Gilseu Von Muhlen
IMPACTO DA MODELAGEM DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDRELÉTRICA NO PROBLEMA DA PROGRAMAÇÃO
DIÁRIA DA OPERAÇÃO ELETROENERGÉTICA
Dissertação submetido ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétrica
Orientador: Prof. Dr. Erlon Cristian Finardi
Coorientador: Prof. Dr. Murilo Reolon Scuzziato
Florianópolis 2019
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a minha família pelo imenso apoio. Aos meus pais Alcides e Lurdes que sempre estiveram ao meu lado. Aos meus irmãos Gisele e Gilberto por estar sempre presente tanto nos momentos difíceis quanto desfrutando dos bons momentos, pelo imensurável apoio e incentivo durante todo o desenvolvimento deste trabalho. A minha cunhada Rubia e meu cunhado Joel pelo íntegro incentivo.
Agradeço em especial, ao meu orientador prof. Erlon Cristian Finardi e meu coorientador prof. Murilo Reolon Scuzziato pela dedicação, paciência, conhecimento compartilhado e constante incentivo. Ao prof. Fabricio Yutaka Kuwabata Takigawa e ao Eng. Paulo Larroyd da Norus pelas relevantes contribuições para o aperfeiçoamento deste trabalho.
Aos professores do LabPlan, Ildemar Cassana Decker, Mauro Augusto da Rosa e Diego Issicaba, e a todos os professores que de alguma forma contribuíram de forma direta ou indireta para o desenvolvimento deste trabalho.
Agradeço também a secretaria do LabPlan Luciana Cabral Teixeira, pela amizade e por todo o apoio prestado.
Aos meus amigos do LabPlan, Samir Walker Fernandes, Guilherme Luiz Minetto Fredo, Renata Pedrini, Sandy Tondolo, Angélica Benetti Cezimbra, Felipe Beltran Rodriguez, Fabio Mathus Mantelli, Gabriel Santos Bolacell, Guilherme Matiussi Ramalho, Laura Eduarda Marques, Lucas Fritzen Venturini, Marcelo Marcel Côrdova, Pedro Cesar Cordeiro Vieira, Kenny Vinente dos Santos, Daniel Mendes Ayoub, Bruno Rocha Colonetti, Brunno Brito, com quem tive a oportunidade de conviver durante a desenvolvimento deste trabalho, por todo aprendizado e momentos de descontração proporcionados.
Agradeço em especial aos amigos “que o mestrado me deu” Samir Walker Fernandes, Guilherme Luiz Minetto Fredo, José Octávio Cesário Pereira Pinto, os quais são responsáveis por ter proporcionado os melhores momentos vivenciei aqui em Florianópolis e, por todo o apoio e incentivo ao longo deste mestrado. Estas são amizades que levarei para a vida toda. Não poderia deixar de agradecer em especial ao Samir Walker Fernandes, meu colega de classe, por todo o conhecimento compartilhado, atenção e paciência.
Foram tantas pessoas que contribuíram para este trabalho que peço desculpa a aqueles que porventura não tenha o citado nominalmente, meu agradecimento a vocês também, saibam que são importantes tão quanto todos aqui citados.
À Universidade Federal de Santa Catarina e CAPES, por proporcionarem recursos e apoio financeiro durante o desenvolvimento deste trabalho.
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original.”
R
ESUMOEste trabalho apresenta uma análise comparativa do impacto de diferentes representações da função de produção hidrelétrica (FPH) no problema da Programação Diária da Operação Eletroenergética. Para tanto, a análise baseia-se em aproximações lineares por partes da FPH, com duas variantes importantes. A primeira variante faz uso de um algoritmo de Convex Hull (CH) para construir uma envoltória superior da FPH não linear original, a qual mantém a convexidade do modelo. Por sua vez, a segunda variante resolve um problema de programação quadrática inteiro misto (PQIM) para definir cada hiperplano. Neste caso, o objetivo consiste em minimizar a soma do erro quadrático (EQ) em relação a FPH não linear, sendo que restrições são incluídas no PQIM para assegurar a convexidade do modelo. As duas variantes geram modelos lineares por partes para representações individualizada das unidades geradoras e agregada, i.e., aquela em que todas as unidades de uma usina são representadas por uma única unidade equivalente. Adicionalmente, para minimizar os erros de aproximação do modelo individual, este trabalho apresenta a FPH como função apenas da queda bruta e da vazão turbinada. Por outro lado, no caso agregado, a FPH é representada através de duas modelagens, uma em função da queda bruta e da vazão turbinada e outra em função de volume, vazão turbinada e vertimento. Para analisar o impacto das diferentes abordagens (i.e., CH e EQ com representações agregadas e individualizadas das UGs) utiliza-se um sistema baseado no Sistema Interligado Nacional, composto por 152 UHEs, 132 usinas térmicas e 5 subsistemas.
Palavras chave: Função de Produção Hidrelétrica, Programação Diária de Operação Eletroenergética, Sistemas Hidrotérmicos.
A
BSTRACTThis work presents a comparative analysis of different approaches of the Hydroelectric Production Function (HPF) impact applied to the unit commitment problem. For this purpose, a piecewise linear HPF are used concerning two linearization techniques. The first one uses a well-known Convex Hull (CH) algorithm in order to construct an upper hull of the original nonlinear HPF, which keeps the model convexity. Otherwise, the second technique solves a Mixed-Integer Quadratic Programming (MIQP) problem in order to define each hyperplane. For this case, the objective is minimizing the Error Sum of Squares (ESS) in relation to the nonlinear HPF, being constraint are added in the MIPQ for guarantee the model convexity. Both techniques are used to generate piecewise linear models for individualized representations of the generating units and aggregated, i.e., those that all units of a hydro plant are represented by an equivalent unit. Additionally, the HPF of each unit as a function of the gross head and turbined outflow is presented in order to minimize the approximation error of the individual model. Otherwise, concerning the aggregated case, the FPH is represented by two models, one of them as a function of gross head and turbined outflow, and the other as a function of storage, turbined outflow and spillage. To analyze the impact of the different approaches (i.e., CH and ESS with aggregated and individualized representations of the generating units), the results are performed utilizing a system based on Brazilian Interconnected System, which is composed by 152 hydroelectric plants, 132 thermal plants and 5 subsystems.
Key Word: Hydroelectric Production Function, Unit commitment, Hydrothermal Systems.
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ISTA DEF
IGURASFigura 1 – Diagrama esquemático de uma usina hidrelétrica. ... 29
Figura 2 - Grade de pontos da FPH Machadinho. ... 34
Figura 3 - Envoltória obtida pelo algoritmo CH. ... 35
Figura 4 - Hiperplanos selecionados pelo algoritmo. ... 36
Figura 5 - Grade de pontos FPH Machadinho EQ. ... 37
Figura 6 - Função cota de montante da UHE Machadinho. ... 41
Figura 7 - Função cota de jusante. ... 42
Figura 8 - Função cota de jusante com vertimento nulo. ... 43
Figura 9 - FPH agregada UHE Machadinho para volume de 2.812 hm³. ... 44
Figura 10 - FPH agregada da UHE Machadinho. ... 45
Figura 11 - Configuração dos subsistemas. ... 72
Figura 12 - Curva de demanda líquida. ... 73
Figura 13 – Erro em função do número de pontos para o modelo ph2. 75 Figura 14 – Erro em função do número de pontos para o modelo ph1. 76 Figura 15 – Comparação do erro médio de aproximação entre ph1e ph2. ... 76
Figura 16 - FPH(w, hb) UHE Santo Antônio. ... 77
Figura 17 – Grade de pontos e CH FPH(w, hb) UHE Santo Antônio. .. 78
Figura 18 – Erro em função do número de pontos para o modelo ph4. 78 Figura 19 – Erro em função do número de pontos para o modelo ph3. 79 Figura 20 – Grade de pontos UHE Funil FPH(w, hb). ... 79
Figura 21 – Grade de pontos utilizada para representar a FPH da UHE Funil. ... 80
Figura 22 – Grade de pontos com mínimo erro UHE Funil - modelo ph3. ... 80
Figura 23 – Erro médio de aproximação ph3 e ph4. ... 81
Figura 24 - CH da FPH(w, v) da UHE Santo Antônio. ... 81
Figura 25 -Erro em função do número de pontos para o modelo ph7. . 82
Figura 26 - Erro em função do número de pontos para o modelo ph6. . 82
Figura 27 - Erro médio de aproximação dos modelos ph5 e ph6. ... 83
Figura 28 – Erro médio metodologia de aproximação CH (modelos ph4 e ph6). ... 83
Figura 29 – Erro médio metodologia de aproximação EQ (modelos ph3 e
ph5). ... 84
Figura 30 - Custo total de operação - Técnica CH. ... 86
Figura 31 – Geração hidrelétrica técnica CH. ... 86
Figura 32 - Erro médio ponderado técnica CH. ... 87
Figura 33 - Custo total de operação técnica EQ. ... 88
Figura 34 - Erro médio ponderado técnica EQ. ... 88
Figura 35 - Custo total de operação modelagem w e hb. ... 89
Figura 36 - Erro médio ponderado modelagem w, hb. ... 90
Figura 37 – Função de produção UHE Samuel para um volume útil de 80%. ... 90
Figura 38 - Custo total de operação modelagem w, v e s. ... 91
Figura 39 - Erro médio ponderado modelagem w, v e s. ... 91
Figura 40 - Custo total de operação para os modelos ph6 e ph10 ... 92
Figura 41 - Operação em zona proibida. ... 93
Figura 42 - Custo total de operação para os modelos ph5 e ph9. ... 93
Figura 43 – Gap modelos ph7 e ph8. ... 94
Figura 44 – Gap dos modelos ph1 e ph2. ... 95
Figura 45 - Custo total de operação entre os modelos ph2 e ph4. ... 96
Figura 46 - Comparação custo total de operação entre os modelos ph1 e ph3. ... 96
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ISTA DET
ABELASTabela 1 - Dados das hidrelétricas. ... 72 Tabela 2 - Dados das termelétricas. ... 72 Tabela 3 – Limites de intercâmbio entre os subsistemas... 73 Tabela 4 - Tempo de solução em função do número de hiperplanos .... 74 Tabela 5 - Número de hiperplanos e erro de aproximação. ... 84 Tabela 6 - Período seco e período úmido. ... 87 Tabela 7 - Tempo médio de execução. ... 97 Tabela 8 - Erro médio e número de planos modelagem individualizada. ... 101 Tabela 9 - Erro médio e número de planos modelagem agregada. ... 104
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UMÁRIO1
INTRODUÇÃO... 21
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 23
OBJETIVOS ... 26
ESTRUTURA DO TRABALHO ... 27
2
MODELAGEM DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDRELÉTRICA... 29
APROXIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDRELÉTRICA ... 31
Aproximação linear por partes da FPH individualizada ... 33
2.1.1.1 Técnica de linearização baseada no CH ... 34
2.1.1.2 Técnica de linearização baseada no EQ ... 37
Aproximação da função cota de montante ... 41
Aproximação da função cota de jusante ... 41
Aproximação linear por partes da FPH agregada .. 43
2.1.4.1 Técnica de linearização baseada no EQ ... 46
2.1.4.2 Inclusão da vazão vertida ... 47
RESUMO DOS MODELOS DE FPH ... 48
3
F
ORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO... 51
SISTEMA HIDROTÉRMICO ... 51
Usinas Termelétricas ... 52
Usinas Hidrelétricas ... 54
3.1.2.1 Reservatórios ... 55
3.1.2.2 Função de Produção Hidrelétrica Aproximada ... 57
Demais elementos do sistema ... 62
PROGRAMAÇÃO DIÁRIA DA OPERAÇÃO ELETROENERGÉTICA ... 63
PDE1 ... 63
PDE2 ... 66
PDE4 ... 67 PDE5 ... 67 PDE6 ... 68 PDE7 ... 68 PDE8 ... 69 PDE9 ... 69 PDE10 ... 70
4
EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS... 71
DESCRIÇÃO DO SISTEMA TESTE ... 71
APROXIMAÇÕES DA FPH ... 74
Análise do erro de aproximação dos modelos ph1e ph2 75 Análise do erro de aproximação dos modelos ph3 e ph4 77 Análise do erro de aproximação dos modelos ph5 e ph6 81 SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA PDE ... 84
Solução do problema da PDE utilizando a FPH agregada ... 85
4.3.1.1 Linearização com CH ... 85
4.3.1.2 Linearização com EQ ... 87
4.3.1.3 Comparação das técnicas de linearização ... 89
Solução do problema da PDE utilizando a FPH agregada com variável binária nas hidrelétricas ... 92
4.3.2.1 Modelagem w, v e s ... 92
4.3.2.2 Modelagem w e hb ... 94
Solução do problema da PDE utilizando a FPH individualizada ... 95
5
C
ONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 99
APÊNDICE
A
–
D
ADOS DASFPH ... 101
1
INTRODUÇÃOO problema da Programação Diária da Operação Eletroenergética (PDE) consiste em determinar o despacho horário das unidades hidrelétricas e termoelétricas para o dia seguinte. Como resultado da PDE são definidas quais unidades devem operar e seus respectivos níveis de geração para atender a demanda de energia do sistema, considerando restrições operativas das usinas e restrições elétricas do sistema, de modo que o mínimo custo de operação seja alcançado.
Para garantir as necessidades presentes e futuras de energia no sistema elétrico é fundamental fazer estudos de planejamento da operação energética, principalmente em sistemas predominantemente hidrelétricos, como o brasileiro, cuja a participação hidrelétrica é de aproximadamente 64% da capacidade instalada ANEEL (2019).
Uma vez que existem muitas complexidades envolvidas, tais como a incorporação de incertezas, acoplamento temporal e espacial e o grande porte do problema é inviável a adoção de um modelo único Silva (2012). No caso brasileiro, o planejamento da operação energética do Sistema Interligado Nacional (SIN) é subdividido em três etapas coordenadas entre si, as quais atualmente são denominadas de:
(1) Planejamento de médio prazo: nesta etapa o horizonte é de cinco anos com discretização mensal e as Usinas Hidrelétricas (UHE) são representadas por reservatórios equivalentes de energia. O objetivo é definir uma política de operação que minimiza uma combinação convexa do custo esperado de operação e o Conditional Value at Risk (CVaR) (LARROYD, 2016; MATOS, 2012; SILVA; FINARDI, 2003).
(2) Planejamento de curto prazo: esta etapa considera um horizonte de dois meses, com discretização semanal no primeiro mês. A representação das UHEs do sistema é feita de maneira individual e são incluídas algumas restrições de intercâmbio entre subsistemas (DINIZ, 2007; FREDO, 2016; RODRIGUES, 2009; XAVIER; DINIZ; COSTA, 2005)
(3) Programação diária da operação eletroenergética: consiste em determinar a geração para o dia seguinte, atendendo a
Introdução | Capítulo 1 22
demanda do sistema, os limites de intercâmbio, e as restrições operativas das usinas (DINIZ, 2007; FINARDI, 2003; KADOWAKI, 2012; SCUZZIATO, 2016; TAKIGAWA, 2010). O horizonte é de até 15 dias com discretização horária ou de meia em meia hora. Nesta etapa, considera-se uma modelagem mais detalhada do sistema, como características operativas das UHE e das Usinas Termoelétricas (UTE) e a topologia da rede de transmissão, representada por um modelo linear.
Atualmente os modelos adotados oficialmente para a operação do SIN são desenvolvidos pelo Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL) Maceira et al. (2002). Fazem parte da cadeia de modelos o NEWAVE, para o planejamento de médio prazo, o DECOMP, para o planejamento de curto prazo e, por fim, o DESSEM, aplicado à PDE. Este último ainda não está oficialmente em uso, porém, está previsto para entrar em operação em janeiro de 2020, sendo considerado na operação e formação de preço horário CPAMP (2018).
Na PDE a geração horária das usinas deve ser determinada de forma coordenada, considerando vários fatores, como a representação da interligação elétrica entre as usinas, o acoplamento hidráulico das UHEs em cascata, e também o acoplamento temporal das decisões dos reservatórios Diniz (2007). O que resulta em um grande número de restrições que requerem uma formulação com variáveis inteiras, tornando o problema da PDE uma tarefa complexa, principalmente em um sistema de grande porte, como o brasileiro.
Assim, este cenário faz com que algumas simplificações na modelagem sejam consideradas no modelo DESSEM, dentre as quais destaca-se a representação das unidades geradoras de uma dada UHE por meio de uma unidade equivalente, assim como realizado no modelo DECOMP. Embora para algumas condições operativas e tipos de UHEs tal estratégia possa ser adequada, a agregação não consegue levar em consideração a questão das zonas operativas das unidades, fornecendo despachos que podem não ser factíveis na prática. Essa característica é mais evidente em períodos de baixa afluência e para UHEs com poucas unidades e grande capacidade instalada.
Nesse sentido, o objetivo principal deste trabalho é analisar o impacto da modelagem da FPH utilizada pelo modelo DESSEM. Para
tanto, a análise comparativa faz uso de aproximações lineares por partes da FPH, e um sistema teste baseado no SIN, composto por 152 UHEs, 132 UTEs e cinco subsistemas. Antes de detalhar as contribuições específicas, apresenta-se uma revisão da literatura com foco no modelo de FPH utilizados em problemas semelhantes ao de interesse deste trabalho.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Um dos primeiros trabalhos a abordar o problema da PDE1 em
sistemas hidrotérmicos foi Chandler et al. (1953). Neste trabalho, uma vez que é definida a quantidade de água desejada a ser utilizada em cada período de tempo, o objetivo é minimizar o consumo de combustível das termelétricas, cuja produção das hidrelétricas é representada por uma função linear com a altura que queda considerada constante.
Em Glimn; Kirchmayer (1958) a variação da altura de queda é incluída na modelagem em função do volume armazenado e da vazão defluente. Através de vários métodos são mostrados os efeitos econômicos da influência da queda na geração das hidrelétricas, e consequentemente, no custo de produção térmica.
Por sua vez, Bonaert et al. (1972) propõe uma abordagem que considera a altura de queda e leva em conta o tempo de viagem da água entre as usinas da mesma cascata. Outras considerações também são feitas, como os limites de fluxo de potência da rede elétrica e os limites de operação das usinas.
Um dos primeiros trabalhos a abordar o problema da PDE no sistema elétrico brasileiro foi o de Pereira; Pinto (1982). Nele é apresentado um modelo de pré-despacho utilizando um modelo simplificado das hidrelétricas, onde são representadas somente as usinas com grandes capacidades de regularização. Na modelagem, consideram-se apenas os limites de geração e a quantidade de água a consideram-ser consumida. O trabalho de Habibollahzadeh; Bubenko (1986) foi um dos primeiros a considerar a FPH linear por partes em duas dimensões, em que é abordado um modelo para o despacho de curto prazo em sistemas hidrotérmicos de grande porte predominantemente hidrelétricos. Para as
1 Na literatura internacional o problema da PDE é denominado de problema da
Introdução | Capítulo 1 24
termelétricas consideram-se custo variável de geração linear, custo de partida, tempos mínimos de partida e desligamento. As hidrelétricas são modeladas de forma detalhada por uma função de produção linear que considera a vazão turbinada e a altura de queda, tempo de viagem da água, acoplamento dos reservatórios, restrições hidráulicas e limites de geração também são considerados.
Já Heredia; Nabona (1995) aborda no problema da PDE com uma a FPH linear por partes em função de volume armazenado no reservatório e da vazão turbinada. A linearização é feita através de série de Taylor de primeira ordem.
No trabalho de Soares; Salmazo (1997) é dada uma atenção especial para a FPH. As unidades geradoras são representadas de forma detalhada, considerando faixas proibidas, os efeitos da altura de queda, perdas no conduto forçado e perdas associadas ao rendimento da turbina. Uma representação das unidades geradoras individualizadas no problema da PDE em sistemas hidrotérmicos é apresentado no trabalho de Li et al. (1997). A FPH é representada por uma função linear por partes em função da vazão das turbinas, entretanto o volume armazenado no reservatório e a vazão defluente não são considerados na modelagem. A abordagem foi aplicada em um sistema hidrotérmico de 65 UHE contendo 115 unidades geradoras e 50 UTEs.
Embora não focado no problema da PDE, CUNHA et al. (1997) apresentam o conceito de Função de Produção Energética (FPE) para modelar a produção variável das UHEs. Esta modelagem propõe uma FPH linear por partes em três dimensões, em função de volume armazenado e a vazão defluente (vazão turbinada e vazão vertida), desconsiderando o rendimento da turbina em relação a vazão turbinada.
Garcia-Gonzalez; Castro (2001) apresenta uma modelagem da FPH linear por partes inteira mista, conforme proposta em Babayev (1997), onde a linearização é feita pelo método de triangulação através de um problema de otimização. Como conclusão, tem-se que a solução do problema se torna inviável, quando aplicado em um sistema de grande porte, devido ao grande número de variáveis binárias.
Os trabalhos de Finardi (2003) e Silva; Finardi (2003b) aborda o problema da PDE do sistema hidrotérmico brasileiro. Devido a predominância hidrelétrica os subproblemas referentes a este tipo de usina recebem uma atenção especial. A FPH é modelada individualmente e de forma não linear, levando em consideração as não linearidades da
cota de jusante, perdas hidráulicas, rendimento do conjunto turbina/gerador e zonas proibidas de operação.
Por sua vez em Diniz et al. (2004) é proposta melhoria na modelagem proposta por CUNHA et al. (1997), onde divide-se a defluência total em vazão turbinada e vazão vertida na UHE. Inicialmente, através da formula de Taylor é construída uma aproximação de primeira ordem dependente apenas do volume armazenado e da vazão turbinada. Na sequência, insere-se na modelagem o efeito da vazão vertida por meio de aproximações secante, que minimiza o erro médio quadrático entre a FPH aproximada e a não linear. Estudos realizado por Xavier et al. (2005) mostram uma redução expressiva nos desvios de cálculo da geração hidrelétrica, quando aplicado esta modelagem no modelo DECOMP.
O trabalho de Diniz; Maceira (2008) propõe uma melhoria na modelagem proposta por Diniz et al. (2004). Neste caso a linearização é baseada na técnica de convex hull proposta por Andrew (1979), em que primeiramente aplica-se a convex hull na FPH em função de volume e vazão turbinada e na sequência insere-se o efeito do vertimento através de aproximações secante.
No trabalho de Jia (2013) é proposta uma modelagem da FPH linear inteira mista em função de queda líquida e vazão turbinada para a operação de usinas em cascata no problema da PDE. A linearização é baseada na técnica de interpolação, onde inicialmente determina-se um retângulo que represente a região viável da FPH, e na sequência divide-se em sub-regiões triangulares para então definir os coeficientes dos planos que representara cada sub-região. Os resultados mostram que esta modelagem é eficiente, porém o número de planos tem alto impacto no tempo computacional de solução do problema da PDE.
Hamann; Hug (2014) apresentam um modelo de otimização linear para a operação em tempo real de UHEs em cascata. A FPH é representada por um modelo linear por partes inteira mista, em função da vazão turbinada e da queda líquida. A linearização é baseada na técnica de triangulação, que consiste em resolver um problema de programação quadrática para definir, um plano para cada triangulo, resultante da minimização da soma do erro quadrático em relação a FPH original. Utilizando um sistema teste composto por sete usinas em cascata no rio Columbia nos Estados Unidos, os autores mostraram que a FPH
Introdução | Capítulo 1 26
aproximada atendia as restrições de operação do sistema de forma satisfatória.
Fredo (2016) propõe a duas formas de representar a FPH. A primeira considera a produtibilidade constante. Por sua vez, na segunda a FPH é representada de forma mais detalhada, conforme proposto em Diniz; Maceira (2008). Estas modelagens são aplicadas no problema do médio prazo utilizando um sistema teste de grande porte, baseado no SIN. Como resultado, tem-se que a FPH mais detalhada, linear por partes, é cerca de 14 vezes mais onerosa computacionalmente, podendo comprometer a viabilidade do problema de curto prazo.
No trabalho de Kang et al. (2018) é proposto um método de aproximação linear por partes para a FPH em três dimensões, em função de volume armazenado no reservatório e vazão turbinada. A aproximação consiste em resolver um problema de programação quadrática inteiro misto para definir, em uma dada divisão do domínio da função, um hiperplano resultante da minimização da soma do erro quadrático em relação a FPH não linear. Uma das vantagens desta técnica é a possibilidade de escolha do número de planos, bem como, quais pontos da FPH cada plano representará.
OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho consiste em contribuir com métodos de linearização e de modelagens da FPH no âmbito do problema da PDE, propondo-se dois métodos de linearização e diferentes modelagens da FPH. Neste sentido, os objetivos específicos a serem cumpridos são:
1. Estudar e analisar diferentes modelos que representem de forma realista a FPH que, implicitamente, leve em consideração as características das unidades geradoras, seja na modelagem por unidade individualizada ou de forma agregada;
2. Com base nos métodos sugeridos na literatura, propor métodos matemáticos de aproximação linear por partes para os diferentes modelos da FPH acima citados;
3. Implementar um modelo de otimização que represente as principais características do problema da PDE, incorporando as modelagens da FPH citadas no Item 1;
4. Quantificar e analisar a precisão da FPH linear por partes em função do número de hiperplanos, de forma a encontrar um número de hiperplanos que forneça uma boa aproximação e um tempo de execução compatível com as necessidades do problema da PDE.
5. Quantificar e analisar o impacto econômico e o tempo de execução do problema da PDE mencionado no Item 3. ESTRUTURA DO TRABALHO
No próximo Capítulo é abordado a modelagem da FPH não linear de forma detalhada, para posteriormente introduzir as diferentes modelagens e métodos de linearização propostas, assim como todos os modelos da FPH propostos neste trabalho.
Em seguida, no Capítulo 3, apresenta-se a modelagem matemática que descreve o comportamento dos componentes do sistema hidrotérmico. Além disso, são apresentados os modelos de otimização do problema da PDE resultantes quando aplicados os diferentes modelos da FPH.
No Capítulo 4 são apresentados os experimentos computacionais. O capítulo é iniciado pela descrição do sistema teste a ser utilizado. Na sequência são apresentados os resultados da aproximação da FPH comparando as duas técnicas de linearização. Por fim, apresenta-se o resultado da solução do problema da PDE, comparando o custo total de operação e o tempo de execução, quando aplicadas as diferentes modelagens da FPH
Por fim, no Capítulo 5 são descritas as considerações finais e discutem-se as propostas de trabalhos futuros.
2
MODELAGEM DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDRELÉTRICAA energia elétrica produzida por uma usina hidrelétrica (UHE) está limitada pela energia hidráulica disponível, a qual depende da queda bruta (i.e., diferença entre os níveis de montante e jusante) e da vazão turbinada nas unidades. Essa vazão, conduzida através dos condutos forçados até os diversos conjuntos turbina-gerador, fornece energia mecânica que é convertida em energia elétrica pelos geradores. A Figura 1 ilustra os principais componentes de uma UHE.
Figura 1 – Diagrama esquemático de uma usina hidrelétrica.
A energia elétrica produzida por uma unidade geradora (UG), a qual corresponde ao produto entre a potência média gerada e um certo intervalo de tempo, é resultado da multiplicação da queda líquida (h), da vazão turbinada na unidade (q) e do rendimento global da unidade (). A expressão matemática dada por esse processo é definida como Função de Produção Hidrelétrica (FPH), a qual representa o comportamento da potência em função das variáveis de controle e estado. Nota-se que apenas q é por si só uma variável do problema, sendo que h e dependem de outras variáveis que são definidas pela operação de uma UHE, conforme detalhado a seguir.
Inicialmente, a potência de uma UG é dada por:
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 30
em que:
ph é a potência ativa UG (MW);
G é uma constante dada por 9,8110-3, que representa o produto
do valor da massa específica da água pela aceleração da gravidade (kg/m²s²) multiplicado ainda por 10-6 para
transformar W em MW.
Conforme mostrado na Figura 1, a diferença entre o nível de montante e o nível de jusante define a altura de queda bruta (hb). No caso brasileiro, tanto o nível de montante quanto o nível de jusante são representados por polinômios de até quarta ordem. Portanto, hb é dado pelo seguinte polinômio:
2 3 4 2 3 4 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) hb fcm v fcj w s hb v v v v w s w s w s w s A0 A1 A2 A3 A4 B0 B1 B2 B3 B4 (2.2) em que:
fcm() é a função cota de montante, a qual depende do volume armazenado no reservatório (v) em (hm³);
fcj() é a função de cota de jusante, a qual depende da vazão turbinada da usina (w) e do vertimento (s), ambos em (m3/s). Nota-se que w é dado pelo somatório de todas as
vazões turbinadas nas UGs;
A0,...,4 são os coeficientes do polinômio de cota de montante; B0,...,4 são os coeficientes do polinômio de cota de jusante.
Contudo, quando a água é conduzida pelos condutos forçados ocorrem perdas hidráulicas, as quais basicamente estão associadas ao atrito. Portanto, nem todo o potencial energético associado com hb fica disponível para a conversão de energia. Sendo assim, a altura de queda efetiva, denominada queda líquida, é aquela em que essas perdas são descontadas da queda bruta. Geralmente em estudos de planejamento energético as perdas hidráulicas são representadas de forma aproximada por uma função quadrática em função de q Finardi (2003). Portanto, a altura de queda líquida é dada por:
2
C
Acima, C é uma constante dada em s2/m5.
Ainda com relação a FPH (2.1), outro aspecto que define a potência é o rendimento, o qual é dado pelo produto entre os rendimentos hidráulico e mecânico da turbina com o rendimento elétrico do gerador. Neste trabalho, consideram-se os dois últimos rendimentos como sendo unitários. Por sua vez, o rendimento hidráulico depende de h e q. Este inter-relacionamento é bastante complexo, sendo normalmente expresso por meio de curvas de desempenho (curvas-colina) para cada UG. Entretanto, obtém-se uma boa aproximação do rendimento hidráulico por meio de um polinômio de segunda ordem Diniz et al. (2007). Desta forma, neste trabalho, o rendimento da UG é modelado por meio de uma função quadrática estritamente côncava, conforme:
2 2
D0 D1 q D2 h D3 q h D4 q D5 h
(2.4)
em que:
D0,...,5 são coeficientes.
APROXIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDRELÉTRICA
Conforme visto, a FPH é obtida através da multiplicação de h, q e . Portanto, substituindo (2.4) e (2.3) em (2.1), nota-se que a FPH é uma função de ordem 7 em q, e de ordem 12 nas demais variáveis, i.e., v, w e s. Porém, se esta formulação é considerada nos modelos de otimização, o problema resultante torna-se linear e convexo. Problemas não-lineares são mais complexos de serem resolvidos, comparativamente aos casos lineares. Diante disso, uma boa alternativa é utilizar técnicas de aproximação linear por partes. Neste trabalho essa técnica é aplicada na FPH, garantindo assim a convexidade da região viável e permitindo a modelagem do problema da programação diária por programação linear inteira mista (PLIM). Neste sentido, pacotes de PLIM disponíveis no mercado podem ser empregados para resolver o problema Santos; Diniz (2010)
Os modelos de linearização podem ser divididos em paramétricos e não paramétricos. Modelos paramétricos constroem uma função estimando os parâmetros ou coeficientes das variáveis dependentes que a definem. Por sua vez, modelos não paramétricos constroem uma função a partir de um conjunto de pontos predeterminados, e o valor da função
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 32
para um ponto qualquer é então calculado como uma interpolação ou extrapolação do conjunto de pontos. Geralmente, métodos paramétricos resultam em funções facilmente modeladas Toriello; Vielma (2012) sendo que, neste trabalho, tem-se complexidades devido a elevada dimensionalidade e, portanto, a aproximação da FPH é construída através de modelos paramétricos.
Dentre os modelos paramétricos, os mais usados são aqueles baseados em técnicas de convex hull (CH) e de minimização da soma do erro quadrático (EQ). A metodologia CH constrói uma envoltória superior da FPH, dada por uma função côncava, composta por várias aproximações lineares. Por sua vez, a técnica EQ resolve um problema de programação quadrática inteiro misto para definir, em uma dada divisão do domínio da função, um hiperplano resultante da minimização da soma do erro quadrático em relação a FPH não linear Kang et al. (2018). Uma das vantagens desta técnica é a possibilidade de escolha do número de planos, bem como, quais pontos cada plano representará.
Geralmente, devido à complexidade e a necessidade de execução e um tempo compatível com a necessidade da programação diária, além da linearização, outras simplificações são consideradas. Uma delas é a representação das UGs de uma dada UHE por meio de uma unidade equivalente. Embora para algumas condições operativas e tipos de UHEs tal estratégia possa ser adequada, ao agrupar um conjunto de UGs, mesmo que as unidades sejam idênticas, impede que as zonas proibidas de operação sejam consideradas. Ademais, neste caso não é possível representar precisamente restrições de limites no número de partidas de uma dada unidade ao longo do horizonte de estudo.
As restrições de faixa proibida e de limites no número de partidas são cruciais para a longevidade dos ativos de geração de um agente. Sob ponto de vista operativo, as faixas proibidas, por exemplo, têm muita influência no resultado da operação em períodos de baixa afluência e/ou UHEs com poucas UGs. Neste sentido, na programação também é importante investigar o efeito da modelagem individualizada das UGs, onde cada unidade geradora possui uma FPH representada de forma individual. Deste modo, a próxima seção foca inicialmente na representação linear por partes da FPH considerando uma representação por UG.
Aproximação linear por partes da FPH individualizada Provavelmente Diniz; Maceira (2008) é o trabalho mais referenciado na literatura no tocante a classe de métodos paramétricos de linearização da FPH. Porém, esta abordagem é feita para a modelagem com UGs agregadas, o que limita a dimensão da FPH em três variáveis2.
Entretanto, na modelagem individualizada, a dimensão é aumentada dado que se deve representar separadamente a vazão turbinada na UG e na UHE, tornando mais complexa a aproximação linear por partes.
Neste trabalho propõe-se, como forma de contornar a dimensionalidade no caso individual, construir, seja com base nas técnicas de CH e EQ, as aproximações lineares da FPH formulada com função de q e hb, conforme descrito a seguir. Inicialmente, por (2.3) tem-se que h é uma função de hb e q, i.e., h = f(hb,q). Por sua vez, em (2.4) tem-se que = f(h,q) e, dado que h = f(hb,q), resulta em = f(hb,q). Aplicando-se as expressões h = f(hb,q) e = f(hb,q), a FPH de uma dada UG (2.1) pode ser escrita da seguinte maneira:
( , ) ( , )
ph G hb q f hb q q (2.5)
Contudo, o preço a pagar por essa redução consiste na necessidade de incluir a seguinte restrição (não-linear) no modelo:
2 3 4 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 A0 A1 A2 A3 A4 B0 B1 B2 B3 B4 hb v v v v w s w s w s w s (2.6)
Naturalmente, deve-se linearizar (2.6), o qual pode ser feito separadamente para as funções de cota de montante e de jusante. Detalhes sobre essa linearização são descritos mais adiante. Ainda que a linearização de (2.6) represente algumas restrições a mais para o problema, este trabalho quer investigar se o número de restrições associado ao modelo é menor para qualquer nível de erro quando comparado com aquele proposto por Diniz; Maceira (2008) .
Neste trabalho, também é proposto representar a FPH agregada com base em (2.5)-(2.6), cujos detalhes também são explicitados a frente. Para tornar mais didática a apresentação das etapas da aproximação linear
2 Embora a vazão vertida seja tratada separadamente, ou seja, na
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 34
por partes, utiliza-se um exemplo numérico referente a FPH da UHE de Machadinho para ambas as técnicas de CH e EQ.
2.1.1.1 Técnica de linearização baseada no CH
Nesta técnica, a primeira etapa consiste em definir uma grade com NG pontos dada pela combinação de qk e hbl, tal que k =1,...,K e l = 1,...,L.
Na modelagem proposta aqui, considera-se como região de discretização de q e hb o espaço viável para as variáveis de vazão turbinada na UG (i.e., zonas proibidas), volume e geração impostas pelos limites da UHE. Para exemplificar, considere uma grade de pontos (K = L = 5), a qual resulta em NG = 25, para a UHE Machadinho, considerando a região viável de q entre 218 e 437 m3/s, v entre 2283 a 3340 hm3 e potência entre 260 a 380
MW, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2 - Grade de pontos da FPH Machadinho.
Dado que a FPH é não convexa, a sua representação por meio de uma função linear por partes deve passar por um procedimento de convexificação. Para tanto, inicialmente deve-se utilizar a grade de pontos que representa a FPH não linear como dado de entrada para o algoritmo do CH, o qual determina a superfície da FPH. Desta forma, obtém-se um conjunto de hiperplanos, conforme mostra a Figura 3. Este procedimento é realizado utilizando a biblioteca convhull do MATLAB, a qual realiza este procedimento de forma otimizada.
Figura 3 - Envoltória obtida pelo algoritmo CH.
Dado que no problema da programação diária a finalidade da FPH linear por partes é delimitar a região viável abaixo da curva, a potência em um ponto qualquer corresponde sempre ao plano que melhor se aproxima da FPH não-linear, ou seja, o mínimo valor neste ponto. Matematicamente, a expressão linear por partes da FPH em um ponto k e l é dada por: ( ) ( ) , 1,..., D0 k D1 l D2 P p p p pch q hb p (2.7) em que: pch é a potência ativa UG (MW);
p é o índice associado ao número de planos; D0,...,3 são coeficientes.
O atendimento a inequação (2.7) é satisfeita por qualquer ponto abaixo da curva. Entretanto, como o objetivo do problema da PDE é minimizar o custo de operação, a geração hidrelétrica tende a ser o maior valor possível, assumindo os próprios valores dos hiperplanos. Porém, nota-se que o algoritmo CH fornece uma envoltória convexa da FPH, contendo planos que contornam os pontos superiores e inferiores da FPH não linear. Desta forma, para a construção da FPH desejada, se faz necessário eliminar os planos inferiores. Assim, é executado o Algoritmo
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 36
3.1, o qual seleciona os planos que contornam a superfície superior da FPH. Neste algoritmo, considera-se Z o conjunto de planos selecionados.
ALGORITMO 3.1
1. Dados: número de planos fornecidos pelo CH, P; número total de pontos, NG,
2. Para i = 1, ..., P e k =1, ..., NG, 3. Calcule phi(qk,hbk) e pchi(qk,hbk)
4. Se pchi(qk,hbk) ≥ phi(qk,hbk), o hiperplano i Z
A Figura 4 mostra os hiperplanos selecionados pelo Algoritmo 3.1. Pode-se notar que os planos inferiores foram eliminados, resultando em uma função linear por partes côncava.
Figura 4 - Hiperplanos selecionados pelo algoritmo.
Por fim, em toda técnica de linearização por partes é importante analisar o nível de precisão da aproximação utilizando o valor do erro médio, calculado para uma grande quantidade de pontos. Neste caso aqui, de maneira ilustrativa, utiliza-se K= L = (qmax qmin) 0.5, o qual é
descrito matematicamente a seguir.
1 | | 100 N = n n n n ph pch EM ph
(2.8)em que:
EM é o erro médio da usina (%);
n é o índice associado ao ponto utilizado na discretização da grade de pontos;
N é o total de pontos da grade.
O procedimento realizado nesta seção retornou 40 hiperplanos na primeira etapa sendo que, destes, 26 foram selecionados pelo Algoritmo 3.1. O cálculo do erro médio para uma grade de pontos K = L = 109, o qual resulta em N = 11881, apresentou um nível de precisão de 0,082%. 2.1.1.2 Técnica de linearização baseada no EQ
Da mesma forma que a técnica CH, a primeira etapa utilizada pela linearização EQ consiste em definir uma grade de pontos de q e hb. Para exemplificar, considere uma grade de pontos (K = L = 5) , isto é, NG = 25, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5 - Grade de pontos FPH Machadinho EQ.
Na técnica de EQ, o número de hiperplanos é definido de acordo com o agrupamento dos NG pontos. Na Figura 5, pode-se notar que são escolhidos quatro hiperplanos, cada um com 9 pontos. Desta forma, o número de hiperplanos tem uma relação direta com o número de subconjuntos de pontos, fazendo com que esta técnica permita definir o número de planos desejados de antemão. Embora no exemplo todos os subconjuntos contêm o mesmo número de pontos, isto não se faz
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 38
necessário. Assim, na técnica EQ, para cada um dos quatro hiperplanos da Figura 5, deve-se encontrar os valores de E0p, E1p e E2p, tal que p=1,
... ,4, da seguinte expressão: ( ) ( ) E0 k E1 l E2 p p p peq q hb (2.9) em que:
peq é a potência ativa da UG (MW);
p é o índice associado ao número de planos;
E0p,..., E2p são coeficientes.
Portanto, com base no exemplo, 12 variáveis devem ser determinadas para obter os quatro hiperplanos que representarão a FPH linear por partes. No caso da técnica EQ, como o próprio nome sugere, a ideia principal consiste em usar os conceitos de minimização de erros quadráticos para encontrar E0p, E1p e E2p. Contudo, é fácil perceber que
o uso desses conceitos possibilita diversas alternativas sendo que, neste trabalho, é feito uso de um modelo de programação quadrática inteira mista (PQIM) baseado em Kang et al. (2018),com algumas modificações para adaptar as particularidades do problema Brasileiro3.
Considerando a Figura 5, a função objetivo do problema de PQIM referente a estratégia EQ é dada por:
3 3 ( ) ( ) ( , ) 2 1 1 1 1 1 5 3 ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 3 1 3 5 ( ) ( ) ( , ) 2 3 3 3 1 3 5 5 ( ) ( ) ( , ) 2 4 4 4 3 3 min ( ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l q hb ph q hb ph q hb ph q hb ph
E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 (2.10)No entanto, como mostra a Figura 5, alguns pontos são comuns entre dois ou mais hiperplanos. Por exemplo, considere o ponto central da
3 No trabalho original, os autores não consideram (ou não deixam claro) que, quando a usina está com turbinamento zero, a potência deve ser necessariamente nula. Isso é particularmente importante para o modelo FPH que considera o caso de UG equivalente.
figura, i.e., k = 3 e l = 3. Neste ponto, a função objetivo apresenta quatro termos, os quais são dados por:
(3) (3) (3,3) 2
(E0pq E1phb E2pph ) ,p1,..., 4. (2.11)
De acordo com os autores Kang et al. (2018), a aproximação final é mais precisa quando apenas um dos quatro termos4 é incluído na função
objetivo, i.e., deve-se incluir na minimização apenas o termo de (2.11) que possui o menor desvio. Assim, para realizar essa estratégia é necessário incluir variáveis 0-1 para, durante o processo de otimização, escolher qual dos termos deve ser considerado. Considerando (2.11), pode-se obter esse resultado por meio do seguinte equacionamento:
4 (3) (3) (3,3) 2 1 [( ) ] , 1, {0,1}, 1,...,4. p p p p p p p q hb u ph u u p
E0 E1 E2 (2.12)Contudo, nota-se que a expressão acima é de natureza não linear, pois apresenta produtos entre variáveis contínuas (E0p, E1p e E2p) com
discretas (up). Isso torna a resolução do modelo mais difícil e, uma
estratégia para sobrepujar essa dificuldade, consiste em modelar as não linearidades por uma série de restrições lineares de natureza inteira mista. Nesse sentido, pode-se usar uma variável contínua auxiliar (eq) e reescrever (2.12) da seguinte maneira:
(3) (3) (3,3) 2 (3,3) (3,3) 2 (3,3) 4 1 [( ) ] ( ) (1 ), 0, 1, {0,1}, 1,...,4. E0p E1p E2p p p p p q hb ph eq ph u eq u u p
(2.13)O procedimento (2.13) realizado para cada subconjunto de pontos não assegura que FPH resultante seja côncava. Essa condição é assegurada quando o plano obtido para o subconjunto de pontos tenha valor menor ou igual a qualquer outros demais planos. Exemplificando,
4 De maneira mais genérica, apenas um do total de planos que são comuns a um ponto. Como a FPH é possui duas variáveis, o número de termos quadráticos em comum pode variar de zero até quatro.
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 40
para o primeiro subconjunto de pontos dados por k = 1,...,3 e l = 1,...,3, as seguintes restrições devem ser incluídas no modelo de otimização:
(2) (2) (2) (2) 1 1 1 2 2 2 (2) (2) (2) (2) 1 1 1 3 3 3 (2) (2) (2) (2) 1 1 1 4 4 4 q hb q hb q hb q hb q hb q hb E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 (2.14)
Acima, o modelo de otimização exige que no ponto central do primeiro subconjunto de planos, i.e., (q = 2, hb = 2), o plano 1 deve ter um valor não superior aos demais planos. Dado que o modelo é côncavo, isso garante que este plano será dominante em relação aos demais para o domínio k = 1,...,3 e l = 1,...,3. Para finalizar essa seção, abaixo tem-se a formulação genérica do problema de PQIM para o modelo individualizado relacionado com o método de EQ.
( , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) min sujeito a : [( ) ] ( ) (1 ), , 0 , 1, P E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 p p n n k l p p k p l p p k l k l n n n p p p n p n k l k l k l p p p p k l k l p k l p k l p p k l eq q hb q hb q hb ph eq ph u k l p eq k l p u k
, {0,1}. p l u (2.15) em que:kn, ln é o ponto central do subconjunto de pontos pertencente ao
hiperplano n;
kp, lp é o ponto central do subconjunto de pontos pertencente ao
Aproximação da função cota de montante
No geral, a função de cota de montante (FCM) é uma função estritamente crescente em função do volume armazenado no reservatório, como mostra a Figura 6.
Figura 6 - Função cota de montante da UHE Machadinho.
Em vermelho é mostrada a FCM não linear e, em azul, a FCM aproximada (FCMA). O procedimento que definem os parâmetros dos planos é realizado utilizando a biblioteca polyfit do MATLAB, a qual define os coeficientes de cada aproximação linear por partes por meio de técnicas de interpolação.
Aproximação da função cota de jusante
Da mesma forma que a FCM, a função de cota de jusante (FCJ) também por motivos construtivos, tem características peculiares para cada UHE, sendo que em alguns casos, o vertimento não tem influência na cota de jusante. Além disso, existem usinas que possuem mais de uma FCJ. Ademais, na sua grande maioria, essa função não é convexa o que, em geral, faz com que a representação da FCJ por meio de uma função linear por partes seja mais delicada, quando comparada a FCM.
Dado que a região da vazão turbinada é a de maior interesse, para melhor aproximação, esta é representada por um plano, e a região do vertimento por outro plano, como mostra a Figura 7.
465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 2283 2358 2433 2508 2583 2658 2733 2808 2883 2958 3033 3108 3183 3258 3333 Co ta m on ta nt e (m ) Volume armazenado (hm3) FCM FCMA
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 42
Figura 7 - Função cota de jusante.
Na Figura 8 é mostrada a FCJ considerando apenas a vazão turbinada na UHE, i.e, sem a presença de vertimento. Nota-se que este procedimento apresenta uma boa aproximação na região de maior interesse, i.e., sem presença de vertimento, o qual é útil na maioria dos casos. Assim, optou-se por representar todo o espectro da FCJ por este plano, uma vez que, a representação por mais de um plano resulta em uma modelagem linear inteira mista tornando a solução do problema da PDE mais oneroso computacionalmente.
371 373 375 377 379 381 383 385 387 389 391 1 52 2 10 43 15 64 20 85 26 06 31 27 36 48 41 69 46 90 52 11 57 32 62 53 67 74 72 95 78 16 83 37 88 58 93 79 99 00 10 42 1 10 94 2 11 46 3 11 98 4 12 50 5 13 02 6 13 54 7 14 06 8 14 58 9 15 11 0 15 63 1 Co ta ju sa nt e (m ) Vazão defluente (m3/s) FCJ FCJA
Figura 8 - Função cota de jusante com vertimento nulo.
Aproximação linear por partes da FPH agregada
A representação da FPH individualizada possibilita melhor representação das restrições operacionais da UHE; entretanto, a mesma eleva consideravelmente o número de restrições do problema da PDE, tornando a solução do problema mais oneroso computacionalmente e, consequentemente, elevando o tempo de execução o qual é um dos pontos cruciais da PDE. Uma forma de contornar está dimensionalidade é a representação de cada grupo de UGs idênticas, de uma dada UHE, por meio de uma unidade geradora equivalente. Porém, no caso brasileiro, algumas UHEs possuem grupos de UGs que não são idênticos, sendo que, para obter a FPH agregada destas usinas, é necessário resolver um problema de otimização para encontrar a potência ótima Fredo et al. (2019). Entretanto, neste trabalho, para simplificar, considera-se que todas as UGs são idênticas, sendo que desta forma a potência total produzida pode ser facilmente determinada pela maior potência entre as possíveis combinações de unidades operando para cada ponto de operação viável (Wk, Vk), em que W é a vazão turbinada na usina e V é o
volume armazenado.
Matematicamente, a potência de um determinado ponto de operação (Wk, Vk) é dada por:
372 372 373 373 374 374 375 1 101 201 301 401 501 601 701 801 901 1001 1101 1201 1301 Co ta ju sa nt e (m ) Vazão turbinada (m3/s) FCJ FCJA
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 44 1 min max 1 ( , ) max ( , ) ( , ) .a : 0, , {0,1}. U U W V G HB HB s W Q Q k k k k j j j j j k j j j j j j phu q f q q q u q u u
(2.16) em que:U é o número de unidades total do grupo.
Para exemplificar, considere a UHE Machadinho com um volume armazenado de 2812 hm³ e vertimento nulo. Essa UHE possui três UGs idênticas. A Figura 9 ilustra a potência ótima na UHE em função da vazão turbinada na usina (w). Para alguns pontos operativos (e.g., vazão de 800 m3/s), a usina pode operar com duas ou três máquinas. No primeiro caso,
i.e., a curva FPH12, a potência produzida é menor que FPH123, a qual considera as três UGs em operação. Dado que FPH123(800) > FPH12(800), escolhe-se o primeiro valor para compor a FPH da UHE nos métodos do CH e do EQ.
Figura 9 - FPH agregada UHE Machadinho para volume de 2.812 hm³.
Por sua vez, a Figura 10 ilustra a FPH agregada da UHE Machadinho, considerando todo o espaço viável de volume armazenado
e vazão turbinada e vertimento nulo. Ademais, não são consideradas as zonas proibidas de operação em cada UG.
Figura 10 - FPH agregada da UHE Machadinho.
Conforme descrito anteriormente, o modelo de linear por partes da FPH é representado através de duas modelagens. Para o caso que depende de w e hb, o procedimento é o mesmo descrito na seção 2.1.1. Entretanto, para a modelagem em função de w, v e s, o procedimento é feito em duas etapas, conforme sugerido por Diniz; Maceira (2008), o qual trata o vertimento de maneira separada. Nesse caso, inicialmente considera-se s = 0, e discretiza-se w e v para obter os valores de potência. Depois, aplicam-se as técnicas de linearização, i.e., CH e EQ, para em seguida ajustar a aproximação do vertimento, conforme detalhado na sequência.
Na modelagem agregada a potência deve ser nula quando a vazão turbinada é nula. Para atender esta condição ao menos um hiperplano deve cruzar pelo ponto nulo e nenhum hiperplano pode assumir valor negativo. Na técnica de linearização do CH independente da modelagem o procedimento descrito na seção 2.1.1.1 assegura que esta condição seja atendida. Por sua vez, no modelo de otimização descrito na seção 2.1.1.2 para técnica EQ isso não foi considerado, pois o uso de variáveis binárias assegura a condição. Assim, para garantir que tal condição seja atendida sem uso de variáveis binárias para o caso agregado, o método do EQ necessita de algumas modificações, conforme detalhado a seguir.
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 46
2.1.4.1 Técnica de linearização baseada no EQ
Para garantir potência nula quando a vazão turbinada é nula, insere-se ao modelo descrito na seção 2.1.1.2 mais um hiperplano dependente apenas de w. Dado que a finalidade deste hiperplano é apenas garantir potência nula quando w for nulo, minimiza-se o erro apenas para a mínima vazão turbinada, uma vez que neste método a aproximação é feita somente na região viável de w, ou seja, para w entre um valor mínimo de vazão turbinada na UHE (associado com a zona operativa da usina operando com apenas uma UG) até a máxima vazão turbinada na UHE. Assim, de acordo com o procedimento descrito em 2.1.1.2, a função objetivo do problema de PQIM referente a modelo agregado é dada por:
3 3 ( ) ( ) ( , ) 2 1 1 1 1 1 5 3 ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 3 1 3 5 ( ) ( ) ( , ) 2 3 3 3 1 3 5 5 ( ) ( ) ( , ) 2 4 4 4 3 3 min ( ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l w hb phu w hb phu w hb phu w hb phu
E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 5 (1) (1, ) 2 5 1 ( l ) l w phu
E0 (2.17)Para garantir que nenhum hiperplano assuma valores negativos acrescenta-se no modelo de otimização as seguintes restrições:
( )l 0 ,
p hb p l p
E1 E2 (2.18)
Note que, expressão acima considera a modelagem que depende de w e hb, para o caso da modelagem em função de w, v e s substitui-se hb por v. Para finalizar essa seção, abaixo tem-se a formulação genérica do problema de PQIM para o modelo agregado relacionado com o método de EQ.
( , ) (1) (1, ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , min ( ) sujeito a : [( ) ] ( ) (1 ), , E0 E0 E1 E2 E0 E1 E2 E0 E1 E2 p p n n P L k l l p p p k p l p l p k l k l n n n p p p n p n k l k l k l p p p p k l k l p k l p eq w phu w hb w hb w hb phu eq phu u k l p eq
) ( ) ( , ) ( , ) 0 , 0, , 1, , {0,1}, E1 l E2 p p k l p p k l k l p hb l p u k l u
(2.19)2.1.4.2 Inclusão da vazão vertida
A modelagem do vertimento é feita considerando que cada ponto de operação tem variação linear com o vertimento, e que cada hiperplano admite somente um coeficiente em s. Portanto, a potência gerada para um dado par w, v e s é dada pela seguinte expressão:
p p p p p
peq E0 w E1 v E2 E3 s (2.20)
Os coeficientes E3p são definidos através da aproximação secante,
a qual visa minimizar o desvio médio quadrático entre phu e peq para cada dado par de w e v. O procedimento realizado para definir este parâmetro é basicamente realizado em duas etapas.
A primeira etapa consiste em discretizar s em j pontos, entre zero e um valor de s referência (sref) determinado com base nos dados
históricos. De acordo com Diniz; Maceira (2008), para uma aproximação mais precisa este valor de referência não deve ser muito alto, embora seria desejável uma variação que atingisse vertimento máximo. Entretanto, ainda de acordo com os autores, nestas situações (vertimento), o valor da água tende a ser próximo a zero, não trazendo grande impacto econômico.
Na segunda etapa, para cada conjunto de pontos wk, vl e sj é
Modelagem da Função de Produção Hidrelétrica | Capítulo 2 48
coeficientes E3p para cada par de pontos (wk,vl) e, de acordo com os
autores, o coeficiente para o par é definido pela média entre os J coeficientes. Dado que este procedimento retorna um coeficiente para cada par de pontos (w,v) pertencentes a um hiperplano p, e cada hiperplano admite somente um coeficiente, por motivos detalhados em Diniz; Maceira (2008) , deve-se escolher para compor o hiperplano o menor coeficiente. Matematicamente o procedimento descrito acima é dado por: 2 1 1 arg min J [ ( , , ) (k l j ( , )k l j)] p p p j phu w v s peq w v s J E3 E3
(2.21)É importante ressaltar que em algumas usinas o vertimento não influencia no nível de jusante, sendo que nestes casos a FPH é construída utilizando apenas w e v.
RESUMO DOS MODELOS DE FPH
Para melhor entender cada tipo de representação da FPH a ser usada no modelo de otimização, este capítulo é encerrado definindo e detalhando todas as variantes de modelos lineares por partes detalhadas nas seções anteriores. Conforme mostrado a seguir, a FPH pode ser representada através de dez maneiras diferentes, sendo duas delas considerando o modelo com UGs individualizadas e as restantes para unidades agregadas. No caso individual, as variáveis em consideração são sempre q e hb, sendo esta última linearizada internamente ao modelo de otimização. No caso das UGs agregadas, tem-se possibilidades adicionais visto que se pode representar a FPH em função de q e hb ou q, v, w e s. Assim, define-se os seguintes tipos de representação a serem incluídas no modelo inteiro-misto da PDE.
(1) ph1: FPH linear por partes modelada em função de q e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método EQ;
(2) ph2: FPH linear por partes modelada em função de q e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método CH.
(3) ph3: FPH linear por partes modelada em função de w e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método
EQ, com 0 w Wmax, em que Wmax é o máximo valor de
vazão turbinada na UHE;
(4) ph4: FPH linear por partes modelada em função de w e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método CH, com 0 w Wmax;
(5) ph5: FPH linear por partes modelada em função de v, w e s, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método EQ, com 0 w Wmax;
(6) ph6: FPH linear por partes modelada em função de v, w e s, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método CH, com 0 w Wmax,
(7) ph7: FPH linear por partes modelada em função de w e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método EQ, com Wminz w Wmaxz, em que Wminz é o mínimo
valor de vazão turbinada na UHE (associado com a zona operativa da usina operando com apenas uma UG) e z é uma variável binária igual a 1 se a UHE está operando e igual a 0, caso contrário;
(8) ph8: FPH linear por partes modelada em função de w e hb, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método CH, com Wminz w Wmaxz;
(9) ph9: FPH linear por partes modelada em função de v, w e s, cujos coeficientes dos planos são obtidos pelo método EQ, com Wminz w Wmaxz;
(10) ph10: FPH linear por partes modelada em função de v, w e s, cujos coeficientes dos hiperplanos são obtidos pelo método CH, com Wminz w Wmaxz.
Os modelos ph1 e ph2 são idênticos, exceto que os valores das
constantes dos hiperplanos são diferentes em função de serem obtidos por meio de técnicas de linearização distintas. A mesma situação acontece entre os modelos ph3 e ph4, ph5 e ph6, ph7 e ph8, e por fim, entre ph9 e ph10
3 F
ORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO O Sistema Interligado Nacional (SIN) é considerado um sistema de grande porte e de alta complexibilidade na operação, devido a predominância de fontes naturais (hidrelétricas, eólica, solar) que possuem incertezas associadas. Além disso, outro fator que contribui para a complexibilidade na operação são as longas linhas de transmissão que conectam os centros de carga as fontes de geração.Assim, se considerado todas as particularidades do sistema, o modelo de otimização resultante é não linear e de grande porte. Uma vez que, computacionalmente é difícil resolver um problema com tais características em um tempo compatível com a PDE, se faz necessário realizar simplificações na modelagem do problema. Neste capítulo inicialmente descreve-se a modelagem dos elementos do sistema apontando as simplificações adotadas. Na sequência, apresentam-se os modelos de otimização da PDE, os quais estão relacionados com os modelos da FPH, e por fim, comentam-se as complexidades e particularidades na resolução de cada modelagem proposta para o problema.
SISTEMA HIDROTÉRMICO
Um sistema hidrotérmico é composto basicamente por usinas hidrelétricas, termelétricas, fontes alternativas (eólica, solar, entre outras) e uma rede de transmissão interligando as usinas e os centros de consumo, permitindo assim que a energia elétrica seja fornecida para os consumidores em diversos locais do país.
Sistemas hidrotérmicos interligados de grande porte geralmente possuem subsistemas, devido à topologia da rede de transmissão e à localização das bacias hidrográficas. O sistema elétrico brasileiro é composto por quatro subsistemas.
É importante mencionar que, neste trabalho, o sistema é modelado por subsistemas, isto é, cada subsistema é representado por uma barra única, e a interligação entre os subsistemas é dado por uma linha de transmissão onde são desconsideradas as perdas elétricas.
Neste sentido, na sequência descreve-se a modelagem adotada para cada componente do sistema, iniciando pela descrição das usinas
Formulação do Problema de Otimização | Capítulo 3 52
termelétricas, depois as hidrelétricas e, por fim, as demais particularidades do sistema.
Usinas Termelétricas
A energia elétrica produzida pelas usinas termelétricas é oriunda do calor produzido pela queima de combustíveis. Nas usinas que utilizam combustíveis fósseis (gás natural, carvão mineral, óleo diesel, entre outros), a queima gera calor, aquecendo uma caldeira com água transformando a água em vapor de alta pressão, o vapor movimenta as pás da turbina do gerador elétrico produzindo energia. Por sua vez, nas usinas que utilizam combustíveis nucleares (urânio, plutônio, entre outros) o calor é oriundo da reação dos combustíveis.
O custo variável de operação geralmente é definido por uma função quadrática em função da geração (consumo de combustível). Entretanto, no caso brasileiro este custo é definido por um Custo Variável Unitário (CVU) em R$/MWh, isto é, independente da potência que a usina está operando, o incremento de 1 MWh na geração tem a mesma variação no custo.
Adicionalmente, as UTE também apresentam outra característica importante, relacionada ao custo de partida das unidades, o qual está associada a temperatura da caldeira e ao tempo em que a usina está desligada. Geralmente este custo é dado por uma função exponencial dependente da temperatura da caldeira, i.e., dependente do número de estágios que a unidade está desligada Finardi (2003) Por simplificação, neste trabalho é utilizado um custo constante para cada partida, sendo este custo valorado na função objetivo por:
,
i
up
it
t i
CP
(3.1)em que:
upit é a variável binária que representa a partida da termelétrica i
no período t, sendo igual a 1 quando a usina é ligada e 0 para qualquer outra condição;
CPi é o custo de partida da termelétrica i (R$).
Esta formulação é baseada no modelo proposto por Morales-España et al. (2013) em que é proposta uma outra variável para indicar quando a usina é desligada. Assim, a relação entre as variáveis é dada pela seguinte expressão:
