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Formulação de Poisson Aplicada ao Método dos Elementos Finitos de Alta Ordem

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Academic year: 2021

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Formula¸

ao de Poisson Aplicada ao M´

etodo dos Elementos

Finitos de Alta Ordem

Mariana G. V. Miano,

Thais G. Vazquez

Curso de An´alise de Sistemas e Tecnologia da Informa¸c˜ao, Fatec-Am, Centro Paula Souza, 13469-111, Americana, SP

E-mail: vazquez.prof@gmail.com, tvazquez@fem.unicamp.br

Resumo: Este trabalho apresenta uma metodologia baseada na defini¸c˜ao de problemas de Pois-son para o M´etodo dos Elementos Finitos. O resultado ´e uma formula¸c˜ao que torna homogˆenea a programa¸c˜ao dos c´odigos em Matlab e a otimiza¸c˜ao dos c´alculos, pelo uso de matrizes de massa tensoriz´aveis, que ser˜ao substitu´ıdas pelas respectivas matrizes de rigidez, que se apresentam mais esparsas. Resultados de condicionamento, esparsidade e desempenho computacional s˜ao apresentados para problemas tridimensionais, com elementos hexa´edricos.

Palavras-chave: M´etodo dos Elementos Finitos, Esparsidade, Matriz de Rigidez

No M´etodo dos Elementos Finitos, as equa¸c˜oes alg´ebricas s˜ao escritas para cada elemento. Na sequˆencia, ´e obtido o sistema de equa¸c˜oes de equil´ıbrio da malha de elementos [7].

Uma fun¸c˜ao unidimensional cont´ınua desconhecida u(x) ser´a representada pela combina¸c˜ao linear de N fun¸c˜oes conhecidas φn(x), ponderadas por coeficientes indeterminados an, tal que

u(x) ∼= uN(x) = N

X

n=0

anφn(x), (1)

onde os coeficientes ans˜ao determinados pela aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes que governam o problema.

O conjunto de fun¸c˜oes φn(x) tamb´em ´e chamado de fun¸c˜oes de base, por constituir uma base

no espa¸co de fun¸c˜oes. Essas fun¸c˜oes podem ser polinˆomios ortogonais.

Um problema de aproxima¸c˜ao ´e equivalente a resolver uma equa¸c˜ao matricial da forma [H]{a} = f , a qual ´e resolvida invertendo-se a matriz [H]. Todavia, o custo computacional para inverter sistemas matriciais ´e muito alto. Assim, quanto mais pr´oxima de uma matriz diagonal for poss´ıvel representar a aproxima¸c˜ao, mais f´acil ser´a a solu¸c˜ao do problema inicial [5].

Diferentes metodologias foram propostas neste sentido [4],[1]. Entretanto, em nehuma delas se encontra o processo de tensoriza¸c˜ao das fun¸c˜oes de base proposto em [2] e aqui utilizado, assim como o processo de equivalˆencia de problemas unidimensionais, que propicia a substitui¸c˜ao da matriz de massa pala matriz de rigidez (altamente esparsa) em Problemas de Poisson.

Portanto, o principal objetivo desse trabalho ´e apresentar uma metodologia que tornar´a poss´ıvel a obten¸c˜ao de matrizes de rigidez de hexaedros bastante esparsas [6] para elementos locais e globais. Em [3] propˆos-se uma base que tamb´em ser´a utilizada nos Casos de Valida¸c˜ao, juntamente com Polinˆomios de Jacobi. Os c´odigos foram desenvolvidos em Matlab.

1

Desenvolvimento

Considere os problemas de proje¸c˜ao, definidos em um hexaedro local Ω = (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ [−1, 1] ×

[−1, 1] × [−1, 1], ou seja,

u(ξ1, ξ2, ξ3) = −f (ξ1, ξ2, ξ3), (2)

(2)

Dada uma base {φi(ξ1, ξ2, ξ3)}i=1, a fun¸c˜ao u(ξ1, ξ2, ξ3) ´e aproximada como u(ξ1, ξ2, ξ3) = n X i=1 aiφi(ξ1, ξ2, ξ3). (4)

As proje¸c˜oes das equa¸c˜oes (2) e (3) no espa¸co de dimens˜ao finita definido pela base {φi(ξ1, ξ2, ξ3)}

s˜ao dadas, respectivamente, por

Z Ω u(ξ1, ξ2, ξ3)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ = − Z Ω f(ξ1, ξ2, ξ3)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ, (5) Z Ω △u(ξ1, ξ2, ξ3)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ = − Z Ω △f (ξ1, ξ2, ξ3)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ. (6)

Integrando (6) por partes, obt´em-se

Z Ω ∇u(ξ1, ξ2, ξ3) · ∇v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ = Z Ω △f (ξ1, ξ2, ξ3)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ + Z Γ (∇u(ξ1, ξ2, ξ3) · n)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΓ, (7)

sendo Γ o contorno de Ω e n(ξ1, ξ2, ξ3) o vetor normal em cada ponto de Γ.

Usando o M´etodo de Galerkin, a fun¸c˜ao teste v(ξ1, ξ2, ξ3) ´e aproximada por

v(ξ1, ξ2, ξ3) = n

X

j=1

bjφj(ξ1, ξ2, ξ3). (8)

Substituindo (4) e (8) em (5) e (7), obt´em-se as seguintes aproxima¸c˜oes para i = 1, ..., n

n X j=1 Z Ω φi(ξ1, ξ2, ξ3)φj(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ  aj= − Z Ωf(ξ 1, ξ2, ξ3)φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ, (9) n X j=1 Z Ω [φi,ξ1(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ1(ξ1, ξ2, ξ3) + φi,ξ2(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ2(ξ1, ξ2, ξ3)+ φi,ξ3(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ3(ξ1, ξ2, ξ3)]dΩ) aj = Z Ω △f (ξ1, ξ2, ξ3)φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ + Z Γ (∇u(ξ1, ξ2, ξ3) · n) φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΓ. (10)

Os coeficientes da matriz de massa e rigidez s˜ao dados, respectivamente, por

Mij3D = Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 φi(ξ1, ξ2, ξ3)φj(ξ1, ξ2, ξ3)dξ1dξ2dξ3, (11) Kij3D= Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 [φi,ξ1(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ1(ξ1, ξ2, ξ3) + φi,ξ2(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ2(ξ1, ξ2, ξ3) + φi,ξ3(ξ1, ξ2, ξ3)φj,ξ3(ξ1, ξ2, ξ3)]dξ1dξ2dξ3. (12)

Finalmente, os coeficientes da matriz de rigidez do hexaedro local s˜ao expressos como a combina¸c˜ao dos coeficientes das matrizes de massa e rigidez unidimensionais como

Kij3D = Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 [(φa,ξ1(ξ1)φb(ξ2)φc(ξ3))(φp,ξ1(ξ1)φq(ξ2)φr(ξ3)) +(φa(ξ1)φb,ξ2(ξ2)φc(ξ3))(φp(ξ1)φq,ξ2(ξ2)φr(ξ3)) +(φa(ξ1)φb(ξ2)φc,ξ3(ξ3))(φp(ξ1)φq(ξ2)φr,ξ3(ξ3))]dξ1dξ2dξ3 = K1D ap Mbq1DMcr1D+ Map1DKbq1DMcr1D+ Map1DMbq1DKcr1D. (13)

Devido `a equivalˆencia entre os problemas unidimensionais, deseja-se substituir em (13) os termos relativos `as matrizes de massa e os termos de carregamento pelos respectivos termos de

(3)

rigidez. Por exemplo, substitui-se Mbq por Kbq , Mcr por Kcr , Map por Kap e fq por

fq1D,b,k. Para os coeficientes da matriz de rigidez do hexaedro dados em (13), obt´em-se

Kij3D = Kap1DKbq1DKcr1D+ Kap1DKbq1DKcr1D+ Kap1DKbq1DKcr1D = 3Kap1DKbq1DKcr1D. (14)

Na sequˆencia, considera-se as respectivas substitui¸c˜oes dos termos independentes de corpo e superf´ıcie.

Suponha que a fun¸c˜ao f (ξ1, ξ2, ξ3) possa ser escrita de forma separ´avel como

f(ξ1, ξ2, ξ3) = fξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3(ξ3). (15)

O termo de carga de corpo em (10) fica

fi3D,b,k = Z Ω△f (ξ 1, ξ2, ξ3)φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ = Z Ω ∂2fξ1 ∂ξ2 1 (ξ1)fξ2(ξ2)fξ3(ξ3) + fξ1(ξ1) ∂2fξ2 ∂ξ2 2 (ξ2)fξ3(ξ3) +fξ1(ξ1)fξ2(ξ2) ∂2 fξ3 ∂ξ2 3 (ξ3) ! φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΩ. (16)

As fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao do hexaedro local podem ser escritas, usando o produto tensorial de fun¸c˜oes unidimensionais, como

φi(ξ1, ξ2, ξ3) = φa(ξ1)φb(ξ2)φc(ξ3) e φj(ξ1, ξ2, ξ3) = φp(ξ1)φq(ξ2)φr(ξ3). (17)

Substituindo φi dado em (17), tem-se

fi3D,b,k = ∂ 2 fξ1 ∂ξ2 1 (ξ1)φa(ξ1)dξ1 ! Z 1 −1 fξ2(ξ2)φb(ξ2)dξ2  Z 1 −1 fξ3(ξ3)φc(ξ3)dξ3  + Z 1 −1 fξ1(ξ1)φa(ξ1)dξ1  2f ξ2 ∂ξ2 2 (ξ2)φb(ξ2)dξ2 ! Z 1 −1 fξ3(ξ3)φc(ξ3)dξ3  + Z 1 −1 fξ1(ξ1)φa(ξ1)dξ1  Z 1 −1 fξ2(ξ2)φb(ξ2)dξ2  2f ξ3 ∂ξ23 (ξ3)φc(ξ3)dξ3 ! = f1D,b,k a f 1D,b,m b fc1D,b,m+ fa1D,b,mf 1D,b,k b fc1D,b,m+ fa1D,b,mf 1D,b,m b fc1D,b,k. (18) Para u = −f , a integral de superf´ıcie em (10) fica

fi3D,s,k = − Z Γ (∇f (ξ1, ξ2, ξ3) · n)φi(ξ1, ξ2, ξ3)dΓ = − Z Γ [fξ1,ξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3(ξ3)nξ1 + fξ1(ξ1)fξ2,ξ2(ξ2)fξ3(ξ3)nξ2+ fξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3,ξ3(ξ3)nξ3]φa(ξ1)φb(ξ2)φc(ξ3)dΓ. (19)

O termo independente total ´e a soma das parcelas de corpo e de superf´ıcie, ou seja,

fi= fib+ fis, sendo fib = fa1D,b,kfb1D,b,mfc1D,b,m+ fa1D,b,mfb1D,b,kfc1D,b,m+ fa1D,b,mfb1D,b,mfc1D,b,k, (20) fis = fa1D,b,mf 1D,b,m b f 1D,s,k c |F1 − f 1D,b,m a f 1D,b,m b f 1D,s,k c |F2 + fb1D,b,mfc1D,b,mfa1D,s,k|F3 − f 1D,b,m b fc1D,b,mfa1D,s,k|F4 + fa1D,b,mfc1D,b,mf 1D,s,k b |F5 − f 1D,b,m a fc1D,b,mf 1D,s,k b |F6. (21)

(4)

Substituindo fa , fb e fc , respectivamente, por fa , fb e fc , em fb i, tem-se fib = −(fa1D,b,kf 1D,b,k b f 1D,b,k c + fa1D,b,kf 1D,b,k b f 1D,b,k c + fa1D,b,kf 1D,b,k b f 1D,b,k c ) = −3fa1D,b,kf 1D,b,k b f 1D,b,k c . (22)

Al´em disso, tem-se um termo de contorno adicional idˆentico a fs

i, ou seja, multiplica-se fis por 2. Logo, fis = 2fa1D,b,mf 1D,b,m b f 1D,s,k c |F1− 2f 1D,b,m a f 1D,b,m b f 1D,s,k c |F2 + 2fb1D,b,mfc1D,b,mfa1D,s,k|F3− 2f 1D,b,m b f 1D,b,m c fa1D,s,k|F4 + 2f1D,b,m a fc1D,b,mf 1D,s,k b |F5− 2f 1D,b,m a fc1D,b,mf 1D,s,k b |F6. (23) Substitui-se agora f1D,s,m a , f 1D,s,m b e f 1D,s,m

c pelos seus equivalentes unidimensionais de

rigidez. Logo, fis = −2(fa1D,b,k+ fξ1,ξ1φa(ξ1)| ξ1=1 ξ1=−1)(f 1D,b,k b + fξ2,ξ2φb(ξ2)| ξ2=1 ξ2=−1)(f 1D,s,k c |F1 − f 1D,s,k c |F2) − 2(fb1D,b,k+ fξ2,ξ2φb(ξ2)| ξ2=1 ξ2=−1)(f 1D,b,k c + fξ3,ξ3φc(ξ3)| ξ3=1 ξ3=−1)(f 1D,s,k a |F3− f 1D,s,k a |F4) − 2(fa1D,b,k+ fξ1,ξ1φa(ξ1)| ξ1=1 ξ1=−1)(f 1D,b,k c + fξ3,ξ3φc(ξ3)| ξ3=1 ξ3=−1)(f 1D,s,k b |F5− f 1D,s,k a |F6) (24)

Assim, a partir de (15), (22) e (24), o sistema de equa¸c˜oes no elemento fica dado por

(Kap1DKbq1DKcr1D)aj = 1 3(f b i + fis) = −fa1D,b,kf 1D,b,k b f 1D,b,k c −2 3(f 1D,b,k a + fξ1,ξ1φa(ξ1)| ξ1=1 ξ1=−1)(f 1D,b,k b + fξ2,ξ2φb(ξ2)| ξ2=1 ξ2=−1)(f 1D,s,k c |F1− f 1D,s,k c |F2) −2 3(f 1D,b,k b + fξ2,ξ2φb(ξ2)| ξ2=1 ξ2=−1)(f 1D,b,k c + fξ3,ξ3φc(ξ3)| ξ3=1 ξ3=−1)(f 1D,s,k a |F3− f 1D,s,k a |F4) −2 3(f 1D,b,k a + fξ1,ξ1φa(ξ1)| ξ1=1 ξ1=−1)(f 1D,b,k c + fξ3,ξ3φc(ξ3)| ξ3=1 ξ3=−1)(f 1D,s,k b |F5− f 1D,s,k a |F6). (25)

Um fato importante do sistema resultante acima ´e usar apenas matrizes de problemas uni-dimensionais. Esse procedimento reduz o custo computacional, pois em termos de c´alculo, n˜ao se tem mais fun¸c˜oes tridimensionais e sim fun¸c˜oes separ´aveis unidimensionais. Essa constata¸c˜ao pode ser feita facilmente no c´alculo das cargas de corpo, que s˜ao integrais simples.

Matricialmente,

[K3D] {a3D} = {f3Dk }. (26)

O efeito em termos do n´umero de coeficientes n˜ao-nulos da matriz de rigidez do hexaedro local pode ser observado na Figura 1, na qual se comparam os perfis de esparsidade das matrizes para P = 4 usando polinˆomios de Jacobi com α = β = 1 e a t´ecnica aqui proposta.

Observa-se pela Figura 2 que a t´ecnica de utiliza¸c˜ao apenas da matriz de rigidez em sub-stitui¸c˜ao `a matriz de massa resulta em melhor esparsidade do que a t´ecnica convencional. A Tabela 1 apresenta o tempo de execu¸c˜ao da solu¸c˜ao aproximada global, em segundos, para os graus P = 2 a P = 8, resultante da aplica¸c˜ao do m´etodo da matriz esparsa, do software Matlab. Novamente, aplicando-se o teorema da divergˆencia, pode-se transformar a for¸ca de superf´ıcie dada em (10) em uma for¸ca de corpo, ou seja,

Z Γ(∇u(ξ 1, ξ2, ξ3) · n)v(ξ1, ξ2, ξ3)dΓ = Z Ω∇ · (v(ξ 1, ξ2, ξ3)∇u(ξ1, ξ2, ξ3))dΩ (27) 102

(5)

0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 nz = 3889 (a) Jacobi (nz = 3889). 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 nz = 343

(b) Substitui¸c˜ao da matriz de massa (nz = 343).

Figura 1: Perfis de esparsidade da matriz de rigidez para hexaedros com grau P = 4 (nz ´e o n´umero de coeficientes diferentes de zero)[6].

3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 4

Número de coeficientes não nulos

Grau do polinômio

Padrão Proposto

Figura 2: N´umero de coeficientes n˜ao nulos da matriz de rigidez do hexaedro local para fun¸c˜oes de Jacobi (P = 3 a P = 10)[6].

(6)

Tabela 1: Tempos de execu¸c˜ao em segundos (Sistema ALTIX XE 240, com 4 processadores Intel Xeon 5160 Dual Core, 3GHz) da solu¸c˜ao aproximada global para o problema tridimensional com u(x, y, z) = x7

y7z7(8 − x)(4 − y)(2 − z) para 32 elementos, com P = 2 a P = 8, utilizando a matriz de rigidez e a matriz de rigidez proposta [6].

P k k(proposta) Desempenho 2 0, 0011 4, 78 × 10−4 2, 3 3 0, 0087 7, 21 × 10−4 12, 1 4 0, 0171 0, 0014 12, 2 5 0, 0338 0, 0024 14, 1 6 0, 0717 0, 0037 19, 4 7 0, 1361 0, 0053 25, 7 8 0, 3084 0, 0102 30, 2

Para u = −f , a i-´esima componente dessa carga de corpo ´e fi3D,b,k = − Z Ω ∇ · (φi(ξ1, ξ2, ξ3)∇f (ξ1, ξ2, ξ3)) dΩ = − Z Ω [φi,ξ1fξ1,ξ1(ξ1)fξ2fξ3+ φi,ξ2fξ1(ξ1)fξ2,ξ2(ξ2)fξ3(ξ3)+ φi,ξ3fξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3,ξ3(ξ3) + φi(ξ1, ξ2, ξ3)(fξ1,ξ1ξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3(ξ3)+ fξ1(ξ1)fξ2,ξ2ξ2(ξ2)fξ3(ξ3) + fξ1(ξ1)fξ2(ξ2)fξ3,ξ3ξ3(ξ3))] (28)

A formula¸c˜ao ´e estendida `a vari´aveis globais.

2

Resultados

Na Figura 3 est˜ao ilustrados os perfis de esparsidade para P = 5 da matriz de rigidez e da rigidez proposta globais do hexaedro.

(a) Rigidez (nz = 175935)[6]. 0 1000 2000 3000 4000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 nz = 12615 (b) Rigidez proposta (nz = 12615)[6].

Figura 3: Perfis de esparsidade da matriz global de rigidez padr˜ao e proposta para hexaedros . Observa-se pela Figura 4 que a t´ecnica proposta nesse trabalho resulta em uma grande redu¸c˜ao no n´umero de coeficientes n˜ao-nulos quando comparada com a t´ecnica convencional.

(7)

2 3 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 Grau do polinômio

Número de coeficientes não nulos

rigidez rigidez proposta

Figura 4: N´umero de coeficientes n˜ao-nulos das matrizes globais de rigidez e rigidez com a t´ecnica proposta para o hexaedro global, fun¸c˜oes de Jacobi (P = 2 a P = 8) e 32 elementos ap´os a condi¸c˜ao de contorno [6].

3

Conclus˜

oes

Pode-se se notar um aumento expressivo da esparsidade das matrizes resultantes da substitui¸c˜ao das matrizes de massa unidimensionais pelas unidimensionais de rigidez, tanto no aspecto local (elemento) quanto no global (malhas). O desempenho computacional com a nova metodologia proposta tamb´em ´e um resultado muito interessante. A metodologia proposta neste trabalho poder´a ser estendida para malhas distorcidas, adequando-se corretamente o vetor de carrega-mento do problema [6].

Referˆ

encias

[1] J.L.D. Alves, A.L.G.A. Coutinho, L. Landau, Avalia¸cao de estrat´egias computacionais para o m´etodo dos elementos finitos em computadores vetorais. Revista internacional de m´etodos num´ericos para c´alculo y dise˜no en ingenier´ıa, 9(1993), n.3.

[2] M.L. Bittencourt, ; M.G. Vazquez, ; T.G. Vazquez, Construction of Shape Functions for the h-and-p-versions of the FEM using Tensorial Product. International Journal for Numerical Methods in Engineering (Online), 71(2006) 529-563.

[3] M.L. Bittencourt, ; T.G. Vazquez, Tensor-based Gauss-Jacobi numerical integration for high-order mass and stiffness matrices. International Journal for Numerical Methods in Engineering (Print), 79 (2009) 599-638.

[4] P.R.B. Devloo, C.M.A.A. Bravo ; E.C. Rylo, Systematic and generic construction of shape functions for p-adaptive meshes of multidimensional finite elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198(2009) 1716-1725.

[5] G.E. Karniadakis, S.J. Sherwin, “Spectral/hp Element Methods for CFD”, Oxford Univer-sity Press, Oxford, 1999.

[6] M.G.V. Miano, “Tensoriza¸c˜ao de matrizes de rigidez para quadrados e hexaedros usando o M´etodo de Elementos Finitos de Alta Ordem”, Tese de Doutorado, FEM - Unicamp, 2009. [7] H.L. Soriano, “M´etodo de Elementos Finitos em An´alise de Estruturas”, EDUSP, S˜ao Paulo,

Referências

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