UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
PAULO OLIVEIRA KIRYU
Vibração Induzida por Vórtices em Risers
Através da Mecânica de Fluidos
Computacional
CAMPINAS
PAULO OLIVEIRA KIRYU
Vibração Induzida por Vórtices em Risers
Através da Mecânica de Fluidos
Computacional
Orientador: Prof. Dr. Celso Kazuyuki Morooka
CAMPINAS 2020
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo, na área de Explotação.
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO PAULO OLIVEIRA KIRYU E ORIENTADA PELO PROF. DR. CELSO KAZUYUKI MOROOKA.
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Kiryu, Paulo Oliveira,
K639v KirVibração induzida por vórtices em risers através da mecânica de fluidos
computacional / Paulo Oliveira Kiryu. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
KirOrientador: Celso Kazuyuki Morooka.
KirDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Mecânica.
Kir1. Fluidodinâmica computacional. 2. Estruturas marítimas - Hidrodinâmica. 3.
Vibração. 4. Vórtices. 5. Engenharia de petróleo. I. Morooka, Celso Kazuyuki, 1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Vortex-induced vibration in risers through computational fluid
dynamics
Palavras-chave em inglês:
Computational fluid dynamics
Offshore structures - Hydrodynamics Vibration
Vortex
Petroleum engineering
Área de concentração: Explotação
Titulação: Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:
Celso Kazuyuki Morooka [Orientador] Ricardo Franciss
Sergio Nascimento Bordalo
Data de defesa: 05-02-2020
Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-4373-8991 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/8418337800246521
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICOVibração Induzida por Vórtices em Risers
Através da Mecânica de Fluidos
Computacional
Autor: Paulo Oliveira KiryuOrientador: Prof. Dr. Celso Kazuyuki Morooka
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Prof. Dr. Celso Kazuyuki Morooka, Presidente DEP/FEM/UNICAMP
Prof. Dr. Ricardo Franciss CENPES/PETROBRAS
Prof. Dr. Sérgio Nascimento Bordalo DEP/FEM/UNICAMP
A Ata de Defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da Unidade.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer àqueles que contribuíram para a realização deste trabalho: Ao orientador Prof. Dr. Celso K. Morooka por me permitir fazer parte do grupo de pesquisa e pelo crescimento e aos colegas da pós-graduação pelo apoio e ajuda. Ao Prof. Dr. Ricardo Franciss pelas revisões e sugestões dadas durante a realização deste trabalho. À minha família e amigos pelo apoio dado no momento. Aos órgãos: CNPq, UNICAMP/FEM&Cepetro e PPG-CEP, pelo suporte. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001.
Resumo
Um escoamento com perfil uniforme é considerado em volta de um cilindro isolado e dois arranjados em tandem. Os cilindros possuem secção transversal circular e baixa razão de massa (m*) e serão montados como um sistema massa-mola-amortecedor e estarão livres para se moverem em dois graus de liberdade, mas também há simulações com um cilindro forçado a vibrar apenas na direção transversal (cross-flow). Com um software comercial, simulações bidimensionais através da Mecânica de Fluidos Computacional (CFD) são feitas na presente pesquisa para estudar o fenômeno da vibração induzida por vórtices (VIV) para altos números de Reynolds (20000 ≤ Re ≤ 668000) e diferentes velocidades reduzidas (0,5 < Ur < 6). Nos
cilindros, os coeficientes de forças hidrodinâmicas e deslocamentos são investigados. Inicialmente, uma análise é feita para cilindros estacionários e os resultados são comparados com a literatura para verificar o modelo computacional desenvolvido para as simulações. Uma boa concordância com a literatura foi encontrada para coeficientes de força dos casos de cilindros estacionários em 20000 ≤ Re ≤ 668000, e para movimentos de um único cilindro em 0,5 < Ur < 4,5. Para cilindros em tandem, o modelo CFD desenvolvido pareceu promissor, o
que encoraja mais investigações e possibilidade de aplicação em ambientes offshore. Uma nova ferramenta de construção de malha incluída no software, o método de malhas sobrepostas (Quimera ou Overset grid), também é testada, porém apenas para vibração transversal e forçada. As simulações usando essa nova ferramenta mostraram-se muito promissoras na aplicação de VIV em risers uma vez que a simulação dos movimentos em uma malha sobreposta levou, aproximadamente, metade do tempo de cálculo para a simulação do mesmo caso usando a malha dinâmica tradicional (ALE com remalhamento). Além disso, a malha sobreposta resultou em menos problemas de convergência.
Abstract
A flow with a uniform profile is considered over one isolated cylinder and two cylinders arranged in tandem. The cylinders have a circular cross-section and low mass ratio (m*) and will be mounted as a mass-spring-damper system and will be free to move in two degrees of freedom, but there are also simulations with one cylinder forced to vibrate only in the cross-flow direction. With commercial software, two-dimensional Computational Fluid Dynamics (CFD) simulations are made in the present research to study the phenomenon of vortex-induced vibration (VIV) for high Reynolds numbers (20000 ≤ Re ≤ 668000) and different reduced velocities (0,5 < Ur < 6). In cylinders, the coefficients of hydrodynamic forces and
displacements are investigated. Initially, an analysis is made for stationary cylinders and the results are compared with the literature to verify the computational model developed for the simulations. Good agreement with the literature was found for force coefficients of stationary cylinder cases at 20000 ≤ Re ≤ 668000 and for single cylinder movements at 0,5 < Ur < 4,5.
For tandem cylinders, the CFD model developed looked promising, which encourages further investigation and the possibility of application in offshore environments. A new mesh building tool included in the software, the Overset grid method (Chimera), is also tested, but only for transverse and forced vibration. Simulations using this tool showed a very promising application of VIV in risers since the simulation of movements in an overset grid took approximately half of the calculation time to simulate the same case using the traditional dynamic grid (ALE with remeshing), and the overset grid resulted in fewer convergence problems.
Lista de Abreviaturas e Siglas
ALE Metodologia Lagrangiana-Euleriana Arbitrária
CF Cross-flow (direção perpendicular à correnteza e ao eixo do cilindro)
CFD Mecânica de Fluidos Computacional DNS Simulação Numérica Direta
FFT Transformada Rápida de Fourier
IL In-line (direção da correnteza, perpendicular ao eixo do cilindro)
LES Simulação de Grandes Escalas MDF Método das Diferenças Finitas MEF Método dos Elementos Finitos MVF Método dos Volumes Finitos
PISO Pressure-Implicit with Splitting of Operators PMM Planar Motion Mechanism
RANS Equação de Navier-Stokes Média de Reynolds RMS Raiz da Média Quadrática
UDF User Defined Function
VIV Vibração Induzida por Vórtices V&V Verificação e Validação
Lista de Símbolos
𝐴⃗ Vetor da área do volume de controle ou da face [m2] 𝑛⃗⃗ Vetor normal a qualquer superfície do domínio [m] 𝑣⃗ Vetor velocidade do escoamento [m/s]
∇ Operador nabla
∆s Espessura do primeiro elemento adjacente à superfície do cilindro [m] ∆t Passo de tempo [s]
∆tmin Passo de tempo mínimo [s]
A Amplitude de vibração [m] As Área da superfície [m2]
Ax Amplitude da vibração in-line [m]
Ay Amplitude da vibração cross-flow [m]
C Coeficiente de amortecimento [N.s/m] Ca Coeficiente de massa adicional
CD Coeficiente de arrasto
CDavg Coeficiente médio de força de arrasto
CDrms Coeficiente de arrasto eficaz
CL Coeficiente de sustentação
CLrms Coeficiente de sustentação eficaz
D Diâmetro do cilindro [m] f Frequência de vibração [Hz] f* Razão de frequência
FD Força de arrasto [N]
FL Força de sustentação [N]
FL0 Amplitude da força de sustentação [N]
fn Frequência natural [Hz]
fnm Frequência natural da estrutura modificada pela variação da massa adicional [Hz]
FR Força resultante [N]
fs Frequência de desprendimento de vórtices [Hz]
h Distância entre placas paralelas [m] K Rigidez estrutural [N/m]
L Comprimento do cilindro [m] M Massa estrutural [kg]
m* Razão de massa
Ma Massa hidrodinâmica adicional [kg]
Md Massa de fluido deslocado [kg]
Nfaces Número de faces da célula
p Pressão [Pa]
Re Número de Reynolds St Número de Strouhal
SΦ Termo fonte de Φ por unidade de volume
T Período de oscilação ou Tempo de amostragem no escoamento turbulento [s] t Tempo [s]
Ts Período de desprendimento dos vórtices [s]
T1 Período máximo de flutuações da velocidade [s]
T2 Escala de tempo característica das variações mais lentas do escoamento [s]
U Velocidade da correnteza [m/s]
u Velocidade horizontal do fluido (em x) [m/s] 𝑢𝑖 Velocidade instantânea [m/s]
𝑢̅𝑖 Velocidade média [m/s] 𝑢′𝑖 Velocidade flutuante [m/s]
𝑢̅𝑖′ Média de tempo da parte flutuante da velocidade [m/s]
Ur Velocidade Reduzida
v Velocidade vertical do fluido (em y) [m/s] V Volume [m3]
Vp Volume de controle [m3]
w Velocidade axial do fluido (em z) [m/s]
𝑥, 𝑥̇, 𝑥̈ Deslocamento, velocidade e aceleração in-line, respectivamente 𝑦, 𝑦̇, 𝑦̈ Deslocamento, velocidade e aceleração cross-flow, respectivamente y0 Amplitude da vibração cross-flow [m]
y+ Distância adimensional da parede ΓΦ Coeficiente de difusão
δ Espessura da camada limite [m] ε Taxa de dissipação turbulenta [m2/s3] ζ Fator de amortecimento
λ Ângulo entre a normal exterior a dAs e a direção positiva do escoamento [rad]
µ Viscosidade dinâmica do fluido [Pa.s] ν Viscosidade cinemática do fluido [m2/s] ρ Densidade do fluido [kg/m3]
τyx, τw Tensão de cisalhamento [N/m2]
Φ Propriedade transportada
φ Ângulo de fase entre a força e y(t) [rad]
ω Frequência de vibração ou Taxa de dissipação específica (em turbulência) ωd Frequência natural amortecida [rad/s]
ωn Frequência natural [rad/s]
Sumário
1. INTRODUÇÃO ... 13
2. FUNDAMENTOS E DEFINIÇÕES ... 19
2.1. Parâmetros Físicos Importantes ... 19
2.2. Vibração Induzida por Vórtices (VIV) ... 23
3. APLICAÇÃO DA MECÂNICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL ... 35
3.1. Equações de Navier-Stokes ... 35
3.2. Modelo de turbulência ... 36
3.3. Discretização do meio fluido ... 39
3.4. Geometria Computacional ... 41
3.5. Algoritmos de Calculo para o Cilindro oscilatório ... 49
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 50
5. CONCLUSÕES ... 72
1 INTRODUÇÃO
A crescente demanda por petróleo e o esgotamento das reservas de fácil acesso, sejam elas terrestres ou em mares rasos, têm levado à exploração desse recurso em mares cada vez mais profundos e em locais mais distantes da costa. Isso ocorre em muitos lugares do mundo e, principalmente, no Brasil.
Neste cenário, o petróleo deve ser extraído do fundo do mar e levado até a unidade de processamento na superfície através de tubulações esbeltas como flowlines, risers e pipelines. As flowlines transportam fluidos de um local para o outro dentro de uma zona produtora, o riser faz o transporte de fluidos entre o fundo do mar e a unidade flutuante, e as pipelines transportam os hidrocarbonetos sobre o leito marinho até a costa. Na superfície está instalada a unidade onde o óleo ou o gás extraído é processado, por meio de tratadores e separadores e, após, os produtos são exportados para a costa através de grandes petroleiros ou pipelines. O extenso uso de risers,
flowlines, pipelines e outras estruturas cilíndricas na indústria petroleira offshore mostra a
importância de se estudar o comportamento hidrodinâmico de membros cilíndricos, pois essas estruturas estão sujeitas a cargas vindas de ondas, correntezas e do movimento da unidade flutuante de produção.
Um importante elemento é o riser, o qual pode ser rígido, híbrido ou flexível e assumir várias configurações a depender do fluido a ser transportado, da profundidade, do tipo de unidade flutuante a que se conecta e, finalmente, da intensidade de correntezas e ondas do local (FRANCO, 2003).
A incidência de uma correnteza em um riser acarreta no desprendimento de vórtices ao redor do mesmo, e isso induz forças oscilatórias na seção transversal: uma força paralela ao escoamento (força de arrasto - FD) e outra transversal ao escoamento e ao eixo do riser (força
lift - FL). O resultado é um movimento oscilatório na tubulação, esse movimento é conhecido
como vibração induzida por vórtices (VIV). A VIV em risers pode causar danos por fadiga no longo prazo, aumentar o arrasto e provocar colisões quando risers são instalados próximos, como no caso de risers em tandem.
Métodos numéricos e simuladores vêm sendo cada vez mais utilizados devido ao avanço dos computadores nas últimas décadas e devido ao fato de os experimentos terem alto custo e exigirem instrumentação avançada. As ferramentas de simulação são baseadas no domínio do
tempo ou da frequência. Simuladores no domínio da frequência possuem menor esforço computacional, mas têm limitações na modelagem dos efeitos da VIV devido às não linearidades presentes em sistemas de risers sujeitos à VIV. Por essa razão se recorre a uma abordagem direta no domínio do tempo com o uso do CFD (Computational Fluid Dynamics). Williamson e Roshko (1988) conduziram uma investigação experimental e o lock-in em um cilindro circular com diâmetro D foi observado para diferentes padrões de emissão de vórtices de acordo com a amplitude de vibração do cilindro (A/D) e a velocidade reduzida (Ur),
na faixa de 0 < Ur < 15.
As vibrações na direção cross-flow apresentam relevância para o projeto de risers e tubulações submarinas, pois contribuem para reduzir a vida útil devido à fadiga (MOROOKA
et al. 2011, 2013). Muitos trabalhos na literatura se concentram em investigar um cilindro
circular livre para se mover na direção cross-flow (CF) sem movimento na direção in-line (IL) (JAUVTIS; WILLIAMSON, 2004). Além disso, há menos trabalhos disponíveis para o caso mais prático da VIV com o cilindro livre em dois graus de liberdade (2-DOF) e baixa razão de massa (m*), o que é feito na presente pesquisa.
Ribeiro (2007) conduziu experimentos no Instituto Nacional de Pesquisa Marítima (NMRI), com um e dois cilindros em tandem, e as respostas em 2-DOF foram investigadas. Os cilindros foram montados em um sistema de massa-mola-amortecedor com distâncias entre seus centros de 2D, 3D, 4D e 5D. A faixa de Reynolds (Re) foi de 20000 a 188000.
Franciss e Fujarra (2007) realizaram testes com diferentes arranjos para dois cilindros em tandem, montados em uma base elástica com 2-DOF para cada cilindro. As distâncias entre os cilindros foram variadas e os coeficientes de sustentação e arrasto foram medidos com e sem supressores de vórtices. A VIV foi avaliada em termos de possibilidade de interferência entre os cilindros, os autores concluíram que para várias distâncias os supressores são totalmente inúteis no cilindro a jusante, não evitando VIV.
Soluções numéricas como no CFD (SOARES et al., 2010) são úteis principalmente nas fases iniciais de um projeto de engenharia devido aos altos custos envolvidos em experimentos de laboratório. Em geral, o fenômeno da VIV ao redor de corpos rombudos em altos números de Re é tridimensional e turbulento e, geralmente, requer um grande esforço computacional para capturar seu comportamento físico através de CFD. Portanto, a maioria das simulações de CFD sobre VIV na literatura é geralmente realizada em baixos Re e bidimensional, embora as condições reais do mar estejam em Re mais altos, o que indica a importância de mais investigações. Por outro lado, Rosetti (2015) mostrou que a abordagem CFD bidimensional da
VIV é válida devido ao aumento do comprimento de correlação dos vórtices devido à vibração, o autor comparou cálculos CFD bi e tridimensionais.
Para grandes amplitudes de vibrações como as que ocorrem no lock-in, o CFD ainda tem dificuldades para obter resultados precisos. Para melhorar a precisão, Kang et al. (2017) propuseram um modelo de turbulência SST k-ω modificado no OpenFOAM e conduziram simulações bidimensionais com pequena aceleração inicial do escoamento, menor que 0,017 por tempo normalizado (tU/D). Os resultados obtidos na região de grandes amplitudes foram melhores do que aqueles com o modelo SST tradicional e sem essa aceleração inicial.
A configuração de um grupo de risers ou tubulações é uma questão importante devido ao escoamento de um riser interferir no comportamento do riser próximo. Nas vibrações IL há possibilidade de colisões, e nas vibrações CF há possibilidade de redução da vida útil devido à fadiga (TSUKADA et al., 2008).
Morooka et al. (2011) descreveram uma simulação no domínio do tempo da dinâmica de dutos e risers submetidos a VIV por meio de um modelo semi-empírico para calcular a força de sustentação com base no coeficiente de sustentação e no número de Strouhal. As forças são avaliadas por uma formulação do tipo Morison, o escoamento bidimensional é assumido e a frequência de desprendimento não é sincronizada com a frequência de vibração da estrutura. Essa abordagem foi aprimorada ainda mais em Tsukada et al. (2013) e Teixeira (2017). Tubulações submarinas com vãos livres também apresentam possibilidades de VIV. Tsukada
et al. (2013) apresentaram um estudo abrangente a partir de uma pesquisa de dados
experimentais da literatura aliada ao experimento realizado e à abordagem semi-empírica do VIV. Um procedimento de simulação numérica no domínio do tempo foi introduzido para prever a resposta dinâmica de um pipeline com vão livre.
Qiu et al. (2017) realizaram um estudo (27th ITTC Ocean Engineering Committee) para analisar as capacidades dos métodos CFD em relação a resultados experimentais do Maritime
Research Institute Netherlands (MARIN), para um cilindro circular estacionário. As
simulações de CFD foram realizadas por oito organizações independentes para 63100 ≤ Re ≤ 757000. Os resultados mostraram dispersão nos resultados entre os autores (ver Capítulo 5, Figuras 5.5, 5.6 e 5.7). Este estudo é uma fonte importante para fazer comparações uma vez que mostra resultados de diferentes modelagens CFD e um resultado experimental para comparação e validação do cálculo CFD do presente trabalho.
A correnteza incidente sobre um riser pode ter perfil de velocidade uniforme ou não. Em geral, resultados bidimensionais para forças em um riser longo quando o mesmo padrão de
desprendimento de vórtices é adotado em todas as seções ao longo do riser, geralmente fornecem resultados mais conservadores para o comportamento do riser do que os resultados em três dimensões. Na análise tridimensional, os vórtices são eliminados em pontos diferentes para cada seção do riser, se a corrente for tridimensional, de modo que a variação de tensão é reduzida de um ponto para outro (BEARMAN, 1984).
Considera-se que o escoamento externo seja uma correnteza de velocidade constante e que o fluido seja a água do mar, considerada incompressível. A vibração mais estudada neste trabalho é a transversal, pois a amplitude das forças nessa direção é mais intensa que a das forças na direção paralela ao escoamento, segundo Saito (2010) e Sumer e Fredsøe (1997).
Saito (2010) realizou simulações numéricas através do Ansys CFX, com uso de uma malha computacional e várias velocidades de escoamento em torno do cilindro fixo, desde Re = 5000 até Re = 800000. Em seguida, o cilindro foi posto a vibrar forçadamente, na direção transversal ao escoamento, para Re = 63860 e Re = 191580, e observou-se que, quando o movimento possui a mesma frequência de desprendimento de vórtices (lock-in), a força transversal oscila a uma só frequência e em alta amplitude.
Finalmente, Arakaki (2016) realizou, por meio do software OpenFOAM, simulações do escoamento em torno do cilindro próximo a uma parede plana, em que variavam as distâncias entre o cilindro e a parede, e fixou-se Re = 20000. Tais simulações foram feitas tanto com o cilindro fixo quanto com oscilações forçadas.
Na presente pesquisa, um cilindro circular livre para oscilar em 2-DOF em altos números de Re (20000 ≤ Re ≤ 688000, o que dificilmente é visto na literatura em CFD) está sendo considerado, simulações de CFD são realizadas para um cilindro estacionário e comparadas com os resultados de Qiu et al. (2017). Em seguida, o cilindro fica livre para se mover e, posteriormente, são realizadas simulações para duas seções circulares de cilindros em tandem, com movimentos de 2-DOF. Foram realizadas simulações na faixa de 20000 ≤ Re ≤ 688000, 0,5 < Ur < 6, na baixa razão de massa de m* ≅ 1, quando a massa estrutural é igual à massa de
água deslocada. Como a ressonância in-line ocorre em Ur baixo (2 < Ur < 4) e a ressonância em
cross-flow (lock-in) ocorrem em 4 < Ur < 8 (FRANZINI et al. 2012), simulações são realizadas
a partir de Ur = 0,5 para valores maiores. Em seguida, os movimentos cross-flow são
investigados para Ur mais altas (Ur > 4,2).
Um modelo de turbulência importante é o modelo k-ω de transporte por tensão de cisalhamento (SST), no qual a abordagem k-ε é adotada para as regiões de fluxo livre, onde o k-ω geralmente não é adequado e o k-ω é aplicado para regiões próximas a sólidos corpos, onde
se requer alta precisão na camada limite (SAITO; MOROOKA, 2010; ROSETTI, 2015). Mais detalhes sobre modelos de turbulência podem ser encontrados em Ansys (2018).
No presente estudo, através das simulações com o solver Fluent CFD, a equação de Navier-Stokes Média de Reynolds (RANS) é resolvida e o modelo de turbulência k-ω de transporte de tensão de cisalhamento (SST) é adotado.
A importância da VIV pode ser aferida pelo grande número de pesquisas, trabalhos da literatura e pelo esforço que a indústria faz para controlar a formação dos vórtices e evitar a fadiga e grandes vibrações. Frequentemente, supressores são desenvolvidos e instalados nas tubulações. Entretanto, devido ao aumento dos custos e à dificuldade na instalação, muitas vezes esses supressores não podem ser usados e recorre-se ao método tradicional pelo qual, na fase de projeto, se dimensiona a tubulação e a instalação (arranjo dos risers) para reduzir as VIV, por exemplo, aumentando o amortecimento ou quebrando o sincronismo dos vórtices.
A configuração dos risers em tandem geralmente ocorre em grupo de risers suspensos ao longo dos pontoons da plataforma, e a plataforma é colocada em uma posição na qual as forças da corrente e das ondas do mar local são menores na plataforma, e isso resulta frequentemente na situação de risers em tandem. Além disso, poucos trabalhos de pesquisa ainda estão disponíveis para risers em tandem com altos números de Re através do CFD. Nota-se também que os modelos tridimensionais de CFD geralmente requerem um grande esforço computacional e tempo para convergência da solução.
O CFD possui uma abordagem direta no domínio do tempo, o que permite analisar as não-linearidades que ocorrem em um sistema de risers sujeitos à VIV, o que é uma vantagem na precisão não encontrada nos simuladores no domínio da frequência.
Além disso, o Fluent incluiu recentemente o método das malhas sobrepostas (Quimera), e esse método, segundo vários autores, é mais eficiente uma vez que não há a necessidade de se refazer a malha a cada passo de tempo quando o corpo sólido se move no fluido.
O principal objetivo do presente trabalho é aplicar o CFD para simular o escoamento bidimensional em altos Re (20000 ≤ Re ≤ 668000) ao redor de um trecho de um cilindro circular representando a seção transversal de um riser na correnteza. O solver Fluent do software comercial ANSYS® é usado e a geração da malha é feita no Workbench.
Os coeficientes hidrodinâmicos das forças e o deslocamento de um cilindro serão calculados e comparados com a literatura disponível e com outras simulações. Casos com dois cilindros em tandem também serão simulados para verificar a possibilidade de colisão entre os
risers. Casos com um cilindro com oscilação forçada também serão avaliados e um breve estudo
sobre o método de malha sobreposta dinâmica é feito.
A pesquisa resultou nesta dissertação de cinco capítulos. O capítulo atual mostra a introdução do problema da VIV e apresenta as motivações e objetivos desta pesquisa.
O capítulo 2 apresenta conceitos básicos para o entendimento do mecanismo físico da VIV e do comportamento do escoamento, parâmetros relevantes usados durante a dissertação são introduzidos. Uma breve revisão da literatura descrevendo os principais trabalhos é apresentada.
O capítulo 3 apresenta os fundamentos teóricos dos cálculos realizados, como a discretização das equações e descrição dos modelos de turbulência. A metodologia empregada também é descrita, como a construção da malha e condições de contorno adotadas.
O capítulo 4 apresenta os resultados das simulações e as discussões para o cilindro estático e dinâmico, os resultados da presente pesquisa são comparados com dados experimentais e numéricos da literatura.
2
FUNDAMENTOS E DEFINIÇÕES
2.1 Parâmetros Físicos Importantes
Os escoamentos possuem duas regiões: uma em que o efeito da viscosidade é desprezível e outra em que deve ser levado em consideração. Esta última é uma fina região do escoamento ao redor de um corpo sólido, denominada camada limite. Nesta região, a velocidade na parede do corpo é nula e aumenta à medida que a distância em relação ao corpo aumenta, de forma que, onde a velocidade for 99% da velocidade de corrente livre (U) termina a camada limite, como pode ser visto na Figura 2.1 (escoamento em uma placa plana), em que δ é a espessura e τw é a tensão de cisalhamento na superfície.
Figura 2.1 - Camada limite em placa plana (WHITE, 2002)
Um parâmetro adimensional importante para caracterizar um escoamento relacionado a um corpo sólido é o número de Reynolds (Re), dado pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Segundo Fox e colaboradores (2011), o Re de um escoamento em torno de um cilindro circular pode ser calculado pela equação 2.1 a seguir, em que ρ é a densidade do fluido, D representa o diâmetro do cilindro, U é a velocidade da corrente livre (fluido), µ representa a viscosidade absoluta e ν é a viscosidade cinemática.
𝑅𝑒 =𝜌∗𝐷∗𝑈
µ =
𝐷∗𝑈
Para Re < 1 as forças viscosas são dominantes, enquanto para Re > 1 as forças de inércia são dominantes. O número de Reynolds vai caracterizar se o escoamento é laminar ou turbulento.
Segundo a mecânica dos fluidos clássica, o escoamento de um fluido pode ser laminar ou turbulento. No escoamento laminar, as moléculas do fluido se deslocam seguindo uma linha de corrente ou um caminho definido. Esse tipo de escoamento pode ser caracterizado em lâminas, e por essa razão recebe nome “laminar”. Já no escoamento turbulento, as moléculas do fluido seguem caminhos aleatórios e formam redemoinhos de vários tamanhos, o que torna o escoamento caótico e de difícil estudo. Para melhor entendimento, a Figura 2.2 ilustra alguns exemplos.
Figura 2.2 - (a) escoamento laminar; (b) e (c)escoamentos turbulentos
A turbulência ocorre em escoamentos com altos números de Reynolds (Re) e os escoamentos turbulentos são formados por redemoinhos de tamanhos diferentes e tempos de duração diferentes, em outras palavras, existem várias escalas espaciais e temporais.
A transição de laminar para turbulento e o nível de turbulência dos escoamentos dependem fortemente do Re. Assim, um escoamento com Re muito elevado apresentará grandes oscilações internas de velocidade e pressão e uma variedade muito grande de escalas espaciais e temporais. Nota-se que a turbulência é um fenômeno tridimensional.
A Figura 2.3 retrata a evolução da turbulência em diferentes partes de um escoamento da camada limite sobre uma placa plana, onde Re1 < Re2 < Re3 < Re4. Já na Figura 2.4, há a
representação de quatro escoamentos do mesmo fluido, mas com diferentes números de Reynolds (Re1, Re2, Re3 e Re4), onde se pode observar o tamanho das escalas.
Figura 2.3 - Camada limite sobre placa plana
Fonte: INCROPERA, 2008 (adaptado)
Figura 2.4 - Escoamentos turbulentos com diferentes Re
Uma vez que a energia cinética é transportada por redemoinhos maiores, transferida para menores e dissipada em redemoinhos ainda menores, de escalas bem pequenas, pode-se dizer que a turbulência é dissipativa (WILCOX, 1994). Se, por alguma razão, o Re aumenta, não só aparecem redemoinhos menores, mas a diferença de tamanho entre os maiores e os menores também aumenta.
Um corpo imerso em um escoamento experimenta uma força resultante, pois o escoamento gera tensões superficiais em cada elemento da superfície do corpo. Essas tensões podem ser: tangenciais à superfície devido à viscosidade, ou normais à superfície devido à pressão local. A força resultante pode ser determinada por experimentos e é decomposta em força de arrasto (FD) e em força de sustentação (FL). FD atua na direção de incidência do
escoamento, in-line (IL), e FL atua perpendicular a direção IL e ao eixo do cilindro, direção
Figura 2.5 - Forças de arrasto e sustentação
Fonte: ARAKAKI, 2016
Na superfície do cilindro, em uma área infinitesimal (dAs), as forças de pressão (pdAs) e
cisalhamento (τwdAs) são usadas para se obter as forças de arrasto e sustentação:
𝑑𝐹𝐷 = −𝑝𝑑𝐴𝑠𝑐𝑜𝑠λ + τ𝑤𝑑𝐴𝑠𝑠𝑒𝑛λ (2.2)
𝑑𝐹𝐿 = −𝑝𝑑𝐴𝑠𝑠𝑒𝑛λ − τ𝑤𝑑𝐴𝑠𝑐𝑜𝑠λ (2.3)
Onde λ é o ângulo entre a normal exterior a dAs e a direção positiva do escoamento.
Integrando as Equações (2.2) e (2.3) se obtém as forças de arrasto e sustentação sobre o corpo:
𝐹𝐷 = ∫ 𝑑𝐹𝐴𝑠 𝐷 = ∫ (−𝑝𝑐𝑜𝑠λ + τ𝐴𝑠 𝑤𝑠𝑒𝑛λ)𝑑𝐴𝑠 (2.4)
𝐹𝐿 = ∫ 𝑑𝐹𝐴𝑠 𝐿 = − ∫ (𝑝𝑠𝑒𝑛λ + τ𝐴𝑠 𝑤𝑐𝑜𝑠λ)𝑑𝐴𝑠 (2.5)
Essas forças dependem do tamanho do corpo (diâmetro D), da velocidade do escoamento, do comprimento do cilindro e viscosidade do fluido. Através do Teorema Pi de Buckingham, esses parâmetros são relacionados para se obter o coeficiente de arrasto (CD) e de sustentação
(CL), esses adimensionais são definidos como:
𝐶𝐷 = 𝐹′𝐷
0,5𝜌𝐷𝑈2 (2.6)
𝐶𝐿= 𝐹′𝐿
Onde F’D e F’L são as respectivas forças por unidade de comprimento [N/m]. Para CL, é
comum na literatura o uso de seu valor eficaz, RMS (root mean square), CLrms dado por:
𝐶𝐿𝑟𝑚𝑠 = lim 𝑇→∞√ 1 𝑇∫ 𝐹′𝐿(𝑡)2 𝑇 0 𝑑𝑡 0,5𝜌𝐷𝑈2 (2.8)
Sendo T o período de oscilação da F’L (TEIXEIRA, 2017).
2.2 Vibração Induzida por Vórtices (VIV)
Vibração induzida por vórtices (VIV) é um fenômeno de interação fluido-estrutura no qual uma estrutura offshore vibra devido a forças causadas pelo desprendimento alternado de vórtices, resultado do escoamento externo ao redor dessa estrutura, a Figura 2.6 ilustra a seção transversal de um riser como exemplo.
Figura 2.6 - Esquema de um riser sujeito a VIV
O desprendimento de vórtices ocorre de forma alternada entre as laterais do corpo, portanto, as forças que agem no corpo são oscilatórias no tempo. A força resultante é composta por duas componentes oscilatórias no tempo: a força de arrasto (FD) e a força de sustentação
(FL). FD atua na direção de incidência do escoamento, in-line (IL), e FL atua perpendicular a
direção in-line e ao eixo do cilindro, direção cross-flow (CF). Essas forças podem ser simplesmente modeladas como sendo cíclicas de período regular (senóide ou cossenóide) e devido ao caráter oscilatório, resultam na VIV.
Geralmente, as amplitudes das vibrações na direção cross-flow são maiores em relação às amplitudes da direção in-line, portanto, muitos estudos de VIV na literatura concentraram-se somente nas oscilações CF. O riser vibrará com maiores amplitudes quando seu movimento estiver sincronizado com a frequência de desprendimento de vórtices, esse fenômeno é conhecido como lock-in. O desprendimento e a esteira de vórtices são um escoamento complexo. No lock-in o riser têm sua amplitude máxima de vibração na direção CF (BEARMAN, 1984).
No escoamento ao redor de um cilindro estacionário, o desprendimento de vórtices ocorre devido ao desprendimento da camada limite, que se dá quando o gradiente de pressão na superfície do corpo passa a ser positivo, ou seja, quando ∂p/∂x > 0 e, portanto, a velocidade na superfície do cilindro é nula em um determinado ponto (o ponto D marcado na Figura 2.7, a seguir).
Figura 2.7 - Desprendimento da camada limite
Fonte: (SUMER; FREDSØE, 1997)
A ocorrência de desprendimento de vórtices no fluido em torno de um cilindro liso está fortemente ligada ao número de Reynolds, conforme mostra a Figura 2.8 (SUMER; FREDSØE, 1997), em que a turbulência é representada pelo contorno com ranhuras.
Figura 2.8 - Escoamento ao redor de um cilindro
Fonte: (SUMER; FREDSØE, 1997)
Para Re < 5 não há separação, enquanto que para 5 < Re < 40 percebe-se um par de vórtices simétricos e estacionários após o cilindro. Para Re > 40 ocorre uma instabilidade que resulta no fenômeno de desprendimento de vórtices alternados em cada lado do cilindro em uma determinada frequência, denominado de esteira de Kàrman. Já para 40 < Re < 200 a esteira de vórtices é laminar e bidimensional, ou seja, não apresenta variação na direção longitudinal do cilindro.
Há uma transição para turbulência na esteira se 200 < Re < 300 e, conforme o número de Reynolds aumenta de 200 para 300, a turbulência avança em direção ao cilindro. Quando 300 < Re < 300000, atinge-se o regime subcrítico, no qual a esteira de vórtices é completamente
turbulenta, mas a separação da camada limite nas extremidades do cilindro (A) ainda é laminar. O regime crítico ou (transição inferior) é atingido quando 300000 < Re < 350000, situação em que a separação da camada limite em um dos lados do cilindro fica turbulenta, mas a camada limite se mantém laminar em ambos os lados (B).
O regime supercrítico ocorre para 350000 < Re < 1500000, quando a separação da camada limite é turbulenta nos dois lados do cilindro (B), porém a camada ainda é parcialmente laminar e parcialmente turbulenta. Para 1500000 < Re < 4000000 observa-se a situação de transição superior, na qual a camada limite é completamente turbulenta em um lado e transitória na outra. Por fim, se 4000000 < Re, então a camada limite é completamente turbulenta nos dois lados do cilindro, o que caracteriza o regime transcrítico de escoamento.
A frequência de desprendimento de vórtices (fs) está ligada ao tempo entre a formação de
um vórtice em um lado do cilindro e o desprendimento de outro vórtice em outro lado do cilindro.
Figura 2.9 – Formação e desprendimento dos vórtices. (a) Vórtice A é desprendido devido à vorticidade contrária do B. (b) Vórtice B é desprendido devido à vorticidade contrária do C.
Fonte: SUMER; FREDSOE, 1997.
Isto é, na Figura 2.9, o tempo entre a formação de A e o desprendimento de B é Ts, logo,
fs = 1/Ts. O número de Strouhal (St) é um adimensional usado para descrever a oscilação de um
corpo nesse tipo de escoamento. Para um cilindro, St é dado por:
𝑆𝑡 = 𝑓𝑠𝐷/𝑈 (2.9)
Lienhard (1966) reuniu valores de St de diferentes experimentos em função de Re para um cilindro rígido e estacionário, a Figura 2.10 mostra isso, inclusive as separações de acordo
com o regime de escoamento. A região hachurada representa as discrepâncias dos valores de diversos autores.
Figura 2.10 – Número de Strouhal em função de Reynolds para cilindros rígidos estacionários
Fonte: LIENHARD, 1966
Para região de 1,5.105 < Re < 3.106 há uma grande discrepância, a curva tracejada superior corresponde a valores de cilindros com superfície lisa e a curva tracejada inferior corresponde a valores de cilindros com superfície rugosa. Na região de transição (300 < Re < 1,5.105), St ≈ 0,2.
Para um cilindro livre para oscilar, quando imerso em um escoamento, o cilindro está sujeito a forças oscilatórias devido à assimetria na formação dos vórtices e isso resulta na vibração. Dependendo dos parâmetros do escoamento, o cilindro pode vibrar com uma frequência (f) próxima a sua frequência natural (fn), o que caracteriza o fenômeno de
sincronização (lock-in) e isso aumenta a amplitude de vibração.
Usando um cilindro com oscilação forçada em experimentos, Willianson e Roshko (1988) observaram diferentes padrões de emissão dos vórtices e elaboraram um mapa (Figura 2.11 (a)). Os principais padrões encontrados na esteira foram denominados por: S (Single) quando há apenas um vórtice; P (pair) quando ocorre um par de vórtices; P+S quando ocorre um par de vórtices e um simples em cada ciclo; outros padrões também são ilustrados na (Figura 2.11 (b)).
Figura 2.11 – (a) Mapa das regiões de sincronização de vórtices; (b) Padrões de emissão de vórtices
Fonte: WILLIANSON; ROSHKO, 1988
O padrão de desprendimento dos vórtices de um cilindro estacionário (2S) é diferente do padrão observado em um cilindro vibrando. Quando o cilindro começa a vibrar, dependendo da amplitude e frequência de vibração, esse padrão pode mudar do 2S para o 2P e P+S perto da região de sincronização.
A frequência de oscilação (f) é a frequência de vibração do cilindro devido ao fenômeno de desprendimento de vórtices e refere-se ao ciclo de deslocamento da estrutura no tempo. Um parâmetro adimensional importante é a razão de frequência (f*) que é a relação entre a frequência de oscilação e uma de suas frequências naturais:
𝑓∗ = 𝑓
𝑓𝑛=
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (2.10)
Se a frequência de desprendimento de vórtices (fs) se aproxima de uma frequência natural
(fn), o cilindro passa a vibrar com f próxima a fn modificada devido a mudanças na massa
adicional (fnm). A vibração do cilindro modifica fs para um valor igual à f (fs = f).
Para se analisar a oscilação de um cilindro sujeito à VIV usa-se a velocidade reduzida (Ur), um parâmetro adimensional fundamental que representa a relação entre a velocidade da
correnteza e a velocidade do cilindro oscilando:
𝑈𝑟 = 𝑈
𝑓𝑛𝐷 (2.11)
Quando um corpo imerso se movimenta, há uma força adicional para acelerar o fluido que o cerca, essa força é obtida multiplicando-se a massa adicional ao corpo (Ma) pela
aceleração deste. Pois Ma representa a inércia adicional ao corpo devido à aceleração do volume
de fluido deslocado pelo corpo em movimento. O valor de Ma é estimado através de
experimentos e usa-se seu valor médio dentro de um determinado período de análise, pois o valor instantâneo de Ma não é simples de se calcular e depende de: Reynolds do escoamento;
rugosidade, forma e tamanho do corpo; separação no escoamento; ocorrência de vórtices; viscosidade do fluido; proximidade de outros corpos; dentre outros.
O coeficiente de massa adicional (Ca) é dado pela massa adicional dividida pela massa de
fluido deslocado (Md). No caso de um cilindro:
𝐶𝑎 = 𝑀𝑎
𝜌𝜋𝐷24 𝐿 (2.12)
Onde ρ é a densidade do fluido, D é o diâmetro externo e L é o comprimento do cilindro. O valor instantâneo de Ca varia devido à variação de Ma. Experimentos na literatura com
cilindros rígidos investigaram Ca em função da velocidade reduzida (Ur) que o cilindro está
sujeito, essa relação entre Ca e Ur é importante em casos com baixa razão de massa (m*) como
na análise dinâmica de risers e dos esforços causados pelo desprendimento dos vórtices (TEIXEIRA, 2017). Dessa forma, o valor de Ca adotado na simulação numérica de risers
sujeitos à VIV é um valor empírico médio. O comportamento de Ca em função de Ur será
discutido adiante.
A razão de massa (m*) é um adimensional que indica a flutuabilidade do cilindro e é usado para relacionar sua flutuabilidade com a ocorrência da VIV. A m* é a razão da massa estrutural do cilindro (com o fluido interno) pela massa de fluido (externo) deslocado, isto é:
𝑚∗ = 𝑀
Sendo M a massa estrutural do cilindro, estruturas submarinas e risers geralmente possuem baixa m*, e segundo Jauvtis e Williamson (2004), estruturas com m* < 6 são consideradas de baixa razão de massa.
O fator de amortecimento (ζ) é um adimensional que indica a dissipação de energia da estrutura quando ela está vibrando, ζ é a razão do coeficiente de amortecimento linear (C) da estrutura pelo seu amortecimento critico unitário.
ζ = 𝐶
2(𝑀+𝑀𝑎)ω𝑛 (2.14)
Onde ωn é a frequência natural (ωn = 2πfn).
A ressonância ocorre se a frequência de desprendimento de vórtices (fs) é semelhante à
frequência natural (fn) do cilindro em águas calmas, pois este vibra com maiores amplitudes
nessa situação. O aumento da amplitude de vibração aumenta o comprimento de correlação dos vórtices, esse comprimento é a região ao longo do eixo do cilindro onde as forças devido aos vórtices estão com a mesma fase. Isto é, se o comprimento de correlação é grande, maiores regiões ao longo do cilindro sofrerão forças de mesma fase, o que provoca uma grande força resultante e favorece as vibrações, o que não é desejado.
É importante ressaltar que f não é exatamente igual à frequência natural em águas calmas (fn), pois o fenômeno de VIV altera a massa adicional do cilindro modificando suas frequências
naturais. Em outras palavras, a estrutura vibrará em uma frequência natural modificada (fnm)
devido à variação da massa adicional (Ma). A variação de Ma é influenciada pela razão de massa
(m*), pois estruturas com menor m* passam por uma maior mudança nas frequências naturais no lock-in.
O lock-in ocorre em certa faixa de velocidade reduzida (Ur), no lock-in a amplitude de
vibração não cresce indefinidamente, para certa Ur o comprimento de correlação dos vórtices
volta a diminuir e, consequentemente, a amplitude de vibração também diminui. Outra característica importante é que a frequência de desprendimento de vórtices pode ser diferente daquela para o cilindro estacionário.
O perfil de velocidade da correnteza marítima sobre a tubulação ou riser pode ser uniforme ou não, como mostra a Figura 2.12. Em uma correnteza uniforme, as amplitudes de vibração do riser são maiores que em uma correnteza não uniforme, e a região ao longo do riser
em lock-in também é maior na correnteza uniforme, o que mostra que o estudo considerando corrente uniforme e coplanar tende a ser mais conservador (WANG; XIAO, 2016).
Figura 2.12 – Zonas de excitação no lock-in. A) Correnteza uniforme. B) Correnteza não-uniforme
Fonte: TEIXEIRA, 2017
O desprendimento alternado de vórtices da superfície de um cilindro imerso em um escoamento estacionário resulta em um carregamento hidrodinâmico oscilatório, portanto o movimento do cilindro também será oscilatório. As oscilações ocorrerão na direção in-line (IL) e na direção cross-flow (CF). Geralmente, as amplitudes na direção CF são maiores que na direção IL, e a frequência principal de vibração na direção IL é maior que na direção CF, geralmente duas vezes maior.
Em um cilindro rígido sujeito a VIV, a força hidrodinâmica resulta em diferentes tipos de movimentos de acordo com Ur (FRANZINI et al., 2012): Ur < 4 (região onde o movimento IL
é dominante); 4 ≤ Ur ≤ 8 (região onde o movimento é resultado do acoplamento dos movimentos
IL e CF e o CF é dominante);
Na faixa de lock-in, as amplitudes da vibração CF são maiores que as da IL, dessa forma, muitos estudos experimentais focam apenas na direção CF. Além disso, nos locais onde ocorre o lock-in a vibração pode ser considerada como senoidal.
A Figura 2.13 mostra o esquema de um cilindro rígido montado como um sistema massa-mola-amortecedor livre para vibrar nas direções IL e CF, isto é, dois graus de liberdade (2-DOF). A mola (K) representa a rigidez e o amortecedor (C) é o amortecimento estrutural; K e C são iguais para as duas direções conforme o esquema dessa figura.
Figura 2.13 – Esquema de um cilindro rígido livre para vibrar sujeito a VIV
As equações 2.15 e 2.16 descrevem o equilíbrio dinâmico desse sistema, isto é, as equações de movimento para o problema de VIV, onde x e y são os deslocamentos nas direções IL e CF respectivamente, e os pontos representam as derivadas no tempo.
𝑀𝑦̈ + 𝐶𝑦̇ + 𝐾𝑦 = 𝐹𝐿 (2.15)
𝑀𝑥̈ + 𝐶𝑥̇ + 𝐾𝑥 = 𝐹𝐷 (2.16)
FD e FL são as forças de arrasto (drag) e sustentação (lift), respectivamente. Essas forças
são impostas ao cilindro devido ao fenômeno de VIV.
No lock-in o movimento na direção CF do cilindro se aproxima de uma oscilação harmônica com frequência ω (ω = 2πf rad/s), podendo ser escrito como:
𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (2.17)
Onde y0 é a amplitude da vibração. FL é uma força de excitação influenciada pela
frequência de desprendimento de vórtices (fs) e no lock-in terá frequência igual à da vibração
do cilindro (fs = f). Em outras palavras, FL é periódica com amplitude FL0 e pode ser dada por:
𝐹𝐿(𝑡) = 𝐹𝐿0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑠𝑡 + 𝜑) (2.18)
Onde φ é o ângulo de fase [rad] entre a força e o y(t), e ωs = 2πfs = 2πf (no lock-in). A
cilindro, e φ também está relacionado à amplitude máxima de vibração do cilindro (BEARMAN, 1984).
A vibração causada pelo desprendimento dos vórtices resulta em uma interação fluido-estrutura (FSI) que modifica a massa adicional (Ma) ao longo do riser. A mudança em Ma altera
as frequências naturais do cilindro, tornando-as diferentes das frequências naturais em águas calmas (fn). Conforme discutido anteriormente, no lock-in (fs = f = fnm). Isso mostra que o
entendimento da interação fluido-estrutura é indispensável na previsão da VIV, o que não é simples devido a não linearidade nesse fenômeno.
Um importante experimento que investigou a influência de Ur em Ma foi feito por
Vikestad (2000), no qual foi usado um cilindro rígido (suportado por molas) com baixa razão de massa (m* = 1,3) e livre para vibrar apenas na direção CL, o regime de escoamento foi o subcrítico (14.000 < Re < 65.000) e (2,6 < Ur < 13,2). Para o cálculo da velocidade reduzida
foram usadas as frequências naturais em águas calmas (Ca = 1,04). Em seu experimento também
foi investigado o resultado de uma excitação externa junto ao VIV na variação de Ma.
Dessa forma, Vikestad obteve Ca em função de Ur (Ur = U/fnD), onde fn é a frequência
natural em águas calmas (Ca = 1,04), isso é mostrado na Figura (2.14).
Figura 2.14 – Coeficiente de massa adicional (Ca) em função da velocidade reduzida (Ur)
Fonte: VIKESTAD; VANDIVER; LARSEN, 2000
Dessa figura nota-se que há discrepâncias e altos valores de Ca entre os experimentos para
Na presente pesquisa adotou-se a hipótese de Ca = 1 uma vez que perto do lock-in o Ca ≈
1. Sendo Ma = CaMd, a frequência natural é dada pela seguinte equação:
𝑓𝑛 =𝜔𝑛 2𝜋 = 1 2𝜋√ 𝐾 𝑀+𝑀𝑎 (2.19)
O fator de amortecimento (ζ) normalmente é pequeno se comparado com a unidade, portanto, a frequência natural angular amortecida (ωd) acaba se aproximando da frequência
natural angular (ωn) como na seguinte equação:
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 ≈ 𝜔
3 APLICAÇÃO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
COMPUTACIONAL
3.1 Equações de Navier-Stokes
Segundo Fox e colaboradores (2011), as propriedades do fluido em um ponto O, dentro de um volume de controle diferencial em coordenadas retangulares (Figura 3.1), podem ser avaliadas através das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível, com viscosidade constante e na forma tridimensional.
Figura 3.1 - Volume de controle
As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais (EDP) e relacionam: as velocidades, horizontal (u), vertical (v) e axial (w); as coordenadas, horizontal (x), vertical (y) e axial (z); a densidade (ρ), a pressão (p), a viscosidade cinemática (ν) e o tempo (t).
Se considerar um escoamento bidimensional e incompressível, e desprezando as forças de campo (como a gravidade), os termos ligados à direção axial (z e w) serão todos nulos, o que simplifica as equações do escoamento, como se vê a seguir:
𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 0 (3.1) 𝜌 (𝜕𝑢 𝜕𝑡+ 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥+ µ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) (3.2)
𝜌 (𝜕𝑣 𝜕𝑡+ 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ µ( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2) (3.3)
A Equação (3.1) é a equação da conservação da massa ou da continuidade, enquanto as demais equações, numeradas como (3.2) e (3.3) são equações da quantidade de movimento nas direções x e y, respectivamente.
3.2 Modelo de Turbulência
Quando envolvem turbulência, as simulações em CFD tendem a ser mais complicadas, pois há muitas opções de modelagem de turbulência nos programas de CFD. A técnica de simulação numérica direta (Direct Numerical Simulation – DNS) busca resolver o movimento não estacionário de todas as escalas, mas, para tanto, as malhas devem ser tridimensionais e extremamente finas, o que torna a aplicação da DNS inviável para Re altos e médios. Estima-se que, daqui algumas décadas, o uso de DNS para esEstima-ses casos torne-Estima-se popular.
Devido ao alto custo computacional do DNS, foi criada a técnica de simulação de grandes escalas (Large Eddy Simulation – LES), em que as escalas maiores são resolvidas e as menores são modeladas (aplicando hipóteses para simplificação). Ainda, os vórtices turbulentos menores são considerados isotrópicos (independentes da orientação do sistema de coordenadas). O LES apresenta menor custo computacional em relação ao DNS, mas ainda continua sendo considerado caro. Para reduzir ainda mais o esforço computacional, são usados modelos de turbulência, nos quais todos os vórtices turbulentos não permanentes são modelados e as equações de Navier-Stokes passam a ser equações médias de Reynolds (Reynolds-averaged
Navier-Stokes – RANS).
Se aplicar o operador de média temporal nas equações de Navier-Stokes, as equações de Reynolds são obtidas (equações para as médias das variáveis no escoamento), isto é, as variáveis (velocidade, pressão e massa específica) das equações de movimento são decompostas em parte média e parte flutuante. Depois o operador de média temporal é aplicado aos termos resultantes em um determinado intervalo de tempo finito.
Teoricamente, o escoamento turbulento possui duas escalas de tempo: a primeira de variações lentas do escoamento (T2) e a segunda de variações rápidas (T1). As variações rápidas
(T1) remetem à natureza da turbulência enquanto que as variações lentas (T2) se referem ao
efeito transiente do escoamento. A Figura 3.2 mostra como exemplo a propriedade de velocidade 𝑢𝑖(𝑥, 𝑡) em função do espaço x e do tempo t.
Figura 3.2 - Média de tempo para a turbulência transiente
Fonte: WILCOX, 1994
Conforme se observa no gráfico acima, a velocidade 𝑢𝑖(𝑥, 𝑡) é composta por duas partes: a velocidade média 𝑢̅𝑖(𝑥, 𝑡) e a flutuante 𝑢′𝑖(𝑥, 𝑡). Desse modo:
𝑢𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑢̅𝑖(𝑥, 𝑡) + 𝑢′𝑖(𝑥, 𝑡) (3.4)
E a velocidade média é definida por:
𝑢̅𝑖(𝑥) = lim 𝑇→∞ 1 𝑇∫ 𝑢𝑖(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 𝑡+𝑇 𝑡 (3.5)
Sendo T1 << T << T2, pois não é possível pegar um tempo T infinito no escoamento. A
média no tempo de 𝑢̅𝑖(𝑥) possui o mesmo valor de 𝑢̅𝑖(𝑥):
𝑢̅𝑖(𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ = lim 𝑇→∞ 1 𝑇∫ 𝑢̅𝑖(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 𝑡+𝑇 𝑡 = 𝑢̅𝑖(𝑥) (3.6)
A média no tempo de 𝑢′𝑖(𝑥, 𝑡) é zero, a equação 3.7 evidencia isso.
𝑢′ 𝑖(𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = lim 𝑇→∞ 1 𝑇∫ [𝑢𝑖(𝑥, 𝑡) − 𝑢̅𝑖(𝑥)]𝑑𝑡 𝑡+𝑇 𝑡 = 𝑢̅𝑖(𝑥) − 𝑢̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0 (3.7) 𝑖(𝑥)
Existem quatro tipos de modelos de turbulência (obtidos pelas equações RANS) em CFD: modelos algébricos, de uma equação, de duas equações e modelos de tensão de Reynolds. Além de a opção laminar, o Fluent possui os principais modelos de turbulência:
▪ Modelo Spalart-Allmaras: é um simples modelo de apenas uma equação;
▪ Modelo k-ε: é o modelo de duas equações mais usado, alguns tipos de k-ε não são exatos em gradientes adversos de pressão e escoamentos com separação da camada limite;
▪ Modelo k-ω: é um modelo no qual possui mais exatidão para prever o gradiente adverso de pressão na camada limite e separação desta, mas este modelo não tem um bom desempenho para escoamento cisalhante em corrente livre;
▪ Modelo de tensão de Reynolds (RSM): usado em escoamentos com redemoinhos fortes e rotação;
▪ Simulação de escalas adaptativas (SAS): este modelo possui a escala de comprimento de von Karman na equação de turbulência para ajustar sua escala de comprimento;
▪ Simulação de grandes escalas (LES): resolve as grandes estruturas turbulentas e modela as pequenas, o LES requer uma geometria tridimensional;
▪ Simulação dos vórtices desprendidos (DES): é uma alternância entre o LES e o RANS;
Os modelos algébricos e de uma equação são incompletos, pois é preciso conhecer certos parâmetros do escoamento. Os modelos de duas equações são os mais usados e completos, pois fornecem mais propriedades do escoamento sem necessidade de se conhecer muitos detalhes acerca do escoamento. Os modelos de duas equações mais conhecidos e usados são os modelos k-ε e k-ω, mas o modelo usado em todas as simulações no presente trabalho foi o k-ω SST, pois este é um híbrido entre k-ε e k-ω que usa automaticamente o modelo k-ε em regiões de escoamento livre e k-ω em regiões próximas a corpos sólidos onde maior precisão é requerida devido a camada limite (SAITO; MOROOKA 2010; ROSETTI, 2015).
Nesse estudo as equações RANS para um escoamento incompressível são consideradas, elas são dadas na forma de tensor cartesiano (i, j ∈ [1, 2, 3]) pelas equações seguintes:
𝜕𝑢̅𝑖
𝜕(𝜌𝑢̅𝑖) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑢̅𝑖𝑢̅𝑗) 𝜕𝑥𝑗 = − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥𝑖+ 𝜕 𝜕𝑥𝑗[µ( 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗+ 𝜕𝑢̅𝑗 𝜕𝑥𝑖 − 2 3𝛿𝑖𝑗 𝜕𝑢̅𝑙 𝜕𝑥𝑙)] + 𝜕 𝜕𝑥𝑗(−𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅̅) 𝑖′𝑢𝑗′ (3.9)
Onde 𝑢̅i e 𝑢′i representam o valor médio e flutuante (respectivamente) do componente
da velocidade, 𝑥i representa a direção, t corresponde ao tempo, 𝑝̅ refere-se à pressão, ρ é
densidade e -ρ𝑢′̅̅̅̅̅̅̅ representa as tensões de Reynolds, que devem ser modeladas para fechar 𝑖𝑢′𝑗
a Equação (3.9). Os modelos de turbulência se diferenciam pela forma de se modelar as tensões de Reynolds e, dependendo disso, a solução também pode ser diferente (ANSYS, 2018). Um método comum para simplificar essas tensões envolve o uso da hipótese de Boussinesq na Equação (3.10), que liga as tensões de Reynolds aos termos da média das velocidades.
−𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅̅ = µ𝑖′𝑢𝑗′ 𝑡(𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗+ 𝜕𝑢̅𝑗 𝜕𝑥𝑖) − 2 3(𝜌𝑘 + µ𝑡 𝜕𝑢̅𝑘 𝜕𝑥𝑘) 𝛿𝑖𝑗 (3.10)
Onde µt é a viscosidade turbulenta. Essa hipótese é usada nos modelos Spalart-Allmaras,
k-ε e k-ω. Nos modelos k-ε e k-ω, duas equações adicionais de transporte são resolvidas (uma para a energia cinética turbulenta (k) e outra para a taxa de dissipação turbulenta (ε) ou para a taxa de dissipação específica (ω)). µt é assumido como uma quantidade escalar isotrópica (o
que é uma forte aproximação) e é calculado em função de k e ε ou ω.
3.3 Discretização do meio Fluido
A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics – CFD) consiste em obter soluções numéricas de equações de fenômenos físicos ou químicos ligados à engenharia ou outras ciências. Os códigos e programas de CFD são compostos de três partes: o pré-processamento, onde a geometria do problema e a malha são construídas; o solver, onde as equações do problema são resolvidas; e o pós-processamento, onde se analisa dados como gráficos, imagens, cores e animações.
Existem diferentes métodos numéricos de solução, os principais são os métodos dos Elementos Finitos (MEF), das Diferenças Finitas (MDF) e dos Volumes Finitos (MVF). Sendo
este último o usado pelo Ansys® Fluent CFD para obter soluções numéricas dos sistemas de equações diferenciais parciais (equações de Navier-Stokes) em um determinado volume de controle.
O Fluent possui o solver baseado na pressão e o solver baseado na densidade, mas em ambos o campo de velocidades é obtido das equações da quantidade de movimento. No solver da densidade, a equação da continuidade fornece o campo de densidades e a equação de estado fornece o campo de pressões. No solver da pressão, o campo de pressão é obtido através da manipulação das equações da continuidade e da quantidade de movimento.
Em ambos os solvers, o domínio do fluido é dividido em vários elementos de pequeno volume formando a malha computacional. E equações de conservação para o transporte de uma quantidade escalar Φ (como as equações de Navier-Stokes) são integradas em cada um desses volumes de controle para formar equações algébricas para as variáveis dependentes (velocidade, pressão, temperatura, etc...), isto é o MVF.
A Equação 3.11 mostra a integral dessa equação para um arbitrário volume de controle V (célula), onde: ρ é densidade; 𝑣⃗ = 𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂ é o vetor velocidade (bidimensional); 𝐴⃗ é o vetor da área do volume; ΓΦ é o coeficiente de difusão de Φ; SΦ é fonte de Φ por unidade de volume.
∫ 𝜕𝜌Φ
𝜕𝑡 𝑑𝑉
𝑉 + ∮ 𝜌Φ𝑣⃗ · 𝑑𝐴⃗ = ∮ 𝛤Φ𝛻Φ · 𝑑𝐴⃗ + ∫ 𝑆𝑉 Φ𝑑𝑉 (3.11)
A discretização da Equação 3.11 resulta na Equação 3.12, e: Nfaces é o número de faces
da célula; Φf é o valor do fluxo através da face f; ∇Φ é o gradiente de Φ na f; 𝜌𝑓𝑣⃗𝑓· 𝐴⃗𝑓 é o fluxo
de massa através da face; 𝐴⃗𝑓 é a área da face f e |A| = |𝐴𝑥𝑖̂ + 𝐴𝑦𝑗̂| (em duas dimensões).
𝜕𝜌Φ 𝜕𝑡 𝑉 + ∑ 𝜌𝑓𝑣⃗𝑓Φ𝑓· 𝐴⃗ 𝑁𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑓 = ∑ 𝛤Φ𝑣⃗𝑓𝛻Φ𝑓· 𝐴⃗𝑓 𝑁𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑓 + 𝑆Φ𝑉 (3.12)
A discretização ocorre no espaço e no tempo e as equações algébricas resultantes funcionam com operações de adição e multiplicação, que podem ser calculadas por um computador. Depois, as equações discretizadas são linearizadas e resolvidas para calcular as variáveis dependentes.
Quanto mais se refina a malha (ou seja, quanto menores os volumes) e quanto mais se diminui o passo de tempo, maior é a aproximação das equações discretizadas com as equações
exatas, isto é, maior é a consistência. É preciso também atentar para que a solução numérica seja próxima à solução exata das equações analíticas, ou seja, é preciso que o erro entre a solução exata e numérica seja mínimo.
A discretização temporal resulta da integração dos termos da equação diferencial em um passo de tempo Δt. Isto é, ∂Φ/∂t = F(Φ) onde F(Φ) possui as discretizações espaciais inclusas. As discretizações de primeira e segunda ordem são dadas pelas respectivas Equações 3.13 e 3.14, onde “n+1” refere-se ao próximo passo de tempo “t+Δt”, “n-1” refere-se ao passo anterior “t-Δt” e “n” ao passo atual “t”.
𝐹(Φ) =Φ𝑛+1−Φ𝑛
𝛥𝑡 (3.13)
𝐹(Φ) =3Φ𝑛+1−4Φ𝑛+Φ𝑛−1
2𝛥𝑡 (3.14)
Uma técnica importante é a integração implícita, a qual é usada no presente trabalho por ser incondicionalmente estável em relação ao tamanho de Δt.
𝐹(Φ𝑛+1) =Φ𝑛+1−Φ𝑛
𝛥𝑡 (3.15)
3.4 Geometria Computacional
Em primeiro lugar é preciso criar a geometria computacional, a análise é bidimensional uma vez que a espessura ortogonal do corte tende a zero. Por essa razão, a Figura 3.3 mostra a geometria resultante de um corte transversal do cilindro.
Figura 3.3 - Domínio computacional.
O tamanho do domínio foi escolhido grande o suficiente para não influenciar no escoamento perto do cilindro nem na esteira de vórtices, as medidas estão na Figura 3.3 e resumidas na Tabela 3.1. Muitos autores (SAITO; MOROOKA 2010; KIRYU et al., 2019) usam valores semelhantes para não haver essa influência.
Tabela 3.1 - Medidas dos corpos Diâmetro do Cilindro D
Entrada 20D
Parede superior e inferior 30D
Saída 20D
Para se obter uma solução CFD adequada, as condições de contorno devem ser corretamente especificadas para que haja interpretação correta do real problema físico. As hipóteses adotadas para os cálculos desta pesquisa foram: a água é um fluido incompressível; a viscosidade da água é constante; e os campos de força externos (como a gravidade, por exemplo) foram desprezados.
O fluido escolhido foi a água a 20°C, presente na biblioteca de fluidos do Ansys Fluent CFD, com viscosidade dinâmica (µ) de 0,001003 Pa.s² e densidade (ρ) de 998,2 kg/m³, mas nas simulações referentes ao IPT as propriedades foram escolhidas de acordo com a água no tanque. Sendo 𝑛⃗⃗ um vetor normal a qualquer superfície do domínio e, a seguir, da Figura 3.3 (anterior) são descritas as condições de contorno:
▪ Na entrada, o fluido entra no domínio com intensidade de turbulência de 5% e velocidade especificada. Dessa forma, não se deve especificar a pressão, pois a velocidade e a pressão já estão acopladas nas equações do escoamento.
▪ Na saída nenhuma propriedade do escoamento foi especificada, a velocidade deve ter um gradiente nulo na direção normal à saída (∂𝑣⃗/∂𝑛⃗⃗ = 0).
▪ Nas paredes superior e inferior foi considerada a condição de deslizamento com tensão cisalhante nula (∂𝑣⃗/∂𝑛⃗⃗ = 0), ou seja, as partículas do fluido deslizam totalmente em relação às paredes.
▪ Na superfície do cilindro, considerou-se o não deslizamento das partículas, isto é, velocidade das partículas igual à velocidade do cilindro: 𝑣⃗ = (𝑥,̇ 𝑦̇).
▪ Em casos com malhas sobrepostas, na interface entre as duas malhas considerou-se a condição de contorno própria para isso: Overconsiderou-set interface.
Dessa forma, as condições da Tabela 3.2 a seguir foram respeitadas.
Tabela 3.2 - Condições de contorno
Contorno Velocidade Pressão
Entrada (𝑈 0) 𝜕𝑝
𝜕𝑛⃗⃗= 0
Saída 𝜕𝑣⃗
𝜕𝑛⃗⃗= 0 0
Paredes superior e inferior 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑛⃗⃗= 0
𝜕𝑝 𝜕𝑛⃗⃗= 0 Superfície do cilindro (𝑥̇𝑦̇) 𝜕𝑝
𝜕𝑛⃗⃗= 0
A partir da geometria é gerada uma malha computacional por meio da divisão da geometria do domínio em pequenos elementos, os “volumes de controle” (células).
Existem dois tipos de malhas: a estruturada e a não estruturada. A primeira geralmente é usada para simulações com geometria mais simples, uma vez que as células são planares com quatro arestas (em uma malha bidimensional) ou volumétricas com seis faces (em uma malha tridimensional). Já a malha não estruturada é mais detalhada e é usada em simulações com
