Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Física Gleb Wataghin
Rafael Soares Pinto
Aspectos dinâmicos de redes
Aspectos dinâmicos de redes
Tese apresentada ao Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Ciências. Orientador: Alberto Vazquez Saa
Coorientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar Este exemplar corresponde à versão nal da tese de doutorado defendida pelo aluno Rafael Soares Pinto e orientada pelo Prof. Dr. Alberto Vazquez Saa
Agência de fomento: Capes Nº processo: 2012/09357-9
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin
Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398
Pinto, Rafael Soares,
P658a PinAspectos dinâmicos de redes / Rafael Soares Pinto. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
PinOrientador: Alberto Vazquez Saa.
PinCoorientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar.
PinTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.
Pin1. Sincronização. 2. Redes complexas. 3. Modelo de Kuramoto. I. Saa, Alberto Vazquez,1966-. II. Aguiar, Marcus Aloizio Martinez de,1960-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Dynamical aspects of networks Palavras-chave em inglês:
Synchronization Complex networks Kuramoto model
Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:
Alberto Vazquez Saa [Orientador] Rickson Coelho Mesquita
José Antonio Brum
Roberto Vegeneroles Nascimento Leonardo Paulo Maia
Data de defesa: 25-08-2015
Programa de Pós-Graduação: Física
Agradecimentos
Quando eu comecei minha tese de doutorado, meu orientador era o Prof. Patricio Anibal Le-telier Sotomayor, que eu já tinha tido o prazer de tê-lo como meu orientador durante o mestrado. Infelizmente, para tristeza de todos, o Patricio faleceu pouco tempo após iniciarmos nosso trabalho. Aqui escrevo meus agradecimentos pela sua orientação e pela companhia durante os dois anos e meio em que trabalhamos juntos. Também não posso deixar de expressar meus agradecimentos ao Prof. Alberto Saa, que não hesitou em me acolher como seu aluno, iniciando assim nossa jornada pela teoria de redes complexas e sincronização.
Agradeço ao grupo de redes complexas, João, Elohim, Carolina, Luis, Rickson, Marcus, Gabriela e Reember, pelas discussões interessantes que tivemos e ideias que trocamos. Aprendi bastante com nossas conversas.
Agradeço também a toda minha família, a minha mãe Vera, ao meu pai Eduardo e minha irmã Adriana, e meus amigos, Lucas, Renato, Diogo e Luís, que estiveram durante todo esse tempo juntos.
Resumo
Pinto, R. S. Aspectos dinâmicos de redes. 2015. 90 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Física Gleb Wataghin, Universidade estadual de Campinas, Campinas, 2015.
Sincronização está presente em uma miríade de situações, indo desde vaga-lumes piscando em uníssono na copa das árvores, populações de leveduras ajustando seu metabolismo para um ritmo comum, atividades neurais ocorrendo no cérebro, chegando até as redes de distribuição de energia elétrica, as maiores máquinas construídas pelo homem.
Neste trabalho, nós analisamos como se dá o processo de sincronização utilizando o bem conhe-cido modelo de Kuramoto, estudado incansavelmente nas últimas décadas, quando ele se encontra sobre uma rede complexa, que determina os padrões de interação entre os elementos que compõem a população. A topologia dessas interações determina de maneira crucial a dinâmica do sistema, possibilitando, ou não, a sincronização dos seus elementos.
Primeiros, nós analisamos o fenômeno da sincronização explosiva: a correlação de propriedades da rede com a frequência natural dos osciladores altera dramaticamente a natureza da transição de fase do estado não sincronizado para o estado sincronizado. Mostramos que sincronização explosiva ocorre mesmo quando apenas uma pequena fração dos vértices da rede possuem tal correlação, a saber, os vértices mais bem conectados da rede. Além do mais, ajustando o número de vértices onde a correlação é válida, podemos controlar propriedades dessa transição de fase.
A seguir estudamos o processo de optimização de topologia para favorecer sincronização. Dado um conjunto de vértices/osciladores com frequências naturais conhecidas e um certo número de links, qual é a melhor topologia, ou seja, o padrão de conexões, que favorece a sincronização? Estudamos esse problema numericamente para o modelo de Kuramoto com inércia, que serve como um modelo simples para analisar as redes de transmissão de energia elétrica, obtendo princípios básicos que devem ser utilizados para o design de tais sistemas.
Por m, ainda no problema de optimização de topologia para favorecer sincronização, obtivemos pela primeira vez de forma analítica as condições para optimização para o modelo de Kuramoto, bem como para uma generalização sua, onde há interações positivas e negativas. Esses resultados analí-ticos ainda servem para criar algoritmos de optimização mais e cientes que os utilizados atualmente. Palavras-chave: Sincronização, Modelo de Kuramoto, Redes Complexas.
Abstract
Pinto, R. S. Dynamical aspects of complex networks. 2015. 90 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Física Gleb Wataghin, Universidade estadual de Campinas, Campinas, 2015.
Synchronization is present in a myriad of situations, from the unison ashing of re ies in trees, populations of yeast adjusting their metabolism to a common rhythm, neural activities in the brain to the largest machines ever built, the power grids.
We analysed how the process of synchronization happens using the well known Kuramoto model, tirelessly studied in the last decades, when it is on top of a complex network, that determines the patterns of interaction between the elements of the population. The topology of this network's determines crucially the possible dynamics of the systems, allowing, or not, the synchronization of its elements.
We rst discuss the phenomenon of explosive synchronization, where the correlation between properties of the network and the oscillators changes drastically the nature of the phase transition separating the incoherent state from the synchronized state. We show that explosive synchronization can occur even when a small subset of the vertices are correlated. It is necessary that only the hubs, vertices with highest degrees, show the correlation. Moreover, adjust the fraction of correlated vertices allows us to control properties of the phase transition.
Next we study the optimization of the topology to favor synchronization. Given a set of ver-tices/oscillators with know natural frequencies and a certain number of links, which is the best topology, its pattern of interactions, to favor synchronization? We studied this problem to a ge-neralized Kuramoto model (Kuramoto model with inertia) that is used as a simple tool to model power grids, obtaining in this way simple rules that can be applied to the design of such systems that already helps the synchronization of its elements.
In our nal contribution, still in the optimization of the topology problem, we were able, for the rst time, to obtain analytically the conditions of optimization for the Kuramoto model, as well as for one of its generalizations, where there can exist positive and negative interactions between the elements. Beyond the signi cant fact that the conditions can be know analytically, these results can be used to obtain faster optimization algorithms that the current ones.
Sumário
1 Introdução 9
2 Conceitos básicos de redes complexas 15
3 Sincronização 21
3.1 Introdução. . . 21
3.2 Sincronização em redes complexas. . . 26
4 Sincronização explosiva 31
5 Sincronização de redes elétricas 39
6 Redes optimizadas para o modelo de Kuramoto 49
7 Conclusões 57
A Explosive synchronization with partial degree-frequency correlation 59
B Synchrony-optimized power grids 71
C Optimal synchronization of Kuramoto oscillators: a dimensional reduction
ap-proach 81
Capítulo 1
Introdução
No século XVII, a exploração dos mares pelos países europeus estava no seu máximo. Procurando novas terras, navios eram mandados para lugares cada vez mais longínquos. Um problema prático muito importante encontrado pelos marinheiros dessa época era saber onde eles se encontravam. Para poderem navegar com segurança, e chegar aonde queriam, os marinheiros tinham que medir o tempo de forma muito mais precisa do que se dispunha naquela época para poderem calcular a sua longitude [1]. Nesse contexto, algumas das tentativas mais notáveis no desenvolvimento de relógios foram feitas pelo cientista holandês Christiaan Huygens (1629 - 1695), que o possibilitou acumular um grande conhecimento nessa área.
Em 1665 Huygens caiu doente e teve de passar alguns dias de repouso em seu quarto. Enquanto se recuperava, ele notou algo surpreendente: dois relógios de pêndulo que estavam ambos suspensos por uma mesma viga de madeira que se encontrava, por sua vez, apoiada nos encostos de duas cadeiras, sincronizavam de maneira extremamente precisa. Até o tic-tac que eles faziam era sincro-nizado! Ele cou tão maravilhado com essa descoberta que escreveu uma carta ao seu pai contando suas primeiras observações (uma tradução em inglês pode ser lida em [2]). Depois de alguns ex-perimentos, Huygens determinou que o processo de sincronização ocorria devido ao balanço dos pêndulos causarem pequenos movimentos, quase imperceptíveis, na viga de madeira que suspendia ambos os relógios: um in uenciava o outro.
Com essa descoberta meio ao acaso, Huygens foi aparentemente a primeira pessoa a analisar o processo de sincronização de maneira cienti ca e, de certa maneira, abrir toda uma área de pesquisa que vai até os dias de hoje. Recriações modernas do experimento con rmaram a descrição dada por Huygens [3].
Vários outros casos de sincronização foram sendo catalogados ao longo do tempo, principalmente em acústica. No início do século XX, uma nova leva de experimentos envolvendo sincronização começou quando alguns pioneiros da era da eletrônica, como Appleton e van der Pol, começaram a estudar o comportamento de circuitos elétricos contendo dispositivos não lineares, como os tríodos, elementos muito importantes no desenvolvimento das telecomunicações [2].
Entretanto, um dos fenômenos de sincronização que mais chamam a atenção é observado princi-palmente nos mangues do sudeste asiático: a sincronização dos vaga-lumes [4,5]. Para quem nunca viu com seus próprios olhos esse fenômeno, Smith [6] disse ...then, if one's imagination is su ciently vivid, he may form some conception of this amazing spectacle.1
As mais antigas observações sobre a sincronização desses insetos, ainda que de forma alegórica, parecem ter sido feitas pela tripulação da expedição comandada por Francis Drake em 1577, a segunda a circunavegar o globo, nas proximidades do que hoje é Bangkok [5].
A investigação de forma cienti ca só começou propriamente nas duas primeiras décadas do século XX, de uma forma um tanto quanto atabalhoada. Algumas dezenas de artigos foram publicados na revista Science, alguns a favor, outros contra o fenômeno da sincronização de vaga-lumes. Ficou famosa, por exemplo, a tentativa de explicação desenvolvida por Laurent [7] em 1917. Ele a rma
1Há, junto com muitas outras coisas interessantes, um vídeo da sincronização de vagalumes na palestra de Strogatz
na sua TED TALK [8].
que a sincronização observada é resultado, única e simplesmente, do movimento da pálpebra do observador, visto que for such a thing to occur among insects is centainly contrary to all natural laws. Várias outras tentativas de explicar a sincronização foram propostas, algumas mais fantásticas do que o fenômeno em si, como colocou Smith [6] em 1935.
A relutância de Laurent de acreditar que não possa existir sincronização entre os vaga-lumes não é totalmente inaceitável, principalmente se vista no contexto do começo do século XX. Como poderiam simples insetos coordenarem seus ashes de luz, todos juntos em áreas tão grandes, visto que um maestro tem tanto trabalho para sincronizar em perfeição sua orquestra para execução da melodia? Uma explicação só viria algumas décadas depois.
As observações sobre sincronização não param por aí. No coração há uma estrutura anatômica chamada de nodo sinoatrial, que é responsável por manter o ritmo de pulsação do coração. Essa região, que é o marca passo natural do coração, mantém o ritmo a partir da sincronização dos po-tenciais de ação das células especializadas que o constituem. Há um grande interesse em neurologia em estudar sincronização entre diferentes áreas do cérebro utilizando técnicas como eletroencefa-lograma ou então ressonância magnética funcional, tanto quando o cérebro está em algum tipo de atividade [9] quanto em repouso [10].
Dada a presença de sincronização em várias partes da natureza, começaram a surgir alguns modelos matemáticos para tentar explicar esse fenômeno. Strogatz [4] conta de maneira muito interessante como foram as primeiras tentativas de se entender analiticamente o processo de sincro-nização, elaboradas por cientistas como Peskin, interessado nas células do nodo sinoatrial e Wiener, tentando explicar a ocorrência das ondas α do cérebro.
Foi a partir desse momento, com base nesses modelos iniciais, que começou o desenvolvimento de um tratamento matemático robusto que pudesse mostrar e explicar a existência da sincronização. E isso foi importante porque criou um conjunto teórico que de certa forma uni cou todos os fenô-menos que foram descritos acima. Tanto a sincronização dos relógios de pendulo, dos vaga-lumes ou do marca passo natural do coração, puderam ser descritos por uma mesma teoria, respondendo positivamente a objeção de Laurent sobre a sincronização dos vaga-lumes.
Arthur Winfree [11] foi um dos pioneiros na construção de modelos matemáticos que descreves-sem sincronização. O modelo que hoje leva seu nome analisa a situação onde um grande número de osciladores, um ensemble, interage cada um com todos os outros. Cada oscilador tende a manter seu próprio ritmo quando sozinho, que em geral é diferente para cada um (devido a variabilidade genética no caso dos vaga-lumes, mínimos erros de fabricação no caso dos relógios, etc.) . Quando os osciladores interagem entre si, essa interação, cuja intensidade é medida por um parâmetro cha-mado de força de acoplamento, tende a contrapor a tendência natural dos osciladores de manterem seu próprio ritmo e trabalha para gerar uma oscilação comum ao ensemble. Usando simulações numéricas, Winfree mostrou que existe uma transição de fase entre os estados não-sincronizado e sincronizado conforme aumentamos a constante de acoplamento.
Uma di culdade com o modelo de Winfree era sua complexidade matemática. Alguns anos de-pois, em 1975, Yoshiki Kuramoto [12,13], fascinado com o trabalho de Winfree, acabou simpli cando o problema e chegou ao modelo que hoje leva seu nome,
dθi dt = ωi+ λ N N X j=1 sin(θj− θi), (1.1)
onde θi é uma variável angular que de ne o estado do i-ésimo oscilador e ωi é sua frequência natural.
As frequências naturais são sorteadas aleatoriamente de uma distribuição de probabilidade unimodal g(ω)em torno de um máximo localizado em Ω e λ é a força de acoplamento entre os N osciladores. A desordem do sistema, que é a tendência de cada elemento se mover com seu próprio ritmo, se re ete na distribuição aleatória das frequências naturais. Como Winfree, Kuramoto também assume que cada oscilador está conectado com todos os outros osciladores.
É extraordinário que Kuramoto foi capaz de resolver2 o sistema de equações diferenciais não
11 lineares (1.1). Isso é um fato notável, visto que equações diferenciais não lineares são incrivelmente complicadas, e mesmo assim, aqui temos um exemplo de um modelo que descreve um fenômeno importante e que admite uma solução. Por exemplo, Kuramoto mostrou que, como no modelo de Winfree, também existe uma transição de fase separando os estados não sincronizado e sincronizado ocorrendo no valor crítico λcda força de acoplamento, que é dado simplesmente por
λc=
2
πg(Ω). (1.2)
O sucesso do modelo de Kuramoto semeou um caminho fértil para investigar várias generaliza-ções [13].
Entretanto, um ponto em comum aos vários modelos iniciais que surgiram para explicar o pro-cesso de sincronização é que todos partiam do pressuposto de que o acoplamento entre os osciladores do ensemble é global: cada oscilador está conectado com todos os outros. Assumir esse fato facilitava enormemente a analise teórica. Além do mais, eram escassas as informações sobre a topologia de sistemas reais. Na falta dessas informações, o que Winfree e Kuramoto estavam fazendo é supor uma primeira aproximação.
Esse quadro começou a mudar recentemente com os avanços em engenharia e biotecnologia que permitiram obter dados sobre a topologia das mais diversas áreas, da internet ao córtex humano [15, 16], passando por redes genéticas e indo até redes de distribuição de energia elétrica [17], as maiores máquinas construídas pelo homem. A teoria de redes complexas [18, 19] é uma abstração matemática que nos permite estudar os mais diversos sistemas sob a mesma óptica. Se nós temos um sistema que é composto por várias unidades interconectadas em si, nós pensamos nos elementos constituintes como sendo os vértices e as conexões entre esses vértices nós chamamos de links. Visualmente, redes complexas são representadas como sendo formada por um conjunto de pontos no plano, os vértices, interligadas por semi retas, os links.
De maneira intrigante, existem certas propriedades que são presentes em redes reais das mais diferentes origens. Por exemplo, uma propriedade presente frequentemente em redes de origem biológica, técnica e social é o fato da distribuição de grau p(k), que mede a probabilidade de um vértice aleatório estar conectado com k outros vértices, ser dada por uma lei de potência, como veremos adiante. A ideia é que essas propriedades em comum possam indicar que os mecanismos que operam por trás dessas redes são os mesmos e assim possamos desenvolver uma teoria em comum que uni que esses fenômenos.
Tome como exemplo o nematóide C. elegans [20], o único animal do qual se conhece todos os seus neurônios, bem como as suas sinapses. Nós podemos representar o seu sistema neural como uma rede complexa, onde os neurônios serão os vértices e os links representam sinapses. Essa rede está representada gra camente na gura1.1.
Na gura1.1, o tamanho de cada vértice é proporcional ao seu grau, o número de outros vértices com os quais ele mantem conexões. Veja que esse número varia consideravelmente: enquanto alguns vértices têm apenas uma única conexão, alguns poucos têm muitas. Além do mais, as conexões não são feitas aleatoriamente. Alguns vértices conectam-se mais densamente entre si do que com outros vértices, formando o que se chama de comunidades (diferentes comunidades estão representadas por diferentes cores na gura 1.1).
Para estudarmos a sincronização dos neurônios do C. elegans, nós devemos levar em conta a topologia das conexões. Ignorar que vértices diferentes possuem graus diferentes ou então outras características da rede (que veremos mais adiante) nos levaria a não perceber efeitos importantes [22].
O exemplo acima não é único onde se deve levar em conta a topologia da rede para estudar sincronização. Há um grande interesse em estudar a sincronização de redes elétricas e não há muito sentido em fazer isso sem se basear na sua topologia real, [23,24,25]. E isso pode ser feito, pois existem dados disponíveis sobre as redes de distribuição de várias regiões, como por exemplo, da rede europeia [17].
Figura 1.1: A rede de neurônios do nematoide C. elegans, com 297 neurônios e 2148 sinapses. O tamanho de cada vértice é proporcional ao seu grau. Já a sua cor identi ca a qual comunidade ele pertence. Os dados dessa rede estão disponíveis no site do Mark Newman, [21].
Outro caso de extrema importância é o cérebro. Obviamente a topologia cerebral não é global, visto que isso acarretaria um grande desperdício de energia em manter todas essas conexões, isso sem contar o volume nito do crânio. Pode-se, a grosso modo, dividir o cérebro em regiões baseadas na anatomia e então determinar quais regiões estão conectas com quais através de feixes de axônios [15,16]. Desses resultados, infere-se que a topologia das ligações do cérebro, resultado de um processo evolutivo, apresenta características únicas, que in uenciam decisivamente como se dá o processo de sincronização [26]. Também há indícios de que certas patologias podem estar relacionadas com diferenças nas conexões cerebrais [27].
Nesta tese nós estudamos então como a topologia da rede de osciladores in uencia no processo de sincronização. Primeiramente nós vamos discutir o fenômeno chamado de sincronização explosiva (SE) [28], que vem recebendo bastante atenção nos últimos anos. Aqui a correlação entre proprie-dades da rede e dos osciladores transforma radicalmente a natureza da transição de fase. Nós vamos mostrar que podemos generalizar o surgimento de SE para vários tipos de rede correlacionando apenas alguns vértices especiais da rede.
Nosso outro tópico de interesse é no estudo de redes de distribuição de energia elétrica. As mudanças que são esperadas nos próximos anos, devido a busca de maior e ciência energética, tem estimulado vários trabalhos sobre a sincronização dessas redes, que podem ser descritas com um modelo de Kuramoto generalizado. Nós vamos analisar as condições para optimização da sincro-nização em redes elétricas, bem como alguns outros detalhes dessas redes optimizadas, como seu comportamento em situações onde há um pico de consumo de energia elétrica.
Por m, nós vamos utilizar uma aproximação bem recente para o modelo de Kuramoto [29] para derivar analiticamente as condições que a topologia de uma rede deve satisfazer para a optimização da sincronização. Embora se conheçam de maneira experimental essas condições desde 2008 [30,31], é a primeira vez que elas são derivadas analiticamente com um arcabouço teórico.
O trabalho está dividido da seguinte forma. Primeiro vamos fazer uma introdução aos conceitos da teoria de redes no capítulo (2), onde vamos discutir alguns dos fundamentos mais básicos que são necessários para o entendimento do que será feito nos próximos capítulos. Em seguinda vamos analisar a teoria matemática de sincronização no capítulo (3), introduzindo o modelo de Kuramoto quando o acoplamento entre os osciladores é global e mostrando a sua solução. Depois nós discu-tiremos o modelo de Kuramoto em redes complexas, comparando diferentes aproximações para o
13 valor crítico da força de acoplamento.
Nos três capítulos nais discutiremos as nossas contribuições: i) sincronização explosiva no capítulo (4), cujos resultados foram publicados no periódico Physical Review E [32] ii) optimização de redes elétricas no capítulo (5), sendo que o artigo com esses resultados foi submetido a publicação e está esperando o resultado da revisão pelos pares [33], e iii) a obtenção analitica das condições topológicas para optimização do modelo de Kuramoto (6), cujo artigo (apêndice C) também se encontra esperando o resultado da revisão pelos pares.
As simulações numéricas que serão apresentadas foram feitas utilizando a linguagem de progra-mação Python [34], juntamente com suas excelentes bibliotecas para análise numérica Numpy/Scipy [35] e a biblioteca para lidar com redes complexas NetworkX [36].
Capítulo 2
Conceitos básicos de redes complexas
Na natureza não há nenhum sistema isolado. Os neurônios do cérebro mantêm sinapses em média com outros 104 neurônios. Os animais interagem entre si no meio ambiente, seja por relações
de simbiose ou então através de relações presa-predador. Na sociedade, doenças e informações se propagam através do contato entre pessoas.
Esses, e muitos outros exemplos, nos mostram que para entender tais sistemas é necessário levar em conta as interações entre os seus elementos, sejam eles neurônios, animais ou pessoas.
A teoria de redes complexas é uma abstração matemática que permite estudar diferentes sistemas usando o mesmo conjunto de ferramentas [18,19]. Essa construção matemática nos ajuda a salientar propriedades similares em redes de diferentes origens e assim inferir os mecanismos em comum que são utilizados em diferentes sistemas.
Embora a análise de alguns modelos de redes já tenha algumas décadas, incialmente se estava preocupado em propriedades combinatórias das redes. A atual abordagem é oriunda da existência de dados su cientemente completos de sistemas variados, como a internet, redes elétricas [17] e as conexões do córtex humano [15,16]. A análise dessas redes reais levaram as pessoas a questionar se existem propriedades em comum entre elas, os mecanismos que as geraram e como suas estruturas determinam a dinâmica de diferentes processos que ocorrem sobre tais redes.
Redes geralmente são representadas de maneira grá ca, como na gura 1.1. As unidades do sistema, sejam elas neurônios, animais ou pessoas, são representadas como pontos, chamados de vértices (ou nós) e as relações entre as unidades são mostradas como segmentos de reta ligando diferentes vértices, os links.
Como a representação grá ca é limitada, uma maneira de organizar as informações sobre as conexões de uma rede é utilizar a matriz de adjacência A, com elementos aij de nidos da seguinte
maneira:
aij =
(
1 se os vértices i e j estão conectados
0 caso contrário (2.1)
Na de nição (2.1), a matriz de adjacência contém apenas a informação binária da existência ou não do link entre os vértices i e j. É possível adicionar mais informações, como pesos aos links, possibilitando que os elementos aij assumam valores reais. Podemos ter assim, além da matriz de
adjacência A, uma outra matriz Sij que contém os valores dos pesos dos links, como sij = 7 e
sik= 1, indicando que a possível interação entre os vértices i e j é sete vezes maior que a interação
entre i e k. Ou então podemos utilizar apenas uma única matriz de adjacência Aij e de nir que um
elementos dessa matriz com valor nulo representa a falta de interação entre os vértices em questão. Outro ponto importante é que tratamos os links como não tendo direção. Pela de nição anterior aij = aji: a relação entre i e j é recíproca. Também, se necessário, podemos introduzir redes
direcionais, onde o fato de i in uenciar j não signi ca que j também in uência i: os links apontam de um vértice origem a um vértice alvo. Nesse caso, a matriz de adjacência não será mais simétrica.
Entretanto, vamos usar apenas redes sem peso e não direcionais daqui pra frente.
Talvez uma das propriedades mais básicas que podemos de nir é o grau ki do vértice i, que é
101 102 103 104
k
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1p
(k
)Figura 2.1: Distribuições de grau para uma rede real: a internet no sistema autônomo [21]. A linha tracejada é o ajuste encontrado, com γ ≈ 2.15, enquanto os diamantes são os dados reais.
igual ao seu número de vizinhos: os vértices com os quais i está conectado. Usando a matriz de adjacência, podemos escrever ki como sendo
ki= N
X
j=1
aij. (2.2)
Também podemos de nir o grau médio da rede hki, que pode ser obtido da de nição anterior, hki = 1 N N X i=1 ki = 1 N N X i=1 N X j=1 aij = 2m N , (2.3)
sendo m o número de links presente na rede. Note que esse termo aparece multiplicado por 2 porque na soma dupla da de nição do grau médio cada link está sendo contado suas vezes.
Como já discutimos em relação a gura1.1, em redes reais o grau ki de cada vértice pode variar
algumas ordens de grandeza, indo de alguns poucos vizinhos até frações consideráveis do total de vértices da rede. Uma propriedade comum a se analisar em redes reais é a distribuição de grau p(k), que dá a fração de vértices da rede com grau k. A gura2.1mostra p(k) para um exemplo de rede real: a internet no nível autônomo (os dados estão disponíveis na página do Mark Newman, [21]). Essa rede contém 22963 vértices e 48436 links, dando um grau médio hki ≈ 4.22. Como podemos ver do grá co (note que estamos usando escalas log-log), a sua distribuição de grau é dada por uma lei de potência
p(k) ∝ k−γ, (2.4)
no caso, com γ ≈ 2.15. O fato de a distribuição de grau ser da forma (2.4) nos mostra que, embora a maioria dos vértices possuam alguns poucos vizinhos, existe um punhado de vértices com graus elevadíssimos. Esses vértices que possuem conexões em grande número são chamados de hubs. De forma surpreendente, várias redes reais, de origens distintas, possuem distribuições de grau do tipo lei de potência (2.4), [19]. Essas redes são chamadas de livres de escala, visto que não há uma escala típica relacionada. Se na equação (2.4) nós multiplicarmos k por uma constante α, a distribuição da nova variável αk é dada por α−γp(k): A distribuição continua a mesma, apenas multiplicada por
uma constante.
A existência de hubs, vértices com grau elevado, altera radicalmente a dinâmica de vários pro-cessos que ocorrem sobre redes. Considere um modelo de propagação de epidemias [37]. A grosso modo, vamos considerar uma rede representando uma população: os vértices são pessoas e links entre vértices representa alguma forma de relação entre as pessoas. Simpli cando o processo
epidê-17 mico, supomos que podemos dividir o estado das pessoas em três categorias: i) Um estado saudável e que pode contrair a doença, caso haja contato com um doente, ii) Um estado doente e que é capaz de transmitir a doença para um contato saudável e iii) um estado imune, onde a pessoa já contraiu a doença e se curou, sendo incapaz de adoecer novamente. Vamos supor também que a pessoa/vértice doente transmita com probabilidade β a doença para cada um dos seus contatos saudáveis. Para redes que não são livres de escala, existe um valor mínimo necessário βc, tal que se β < βca doença
permanece con nada a poucos vértices e não há uma epidemia. Já para redes livres de escala, e redes reais parecem ser desse tipo [38], βc = 0! Ou seja, a doença atinge uma fração considerável
da rede mesmo com valores muito pequenos da probabilidade de infecção.
Como veremos adiante, hubs também desempenham um papel signi cativo na maneira de como a sincronização em redes de osciladores é atingida.
O fato de várias redes reais serem livres de escala levantou várias perguntas, principalmente sobre qual mecanismo está operando para que isso ocorra.
Tentando responder essa pergunta, várias redes sintéticas, isto é, redes criadas teoricamente com algum princípio básico que tenta imitar os possíveis mecanismos reais, foram propostas. O modelo sintérico mais bem conhecido, proposto por Erdos e Renyi em 1959 [39], onde links entre os vértices são estabelecidos de maneira independente e com probabilidade p, não conseguia reproduzir o que era observado nesses casos. Qual a distribuição de grau p(k) para essa modelo? Bem, considere uma rede com tamanho n, onde cada vértice pode ter no máximo n − 1 links (quando ele está conectado com todos os outros). Como cada link tem probabilidade p de existir, a probabilidade de encontrar um vértice com grau k é dado pela distribuição binomial
p(k) =n − 1 k
pk(1 − p)n−1−k. (2.5)
O grau médio da rede é simplesmente hki = p(n − 1), já que cada link ocorre de maneira independente. Podemos simpli car a forma da distribuição p(k) no limite termodinâmico n → ∞. Nesse caso, para que hki continue nito, devemos ter que a probabilidade p → 0. Nessa circunstância, podemos aproximar a equação (2.5) da seguinte maneira. O termo envolvendo (1 − p)n−1−k =
(1 − hki/(n − 1))n−1−k ≈ e−hki. Já para o coe ciente binomial, usando a aproximação de Stirling,
temos que n−1
k ≈ (n − 1)k/k!. Com essas aproximações, podemos escrever (2.5) como
p(k) = (n − 1)
k
k! p
ke−hki= e−hkihkik
k! , (2.6)
que é a distribuição de Poisson, que apresenta um máximo bem de nido e um decaimento exponen-cial para k → ∞. Portanto, deve haver outro mecanismo que gera redes livres de escala e devemos procurar outros métodos para constuir redes mais realistas.
Uma resposta plausível, pelo menos para alguns casos, foi proposta por Réka Albert e Laszlo Barabasi em 1999, baseada no conceito de ligação preferencial [40]. Esse modelo trata a formação da rede como um processo de crescimento, onde a cada certo intervalo de tempo, um novo vértice é adicionado a rede e ele se conecta com aqueles vértices já existentes com probabilidade proporcional ao grau do suposto alvo. Assim, aqueles vértices com grau elevado tem maior probabilidade de receberem links dos novos vértices, reforçando o seu papel de hub da rede, um exemplo do fenômeno conhecido como o rico ca mais rico. A distribuição de grau para uma rede de BA é dada pela fórmula
p(k) = 2c(c + 1)
k(k + 1)(k + 2), (2.7)
onde c é o número de ligações que cada novo vértice adicionado à rede irá fazer com os elementos já presentes (e também o valor mínimo que o grau pode ter, por de nição). Para k >> 1, p(k) ∝ k−3.
A gura 2.2 mostra as distribuições de grau para redes de Erdos-Renyi e Barabasi-Albert, ambas com N = 104 vértices e hki = 10. Desse resultado, pelo menos em relação à distribuição de grau
10-1 100 101 102 k 10-4 10-3 10-2 10-1 100 p ( k )
BA
ER
Figura 2.2: Distribuições de grau para redes de Erdos-Renyi (círculos vermelhos) e Barabasi-Albert (qua-drados azuis), ambas com N = 104 vértices e hki = 10. As linhas contínuas são os resultados (2.6) e
(2.7).
da gura 2.1.
Embora hoje se conheça outros mecanismos que geram redes livres de escala, alguns bem dife-rentes do modelo de anexação preferencial, como no caso da remoção preferencial [41], variantes do modelo proposto em [40] ainda são importantes e usados extensivamente para gerar redes livres de escala.
Existem várias outras propriedades importantes a serem medidas e que também são onipresentes em redes reais, como o fato delas serem classi cadas como redes de mundo pequeno, pois a distância média entre dois vértices quaisquer, o número de links que devem ser atravessados para ir de um vértice a outro, é sempre muito pequeno, da ordem de ln(N), onde N é o tamanho da rede. No exemplo da internet no nível autônomo, com seus quase 23000 vértices, a distância média é de menos de 4 links. Outra maneira de medir distâncias é utilizando o diâmetro da rede, que é a maior distância entre dois vértices quaisquer. No caso da internet, esse valor é de apenas 8! É fácil desenhar uma rede quadrada de tamanho N × N, como a utilizada geralmente para estudar o modelo de Ising, e se deparar com o fato de que diâmetro de tais redes cresce muito rapidamente com N (na verdade, o diametro é dado por 2(N − 1)).
Em sociologia, a ideia de mundo pequeno é bem conhecida, especialmente depois dos experimen-tos realizados por Milgran na década de 60 [42]. Milgran selecionou pessoas de forma aleatória no meio oeste americano e pediu que elas enviassem uma correspondência a uma determinada pessoa no noroeste americano usando apenas seus próprios conhecidos como intermediários. Os participantes deviam enviar a correspondência para algum dos seus conhecidos que elas achassem que estariam mais próximas do alvo. O novo portador da correspondência deveria prosseguir da mesma forma, até que o pacote chegasse a seu destinatário.
Durante esse processo, os portadores intermediários da correspondência anotavam seus nomes sendo assim possível determinar a distância percorrida pela carta. As correspondências que even-tualmente chegaram ao destinatário o zeram por um caminho que percorreu em média apenas 6 pessoas.
Em redes reais, também há a tendência dos vértices formarem triângulos. Se o vértice A está conectado com B e B com C, é muito provável que A e C também estarão conectados. Isso é descrito mais cordialmente em termos sociais como o amigo do meu amigo também é meu amigo. É interessante observar que os modelos de redes sintéticas falham em apresentar tal propriedade. Por exemplo, no modelo de Erdos-Renyi, os links são adicionados independentemente uns dos outros com a mesma probabilidade p. Assim, a probabilidade de que A e C estejam conectados (formando assim um triângulo) é justamente p = hki/n e conforme a rede cresce, o número de triângulos diminui. Do mesmo modo, no modelo de Barabasi-Albert o número de triângulos também é inversamente proporcional ao número de vértices da rede. Embora existam modelos que tentem resolver esse
19 problema [43], ainda não é bem conhecido como a abundância de triângulos afeta a dinâmica que ocorre sobre tais redes. Aparentemente o comportamento observado para diferentes processos em redes com abundância de triângulos pode ser descrita pela mesma teoria desenvolvida para redes sem triângulos [44].
Há outra coisa interessante a se calcular, e que ainda será importante mais pra frente quando formos estudar aproximações para o modelo de Kuramoto em redes complexas. Considere a seguinte situação: Nós sorteamos aleatoriamente um vértice da rede e seguimos um de seus links, escolhido também de modo aleatório, até chegar no vértice vizinho. Qual é a probabilidade q(k) de que esse vizinho tenha grau k? Vamos pensar em uma rede com n vértices e m links. Podemos calcular isso exatamente para o chamado modelo de con guração [19]. Nesse modelo as redes são construídas primeiro dando a cada um dos vértices o seu futuro grau ki, que é sorteado de uma distribuição
p(k). Uma vez que o grau é conhecido, nós adicionamos o correspondente número de semi-links, que podemos pensar que representa metade de um link de tal modo que quando ligamos dois semi-links estabelecemos um link no sentido comum entre os vértices. Para a construção da rede nós escolhemos de maneira aleatória dois semi-links de dois vértices quaisquer e ligamos esses semi-links, formando assim um link no sentido próprio, proseguindo dessa maneira até que todos os semi-links tenham sido conectados.
A probabilidade de que se nós estamos em um vértice e um dos seus semi-links se conecta a um outro semi-link qualquer é (2m − 1)−1≈ (2m)−1, já que existem 2m − 1 semi-links que podem ser
escolhidos aleatóriamente para se formar um link. A probabilidade de que esse semi-link pertença a um vértice de grau k é justamente k em N, pois ele terá k oportunidades para se conectar. Multiplicando pela fração de vértices com grau k na rede, que é dada np(k), temos então
q(k) = kp(k)
hki , (2.8)
onde usamos a relação (2.3) para substituir o termo n/2m por 1/hki.
Pelo resultado da equação (2.8), os vértices do outro lado do link geralmente possuem graus elevados, já que a probabilidade é kp(k) e não apenas p(k) (como exemplo, no modelo de Barabasi-Albert q(k) ∝ k−2). Intuitivamente isso ocorre porque quanto maior o grau de um vértices, maior o
número de links que conectam esse hub aos outros vértices da rede e assim a probabilidade de que eles sejam atingidos é maior, gerando um viés estatístico na distribuição q(k).
Embora esse resultado tenha sido obtido para um modelo em particular, o fato de que os vizinhos de um vértice possuem, na média, graus elevados é encontrada nas redes reais. Para a rede neural do C. elegans, por exemplo, enquanto o grau médio da rede é hki ≈ 16, o grau médios dos vizinhos de um vértice é 22.
As medidas que discutimos até podem ser chamadas de locais, pois medem propriedades de vértices e seus vizinhos. Redes reais também possuem propriedades globais. Uma das mais estudadas é a partição da rede em comunidades. Acontece que em redes reais, determinados grupos de vértices tendem a se conectar mais frequentemente entre si do que com outros grupos de vértices. Existem várias explicações para isso. Voltando a gura 1.1, as diferentes comunidades de vértices estão marcadas em diferentes cores. Nesse caso, comunidades surgem devido a especialização dos neurônios para atuarem em determinadas áreas. Aqueles neurônios que atuam na locomoção do nematoide tendem a ser conectar a outros neurônios motores mais frequentemente do que a neurônios que desempenham outras funções. O desenvolvimento de algoritmos e cientes e precisos para encontrar comunidades ainda é uma área muito ativa [45].
Capítulo 3
Sincronização
3.1 Introdução
Para todos os exemplos de sincronização que vimos na introdução, há sempre uma coisa em comum aos elementos que compõem os diferentes sistemas analisados: Cada um dos relógios de Huygens, cada um dos vaga-lumes nas folhas das árvores, cada uma das células do nodo sinoatrial podem, sob certas condições, continuar oscilando quando postos em isolamento. Nós podemos se-parar e cultivar um neurônio vivo de modo que ele continua a exibir potenciais de ação. Todos os elementos dos sistemas que nós discutimos anteriormente funcionam independentemente um dos outros, usando uma fonte própria de energia (mecânica no caso dos relógios, ou bioquímica no caso dos neurônios) para manter suas oscilações.
Nós vamos estudar matematicamente essa ideia, analisando aqui o conceito de oscilador auto sustentável (que nós vamos chamar apenas de oscilador daqui pra frente). Suponha que temos um sistema que pode ser descrito por um conjunto de equações diferenciais autônomas (que não depende explicitamente do tempo),
dx
dt =f(x), (3.1)
onde x = (x1, x2, ..., xN). Esse sistema representará um oscilador se ele possuir um ciclo limite1,
uma órbita periódica x(t) tal que x(t+T0) =x(t), onde T0é o período da órbita. Não esperamos que
esse tipo de oscilador represente todos os casos que existam na natureza. Entretanto, ele permite uma análise bem detalhada e o cenário que surge, tanto de análises teóricas quanto numéricas, concorda, em grande parte, com o que é observado experimentalmente.
Ciclos limites são órbitas periódicas muito interessantes porque elas são estáveis: condições iniciais nas vizinhanças do ciclo limite acabam tendendo assintoticamente ao ciclo limite.
Existem vários sistemas que apresentam ciclos limites, sendo provavelmente o mais conhecido deles o sistema de van der Pol [2].
˙ x = y ˙
y = 2µy(1 − βx2) − ω20x (3.2)
Analisando as equações (3.2), temos apenas um ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0) que é instável, visto que linearizando o sistema em torno da origem temos que os autovalores são dados por µ ± p1 + µ2 e o parâmetro µ > 0. Porém, isso não signi ca que todas as órbitas se
afastam inde nidamente da origem conforme o tempo passa. A gura 3.1 mostra alguns exemplos de órbitas calculadas numericamente para diferentes valores iniciais (que são marcados com círculos vermelhos). Os parâmetros são µ = ω0 = 1 e β = 0.2.
1Como determinar se o sistema (3.1) possui um ciclo limite poder ser um pouco trabalhoso [46].
6 4 2 0 2 4 6 x 15 10 5 0 5 10 15 y
Figura 3.1: Exemplo de órbitas para o sistema de van der Pol (3.2) para os valores µ = ω0= 1 e β = 0.2.
As condições iniciais para cada uma das trajetórias estão marcadas por um círculo vermelho e as trajetórias se movem no sentido horário. Note que, invariavelmente, todas elas acabam no ciclo limite.
O que nós vemos é que todas as órbitas tendem a uma trajetória periódica, independentemente das condições iniciais: o ciclo limite.
A existência de um ciclo limite na gura 3.1 não é exclusividade do sistema de van der Pol. Na verdade, eles estão presentes para vários outros sistemas, das mais diferentes áreas, e isso é fundamental para analisar o fenômeno da sincronização, pois um ponto fundamental é que uma vez que o sistema esteja no ciclo limite, nós só precisamos de uma única variável para descrever o seu estado: Marcamos, arbitrariamente, um ponto do ciclo limite como sendo a origem e então precisamos apenas de uma variável angular para descrever o estado do oscilador em relação a essa origem. Além do mais, sempre podemos escolher uma variável φ(t) que tem a propriedade [2]
dφ
dt = ω0, (3.3)
ou seja, φ tem uma velocidade angular uniforme ω0= 2π/T0, onde T0 é o período da trajetória. A
equação acima é interessante porque ela tem um comportamento diferente em relação a perturba-ções. Nós vimos que o ciclo limite é estável. Já a fase φ é neutra. Se pudéssemos, através de uma perturbação, deslocar o estado do sistema que se move na trajetória do ciclo limite por um ângulo ∆φ, esse deslocamento não diminuiria nem cresceria, ele permaneceria o mesmo.
Na presença de perturbações externas, esse cenário nos leva a suspeitar que enquanto as defor-mações transversais ao ciclo limite devem ser pequenas, devido a sua estabilidade, o efeito sobre a fase φ(t) pode ser bem grande, atuando para acelerar ou retardar o movimento ao longo do ciclo limite.
Vamos imaginar o seguinte sistema. Nós temos dois osciladores, não necessariamente iguais, descritos pelas equações ˙x1 = f1(x1) e ˙x2 = f2(x2) que possuem ciclos limites com frequências
naturais ω1 e ω2, respectivamente. Quando acoplados, as equações do movimento podem ser escritas
da seguinte forma dx1 dt =f1(x1) + g1(x1,x2) dx2 dt =f2(x2) + g2(x1,x2) (3.4) O acoplamento é intermediado pelas funções gi, i = 1, 2 que são multiplicadas pela constante
que mede a força de acoplamento. Supondo que << 1, os ciclos limites de cada oscilador se mantem estáveis. É possível lidar com esse caso estendendo o conceito de fase para pontos que estão nas proximidades do ciclo limite, introduzindo as curvas isocronas [2]. Com isso podemos,
INTRODUÇÃO 23
ainda utilizando apenas uma variável angular para descrever cada oscilador, aproximar a evolução do sistema como sendo
dφ1
dt = ω1+ Q1(φ1, φ2) dφ2
dt = ω2+ Q2(φ1, φ2),
(3.5) onde φi, i = 1, 2, são as fases de cada um dos ciclos limites dos osciladores e Q é uma função
periódica com período 2π para cada um dos argumentos. Aqui é aparente uma das utilidades de se reduzir o sistema usando apenas fases. Nós temos apenas um sistema de 2 equações em (3.5). Se, por exemplo, nós estivéssemos acoplando dois sistemas com N graus de liberdade, teríamos um sistema de 2N equações caso não utilizássemos a redução por fases.
Pode-se simpli car ainda mais o sistema (3.5). Primeiro, vamos expandir ambas as funções em séries de Fourier, Q1(φ1, φ2) = X k,l aklei(kφ1+lφ2) Q2(φ1, φ2) = X k,l bklei(kφ1+lφ2). (3.6)
Quando = 0, as soluções para (3.5) são dadas por φ1 = ω1te φ2 = ω2t. Se substituirmos essas
soluções nas equações (3.6), vários termos da série de Fourier (aqueles com k e l grandes) oscilam tão rápido que, na média, contribuem muito pouco na soma. Os termos da série com contribuições mais relevantes são aqueles que satisfazem a relação
kω1+ lω2 ≈ 0. (3.7)
Supondo que ω1 ≈ ω2, os termos que satisfazem a relação de ressonância (3.7) são aqueles na
soma (3.6) onde k = −l. Esses termos são dominantes, usando essa aproximação, podemos assim simpli car o sistema para
dφ1
dt = ω1+ q1(φ1− φ2) dφ2
dt = ω2+ q2(φ2− φ1),
(3.8) aonde as funções médias da força q1(φ) e q2(φ) são novas funções periódicas, com período 2π.
Kuramoto, baseando-se nessa linha de raciocínio, propôs o modelo onde N osciladores quase idênticos (as frequências naturais são próximas umas das outras) estão acoplados simetricamente, cada um com todos os outros (3.8):
dθi dt = ωi+ λ N N X j=1 sin(θj− θi). (3.9)
A m de modelar as diferenças intrínsecas dos osciladores, as frequências naturais ωi são
sorte-adas aleatoriamente de uma distribuição g(ω) que, por hora, vamos supor ser unimodal e simetrica (ela só apresenta um máximo, como uma gaussiana, por exemplo). Note que as frequências naturais são xadas inicialmente e mantidas constantes durante toda a simulação. A constante de acopla-mento λ é dividida pelo número de osciladores N de modo que a força sentida pelos osciladores não dependa do tamanho do ensemble e assim não tenda a in nito conforme N → ∞.
Como dissemos na introdução, isso é um fato extraordinário, visto que temos aqui um sistema de equações diferenciais não lineares e problemas dessa natureza são conhecidos por sua complexidade. Para resolver a equação (3.9), vamos primeiro introduzir o parâmetro de ordem complexo z(t) que mede o estado global do sistema,
z(t) = r(t)eiψ(t)= 1 N N X j=1 eiθj. (3.10)
Podemos pensar em z(t) como sendo o centroide das fases se as considerarmos como pontos percorrendo o círculo unitário e o valor de r(t) como uma medida da sincronização do sistema. Para o estado não sincronizado, cada oscilador se move quase que de forma independente dos outros, com sua velocidade angular muito próxima à sua frequência natural ωi e portanto as fases estão
espalhadas homogeneamente e r(t) ∝ N−1/2, que tende a 0 conforme o número de osciladores é
grande2. Já quando há sincronização, os osciladores se movem próximos uns dos outros, como um
único grupo e as fases θi são todas próximas, resultando em r ≈ 1.
A partir da de nição do parâmetro de ordem, equação (3.10), podemos escrever o modelo de Kuramoto (3.9) de uma forma muito útil. Se multiplicarmos ambos os lados da equação (3.10) por e−iθi e tirarmos a parte imaginária de ambos os lados temos
r(t) sin (ψ(t) − θi) = 1 N N X j=1 sin(θj − θi), (3.11)
o que nos permite escrever a equação (3.9) de uma maneira em que parece que cada oscilador está desacoplado de todos os outros,
dθi
dt = ωi+ λr(t) sin(ψ(t) − θi). (3.12)
Obviamente todos os osciladores continuam acoplados na equação (3.12), nós apenas escondemos o acoplamento nos termos r(t) e ψ(t). A grande ideia de Kuramoto foi então procurar uma solução onde r(r) fosse constante e ψ(t) = Ωt, onde Ω = (PN
i=1ωi)/N é a frequência média dos osciladores.
Nós relacionamos ψ(t) = Ωt visto que se somarmos ambos os lados da equação (3.9) em i, e lembrando que o termo sin(θj− θi) é ímpar, nós temos o resultado de que a frequência média dos
osciladores, em qualquer instante de tempo e para qualquer valor de λ, é sempre igual ao valor médio das frequências naturais.
Adotando essas duas hipóteses, cada oscilador está efetivamente desacoplado um dos outros, e podemos resolver a equação (3.12) para cada um dos osciladores. Mudando para um referencial que gira com a frequência Ω (já que a equação (3.9) é invariante por translação, ela só depende da diferença de fases), temos então que
dθi
dt = ωi− λr sin(θi). (3.13)
Vamos procurar por estados estacionários ˙θi= 0da equação (3.13), que corresponde a osciladores
com frequência Ω no referencial inicial. Para que isso ocorra é necessário que ωi satisfaça a condição
|ωi| < λr. (3.14)
Com isso, podemos dividir os osciladores em duas populações. Aqueles que estão sincroniza-dos, satisfazendo a relação (3.14), e aqueles não sincronizados, para os quais não vale a relação (3.14). Essa última população causa algum problema, pois os osciladores continuam se movendo no referencial móvel o que, a princípio, vai contra a suposição de que r seja constante.
2Multiplicando a equação (3.10) pela sua conjugada complexa temos r2(t) = 1 N2 PN j,l=1e i(θj−θl) = 1 N2(N + PN j6=le i(θj−θl)) ≈ N−1se as fases θ
INTRODUÇÃO 25
Kuramoto resolveu esse problema supondo que N → ∞, o que permite descrever o ensemble de osciladores como um contínuo. Não vamos mais contar individualmente os osciladores. Tomamos uma postura próxima da mecânica de uidos, introduzindo assim uma densidade ρ(θ, ω) que nos dá a fração de osciladores com frequência natural ω que se encontram entre as fases θ e θ + dθ. Kuramoto supôs que a densidade ρ dos osciladores não sincronizados no círculo fosse independente do tempo.
Como calculamos essa densidade? Bem, a densidade na fase θ deve ser inversamente proporcional à velocidade dos osciladores nesse ponto, já que osciladores passam mais tempo onde a velocidade é menor e menos tempo onde a velocidade é maior. Essa velocidade pode ser obtida da equação3.13, no limite N → ∞. Com esse raciocínio, podemos escrever
ρ(θ, ω) ∝ 1
v(θ, ω) =
C
|ω − λr sin(θ)|, (3.15)
com C uma constante de normalização para a distribuição (R2π
0 ρdθ = 1).
Tudo o que zemos até agora deve ser auto consistente. O fato de supormos que z(t) = reiΩt,
onde r é constante e Ω é a frequência natural média dos osciladores não pode contradizer as condições (3.14) e (3.15) que obtivemos acima.
Reescrevendo a equação (3.10) usando as suposições acima, é possível mostrar [47] que λ e r devem satisfazer a condição
1 = λ Z π/2
−π/2
g (λr sin(θ)) cos2(θ)dθ. (3.16)
A equação (3.16) sempre possui a solução trivial r = 0 para todo λ. Se tomarmos o limite r → 0+, a solução não trivial surge para valores de λ maiores que o valor crítico
λc=
2
πg(0). (3.17)
Esse resultado nos diz que a sincronização só começa a ocorrer quando o acoplamento entre os osciladores é maior que o valor crítico dado pela equação (3.17). Além do mais, expandindo a distribuição g(ω) em torno do máximo g(0) até segunda ordem, temos que o parâmetro de ordem r ∝√λ − λc.
Para uma distribuição lorentziana das frequências naturais,
g(ω) = γ
π(γ2+ ω2) (3.18)
é possível integrar exatamente a equação (3.16), obtendo o parâmetro de ordem r exato r(λ) =
r 1 −λc
λ (3.19)
para λ > λc= 2γ.
Como exemplo, a gura 3.2mostra diagramas de sincronização r(λ) para um ensemble de 104
osciladores com distribuição lorentziana de frequências naturais para diferentes valores de γ (que mede a largura da distribuição). As equações (3.9) foram integradas usando o método de Heun com passo h = 0.25 e usamos o tempo total de integração T = 5000. Cada ponto corresponde a uma média do parâmetro de ordem r calculada nas últimas 2500 unidades de tempo.
Para outras distribuições de frequência natural g(ω), embora não seja possível calcular explici-tamente r(λ), o comportamento é o mesmo visto na gura 3.2. Para valores de λ < λc, temos que
r(λ) ≈ 0. Quando a constante de acoplamento atinge o valor λc, r começa a crescer continuamente
conforme aumentamos o valor de λ. Nesse cenário, a transição de fase para a sincronização é dita de segunda ordem.
As transições de fase que ocorrem em problemas de sincronização são classi cadas ou de segunda ordem, como vimos acima, ou então como sendo de primeira ordem, como veremos mais adiante.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 r γ=0.25 γ=0.2 γ=0.15
Figura 3.2: Exemplos de como o parâmetro de ordem r depende da constante de acoplamento λ para um sistema de N = 104 osciladores com frequências naturais sorteadas de uma distribuição lorentziana (3.18)
com diferentes valores de γ. A linha contínua corresponde a solução (3.19).
Essa classi cação deriva de uma antiga proposta feita por Ehrenfest [48]. Note que no caso da gura 3.2, o parâmetro de ordem r é contínuo, ja que tanto o limite esquerdo, quanto direito, ao ponto λ = λc resultam no mesmo valor, r = 0. Entretanto, pode-se mostrar que r ∝
√
λ − λc [47],
causando assim uma descontinuidade na derivada de r em λ = λc. Isso é portanto, classi cado
como uma transição de fase de segunda ordem. Já para as transições de fase de primeira ordem, a descontinuidade ocorre diretamento no parâmetro de ordem. No ponto crítico, r sofre um pulo, indo de um valor próximo de 0 para um valor rc > 0, como ocorre no diagrama da esquerda na gura
4.1.
Nesse ponto é importante frisar que analisamos aqui o modelo original de Kuramoto. Existem, entretanto, inúmeras generalizações [13] desenvolvidas para modelar sincronização em diferentes cenários.
3.2 Sincronização em redes complexas
Tudo o que foi dito acima se baseava no fato de que cada um dos osciladores estava acoplado com todos os outros e isso foi fundamental para a solução encontrada por Kuramoto. Sabemos que sistemas reais estão longe de terem essa topologia, devido principalmente ao alto preço em se manter tantas conexões. Podemos facilmente generalizar as equações (3.9) para a situação em que os osciladores estão nos vértices de uma rede complexa,
dθi dt = ωi+ λ N X j=1 Aijsin(θj− θi), (3.20)
aonde Aij é a matriz de adjacência da rede em questão e as frequências naturais ωi são, como
antes, sorteadas de uma distribuição unimodal g(ω), que vamos supor tem seu máximo centrado em 0. É importante salientar que agora, exceto para topologias muito especí cas, como estrelas, por exemplo, não é mais possível resolver as equações (3.20) exatamente, sendo necessário utilizar aproximações ou então apenas análises numéricas.
Existem algumas aproximações para tentar calcular o valor crítico λc, sendo a mais simples
a desenvolvida por Ichinomiya em 2004 [49] (que nós veremos em maiores detalhes nos próximos capítulos) resultando na aproximação do valor crítico como sendo
λAc = 2 πg(0)
hki
SINCRONIZAÇÃO EM REDES COMPLEXAS 27
Figura 3.3: Exemplo de como os links devem estar dispostos para que o elemento B(k → l, i → j) da matriz de Hashimoto seja diferente de 0.
O interessante nessa aproximação é que ela é dada pelo produto de dois termos: o resultado obtido por Kuramoto (equação (3.17)), que só depende da distribuição das frequênciais naturais, e um fator que leva em conta a estrutura da rede, dado pela razão entre o primeiro e o segundo mo-mento da distribuição de grau. Esse resultado indica que para redes livre de escala (com distribuição p(k) ∝ k−γ), no limite N → ∞ o valor crítico λc= 0, já que hk2i → ∞ quando 2 ≤ γ ≤ 3.
Outra aproximação, proposta em 2005 [50], vai um passo adiante do que foi feito em [49] e tenta calcular o valor crítico utilizando mais informações sobre a topologia da rede, resultando na seguinte aproximação,
λBc = 2 πg(0)
1
Λ, (3.22)
aonde Λ é o maior autovalor da matriz de adjacência da rede em questão. É interessante que novamente a forma da aproximação (3.22) também é composta por um fator que contém informações sobre a rede (nesse caso dado pelo termo Λ−1) multiplicando o resultado (3.17). Sob certas condições
[51], o valor de Λ pode ser escrito como hk2i/hki, recobrando assim o resultado (3.21).
Vamos propor, de uma maneira um tanto quanto arbitrária até o momento, também uma apro-ximação semelhante aos dois casos acima: novamente mantemos o termo 2/(πg(0)) descrevendo a distribuição de frequências naturais e para o termo contendo informações da topologia da rede escolhemos o inverso do maior autovalor ΛH da matriz de Hashimoto:
λCc = 2 πg(0)
1 ΛH
. (3.23)
A de nição da matriz de Hashimoto (também conhecida como matriz non-backtracking) é ra-zoavelmente complicada: Dada uma rede não direcionada, com n vértices e m links, a matriz de Hashimoto tem tamanho 2m × 2m, cujos elementos são indexados pelos possíveis links de uma cópia dessa rede. Essa cópia possui os mesmos n vértices da rede original mas cada link da rede original é substituido por um par de links apontando em direções opostas, assim a cópia possui 2m links (explicando a dimensionalidade da matriz de Hashimoto). Exempli cando, se os vértices i e j estão originalmente conectados, na nova rede há links ligando esses vértices apontando em ambas as direções, i → j e i ← j.
Com essa de nição da nova rede, os elementos da matriz de Hashimoto (de tamanho 2m × 2m) B(k → l, i → j), correspondendo aos links k → l e i → j, são dados por:
B(k → l, i → j) = δ(j, k) (1 − δ(i, l)) , (3.24)
onde δ(x, y) é o delta de Kronecker. O elemento B(k → l, i → j) da matriz de Hashimoto é diferente de zero no exemplo mostrado na gura 3.23.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r,
λ
A cλ
B cλ
C c 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r, 2 0 s 2 0 sFigura 3.4: Diagramas de sincronização para redes de Erdos-Renyi, à esquerda, e de Barabasi-Albert, à direita. Para ambos os casos, N = 2000 e o grau médio hki = 10. Os círculos azuis e os quadrados vermelhos são, respectivamente, a média temporal e o desvio padrão de r(t). σ foi multiplicado por 20 para facilitar a visualização nas imagens.
Note que a matriz de Hashimoto não é simétrica e portanto seus autovalores são geralmente complexos. Entretanto, seu maior autovalor é sempre real e positivo.
Acontece que ΛH, o maior autovalor da matriz B, é igual ao maior autovalor da matriz
M =A 1 − D
1 0
(3.25) onde A é a matriz de adjacência da rede e D é uma matriz diagonal, com seus elementos diferentes de zero dados pelos graus dos vértices. Dessa forma, se for necessário utilizar a aproximação (3.23), é mais simples (e computacionalmente e caz) utilizar a matriz (3.25) para o calculo de ΛH.
Qual é a razão para propor a aproximação (3.23)? Em primeiro lugar, para o caso de uma rede completa (onde todos os vértices estão conectados com todos os outros) com N vértices, a matriz M possui seu maior autovalor como sendo N − 2. Quando N >> 1, a aproximação (3.23) coincide com a solução exata (3.17). Em segundo lugar, recentemente a matriz de Hashimoto tem encontrado aplicações em várias áreas, como detecção de comunidades [52], percolação [53] e no desenvolvimento de métricas para determinar a importância dos vértices na rede [54]. Baseado em algumas similaridades entre percolação [53] e sincronização, nós vamos testar a aproximação 3.23. E aparentemente ela apresenta resultados interessantes.
Nós testamos essas três aproximações para alguns casos, começando com redes sintéticas: as redes de Erdos-Renyi e de Barabasi-Albert. Aqui enfrentamos um problema, já que nossas redes possuem tamanhos nitos e por isso a transição de fase não é tão clara como visto, por exemplo, na gura3.2, onde o tamanho da rede utilizada era razoavelmente grande. Se o tamanho da rede não for muito grande (e para alguns casos reais isso é o que acontece) a transição se mostra suavizada no diagrama r(λ).
Para contornar esse problema, além de calcular o valor médio r do parâmetro de ordem r(t) durante um intervalo de tempo ∆t no estado estacionário, nos também calculamos o desvio padrão σ nesse mesmo intervalo. É conhecido que σ apresenta um máximo no ponto crítico [55]. Portanto, nós identi camos λccomo sendo o valor onde σ apresenta seu máximo.
Na gura3.4nós mostramos os resultados para essas duas redes, ambas com N = 2000 vértices e grau médio hki = 10. As frequências naturais foram sorteadas de uma distribuição gaussiana com média nula e desvio padrão igual a 1. Cada curva representa uma média sobre 50 pares de redes e frequências para o caso de Erdos-Renyi e de 15 pares para o caso de Barabasi-Albert. Para ambos os casos, a melhor aproximação é aquela que usa a matriz de Hashimoto (3.23) e as aproximações λAc (3.21) e λBc (3.22) dão resultandos bem semelhantes.
SINCRONIZAÇÃO EM REDES COMPLEXAS 29 0.0 0.1 0.2 0.3 λ 0.0 0.2 0.5 0.7 0.9 r, 10 × σ c. elegans neural λA c λB c λC c 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 λ 0.0 0.2 0.5 0.7 0.9 r, 10 × σ macaque cortex 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 r, 10 × σ us airports 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 r, 10 × σ political blogs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 r, 10 × σ c. elegans metabolic 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 r, 10 × σ yeast, protein
Figura 3.5: Diagramas de sincronização para algumas redes reais. Cada gura mostra o valor do parâmetro de ordem r(λ) bem como o desvio padrão σ(λ). Cada curva é uma média de no mínimo 10 conjuntos de frequências naturais. O desvio padrão σ(λ) foi multiplicado por 10 em todos os casos para facilitar a visualização da localização do máximo.
Nós testamos essa aproximação para alguns exemplos de redes reais das mais diversas origens e tamanhos, veja a gura 3.5. Nesse caso, tratamos todas as redes como não direcionadas e as frequências naturais são todas sorteadas de uma distribuição gaussiana, com média 0 e desvio padrão 1. Cada curva na gura 3.5 corresponde, no mínimo, a 10 médias sobre o conjunto de frequências. Os dados sobre as redes utilizadas estão na tabela3.1
Nome N m Ref c. elegans neural 297 2359 [21] macaque cortex 242 3054 [56] us airports 500 2980 [57] political blogs 1490 19090 [21] c. elegans metabolic 453 4596 [58] yeast, protein 2361 7182 [59]
Tabela 3.1: Propriedades das redes estudadas na gura3.5. N é o número de vértices, m o número de links e Ref é a referência de onde os dados foram obtidos.
A gura3.5mostra algumas coisas interessantes. Por exemplo, para a rede do cortex do macaco, as três aproximações são muito próximas entre si e também do resultado numérico, apesar dessa rede conter estruturas topológicas complexas, como comunidades, que nenhuma das aproximações discutidas leva em conta. Já para os outros casos, apesar de as três aproximações serem próximas umas das outras, aparentemente a aproximação λC
c (3.23) se mostra como a melhor. Um ponto
fora da curva, entretanto, é a rede de proteínas, onde as três aproximações subestimam o valor crítico numérico de maneira bastante clara. Seria interessante proseguir com essa análise para outros exemplos de redes reais para poder determinar com mais precisão qual das aproximações é a que melhor condiz com os resultados numéricos.
Capítulo 4
Sincronização explosiva
Vimos que para o modelo de Kuramoto em uma rede completa (todos os vértices estão conec-tados com todos os outros), gura 3.2, ou então em redes reais, gura3.5, a transição de fase é de segunda ordem. Isso signi ca que o parâmetro de ordem r = 0 para valores de λ ≤ λc. Quando
λ > λc, r cresce monotonicamente com λ, veja a gura 3.2.
Pouco tempo atrás notou-se [28] que uma modi cação aparentemente inócua, correlacionar positivamente em redes livres de escala as frequências naturais dos osciladores com o grau dos vértices no qual eles residem,
ωi= N
X
j=1
Aij = ki, (4.1)
modi ca sensivelmente a transição de fase do estado incoerente para o estado sincronizado: A transição passa a ser de primeira ordem.
Um exemplo está mostrado na gura 4.1, no painel da esquerda, para uma rede de Barabasi-Albert com N = 1000 vértices. O diagrama de sincronização r(λ) agora é construído da seguinte maneira. Valendo-se da correlação (4.1), começamos com um valor inicial λ0 para a constante de
acoplamento. Para esse valor, integramos as equações (3.20) a partir de condições iniciais aleató-rias e calculamos o valor do parâmetro de ordem r. Agora, mantendo o resultado da integração, aumentamos adiabáticamente a constante de acoplamento por δλ = 0.02 e integramos novamente as equações do movimento, calculando outra vez no nal o valor de r. Repetimos isso, seguindo a direção da seta marcada como '1' até um valor máximo λmax. O resultado é a curva com quadrados
vermelhos, chamada de forward.
Até que λ ultrapasse o valor crítico denominado λf
c, o parâmetro de ordem r é próximo de 0.
Quando ele atinge o valor λf
c, r sofre uma descontinuidade e pula para um valor próximo de 1 (seta
marcada com '2'). Agora, se nós invertemos a direção e começamos a diminuir gradativamente a constante de acoplamento, correspondendo a curva com círculos azuis chamada de backward, na direção da seta marcada com '3', o parâmetro de ordem r não cai no mesmo ponto onde ele sofreu a descontinuidade, mas r continua diferente de 0 até um valor menor: λb
c, seta '4'. Temos então
um loop de histerese, que é uma região de valores para o acoplamento (λb
c < λ < λ f
c) onde há
estabilidade tanto do estado sincronizado quanto do estado incoerente. Esse fenômeno foi chamado de sincronização explosiva.
Sincronização explosiva 1 é fruto exclusivamente da correlação entre grau e frequência natural
(4.1). No painel da direita na gura4.1, as frequências naturais, e todos os outros parâmetros, são os mesmos do caso do painel da esquerda, só que nós embaralhamos as frequências de tal modo que (4.1) não é mais válido. Nesse caso, r cresce linearmente para os valores de λ considerados.
Note que a simples correlação muda drasticamente o comportamento do sistema (compare as
1O nome sincronização explosiva foi cunhado em referência ao fenômeno de percolação explosiva, [60], descoberto
um pouco antes. Hoje em dia usa-se o nome sincronização explosiva para se referir a situações onde a correlação entre propriedades da rede com propriedades do oscilador gera uma transição de fase de primeira ordem.
