CALCULO 1 DERIVADA PARTE II E III

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A

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I

NTEGRAL

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E

RON

SALVADOR –BA

P

ARTE

II

Aprender

é a única coisa de que a mente nunca se cansa, não tem medo e nunca se arrepende.

Leonardo Da Vinci (1452-1519)

SUMÁRIO

Derivada – um pouco de história Derivada de uma função num ponto Derivadas laterais

Função derivada – derivada das funções elementares Teorema sobre derivada e continuidade

Propriedades das derivadas

Regras de derivação – multiplicação por escalar, adição/subtração Regra do produto

Regra do quociente (aplicações: derivada da tangente, cotangente, secante, cossecante, etc). Regra da cadeia e suas aplicações

Derivadas sucessivas Derivada da função inversa

Derivada das funções trigonométricas inversa Derivada de uma função na forma implícita Derivada de uma função na forma paramétrica Exercícios de Fixação

Tabela de derivadas Resposta dos exercícios

DERIVADA – UM POUCO DE HISTÓRIA

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287-212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262-190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384-322 a.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295-1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática ...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século XVII como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601-1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn,

onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

René Descartes (1596-1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral

da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer. Descartes criou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615-1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601-1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622-1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602-1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642-1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximus and minimus, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.

Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888-1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos

e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.

O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the

Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento

de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661-1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli (1667-1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Estes problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do

cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710-1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685-1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os "incrementos imperceptíveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698-1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718-1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo

Analytical Institutions (Instituições Analíticas, 1748). Leonhard Euler (1707-1783) deu um passo

importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to

the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no

lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo

análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial, 1755), Euler definiu a derivada como "o

método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções", que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) afirmou que a "definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.

No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas, 1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789-1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons

given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola

Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal, 1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo.

PARTE II–DERIVADAS

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO. Definição. Seja f I: → \ onde I ⊆ \ é um conjunto aberto e x₀∈ . A derivada de f no ponto I x é dada por ₀

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x → − ′ = −

quando este limite existe (este limite deve ser um número).

OBSERVAÇÕES:

1) Tradicionalmente, também se utiliza a notação 0 0

0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x Δ → + Δ − ′ = Δ , ou então 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h → + − ′ = .

2) Várias notações são utilizadas para indicar a derivada (ou derivada primeira) em relação à variável x de uma função de x num certo ponto x . Assim, ₀

0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) df ( ) dy( ) _x ( ) f x y x f x y x x x D f x dx dx ′ = ′ =  =  = = = , ou ainda, 0 0 0 x x x x _x x x df dy D f dx ₌ =dx ₌ = =

3) Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) num conjunto I ⊆ \ quando tem

derivada em todo ponto de I .

Exemplos

a) Obtenha a derivada de f x( )=3x− no ponto 5 x₀ = − . 1 b) Dada g t( )= +t2 t, determine g′(3) .

c) Verifique a existência de f ′(0) quando f x( )= x .

Exercícios

1 – Utilize a definição de derivada num ponto para determinar o que se pede. a) Considere ( )F x = − + , determine o valor (5)3x 10 F′ .

b) Calcular o valor de dg( )a

dt , a∈ \ uma constante, sabendo que

2

( ) 3 g t = − t +t.

d) Verifique dy(0)

dx quando y = x.

2 – Mostre que a função

1 sen se 0 ( ) 0 se 0 x x f x x x ⎧ _⋅ ⎛ ⎞ _≠ ⎪ ⎜ ⎟ =⎨ ⎝ ⎠ ⎪ ₌ ⎩ não é derivável em x=0.

DERIVADAS LATERAIS.Seja f uma função definida num intervalo do tipo [x a (respect. ₀, [ ] ,a x₀]),

f é derivável à direita (respect. à esquerda) em x se existir ₀

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x + ₊ → − ′ = − (respectivamente, 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x − ₋ → − ′ = − )

Teorema de existência da derivada.Considere f I: → \ , I ⊆ \ e x₀∈ . f é derivável em I x se, ₀ e somente se, existem as derivadas laterais f₊′(x₀), f₋′(x₀) e f₊′(x₀)= f₋′(x₀). Neste caso,

0 0 0

( ) ( ) ( )

f x′ = f₊′ x = f₋′ x .

Demonstração. É imediato verificar isto pelo Teorema de existência do limite.

,

Exemplos:

a) f x( )= x em x₀ = . b) 0 g u( )=3u em u₀ = c) 0 ...

Teorema.Se uma função f I: → \ é derivável em x₀∈ então f é contínua em I x . ₀

Demonstração. Sendo f derivável em x₀∈ , existe I

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x → − ′ = − . Assim,

[

]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( ) 0

x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x → → → → ⎡ − ⎤ − − = _⎢ − _⎥= − = − − ⎣ ⎦ . Ou seja,

[

]

0 0 0 0 lim ( ) ( ) 0 lim ( ) ( ) x→x f x − f x = ⇒ x→x f x = f x .

,

Exemplos: Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados através da derivada.

FUNÇÃO DERIVADA.Seja f I: → \ , onde I ⊆ \ , uma função y= f x( ). Se para cada valor de x∈I podemos calcular a derivada de f em x, temos a função derivada de f em I : y′= f x′( ). Podemos, assim, exibir uma tabela que nos dá a função derivada de algumas funções elementares.

Derivada da função constante: f(x) = k , k∈ \. A derivada desta função num ponto qualquer x é ₀

dada por 0 0 0 0 0 0 ( ) lim lim 0 x x x x k k f x x x x x → → − ′ = = =

− − , o que significa que a derivada de uma função constante num ponto qualquer x é nula. Logo, se ( )₀ f x = então '( ) 0k f x = .

Exemplos: a) ( )f x = − 2 b) 6 5

y= c) y= 0, 7

Derivada da função potência: f(x) = x com n n∈ `.

(

0

)

(

0 0 0 0

)

0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 2 2 1 1 ( ) lim lim n n n n n n n n x x x x x x x x x x x xx x x x f x nx x x x x − − − − − − → → − + + + + + − ′ = = = − − " .

Portanto, se f x( )=xn então f x′( )=nxn−1. Veremos depois que este resultado se generaliza para n∈ \.

Exemplos: a) f x( )=x3 b) z y( )= y32 c) y= x d) u t( ) 1₅ t

= e) g x( )= 4 x3

Derivada da função exponencial ax. Considere ( )f x =ax, 0< ≠a 1. Então

(

)

0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) lim lim ln h x x x x x x h a a a a f x a a x x h → → − − ′ = = = −

Portanto, se ( )f x =ax temos f x′( )=axlna. Disso, sabemos que se y=ex temos y′ = . ex

Exemplos: a) y=2x b) 4 5

u

z= ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

Derivada da função logaritmo:

a x f(x) = log , 0< ≠a 1.

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 log log _{1 1}

( ) lim lim lim

ln 1 1 h h a a x x h h x x h h f x x x x a x a x a → → → − ′ = = = =

− − − , neste limite, usamos a

substituição 0 0 log_a x h x x ah x ⎛ ⎞ = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Portanto, 1 ( ) log ( ) ln a x f x f x x a ′ = ⇒ = .

Derivada função f(x) = senx.

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

sen sen sen( ) sen sen cos sen cos sen

( ) lim lim lim cos

x x h h x x x h x x h h x x f x x x x h h → → → − + − + − ′ = = = = −

Daí, se ( )f x =senx, temos f x′( )=cosx.

Derivada função f(x) = cosx .

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

cos cos cos( ) cos cos cos sen en cos

( ) lim lim lim sen

x x h h x x x h x x h hs x x f x x x x h h → → → − + − − − ′ = = = = − −

Assim sendo, ( )f x =cos x ⇒ ( )f x′ = −senx.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Derivada de uma função multiplicada por uma constante (Regra da multiplicação por escalar)

y

= ⋅

c f x

( )

⇒

'

y

= ⋅

c f x

'( ) , c

∈

R1.

\

Exemplos – Calcular a derivada de:

a) y=5x3 b) f x( )= −8 x c) 7 lny= ⋅ t d) ( )F t = 5 cos( )t

Derivada da soma e subtração de funções (Regra da soma e subtração)

y

=

f x

( )

±

g x

( )

⇒

'

y

=

f x

'( )

±

g x

'( )

R2.

Esta propriedade pode ser aplicada a um número finito de funções deriváveis que se somam ou subtraem. Logo,

y

= ±

f

₁

f

₂

± ±

"

f

_n

⇒

'

y

=

f

₁

′

±

f

₂

′

± ±

"

f

_n

′

Exemplos – Calcular a derivada de:

a) y=x2+2,3x− 1 b) y=4 x3−7x c) f t( )=3logt+4sen( )t − et

Derivada do produto de funções (Regra do produto)

y

=

f x g x

( )

⋅

( )

⇒

'

y

=

f x g x

′

( )

⋅

( )

+

f x g x

( )

⋅

'( )

R3.

a) C= p6⋅ −( 3p+12) b) y= x⋅lnx c) z=(5t3−4 )t2 ⋅ et

Derivada do quociente de funções (Regra do quociente)

[

]

2

( )

( )

( )

( )

'( )

'

( )

_{( )}

f x

f x g x

f x g x

y

y

g x

_{g x}

′

⋅

−

⋅

=

⇒

=

R4.

Exemplos – Calcular a derivada de:

a) 2 1 5 x y x = − b) 3 log 4 q R q = + c) y=tgθ d) cotgy= x e) y=secx

Derivada da composição de funções (Regra da cadeia). Seja

h

= D

f

g

, se g é derivável em x e ₀ f é derivável em g x( ₀) então h é derivável em x e, além disso, ₀

h

'

=

f g x

'( ( ))

₀

⋅

g x

′

( )

₀ .

Demonstração. 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( )) ( )

( )

( )

lim

lim

( )

( )

x x x x

f g x

f g x

f g x

f g x

g x

g x

h x

x

x

x

x

g x

g x

→ →

−

−

−

′

=

=

−

−

−

0 0 0 0 0 0 0 0

( ( ))

( ( ))

( )

( )

lim

lim

( ( ))

( )

( )

( )

x x x x

f g x

f g x

g x

g x

f g x

g x

g x

g x

x

x

→ →

−

−

_′

_′

=

=

⋅

−

−

.

,

Podemos então simplificar esta regra, dizendo que

(

)

y

=

f

g

( )

x

=

f g x

( ( ))

⇒

'

y

=

f g x

'( ( ))

⋅

g x

′

( )

R5.

D

Observação. Uma outra forma de escrevermos a regra da cadeia é a seguinte: Suponha h= f u( ) onde ( )

u=u x então dh df du

dx = du dx⋅ .

Exercícios: 1 – Calcular a derivada de:

a) y= 3x− 1 b) z u( )=ln(u2− 6) c) F t( )=e4t3 d) y=cos tg 3 1, 6⎡_⎣

(

− x

)

⎤_⎦ e) y=sen(x2−2 )x f) 3 4 4 ( ) t t F t ₌e+ _{g) y= − −3 7 cos( 15 )x − x h)}

(

4 3

)

2 sec log 2 y= ⎡_⎢ x − ⎤_⎥ ⎣ ⎦

2 – Mostre que se y=xn com n∈ \ então y'= ⋅n xn−1.

3 – Determine f ′(3), sabendo que f(1 2 )+ x + f(2x2+ =1) 4x2+4x+ , 2 ∀ ∈ \x . 4 – Mostre que: a) Se f é uma função par, então f x′( )= −f′(− . x)

DERIVADA DE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS cosh 2 x x e e y x − +

= = , temos que senh

2 2 x x x x e e e e y x − ′ − ⎛ ₊ ⎞ ₋ ′ =_{⎜⎜ ⎟⎟} = = ⎝ ⎠ senh 2 x x e e y x − −

= = , temos que cosh

2 2 x x x x e e e e y x − ′ − ⎛ − ⎞ + ′ =⎜_⎜ ⎟_⎟ = = ⎝ ⎠

Exercício – Determine a derivada de: a) y=tghx b) cotghy= x c) y=sechx

DERIVADAS SUCESSIVAS.Seja f ′ a derivada de uma função f num intervalo aberto I ⊆ \ . Se f ′ e

derivável em I podemos considerar f a derivada de f ′ em I . Tal função recebe o nome de '' derivada segunda de f em I . De modo análogo podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f em I . Estas derivadas serão indicadas por uma das notações:

f df dy y

dx dx

′= = = ′ - derivada de primeira (ou derivada de primeira ordem).

2 2 (2) 2 2 d f d y f f y dx dx

′′= = = = ′′ - derivada segunda (ou derivada de segunda ordem).

3 3 (3) 3 3 d f d y f f y dx dx

′′′= = = = ′′′ - derivada terceira (ou derivada de terceira ordem).

Assim, temos a generalização dada por

( ) ( ) n n n n n n d f d y f y dx dx

= = = - derivada de ordem n (ou n-ésima derivada) .

Exercícios: 1 – Calcular y′ ′′, y e y′′′ para cada função dada:

a) 7 1, 5 3 y=− x− b) y= p6−2p3 c) y=ln(1 2 )− x d) 1 2 5 n y n − = − e) 2 9 z y= − z ⋅e f) cosh(2 )y= t

2 – Seja y=excosx. Verifique que '' 2 ' 2y − y+ y= . 0

3 – Obtenha o polinômio do 2º. Grau ( )P x tal que (2)P = , '(2) 35 P = e ''(2) 2P = .

4 – Considere y=y x( ), 2 2 0 d y dy y dx dx + + = e (0) 1y = . Obtenha o valor de

( )

3 3 0 d y dx .

5 – Seja ( )g x =xn e 0≤ ≤k n; mostre que ( )( ) !

( )! k n n k g x x n k − = − .

FUNÇÃO INVERSA.Dizemos que uma função y= f x( ) é inversível se existe uma função g tal que

f

D

g

=

g f

D

=

Id

, onde Dom( )f =Im( )g e Dom( )g =Im( )f . Temos o seguinte

f g g f x y x y x y ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ Assim,

(

f

D

g

)

( )

y

=

f g y

(

( )

)

=

f x

( )

=

y

e

(

g f

D

)

( )

x

=

g f x

(

( )

)

=

g y

( )

=

x

. Notação: Indicamos a inversa de uma função f por f−1.

Exemplos: a) ( )f x =ex e f−1( )x =lnx b) g x( )=x2 e g−1( )x = x x y 0 1 1 x y e= ln y= x x y 2 y x= y= x

c) ( )h x =cosx e h−1( )x =arccosx d) F x( )=tgx e F−1( )x =arctgx

x y cos y= x 0 arccos y= x 0 π π 1 1 0 x y 2 π − 2 π 2 π − 2 π tg y= x arctg y= x

TEOREMA (DERIVADA DA INVERSA). Sejam y= f x( ) uma função definida num intervalo ( , )a b e

( )

x=g y sua inversa nesse intervalo. Se existe f x'( )≠ , 0 ∀ ∈x ( , )a b , então g é derivável e, além disso, sua derivada satisfaz à relação '( ) 1

'( ) g y f x = , ou seja,

( )

1 ( ) 1 '( ) f y f x − ′ ₌ .

Demonstração. Da propriedade que envolve uma função e sua inversa temos que

(

1

)

1

(

)

( ) ( )

f− D f x = f− f x =x

Derivando esta igualdade em relação a x e aplicando a regra da cadeia;

(

)

( )

(

)

( )

( )

1 1 1 1 ( ) ( ) ' ( ) '( ) 1 '( ) f f x x f f x f x f y f x − ′ − ′ − ′ ⎡ _{⎤ =} ⇒ ⋅ = ⇒ = ⎣ ⎦ .

,

Exercícios

1 – Seja f x( )=9x3−18x2+12x− . Obtenha 5

( )

f−1 ′ −

( )

5 .

2 – Calcular

( )

f−1 ′

( )

y₀ no ponto em que x₀ = sabendo que ( ) 3 ln(1 2 )0 f x = − + x . 3 – Determine (f−1) '( 2)− , sendo f(x)=−1− x+4, com x∈[−4,+∞[.

Derivada das funções trigonométricas inversas. Por exemplo,

2 1 arccos ' 1 y x y x − = ⇒ = − .

Basta ver que cos 1 ( sen ) 1 sen x y y y y y − ′ ′ = ⇒ = − ⋅ ⇒ = . Observe que 2 2 2 2 2

cos cos 1 sen sen 1

x= y ⇒ x = y ⇒ x = − y ⇒ y= ± −x .

Note que, como 0≤ ≤ temos que seny π y≥ , por isso 0 2 seny= 1−x . Assim, 2 1 ' 1 y x − = − . x y cos y= x 0 arccos y= x 0 π π

Do mesmo modo, podemos determinar que a derivada de y=arctg( )x é dada por

2 1 ' 1 y x = + . x y 2 π 2 π − x y 2 π − 2 π

E assim, também, determinamos as derivadas: 2 1 arcsen ' 1 y x y x = ⇒ = − 2 1 arccotg ' 1 y x y x = ⇒ = − + 2 1 arcsec , 1 ' 1 y x x y x x = ≥ ⇒ = − 2 1 arccos ec , 1 ' 1 y x x y x x = ≥ ⇒ = − −

Exercício – Determinar a derivada de cada uma das funções: a) y arctg 1 x ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ b)

(

)

2 arccos 1 y= −x c) y=arccotg ln

( )

x

EQUAÇÃO DE CURVAS (NA FORMA IMPLÍCITA)

Equações na forma

2 2

2 2 1

x y

a +b = representam curvas (ou lugares geométricos) que chamamos de

elipse. Quando a=b temos x2+y2 =a2 um círculo de centro na origem (0, 0) e raio =a.

x y a a − b b − 0 _x y 0 a − a a a − Elipses: 2 2 2 2 1 x y a +b = Círculos: x2+y2 =a2 Se tivermos 2 2 2 2 1 x y a −b = (ou 2 2 2 2 1 y x

a −b = ) temos uma curva (com dois ramos) chamada Hipérbole.

x y 0 a a − b b −

Observe que não é possível escrever a equação dessas curvas como uma (única) função do tipo ( )

y= f x que forneça a curva completa.

Por exemplo, no círculo x2 +y2 =a2 podemos “isolar” y fazendo y= ± a2−x2 mas assim, temos a curva em duas partes y= a2−x2 e y= − a2−x2 .

2 2 y= a −x y= − a2−x2 x y 0 a − a a x y 0 a − a a −

Poderíamos, também, ter “isolado” x como uma função de y : ( )x= f y . Assim, x= ± a2−y2 . Daí,

2 2

x y 0 a a − a x y 0 a − a − a

Abaixo, temos alguns exemplos de curvas, consideradas famosas, que tem equações dadas na forma implícita: x y 3 3 Fólium de Descartes x +y =4xy x y

(

_{2 2}

)

2 _{2 2} Cardióide x + +y x = +x y x y

(

_{2 2}

)

2 _{2 2} Lemniscata de Bernoulli x +y = −x y x y 2 2 3 3 Astróide 1 x +y =

DERIVADA IMPLÍCITA.Uma função y= f x( ) está escrita na forma explícita, se escrevemos a mesma

função como uma expressão ( , )F x y =F x f x( , ( ))= , dizemos que a função está na forma implícita. 0 Exemplos:

a) y=2+x2 (forma explícita) ⇒ y−2+x2 =0 (forma implícita). b) 4x2+ y2 = (forma implícita) ⇒ y=± 4−x2 (forma explícita).

c) xy2 + x −cosy=0 (forma implícita) não há como explicitar (isolar) y nem x.

Admitindo que a função y= f x( ) definida implicitamente pela equação F x y( , )=F x f x( , ( ))= seja 0 derivável, podemos calcular a derivada 'y dy

dx

= sem ser necessário resolver primeiro a equação ( , ) 0

F x y = para y . O processo consiste em utilizar a regra da cadeia para derivar ambos os lados

como uma função de x. Resolvemos, então, a equação resultante em relação à derivada 'y dy dx

= . Este processo é chamado de derivação implícita.

Exercícios: 1) Determine o que se pede em cada caso:

a) Considere y− x2 3 =1. Determinar a derivada 'y no ponto onde y= . 0

b) ey+x2 = −6y ⇒ ey⋅ +y' 2x= −6 'y ⇒ ' 2 6 y x y e = − .

Observação: neste caso, para determinar um valor numérico de y precisamos de dois valores: ' x e y .

c) uz2+ u−cos(uz)=0 ; z=z u( ). d) 2 3 3ln( )v v arctg +1t t − + = , onde v=v t( ).

2) Mostre que se ax2+2bxy+cy2+2gx+2fy+ = , onde , , , , , h 0 a b c f g h∈ \ são constantes,

tem-se: a) dy ax by g dx bx cy f + + = + + b)

(

)

2 2 2 d y A dx bx cy f =

+ + , onde A é uma constante que não depende de x e y .

Derivadas de ordem superior na forma implícita. O método descrito para determinar a derivada de 1ª. ordem de uma função na forma implícita também se aplica para o cálculo de derivadas de ordem superior de funções definidas implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da função y= f x( ) definida implicitamente.

Exemplos – Determinar a derivada de 2ª. ordem em cada caso: a) x3+y3=4xy b) ey+x2 = −6y

EQUAÇÃO DE CURVAS NA FORMA PARAMÉTRICA. Consideremos o sistema de equações ( ) : ; ( ) x u t S t I y v t = ⎧ ∈ ⊆ ⎨ =

⎩ \ . A variável t é chamado de parâmetro e cada valor de t está associado um único valor de x e um único valor de y , ou seja, a cada valor de t está associado um único ponto

( )

x y, do plano. Assim, quando t varia em I⊆ \ os pontos obtidos descrevem uma curva do plano. O sistema : ( ) ( ) x u t S y v t = ⎧ ⎨ =

⎩ é então chamado de sistema de equações paramétricas da curva S quando t∈I. Às vezes é possível obter uma relação y= f x( ) a partir das equações do sistema, mas nem sempre isto é fácil ou possível.

Segmento de reta : ;

[

2,1

]

1 2 x t S t y t = ⎧ ∈ − ⎨ = − ⎩ .

Observe que, do sistema de equações acima, temos: 1 2 y= − x com − ≤ ≤2 x 1. x y Arco de parábola : ₂ ; ( 1, 2] 1 x t C t y t = ⎧⎪ _{∈ −} ⎨ = + ⎪⎩ .

Esse arco pode ser dado pela seguinte equação: 2 1 ; 1 2 y=x + − < ≤ . x x y 1 − 0 2 5 2

As curvas “clássicas” da geometria analítica também podem ser postas em equações paramétricas: Círculo: 2 2 2 cos ; 0 2 sen x a t x y a t y a t π = ⎧ + = ⇒ _{⎨ =} ≤ < ⎩ . Elipse: 2 2 2 2 cos 1 ; 0 2 sen x a t x y t y b t a b π = ⎧ + = ⇒ _{⎨ =} ≤ < ⎩ . Hipérbole:

[

)

2 2 2 2 sec 3 1 ; 0, 2 , tg 2 2 x a t x y t y b t a b π π π = ⎧ ⎧ ⎫ − = ⇒ _⎨ ∈ −_{⎨ ⎬} = ⎩ ⎭ ⎩ .

Outras, como por exemplo, a Astróide:

[

]

3 3 cos ( ) ; 0, 2 sen ( ) x t t y t π ⎧ = ⎪ _∈ ⎨ = ⎪⎩ .

E ainda, curvas “artísticas” como abaixo. Note que estas curvas dificilmente poderiam ter suas equações escritas na forma “cartesiana”.

1 31 31cos 7 cos 7 : ; 0 14 31 31sen 7sen 7 x t t C t x t t π ⎧ _{= −} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ _{≤ ≤} ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = − _{⎜ ⎟} ⎪ _{⎝ ⎠} ⎩

( )

( )

2 1 1

cos cos 7 sen(17 )

2 3

: ; 5 5

1 1

sen sen 7 cos(17 )

2 3 x t t t C t x t t t ⎧ = + + ⎪⎪ _{− ≤ ≤} ⎨ ⎪ = + + ⎪⎩ x y x y

DERIVADA PARAMÉTRICA.Considere um sistema de equações paramétricas : ( ) ; ( ) x u t S t I y v t = ⎧ ∈ ⊆ ⎨ = ⎩ \ .

Queremos estabelecer uma regra para determinar y dy dx

′ = utilizando S.

Suponhamos que x=u t( ) seja uma função inversível em I . Então, t=u−1( )x . Temos o seguinte:

(

)

1 1

( ) ( )

y=v u⎡_⎣ − x ⎤_⎦= v uD − x . Pela regra da cadeia e derivada da inversa,

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) v t y v u x u x u t − − ′ ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′= ′_{⎣ ⎦ ⎣}⋅ _⎦ = ′ . Assim, dy dt dx dt dy dx = .

Exemplos – Suponha que, para sistema de equações implícitas, exista uma relação y= f x( ). Determine y dy dx ′ = em cada caso: a) sen ; , sen(2 ) 2 2 x t t y t π π = ⎧ _{∈ −}⎡ ⎤ ⎨ _{= ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎩ , no ponto t 6 π = . b)

( )

( )

1 2 1 2 2 6 1 ; 0 1 6 1 x t t t y t t − − ⎧ = + ⎪ _{≤ ≤} ⎨ ⎪ = + ⎩ , no ponto de abscissa 12 5 .

Derivada de ordem superior na forma paramétrica. Considere um sistema de equações paramétricas : ( ) ; ( ) x u t S t I y v t = ⎧ _{∈ ⊆} ⎨ =

⎩ \ . Queremos estabelecer uma regra para determinar

2 2 d y y dx ′′ = .

Supomos, mais uma vez, que t=u−1( )x . Já sabemos que '

dy dt dx dt dy y dx = = . Assim, 2 2 '' dy dy dt dt dx dx dt dt d y d d dt y dx dt dx dx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (*)

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 dy_dt dx dt d y d x d dy _dx d _dx dy _dx dy dt dt dt dt dt dt d _{dt dt dt dt} dt _{dx dx} dt dt ⋅ − ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⎜ _{⎟ = =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e dt 1 dx dx dt = .

Substituindo essas duas igualdades em (*), temos:

( )

( )

2 2 2 _{2 2} 2 2 3 1 '' ' '' ' ' d y _dx d x dy dt dt d y _{dt dt} v u u v dx dx dx u dt _dt ⋅ − ⋅ _{⋅ − ⋅} = ⋅ = .

,

Da mesma forma, podemos obter as derivadas:

3 4

3 , , 4 ... d y d y

Exemplos – Determinar a derivada paramétrica de segunda ordem em cada caso: a) sen 2 ; 0 ln x t t t y t t π ⎧ _{= +} ⎛ ⎞ ⎪ ⎜_⎝ ⎟_{⎠ >} ⎨ ⎪ = + ⎩ , no ponto em que t=8. b)

( )

₂ arctg ln 1 x t y t = ⎧⎪ ⎨ = + ⎪⎩ no ponto de ordenada 0.

Curvas de Lissajous. Em meados de 1850, o físico francês Jules Antoine Lissajous (1822-1880) ficou interessado em equações paramétricas da forma: cos( )

sen( ) x at y at = ⎧ ⎨ =

⎩ . Ao estudar vibrações que combinam dois movimentos senoidais perpendiculares. A primeira equação descreve uma oscilação senoidal na direção x com freqüência a/ 2π , enquanto que a segunda na direção y, com freqüência b/ 2π . Se

/

a b for um número racional, então o efeito combinado das oscilações é um movimento periódico chamado curva de Lissajous.

cos( ) sen( ) x at y at = ⎧ ⎨ = ⎩ x y 1, 2 a= b= x y 3, 4 a= b=

Ciclóide. A ciclóide é de interesse por fornecer a solução de dois problemas famosos em matemática – o problema da braquistócrona (em grego significa o “menor tempo”) e o problema tautócrono (em grego significa “tempos iguais”). O problema da braquistócrona consiste em determinar a forma de um fio ao longo do qual uma conta pode deslizar de um ponto P a Q, não diretamente abaixo, no menor tempo. O problema tautócrono consiste em determinar a forma de um fio ligando P a Q de tal forma que uma conta chega a Q num mesmo intervalo de tempo, qualquer que seja o ponto de partida entre P e Q. A solução de ambos os problemas vem a ser uma ciclóide invertida.

sen cos x a a y a a θ θ θ = + ⎧ ⎨ = − ⎩ x y aπ 0 a

Em junho de 1696, Johann Bernoulli propôs o problema da braquistócrona na forma de desafio para outros matemáticos. A princípio, alguém poderia conjecturar que a forma do fio deveria ser o de uma linha reta, uma vez que esta forma resulta na menor distância de P a Q. Porém, a ciclóide invertida permite que a conta caia mais rapidamente no começo, adquirindo velocidade inicial suficiente para atingir Q no menor tempo, mesmo que percorrendo uma distância maior. O problema foi resolvido por Newton, Leibniz, Johann e Jacob Bernoulli. Este problema foi formulado incorretamente anos antes por Galileu, que pensou a resposta ser um arco de círculo.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO –DERIVADAS

1. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x e, em caso afirmativo, ₀

determine f '

( )

x₀ : a) f x

( )

=3x+5

(

x_o =2

)

b) f x

( )

=x2+3

(

x_o =4

)

c) f x

( )

=3 x

(

x_o =0

)

d) f x

( )

=2x3+2

(

x_o =2

)

e) f x

( )

=x x 2

(

x_o =0

)

f)

( )

3 , 2

(

₀ 2

)

8, 2 x x f x x x x − ≤ ⎧ =_{⎨ −} = > ⎩

2. Seja f x

( )

=x−2, x≠ . Usando a definição, mostre 0 f′

( )

x₀ = −2x₀−3, ondex₀∈ \*. 3. Esboce o gráfico de f sabendo que f é dada pelo gráfico: '

a) b)

Obs: No intervalo

[

−2, 2 , ( )

]

f x =x2. 4. Determine a constante a de modo que f ' 1

( )

= −9, sendo f x

( )

=ax2+ + . x 1

5. Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir: a) y=2x4−3x2+ − x 3 b) 2 2

(

1

)

3 x y= − c) 3 2

( )

3 2 3 4 y x x x x = + + d) 5 7 x y x + = − e) ₃5 5 3 6 1 y x x − = + − f)

(

)

2 3 1 3 2 1 y=x x −

6. Considere y= x3−x2 +3, determine todos os valores de x que anulam a derivada de y. 7. Calcule a derivada das funções abaixo:

a) f x

( )

=

(

2x3+5x−8

)

3 f)

(

)

2 3 6 7 ( ) 2 x x f x = e + + k) f x

( )

=2sen

( )

x2 ⋅cos

(

x+ 1

)

b) 4 3 3 ( ) 2 5 x f x x − ⎛ ⎞ = ⎜_{⎝ +} ⎟_⎠ g)

( )

(

)

3 5 2 x f x = − l) f x

( )

=sen3x c) f x

( )

=

(

5x3+2x

) (

3⋅ −x x2

)

2 h) f x

( )

=

(

x3−5x

)

e x m) f x

( )

=tg 5

(

x−9 cotg

)

( )

x3

8. Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f '

( )

x₀ : a) f x

( )

=sen

( )

ex , x_o = 1 b) f x

( )

=e−xcos 3

( )

x , x_o = 0 _c)

_{( )}

( )

( )

0 2 sen 3 3 , 0 3 2 cos 2 x f x x x + = = + d) f x

( )

= 1+ x, x_o=4 _e)

_{( )}

2 2 3 tan , _o 0 x x x f x x e ⎛ + ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ = ⎝ ⎠ f)

( )

3 3 3 3 2 2 , 0 2 2 x x o x x f x x − − − = = +

9. Determine a função g sabendo que

(

f Dg

) ( )

′ x =16x+12, f x

( )

=2x2+2 e g x′

( )

=2.

10. Determine f '

( )

−3 , sabendo que f e g são deriváveis, e que f x

( )

=x2− 1−g2

( )

x e

( )

1 1 x g x x + = − .

11. Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada: a) f ′(0) sabendo que f

(

tgx− 3

)

− f

(

4π−3x

)

=cosx.

b) (0)f ′ , sendo x f⋅ (8−x)= f x( 2−9x+ +8) 3 x2 e (0) 8 3 f = − . c) (1)f ′ , sendo ( ) 2 cos , 1,1

[

]

2 x f x =g⎛_⎜ − ⎛_⎜π ⎞_⎟⎞_⎟ ∀ ∈ −x ⎝ ⎠

⎝ ⎠ , com g:\→\ uma função derivável e (2) 1

g′ = .

d) (0),w′ sendo u x( )=v w x

(

( ) , (0)

)

w =0, (0)v′ = −3 e (0)u′ = 2. 12. Calcule a derivada das funções abaixo:

a) y=log( )₂5x b) y=ln 3

(

x4+2x2+ 1

)

c) y=ex⋅lnx d) sen 2

( )

₂ ln x y x = e)

(

)

5 tg 2 ln x x y x − = f) y=2 cos 5

( ) ( )

x ⋅ln 3x

13. Determine

( )

f−1 ′( )y nos pontos indicados, nos casos a seguir:

a) f x

( )

=x2+4x−2, x∈ − +∞

[

2,

[

; y=10 b)

( )

3 2 ; 2 2 x f x y x − = = + c) f x

( )

= +3 cos(2 ) , 0x ≤ ≤x π 2 ; y=3 d)

( )

sen ln

( )

, 2 2 ; 2 2 f x = x e−π ≤ ≤x eπ y=

14. Determine o que se pede em cada caso:

a) Encontre

( )

f−1 ′( )y , sendo ( ) sen(2 ) , ,

2 cos(2 ) 4 4 x f x x x π π ⎡ ⎤ = ∈ −_{⎢ ⎥} + ⎣ ⎦ .

b) Calcule g′

(

f(1)

)

, sendo f x( )=x2− e g a inversa de f . 2x

c) Determine a derivada da função f−1 no ponto de abscissa 5, sabendo que Dom( )f = −∞ −

(

, 1

)

e f

está definida pela equação f x( )=x3−4x+ . 5

d) Determine

( )

f−1 ′(1), sendo f x( )=e(x+2) /x2.

15. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

a) y=3x4−2x−9, n= b) 4 y=ax3+bx2+cx+d , n= 3 _c) 1 _{, 3} 1 y n x = = − d) y=sen

(

−5x

)

, n=5 _e)

(

2

)

ln 1 , 2 y= −x n= f) y=e2x+1, n= 3

16. Encontre a derivada de ordem 100 das funções:

a) seny= x b) y=cosx

17. Mostre que a derivada de ordem n da função y 1 x = é dada por ( )

( )

1 ₁ ! n n n n y x + − = .

Obs.: Suponha n∈ ` então o fatorial de n é definido por n! 1 2 3 4= ⋅ ⋅ ⋅ "n, onde 0! 1= e 1! 1= .

18. Mostre que a n-ézima derivada da função y=eax é y( )n =an axe , onde a é constante diferente

de zero.

19. Sejam f x( ) e g x funções deriváveis até 3( ) a ordem. Mostre que:

a)

(

f g⋅

)

''= ⋅g f '' 2 ' '+ f g + ⋅f g'' b)

(

f g⋅

)

'''= ⋅g f ''' 3 ''+ f ⋅ +g' 3 'f g⋅ + ⋅'' f g'''

20. Mostre que x= ⋅A cos

(

ω αt+

)

, onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação x''+ω2x=0. 21. Mostre que a função y=ex+2e2x satisfaz a equação diferencial y′′′−6y′′+11y′=6y.

22. Determine a derivada y das curvas dadas implicitamente por: '

a) x2+y2 = b) 4 xy2+2y3 = −x 2y c) x y2 2+xseny= 0 d) 3exy = + − x y _e) 3 0 x y y x y − − = + f) tgy=xy− 1

23. Para cada um dos seguintes itens, determine a derivada indicada: a)

dx dy

, sendo y= f(x) dada implicitamente pela equação xey−ln(y+ = . 1) 3

b)

dy dx

, sendo x= f(y) dada implicitamente pela equação x3+xy+y3 = . 3

c)

dx dy

, sabendo que x2+ seny−y2=1.

d) y ′ , sendo (0, 0)_P P e y= f x( ) uma função que satisfaz a equação: arccos(3 ) ln(1 2 )x + − x + ⋅x tany+sen(y−x)= . 0 24. Determine: a) dy dx em função de t e 2 2 d y dx para t = 0, quando sen cos x t t y t t = + ⎧ ⎨ = − ⎩ , t 2 2, π π ⎤ ⎡ ∈ −_{⎥ ⎢} ⎦ ⎣. b) 2 2 dx y d , sendo 3 t t x y e e − ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ . c) 2 2 dx y d

, dadas equações cos sen t t x t y t e e − − ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ , t∈ \.

25. Verifique se as seguintes funções, dadas na forma paramétrica, satisfazem as equações diferenciais indicadas: a) y= f(x), sendo sec ln(cos ) x t y t = ⎧ ⎨ = ⎩ , t 2 2, π π ⎤ ⎡ ∈ −_{⎥ ⎢} ⎦ ⎣ ; 2 2 2 1 y d y dy x dx dx e ⎛ ⎞ −_{⎜ ⎟} + = ⎝ ⎠ . b) y= f(x), sendo 2 arcsen 1 x t y t = ⎧⎪ ⎨ = − ⎪⎩ , t∈ −

[

1,1

]

; 2 2 senxd y ydy 0 dx dx − = .

Tabela de derivadas

Nesta tabela, f e g são funções deriváveis de x. c, α e a são constantes reais.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

_{( )}

( )

( ) (

)

2 1 1 ' 0 2 ' 1 3 . ' . ' 4 ' ' ' 5 . ' '. . ' '. . ' 6 ' 7 , 0 ' . . ' 8 , 0 e 1 ' .ln . ' 9 ' . ' ' 10 log , 0 ' .ln 11 ln , 0 ' f f f f f a y c y y x y y c f y c f y f g y f g y f g y f g f g f f g f g y y g g y f y f f y a a a y a a f y e y e f f y f y f a y f f y α _{α α} α− = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ± ⇒ = ± = ⇒ = + − = ⇒ = = ≠ ⇒ = = > ≠ ⇒ = = ⇒ = = > ⇒ = = > ⇒ =

( )

( ) (

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 ' 12 ' . . ' .ln . ', 13 sen ' cos . ' 14 cos ' sen . ' 15 tg ' sec . ' g g g f f y f y g f f f f g f y f y f f y f y f f y f y f f − = ⇒ = + = ⇒ = = ⇒ = − = ⇒ =

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 16 cotg ' cosec . ' 17 sec ' sec .tg . '

18 cosec ' cosec .cotg . '

' 19 arcsen ' 1 ' 20 arccos ' 1 ' 21 arctg ' 1 ' 22 arccotg ' 1 ' 23 arcsec , 1 ' , 1 y f y f f y f y f f f y f y f f f f y f y f f y f y f f y f y f f y f y f f y f f y f f f = ⇒ = − = ⇒ = = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − − = ⇒ = + = ⇒ = − + = ≥ ⇒ = > −

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 ' 24 arccosec , 1 ' , 1 25 senh ' cosh . ' 26 cosh ' senh . ' 27 tgh ' sech . ' 28 cotgh ' sech . ' 29 sech ' sech . . ' 30 cosech ' sech . tgh f y f f y f f y f y f f y f y f f y f y f f y f y co f f y f y f tgh f f y f y co f co f = ≥ ⇒ = − − = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = −

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. a) 3 b) 8 c) não existe (+ ∞ ). d) 24 e) 0 f) não existe (derivadas laterais distintas) 3. a) b) 4. a=−5 5. a) y'=8x3−6x+1 b) ' 4 3 y = c)

( )

3 3 2 2 2 3 3 10 4 3 x x x ' y =− + − d)

(

)

2 7 12 − − = x ' y _e)

(

)

2 2 2 3 90 ' 15 6 1 x y x x = + − f) 3 3 2 2 x ' y = − 6. 0,2 3 x= 7. a) f'

( )

x =3

(

2x3 +5x−8

) (

2 6x2 +5

)

_b)

( )

(

)

(

)

5 3 5 x 2 3 x 3 84 x ' f + − = c) f'

( )

x =

(

5x3 +2x

) (

2 x−x2

)(

−65x4 +55x3 −14x2 +10x

)

_d)

( )

(

)

1 x 5 x 3 2 25 x 60 x ' f 4 3 + + + = e)

( ) (

) (

)

(

)

3 2 x 3 5 x 6 12 3 x 2 x ' f − − − = f)

( ) (

)

(3x2 6x7) e 12 x 12 x ' f = + + + g) f'

( )

x =2(5−x3)ln

( )

2

(

−3x2

)

h)

( )

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = 3x 5 x 2 x 5 x e x ' f 2 3 x

i) f'

( )

x =3cos

( )

x esen( )x j) f'

( )

x =−exsen

(

ex +1

)

k) f'

( )

x =4xcos

( )

x2 cos

(

x+1

)

−2sen

( )

x2 sen

(

x+1

)

l) f'

( )

x =3sen2

( ) ( )

x cos x

m) f'

( )

x =5sec2

(

5x−9

)

cotg

( )

x3 −3x2tg

(

5x−9

)

cosec2

( )

x3 n) f'

( )

x =0 8. a)ecos

( )

e b)−1 c)6 5 d)1

( )

8 3 e)3 f)3ln

( )

2 9.

( )

2 3 x 2 x g = + . 10.

(

)

24 3 144+ − . 11. a) 14 3 ) 0 ( ' = f b) 5 1 ) 0 ( ' =− f c) 2 ) 1 ( ' f = d) π 3 2 ) 0 ( ' =− w . 12. a)

_{( )}

2 ln x 1 ' y = _b) 1 x 2 x 3 x 4 x 12 ' y _{4 2} 3 + + + = c) y'=

(

1+ln

( )

x

)

exln( )x

d)

( )

( )

₂

_{( )}

₂

( )

2 x ln x x 2 sen 2 x ln x 2 cos x 2 ' y = − e)

(

) (

)

( )

(

)

( )

x ln x x 2 x tg x ln x 2 x sec x 2 x 5 ' y ₂ 5 5 2 5 − − − − = f)

( ) ( )

( )

x x 5 cos 2 x 3 ln x 5 sen 10 ' y =− + g)

( )

1 e 2 e ' f = − h)

( )

(

)

e 16 4 2 3 e ' f = − π+ 13. a)18 b)8 c)−1 2 d) 2.eπ4 e)-e.

(

7+3e

)

-1 f)1 2 14. a) ] 1 ) 2 ( cos 2 [ 2 )] 2 ( cos 2 [ )) ( ( )' ( 2 1 + + = − x x x f f . b) 3 ln 2 1 ) 0 ( ' 1 ) 1 ( )' ( 1 = = = − f f a_t ; 3 ) 2 ( 2 1 8 2 3 3 ln 2 4 1 )) ( ( )' ( x x x x f f x arctg _{+ +} + = − . c) ) 2 ln 1 ( 2 1 )) 1 ( ( ' − = f g ; 2 ln 2 2 1 )) ( ( ' x x x f g − = . d) 8 1 ) 2 ( ' 1 ) 5 ( )' ( 1 = − = − f f ; 4 3 1 )) ( ( )' ( 2 1 − = − x x f f . 15. a) y( )4 =72 b) '''y =6a c) y'''=6 1

(

−x

)

−4 d) y( )5 = −

( )

5 5cos

(

−5x

)

e)

(

)

2 2 2 2 2 '' 1 x y x − − = − f) y'''=8e(2x+1) 16. a) _{( )}( ) 100 sen x y = x b) _{( )}( ) 100 cos x y = x 17) 18) 19) 20) 21) 22. a) y'=−xy−1 b) 2 y 6 xy 2 y 1 ' y ₂ 2 + + − = c)

( )

_{( )}

y cos x y x 2 y sen xy 2 ' y ₂ 2 + − − = d) _xy xy xe 1 1 ye ' y − − = e)

(

x y

)

2x y 3 y 2 ' y ₂ 2 + + = f)

( )

y x sec y ' y ₂ − = 23. a) y y e x y e y dx dy ) 1 ( 1 ) 1 ( + − + = b) 2 2 3 3 x y y x dy dx + + − = c) y y y y x dx dy cos sen 4 sen 4 − = d) 'y _P = 5 24. a) 3 2 2 ) 0 ( 2 2 ) cos 1 ( sen cos 1 ; cos 1 sen 1 ; 4 1 t t t dx y d t t dx dy dx y d t + + + = + + = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = . b) 12 5; 3 4. 2 2 t t e dx dy e dx y d − = = c) 3 2 2 ) cos (sen 2 t t e dx y d t + − = ; t t t t dx dy cos sen cos sen + − = . 25. a) t dx dy cos − = ; t dx y d 2 2 2 cos

= ; satisfaz. ( Lembre que e y=eln(cos(t)) =cos(t)).

b) t dx dy − = ; 1 2 2 2 t dx y d − − = ; satisfaz.

P

ARTE

III