INTRODUÇÃO 2) ESTATÍSTICA BÁSICA
3) PLANEJAMENTOS FATORIAIS DE DOIS NÍVEIS 4) PLANEJAMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS 5) MODELAGEM POR MÍNIMOS QUADRADOS 6) MODELAGEM DE MISTURAS
7) OTIMIZAÇÃO SIMPLEX
5
OBS: Programa completo Sumário do Livro-Texto
6
Box, G. E. P., Hunter, W. G., Hunter, J. S., STATISTICS FOR
EXPERIMENTERS, New York: Wiley, 1978.
Sharaf, M. A., Ilmann, D. L., Kowalski, B. R., CHEMOMETRICS, New York: Wiley, 1986.
Massart, D. L., Vandeginste, B. G. M., Deming, S. N., Michotte, Y., Kaufman, L., CHEMOMETRICS: A TEXTBOOK, Amsterdã: Elsevier, 1988.
7
Periódicos Internacionais
Chemometrics and Intelligent
Laboratory Systems
Avaliação
Três Avaliações
1ª Atividade: Com quantos feijões se faz uma feijoada ? ( Entrega de um Relatório ).
+ Exercícios solicitados em sala.
Formas:
8
2ª Atividade: Realização de um Experimento Apresentação por escrito e oral dos resultados.
3ª Atividade: A definir
Avaliação
Segunda Chamada
A reposição será sobre a atividade não realizada.
Final
Prova sobre todo assunto abordado no semestre.
9
Média aritmética das três avaliações;
Nota Final
Introdução
A partir de 1970 – Surgimento de muitos dados químicos Computadores & Instrumentação Eletrônica
Tratamento de Dados
Quimometria
11
Química Analítica Clássica Métodos trabalhosos
Análises demoradas
Poucos Dados
Química Analítica Moderna Métodos instrumentais Análises rápidas Muitos Dados 0 2000 4000 6000 8000 10000 Difícil Interpretação 12
É a subárea da Química que emprega métodos
matemáticos e estatísticos para:
Quimometria
D
efinição
o Projetar ou selecionar experimentos e procedimentos ótimos de medição;
o Fornecer o máximo de informação química relevante a partir de dados químicos
13
Estatística
É possível para um engenheiro fazer uma investigação sem usar estatística, e é impossível para um estatístico fazer o mesmo sem algum conhecimento de engenharia. No entanto, um bom engenheiro torna-se um engenheiro muito melhor se usar métodos estatísticos.
(Box, Hunter & Hunter)
Nada pode substituir o
conhecimento técnico!!!
14Experimento
É uma
interferência deliberada
em um processo
Para Coletar Informação
Visando a Tomada de Decisão
15
Experimento
Dados
Obtenção
Análise
Interpretação
Não há análise que possa salvar um experimento mal planejado!!!
Planejamento é mais importante que análise
16
“Chamar o especialista em estatística depois que o
experimento foi feito pode ser o mesmo que pedir a
ele para fazer um exame post-mortem. Talvez ele
consiga dizer de que foi que o experimento morreu”
R. A. Fisher.
17
Extrair do sistema em estudo o
máximo
de informação útil
, fazendo um
mínimo
de experimentos.
Planejamentos Experimentais
18
Definir claramente o objetivo da
investigação.
Se você não sabe para onde está indo,
vai terminar chegando em outro lugar
19 20 2. Estatística Básica
Planejamento e Otimzação de Experimentos
Índice
21
Por que fazemos experimentos?
R. Para encontrar a solução de determinados problemas.
“ Estatística indica a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões”.
(Toledo , G. e Ovalle, I.I. Estatística Básica,… )
minimiza os custos operacionais
garante resultados que contêm informações relevantes facilita a extração de conclusões válidas
torna trivial a análise dos dados
2. Estatística Básica
Planejamento Experimental
22
“Estudar (ou rever)
conceitos estatísticos
que
serão aplicados à resolução de problemas
práticos”
Objetivo da Unidade
o Erros
o Populações, amostras e distribuições o A distribuição normal
o Covariância e correlação
o Amostragem aleatória em populações
Conteúdo
23
Para obter dados confiáveis, é preciso: a) Ter o problema bem definido;
b) Escolher corretamente o método para resolver.
Exemplo:
a) Qual o teor de ácido acético numa amostra de vinagre?
(valor de referência = mínimo de 4%)
b) Titulação ácido-base
2.1. Erros
24
2.1. Erros
(a) Preparar a solução do padrão primário; (b) Usá-la para padronizar a solução de
hidróxido de sódio de concentração apropriada;
(c) Realizar a titulação propriamente dita.
Cada uma dessas etapas envolverá várias operações básicas: pesagem, diluições e leitura de volumes.
25 Tab. 1. Resultado da titulação de 2 amostras de vinagre de procedências diferentes.
AMOSTRA Concentração (%)
A 3,80 (?)
B 4,20
Com base nesse resultado, a amostra A deve ser rejeitada e B pode ser aceita por estar acima do limite ?
Não dá para responder é preciso avaliar a INCERTEZA
Consideremos, erro = ± 0,30% ↔ 3,50 < CA < 4,10 e 3,90 <cB < 4,50
NÃO PODEMOS REJEITAR A NEM B 26
Tipos de Erros
o Erros GrosseirosPor ex.: Falta de um indicador.
o Erros Sistemático
Por ex.: Substituição da fenolftaleina pelo vermelho de metila.
o Erros Aleatórios (ao acaso)
Não tem causa definida e são tratados com uso da Estatística.
27 Para investigar os erros aleatórios → Exemplo: Titulações de vinagre
28 OBSERVAÇÕES
oFlutuação ao acaso
oFlutuação em torno de um valor central
o Maioria dos valores 4 %
Parece que a amostra está fora de
especificação.
Resultados de 20 titulações feitas na mesma amostra de
vinagre.
29
2.2. Populações, Amostras e Distribuições
Para tratar estatisticamente os erros aleatórios
1º Passo
Admitir uma hipótese sobre sua distribuição
Considerando-se as
MEDIÇÕES
Hipótese:
A distribuição dos erros é
gaussiana ou NORMAL
30
Distribuições estatísticas teóricas não são distribuições de números absolutos de observações mas de frequências
Probabilidade de certos valores de interesse serem observados
Testar hipóteses sobre a população
Representação gráfica da distribuição de frequências
• retângulo intervalo
• base = largura
• área ou altura (= ou ) frequência
• área total = 1 HISTOGRAMA
Aspecto Prático:
Com quantos feijões se faz uma feijoada?
Discussão e consequências
Palpites ?
32 Evidentemente a resposta dependerá, entre outros fatores, do tamanho da feijoada.
Com quantos feijões se faz uma feijoada?
Considerar 1 kg de Feijão
Definir a Receita.
Uma possível solução seria:
Contar todos os caroços (um por um) de 1 kg de feijão.
Descartada porque estamos interessados em uma
abordagem estatística.
33
Vamos adotar uma solução alternativa
:Descobrir quanto pesa 1 (um) caroço
1 caroço
X gramas
x
1000 gramas
1 kg de feijão
1 kg
34 Primeiro caroço retirado aleatoriamente:
0,1188 g ~ 8418 caroços/kg de feijão.
Segundo caroço retirado aleatoriamente:
0,2673 g ~ 3741 caroços/kg de feijão.
Qual dos dois é o valor correto?
R. Em princípio, nenhum dos dois. Como o peso varia
de um caroço para outro,
não devemos usar pesos
individuais nas nossas contas
, mas sim o
peso
médio de todos os caroços
.
35
Média => Seria a melhor estimativa
.
PM = PI/N
Onde,
PM= peso médio, PI= peso individual e N= no de caroços (???)
ESTACA ZERO (não queremos contar todos os caroços)
Observações:
• 0 < peso de um caroço < 1kg
• A maioria dos grãos têm o mesmo tamanho os pesos flutuam em torno de um valor central.
36
Objetivo de qualquer experimento:
Inferências sobre a POPULAÇÃO (Ex.: o pacote de feijão)
POPULAÇÃO=
Qualquer conjunto de indivíduos ou valores, finito ou infinito
P/ distribuição exata dos pesos:
todos
os pesos individuais
Média Verdadeira()
A partir de alguns caroços (Amostra)
37
Se a
amostra for representativa
, a
média amostral
deverá ser uma boa
aproximação da
média populacional
e
poderemos usá-la para tirar conclusões
sobre a população.
38 AMOSTRA = uma parte da população, normalmente
selecionada para se fazer inferências sobre a população
AMOSTRA REPRESENTATIVA = Apresenta as características
relevantes da população mantendo a mesma proporção.
AMOSTRA ALEATÓRIA = Amostra de N valores ou
indivíduos obtida de tal forma que todos os possíveis conjuntos de N valores da população tenham a mesma
chance de ser escolhidos.
39
Como descrever as características da amostra
Pesos de 140 caroços extraídos aleatoriamente de um pacotre de 1 kg de feijão preto (em gramas).40
Para facilitar a interpretação dos dados
1- Organizar os dados em ordem crescente2- Definir uma faixa que acomode todos os valores ( Ex.: 0,10 – 0,32)
3- Dividir a faixa em intervalos iguais (Ex.: 11 x 0,02)
4- Contar o número de valores em cada intervalo (Ex.: no de grãos)
5- Dividir o número de valores do intervalo pelo número total =
frequência
41 42
Observações :
maior frequência ~ 0,20 g (valor central) menores frequências quanto mais afastado do centro Características básicas: Localização das observações numa região o eixo horizontal
43 Como determinar as características básicas do histograma
a) Localização ↔ Média aritmética (uma medida da tendência central) b) Dispersão ↔ Desvio padrão
Nosso exemplo:
44
Para obter a medida da dispersão das observações em torno da média,
Variância amostral
N i N i i i x x d N s x V 1 1 2 2 2 1 1onde, s2 = variância do conjunto de observações
di = desvio de cada valor individual em relação à média
x s g V s 20,0363Desvio-padrão amostral
45 Observações:s2 = espécie de média dos quadrados dos desvios, mas o
denominador = N-1.
di = 0
(restrição vinda do cálculo da média)
Dos N desvios, apenas N-1 desvios podem flutuar aleatoriamente. Portanto, no de GL = N-1.
Por que?
Se conhecermos N-1 deles, o valor que falta estará automaticamente determinado: é aquele que torna o total igual a zero.
46
47 48 48
Qual a porcentagem dos caroços que pesam entre 0,26 g a 0,28 g?
R. 5% Isso nos permite dizer que a probabilidade de retirarmos aleatoriamente um caroço com o peso na faixa 0,26 a 0,28 g é 5%.
Temos condições de fazer essa afirmação porque conhecemos a distribuição exata das frequências dos pesos nessa pequena população (140 caroços).
Obs. Poderíamos fazer o mesmo com um caroço retirado ao acaso do pacote de 1 kg, ou seja, da própria população original, se conhecêssemos exatamente a distribuição
populacional, e não somente a amostral. Infelizmente, para
isso seria necessário pesar todos os caroços, um por um.
49
Inferências sobre a população a partir de um MODELO
(tema central do curso)
Modelo estatístico importante:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou gaussiana) Gauss – início séc XIX
p/ calcular probabilidade de ocorrência de erros em medições
No nosso caso, um modelo adequado para a distribuição dos pesos de todos os caroços do pacote.
Carl F. Gauss 50 f( X )
Grandeza da variável X• divide a curva gaussiana em duas metades simétricas; • o valor mais provável é a média de todos os valores (); • desvios positivos e negativos são igualmente prováveis; • desvios pequenos são mais prováveis que os grandes.
- + Desvio, Xi-
51 52
Como calcular probabilidade de ocorrência?
Distribuição estatística = função que descreve o comportamento
de uma variável aleatória.
Variável aleatória = grandeza que pode assumir qualquer valor dentro do conjunto de valores do sistema a que ela se refere. Cada valor tem uma certa probabilidade de ocorrência, governada por uma certa distribuição de probabilidades.
Conhecendo essa distribuição é possível calcular probabilidades de ocorrência
Definições:
53
A distribuição normal descreve a distribuição de uma variável aleatória (x) . É uma distribuição contínua
Uma distribuição contínua da variável x é definida pela sua densidade de probabilidade, f(x).
f(x) = função matemática com um certo número de parâmetros
Na distribuição normal → 2 parâmetros: e 2 x pode assumir qualquer valor dentro
de um intervalo pré-definido
54 Onde:
f(x) – probabilidade de ocorrência (relação entre o número de casos em que o resultado ocorre e o número total de resultados observados) de um valor xi da variável x;
µ é a média da população e é o desvio padrão populacional; (x - ) é o desvio de x em relação à média.
55
b af
x
dx
b
x
a
P
b
x
a
P
(
)
(
)
(
)
P = probabilidade de que o valor de x de densidade de probabilidade f(x) seja observado no intervalo [a,b].
)
(
)
0
,
6826
68
,
26
%
(
x
f
x
dx
P
2
2
)
(
)
0
,
954
95
,
44
%
(
x
f
x
P
3 3 ( ) 0,9974 99,74% ) 3 3 ( x f x PPROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA
56PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA
57Interpretação das informações das curvas da figura anterior:
grande número de medidas ou análises,
68% delas apresentarão um resultado no intervalo 1 95% e 99,7% estarão no intervalo 2 e 3 , respectivamente.
Em outras palavras, em uma determinação
desvios menores ou iguais a 1 , 2 e 3 ocorrerão
com proabilidade de 68, 95 e 99,7%, respectivamente. 58
Na prática, felizmente não precisamos calcular as
integrais para obter as informações anteriores. Em vez disso, basta aprendermos a utilizar os dados da Tabela mostrada adiante.
Antes, é preciso introduzir o conceito de padronização. Padronizar uma variável aleatória “x” é construir uma nova variável aleatória z usando a expressão:
xz
x variável aleatória com distribuição N (, ) z variável aleatória com distribuição N (0, 1), logo z segue a distribuição normal padrão ou padronizada
59 60 f( X ) ,Xi Desvio -3 -2 -1 0 1 2 3 Grandeza variável, X , i Desvio X 0
Probabilidade de ocorrência é tomada em função dos desvios em unidades de z.
X
iz
61 Xi z
A integração da curva de distribuição normal de - a -, que é interpretada graficamente como o cálculo da área total abaixo da curva de distribuição normal, dá a probabilidade total, que corresponde ao valor 1 (100%);
62
A probabilidade de se ter um desvio maior que 1 (z = 1) é aproximadamente igual a 31,74% a integração da curva
entre os limites -1 e +1 corresponde a uma probabilidade de cerca de 68,26% (a área sob a curva entre os limites -1 e +1 é 68,26% da área total) Xi z 63 Fonte: B. Barros Neto, I.S. Scarminio, R.E.Bruns, Como fazer experimentos, 2010, Bookman
Área da cauda à direita da distribuição normal padronizada
64 Qual a probabilidade de se ter um desvio maior que 2 (z = 2)?
Qual a probabilidade de se ter um desvio maior que 3 (z = 3)?
Se um resultado de uma análise é X, então a média verdadeira está no intervalo = X 1, = X 2 ou = X 3, com
68,26%, 95,44% ou 99,74%, respectivamente.
65
Exercício::Qual a probabilidade de
um caroço retirado ao acaso pesar
entre 0,18 g e 0,25 g?
67
Com isso, a pergunta não se refere mais aos pesos,
e sim a
z
. O que queremos saber agora é:
“
qual a
probabilidade de z cair no intervalo [-0,62, 1,31]?
68
A resposta a nossa questão inicial, portanto, é que
63,73 %
dos caroços (cerca de 2/3) devem pesar de
0,18 g a 0,25 g
.
Obs. Não devemos esquecer de que essa reposta
se baseia na validade de nossas duas suposições:
(1) distribuição dos pesos dos caroços é normal e
(2) os parâmetros populacionais são iguais aos
valores amostrais.
69 AMOSTRAL (histograma) POPULACIONAL (curva normal) DIFERENÇAConclusão:
Suposição válida
podemos
aceitar a distribuição normal para descrever
nossa a amostra.
Tabela de comparação entre as duas distribuições
70
Qual a probabilidade de que um anel retirado ao
acaso tenha diâmetro entre 73,980 e 74,020 (limites
de especificação) ?
Dados: Diâmetros do Anel (mm) 74,0300 74,0020 74,0190 73,9920 74,0080 73,9950 73,9920 74,0010 74,0110 74,0040 73,9880 74,0240 74,0210 74,0050 74,0020 74,0020 73,9960 73,9930 74,0150 74,0090 73,9920 74,0070 74,0150 73,9890 74,0140 74,0090 73,9940 73,9970 73,9850 73,9930 73,9950 74,0060 73,9940 74,0000 74,0050 73,9850 74,0030 73,9930 74,0150 73,9880 74,0080 73,9950 74,0090 74,0050 74,0040 73,9980 74,0000 73,9900 74,0070 73,9950 73,9940 73,9980 73,9940 73,9950 73,9900 74,0040 74,0000 74,0070 74,0000 73,9960 73,9830 74,0020 73,9980 73,9970 74,0120 74,0060 73,9670 73,9940 74,0000 73,9840 74,0120 74,0140 73,9980 73,9990 74,0070 74,0000 73,9840 74,0050 73,9980 73,9960 73,9940 74,0120 73,9860 74,0050 74,0070 74,0060 74,0100 74,0180 74,0030 74,0000 73,9840 74,0020 74,0030 74,0050 73,9970 74,0000 74,0100 74,0130 74,0200 74,0030 73,9880 74,0010 74,0090 74,0050 73,9960 74,0040 73,9990 73,9900 74,0060 74,0090 74,0100 73,9890 74,0130 74,0090 74,0140 74,0150 74,0080 73,9930 74,0000 74,0100 73,9820 73,9840 73,9950 74,0170 Qual a probabilidade de 74,0200 a 74,0300 mm? 71
Covariância e correlação
Peso de um caroço variável aleatória (x) valores independentes Volume de um caroço variável aleatória (y) valores independentes
Novidade: peso e volume não são independentes
relação entre x e y = densidade do caroço
Histograma de y distribuição ̴ normal em torno
de um valor central
Desvios de x e y em relação às suas médias tendem a ser de mesmo sinal algébrico
Quando x aumenta y também aumenta (e vice-versa) Qual é a Relação entre x e y?
72
Altos valores de y tendem a ocorrer ao mesmo tempo que altos valores de x e vice-versa COVARIÂNCIA
(a)V/ m =1/d para d=cte
(b) d varia de um caroço para outro
(a)
73
COVARIAR = VARIAR JUNTO
74 Cov(x,y) depende da escala usada para x e y
Para comparar o grau de associação estatística entre diferentes pares de variáveis aleatórias
Espécie de covariância normalizada
Coeficiente de correlaçãoamostral das variáveis aleatórias x e y
Definição:
75
Coeficiente de correlação
amostral
das variáveis
aleatórias x e y
Variáveis estatisticamente independentes r(x,y) = 0; A recíproca não é verdadeira r é uma medida da associação linear entre duas variáveis;
Relação linear perfeita r(x,y) = +1 ou r(x,y) = -1;
Cuidado com uso do r(x,y).
76
77
Quatro conjuntos de dados com o mesmo coeficiente de
correlação (r=0,82), mas representando realidades
muito diferentes.
78
Exercício:
Os valores abaixo são os volumes, em mililitros, dos
caroços cujos pesos aparecem na primeira linha da
tabela contendo os pesos dos feijões. Calcule a
covariância e o coeficiente de correlação entre os pesos
e os volumes desses sete caroços:
Combinações lineares de variáveis aleatórias
Sejam x
1e x
2variáveis aleatórias, com
x1 ( 1, 12 ) e x2 (2,22)
onde: y= nova variável aleatória
a1 e a2 =parâmetros fixos (constantes)
Combinação linear de x1 e x2 y= a1x1 +a2x2
80
81 Como calcular um intervalo de confiança para a média, .
z
x
z
x
i
i
O intervalo de confiança para
é dado por:
xi valor de uma observação
desvio padrão populacional
z ponto da distribuição N(0,1) correspondendo
ao nível de confiança desejado
=> A partir de uma única observação! (no nosso exemplo, o peso de um único caroço)
82
O que esse valor nos permite inferir a
respeito de
“
”
?
1
,
96
0
,
1188
1
,
96
1188
,
0
Suponha que apenas um caroço de feijão tenha
sido pesado resultando no valor
0,1188 g
Com 5% de significância, z=1,96 83
Supondo que
= 0,0363 g
1899
,
0
0477
,
0
1000 g / 0,0477 g 20.964 caroços 1000 g /0,1899 g 5.266caroços Conclusões:a) O número total de caroços no pacote de 1 kg deve estar entre 5.266 e 20.964 e ainda há 5% de probabilidade de estarmos enganados! b) Depois faremos uma estimativa para “”partindo da média dos pesos dos 140 caroços, o que leva a resultados mais precisos.
84
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA EM POPULAÇÕES NORMAIS
Vamos supor que sejam extraídas eleatoriamente amostras de
“N elementos” de uma população normal de média “” e variância “2”. Então, podemos ter:
)
N
/
,
(
N
x
2N
/
s
x
t
N1
As médias amostraisse distribuem de acordo com N (, 2/N)
Variável aleatória tque segue a distribuição t,
com “N – 1” graus de liberdade, proposta pelo Químico W.S. Gosset (pseudônimo Student).
OBS: Podemos usar as informações acima para obter intervalos de confiançade modo análogo ao que fizemos antes.
85
COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
N
z
x
N
z
x
A partir da média amostral e da distribuição normal
A partir da média amostral e da distribuilção t (de Student)
N
s
t
x
N
s
t
x
N
1
N
1
z= ponto da distribuição N(0,1)correspondendo ao nível de confiança desejado (ver Tabela A.1)
tN-1= ponto da distribuição t, com N-1 graus de liberdade, paro o nível
de confiança desejado (ver Tabela A.2)
86
COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
Suponha uma amostra com 10 caroços extraída
aleatoriamente do pacote de feijão
A partir da média amostral e da distribuição normal
g
x
0
,
1887
Para os 10 primeiros valores da Tabela (de 0,1188 g até 0,1409 g).
Para 95% de confiança, z = 1,96
10
96
,
1
+
1887
,
0
<
<
10
96
,
1
1887
,
0
σ
μ
σ
87COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
Supondo novamente que
= 0,0363 g
2112
,
0
1662
,
0
1000 g / 0,1662 g 6.017 caroços 1000 g / 0,2112g 4.735 caroços Conclusões:a) Segundo essa estimativa, o total de caroços no pacote de 1 kg deve estar, com 95% de confiança, entre 4.735 e 6.017.
b) O novo intervalo é bem melhorque o obtido como base numa única observação.
c) Ele pode tornar-se ainda mais precisose usarmos uma amostra mais numerosa!
88
Veremos agora como nos livrar dessa restrição e obter intervalos de confiança sem precisar recorrer a valores
populacionais. Até agora, nas determinações dos Intervalos de confiança.
Valor do desvio padrão populacional
era conhecido.
Mesmo obtido a partir de uma amostra numerosa.
89
COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
Considerando a mesma amostra anterior
(
N = 10
) e o nível de
95% de confiança
A partir da média amostral e da distribuição de Studentt
= 10-1 = 9= ?
Tabela A.2!
N
s
t
x
N
s
t
x
N1
N1 90 DISTRIBUIÇÃO DE STUDENTA Tabela A.2 fornece fornece valores de tpara algumas áreas da cauda à direita na distribuição de Student.
Como usá-la?
Ler o valor de t na interseção da nona linha ( = 9) com a coluna correspondente a 0,025 (95% de confiança).
Neste caso, obtemos
91
10
0423
,
0
26
,
2
1887
,
0
10
0423
,
0
26
,
2
1887
,
0
COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
A partir da média amostral e da distribuição de Student
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COMO CALCULAR UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA “”
A partir da média amostral e da distribuição de Student
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ATENÇÃO!
Distribuição t- Student rigorosamente válida para amostras aleatórias retiradas de uma população normal;
Recomenda-se utilizar Distribuição t-Student quando for < 30.
O no de GL() na distribuição t se refere ao cálculo de s e não da média
tN-1
N s
μ x
Ex. Amostra de 10 caroços = N-1= 9 , a 95% de confiança t=2,262 Para N a 95% z=1,96
IC a partir de t são mais largos que a partir de N( 0, 1)
RAZÃO: usar s para estimar (quanto menor a
amostra maior o erro) 94
A escala de absorbância de um espectrofotômetro é testada em um comprimento de onda particular com uma solução padrão, que tem uma absorbância de 0,470. 10 medidas da absorbância com um espectrofotômetro fornecem um valor médio de 0,461, e um desvio padrão de 0,003. Encontre o intervalo de confiança para a absorbância média medida pelo espectrofotômetro, e então decida se há erro sistemático presente.
Exercício
95 96
Como o intervalo de confiança não inclui a absorbância
conhecida de 0,470, tudo indica que há um errro