VIII Congresso Brasileiro de Engenharia Química em Iniciação Científica 27 a 30 de julho de 2009
Uberlândia, Minas Gerais, Brasil
MODELAGEM MATEMÁTICA DE EVAPORADORES DE MÚLTIPLO EFEITO
EMPREGADOS NO AUMENTO DO TEOR DE SÓLIDOS DO LEITE
1
Pedro Ivo N. de Carvalho, 2 Andréa O. S. da Costa, 2 Esly F. da Costa Junior
1
Bolsista de iniciação Científica PIBIC/FAFES/UFES, discente do curso de Engenharia de Alimentos. 2
Professor do CCA da UFES/ES, Curso de Engenharia de Alimentos, Curso de Engenharia Química. 1,2
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo (CCA); Campus de Alegre, Alto Universitário, s/n°, Caixa Postal 16, Guararema, Alegre, ES (28)3552-8932
e-mail: andreaosc@yahoo.com.br
RESUMO – Neste trabalho é proposto um modelo matemático a ser empregado na simulação do processo de evaporação do leite. Para isto são usados balanços de massa global e de sólidos e balanço de energia. O sistema de equações é composto por duas equações diferenciais ordinárias (que representam a taxa de acúmulo de massa dentro do evaporador e a variação da concentração de sólidos) e duas equações algébricas (vazão de vapor gerado e vazão de saída do leite concentrado). O modelo inclui ainda equações empíricas referentes às propriedades termofísicas do leite (densidade, calor específico e elevação do ponto de ebulição) e do vapor gerado (entalpia). Foi adotada uma constituição básica para o leite, em massa, de 87,0% de água, 3,5% de proteínas, 3,0% de lipídios e 4,5% de lactose, totalizando concentração inicial de 13% de sólidos. As condições operacionais foram adotadas a partir do conhecimento adquirido com o estudo do processo. Ao final são apresentados resultados dinâmicos da simulação do comportamento do evaporador estudado em função do tempo.
Palavras-Chave: evaporadores de múltiplo-efeito, concentração do leite, modelagem matemática
INTRODUÇÃO
Segundo o Ministério de Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior (MDIC), as exportações brasileiras de produtos lácteos nos anos de 2007 e 2008, chegaram a 273,28 e 509,18 bilhões de dólares, respectivamente. Destes valores, as exportações dos principais produtos que passam pelo processo de concentração (leite concentrado, leite evaporado e leite em pó) somaram 224,59 bilhões de dólares em 2007 e 452,18 bilhões de dólares no ano seguinte. Comparando os valores de cada ano é possível notar a importância deste grupo de produtos na balança comercial de lácteos.
O processo de evaporação, empregado em diversas indústrias alimentícias, tem como princípio a eliminação parcial da água presente no fluido através da fervura e liberação do vapor d’água (Fellows, 2006). Na produção de alimentos em pó este processo antecede à etapa de secagem na qual o produto final é obtido. Tais processos reduzem o conteúdo aquoso diminuindo a possibilidade de deterioração do alimento por ação microbiana devido à menor atividade de água do produto final. Além disso, o aumento da concentração proporciona ainda um produto mais flexível, de forma que facilita e torna menos custosa as etapas de armazenamento,
transporte e distribuição do produto concentrado em relação ao leite inicial.
O processo de concentração por evaporação pode ser representado utilizando-se a modelagem matemática (Avalo e Varela, 2008). A descrição matemática do processo de produção de alimentos concentrados é reportado em trabalhos presentes na literatura aberta (Kaya e Sarac, 2007; Miranda e Simpson, 2005; Cadet et. al., 2000; Elhaq et. al.,1999). Todavia, raros são os estudos que descrevem a concentração do leite. Miranda e Simpson (2005) desenvolveram um modelo fenomenológico para descrever a concentração de tomate. Cadet et. al. (2000) a partir de equações de balanços de massa e energia e relações semi-empíricas estudaram o controle preditivo não-linear de evaporadores utilizados na fabricação de açúcar da cana.
Este trabalho apresenta a modelagem matemática e simulação dinâmica da etapa de evaporação do leite integral. Foi adotada a constituição básica para o leite em massa de 87,0% de água, 3,5% de proteínas, 3,0% de lipídios e 4,5% de lactose. A metodologia proposta consiste na adaptação do modelo de Holland (1983) para a modelagem matemática de sistemas de evaporadores de múltiplo efeito. O modelo empregado é fenomenológico, dinâmico e não linear.
Descrição do processo
Para retirar a água do leite, são usualmente utilizados evaporadores de múltiplo-efeito. Neste tipo de arranjo diversos evaporadores são ligados em série e o vapor gerado pela fervura do leite em um evaporador (ou efeito) é usado como meio de aquecimento do seguinte, devendo ocorrer obrigatoriamente uma redução progressiva da pressão ao longo dos efeitos para manter a diferença de temperatura entre o líquido e o vapor de aquecimento (Fellows, 2006). Nos últimos anos se estabeleceu a implantação na indústria de evaporador de película descendente (Falling Film) (Figura 1).
Figura 1 – Representação de um evaporador de película descendente com separador de vapor (Adaptado de Niro S.A.)
Este tipo de equipamento apresenta um curto tempo de retenção do leite e pode operar em gradiente de temperatura baixo, de forma que o produto sofre uma agressão térmica menor, garantindo um produto de melhor qualidade. O evaporador tipo filme (película) descendente pode chegar a quase 18m de altura e possui em seu interior diversos tubos de diâmetro uniforme. O leite pré-aquecido introduzido no topo se distribui uniformemente sobre a superfície interna dos tubos e flui para baixo pela ação da gravidade, formando uma película que entra em ebulição pelo calor trocado com o vapor de alimentação. O vapor vivo é introduzido no corpo do evaporador (também chamado de calandra). Sua condensação libera calor latente que é usado para retirar parte da água presente no leite. Leite concentrado e vapor gerado saem então pela parte inferior da calandra, de onde grande parte do concentrado é recolhida. O restante entra tangencialmente em um separador subseqüente
junto com vapor, formando um ciclone responsável pela separação (Westergaard, 2004). O leite concentrado separado se junta ao concentrado retirado na base da calandra e o vapor sai pela parte superior do separador. O vapor pode seguir para um evaporador adiante e servir como vapor de aquecimento ou no caso de ser proveniente do último evaporador, ele é condensado (resfriado) em um trocador de calor, produzindo vácuo. O vácuo é essencial para reduzir a temperatura de ebulição do leite e uma planta com sistema de resfriamento eficiente no último efeito é o suficiente para se conseguir temperaturas desejáveis para a concentração deste fluido. Normalmente se trabalha com valores de temperatura de 66 a 68°C para o primeiro efeito e 45 a 47°C para o último efeito. O gradiente de temperatura de 21°C se divide entre o número de efeitos (normalmente de 4 a 6 efeitos) do sistema de evaporação acarretando menores alterações físico-químicas ao produto (Early, 1997). O leite entra no primeiro efeito com aproximadamente 87% em massa de água e sai do último evaporador com concentração de sólidos variando de 45 a 55%, de acordo com os parâmetros operacionais.
METODOLOGIA
Modelo Matemático
Neste trabalho o modelo matemático originalmente proposto por Holland (1983) para evaporadores é adaptado ao processo de concentração do leite. As considerações propostas por Holland (1983) são: (i) O líquido retido se encontra perfeitamente misturado; (ii) a retenção de vapor no evaporador é pequena diante da massa de leite retida; (iii) a retenção de energia nas paredes do equipamento é pequena; (iv) as perdas de energia para o ambiente são pequenas.
A Figura 2 fornece uma representação esquemática do funcionamento do evaporador estudado e a definição das variáveis de interesse.
Evaporador µ, x Vapor de aquecimento V0 Condensado V0 Leite W, xf Leite mais concentradoL,x Vapor gerado, V
Figura 2 – Representação do funcionamento do evaporador estudado e algumas variáveis de interesse (Cruz et. al., 2007)
Balanço de Massa e Energia: As equações básicas que compõem o modelo de Holland (1983) são resultado dos balanços de massa global e de sólidos e balanço de energia para um evaporador de simples efeito. Tal modelo pode
ser empregado, com alguma adaptação, na modelagem da evaporação de qualquer líquido. Cruz et. al. (2007) partindo do modelo de Holland (1983), desenvolveram uma série de equações para descrever a simulação de evaporador de licor negro de celulose. A seguir as equações matemáticas básicas desenvolvidas por estes autores são apresentadas e utilizadas para simular o primeiro efeito de um sistema de evaporação do leite.
Balanço de massa global (Equação 1):
(1)
sendo t o tempo (h).
Balanço de sólidos (Equação 2):
·
. . (2)
Derivando-se pela regra do produto o lado esquerdo da Equação 2 tem-se:
· · · · (3)
Substituindo-se na Equação 3 a Equação 1, tem-se após alguma manipulação:
· · (4)
O sistema de Equações Diferenciais Ordinárias a ser integrado para a simulação do sistema será composto pelas Equações 1 e 4. Entretanto, serão utilizadas expressões algébricas para o cômputo de L e V, a partir dos valores de µ e x em cada tempo. Estas expressões são desenvolvidas a seguir.
Balanço de energia global (Equação 5):
· ,
· , · ·
· , (5)
Transferência de calor (Equação 6): ! · " · · 0 (6)
Substituindo a Equação 6 na Equação 5 tem-se:
· ,
· , · ,
· ! · " ·
(7)
Derivando a expressão do lado esquerdo da Equação 7 pela regra do produto:
· , , · · , ·
, · ! · " ·
(8)
Substituindo a Equação 1 na Equação 8 e manipulando-se, tem-se:
· , · , · ! · " ·
, ·
(9)
Para se encontrar a derivada da entalpia com o tempo, utiliza-se a regra da cadeia:
, $ $· $ $ · (10)
Sabe-se que a temperatura de ebulição do leite (τ) é função da pressão e da concentração. Entretanto, durante a operação do evaporador, a pressão em cada efeito é constante e assim:
$ $ · (11)
Substituindo-se a Equação 11 na Equação 10 obtém-se: , $ $· $ $ · $ $ · % $ $· $ $ $ $ & · (12)
Substituindo-se a Equação 4 na Equação 12 obtém-se: , % $ $· $ $ $ $ & · % · · & (13)
Substituindo-se a Equação 13 na Equação 9 obtém-se:
%$$·$$ $$ & · · · ·
, · ! · " ·
, ·
(14)
Rearranjando-se a Equação 14 é possível obter-se V.
'.()*, *+ , + + *·%,-,.·,.,/0,-,/&102.3. )4+ 5 '6 + , 0 .%,-,..,/,.0,-,/&5
(15)
Para o cômputo da equação algébrica para L (vazão de concentrado) é feita a suposição de volume constante:
7 , 89 (16)
onde Vol é o volume de leite dentro do evaporador (m³). Derivando-se a Equação 16 em relação ao tempo, e lembrando-se da suposição de que o volume é constante, tem-se:
(; .,/ : 1
<=
Aplicando-se derivada do quociente do lado esquerdo da Equação 17:
> , · ·7 , 0 (18) Substituindo-se a Equação 1 na Equação 18 e aplicando-se a regra da cadeia para a derivada da densidade com o tempo:
> , · · %$7$ · $7$·
& 0
(19)
Substituindo-se a Equação 11 na Equação 19 obtém-se: > , · · %$7$ · $7$·$$ · & 0 (20)
Substituindo-se a Equação 4 na Equação 20 obtém-se:
> , · ·
· · %$7$ $7$·$$ & 0 (21) Manipulando-se esta Equação 21 é possível determinar L:
'+· *+ 0· ·%
,;
,/0,;,.·,.,/&07 , · + 5
7 , (22)
O sistema de equações matemáticas a ser resolvido é composto pelas equações 1, 4, 15 e 22.
Relações Adicionais: Minim et. al. (2002) relacionaram a influência da temperatura e dos conteúdos de água e de gordura nas propriedades termofísicas do leite. Estes autores usaram de correlações empíricas para determinar o calor específico (J/(kg.K)) e a densidade do leite (kg/m³). Tais propriedades são descritas pelas Equações 23 e 24, adaptadas de Minim et. al. (2002).
O calor específico varia linearmente com a temperatura e é pouco influenciado pelo conteúdo de gordura (Castro, 2006).
?@ , 1401,7 2,1 · 2181,6 ·
1 402,2 · (23)
A densidade do leite varia de acordo com a sua concentração e é amplamente influenciada pela temperatura (Castro, 2006).
> , 1185,64 0,341 · 58,239 ·
1 13,4093 · (24)
A entalpia do leite pode ser calculada, integrando-se a Equação 23 desde a temperatura de referência (Tr) até a temperatura de ebulição
do leite (τ):
, 3,5833 2,5838 · · J
0,00105 · K
JK (25)
A temperatura de ebulição do leite varia com a pressão de operação do equipamento e com a concentração de sólidos. Castro (2006) avaliou a elevação do ponto de ebulição (EPE) do leite adicionado de sacarose e ajustou os dados experimentais ao modelo de Dürhing. A equação para a EPE do leite é proposta ajustando-se os dados de Castro (2006) para o leite com 0% de sacarose (Equação 26).
LML 2,087 15,6016 · 0,0172
0,0188 · · NO (26)
Ainda a partir de Cruz et. al. (2007) são obtidas as equações que descrevem a temperatura de saturação da água em função da pressão de trabalho (Equação 27) e para a entalpia do vapor gerado (Equação 28).
NO M %=S% +PQK ,R T
UVV,VW&+RX,YZK& 42,014 (27)
, M [ · \ ] · M ^ · · M _ (28)
A Equação 28 e a Tabela 1 apresentam os parâmetros e os respectivos valores adotados para a Equação (28).
Tabela 1 – Parâmetros estimados para a utilização da Equação 28 (Cruz et. al., 2007).
Parâmetro Valor a 7,3424×102 b 1,1383 c -1,2804×10-1 d 1,0260 e 2,7686×10-4 f 2,0634×106
Os valores das demais variáveis operacionais necessários para a simulação do comportamento do primeiro evaporador (primeiro efeito) de um sistema de evaporação estão descritos na Tabela 2.
Tabela 2 – Condições operacionais
Variáveis Valores xf 0,13 (-) Tf 323,15 K W 15000 kg/h UA 4x108 J/(K.h) To 373 K P 20000 Pa
RESULTADOS E DISCUSSÃO
O modelo resultante foi então resolvido obtendo-se o comportamento dinâmico das variáveis operacionais de interesse. Os resultados são apresentados pelas Figuras 3 a 7. A solução do sistema de equações matemáticas não lineares proposto foi realizada empregando-se um método numérico de resolução de equações diferenciais (Runge-Kutta) implementado no programa MATLAB (MATrix LABoratory).
Na Figura 3 é apresentado o comportamento da massa retida de leite (µ) no evaporador ao longo do tempo. Verifica-se que o estado estacionário do sistema é atingido após 4h de operação.
A análise da Figura 4 evidencia que o leite alimentado com 13% de sólidos sofre um acréscimo em sua concentração, deixando o sistema com cerca de 23%, após o mesmo atingir o estado estacionário. Tempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 M a s s a d e l e it e ( k g ) 9990 10000 10010 10020 10030 10040 10050
Figura 3 - Simulação da massa de leite (µµµµ) retida no evaporador ao longo do tempo.
Tempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 C o n c e n tr a ç ã o d o l e it e x (-) 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24
Figura 4 – Simulação da concentração do leite (x) que deixa o evaporador ao longo do tempo. Tal elevação da concentração do leite no interior do evaporador, reportada na Figura 3, causa um acréscimo da temperatura de ebulição deste fluido como já era previsto. Este comportamento pode ser verificado analisando-se a Figura 5. Tempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 T e m p e ra tu ra ( K ) 333,8 334,0 334,2 334,4 334,6 334,8 335,0 335,2 335,4 335,6 335,8
Figura 5 - Simulação da temperatura de ebulição do leite (ττττ) no interior do evaporador ao longo do tempo.
Finalmente destacam-se, no estado estacionário, as gerações de cerca de 6603 kg/h de vapor (Figura 6) e 8396 kg/h de concentrado (Figura 7) a serem empregados no próximo efeito do sistema. Tempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 V a z ã o d e E v a p o ra d o V ( k g /h ) 6580 6600 6620 6640 6660 6680 6700 6720 6740 6760 6780 6800
Figura 6 – Simulação da vazão de evaporado (V) que deixa o evaporador ao longo do tempo. Tempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 V a z ã o d e l e it e c o n c e n tr a d o L ( k g /h ) 8150 8200 8250 8300 8350 8400 8450
Figura 7 – Simulação da vazão do leite concentrado (L) que deixa o evaporador ao longo do tempo.
CONCLUSÕES
Pelos resultados obtidos é possível concluir que o modelo matemático desenvolvido pode ser empregado na simulação do comportamento de
evaporadores que compõem sistemas de evaporadores de múltiplo efeito empregados na concentração do leite. Como proposta futura, espera-se a obtenção de dados operacionais reais que possibilitem a validação do modelo. A partir da validação seria possível a busca pelas melhores condições de operação para o processo em estudo. Vale ressaltar que tais informações não são usualmente disponibilizadas pelas indústrias.
NOMENCLATURA
A Área de troca térmica (m2) Cp(τ,x) Calor específico do leite (J/(kg.K))
EPE Elevação do ponto de ebulição do leite (K)
h(Tf,xf) Entalpia do leite na entrada
h(τ,x) Entalpia do leite dentro do evaporador e na saída
H(τ,P) Entalpia do vapor gerado
L Vazão de leite na saída do evaporador (kg/h)
P Pressão no interior do evaporador (Pa) Tf
Temperatura do leite na entrada do evaporador (K)
T0
Temperatura do vapor de aquecimento (K)
Tr Temperatura de referência (K)
Tsat(P) Temperatura de saturação da água (K)
U Coeficiente de troca térmica (J/(m2.K.h)) V Vazão do vapor evaporado do leite que
sai do equipamento (kg/h) V0
Vazão do vapor que alimenta e que sai do evaporador (kg/h)
Vol Volume de leite dentro do evaporador (m³)
x Concentração do leite dentro do evaporador e na saída
xf
Concentração do leite na entrada do equipamento (-)
W Vazão de leite que alimenta o evaporador (kg/h)
τ Temperatura de ebulição do leite (K) µ Massa de leite dentro do evaporador
(kg)
ρ(τ,x) Densidade evaporador e na saída (kg/m³) do leite dentro do λ0
Calor latente de vaporização da água (J/kg)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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CRUZ, R. M.; COSTA, A. O. S.; COSTA JÚNIOR, E. F., 2007. Modelagem e Simulação de Evaporador de licor negro de celulose. Relatório de Atividades.
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ELHAQ, S. L.; GIRI, F.; UNBEHAUEN, H., 1999. Modelling, identication and control of sugar evaporation - theoretical design and experimental evaluation. Control Engineering Practice, 7, 931-942.
FELLOWS, P. J., 2006. Tecnologia do processamento de alimentos: princípios e práticos. 2. ed. Artmed, Porto Alegre, 602 p. HOLLAND, C.D., 1983. Computer Methods for
Solving Dynamic Separation Problems. New York: McGraw.
KAYA, D.; SARAC, H. I., 2007. Mathematical modeling of multiple-effect evaporators and energy economy. Energy, 32, 1536–1542. MINIM, L. A.; COIMBRA, J. S. R.; MINIM, V. P.
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MIRANDA, V.; SIMPSON, R., 2005. Modelling and simulation of an industrial multiple effect evaporator: tomato concentrate. Journal of Food Engineering, 66, 203–210.
WESTERGAARD, V., 2004. Tecnología de la Leche en Polvo. Evaporación y Secado por Atomización. Niro S.A., Copenhague.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem à Fundação de Apoio à Ciência & Tecnologia do Espírito Santo (FAPES) pelo apoio financeiro.
