ProfaCátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz Instituto de Ciências Exatas
UNIFAL - Alfenas Aula 35
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução.
Exemplos de Sólidos de Revolução:
Fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x , o sólido obtido é um cone.
Fazendo a região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y , o sólido obtido é um cilindro.
Exemplos de Sólidos de Revolução:
Fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x , o sólido obtido é um cone.
Fazendo a região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y , o sólido obtido é um cilindro.
Vamos definir o volume do sólido T gerado pela rotação em torno do eixo dos x , de uma região plana R. Para isso, fazemos uma partição do intervalo aberto [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos
a = x0<x1< ... <xi−1<xi < ... <xn =b.
Seja ∆xi =xi− xi−1o comprimento do intervalo [xi−1,xi]. Em cada
um destes intervalos [xi−1,xi], escolhemos um ponto qualquer ci. Para
cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo de base ∆xi e altura
Fazendo cada retângulo girar em torno do eixo dos x , o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:
π[f (ci)]2∆xi.
A soma dos valores dos n cilindros, que representamos por Vn, é dada
por: Vn= π[f (c1)]2∆x1+π[f (c2)]2∆x2+. . .+π[f (cn)]2∆xn = π n X i=1 [f (ci)]2∆xi,
e nos dá uma aproximação do volume do sólido T.
Podemos observar que à medida que n cresce e cada ∆xi,
i = 1, . . . , n torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do volume do sólido T .
Definição 3:
Seja y = f (x ) uma função contínua, não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x , é definido por:
V = lim max ∆xi→0 π n X i=1 [f (ci)]2∆xi, (9)
onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário no intervalo
[xi−1,xi].A soma que aparece na equação anterior é uma soma de
Riemann da função [f (x )]2. Como f é contínua, esse limite existe, e
pela definição de integral definida, temos: V = π
Z b
a
Definição 3:
Seja y = f (x ) uma função contínua, não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x , é definido por:
V = lim max ∆xi→0 π n X i=1 [f (ci)]2∆xi, (9)
onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário no intervalo
[xi−1,xi]. A soma que aparece na equação anterior é uma soma de
Riemann da função [f (x )]2. Como f é contínua, esse limite existe, e
pela definição de integral definida, temos: V = π
Z b
a
Exemplo 17:
A região R limitada pela curva y = x42, o eixo dos x e as retas x = 1 e
x = 4, gira em torno do eixo dos x . Encontre o volume do sólido de revolução gerado.
A fórmula da equação (10) pode ser generalizada para outras situações, como veremos a seguir:
1. f (x ) é negativa em alguns pontos de [a, b]
Neste caso, o sólido gerado pela rotação o redor do eixo x coincide
com o da função |f (x )|. Como |f (x )|2= (f (x ))2, a fórmula permanece
a mesma.
Exemplo 18:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função y = sen(x ) e o eixo dos x , de
−π
2 até
3π 2.
A fórmula da equação (10) pode ser generalizada para outras situações, como veremos a seguir:
1. f (x ) é negativa em alguns pontos de [a, b]
Neste caso, o sólido gerado pela rotação o redor do eixo x coincide
com o da função |f (x )|. Como |f (x )|2= (f (x ))2, a fórmula permanece
a mesma.
Exemplo 18:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função y = sen(x ) e o eixo dos x , de
−π
2 até
3π 2.
2. A região R está entre o gráfico de duas funções
Sejam f e g funções tais que f (x ) ≥ g(x ), para todo x ∈ [a, b]. Neste caso, o volume do sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x , é dado por:
V = π
Z b
a
([f (x )]2− [g(x)]2)dx . (11)
Exemplo 19:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela parábola y = 14(13 − x2)e pela reta
2. A região R está entre o gráfico de duas funções
Sejam f e g funções tais que f (x ) ≥ g(x ), para todo x ∈ [a, b]. Neste caso, o volume do sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x , é dado por:
V = π
Z b
a
([f (x )]2− [g(x)]2)dx . (11)
Exemplo 19:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região limitada pela parábola y = 14(13 − x2)e pela reta
3. Ao invés de girar em torno do eixo x , a região R gira em torno do eixo y
Neste caso, teremos
V = π
Z d
c
[g(y )]2dy . (12)
Exemplo 20:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo y e pela reta y = 8.
3. Ao invés de girar em torno do eixo x , a região R gira em torno do eixo y
Neste caso, teremos
V = π
Z d
c
[g(y )]2dy . (12)
Exemplo 20:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y
da região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo y e pela reta
4. A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos V = π
Z b
a
[f (x ) − L]2dx . (13) Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos
V = π
Z d
c
[g(y ) − M]2dy . (14)
Exemplo 21:
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = 4, da região limitada por y = 1/x , y = 4 e x = 4.
4. A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos V = π
Z b
a
[f (x ) − L]2dx . (13) Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos
V = π
Z d
c
[g(y ) − M]2dy . (14)
Exemplo 21:
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = 4, da região limitada por y = 1/x , y = 4 e x = 4.
