Departamento de Física
Confinamento, Susceptibilidades e Estranheza da
Matéria Hadrônica em Teoria de Perturbação Otimizada
Juan Camilo Macías Ramírez
Orientador: Prof. Dr. Marcus E. Benghi Pinto Tese de doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Fısica da Universidade Fede-ral de Santa Catarina (UFSC), como parte dos requisitos para obtenção do tıtulo de “Doutor em Fısica”
Florianópolis
2017
, Juan Camilo Macías Ramírez
Confinamento, Susceptibilidades e Estranheza da Matéria Hadrônica em Teoria de Perturbação Otimizada / Juan Camilo Macías Ramírez ; orientador, Prof. Dr. Marcus E. Benghi Pinto , 2017.
167 p.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Física, Florianópolis, 2017.
Inclui referências.
1. Física. 2. Física nuclear e de Hadrons. I. , Prof. Dr. Marcus E. Benghi Pinto. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Física. III. Título.
CONFINAMENTO, SUSCEPTIBILIDADES E
ESTRANHEZA DA MAT´ERIA HADR ˆONICA EM
TEORIA DE PERTURBAC¸ ˜AO OTIMIZADAO
Esta Tese foi julgada aprovada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Doutor em F´ısica”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica.
Florian´opolis, 06 de setembro 2017.
Banca Examinadora:
Orientador: Prof. Dr. Marcus E. Benghi Pinto Universidade Federal de Santa Catarina
Prof. Dr. Jos´e Ricardo Marinelli (membro titular) UFSC/FSC
Dr. Tiago Jos´e Nunes da Silva (membro titular) UFSC/FSC
Prof. Dr. Robson Zacarelli Denke (membro titular) FURB
Agradecimentos
Quero agradecer muito especialmente ao meu orientador Marcus. B Pinto, por sua guia sempre diligente e comprometida. Seus ensinamentos foram muito além do estritamente acadêmico e por isso tem toda minha gratidão. Ao meu amigo e colega de doutorado Tulio E. Restrepo, que colaborou co-migo na primeira parte deste trabalho. Obrigado pela amizade e pelos bons cafezinhos e conversas.
Aos meus colegas de doutorado Robson Denke, André García e Gabriel Fer-rari pela amizade e ajuda sempre que precisei.
Aos meus pais Fernando e Angela e aos meus irmãos Oscar e Marcela por me dar sempre seu amor me fazer sentir perto deles em todo momento. (A mis padres Fernando e Ángela y a mis hermanos Oscar e Marcela, por darme siempre su amor e hacerme sentir cerca de ellos en todo momento).
Aos meus sogros don Hernán e doña Mary e o meu cunhado Camilo, por me acolher de forma tão generosa na sua família.
À luz dos meus olhos e maior tesouro, à minha esposa Paola, cuja companhia e amor me fazem desfrutar muito mais cada coisa que eu faço. A ela, eu dedico este trabalho.
Aos membros da banca examinadora, por ter lido o trabalho e pelas valiosas correções e comentários.
À CAPES pela bolsa de estudos.
A todas as demais pessoas que fizeram possível o desenvolvimento deste tra-balho, as quais seria impossível mencionar aqui. Muito obrigado!
Resumo
A teoria de perturbação otimizada (OPT) é implementada no modelo Polyakov– Nambu–Jona-Lasinio (PNJL) com simetria SU(2) de sabor e no modelo Nambu– Jona-Lasinio com simetria SU(3) de sabor (NJL,3) para gerar resultados não perturbativos além da aproximação de campo médio. No caso do modelo PNJL os nossos resultados estão em excelente acordo com os resultados das simulações na rede (LQCD) para a pressão e a densidade de número de quarks, ρq. Este excelente acordo, pode ser também aproximadamente obtido na apro-ximação de campo médio, ao custo de introduzir, ao nível de árvore, um canal vetorial de iteração repulsiva proporcional à constante arbitrária GV. Mos-tramos que a nossa implementação da OPT, requer um parâmetro a menos para gerar os mesmos resultados. No caso da susceptibilidade do número de quarks, χq, e o relacionado coeficiente de segunda ordem, c2, que apa-rece na expansão de Taylor da pressão em torno do potencial químico nulo: P/T4= c
0+ c2(µ/T )2+ . . ., é observado um máximo em T ∼ 1.2 Tc que não é registrado por nenhum resultado da LQCD. A origem matemática deste máximo é identificada e corrigida usando-se dois modelos que imitam a pro-priedade da liberdade assintótica da QCD. Em seguida uma implementação original da OPT no modelo NJL,3 é apresentada. Dado que nesta imple-mentação da OPT, não é observado o máximo, a nossa análise sugere que seu aparecimento no modelo com dois sabores, é uma consequência direta do quark estranho não ter sido incorporado nessa aproximação.
Palavras chave: Transição quiral, OPT, interação vetorial repulsiva, loop de Polyakov, modelo Nambu-Jona–Lasinio, densidade do numero de quarks, expansão de Taylor da pressão.
Abstract
The optimized perturbation theory (OPT) is implemented in the Polyakov– Nambu–Jona-Lasino model (PNJL) with SU(2) flavor symmetry and in the Nambu–Jona-Lasnio (NJL) model with SU(3) flavor symmetry in order to generate non perturbative results beyond the mean field approximation. In the case of the PNJL model, our results are in excellent agreement with the lattice simulations (LQCD) for the pressure as well as for the quark number density, ρq. This excellent agreement can also be approximately achieved in the mean field approximation to the cost of introducing, at the tree level, a repulsive vector interaction channel proportional to an arbitrary coupling constant, GV. We show that our implementation of the OPT requires one parameter less to generate the same results. In the case of the quark number susceptibility, χq, and the related second order coefficient, c2, appearing in the Taylor expansion of the quark pressure around zero chemical potential: P/T4= c
0+c2(µ/T )2+ . . ., it is observed the appearance of a maximum around T ∼ 1.2 Tc (Tc being the critical temperature for the chiral transition), not registered by any LQCD simulation. The mathematical origin of this maximum is identified and corrected by using two models containing mechanisms that mimic the QCD asymptotic freedom property. We also perform an original application of the OPT formalism to the three flavor NJL model in oder to investigate how strangeness can be handled by this approximation, in this case, the c2 maximum is not observed, so that our analyses suggest that the maximum appearing in the two flavor case, is a direct consequence of the strange quark not been considered within that approximation.
Key words: Chiral transition, Repulsive vector interaction, Polyakov loop, Nambu-Jona-Lasinio model, quark number susceptibility, quark number density, Taylor expansion of pressure.
Sumário
1 Bases teóricas 9
1.1 Contexto deste trabalho na física atual . . . 9
1.2 A QCD . . . 17
1.2.1 Aspectos básicos . . . 18
1.2.2 Liberdade assintótica . . . 19
1.2.3 Confinamento . . . 23
1.2.4 Simetrias da QCD . . . 24
1.2.5 Quebra espontânea da simetria quiral . . . 28
1.3 O modelo NJL . . . 31
1.3.1 Modelo NJL com Nf = 2 na aproximação de Nc-grande 33 1.3.2 Determinação da massa efetiva: a equação de gap . . . 35
1.3.3 Energia livre . . . 43
1.3.4 Temperatura e potencial químico finitos . . . 45
1.3.5 Parametrização do modelo NJL . . . 47
1.4 Modelo PNJL com simetria SUf(2). . . 47
1.4.1 O problema do confinamento . . . 48
1.4.2 O loop de Polyakov como parâmetro de ordem . . . 49
1.4.3 O modelo . . . 57
1.5 Modelo NJL com três sabores de quarks . . . 61
1.5.1 Autoenergia e energia livre na aproximação de Nc-grande 64 1.5.2 Parametrização do modelo . . . 66
2 Implementação da OPT no modelo PNJL com simetria SUf(2) 69 2.1 A OPT . . . 69
2.2 OPT no modelo NJL . . . 70
2.3 Canal vetorial no modelo NJL na aproximação LN . . . 79
2.4 OPT no modelo PNJL . . . 82
2.5 Canal vetorial no modelo PNJL na aproximação LN . . . 86
3 Anomalia do coeficiente c2 95
3.1 O modelo EPNJL . . . 96
3.1.1 Resultados numéricos . . . 96
3.2 Modelo GI-NJL . . . 97
3.2.1 As equações de Wetterich . . . 98
3.2.2 Acoplamento do modelo NJL partindo de autointera-ções de quarks induzidas por glúons . . . 100
3.2.3 Resultados numéricos . . . 103
4 Implementaçao da OPT no modelo NJL com simetria SUf(3)105 4.1 Correções de Nc-finito no modelo NJL SUf(3) . . . 105
4.2 Teoria de pertubação otimizada e estranheza . . . 109
4.2.1 Possíveis prescrições para usar a OPT . . . 111
4.3 Resultados numéricos . . . 114
5 Conclusões e perspectivas futuras 119
A Matrizes de Gell-Mann 123
B Somas de Matsubara 125
C Traço no espaço das cores para contribuições de dois loops 129 D Autoenergia e energia livre do modelo NJL SUf(3) 135
Lista de Tabelas
1.1 Parâmetros NJL SUf(2) . . . 48
1.2 Parâmetros para o potencial efetivo no modelo PNJL . . . 57
1.3 Parâmetros do modelo com três sabores . . . 67
2.1 Regras de Feynman da teoria interpolada na OPT . . . 72
Lista de Figuras
1.1 História do Universo . . . 10
1.2 Esquema do diagrama de fases da QCD . . . 13
1.3 Curvas de freeze-out . . . 15
1.4 Sinal do cumulante de quarta ordem e dados da rede . . . 16
1.5 Vértices da QCD . . . 19
1.6 Correções à propagação do quark na QCD . . . 20
1.7 Polarização do vácuo da QCD. . . 21
1.8 Running do acoplamento forte. . . 22
1.9 Potenciais com simetria restaurada e quebrada. . . 29
1.10 Propagação de quasepartícula no condensado. . . 30
1.11 Quebra a simetria individual SUf(3)L,R. . . 31
1.12 Construção do vértice pontual no modelo NJL. . . 33
1.13 Interação de 6-férmions. . . 38
1.14 Diagramas de troca. . . 41
1.15 Tranformação de Fierz para o Vértice. . . 42
1.16 Criação de par um quark-antiquark e um bárion . . . 50
1.17 Criação de par quark-antiquark e um méson . . . 50
1.18 Aspectos qualitativos do potencial entre quarks . . . 51
1.19 Par confinado . . . 52
1.20 Criação de par quark-antiquark . . . 56
1.21 Parâmetros de ordem no modelo PNJL . . . 61
1.22 Interação de 6-férmions. . . 63
1.23 Série de Dyson modelo NJL,3. . . 65
2.1 Diagramas de Feynman que contribuem à pressão na OPT . . . 72
2.2 Massa e pressão do modelo NJL na OPT e na aproximação LN 78 2.3 Diferença de pressão normalizada . . . 89
2.4 Densidade normalizada do número de quarks . . . 90
2.6 Coeficiente da expansão de Taylor c2 no modelo PNJL . . . 92
2.7 Termos que contribuem ao c2 como função de T/Tc. . . 93
3.1 Coeficiente da expansão de Taylor, c2, no modelo EPNJL . . . 97 3.2 Diagramas de Feynman do modelo GI-NJL . . . 100 3.3 Acoplamento GGI como função de Λ . . . 101 3.4 Dependência na temperatura do acoplamento no modelo
GI-NJL . . . 102 3.5 Massa constituinte e c2como função da temperatura no modelo
NJL e GI-NJL . . . 103 3.6 Densidade normalizada do número de quarks . . . 104 4.1 Autoenergia associada à interação de 4 férmions modelo NJL
SUf(3) . . . 106 4.2 Autoenergia associada à interação de 6 férmions modelo NJL
SUf(3) . . . 107 4.3 Diagramas da ordem O(δ2) . . . 114 4.4 Massas efetivas e pressão dos quarks nas aproximações LN e
OPT . . . 115 4.5 Comportamento do c2com a OPT no modelo NJL SU(3) . . . 116 4.6 Cristal de sal . . . 117
Prólogo
A mais de 40 anos da formulação da cromodinâmica quântica (QCD), o es-tudo das propriedades térmicas da matéria fortemente interagente, descrita pela QCD, continua sendo uma das pesquisas mais importantes da física con-temporânea, sendo objetivo de programas experimentais como o beam-energy scan program (BES) do relativistic heavy ion collider (RHIC), que visa o mapeamento detalhado do diagrama de fases da QCD no plano de tempera-turas (T ) e potencial químico bariônico (µB). Uma rica estrutura de fases é esperada em regiões do plano T − µB nas quais a QCD é altamente não perturbativa, e modelos efetivos constituem a principal ferramenta de estudo. Acredita-se em geral que modelos efetivos usados para descrever matéria for-temente interagente, devem incluir canais vetoriais [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] como os que aparecem no modelo de Waleka da física nuclear [11] e na versão es-tendida do modelo Nambu–Jona-Lasinio (NJL) para matéria de quarks [12]. Para enfatizar a sua importância, salientamos algumas aplicações recentes que consideram este canal no contexto do modelo NJL começando com a Ref. [13] onde a versão com três sabores desta teoria foi usada para reproduzir a equa-ção de estado (EoS) para matéria magnetizada, densa e fria. Em concordância com a Ref. [14] os resultados mostram que o campo magnético e o canal ve-torial influenciam a transição quiral de primeira ordem em maneiras opostas: enquanto a primeira suaviza a equação de estado (EoS), a segunda a endurece e portanto, massas mais altas podem ser reproduzidas gerando novas possibi-lidades para a modelagem de objetos estelares como os pulsares recentemente observados PSR J1614-2230 [15] e PSR J0348+0432 [16], cujas massas são de aproximadamente 2M�. Uma outra aplicação recente e importante [17] mos-tra que a presença de uma interação vetorial é crucial para que o modelo NJL possa reproduzir corretamente as medidas nas diferenças relativas do fluxo elíptico entre núcleons e anti-núcleons assim como entre kaons e anti-kaons nas energias atingidas no BES do RHIC. Na Ref. [18], também foi proposto que o grande fluxo elíptico observado no RICH pode ser descrito por uma dinâmica de partícula única com uma interação repulsiva. Como um exemplo
final, lembremos que embora a maioria das pesquisas parecem apoiar a exis-tência do ponto crítico da QCD (CP), uma interessante observação contra sua existência tem sido indicada por Forcrand e Philipsen [19]. Usando usando simulações numéricas da QCD em potencial químico imaginário, estes autores observaram que a região das massas dos quarks onde a transição é presumi-velmente de primeira ordem tende a encolher (para massas do quark menores do que a massa física) para pequenos valores do potencial químico. Por outro lado, trabalhos que apoiam a existência do CP indicam que a linha de pri-meira ordem deve se expandir quando o potencial químico é incrementado de tal maneira que na massa física do quark a linha de primeira ordem é intercep-tada em um valor finito de potencial químico e temperatura, determinando a posição do CP. Uma explicação possível para esta discrepância aparece na Ref. [20], onde foi sugerido que uma interação vetorial repulsiva pode expli-car o encolhimento inicial da região de primeira ordem, que começaria a se expandir de novo em valores maiores do potencial químico, fazendo com que a superfície de primeira ordem curve-se de volta no chamando “back-bending”, de modo que o CP aparece naturalmente quando as massas dos quarks atin-gem os valores físicos. Na prática, no modelo NJL, um canal vetorial pode ser facilmente implementado adicionando um termo do tipo −GV( ¯ψγµψ)2na densidade Lagrangiana original [4, 18]. Então, na aproximação de Nc-grande (Ncsendo o número de cargas de cor) (LN), somente a componente zero sobre-vive e o efeito total produzido por este canal é adicionar um termo da forma −GVρ2q à pressão, (onde ρq representa a densidade de quarks na LN), debi-litando (fortalecendo) a transição de primeira ordem quando GV é positivo (negativo)[20]. Como resultado, no caso repulsivo (GV > 0), a região da tran-sição de primeira ordem cobre um intervalo menor de temperaturas quando comparado ao caso GV = 0, enquanto que o potencial químico de coexistência é deslocado para valores maiores. Então, como consequência, o CP ocorre em temperaturas mais baixas e potenciais químicos mais altos do que no caso com GV nulo. Apesar de sua importância física, fixar o parâmetro GV num modelo não renormalizável como o NJL é uma tarefa delicada. A razão são as integrais divergentes que aparecem nos cálculos de loops associados com este modelo. Estas integrais são usualmente reguladas por meio de um “cut-off” ultravioleta, Λ, que não pode ser removido por meio de uma redefinição siste-mática dos parâmetros originais do modelo como numa teoria renormalizável. Para tratar esta situação, Λ é geralmente tomado como um novo “parâmetro” que estabelece a escala de energia máxima até a qual o modelo consegue fazer predições confiáveis. Então, os parâmetros originais junto com Λ são fixados requerendo que o modelo reproduza os valores fenomenológicos dos observá-veis físicos. Por exemplo, na versão padrão com dois sabores, o acoplamento escalar-pseudoescalar, GS, a massa de corrente, mc, e Λ, são ajustados para
reproduzir a massa do píon (mπ � 135 MeV), a constate de decaimento do píon (fπ� 93 MeV) e o condensado de quarks (� ¯ψψ�1/3� 250 MeV) obtendo se Λ ∼ 560 − 670 MeV, GΛ2 ∼ 2 − 3.2, e m
c ∼ 5 − 5.6 MeV (ver seção 1.3.5 para uma discussão mais completa). Contudo, fixar GV traz um problema adicional, dado que esta quantidade deveria ser fixada com a massa do méson ρ, que em geral é maior do que a máxima escala de energia estabelecida por Λ. Atualmente a constante de acoplamento vetorial GV não pode ser determi-nada partindo de experimentos nem simulações de rede para QCD (LQCD), mas eventualmente, a combinação de observações de estrelas de nêutrons e o mapeamento das energia para a detecção de sinais de transições de fase no FAIR/NICA poderão providenciar alguns indícios com respeito ao seu valor numérico exato. Enquanto muitos autores consideram GV como sendo um parâmetro livre, cujo valor oscila entre 0.25 GS e 0.5 GS [21, 22], outros tra-tam de fixa-lo de diferentes maneiras como nas Refs. [23, 24, 25, 26], obtendo 0.3≤ GV/GS ≤ 3.2, portanto, até o presente, o valor exato de GV permanece indeterminado.
Neste ponto devemos notar que, devido as transformações de Fierz, quando vamos além da aproximação LN, ou do nível de campo médio, correções ra-diativas de troca são introduzidas, produzindo efeitos físicos similares aos causados por um termo clássico (de árvore) como −GV( ¯ψγµψ)2 [27]. Isto é precisamente o que foi observado numa aplicação do método da teoria de per-turbação otimizada (OPT) ao modelo NJL com dois sabores e GV nulo [28]. Os resultados da OPT para o diagrama de fases mostram que as correções radiativas proporcionais a 1/Nc, induzidas por esta aproximação reproduzem as mesmas caraterísticas qualitativas (enfraquecimento da linha de transição quiral de primeira ordem), obtidas quando se considera o modelo no limite de Nc grande com um canal vetorial explícito. Isto é devido ao fato de que as contribuições de dois loops da OPT, adicionam à pressão um termo da forma −GSρ2q/(NcNf)(lembremos que a contribuição total da LN comporta-se como −GVρ2q). Na Ref. [29], a OPT (com GV = 0) gerou resultados que são qua-litativamente similares aos obtidos na Ref. [20], com a aproximação LN (e GV �= 0). Em particular o “back bendig” no plano µ−m é observado em ambos os casos quando os acoplamentos são grandes o suficiente [30]. Esta relação entre a OPT (com GV = 0), e a aproximação de Nc grande (com GV �= 0), foi estudada em detalhe recentemente, no contexto da versão abeliana do modelo NJL em densidades e temperaturas finitas na Ref. [31]. A vantagem mais im-portante oferecida pela OPT com respeito à matéria de quarks densa, é que uma descrição mais realista pode ser obtida sem a necessidade de incluir-se explicitamente o parâmetro GV. Eventualmente, resultados similares aos da OPT podem ser obtidos indo além do limite de Nc grande (um loop), mas na prática, a incorporação de correções de Nc finito numa expansão em
po-tencias de 1/Nc não é uma tarefa fácil pois uma série infinita de correções tem que ser resomada [32]. Por outro lado, combinando cálculos puramente perturbativos com um procedimento variacional de optimização, a OPT ofe-rece uma alternativa não perturbativa para ir além do limite de Nc grande. Dispor desta alternativa pode ser particularmente útil na análise de matéria densa de quarks pois, devido ao problema do sinal, a cromodinâmica quântica (QDC) ainda não é acessível através de simulações na rede quando µ �= 0, en-quanto que a aproximação de Nc grande não é completamente confiável (veja discussão nas Refs. [33, 34, 35, 36, 28, 29] )
A OPT vem se estabelecendo como um poderoso método para tratar te-orias críticas como a condensação de Bose-Einstein, onde este método e as suas diferentes variações previram alguns dos resultados analíticos mais exa-tos para a temperatura crítica em gases de Bose fracamente interagentes [33, 34, 35, 36]. Outra aplicação na matéria condensada previu com preci-são o valor da densidade crítica do poliacetileno [37]. Recentemente, Kneur e Neveu conseguiram melhorar o método ainda mais usando as propriedades do grupo de renormalização para avaliar a constante de escala infravermelha da QCD, ΛQCD
MS , [38] e a constante de acoplamento efetiva da QCD, αS [39]. A OPT foi também uma ferramenta importante para determinar o diagrama de fases para o modelo de Gross–Neveu (GN) em 2+1 dimensões considerando massa nula em temperatura e potencial químico finitos [40, 41].
Neste trabalho, estenderemos as aplicações prévias da OPT-NJL [28, 29] para o modelo de Polyakov NJL (PNJL) com dois sabores e para o modelo NJL com três sabores. Procedemos da seguinte forma: No caso da extensão para o modelo PNJL, sendo que esta incorpora o confinamento, representa uma teoria mais realista e será usada para contrastar as nossas predições as da LQCD. Esta análise será apresentada no capítulo 2, depois de fazer uma breve revisão das ferramentas teóricas necessárias para este trabalho no capítulo 1 . Tecnicamente, esta extensão não é completamente imediata e, portanto, os detalhes associados à avaliação dos traços na cor para dois loops (contribui-ções de troca) são também aqui apresentados. Em seguida calcularemos a energia livre do modelo PNJL para obter quantidades como a densidade de quarks e a susceptibilidade no número de quarks. Nossos resultados numéricos são comparados com os resultados gerados na aproximação LN com GV = 0 e GV �= 0, assim como aqueles gerados pelas simulações da LQCD. Como veremos, os resultados da OPT para a densidade de quarks concordam muito bem com as predições da LQDC para dois sabores de quarks. Por outro lado, os resultados da OPT para as susceptibilidades no número de quarks concor-dam bem até temperaturas de aproximaconcor-damente 1.2 Tc. Este comportamento é também observado na aproximação LN (GV �= 0) em altas temperaturas. Em particular, o coeficiente c2 que aparece na expansão de Taylor da
pres-são, P/T4 = c
0+ c2(µ/T )2+ . . ., apresenta um máximo em T ∼ 1.2 Tc que não é observado em nenhum resultado da LQCD. Recentemente Schramm and Steinheimer [42] e também Sugano et. al. [43] enfrentaram o mesmo problema usando a aproximação LN no modelo PNJL com GV �= 0. Estes mesmos autores então utilizaram este fato como guia para entender como a interação vetorial comporta-se em altas temperaturas chegando a diferen-tes conclusões. Schramm e Steinheimer, concluíram que na fase hadrônica a interação vetorial deve ser forte, enquanto a mesma é quase nula na fase desconfinada. Já Sugano et al. estimaram GV = GS � 0.33GS ajustando os resultados do modelo Polyakov–Nambu–Jona-Lasinio emaranhado (EPNJL) aos resultados da LQDC obtidos na Ref. [44] através da ação de Wilson, para dois sabores fermiônicos e píons muito massivos. Usando um modelo com quarks e campos vetoriais massivos Ferroni e Koch [45] também estima-ram o valor do acoplamento vetorial usando susceptibilidades calculadas na LQCD como parâmetros de entrada. O entendimento da origem do máximo em c2 observado na OPT e também na aproximação LNGv é outro de nossos principais objetivos. Nesse sentido, uma simples expansão em altas tempe-raturas nos permitirá identificar que a origem matemática deste máximo na OPT consiste num termo proporcional a GS/Nc, que é suprimido na apro-ximação de Nc grande, enquanto que um termo semelhante parametrizado pela constante GV proporcional a GV, gera o máximo quando no modelo é considerado um canal vetorial na aproximação LN. Sendo que na OPT, c2 é proporcional a GS examinaremos se este máximo pode ser corrigido fazendo que o acoplamento GS corra com a temperatura emulando a propriedade da liberdade assintótica da QCD, segundo à qual o acoplamento forte, αs, deve diminuir ao incrementar a escala de energia. Neste sentido serão examinado dois modelos. Primeiro, o modelo EPNJL que incorpora implicitamente uma dependência da temperatura na constante GS, através de vértices emaranha-dos que dependem do loop de Polyakov Φ(T ) e segundo, através do modelo NJL com acoplamentos induzidos por glúons (GI-NJL) introduzido recente-mente na Ref. [46], onde é proposto um tipo dependência térmica explícita do acoplamento GS para emular a propriedade da liberdade assintótica da QCD. Veremos que no primeiro caso o máximo é atenuado, enquanto que no segundo, o máximo é completamente corrigido. Esta análise será apresentada no capítulo 3. Feito isto, no capítulo 4 apresentaremos como a OPT pode ser implementada no modelo NJL com três sabores de quarks para gerar re-sultados além da aproximação LN. Neste caso, dado que o modelo NJL não incorpora o confinamento, não será possível obter-se uma boa comparação com os dados do LQCD, porém veremos, ao revisitar a discussão sobre o com-portamento do c2, que no caso com três sabores a OPT não gera o máximo observado no caso com dois sabores. A nossa análise sugere que as correções
de Ncfinito, responsáveis pelos efeitos vetoriais repulsivos que induzem o má-ximo no c2, são precisamente uma consequência de se desconsiderar o quark estranho nesta aproximação.
As nossas conclusões e perspectivas futuras serão apresentadas no capítulo 5. Os apêndices contêm detalhes sobre resultados relevantes apresentados ao longo do texto.
might have come along so that the universe could look at itself. . . It’s such a lucky accident, having been born, that we’re almost obliged to pay attention.”
Bases teóricas
Neste capítulo introduziremos brevemente as noções teóricas teóricas mais importantes no desenvolvimento deste trabalho. Mas primeiro, queremos si-tuar este trabalho de tese no contexto da física atual, depois trataremos os aspectos fundamentais da QCD e finalmente revisaremos como alguns deles são implementados de forma simplificada no contexto do modelo NJL.
1.1 Contexto deste trabalho na física atual
Talvez a melhor forma de situar o presente trabalho de tese no contexto da fí-sica atual, seja precisamente partindo do que sabemos sobre fífí-sica atualmente. Não podemos fazer isso em poucas palavras, mas a Fig. 1.1 constitui um re-sumo bastante completo. A história do universo pode ser aproximadamente reconstruída fazendo uso de telescópios e interpretando as observações à luz dos conhecimentos acumulados em astrofísica e outras áreas correlatas. No en-tanto, existe um limite para informação que pode ser obtida com telescópios, e este consiste nos sinais lumínicos mais antigos que podem ser analisados, provenientes da chamada radiação cósmica de fundo em micro-ondas (CMB) quando o universo tinha 3 × 105 anos de idade . A CMB, corresponde à luz que veio a ser liberada quando o universo atingiu o tamanho e a densidade necessárias para a luz se propagar sem ser re-absorbida pela matéria circun-dante. Nas idades anteriores a este evento, o universo pode ser considerado como sendo escuro e neste caso, a teoria relevante para seu entendimento é o modelo padrão das partículas elementares (SM). Neste trabalho de tese, estamos interessados na fatia particular de tempo em que os fenômenos mais relevantes são descritos pelo setor do modelo padrão que descreve a interação forte. Em particular, estamos interessados na escala de energias
encontra-Figura 1.1: História do universo. Adaptada de http://www.particleadventure.org/history-universe.html.
das entre aproximadamente 20 microssegundos e 1 milissegundo depois do “Big-Bang” quando o universo era ainda pequeno, escuro e muito quente. As condições extremas que acreditamos tiveram lugar neste momento da histó-ria do universo, têm sido reproduzidas ao longo de mais de uma década em colisões ultrarelativísticas de íons pesados no RHIC e no large hadron collider (LHC). Estes experimentos têm mostrado abundantes evidências de que nas altas temperaturas do universo primordial, os graus de liberdade da matéria correspondem a quarks e glúons livres formando um tipo de líquido chamado de plasma de quark e glúons (QPG) [48, 49, 50]. Quarks e glúons são objetos fundamentais da teoria QCD. Uma pergunta fundamental acerca da QCD, consiste em saber se um sistema quente e denso de quarks e glúons, como o do universo primordial, apresenta fenômenos críticos quando este é dopado com mais quarks do que antiquarks, ou equivalentemente, quando o sistema apresenta potencial químico finito (µ). Esta busca é resumida como a busca pela determinação do diagrama de fases da QCD.
O estudo da estrutura de fases da matéria fortemente interagente, descrita pela QCD, é uma das pesquisas mais importantes da física contemporânea. Teoricamente partindo dos primeiros princípios da QCD com simulações na rede, está bem estabelecido que a transição da matéria hadrônica para o QGP em µB ≈ 0 é uma transição suave (do tipo “crossover”) [47], enquanto que a existência do QPG foi confirmada pelos dados experimentais gerados tanto no RHIC como no LHC [48, 49, 50]. Outras importantes caraterísticas são esperadas para µB maiores, em particular, vários modelos efetivos inspirados na QCD preveem uma linha transição de primeira ordem da fase hadrônica para a fase de quarks e glúons, começando em T = 0 e µB alto, terminando como consequência do crossover em µB = 0, num ponto crítico de segunda ordem localizado em valores menores de µB e T �= 0 .
No mapeamento do diagrama de fases, a localização do ponto crítico é uma das tarefas mais importantes. Sabe-se desde há algum tempo que flu-tuações das multiplicidades em evento-por-evento de vários tipos partículas são realçadas nas colisões em que íons pesados hadronizam perto da região de criticalidade. Acredita-se então que o ponto critico da QCD pode ser encontrando através do comportamento não monótono de vários observáveis como função dos parâmetros de ordem [56, 55, 71, 54, 72]. Em particular, as flutuações de cargas conservadas, como o número bariônico (B), a carga elétrica (Q) e a estranheza (S), merecem especial atenção, já que sendo cargas conservadas, permanecem as mesmas ao longo da evolução da “bola de fogo” podendo ser detetadas nos experimentos. Em forma geral, podemos definir as susceptibilidades, também chamadas de flutuações, associadas as cargas
conservadas B, Q e S como χi+j+kBQS =∂ (ijk)(P/T4) ∂ ˆµi B∂ ˆµ j Q∂ ˆµkS . (1.1) onde ˆµi X = µiX/T, (X = B, Q, S; i, j, k = 1, 2, 3, 4...n) são respectivamente os potenciais químicos do numero bariônico, da carga elétrica e da estranheza; enquanto que P representa a pressão do sistema, que é calculada tomando o log da função de partição da QCD como:
P T4 = 1 V T3log � Z(V, T, µB, µQ, µS) � , (1.2)
onde V representa o volume do sistema. Os cumulantes das distribuições des-tas grandezas conservadas, estão relacionadas com as susceptibilidades cor-respondentes através da relação
CBQSijk = ∂ (i+j+k)log�Z(V, T, µ B, µQ, µS) � ∂ ˆµi B∂ ˆµ j Q∂ ˆµkS . (1.3) = V T3χi+j+kBQS (T, µB, µQ, µS) (1.4) Como, de acordo com a Eq. (1.2), P depende do volume, são construídas relações entre as susceptibilidades, chamadas de momentos, para eliminar esta dependência. Em particular, são de grande importância os momentos m1(X)e m2(X)definidos como m1(X) = Tχ (3) X χ(2)X , m2(X) = T 2χ (4) X χ(2)X , (1.5) que portanto, independem do volume. Experimentalmente o diagrama de fases é explorado nas colisões de íons pesados variando a energia do centro de massa√s. É observado que o valor de µB aumenta quando o valor de√s diminui. Recentemente a colaboração STAR do RHIC divulgou os resultados do programa BES I coletados entre os anos 2010 e 2014 em energias do centro de massa que vão desde 7.7 GeV até 200 GeV (ver Fig. 1.2), o que permite mapear o diagrama de fases acima de µB∼ 250 MeV [73, 74]. No experimento, as susceptibilidades e momentos das cargas conservadas B, Q e S são extraídos respectivamente da análise estatística do número líquido de prótons (Np−Np¯), a carga líquida (N+ − N−) e o número líquido de káons (Nκ − N¯κ). Se denotarmos o valor médio sobre todo o ensemble de eventos por < NX >, e o desvio de NX do seu valor médio por δNX = NX− < NX >. Então,
Figura 1.2: Esquema do diagrama de fases da QCD com a varredura realizada pelo
programa BES. As linhas amarelas representam a evolução das colisões para
os cumulantes das distribuições de evento-por-evento da variável NX estão definidos por:
CX1 =< NX>= V T3χ1X, CX2 =< (δNX)2>= V T3χ2X CX3 =< (δNX)3>= V T3χ3X, CX4 =< (δNX)4>−3 < (δNX)2>
= V T3χ4X, Desta forma, poderemos conectar os observáveis teóricos χn
X com os experi-mentais Cn
X. As medições experimentais dos momentos vêm dos instantes em que a matéria é hadronizada na colisão no chamado de “freeze-out” químico (ver Fig. 1.2). Vale a pena ressaltar, que para as medições experimentais mos-trarem sinais do comportamento crítico, o freeze-out deve acontecer perto dos limites da transição mas não necessariamente ao longo da linha de transição. As linhas de freeze-out podem ser hipoteticamente desenhadas partindo de ajustes dos dados experimentais como feito na Ref. [1], onde as curvas de freeze-out podem ser ajustadas pela equação
T (µB) = a− bµ2B− cµ4B. (1.6) Na Fig. 1.3 são mostradas diferêntes linhas possíveis de freeze-out para vários valores possíveis dos parâmetros a, b e c. Estabelecer o comportamento dos momentos ao longo das linhas de freeze-out nos permite fazer uma compa-ração direta com os experimentos, já que deste modo é possível estabelecer uma relação direta entre os momentos das cargas conservadas e a energia da colisão√satravés de substituição da dependência dos momentos em µB pela dependência em√s. Uma possível forma de relacionar µB e√sfoi proposta em [75]:
µB(s) =
1.477 GeV
1 + 0.343 GeV−1√s. (1.7)
O cálculo dos momentos e susceptibilidades ao longo dos valores de µB e T dados pelas Eqs. 1.6 e 1.7 permite fazer a análise destas quantidades ao longo das possíveis linhas de freeze-out.
A caraterística principal do CP é a divergência da amplitude de correlação ξque poderia se manifestar no comportamento não monótono das susceptibi-lidades das cargas conservadas quando a região de criticalidade é atravessada nos experimentos. Foi sugerido [71, 54, 56] que na região próxima ao ponto critico o sinal do momento m2(X) poderia ser negativo. Na figura Fig. 1.4 (direita), adaptada da Ref. [2], mostramos esquematicamente em vermelho a região em que m2 seria negativo. Se a linha de freeze-out (verde) atravessa a região de negatividade este fato seria refletido nas medições experimentais do momento m2, mostrando além da mencionada não monotonicidade valores negativos num certo intervalo de valores de√s. Este efeito já foi verificado em
Figura 1.3: Três possíveis curvas de freeze-out. A linha preta tracejada representa a linha de crossover. As cruzes representam a linha de primeira ordem. Os triângulos são os dados experimentais da Ref. [1]. As linha cheia vermelha é a curva de freeze-out ajustada aos dados experimentais. As freeze-outras curvas diferem por uma pequena quantidade.( Figura adaptada de [2])
múltiplos modelos efetivos como o modelo PQM [76, 77],com hidrodinâmica quiral [78, 79] e com o modelo NJL [65, 1]. Na Fig. 1.4 (esquerda), mostra-mos o resultado obtido na Ref. [1] para o momento m2 no modelo NJL como função da energia de colisão ao longo das linhas de freeze-out da Fig. 1.3. A figura mostra um comportamento não monótono e valores negativos em valores baixos da energia. Esta tendência foi confirmada pelas simulações na rede. A figura Fig. 1.4 (abaixo) mostra os dados da LQCD [3] para m2 em função da energia. O resultado mostra grandes barras de erro para baixas energias (µB alto), mas é qualitativamente parecido como o resultado do mo-delo NJL para energias altas (µBbaixo) onde as barras de erro nas simulações são menores. Cálculos teóricos usando o modelo PNJL mostraram uma boa concordância com os dados da rede (ver por exemplo [80, 66] e as referências nelas). Não entanto, estas análises teóricas encontram-se quase sempre res-tritas à aproximação de Nc-grande, também conhecida como aproximação de Hartree ou campo médio [60]. São extensamente conhecidas as limitações da aproximação de N-grande: por exemplo viola o teorema de Landau [61, 62] so-bre transições de fase em uma dimensão [63] e em teorias fermiônicas em 2+1 dimensões, perde informação importante na localização do ponto tri-crítico da transição liquido-gás [64]. No caso particular de cálculos sobre flutuações e correlações de cargas conservadas baseados em modelos que não possuem a
Figura 1.4: Sinal do cumulante de quarta ordem e dados da rede (Acima a direita) Desenho esquemático do diagrama de fases da QCD com o sinal do cumulante de quarta ordem. Na região vermelha ele assume valores negativos e na região azul valores positivos. A linha tracejada representa a linha de freeze-out (adaptada da
Ref. [2]). (Acima esquerda) Momento m2 versus a energia de colisão ao longo das
linhas hipotéticas de freez-out da Fig. 1.3 (tomada de [1]). (Abaixo) Dados obtidos
mesma classe de universalidade da QCD1.1, a aproximação de N
c-grande não consegue gerar resultados que possam ser considerados uma guia definitiva, já que contribuições da ordem seguinte à ordem dominante, podem trazer di-ferentes tipos de dependência com respeito ao comprimento de correlação em decorrência da diferente classe de universalidade. Mesmo em modelos com a mesma classe de universalidade, a aproximação de Nc-grande desconsidera as possíveis correções aos expoentes críticos que controlam o comprimento de correlação nas proximidades do CP. Por tanto ficam as perguntas: como as correções de Nc finito afetam o tamanho da região negativa dos momentos no plano T − µB? As linhas de freeze-out atravessam esta região ? O que acontece com momentos de outras ordens e as relações entre eles?
Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho de tese é gerar ferra-mentas teóricas que permitam abordar essas perguntas. Ou mais especifica-mente, ferramentas que permitam estudar as contribuições da física do ponto crítico às flutuações de cargas conservadas e a sua dependência na energia par-tindo de cálculos teóricos que consigam ir além da tradicional aproximação de Nc-grande.
1.2 A QCD
Na descrição da matéria fortemente interagente, existe a convicção geral de que a QCD seja a teoria mais fundamental e reforça esta convicção, o fato da QCD não ter mostrado estar em conflito com nenhuma fenomenologia existente da interação forte sendo bem conhecidos e documentados inúmeros encontros de sucesso entre as previsões da QCD e os experimentos. A QCD é baseada no princípio de simetria calibre onde férmios (quarks) transformam-se de acordo com a representação fundamental do grupo de simetrias SUc(N )da cor. Na prática cálculos em regimes não perturbativos são difíceis e por esta razão, teorias efetivas como o modelos do tipo NJL usados neste trabalho, são ferramentas importantes entre as teorias de campos modernas. Uma teoria efetiva que pretenda suplementar a QCD nas regiões mais complicadas será mais completa quando incorporar o maior número possível de ingredientes e semelhanças com a teoria original. Revisaremos alguns deses aspectos.
1.2.1 Aspectos básicos
A QCD é uma teoria quântica de campos descrita pela densidade lagrangiana [81, 82] LQCD= ¯ψ � iγµ � ∂µ− ig λa 2 A a µ � − m � ψ−1 4G a µν(x)Gµν a(x) = ¯ψ (iγµDµ− m) ψ − 1 4G a µν(x)Gµν a(x) . (1.8) Os seus constituintes básicos são quarks, representados pelos campos fermiô-nicos, ψ, de spin 1/2 e carga fracionária, e bósons de calibre não abelianos, Aa, de spin 1 chamados de glúons, que interagem com os quarks e com eles mesmos. Os campos ψ podem ser escritos como o produto interno de três espinores em três espaços diferentes: sabor, Dirac e cor
ψ = ψf⊗ ψD⊗ ψc . (1.9)
onde ψf = (u, d, s)T, é a representação do campo no espaço de sabores f = u, d, s(quando considerados somente os três quarks mais leves), ψD = (ψ0, ψ1, ψ2, ψ3)T é a representação do campo no espaço de Dirac, com ψi=0,...3 representando as 4 possíveis soluções da equação de Dirac, enquanto que ψc = (r, g, b)T, é a representação do campo no espaço das cores. Ao mesmo tempo m é a matriz da massa dos quarks m = diag(mu, md, ms· · · ), cujas entradas não nulas são respectivamente as massas nuas dos quarks u (“up”), d (“down”) e s (“estranho”). A lagrangiana na Eq. (1.8), é construída de forma a ser invariante frente as transformações locais do grupo de simetrias SUc(3)no espaço das cores, de acordo com as quais os campos ψ transformam-se como ψ(x) → eiαa(x)λa2 ψ(x) , (1.10)
onde α(x) é uma função real arbitrária das coordenadas do espaço-tempo enquanto λa são os geradores da representação matricial do grupo SU
c(3) (matrizes de Gell-Mann, ver Apêndice A), cuja álgebra, não abeilana, é dada por
[λa, λb] = 2ifabcλc, (1.11) e normalizadas de modo que satisfaçam a relação
Trc(λaλb) = 2δab, (1.12) sendo que fabc são as constantes de estrutura do grupo. O requerimento da invariância frente as transformações dadas na Eq. (1.10), implica que a
Figura 1.5: Vértices na QCD. Da esquerda para a direita, acoplamento quark-glúon, acoplamento de 4 glúons e acoplamento de 3 glúons.
lagrangiana seja definida em termos da derivada covariante Dµ=∂µ− igλ2aAµa
=∂µ− iAµ, (1.13)
e na introdução do tensor de interação gluônico:
Gaµν = ∂µAaν− ∂νAaµ+ gfabcAbµAcν , (1.14) que especifica a interação entre os glúons, como pode ser lido na lagrangiana da Eq. (1.8), onde g é a constante de acoplamento da QCD, enquanto que a definição da derivada covariante é tal que a transformação
Dµψ(x) → eiαa(x)λa2 Dµψ(x) , (1.15)
deixa a lagrangiana invariante.
O caráter não abeliano da teoria é evidente pela presença dos termos pro-porcionais a fabcna Eq. (1.14). A caraterística distintiva de teorias não abeli-anas como a QCD, consiste em que os bósons de calibre, os glúons, carregam carga e além de se acoplar aos quarks também se acoplam a eles mesmos. Os acoplamentos dos glúons vem dos termos não lineares proporcionais a Ga
µν na Eq. (1.8) e ilustrados na Fig. 1.5 Esta caraterística gera vários aspectos não triviais da teoria que mencionaremos na continuação.
1.2.2 Liberdade assintótica
Uma das diferenças fundamentais entre os sistemas clássicos e quânticos encontra-se na natureza da vácuo. Numa teoria quântica o vácuo pode encontra-ser entendido
+ + +...
Figura 1.6: Correções radiativas à propagação do quark na QCD.
como um meio polarizável. Portanto, a “carga” medida para qualquer tipo de interação, depende da escala de energia na qual a medição é realizada. A pola-rização do vácuo depende das correções quânticas permitidas pela teoria. Por exemplo, para o caso da QCD, as regras de Feynman na Fig. 1.5, indicam que a propagação de um quark recebe contribuições quânticas do vácuo que ilus-tramos na Fig. 1.6. O efeito na polarização do vácuo destes termos é ilustrado na Fig. 1.7. O diagrama em a) indica a aparição de pares quark-antiquark vir-tuais por volta da carga de cor que geram linhas de campo contrarias às linhas de campo da carga original induzindo a blindagem da carga. O diagrama em b), descreve a aparição de glúons virtuais com carga de cor que contribuem para o campo da carga original (anti-blindagem). Nas pequenas distâncias este último efeito domina sobre a blindagem, fazendo com que a intensidade da interação medida cresça nas pequenas distâncias ou equivalentemente que a carga efetiva medida cresça ao diminuir a escala.
Formalmente, a variação da carga efetiva com a escala, é resumida na função-β da teoria. Enquanto a QCD não prediz o valor absoluto da constante αs, se αsé medida numa certa escala, a função-β permite predizer o seu valor em qualquer outra escala através da equação do grupo de renormalização
Q2∂αs(Q 2)
∂Q2 = 2β(αs(Q
2)). (1.16)
Calculada ao nível de três loops no esquema de sustração mínima (MS) a função β está dada por
2β(αs) =− β0 2πα 2 s− β1 4π2α 3 s− β2 64π3α 4 s+· · · (1.17) onde β0= 11−2 3Nf, β0= 51− 19 3 Nf, e β2= 2857− 5033 9 Nf − 325 27N 2 f. (1.18)
Figura 1.7: Representação pictórica da polarização do vácuo na QCD. Painel a) “screening” da carga de cor por criação de pares quark-antiquark. Painel b) “anti-screening” da carga de cor por criação de glúons virtuais
Figura 1.8: Valores teóricos e experimentais do “running” com a energia da cons-tante de acoplamento forte [83]
Sendo que Q2é uma escala de energia relacionada com a energia do proceso fí-sico no qual αsé considerada. O sinal negativo da função-β pode ser atribuído às autointerações dos glúons e trás como consequência, o comportamento do acoplamento αsmostrado na Fig. 1.8. Uma solução para a Eq. (1.16) na apro-ximação de 1-lopp, que dizer, negligenciando β1 e termos de ordem maior, é
αs(Q2) = αs(M2) 1− αs(M2)β0ln � Q2 M2 � , (1.19)
com M sendo uma escala arbitrária de energia. Aparte de entregar uma relação entre os valores de αsnas duas escalas de energia Q2e M2, a Eq. (1.19) apresenta liberdade assintótica[84, 85]: se Q2 é grande e β
αs(Q2) decresce assintoticamente para zero. Da mesma forma, a Eq. (1.19) mostra que αs(Q2)diverge para o infinito para valores de Q2pequenos.
Escolhendo uma escala adequada como referência, por exemplo a massa do bósson Z0, M = M
Z0, podemos introduzir o parâmetro ΛQCD tal que
Λ2
QCD = M
2
e1/(β0αs(M2)). (1.20)
O parâmetro adimensional ΛQCD é introduzido tal que a Eq. (1.19) possa ser escrita como
αs(Q2) =
1
β0ln(Q2/ΛQCD). (1.21) É importante lembrar, que a constante de acoplamento em se mesma não constitui um observável físico, a QCD é uma teoria renormalizável, e como tal, os valores experimentais dependem do esquema de renormalização. Para relacionar o valor de αs(M) com ΛQCD devem ser especificado o número de sabores de quark ativos na escala de interesse. Neste trabalho, sendo que as escalas de energias são baixas consideraremos ao sumo somente três sabores de quarks (quars u, d e s), neste caso o valor de ΛQCD é [83]
ΛQCD � 350 MeV. (1.22)
Observando a Fig. 1.8 vemos que este valor estabelece a escala na qual o acoplamento forte é grande e portanto estabelece a escala de energia na qual os efeitos não perturbativos são importantes. De fato, ΛQCD é tecnicamente igual à escala de energia onde αs(Q2)diverge ao infinito, αs(Q2)→ ∞ para Q2
→ Λ2
QCD. É nestas escalas que o uso de modelos efetivos para a QCD, como o usado no presente trabalho, são justificados.
1.2.3 Confinamento
O confinamento é o fato empírico talvez consequência da (1.19), segundo o qual, não são observadas carga de cor livres na natureza. O confinamento na QCD é uma consequência do caráter não abeliano da teoria [86], mas uma prova obtida a partir primeiros princípios é ainda um desafio teórico. Aprofundaremos um pouco mais nesta propriedade na seção 1.4.1, quando introduzamos o loop de Polyakov como um parâmetro de ordem para o con-finamento.
1.2.4 Simetrias da QCD
A origem das propriedades distintivas da QCD e em particular da massa dos hádrons e pártons está ultimamente ligada as simetrias que satisfaz. Basica-mente estas simetrias são as simetrias do espaço-tempo, a simetria de local de color e simetrias globais de sabor. Estas simetrias são simetrias clássicas mas com consequências quânticas muito importantes no contexto do presente trabalho.
Simetrias do espaço-tempo
• Simetria de Poincaré: A QCD é uma teoria relativística e como tal é invariante frente a transformações de Lorentze e de translação . • Simetria CPT: A QCD respeita a simetria de conjugação da carga (C),
a paridade (P) e a inverção temporal Simetria de calibre
Como mencionado nas Eq. (1.10) e Eq. (1.15) a QCD é invariante por constru-ção sob transformações de calibre do grupo SUc(N )que operam nos campos de quarks e glúons. Uma transformação de calibre é uma transformação dos graus de liberdade do sistema que dependente da posição. Seja U ∈ SUc(N ), (ie, U†·U = U ·U† = 1e detU = 1) os campos de quarks e gluons transformam respectivamente como ψ→ Uψ, Aµ→ U � Aµ− 1 ig∂µ � U†. (1.23)
De um modo geral, as simetrias presentes numa teoria não são refletidas pela lagrangiana, senão pelo valor esperado dos observáveis: o valor esperado de qualquer grandeza física que não seja invariante frente as simetrias do grupo, é nulo na fase simétrica da teoria, enquanto que na fase com simetria quebrada pode ter valores esperados diferentes de zero. Estes observáveis são usados como parâmetros de ordem da quebra-restauração da simetria. Uma simetria é quebrada espontaneamente, quando apesar da invariância da lagrangiana, um observável, que não é invariante, adquire um valor esperado não nulo1.2. De acordo com teorema de Elitzur [87],1.3 uma simetria de calibre local não
1.2A definição geral de um parâmetro de ordem na quebra espontânea de uma simetria é a seguinte: um parâmetro de ordem é o valor esperado de vácuo de algum campo local que se transforma de maneira não trivial frente as transformações geradas pelo grupo.
1.3O enunciado do teorema é o seguinte: Uma simetria de calibre local, não pode ser quebrada espontaneamente. O valor esperado de qualquer observável não invariante frente transformações locais de calibre, deve ser nulo.
pode ser quebrada espontaneamente, com tudo, a escolha do calibre, (por exemplo o calibre de Landau ou de Coulomb), pode eliminar alguns graus de liberdade redundantes fazendo com que algumas simetrias globais residuais sejam conservadas, como uma simetria global de centro, que pode ou não ser espontaneamente quebrada. [88].
Simetria de centro
A simetria de centro caracteriza o desconfinamento dos graus de liberdade de quarks num médio gluônico em temperatura finita controlando o comporta-mento da chama da linha de Wilson ou loop de Polyakov, l. O centro de um grupo consiste dos elementos do grupo que comutam com todos os elementos do grupo. Para uma teoria de calibre SUc(Nc), o centro é subconjunto de elementos proporcionais à identidade:
zn1Nc= e 2πin Nc 1 1 . . . 1 n = 0, 1, 2, ..., N− 1. (1.24)
Os {zn= exp(2πin/Nc)} são os elementos do subgrupo discreto abeliano ZNc,
e o conjunto {zn1Nc} é o subgrupo ZNc de SUc(N ).
Em uma teoria pura de Yang-Mills sem campos de quarks, a verdadeira si-metria não é mais SUc(Nc), senão SUc(Nc)/ZNc, chamado de centro do grupo
SUc(Nc). Isto é devido a que em T finito a direção do tempo imaginário τ encontra-se compactada com período β = 1/T e para preservar esta periodici-dade nos campos de calibre, as transformações do grupo de calibre U, devem ser escolhidas com a mesma periodicidade. Uma possibilidade é escolher U como sendo uma função pseudo-periódica que rote no máximo zn vezes, quer dizer, U(x, τ + β) = znU (x, τ ). Nesta linha de ideias, uma escolha concreta pode ser
U (τ ) =diag(e2πinτ /Ncβ, e2πinτ /Ncβ, ..., e2πi(Nc−1)τ /Ncβ), (1.25)
onde os primeiros Nc− 1 elementos são iguais e o último elemento é escolhido de forma a satisfazer a propriedade Det U(τ) = 1. Claramente esta é uma transformação de centro, pois U(τ) pertence á SUc(Nc)e U(τ + β) = znU (τ ). Portanto, a simetria de centro é uma sub-simetria de calibre com periodicidade zn.
Aprofundaremos na relação da simetria de centro com o confinamento no capítulo 1.4, quando o modelo modelo de PNJL será introduzido.
Simetria global de sabor
No limite em que m ≈ 0 a lagrangiana da QCD pode ser interpretada em termos dos campos independentes, direitos (spin alinhado com o momento), e esquerdos (de spin anti-alinhado com o momento), ¯ψL,R e ψL,Rdados por
ψL= 1− γ5 2 ψ, ψR= 1 + γ5 2 ψ, ψ¯L= ψ † Lγ0= ¯ψ 1 + γ5 2 , ¯ ψR= ψR†γ0= ¯ψ1− γ5 2 , (1.26) desta forma usando a representação de Weyl das matrizes γ de Dirac, podemos reescrever LQCD como LQCD=− 1 4G a µν(x)Gµν a(x) + i ¯ψRγµDµψR+ i ¯ψLγµDµψL + m( ¯ψRψL+ ¯ψLψR). (1.27) Se considerarmos m nulo, os termos i ¯ψRγµDµψRe i ¯ψLγµDµψLindicam que os campos direitos somente interagem com campos direitos e campos esquerdos somente interagem como campos esquerdos e pode-se verificar neste limite, que LQCD é invariante frente as transformações do grupo de sabor Uf(3)L× Uf(3)L, de acordo com as quais os campos ψL e ψR transformam de maneira independente como ψL→ ei λs 2θLψ L, ψR→ ei λs 2θRψ R, (1.28) onde (s = 0, 1, 2, 3). Outra forma de escrever o grupo de simetrias Uf(3)L× Uf(3)Lconsiste em separar o caso s = 0 dos cados (s = 1, 2, 3). O caso s = 0 corresponde as transformações do grupo Uf(1)dadas por
Uf(1)L: ψ→ eiθLψL, Uf(1)R: ψ→ eiθRψR, (1.29) enquanto que os casos (s = 1, 2, 3) correspondem as transformações do grupo SUf(3): SUf(3)L : ψL→ ei λa 2 θ a Lψ L, SUf(3)R: ψR→ ei λa 2 θ a Rψ R (a = 1, 2, 3), (1.30) tal que Uf(3)L× U(3)L= Uf(1)L× Uf(1)L× SUf(3)L× SUf(3)Ré neste caso limite uma simetria da QCD, cujas correntes de Noether
JLµa= ¯ψLγµλa
2 ψL e J
µa
R = ¯ψRγµλa
são tais que ∂µJLµa= ∂µJRµa= 0.
Ao invés de considerar separadamente correntes esquerdas e direitas é con-veniente introduzir as correntes conservadas vetorial e axial, dadas respecti-vamente por JVµa= J µa R + J µa L = ¯ψγµ λa 2 ψ e J µa A = J µa R − J µa L = ¯ψγµγ5λa 2 ψ. (1.32) Claramente, dado que ∂µJV,Aµa = 0 as corretes vetorial e axial são também correntes conservadas. Por esta razão, a simetria SUf(3)L× SUf(3)R é tida como equivalente à simetria SUf(3)V × SUf(3)Aque transforma o campos ψ como SU (3)V : ψ→ ei λa 2θ a Vψ, SU (3) A: ψ→ ei λa 2γ5θaAψ. (1.33)
Da mesma maneira poderíamos dizer que Uf(1)L×Uf(1)R= Uf(1)V×Uf(1)A e expressar o conjunto de simetrias do sabor na QCD como determinadas pelas transformações do grupo Uf(1)V × Uf(1)A× SUf(3)V × SUf(3)A.
A simetria Uf(1)V, é uma simetria exata da QCD. A sua carga de Noether é identificada com o número bariônico
B = �
d3xψ†ψ
3 , (1.34)
onde ψ†ψ/3 = ρ
B é chamada de densidade bariônica enquanto que ψ†ψ = ρq corresponde à densidade de quarks. Por outro lado a simetria Uf(1)A não é observada na natureza pelo que foi considerada como um enigma por algum tempo sendo provado depois por t’Hooft [89], que esta encontra-se quebrada espontaneamente devido a efeitos induzidos por instantons.
A simetria SUf(3)V, é uma simetria exata da QCD unicamente se as massas dos diferentes sabores de quarks puderam ser consideradas iguais. Por este motivo a simetria SUf(3)V é frequentemente referida como simetria do isospin enquanto que a simetria completa SUf(3)V × SUf(3)A, é a chamada simetria quiral por estar relacionada à possibilidade de separara as interações dos quarks em termos da sua quiralidade direita ou esquerda. Dado que o termo proporcional a m( ¯ψRψL+ ¯ψLψR)na Eq. (1.27) mistura campos direitos e esquerdos, esta simetria é somente satisfeita exatamente no limite em que podemos considerar m = 0. Portanto, no caso em que m �= 0, a QCD é ainda invariante frente as transformações do grupo SUf(3)V, mas não frente as transformações do grupo SUf(3)A, como pode-se verificar observando que frente as transformações do grupo SUf(3)A, o termo de massa transforma como
m( ¯ψψ)→ m( ¯ψψ) + 2im( ¯ψγ5λa
Resumindo, SUf(3)Anão é uma simetria exata da QCD, mas pode ser consi-derada como uma simetria aproximada quando as massas dos quarks são pe-quenas em relação à escala de energia de interesse. Por exemplo, quando con-siderados unicamente os dois sabores de quarks mais leves u e d, ΛQCD � 200 MeV, sendo que mu,d� 5 MeV, é razoável tratar a simetria axial como uma si-metria aproximada, embora explicitamente quebrada pela presença da massa finita m na lagrangiana.
1.2.5 Quebra espontânea da simetria quiral
A discussão anterior sobre as simetrias da QCD nos permite introduzir o importante mecanismo de quebra espontânea da simetria quiral central no desenvolvimento deste trabalho. Como a simetria quiral SU(3)V × SU(3)A é uma simetria aproximada da QCD, devem existir 8 correntes vetoriais e oito correntes axiais conservadas (ou melhor, aproximadamente conservadas). In-genuamente poderíamos pensar que como consequência, todo octeto mesônico vetorial e axial apareça como bósons sem massa, ou sendo mais precisos, com massas aproximadamente nulas. No entanto, este não resulta ser o caso na natureza. Por exemplo, a massa do méson φ, sendo mφ � 1020 MeV, não é pequena (é comparável à massa do próton!). Além disso, a massa dos mé-sons são diferentes entre elas: a massa do méson K é da ordem mK± � 494
MeV, a massa do méson ρ é mρ� 770 MeV, enquanto que a massa dos píons é mπ0,π± ∼ 135 − 140 MeV. Certamente não é razoável pensar que a
pe-quena quebra da simetria quiral devida à pepe-quena massa de corrente m, seja responsável pelas diferenças nas massas, mas por outro lado, a massa compa-ravelmente baixa do píon parece refletir muito bem a simetria axial-vetorial aproximadamente conservada.
A solução para estes aspectos aparentemente contraditórios, consiste em pensar que a simetria SU(3)V× SU(3)Aesteja espontaneamente quebrada na natureza. O conceito de quebra espontânea de simetria apareceu primeira-mente no contexto da física de hádrons nos trabalhos de Nambu [90] , Nambu e Jona-Lasino [91, 92] e Goldstone [93], motivados pelo fato dos píons serem muito leves comparados com outros hádrons. Depois da QCD ganhar o status de teoria das interações hadrônicas, concluiu-se que a quebra espontânea da simetria quiral devia acontecer também na QCD.
Na QCD a simetria quiral é quebrada por efeitos quânticos como o re-presentado painel a) da Fig. 1.7 relacionados à dinâmica de baixas energias. Estes termos reordenam o vácuo gerando o condensado que quarks
� ¯ψLψR� ∼ Λ3QCD. (1.36) Este condensado quebra a simetria individual SUf(3)L,R para a simetria
Figura 1.9: Potenciais efetivos. (Esquerda) Sem quebra espontânea de simetria. (Direita) Quebra espontânea de simetria.
SUf(3)V. Como consequência, são quebradas oito simetrias continuas line-armente independentes e o teorema de Goldstone garante a aparição de 8 bósons com massas aproximadamente nulas. Sendo que os píons são os esta-dos ligaesta-dos fortemente interagentes mais leves, estes são interpretaesta-dos como os bósons de Godstone da teoria (pseudo-bósons de Goldstone). No entanto, se a simetria está quebrada espontaneamente nem todos os mésons precisam ser não massivos.
Este fato pode ser bem ilustrado através dos dois potências clássicos in-variantes frente a rotações ao redor do eixo vertical apresentados na Fig. 1.9. No painel esquerdo o estado fundamental encontra-se no centro do potencial. Neste caso, o potencial e o estado fundamental possuem a mesma simetria rotacional. No potencial do painel direito, o estado fundamental encontra-se numa certa distancia do centro. De fato, o estado fundamental não é único, e existem infinitos estados fundamentais ao longo do vale . Ao escolher um ponto no vale (ie, escolher um estado fundamental) a invariância rotacional do estado fundamental é perdida mas potencial todo é ainda simétrico. A simetria neste caso encontra-se espontaneamente quebrada, mais os efeitos da simetria rotacional do potencial estão ainda presentes: uma esfera num ponto do vale de estados fundamentais, não requer energia para se movimentar ao longo da circunferência determinada pelos mínimos no vale, mas os movimen-tos radiais custam energia. Essa resulta ser uma analogia perfeita, na qual podemos identificar as “excitações rotacionais” com os mésons leves (os píons) e as “excitações raiais” com os mésons massivos.
A analogia anterior permite também ilustrar que a quebra espontânea de uma simetria implica na aparição de infinitos estados fundamentais chamados de “condensado”. A presença de um condensado no vácuo de uma teoria,
mo-Figura 1.10: Em a) uma partícula carregada com momento �p = m�v antes de entrar num condensado homogêneo de cargas, quando a partícula carregada ingressa no condensado em b) fica vestida por uma nuvem de partículas com cargas opostas e
seu momento muda para �p�= M�v�p�= p�, onde M é a massa efetiva, consistente da
massa da partícula inicial mais a massa da nuvem de partículas com carga oposta.
difica a massa efetiva das partículas dado que estas interagem com o conden-sado ao se propagarem. Para melhor entender esta interessante consequên-cia da quebra espontânea da simetria, consideremos o sistema apresentado na Fig. 1.10. Em a) é representado uma partícula carregada com momento �
p = m�v antes de entrar num condensado homogêneo de cargas, quando a partícula carregada ingressa no condensado em b) fica rodeado por uma nu-vem de partículas com cargas opostas e seu momento muda para �p� = M�v�, onde M é a massa efetiva, consistente da massa da partícula inicial mais a massa da nuvem de partículas com carga oposta. Na QCD de baixas energias, o condensado está formado por pares quark-antiquark que de forma análoga modificam a massa dos quarks. Esta modificação também pode ser interpre-tada em termos da quebra da simetria quiral no sentido de que a presencia do
Figura 1.11: Quebra a simetria individual SUf(3)L,R . Um quark se propagando no condensado pode mudar sua quiralidade pela interação com o condensado. Um quark esquerdo ao se propagar no condensado é absorvido pelo condensado e liberado como um quark direito.
condensado quebra a simetria individual SUf(3)L,R. Um quark se propagando no condensado pode mudar sua quiralidade pela interação com o condensado, como ilustrado na Fig. 1.11, onde um quark esquerdo ao se propagar no con-densado é absorvido pelo concon-densado e liberado como um quark direito. É neste sentido que a massa quebra a simetria quiral, ou equivalentemente, a quebra da simetria quiral gera dinamicamente a massa dos quarks.
Notemos finalmente, que nas altas temperaturas/densidades o valor espe-rado do condensado de quarks � ¯ψψ� é nulo, resultando num sistema em que a simetria quiral não está espontaneamente quebrada. Nesta fase, chamada de fase simétrica, o potencial efetivo tem uma forma similar a do painel a) da Fig. 1.9 e os píons perdem a sua identidade como bósons de Goldstone, adquirindo massa.
1.3 O modelo NJL
O modelo NJL é um modelo esquemático para QCD em baixas energias. A sua utilidade atual vem do fato de que a sua densidade lagrangiana é construída
para incorporar todas a simetrias globais da QCD observadas na natureza. Na QCD, a interação quark-antiquark é expressada em termos da troca de glúons. A principal simplificação por trás do modelo NJL vem de considerar estes vértices de interação como interações locais, negligenciando os glúons intercambiados e incorporando seus efeitos no valor das constantes de acopla-mento. Vejamos:
O propagador gluónico para um glúon com momento p é escrito na QCD como Dab µν(p) = δab 1 p2 � ηµν− (1 − ξG)pµpν p2 � . (1.37)
Os índices a e b estão associados as cargas de cor dos dois extremos do pro-pagador e o delta de Kronecker garante a conservação da cor. Os índices µ e ν, são índices de Lorentz associados as componentes da métrica de Min-kowski ηµν= diag(1,−1, −1, −1), enquanto que ξGestá relacionado à escolha do calibre. Em particular, a escolha do calibre de Feynman ξG = 1, permite a simplificação
Dµνab(p) = δab ηµν
p2 . (1.38)
Devido ao valor alto da constante de acoplamento, αs, nas interações quark-atiquark, o gluon intercambiado pode interagir com o vácuo recebendo contri-buições à sua auto energia, como ilustrado na Fig. 1.12. Estas autointerações podem ser reinterpretadas em termos de um glúon com massa efetiva, Σ, re-presentado pela linha cheia no propagador gluônico do diagrama central da figura, de modo que
Dab
µν(p) = δab ηµν
p2− Σ2. (1.39)
Sendo que estamos interessados em fenômenos de baixas energias como a formação de hádrons etc, podemos supor que p � Σ e negligenciar p2 em relação a Σ2 para escrever
Dab µν(p) = δab ηµν p2− Σ2 � −δ abηµν Σ2. (1.40)
Isto quer dizer que, nesta aproximação, o glúon pode ser reduzido a um vér-tice simples proporcional à constante 1/Σ2 (terceiro diagrama na Fig. 1.12). Considerando por exemplo o vértice que descreve a interação quark-antiquark dado por ( ¯ψλaψ)(− g 2 p2+ Σ2)( ¯ψλ aψ) � ( ¯ψλaψ)(−g 2 Σ2)( ¯ψλ aψ), (1.41)
Figura 1.12: Construção do vértice pontual no modelo NJL.(Esquerda) Interação quark-antiquark na QCD. (Médio) Aquisição da massa efetiva do glúon. (Direita) Glúon no modelo NJL: vértice pontual.
vemos que o fator −g2/Σ2 pode ser reinterpretado como uma constante de acoplamento efetiva GS =−g2/Σ2 de modo que a correspondente interação na lagrangiana, Eq. (1.8), pode ser expressada como
Lint¯qq = GS 8 � a=0
( ¯ψλaψ)2. (1.42)
Agora, é claro que esta severa simplificação não fica sem consequências. Por um lado a ausência de glúons deixa o modelo sem o mecanismo de confina-mento, e por outro lado, dado que a constante de acoplamento GSfica definida com unidades de [energia]−2, o modelo é não renormalizável.
1.3.1 Modelo NJL com N
f= 2
na aproximação de N
c-grande
No modelo NJL com dois sabores de quarks, a matéria fortemente interagente é descrita pela lagrangiana [91, 92]
LNJL,2= ¯ψ (iγµ∂µ− m) ψ + GS�( ¯ψψ)2+ ( ¯ψiγ5�τψ)2� , (1.43) onde os campos fermiônicos estão representados pelo bi-espinor de Dirac ψ = (u, d)Tpara dois sabores de quark u e d com massas nuas (ou de corrente) degeneradas, m = mu� md, sendo que os campos ψ também possuem estru-tura de cor, como explicitado na Eq. (1.9). Neste trabalho consideramos três possíveis cargas de cor para cada componente do bi-espinor. Na aproximação
m = 0, pode-se verificar facilmente que LNJL é invariante frente a transfor-mação quiral ψ → e−i�τ·�θγ5/2ψ. Como m não é nula mas aproximadamente
nula quando comparada as massas hadrônicas, dizemos que a simetria quiral é aproximada. A interação entre os férmions é parametrizada pela constante de acoplamento GS que caracteriza uma interação de quatro férmions em dois canais: o escalar, representado pelo termo ( ¯ψψ)2 e o pseudo-escalar, repre-sentado pelo termo ( ¯ψiγ5�τψ)2, onde �τ é um “vetor” cujas entradas são as três matrizes de Pauli �τ = (τ1, τ2, τ3)geradoras do grupo de simetria SU
f(2). Podemos escrever a lagrangiana na Eq. (1.43) esquematicamente como
LNJL=L0+L(4), (1.44)
onde o primeiro termo da Eq. (1.43), denotado por L0, descreve a propagação livre dos campos ferniônicos que descrevem os quarks, enquanto que L(4) denota o termo de iteração de quatro férmions (segundo termo), que podemos escrever como L(4)= G S � n={1,5} ( ¯ψΓnψ)2, (1.45)
onde fica mais claro o caráter tensorial dos termos ( ¯ψΓnψ)2= ( ¯ψΓnψ)( ¯ψΓnψ), sendo que Γn ≡ Γµa,bsão matrizes formadas pelo produto tensorial de matrizes em três espaços diferentes: espaço de cor, espaço do sabor, e espaço de Dirac. Os índices a, b e µ em Γncorrem nestes três espaços respectivamente mas são omitidos em nossa notação. Especificamente
Γ1=1c⊗ 1f⊗ 1D, e Γ5=1c⊗ τa⊗ (iγ5). (1.46) Estabelecer isto claramente nos permite escrever a regra de Feynman para o vértice de interação como
= iG = 2iGS � n={1,5}
Γn⊗ Γn, (1.47)
enquanto que a livre propagação dos quarks descrita pelo termo livre, L0, tem a regra de Feynman par a sua representação no espaço dos momentos dada por = iS0(p) = i / p− m + i�= i / p + m p2− m2+ i�, (1.48)
que é definido em termos da massa nua dos quarks, m.
Como comentado acima, devido à quebra espontânea da simetria quiral, a massa nua dos quarks fica vestida pela interação com o condensado, de modo que a massa observada não é m senão a massa efetiva M. A propagação no condensado fica então descrita pelo propagador vestido iS, que no espaço dos momentos representaremos como
= iS(p) = i / p− M + i� = i / p + M p2− M2+ i�. (1.49)
1.3.2 Determinação da massa efetiva: a equação de gap
Uma primeira aplicação do modelo NJL consite determinação da massa efe-tiva dos quarks. De acordo com a equação de Dyson, M está relacionada à autoenergia e pode ser inferida da série= + + + . . .
= .
(1.50)
Onde temos representado a autoenergia pelo simbolo −iΣ = . Quer dizer que
iS(p) = iS0(p) + iS0(p)(−iΣ)iS0(p)
+ iS0(p)(−iΣ)iS0(p)(−iΣ)iS0(p) +· · · iS(p) = iS0(p) + iS0(p)(−iΣ)iS(p),
(1.51) ao multiplicar pela esquerda por S−
0(p) = /p− m e pela direita por S−(p) = /
p− M obteremos
iS0−(p) = iS−(p) + iΣ (1.52) ou
i(/p− m) = i(/p − M) + iΣ, (1.53) então
M = m + Σ. (1.54)
Esta equação é chamada, por razões históricas provenientes da analogia com a teoria de supercondutividade, de equação de gap.