Concreto Armado II

Apostila

CONCRETO ARMADO II

De acordo com a NBR 6118/2014

Prof. Clauderson Basileu Carvalho

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SUMÁRIO

1. PILARES ... 3

2.TORÇÃO ... 26

3. PUNÇÃO ... 35

4. LAJES NERVURADAS... 50

5. LAJES LISAS E LAJES COGUMELOS ... 63

6. ESCADAS E CAIXAS D’ÁGUA ... 70

7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS ... 82

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 88

1. PILARES

1.1. INTRODUÇÃO

De acordo com a NBR 6118/2014 o conceito de pilar seria:

Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. Contudo, devido a excentricidades acidentais, efeitos de segunda ordem (análise p-delta) e não conformidades geométricas (desalinhamento ou desaprumo); bem como as próprias flexões provocadas pelas vigas, as solicitações associadas à flexão são extremamente importantes, e não podem ser negligenciadas. Além disso, e até pela definição estabelecida pela teoria das estruturas; esforços cisalhantes, cortantes ou tangenciais também devem ser avaliados nos dimensionamentos desses elementos, com a presença destes momentos.

Na engenharia estrutural clássica os pilares em concreto armado devem ser verificados, além da capacidade resistente em relação aos esforços solicitantes (flexão, cisalhamento e esforços axiais), o comportamento com relação à instabilidade estrutural, mais precisamente às questões referentes à flambagem – fenômeno estudado em resistência dos materiais, que indica a aplicação de uma carga inferior à carga de colapso, e que leva os elementos a um comportamento instável.

Os esforços que solicitam a estrutura de uma edificação qualquer, intuitivamente falando, são aplicados em 90% dos casos diretamente às lajes e vigas (elementos tratados no volume 1 do presente material), para posteriormente serem descarregados em pilares e conseqüentemente nos elementos de fundação e no solo propriamente dito, conforme visto na figura 1.

Os pilares de concreto armado podem apresentar-se de diversas formas de eixos e de seção transversal, porém, a seção retangular ou seção quadrada são as mais comumente empregadas. Exemplificando outra das formas comuns da engenharia moderna, temos a de formato circular.

Quando um dos lados da seção é muito maior que o outro (bw  5h) utiliza-se a denominação de pilar-parede. Os pilares-parede podem ser elementos de superfície plana ou casca cilíndrica e também podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas. Embora elas aconteçam em muitos empreendimentos da vida prática, não serão tratadas neste estudo.

Os pilares de edifícios podem ser classificados de acordo com a posição que ocupam no edifício, em planta, em (figura 2):

Figura 2 – Pilares de canto, intermediários e de extremidade ou borda

A NBR 6118/2014 abrange simplificadamente colunas com índice de esbeltez () limitado ao valor máximo de 90, a fim de utilizar-se expressão aproximada da curvatura, no tratamento de excentricidades de segunda ordem, bem como poder desprezar a deformação lenta do concreto, estudada nos fenômenos reológicos de fluência e retração. Já para  de 90 a 200 a norma brasileira exige um maior rigor nos critérios de dimensionamento; mas também abrange tal característica física.

Como revisão da disciplina resistência dos materiais tem-se que o índice de esbeltez é: i lfl  

onde lfl é o comprimento de flambagem (figura 4), também conhecido como comprimento destravado e i é o raio de giração dado por:

h i temos gulares re s tranversai seções para A I i  tan , : 0,289

Figura 4 – Pontos de inflexão para determinação do comprimento de flambagem

Pode-se dizer que, quanto maior a esbeltez, maior a possibilidade do elemento comprimido flambar.

Análise de 2ª ordem (p-delta)

Os momentos fletores originados a partir de excentricidades de 2ª ordem são os acréscimos de solicitações provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas em um “instante após” a aplicação do carregamento, conforme mostrado na figura 6.

Figura 6 – Teoria de segunda ordem

1.2. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS – GLOBAIS E LOCAIS

Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos do pórtico espacial descarregado. Essas imperfeições podem ser divididas em imperfeições globais e imperfeições locais.

Na análise global dessas estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura 7

n prumadas de pilares

onde

1mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 1máx = 1/200;

H é a altura total da edificação, expressa em metros; n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.

Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar a = 1. Já na análise local mais precisamente na verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar.

Figura 8 – Imperfeições geométricas locais

200 1 100 1 300 1 1    i H

 → Hi = altura do pilar em metros

Admite-se que, nos casos usuais de estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente nos estudos de estabilidade (figura 8 – letra “b”).

1.3. ROTEIRO PARA DIMENSIONAMENTO DE PILARES

a) Características geométricas

Comprimentos equivalentes e índice de esbeltez b) Excentricidades

Inicial (eix; eiy) – Base e topo do pilar; Acidental (eax; eay) – Seção intermediária:

Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:

Esbeltez limite (λ1)

Efeitos de 2ª ordem: Métodos simplificados/aproximados c) Situações de cálculo

Seção de topo, seção de Base, seção Intermediária d) Dimensionamento das armaduras

Situação mais desfavorável, equações adimensionais, escolha do ábaco, taxa mecânica de armadura (ω), ou equações pelo método “k”, área de aço

e) Detalhamento

Armadura Longitudinal, diâmetro das barras, taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal, número mínimo de barras, espaçamentos para armadura longitudinal, detalhamento, armadura transversal, diâmetro, espaçamentos para armadura transversal, proteção contra flambagem localizada das armaduras, comprimento dos estribos, comprimento dos estribos suplementares, número de estribos, número de estribos suplementares, desenho da seção transversal, comprimento das esperas, comprimento total das barras longitudinais

f) Desenhos

1.4. DIMENSÕES MÍNIMAS

Conforme o item 13.2.3 da norma brasileira de projetos em estruturas de concreto, a seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Porém, em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com a tabela 1. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².

Esse “novo” coeficiente de majoração γn (que deve ser acrescentado ao coeficiente de majoração tratado nas combinações dos esforços solicitantes em ELU) é calculado por:

γn = 1,95 - 0,05b

onde b é a menor dimensão do pilar

Tabela 1 – Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede

b cm 19 18 17 16 15 14

γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento

O comprimento equivalente do pilar, supostamente vinculado nas duas extremidades, é o menor dos valores das designações ilustradas na figura 9.

Figura 9 – Esquema para cálculo do comprimento le

No caso de pilares engastados na base e livres no topo, o valor de le é igual a 2l.

1.5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO A ESBELTEZ

 Pilares curtos → 1 → podem ser desprezados os efeitos de 2ª ordem.  Pilares medianamente esbeltos → 1 <  90 → devem ser considerados os

efeitos de 2ª ordem em processo simplificado e pode-se desprezar o efeito da fluência.

 Pilares esbeltos → 90 <   140→ devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem em processo aproximado e deve-se incluir os efeitos da fluência, através de uma excentricidade complementar equivalente (ecc).

de terem os coeficientes de ponderação das ações majorados.

1.6. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO

A NBR 6118/2014 não admite pilares com índice de esbeltez λ superior a 200, exceto no caso de elementos pouco comprimidos, com força normal menor que 0,10 fcdAc. Para pilares com índice de esbeltez maior ou igual a 140, na análise de 2ª ordem, devem-se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional:

] 4 , 1 / ) 140 ( 01 , 0 [ 1 1    _n

A esbeltez limite (λ1) corresponde ao valor da variável que a partir do qual os efeitos de 2ª ordem provocam uma redução da capacidade resistente do pilar no estado limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de 1ª ordem. Essa redução é definida arbitrariamente, não devendo ser superior a 10%, segundo a NBR 6118/2014.

O valor de 1 pode ser calculado pela expressão:

b h e   1 1 5 , 12 25  onde 35 1 90

e1/h é a excentricidade relativa de 1ª ordem na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto. Com os diagramas de esforços normais e de momentos fletores em cada tramo do pilar, calculam-se as excentricidades iniciais no topo e na base, dividindo-se o valor do momento pela força axial.

N M ei,topo  topo e

N M

e_i,base  base  (excentricidades iniciais) h é a dimensão da seção na direção considerada.

Com relação ao parâmetro b temos as seguintes considerações a serem feitas: a) Para pilares biapoiados sem carga horizontal, com pelo menos um dos momentos

que atuam nas extremidades do pilar sendo maior que o momento mínimo:

1 4 , 0 , 40 , 0 40 , 0 60 , 0      _b A B b sendo M M _ 

Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem e 2ª ordem global) no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior

valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo, em caso contrário (figura 10a).

Figura 10a - Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb. b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da

altura: αb = 1,0

c) Para pilares em balanço:

85 , 0 20 , 0 80 , 0    A C b M M

 Onde: MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço (figura 10b). d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores (ou iguais)

que o momento mínimo: αb = 1,0

Momento mínimo e excentricidade mínima (emín)

O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-paredes (ver item 1.2) pode ser substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir:

M1d,mín = Nd x emín = Nd (0,015 + 0,03h)

onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em metros.

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo.

respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.

Excentricidade de 2ª ordem

A força normal atuante no pilar, sob ação das excentricidades de 1ª ordem (excentricidade inicial ou excentricidade mínima/acidental), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2ª ordem. A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em barras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. A consideração da fluência, como dito anteriormente é obrigatória para índices de esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1ª ordem (M1d) a parcela relativa à excentricidade suplementar ecc.

A NBR 6118/2014, em seu item 15.8.3.3.1 afirma que a determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar padrão e do pilar padrão melhorado. Com isso dois processos serão estudados:

 Método do pilar-padrão com curvatura aproximada  Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. Método do pilar-padrão com curvatura aproximada

Pode ser empregado apenas no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo.

Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente.

A d e d A d b tot d M r l N M M _{1 ,} 2 , 1 , 1 10   

Sendo 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada: h h r 005 , 0 ) 5 , 0 ( 005 , 0 1     onde: ) f A ( N cd c d  

αb e o coeficiente de uniformidade dos momentos e tem as mesmas definições do exposto acima.

M1d,A e o valor de cálculo do momento de 1ª ordem MA (maior momento no extremo do pilar);

h é a dimensão da seção do pilar, na direção analisada; ν é a força normal adimensional;

fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto; M1d,min é o momento mínimo de 1ª ordem.

Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada

Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo.

Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente.

O valor de cálculo do momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão:

A d A d b tot Sd M M M _, 1₂, _{1 ,} 120 1        sendo:

Md1,A é o valor de cálculo do momento MA;

κ é a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:

  _        d tot Rd aprox hN M _, 5 1 32

Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot. Em um processo de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd.

As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas nas páginas anteriores. Usualmente, duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo.

O processo aproximado acima, em um caso de dimensionamento, recai na formulação direta dada abaixo:

onde:

A = 5h (com h sendo a dimensão da seção transversal do pilar na direção analisada); c 2 e d d 2 M . h . 5 320 l N N . h

B   , com Mc sendo o momento a ser amplificado pelo efeito de 2ª ordem (= αb.M1d,A ≥ Md1,min)

c 2 d.h .M

N C

Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se, como raiz positiva, o seguinte valor: A 2 AC 4 B B M 2 tot , Sd    

Nesse presente estudo trataremos de pilares com esbeltez menor do que 90, desconsiderando assim os efeitos mais agudos da instabilidade em segunda ordem e também da fluência e qualquer efeito reológico associado.

Pilares esbeltos

A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares  140 (de 90 a 140, mais precisamente) pode ser feita pelos métodos do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica os valores obtidos de diagramas M, N e 1/r específicos para o caso, considerando-se obrigatoriamente os efeitos da fluência como dito anteriormente e estudado a seguir.

Consideração da Fluência

Embora não estudemos os pilares esbeltos nesse material com muita ênfase, torna-se interessante o conhecimento teórico da fluência para possíveis aplicações futuras, e outras aplicações práticas na vida do profissional de engenharia.

A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez  > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir:

                    1 718 , 2 e S g S g N N N a Sg Sg cc e N M e 

onde 2 10 e c ci e l I E N  ;

ea é a excentricidade devida a imperfeições locais como visto no item 1.2 (= tg x le ou tg x le/2).

MSg e NSg são respectivamente, momento e normal, devido à combinação quase permanente;

 é o coeficiente de fluência (na falta de dados, o autor recomenda o valor =2) ; Eci é o modulo de elasticidade inicial do concreto;

Ic é o momento de inércia da seção de concreto; le é o comprimento equivalente do pilar.

Pilares muito esbeltos

Pilares com  > 140 (e até 200) são considerados muito esbeltos, como visto anteriormente, e devem ser calculados com um maior rigor técnico, em termos de deformações não lineares ou efeitos de segunda ordem (análise p-delta ou outro método semelhante). Com isso deve ser utilizada bibliografia específica, que contenham os ábacos de iterações (vide alguns ábacos em anexo), bem como as suas avaliações apropriadas. Pode-se também recorrer a softwares ou programas mais sofisticados para tais dimensionamentos, já que não serão tratados em nosso estudo.

1.7. ARMAÇÕES EM FLEXÃO NORMAL COMPOSTA (FNC)

De acordo com as formulações estudadas anteriormente na flexão simples associando-se aos esforços axiais; e introduzindo-associando-se os critérios estabelecidos pelo professor José de Miranda Tepedino, as seções de concreto armado submetidas à flexão normal composta (extrapolando-se para flexão oblíqua composta com a associação dos dois momentos nas

direções principais), temos as seguintes expressões: 1º Caso Nd > 0 se compressão                  dupla Armação k k k k simples Armação k k k k d b f M h d N k L L L w c d d ' ' ² ) 2 (                        ) ' 1 ( ) ' ( ) ' 2 1 1 ( 2 1 2 1 d d k k f d b f A f N k d b f A A A A yd w c s yd d w c s s s s 2 '_s As A 

Caso As < 0 → passar ao 2º caso Caso k < 0 → passar ao 4º caso

2º Caso As < 0 no 1º caso ou Nd(h/2 – d’) >> Md h b f M d h N d d y w c d d        _{' '}2 ₂ (2 ') As = 0 0 '       yd w c d s f y b f N A 

Caso y > h → passar ao 3º caso

mínima. 3º Caso y > h

1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s

) ' ( ) ' 2 )( ( d d f M d h h b f N A yd d w c d s           _; ( ') ) 2 )( ( ' d d f M h d h b f N A yd d w c d s _{  }       

2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais comprimida.

yd d w c d s f d h M h b f N A         ) ' 2 ( * yd d s f d h M A      ' 2 4º Caso

Seção totalmente tracionada – k < 0 no 1º caso

1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s

) ' ( ) ' 2 ( d d f M d h N A yd d d s _{ }    ; ( ') ) 2 ( ' d d f M h d N A yd d d s _{ }   

2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais tracionada.

yd d d s f h d M N A*  2   d h d M A   2 

1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

A armadura longitudinal dos pilares deve obedecer aos seguintes valores:  As,mín= 0,15Nd/fyd ≥ 0,004Ac

 As,máx = 8% Ac

Para a armadura máxima devem-se considerar a região das emendas.

As barras devem ter diâmetro igual ou superior a 10 mm e não mais que 1/8 da menor dimensão da seção do pilar.

O espaçamento transversal, e, da armadura longitudinal deve atender aos seguintes limites:

e  maior (20 mm, фL, 1,2 DMA) e  menor (40 cm, 2bw)

(DMA = dimensão máxima do agregado)

O diâmetro dos estribos, фt, deve ter no mínimo 5 mm ou ¼ do diâmetro das barras longitudinais isoladas (фL). O espaçamento longitudinal entre eles, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras e garantir a costura das emendas, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

- 200 mm;

- 12фL para aço CA-50 e 24 фL para aço CA-25; - menor dimensão da seção do pilar;

Salienta-se que para seções poligonais temos 1 barra em cada canto (no mínimo) e para seções circulares pelo menos 6 barras distribuídas no perímetro.

A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

Pode ser usado фt < фL/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite a limitação:

L L L L yk L t máx MPa f s       12 500 25 , 0 90000 500 1 25 , 0 90000 ) ( 1 90000 2 2 2                     

Caso hajam força cortante e/ou momentos torsores consideráveis no pilar, os estribos devem ser dimensionados da mesma maneira que em vigas.

Com vistas a garantir a ductilidade dos pilares, recomenda-se que os espaçamentos máximos entre os estribos sejam reduzidos em 50% para concretos de classe C51 a C90, com inclinação dos ganchos pelo menos 135º.

Para proteger as barras longitudinais contra flambagem os estribos devem ser complementados com outros estribos ou barras retas terminadas em ganchos conforme figura 11 abaixo (conhecidos como “sargentos”):

Figura 11 – Proteção contra a flambagem das barras

Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20фt dos cantos, desde que neste trecho não existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4).

1.9. ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS – PARÂMETROS  e γz

Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos de 2ª ordem que, em princípio, afetam os esforços solicitantes ao longo delas, conforme visto anteriormente.

Classificação das Estruturas: de nós fixos e de nós móveis

São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem.

As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.

Análise de estruturas de nós móveis

Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e, portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem.

Consideração aproximada da não linearidade física

Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes:

- Lajes: (EI)sec = 0,3EcIc

- Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc para A’s As e (EI)sec = 0,5 EcIc para A’s = As - Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc

onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes; e Ec é o valor representativo do módulo de deformação do concreto, igual a: Eci = αE .5600 fck1/2

Os valores de rigidez adotados nesta seção são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem.

Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem Parâmetro de instabilidade 

Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade  for menor que o valor 1, conforme expressão

abaixo. Esse parâmetro é aplicado de forma aproximada, em edificações de pequeno porte, com até 4 pavimentos.

c cs k tot I E N H   onde 1 = 0,2 + 0,1n se n  3 ou 1 = 0,6 se n  4;

n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

Nk é somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para Htot), com seu valor característico;

Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto;

Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, considerando a seção bruta (estádio I), podendo ser utilizado a rigidez de um pilar equivalente.

A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma:

- calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal na direção considerada.

- calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.

Em resumo, este método baseia-se na verificação da deslocabilidade da estrutura geral para uma carga horizontal qualquer, aplicada no topo da edificação, a partir da equação da flecha elástica para vigas em balanço com uma carga concentrada na extremidade (f = PL³/3EI – vide anexo).

O valor-limite 1 = 0,6 prescrito para n  4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios.

Para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede, adotar 1 = 0,6. No caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, adotar 1 = 0,7. Quando só houver pórticos, adotar 1 = 0,5.

Coeficiente γz

O coeficiente γz, de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais, é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados na página 20.

O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:

d , tot , 1 d , tot z M M 1 1     onde

M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura.

Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem.

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz 1,1, e neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem.

Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por conseqüência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços horizontais devem ser majorados em 95% do valor de γz, variando de 1,05 a 1,24. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem, como por exemplo, uma análise não linear em elementos finitos.

Exercício

Um pilar de concreto armado com seção transversal de 30 cm x 30 cm e pé-direito de 290 cm apresenta vigas superiores e inferiores de 20/50. Utilizou-se concreto com resistência a compressão de 30 MPa, aço CA-50 e cobrimento de 4 cm. O carregamento axial foi de 20 tf de compressão e tivemos dois momentos fletores, nas duas direções principais, indo de +5 tfxm no topo a -5 tfxm na base. Considerar a atuação de cargas horizontais. Dimensione o pilar descrito no enunciado.

Resolução cm l ou l_e 29050340 29030320 _e 320 91 , 36 30 320 46 , 3     _y x   42 , 35 1 30 20 500 5 , 12 25 1    

 > 1 → deverá ser considerada as excentricidades de segunda ordem Excentricidade mínima: 0,015 + 0,03x0,3 = 0,024 metros = 2,4 cm Excentricidade inicial: 500/20 = 25 cm

M1d,mín = 1,4x20000x2,4 = 67200 kgfxcm

Excentricidade de segunda ordem (curvatura aproximada):

145 , 0 ) 4 , 1 300 30 30 ( 4 , 1 20000       000167 , 0 30 005 , 0 ) ! ok não ( 000258 , 0 ) 5 , 0 145 , 0 ( 30 005 , 0 r 1 _{  }   cm 71 , 1 000167 , 0 10 320 e 2 2   kgfxcm 747882 71 , 1 20000 4 , 1 500000 4 , 1 1 M_d,tot       

Excentricidade total a ser considerada:

cm 71 , 26 20000 4 , 1 747882 e_total   

88760000 500000 4 , 1 1 30 5 320 320 20000 4 , 1 20000 4 , 1 . 30 B 2 2            0000 1764000000 500000 4 , 1 1 30 20000 4 , 1 C   2    kgfxcm MSdtot 748787,28 150 2 0000 1764000000 150 4 ) 88760000 ( 88760000 2 ,          32 , 25 145 , 0 20000 4 , 1 30 28 , 748787 5 1 32 aprox             kgfxcm MSdtot 748674,82 145 , 0 32 , 25 120 91 , 36 1 4 , 1 500000 1 2 ,      

Excentricidade total a ser considerada:

cm 74 , 26 20000 4 , 1 82 , 748674 etotal  _  1º Caso dupla Armação k         0,301 0,295 ² 25 30 14 , 182 82 , 748674 ) 15 25 ( 28000                           ² 24 , 0 ) 25 5 1 ( ) 295 , 0 301 , 0 ( 4348 25 30 14 , 182 ² 86 , 4 4348 28000 ) 295 , 0 2 1 1 ( 25 30 14 , 182 2 1 2 1 cm A cm A A A A s s s s s As = 4,86 + 0,24 = 5,1 cm² - 316 mm A’s= 0,24 cm² < 316 mm

Astotal = 316 mm + 316 mm + 116 mm + 116 mm = 16 cm² (sem sobreposição das barras de canto)

Porém, devido à superposição dos efeitos oblíquos, recomenda-se sobrepor as áreas de aço nas duas direções. Assim: 5,1 x 4 = 20,4 cm² → 1016 mm

Para se manter a simetria temos 1216 mm. Verificação através dos Ábacos de Iteração Para =0,1

Para =0,2

Interpolando para =0,17

Ast = 8,48 + (0,17- 0,10)x(25,64-8,48)/0,10 = 20,49 cm² → 1216 mm Exercício

Uma edificação de 4 pavimentos apresentou em seu modelo de cálculo 7,5 cm de deslocamento horizontal em seu topo após a aplicação de uma carga horizontal de 500 kN. Sabendo-se que a altura efetiva do pórtico é de 12 metros e o somatório de cargas verticais, incluindo carga permanente e carga variável, é de 14200 kN. Verificar se esta estrutura é classificada como de nós fixos ou móveis utilizando o parâmetro  da NBR 6118 e fazer uma conclusão sobre os conceitos envolvidos nesta variável.

Resolução f = PL³/3EI  7,5 cm = 500 x 1200³/3EI  EI = 3,84x1010 6 , 0 73 , 0 10 84 , 3 14200 1200 ₁₀   ₁     

Esta edificação é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que o limite para 4 pavimentos. Deve-se então levar em consideração nos cálculos os efeitos de segunda ordem globais, ou, redimensionar a estrutura enrijecendo-o nesta direção. Seja com o aumento da inércia das peças estruturantes (pilares e vigas de travamento) ou com o engastamento das colunas na fundação.

Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)

 0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= _0,225 r 0,01 Ast= 8,48

Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)

 0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= _0,68 r 0,03 Ast= 25,64

2. TORÇÃO

2.1 CONCEITOS

O momento torsor em elementos usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos:

- Torção de Equilíbrio – essenciais ao combate à ruptura das estruturas.

Figura 12 – Viga em balanço

Figura 13 - Laje engastada na viga

- Torção de compatibilidade – momentos considerados secundários, que aparecem por efeito de coação ou impedimento à deformação.

As condições fixadas pela NBR 6118/2014 pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar, conforme visto na teoria das paredes finas em resistência dos materiais. Ensaios como o de Stuttgart, mostram que a resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, junto à capa da seção transversal. Este efeito pode ser melhor visualizado através dos gráficos na figura 15.

Figura 15 – Gráficos comparativos

Ambas as seções possuem o mesmo contorno, porem, a primeira é maciça e a segunda vazada. As duas seções apresentam momentos torsores resistentes praticamente iguais, apenas a torção correspondente ao inicio da fissuração é menor na seção vazada.

Em seções de mesma área, porém, com relações h/bw distintas, a rigidez efetiva e a resistência a torção são praticamente as mesmas no ELU. Isto ocorre por que a resistência a torção é obtida junto à capa externa da seção transversal.

Figura 16 – Evolução da Torção em uma seção retangular vazada

Podemos concluir então que uma seção quadrada maciça, no estádio II (concreto não plastificou a compressão), apresenta a mesma capacidade resistente de uma seção vazada,

com armaduras iguais.

As diagonais de compressão dessa treliça espacial descrita acima e mostrada na figura abaixo, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30º  45º (45º seria conservador).

Figura 17 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal (Leonhardt & Mönnig, 1982)

Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, calculada de acordo com as prescrições normativas e com a taxa geométrica mínima dada pela seguinte expressão:

MPa f com s b A u h A ywk mín w w sw sw e e sl sl 500 ,            r r r 3 / 2 3 / 2 , 0,012% 3 , 0 2 , 0 2 , 0 _ck y ck ywk ctm mín w f f f f f   

r (fck em MPa e menor que C55)

) 11 , 0 1 ln( % 0848 , 0 ) 11 , 0 1 ln( 12 , 2 2 , 0 2 , 0 , ck y ck ywk ctm mín w f f f f f      r (fck em MPa e maior que C55)

é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou igual às 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: Vsd 0,7 VRd2.

Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (em armaduras duplas os ramos devem ser avaliados no que tange seu posicionamento).

Os estribos por torção devem ser fechados em todo seu contorno, envolvendo as barras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º.

As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal.

O diâmetro da barra que constitui o estribo (como visto no estudo do cisalhamento), segundo a NBR 6118/2014, deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga – bw.

O espaçamento mínimo entre estribos, medidos segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo deve atender às seguintes recomendações.

- se       cm d s V V_{d Rd máx} 30 6 , 0 67 , 0 ₂ - se        cm d s V V_{d Rd máx} 20 3 , 0 67 , 0 ₂

2.2 MÉTODO DE VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA A TORÇÃO

Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, em uma dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições:

1. TSd TRd,2 2. TSd TRd,3 3. TSd TRd,4 onde

TSd é o momento torsor solicitante de cálculo na seção.

TRd,2 representa o limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto; TRd,3 representa o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural;

TRd,4 representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural.

Verificação da compressão diagonal do concreto

A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:

TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 onde

v2 = 1 – fck/250, com fck expresso em MPa;

 é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º  45º; Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada;

he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. u A h c1  e  2

onde c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural.

A é a área e u é o perímetro da seção cheia.

Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u  bw – 2c1 e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto, respeitando

o cobrimento exigido nos estribos.

Verificação da armadura transversal

Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, sendo que a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural é dada por:

TRd3 = (As90/s) fywd 2Ae cotg

onde fywd é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa.

Verificação da armadura longitudinal

A resistência decorrente das armaduras longitudinais é dada pela seguinte expressão:

TRd4 = (Asl/ue) fywd 2Ae tg

onde Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais e ue é o perímetro de Ae. A armadura longitudinal de torção, de área total Asl, deve manter obrigatoriamente constante a relação Asl/u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área Asl.

2.3 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: FLEXÃO E TORÇÃO

Determinar as armaduras longitudinais para cada solicitação individualmente.

- Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente.

- No banzo comprimido pela flexão, a armadura de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas.

Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal não deve superar 0,85fcd. Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão

tangencial de torção calculada por: e e d Td h A T 2  

2.4 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: TORÇÃO E FORÇA CORTANTE

Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto  coincidentes para os dois esforços.

Quando for utilizado o modelo I para o estudo do cisalhamento, que se subentende  = 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção.

A verificação da resistência à compressão do concreto deve ser realizada através da seguinte fórmula: 1 2 2   Rd Sd Rd Sd T T V V

onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção. A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd.

Exercício

Determinar a armadura transversal e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada abaixo. Dados: fck = 25 MPa e aço CA-50.

Resolução

Força Cortante Adotando o Modelo I (= 90º e = 45º) Verificação do concreto: d b f V_Rd2 0,27_{v2 cd w} 90 , 0 250 / 25 1 250 / 1 2   ck    v f  kN V kN V_Rd 20 27 234,3 _dmáx 1,4 40 56 4 , 1 5 , 2 90 , 0 27 , 0 _, 2          

Biela comprimida ok!

Armadura transversal necessária

Vc= 0,09 x fck2/3 x bw x d = 0,09 x 252/3 x 20 x 27 = 415,52 = 41,55 kN % 0683 , 0 000683 , 0 48 , 43 27 20 9 , 0 55 , 41 56 9 , 0           ywd w c d w sw sw df b V V sb A r ) 1 ( / ² 00683 , 0 2 01366 , 0 1 / ² 01366 , 0 20 000683 , 0 cm cm ramo s As cm cm s Asw       Momento Torsor

Espessura da parede equivalente

he = 6 cm

Verificação do concreto (adotando = 45º)

TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 = 0,50 x 0,90 x 2,5/1,4 x 6 x 336 x sen90º = 1620 kNxcm

onde Ae = (30 - 6) x (20 - 6) = 336 cm²

TRd2 = 16,2 kNxm > Td,máx = 1,4x8 = 11,2 kNxm Armadura transversal necessária

% 192 , 0 00192 , 0 1 20 336 2 48 , 43 1120 cot 2          r g b A f T w e ywd d sw ) 1 ( / ² 0384 , 0 20 00192 , 0 90 ramo cm cm s A_{s   }

Armadura longitudinal necessária

² 91 , 2 1 48 , 43 336 2 76 1120 2A f tg cm uT A ywd e d s _{  }     





cm c h cm u A h e e 6 3 2 2 6 30 20 2 30 20 1        

Solicitações combinadas: torção e força cortante 1 93 , 0 2 , 16 2 , 11 3 , 234 56 1 2 2       Rd Sd Rd Sd T T V V Detalhamento Armadura transversal ) 1 ( / ² 04523 , 0 0384 , 0 00683 , 0 90 1 _{cm cm ramo} s A s A_{s  s   }

Taxa de armadura mínima

sw ywk ctm mín sw f f _r r         % 103 , 0 10 03 , 1 500 25 3 , 0 2 , 0 2 , 0 3 3 / 2 , % 260 , 0 068 , 0 192 , 0      _{swT swV} sw r r r

Armadura transversal total  0,0683% x 20 x 100/2 + 0,192% x 20 x 100 = 4,523 cm²/m Adotando 8 mm (Asф= 0,503 cm²) temos: cm e n 11 99 , 8 100 99 , 8 503 , 0 523 , 4 _{   }           cm cm s_máx 30 16 27 6 , 0 3 , 234 67 , 0 56 8 mm a cada 11 cm

3. PUNÇÃO

Figura 18 – Panorama da fissuração em uma laje puncionada

3.1 COMPORTAMENTO DE LAJES SOB CARGA DE PUNÇÃO

Com relação ao comportamento das lajes sob o carregamento de punção, os ensaios mostram que as deformações circunferenciais são inicialmente maiores que as deformações radiais [Leonhardt e Mönnig (1979)]. Por isso, as fissuras radiais surgem em primeiro lugar. Somente no ato do colapso há formação de uma fissura quase circular, que limita o contorno de um sólido deslocado ao redor do pilar. Segundo CORDOVIL (1997),a distância dessa fissura circular indica até onde a superfície de ruptura se estende. Em lajes sem armadura de cisalhamento, essa superfície atinge distâncias que variam entre duas a três vezes a altura útil d da laje, como ilustra a figura 19. O sólido deslocado tem a semelhança de um tronco de cone, entretanto, com uma irregularidade acentuada.

Figura 19 – Zona de ruptura em lajes submetidas à punção, sem armadura transversal

CORDOVIL (1997) ressalta ainda que, no caso de lajes com armadura de cisalhamento, a superfície de ruptura pode ocorrer em três posições diferentes:

- na zona com armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto e da armadura transversal (punção não restrita internamente à armadura transversal);

- na zona situada além da armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto (punção não restrita externamente à armadura transversal).

A situação ideal seria a segunda condição, isto é, quando há ruptura da armadura transversal. Assim, a armadura entraria em escoamento plástico, aumentando a ductilidade da estrutura antes do colapso da laje. A figura 20 mostra os tipos de ruptura em lajes com armadura de punção.

Figura 20 – Zonas de ruptura em lajes submetidas à punção com armadura transversal

3.2 MODELO MECÂNICO

KINNUNEN e NYLANDER (1960) apud CORDOVIL (1997) apresentaram um modelo mecânico para a ruptura da laje, sem armadura transversal, por punção de pilar circular no qual a ruína ocorre a partir deste com o deslocamento de um sólido interno (vide figura 21). Esse sólido teria a forma aproximada de um tronco de cone, com a superfície inclinada entre 25º e 30º em relação ao plano da laje.

Na zona contígua ao tronco de cone, a laje seria dividida em elementos rígidos iguais, limitados pela superfície inclinada e por fissuras radiais. Cada elemento rígido produziria um trabalho decorrente da rotação em torno de um ponto chamado “centro de

rotação” CR, como mostra a figura 22. Esse ponto seria o limite entre dois estágios ideais de fissuração: as fissuras que limitam a superfície inclinada, bem como as fissuras radiais, seriam formadas antes da ruptura da laje, e a fissura localizada entre a periferia do pilar e o CR somente seria formada no instante da ruptura da laje.

A partir dessas hipóteses de funcionamento, é possível estabelecer as condições de equilíbrio entre os esforços externos e internos, mostrados na figura 21. Nessas circunstâncias, há condições de se estabelecer uma teoria próxima da realidade, bastando, para isso, aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do elemento como mostra a figura 22. Porém, como o modelo estudado por KINNUNEN e NYLANDER foi realizado em pilares circulares, quando se tenta estender essa teoria para formas quadradas ou retangulares, a formulação fica pouco confiável.

Figura 22 – Esquema da fissuração inclinada e da rotação dos segmentos da laje

3.3 CRITÉRIOS DA NBR 6118/2014

O modelo de cálculo proposto pela NBR 6118/2014 corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas ou seções de controle, definidas no entorno de forças concentradas.

Na primeira superfície crítica, denominada de contorno C do pilar ou carga concentrada, verifica-se, indiretamente, a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio de uma tensão de cisalhamento.

Na segunda superfície crítica, denominada de contorno C’ e localizada a uma distância 2d do pilar ou carga concentrada, verifica-se a capacidade da ligação à punção, associada à ruína por tração diagonal, por meio também de uma tensão de cisalhamento. Caso haja necessidade, essa ligação deve ser reforçada por uma armadura transversal.

A terceira superfície crítica, denominada de contorno C”, apenas deve ser verificada quando for necessário se colocar armadura transversal.

Seções de Controle

Apresentam-se, a seguir, as formas dos perímetros críticos utilizados nas análises de punção para pilares internos em lajes lisas.

Figura 23 - Perímetros críticos em pilares internos

No caso de pilares com capitel (engrossamento localizado da laje), em lajes denominadas cogumelo, devem ser feitas verificações nos contornos críticos C’1 e C’2, conforme ilustra a figura 24. As verificações são:

 se lc 2(dc – d), verifica-se somente o Contorno C’2;  se 2(dc – d) < lc 2 dc , basta verificar o Contorno C’1; e  se lc > 2 dc, é necessário verificar os Contornos C’1 e C’2.

d = altura útil da laje no Contorno C’2;

dc = altura útil da laje na face do pilar ou da carga concentrada;

da = altura útil da laje no Contorno C’1; e

lc = distância entre a borda do capitel e a face do pilar.

Figura 24 - Perímetros críticos em lajes cogumelo

A NBR 6118/2014 apresenta ainda prescrições para pilares com geometrias irregulares, pilares com reentrâncias e próximos a aberturas. Nesses casos, os contornos

C e C’ são determinados conforme mostra a figura 25.

Figura 25 - Perímetros críticos em casos de pilares especiais Cálculo da tensão solicitante nas superfícies críticas de contorno C e C’ Pilar com carregamento simétrico

Neste caso, a tensão de cisalhamento é dada por:

ud F_sd

sd 

onde:

 Fsd é a força ou reação concentrada de cálculo;

 u é o valor numérico do perímetro do contorno crítico (u0 para C e u para C’);  d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C ou C’; e

 dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais. Pilar com efeito de momento

Devido à assimetria do carregamento, a tensão de cisalhamento é dada por:

d W kM ud F p sd sd sd    , onde:

 Msd é o momento de cálculo transmitido da laje ao pilar;

 k é o coeficiente que fornece a parcela de Msd, transmitida ao pilar por cisalhamento, que depende da relação c1/c2; e

 Wp é o módulo de resistência plástica do perímetro crítico em questão. Wp pode ser calculado nas duas direções, tendo assim uma variação de x em relação a y e vice-versa. Esta variação do parâmetro será chamado, nas equações, de Wp1 e Wp2.

O coeficiente k assume os valores dados na tabela abaixo.

Tabela 2 - Valores de k

c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0

k 0,45 0,60 0,70 0,80

c1 é a dimensão do pilar, paralela à excentricidade da força e

c2 é a dimensão do pilar, perpendicular à excentricidade da força.

Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor K= 0,6. Os valores de Wp devem ser calculados pelas expressões a seguir: - para um pilar retangular:

contorno C  Wp1 = c1²/2 + c1c2 & Wp2 = c2²/2 + c2c1

contorno C’ Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2

contorno C” Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 + 2c2β + 16dβ + 4β² + c1β & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2 + 2c1β + 16dβ + 4β² + c2β

onde β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção.

- para um pilar circular:

contorno C  Wp = D²

contorno C’ Wp = (D + 4d)² contorno C” Wp = (D + 2β +4d)²

onde D é o diâmetro do pilar, d é a altura útil da laje e β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção;

Wp pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico através da seguinte expressão: W e dl u p 



 0 , onde:

 dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;

 e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua o

momento em questão.

No caso de existirem momentos em duas direções ortogonais, a expressão de

sd

é dada por: d W M k d W M k d u F p sd p sd sd sd      2 2 2 1 1 1 .  ,

Fazendo-se as adaptações necessárias para k1 e k2, bem como para Wp1 e Wp2. A figura 26 esclarece as associações dos momentos com os lados da seção.

Cálculo da tensão resistente nas superfícies críticas de contorno C, C’ e C’’

Contorno C

Neste caso a tensão resistente de compressão diagonal do concreto é igual a:

cd v Rd sd   f   ₂ 0,27 , v = (1 - fck/250), com fck em MPa, onde:

 αv é o fator de fragilidade do concreto; e

 fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto.

O valor de Rd2 poderá ser ampliado em 20%, quando os vãos que chegam ao pilar em questão não diferem entre si em mais de 50%, e se não existirem aberturas junto ao pilar, ou seja, _Rd2 0,324_vf_cd.

Contorno C’

a) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção:





13 1 100 20 1 13 , 0 _ck Rd sd f d r   _         , y x r r r   , onde:

 d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C’, em centímetros;  r é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente;

 fck é a resistência característica à compressão do concreto, em MPa;

rx e ry são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, assim calculadas: - na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar, acrescida de 3d para cada

um dos lados;

- no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d.

b) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos com armadura de punção:





) ( 5 , 1 100 20 1 10 , 0 13 3 ud s sen f dA f d _r ywd sw ck Rd sd  r   _          ,

onde:

 sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, sempre menor ou igual a  0,75d;

 Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a C´;  α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;

 u é o valor numérico do perímetro crítico;

 fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para conectores, ou 250 MPa para estribos (CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura maior que 15 cm, pode assumir os seguintes valores:

fywd = 250 + 185(h-15)/20 MPa, para 15 < h ≤ 35 cm

fywd = 435 MPa, para h > 35 cm

Quando for necessário utilizar armadura de combate à punção, ela deve ser estendida em contornos paralelos a C’ até que, em um contorno C’’ afastado 2d do último contorno de armadura (figura 27), não seja mais necessária armadura, isto é _sd _Rd1.

Figura 27 - Disposição da armadura de punção em planta e contorno C’’

Pilares de borda e canto

A Norma brasileira NBR 6118/2014 analisa individualmente as situações de aplicação de cargas concentradas nas áreas limites das lajes, mais especificamente as bordas e os cantos.

Tratando dos pilares de borda, quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

d W M K d * u F τ p1 Sd1 1 Sd Sd   sendo:

MSd1 = (MSd - MSd*)  0 (pode-se considerar MSd* igual a zero à favor da segurança) onde:

FSd é a reação de apoio;

u* é o perímetro crítico reduzido;

MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido

u* em relação ao centro do pilar;

WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u.

O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, com c1 e c2 de acordo com a figura 28

Figura 28 - Perímetro crítico em pilares de borda

Quando agir momento no plano paralelo à borda livre:

d W M K d W M K d * u F 2 p 2 Sd 2 1 p 1 Sd 1 Sd Sd     onde:

MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre;

WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u.

O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, substituindo-se c1/c2 por c2/2c1 (sendo c1 e c2 estabelecidos na figura 28).

Com relação aos pilares de canto aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à borda.

Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada.

Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção c1/c2, sendo c1 e c2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme tabela 2 (ver figura 29).

Figura 29 - Perímetro crítico em pilares de canto

Devido a um certo grau de complexidade nas interpretações das superfícies críticas nos casos onde há pilares de canto e de borda, bem como na determinação dos respectivos módulos de resistência plástica, optou-se por apresentar em anexo todas as expressões práticas para aplicação direta (ANEXO 9.4 – página 106).

Detalhamento da armadura de punção

As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem como as distâncias regulamentares a serem obedecidas estão na figura 30.

Figura 30 - Detalhamento da armadura de punção

No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que Rd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd.

A armadura de colapso progressivo, vista na figura 30, deve ser tal que:

yd Sd ccp , s f F 5 , 1 A 

onde As,ccp é o somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada uma das faces do pilar e FSd pode ser calculado com γf (coeficiente de majoração dos carregamentos) igual a 1,2.

A NBR 6118/2014 apresenta ainda as seguintes prescrições referentes ao detalhamento da armadura:

 para resistir à punção, as armaduras devem ser constituídas, de preferência, por conectores do tipo “stud”, sendo permitido o uso de estribos verticais;

 o diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20, onde h é a espessura da laje. Além disso, deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem mecânica), conforme mostra a figura 31;

mínimo de 3 linhas de conectores, estribos ou pinos, com suas extremidades ancoradas fora do plano da armadura de flexão Armadura contra colapso

progressivo (armadura que aumenta a ductilidade da ligação na fase de pós puncionamento, redistribuindo os esforços de modo a evitar a ocorrência do colapso progressivo)

 as armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem.

Figura 31 - Ancoragem da armadura de punção

Exercício

Considerando as seguintes características para o dimensionamento à punção da laje com carregamento usual para prédios de apartamentos convencionais.

Trata-se de um pilar de centro com carga total de 300 kN/pavimento (Fsd = 300x1,4 = 420kN) e dimensões 100 x 35 cm, laje de espessura total de 17 cm (altura útil 15 cm) e concreto fck = 30 MPa.

Os vários contornos críticos a se considerar são:

Ao longo da superfície crítica C: u = 2 × 100 + 2 × 35 = 270,00 cm

Ao longo da superfície crítica C’: u* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  ×30 = 458,50 cm Ao longo da superfície crítica C”: uo* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  × 60 = 647,00 cm