Algumas aplicações de cálculo variacional : da braquistócrona a desigualdade de Hardy-Sobolev

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(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. CAROLINE APARECIDA DE LARA CAMPOS. Algumas Aplicações de Cálculo Variacional: da Braquistócrona a Desigualdade de Hardy-Sobolev. Campinas 2017.

(2) Caroline Aparecida de Lara Campos. Algumas Aplicações de Cálculo Variacional: da Braquistócrona a Desigualdade de Hardy-Sobolev. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Matemática Aplicada e Computacional.. Orientador: Prof. Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov. Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pela aluna Caroline Aparecida de Lara Campos e orientada pelo Prof. Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov.. Campinas 2017.

(3) Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.. Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467. C157a. Campos, Caroline Aparecida de Lara, 1987CamAlgumas aplicações de cálculo variacional : da braquistócrona a desigualdade de Hardy-Sobolev / Caroline Aparecida de Lara Campos. – Campinas, SP : [s.n.], 2017. CamOrientador: Yuri Dimitrov Bozhkov. CamDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Cam1. Cálculo das variações. 2. Euler-Lagrange, Equações de. 3. Noether, Teorema de. 4. Bliss, Função de. I. Bozhkov, Yuri Dimitrov,1962-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.. Informações para Biblioteca Digital Título em outro idioma: Some applications of calculus of variations : from brachystochrone to the Hardy-Sobolev inequality Palavras-chave em inglês: Calculus of variations Euler-Lagrange equations Noether theorem Bliss function Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Mestra em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora: Yuri Dimitrov Bozhkov [Orientador] Rodney Carlos Bassanezi Stylianos Dimas Data de defesa: 28-07-2017 Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

(4) Dissertação de Mestrado Profissional defendida em 28 de julho de 2017 e aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.. Prof(a). Dr(a). YURI DIMITROV BOZHKOV. Prof(a). Dr(a). RODNEY CARLOS BASSANEZI. Prof(a). Dr(a). STYLIANOS DIMAS. As respectivas assinaturas dos membros encontram-se na Ata de defesa.

(5) Aos meus pais....

(6) Agradecimentos Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional pela oportunidade concedida;. Ao meu orientador, Prof. Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov, pela paciência, compreensão e esmero na elaboração deste trabalho; Aos docentes que tive ao longo desta trajetória, em especial à Profa Dra . Sueli Irene Rodrigues Costa, pelo enorme aprendizado e constante incentivo à evolução acadêmica; e ao Prof. Dr. Estevão Esmi Laureano, pela amizade, apoio acadêmico e exemplo de profissionalismo;. À minha família: Meus pais, Norberto e Maria Elena por, desde sempre, serem os pilares da minha vida; e ao meu irmão, Eurico, exemplo de bondade e companheirismo;. Ao meu namorado Felippe, por sempre estar ao meu lado nos momentos mais importantes da minha vida;. À minha família de Rio Preto: Débora, Júlia e Luiz Carlos, por nunca deixarem faltar carinho, amor e otimismo diário;. Aos meu amigos de Campinas, em especial: Juliana, por simplesmente, em todos os sentidos, ser meu anjo da guarda; Felipe Félix por, desde sempre, ser um dos meus principais incentivadores e, finalmente, à minha turma de mestrado, que tornaram mais felizes os árduos dias de aula..

(7) Você nunca achará o arco-íris, se você estiver olhando para baixo. Charlie Chaplin.

(8) Resumo Este trabalho nos direciona ao estudo do Cálculo Variacional, a fim de compreender e solucionar problemas que, desde muito tempo, desperta o interesse da sociedade matemática. Essencialmente, essa dissertação divide-se em duas partes: Na primeira, introduzimos os problemas variacionais clássicos - O Problema da Braquistócrona e o Problema de Didó e, em seguida, abordamos os resultados fundamentais do Cálculo Variacional, em especial as equações de Euler-Lagrange e as condições de existência de extremos: A Condição de Jacobi e as Condições de Weierstrass e de Legendre e, por fim, encerramos com o Teorema de Noether e algumas de suas aplicações à Física Moderna. A segunda parte destina-se à algumas das aplicações de Cálculo Variacional, destacando-se as resoluções dos problemas propostos anteriormente e a obtenção da Função de Bliss e da melhor constante na Desigualdade de Hardy-Sobolev, utilizando os conceitos abordados na primeira parte. As considerações finais encerram esta dissertação. Palavras-chave: Cálculo Variacional. Equações de Euler-Lagrange. Teorema de Noether. Função de Bliss..

(9) Abstract In this work we study the basis of Calculus of Variations, in order to understand and solve problems that for a long time have aroused interest of mathematical society. Essentially, this work is divided into two parts. In the first one, classical variational problems were introduced: the Brachystochrone Problem and the Dido Problem; the fundamental results of the Calculus of Variations, in particular the Euler-Lagrange Equations and the conditions for the existence of extremum: the Jacobi Condition and the Weierstrass and Legendre Conditions, to name a few. Finally, we closed with the Noether Theorem and some of its applications to Modern Physics. The second part is dedicated to some applications of Calculus of Variations, especially the solutions of the problems proposed previously. Further an explicit formula for the Bliss Function is obtained, using the concepts discussed in the first part. Hence the best constant in the Hardy-Sobolev Inequality is found. The final considerations conclude this work.. Keywords: Calculus of Variations. Euler-Lagrange Equations. Noether’s Theorem. Bliss Function..

(10) Lista de ilustrações Figura 1 – Esquema do problema no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Figura 2 – Fio de couro para cercar o terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.

(11) Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Contexto Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cálculo Variacional Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Problemas Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 O Lema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 O Lema de Dubois - Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 O Lema Fundamental do Cálculo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 As Equações de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A Condição de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 As condições de Weierstrass e de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 O Problema do Extremo Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Equações de Euler - Lagrange para funcionais que dependem de n funções 13 Equações de Euler-Lagrange para funcionais que dependem das derivadas de ordem superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Equações de Euler-Lagrange para funcionais envolvendo funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Equações de Euler-Lagrange para funcionais em forma paramétrica . . . . 16 Equações de Euler-Lagrange para funcionais que diferem por uma Divergência Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1 A condição de invarância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 O Teorema de Emmy Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Algumas Aplicações do Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Algumas aplicações de Cálculo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Os dois problemas clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 O Problema da Braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 O Problema da Didó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Um problema variacional com condições de fronteira de outro tipo . . . . . 3.1 Uma generalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Desigualdade de Wirtinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sobre a solução de Schwarzschild das Equações de Einstein . . . . . . . . . 6 Função de Bliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A melhor constante na Desigualdade de Hardy-Sobolev . . . . . . . . . . .. 13 14 14 14 16 17 20 21 22 24 27 28 29 32 33 34 35 36 38 38 39 41 43 43 43 43 45 47 49 52 55 56 65.

(12) 3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.

(13) 13. Introdução Sabiamente, dizia Heródoto: “Pensar o passado para compreender o presente e idealizar o futuro.” Motivados pela épica frase do geógrafo e historiador grego, iniciamos a apresentação deste trabalho com um breve contexto histórico do Cálculo Variacional. Embora tenha sido a Grécia Antiga o berço de seu nascimento, o Cálculo Variacional desenvolveu-se, de fato, com os irmãos Jakob e Johann Bernoulli, quando o último propôs à sociedade da época, o que hoje conhecemos como Problema Clássico da Braquistócrona. Porém, sua consolidação ocorreu, de fato, no século XVIII, com as significativas contribuições de Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange. A finalidade deste trabalho é, essencialmente, abordar o Cálculo Variacional de maneira abrangente, introduzindo seus principais resultados e, a partir deles, possibilitar a resolução de problemas, dentre os quais, destacam-se os de otimização. O desenvolvimento do mesmo se dá em duas partes: Na primeira parte, foram apresentados os elementos fundamentais do Cálculo Variacional Clássico, tais como: O Lema de Lagrange, O Lema de Dubois - Reymond, O Lema Fundamental do Cálculo Variacional, As Equações de Euler - Lagrange e o Teorema de Euler; As Condiçoes de Jacobi, de Weierstrass e de Legendre; O Problema do Extremo Condicional e o Teorema de Noether, bem como algumas de suas aplicações à Física Moderna. A segunda parte destina-se à algumas aplicações do Cálculo Variacional, tendo como ponto de partida as resoluções dos Problemas Clássicos da Braquistócrona e da Didó; soluções de problemas variacionais com condições de fronteira de outro tipo e curvas hiperelíticas; a Desigualdade de Wirtinger; a obtenção da Função de Bliss e da melhor constante na Desigualdade de Hardy-Sobolev. E, por fim, as considerações finais e referências bibliográficas encerram este trabalho..

(14) 14. 1 Resultados Fundamentais 1 Introdução Neste primeiro capítulo apresentaremos as principais definições e resultados do cálculo variacional a serem utilizados: O Lema de Lagrange, o Lema de Dubois-Reymond, o Lema Fundamental do Cálculo Variacional, as Equações de Euler-Lagrange, o Teorema de Euler, A Condição de Jacobi, o Problema do Extremo Condicional e o Teorema de Noether. Juntamente com os resultados, abordaremos exemplos referentes às definições dadas; bem como, a formulação dos problemas clássicos do Cálculo Variacional: O Problema da Braquistócrona e o Problema da Didó. A exposição a seguir é semelhante à dada em [1]. Iniciaremos o capítulo apresentando uma nota histórica sobre o Cálculo Variacional.. 2 Contexto Histórico Indiscutivelmente, a matemática se faz cada vez mais presente em nosso dia a dia. Situações como: obter lucro máximo, realizar um determinado trajeto no menor tempo possível, minimizar o custo de fabricação de um determinado produto são alguns, dentre os muitos, problemas que ilustram nossos desafios rotineiros. Tais problemas, conhecidos como problemas de otimização, tem interessado matemáticos ao longo de toda a história, e muitos deles foram resolvidos por métodos engenhosos. Os gregos antigos sabiam que de todas as curvas com um dado perímetro, a que delimita maior área é o círculo. Os precursores do cálculo variacional foram os irmãos Jakob (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748), frequentemente conhecidos também pela forma anglicizada de seus nomes, James e John. Em 1696, Johann Bernoulli propôs no jornal científico Acta Eruditorium o problema da Braquistócrona, já estudado anteriormente por Sir Isaac Newton, em 1686. Tal problema consiste em determinar, dentre todas as curvas possíveis que ligam dois pontos em um plano vertical, aquela para a qual uma partícula deslizando (sem atrito) ao longo da curva, sob a ação da gravidade, fará o percurso do ponto mais alto ao mais baixo em tempo mínimo. Ambos os irmãos resolveram o problema e suas soluções, embora distintas, foram publicadas em 1696. A solução apresentada por Johann baseou-se em uma analogia com o problema em determinar o caminho percorrido por um raio de luz em um meio com índice de refração variável, método este de difícil aplicação a outros problemas. Já o método utilizado por Jakob na resolução do problema da Braquistócrona, possibilitou a resolução de uma série.

(15) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 15. de problemas, inclusive a de um problema isoperimétrico - em que o perímetro é mantido fixo, proposto como réplica ao problema de seu irmão. Motivado pelo trabalho dos irmãos Bernoulli, Leonhard Euler (1701-1783), discípulo de Johann, começou a estudar e aprimorar o método utilizado por Jakob e, em 1744, publicou A method for discovering curved lines having a maximum or minimum property or the solution of the isoperimetric problem taken in its widest sense, cujo principal resultado foi a equação diferencial. Bf d Bf 0 By dx By1 denominada Equação de Euler. Com o passar dos anos, os matemáticos começaram a sugerir problemas cada vez mais complexos e o método de Euler tornava suas resoluções ainda mais complicadas. Impulsionado pela necessidade de resolvê-los de maneira mais simples, Joseph-Louis Lagrange publicou, em 1762 e 1770, um método geral que tinha desenvolvido para tratar problemas de isoperimetria e de natureza física - problemas de mais rápida queda, que consistia basicamente em trocar a função y pxq, presente nas integrais que se desejavam minimizar, pela função y pxq δy pxq. Posteriormente, Euler adotou a notação apresentada por Lagrange e nomeou δy pxq de variação da função y pxq e δI de variação da integral, originando assim, o Cálculo das Variações. Com esta e muitas outras contribuições à matemática, Lagrange tornou-se o mais notável matemático do século XVIII. Carl Gustav Jacobi (1804-1851) também contribuiu de maneira significativa para o cálculo variacional. Em 1837, aprofundou seus estudos na segunda variação, estudada anteriormente por Adrien-Marie Legendre em 1786, e descobriu quando a condição de Legendre era satisfeita ou não. Seu resultado mais significativo foi a descoberta dos pontos conjugados. Lembrando que a condição de Legendre afirmava que deveríamos ter fy1 y1 ¥ 0 para mínimos e fy1 y1 ¤ 0 para máximos, resultado porém, que não explicou de maneira conclusiva. Posteriormente, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1895) deixou sua contribuição para o cálculo variacional, encontrando uma condição necessária para extremos envolvendo sua função E px, y, p, y 1 q, sendo posteriormente conhecido como o pai da Análise Moderna. Já no século XX, merece destaque Amalie Emmy Noether. Nascida em 23 de março de 1882, em Erlanger, Emmy Noether, como é mais conhecida, foi uma mulher gentil, de aparência série e despojada, dotada de franqueza em suas críticas, características que causavam um enorme fascínio entre seus colegas e alunos. Herdou de seu pai, Max Noether (1844-1921), renomado matemático da Universidade de Erlanger, a paixão pela álgebra. Sua tese de doutorado, intitulada Sobre Sistemas Completos de Invariantes para.

(16) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 16. Formas Biquadradas Ternárias, foi defendida em 1907, sob a orientação de Paul Gordan (1837-1912), também ligado à Universidade e amigo de sua família. Depois de deixar Erlanger, Emmy Noether estudou em Gottingen, onde, em 1919, foi aprovada no exame de habilitação, embora houvesse objeções por grande parte da faculdade que se opunha ao magistério de mulheres. Apoiada por David Hilbert (1862-1943), Emmy tornou-se, em 1922, professora de Gottingen, permanecendo até 1933, quando, devido ao domínio nazista e por sua origem judia, foi proibida de exercer suas atividades acadêmicas. Logo após deixou a Alemanha para ocupar uma cadeira no Bryn Mawr College, Pennsylvania, tornando-se também membro do Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Faleceu em 14 de abril de 1935 no auge de sua capacidade produtiva, com cinquenta e três anos de idade, vítima de uma complicação cirúrgica. Natalie Angier (2012) [16], colunista do Jornal The New York Times, surpreendeu muitos dos admiradores de Emmy Noether, ao relembrar os 130 anos de seu nascimento, em artigo reeditado na seção História do jornal O Globo, de 7 de abril de 2012, sob o título A matemática que o mundo esqueceu. A citada jornalista chama a atenção para o trabalho da célebre cientista e relembra que Albert Einstein a considerava “o mais significativo e criativo matemático do sexo feminino de todos os tempos.” Enfatiza que um dos mais importantes pilares da Física Moderna e Contemporânea é o célebre Teorema de Noether, enunciado por Emmy em 1915 e demonstrado pela mesma em 1918, que une dois conceitos: as leis universais de conservação e as simetrias na natureza. Em síntese, toda e qualquer simetria (externa, interna ou de calibre) associado a uma grandeza conservada pode ser verificada por este Teorema, que se tornou um instrumento fundamental na busca de simetrias (invariâncias) na natureza. O impacto de sua contribuição científica influenciou a Física Clássica e a Física Moderna - mecânica, teoria eletromagnética, teorias de relatividade, entre outras, dando suporte teórico às mais extraordinárias descobertas da Física nos últimos anos. Procuramos, nesta seção, apresentar um pouco da história do surgimento e desenvolvimento do cálculo variacional, objeto de estudo deste trabalho. Para esta seção tomamos como referências os textos de [8], [2], [10], [5] e [16]. Mais informações sobre o contexto histórico podem ser encontadas em [19].. 3 Cálculo Variacional Unidimensional Considere o seguinte funcional: J ry s . » x1 x0. Lpx, y, y 1 qdx.. Suponha que Lx , Lxy , Lxy1 existem e são contínuas, J ry s é definido para.

(17) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. y. 17. P C 1prx0, x1sq, em que x0 e x1 são números reais tais que x0 x1. Lembremos que a norma do espaço C 1 prx0 , x1 sq é definida por: }y} sup |y| sup |y1| rx0 ,x1 s. rx0 ,x1 s. O Problema Fundamental do Cálculo Variacional consiste em encontrar y P C 1 prx0 , x1 sq, que satisfaça as condições de fronteira y px0 q y0 e y px1 q y1 , tal que J ry s atinja o seu extremo. Definição 3.1. Fixemos y0 P C 1 prx0 , x1 s. Dizemos que y0 é mínimo local se existe δ ¡ 0, tal que para todo y satisfazendo }y y0 } δ temos J ry0 s ¤ J ry s. Analogamente, dizemos que y0 é máximo local se existe δ ¡ 0, tal que para todo y satisfazendo }y y0 } δ temos J ry0 s ¥ J ry s. Desta forma, segue abaixo dois exemplos de funcionais bem conhecidos dos cursos de cálculo. Exemplo 3.2. Área sob o gráfico de y. ypxq :. J ry s . »b a. y pxqdx.. Exemplo 3.3. Cumprimento de arco J ry s . »ba a. 1. py1pxqq2dx.. 4 Problemas Clássicos Um dos famosos problemas da história da matemática e do cálculo variacional é o Problema da Braquistócrona. Tal problema consiste em encontrar uma curva que uma partícula P precisa descrever para sair do ponto A e chegar no ponto B, no menor tempo possível, sem atrito e somente sob a ação da força da gravidade. Proposto por Johann Bernoulli em 1696, o Problema da Braquistócrona surgiu como um desafio aos grandes matemáticos da época, sendo um dos precursores do cálculo das variações. Soluções corretas foram apresentadas pelos irmãos Johann e Jacob Bernoulli, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e pelo Marquês L’Hospital. Assumiremos que os pontos A e B estão no plano xy. Vide Figura 1. Consideremos y y pxq, como sendo o caminho percorrido pela partícula. Observe que o eixo y está orientado no sentido oposto ao usual. Isto é conveniente pois, neste caso,a força exercida pela gravidade fica orientada no sentido positivo [9]. Consideremos o ponto A como sendo a origem e B como sendo o ponto de chegada (ponto inferior), isto é, os pontos relacionados do problemas são: Ap0, 0q e B pa, bq..

(18) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 18. Denotemos T, o tempo gasto pela partícula para cumprir seu trajeto. Veja abaixo o esquema do Problema da Braquistócrona no plano.. Figura 1 – Esquema do problema no plano.. Como a partícula atua somente sob a ação da gravidade, em física, o trabalho realizado pela partícula P ao se deslocar do ponto A até o ponto M px, y q é igual à variação da energia cinética, isto é, mgy. 12 mv2. (1.1). em que v é o módulo da velocidade da partícula no ponto M, y o seu deslocamento vertical e m sua massa. Como m 0, segue de (1.1) e do fato que a velocidade escalar é a variação do trajeto percorrido S pelo tempo t, temos: v2. . 2gy e v dS dt. (1.2). Logo, segue de (1.2) . dS dt. 2. ?dS 2gy. 2gy,. dt. . e T. ». z. OM. ?dS 2gy. (1.3). ypxq suficientemente diferenciável. Sabemos que o comprimento de arco entre Ap0, 0q e M px, y q, representado pelo gráfico da função y y pxq, é dado por: y é representado por uma função y em que OM. s p xq . »xa. 1. 0. py1pτ qq2dτ. que derivando, resulta dS. . a. 1. py1pxqq2dx.. (1.4). Sendo T, o tempo gasto pela partícula P no trajeto, segue de (1.3) e (1.4) J ry s T. . »aa. 1. 0. py pxqq ?2gy 1. 2. dx.. (1.5).

(19) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 19. Dado o objetivo, queremos então encontrar y. ypxq P C 1pr0, xsq que minimize. (1.5). Outro problema de extrema importância histórica no Cálculo das Variações é o Problema de Didó, que consiste em encontrar uma função y pxq ¡ 0 tal que: 1. y px0 q 0 e y px1 q 0, onde 0 x0. x1 .. 2. O comprimento J1 ry s tem um valor S. » x1 a. 1. x0. py1pxqq2dx. (1.6). constante f ixa, tal que |x1 xo| ¤ S. 3. A área A J ry s . » x1. (1.7). ydx x0. seja máxima. Apresentados os problemas clássicos do Cálculo Variacional, o exemplo a seguir, pertencente a Weierstrass, mostra que extremo (máximo e mínimo) nem sempre existe. Consideremos J ry s tal que y p1q 1 e y p1q 1.. »1. 1. x2 py 1 pxqq2 dx ¥ 0. (1.8). Mostraremos a seguir, que não existe y P C 1 pr1, 1sq tal que J ry s 0, embora os valorer do funcional (1.8) estejam suficientemente próximos de zero. De fato, considere ya pxq . arctanpx{aq . arctanp1{aq. (1.9). Note que ya pxq satisfaz as condições de fronteira ya p1q 1 , ya p1q 1.. (1.10). Derivando (1.9) com relação a x temos: ya1 pxq . a arctan p1{aqpx2. a2 q. (1.11). .. Substituindo (1.11) em (1.8) temos: J ry a s . . »1. 1. x. 2. a arctan p1{aqpx2. 2. a2 q. ñ.

(20) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. J ry a s . 20. . a arctan p1{aq. 2 » 1. x2 dx. 1 px2 a2 q2. (1.12). Por outro lado, é válida a desigualdade . 2. x a2. ¤ a2 1 x 2 ,. x2. (1.13). cuja verificação é imediata. Logo, segue de (1.12) e (1.13) que J rya s . . 2 » 1 . a a2. Mas,. x2 . 1. 2. x a2. x2. a arctan p1{aq. dx ¤. 2 » 1. . 1. 1. a2. x2. a arctan p1{aq. dx . 2 » 1. 1. 1 a2. x2. dx.. (1.14). 2a . arctan p1{aq. Fixado um número ε ¡ 0 qualquer, considere a tal que 2a arctan p1{aq. ε.. (1.15). Deste modo, de (1.14) e (1.15) obtemos que . a arctan p1{aq. Isto é,. 2 » 1. 1. 1 a2. x2. dx ε. J ry a s ε. Se J ry s 0, então y 1 0 e, consequentemente, y y pxq é constante; mas por (1.10), chegamos a uma contradição. Portanto, J ry s 0, y P C 1 pr1, 1sq, em que y p1q 1 e y p1q 1. Isto é, embora próximo de zero, J ry s é sempre positivo. Observação 4.1. Neste estudo, consideramos que todas as funções consideradas são diferenciáveis tantas vezes quantas forem necessárias nos respectivos problemas. Por exemplo, para a função L exibida anteriormente, densidade do funcional J, a condição imposta é L P C 2 pDq, em que D R3 é aberto e conexo.. 5 O Lema de Lagrange Lema 5.1. Sejam f P C prx0 , x1 sq e η P C 1 prx0 , x1 sq uma função que se anula nos extremos do intervalo rx0 , x1 s. Nestas condições, se » x1 x0. f pxqη pxqdx 0.

(21) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 21. para qualquer η com as características descritas, então. 0.. f. Demonstração: Vamos supor que f 0. Então, existe um ponto ξ pertencente ao intervalo aberto px0 , x1 q tal que f pξ q ¡ 0. Como f é contínua, existe uma vizinhança de ξ onde f pxq ¡ 0. Tomemos dois pontos distintos, ξ1 e ξ2 , com ξ1 ξ2 , dessa vizinhança. Assim, para qualquer x P rξ1 , ξ2 s, tem-se f pxq ¡ 0. Consideremos a função η0 tal que #. 0 se x R pξ1 , ξ2 q px ξ1q2px ξ2q2 se x P pξ1, ξ2q. (1.16). em que x0 ξ1 ξ2 x1 . Observe que η0 satisfaz as condições do Lema acima, pois η0 px0 q C 1 prx0 , x1 sq. Logo,. η0px1q 0 e η0 P. η0 pxq . 0. » x1 x0. f pxqη0 pxqdx . » ξ2 ξ1. f pxqη0 pxqdx,. (1.17). pois η0 pxq 0 para x P rx0 , ξ1 s Y rξ2 , x1 s. No entanto, f pxq ¡ 0 e η0 pxq ¡ 0 no intervalo pξ1, ξ2q, contrariando p1.17q. Portanto, f não é positiva. Analogamente, mostra-se que f não pode ser negativa. Logo, f 0, finalizando a demonstração. l. 6 O Lema de Dubois - Reymond Lema 6.1. Sejam f P C prx0 , x1 sq e η P C 1 prx0 , x1 sq uma função que se anula nos extremos do intervalo rx0 , x1 s. Nestas condições, se » x1 x0. f pxqη 1 pxqdx 0. para qualquer função η com as características descritas, então f pxq C. constante.. Demonstração: Definimos a constante C como: C :. 1. » x1. x1 x0. x0. f pxqdx.. (1.18). Consideremos » x1 x0. pf pxq C qdx . » x1 x0. f pxqdx . » x1 x0. Cdx C px1 x0 q. » x1 x0. f pxqdx.. (1.19). Logo, » x1 x0. pf pxq C qdx 0. (1.20).

(22) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 22. Seja η pxq :. »x x0. pf pτ q C qdτ.. (1.21). De p1.20q e p1.21q obtemos η px0 q η px1 q 0 e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo η P C 1 prx0 , x1 sq e satisfaz as condições do Lema acima. Derivando p1.21q com relação a x temos: d η 1 p xq . »x. dx. Então, 0. » x1 x0. x0. pf pτ q C qdτ f pxq C.. f pxqη 1 pxqdx . Portanto,. » x1 x0. » x1 x0. f pxqpf pxq C qdx.. f pxqpf pxq C qdx 0.. Agora, multiplicando ambos os lados de p1.20q por. C. » x1 x0. (1.22). C temos:. pf pxq C qdx 0.. (1.23). Somando-se p1.22q com p1.23q obtemos » x1 x0. pf pxq C q2 0.. Esta última igualdade implica que f pxq C finaliza a demonstração.. 0, ou seja, f pxq C, o que l. Para esta seção tomamos como referência o texto de [11].. 7 O Lema Fundamental do Cálculo Variacional Lema 7.1. Sejam duas funções apxq e bpxq contínuas no intervalo fechado rx0 , x1 s. Seja η P C 1 prx0 , x1 sq tal que η px0 q η px1 q 0. Nestas condições, se » x1 x0. papxqηpxq. bpxqη 1 pxqqdx 0. para qualquer função η com as características descritas, então b P C 1 prx0 , x1 sq e b1 pxq apxq. Demonstração: Consideremos Apxq . »x. x0. aptqdt ;. dApxq dx. ap x q. (1.24).

(23) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 23. Então, segue da equação p1.24q que » x1 x0. apxqη pxqdx . » x1 x0. dApxq η pxqdx. dx. Integrando por partes a expressão dada acima obtemos: » x1 x0. apxqη pxqdx Apx1 qη px1 q Apx0 qη px0 q . » x1 x0. Apxqη 1 pxqdx.. (1.25). Como η px0 q η px1 q 0, de p1.25q tem-se: » x1 x0. » x1. apxqη pxqdx . x0. Apxqη 1 pxqdx.. (1.26). bpxqη 1 pxqdx.. (1.27). Mas, como por hipótese temos » x1 x0. apxqη pxqdx . » x1 x0. Deste modo, segue de p1.26q e p1.27q » x1 x0. isto é,. Apxqη 1 pxqdx » x1 x0. » x1 x0. bpxqη 1 pxqdx 0,. η 1 pxqpApxq bpxqqdx 0.. Chamemos Apxq bpxq f pxq. Pelo Lema de Dubois - Reymond, temos que f pxq constante. Seja pC q essa constante, então: Apxq bpxq C Como A(x) é dado por p1.24q, segue que bpxq . »x. x0. aptqdt. C.. Finalmente, derivando bpxq com relação a x e utilizando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos: b1 pxq apxq, o que encerra a demonstração.. l.

(24) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 24. 8 As Equações de Euler - Lagrange Neste parágrafo, procuraremos uma condição necessária para y P C 1 prx0 , x1 sq, com y px0 q y0 e y px1 q y1 , seja extremo (no espaço de funções) do funcional J ry s dado por (1.1). Sejam η P C 1 prx0 , x1 sq, α um número suficientemente pequeno e y pxq um extremo do funcional J. Consideramos a função y1 pxq y pxq αη pxq, em que η pxq é uma função diferenciável arbitrária. Observe que, o que fizemos foram variações na função y pxq, isto é, somamos a ela um número α multiplicado por uma outra função η pxq. Daí vem o nome cálculo das variações. A função y1 pxq pertence a uma vizinhança de y pxq, no sentido da norma no espaço C prx0 , x1 sq. 1. De fato,. ¡ 0 um número qualquer. Temos: }y1 y} }ypxq αηpxq ypxq} }αη} |α|}η} ¤ C |α|,. Considere δ. em que C é um majorante de }η }. Então, se α é tal que |α| válida a desigualdade }y1 y} ¤ δ.. . δ (sempre possível), é C. Impondo as condições y1 px0 q y0 e y1 px1 q y1 , temos η px0 q η px1 q 0. Como a função y1 pxq pertence ao domínio de definição do funcional J, podemos introduzir a função » ϕpαq : J ry pxq. αη pxqs . x1. x0. Lpx, y. αη, y 1. αη 1 qdx.. Do cálculo diferencial, a condição ϕ1 p0q 0 é uma condição necessária para y ser extremo. Desta forma, segue da regra da cadeia que d ϕpαq ϕ1 pαq dα. . » x1 x0. pLy px, y. » x1 x0. αη, y 1. d Lpx, y dα. αη 1 qη. αη, y 1. Ly1 px, y. αη 1 qdx αη, y 1. αη 1 qη 1 qdx. (1.28). Das condições descritas e de p1.28q tem-se: ϕ1 p0q Fazendo a Ly px, y, y 1 q, b temos b1 a, segue que. » x1 x0. . pLy η. Ly1 η 1 qdx 0. (1.29). d Ly1 px, y, y 1 q em (1.29) e, como do Lema 7.1 dx. Ly px, y, y 1 q . d Ly1 px, y, y 1 q 0, dx. (1.30).

(25) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 25. com y px0 q y0 e y px1 q y1 .. A equação obtida em p1.30q é chamada de Equação de Euler - Lagrange.. Definição 8.1. Uma solução y y pxq da equação de Euler - Lagrange é chamada de ponto crítico (no espaço das funções) do funcional J. O valor J ry s é chamado de valor crítico. Desta forma, demonstramos o seguinte Teorema: Teorema 8.2. (Euler) Se y P C 1 prx0 , x1 sq é um extremo de J ry s, com y px0 q y px1 q y1 , então y y pxq satisfaz a Equação de Euler - Lagrange.. . y0 e. Observação 8.3. A Equação de Euler - Lagrange é condição necessária para a existência do extremo, porém não é suficiente. Observação 8.4. Caso possamos fazer a diferenciação em p1.30q, pela regra da cadeia teremos: Ly Lxy1. Lyy1 y1 Ly1y1 y2 0.. (1.31). Observação 8.5. Vale o seguinte resultado, caso particular do Teorema de Hilbert: “Seja y P C 1 prx0 , x1 sq um extremo, com y px0 q y0 , y px1 q y1 e Ly1 y1 0 sobre as condições de p1.32q, então y P C 2prx0, x1sq” A existência de soluções da equação de Euler - Lagrange (1.31) pode ser obtida a partir do seguinte teorema: Teorema 8.6. (Teorema de Bernstein): Seja y y2. ypxq solução do problema. Gpx, y, y1q , ypx0q y0 e ypx1q y1. (1.32). R2 - domínio limitado para todo y1 y1pxq fixado. Suponhamos que existe uma constante K ¡ 0 tal que. em que G P C 1 pDq, D. 1. Gy px, y, y 1 q ¥ K; 2. Existem funções α αpx, y q ¥ 0 e β. β px, yq ¥ 0 tais que. |Gpx, y, y1q| ¤ αy12. β. para todo domínio limitado, a qual px, y q pertença. Então, para todo px0 , y0 q e px1 , y1 q, com x0 C do problema p1.32q. 1. x1, existe uma única solução em.

(26) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 26. A função L Lpx, y, y 1 q chama-se Função de Lagrange. Definiremos agora uma outra função H H pxq, em termos de L : BL H : y 1 Ly1 L y 1 1 L. (1.33) By. H pxq é chamada de Função de Hamilton, cuja importância se verifica no teorema abaixo. BL 0 e y ypxq é solução da equação de Euler - Lagrange, então Teorema 8.7. Se Bx H constante. Demonstração: Derivando p1.33q com relação a x temos: d 1 d d d d H p y Ly1 q L y 2 Ly1 y 1 Ly1 L. (1.34) dx dx dx dx dx Mas, d Lpx, y, y 1 q Lx Ly y 1 dx e, da equação de Euler - Lagrange, temos d Ly1 Ly dx. Ly1 y 2. (1.35). (1.36). De p1.35q e p1.36q, a equação p1.34q se reduz à: d H Lx . dx No entanto, por hipótese, temos. BL 0. Bx. Logo, d H dx. 0. constante. 1 1 Observação 8.8. Se L y 12 F py q, temos H y 12 2 2 o que implica que H. l. F py q. Neste caso, a Função de Hamilton é constituída por dois termos: o primeiro representa a energia cinética e, o outro, a energia potencial. Desta forma, a relação H constante é a expressão BL 0, o Teorema 8.7 nos dá H da Lei de Conservação de Energia. Em geral, se Bx constante, que representa uma primeira integral da Equação de Euler - Lagrange. Observação 8.9. Em física, temos as seguintes notações e terminologia: a função δy. αη. é chamada de variação da função y; e o número » x1 d d δJ δJy pη q J py αη q p Ly Ly1 qηdx dα α0 dx x0 é a primeira variação do funcional J. A última fórmula é obtida via integração por partes em p1.29q..

(27) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 27. 9 A Condição de Jacobi Como mencionado na observação 8.3, a Equação de Euler - Lagrange fornece uma condição necessária para a existência de extremos, porém não suficiente. Para encontrarmos uma condição suficiente, podemos fazer a analogia com o caso de funções que fornecem condições em termos das segundas derivadas. Deste modo, analisemos a segunda variação de J, dada por: δ Jy pη 2. 2. q :. Por cálculo direto, temos δ Jy pη 2. 2. q. » x1 x0. 1 2. . . 1 d2 J py 2 dα2 α0. Lyy . d Lyy1 η 2 dx. αη q.. 1 Ly1 y1 η 12 dx. 2. Chamando de. 1 P pxq : Ly1 y1 px, y pxq, y 1 pxqq, 2 d 1 Qpxq : pLyy px, y pxq, y 1 pxqq Lyy1 px, y pxq, y 1 pxqq, 2 dx temos a seguinte equação diferencial:. pP pxqu1pxqq1. Qpxq 0,. (1.37). chamada de Equação de Jacobi. Definição 9.1. Um número real x é chamado ponto conjugado de x0 , se existe uma solução upxq da Equação de Jacobi tal que upxq 0 no intervalo aberto px0 , x q e upx q 0 Teorema 9.2. (Jacobi) Seja y 1. δJy pη q 0 para todo η. ypxq uma função que satisfaz as seguintes condições:. P C 1prx0, x1sq tal que ηpx0q ηpx1q 0;. 2. P pxq ¡ 0 em rx0 , x1 s; 3. x0 não tem pontos conjugados em px0 , x1 s Então, y. ypxq é um mínimo de J.. Observação 9.3. Observemos que a condição 1 acima é equivalente à Equação de Euler Lagrange, isto é, y y pxq é um ponto crítico de J. Observação 9.4. Existem outras condições suficientes para a existência de extremo como, por exemplo, a condição de Legendre e de Weierstrass, que serão abordadas na próxima seção. Observação 9.5. Não apresentaremos neste trabalho a demonstração do Teorema de Jacobi, que pode ser encontrada com detalhes em [12]..

(28) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 28. 10 As condições de Weierstrass e de Legendre Considere o seguinte funcional: J ry s . » x1 x0. F px, y, y 1 qdx. (1.38). no domínio das funções sujeitas às condições de fronteira y px0 q y0 ,. y px1 q y1. (1.39). As condições de Weierstrass. Denomina-se função de Weierstrass a função E px, y, p, y 1 q F px, y, y 1 q F px, y, pq py 1 pqFp px, y, pq. Nestes termos, para que uma curva Y seja um extremo do funcional p1.38q com as condições de fronteira p1.39q, basta que se cumpram as seguintes condições: 1) Y é um ponto estacionário de p1.38q sujeito às condições p1.39q, isto é, Y é uma solução da equação de Euler-Lagrange para p1.38q satisfazendo as condições de fronteira p1.39q; 2) Pode-se incluir Y num campo de lagrangianas para o funcional p1.38q (o que acontecerá, por exemplo, ao se cumprir a condição de Jacobi). Cumpridas algumas condições geométricas relacionadas com E, Weierstrass mostrou que um ponto crítico será um máximo se E ¤ 0 e, um mínimo, se E ¥ 0. As condições de Legendre: Pode-se, levando em conta que a função F px, y, y 1 q admita a segunda derivada contínua Fy1 y1 px, y, y 1 q, substituir as condições suficientes de Weierstrass pelas condições de Legendre, condições de mais simples verificação. Assim, para que a função y˜pxq seja um extremo fraco do funcional (1.38) no domínio das funções sujeitas às condições (1.39), basta que, além das condições 1. e 2. de Weierstrass se cumpra, para qualquer x, x0 ¤ x ¤ x1 e y y˜pxq, se Fy1 y1 px, y, y 1 q ¡ 0, então y˜pxq é um mínimo, ou, para qualquer x, x0 ¤ x ¤ x1 e y y˜pxq, se Fy1 y1 px, y, y 1 q 0, então y˜pxq é um máximo.. Para que y˜pxq seja um extremo forte de (1.38) com as condições de fronteira (1.39), além de cumpridas as condições 1. e 2. de Weierstrass, basta que, para as coordenadas x, y dos pontos de uma vizinhança de y˜pxq e, para qualquer valor de y 1 , se Fy1 y1 px, y, y 1 q ¥ 0, então y˜pxq é um mínimo; sendo y˜pxq um máximo se tivermos Fy1 y1 px, y, y 1 q ¤ 0. Para os detalhes vide [1]..

(29) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 29. 11 O Problema do Extremo Condicional Problemas desse tipo foram considerados por Euler e Lagrange, baseados em ideias com origem na mecânica. Teorema 11.1. (Euler) Consideremos a equação: J1 rv s :. » x1 x0. Gpx, v, v 1 qdx a. em que a é uma constante. Seja y pxq P C 1 prx0 , x1 sq, com y px0 q função que obedece as seguintes condições: 1. y. ypxq é solução da equação. 2. y. ypxq é extremo do funcional. J1 rv s a;. J r ω s : 3. y. y0 e ypx1q y1, uma. » x1 x0. Lpx, ω, ω 1 qdx;. ypxq não é ponto crítico de J1rvs. Então, existe um número real λ tal que y I ry s . » x1 x0. pL. ypxq é ponto crítico do funcional. λGqdx. Demonstração: Seja. ypxq α1η1pxq α2η2pxq uma variação de y y pxq, em que ηj pxq P C 1 prx0 , x1 sq, j 1, 2. Para α1 e α2 números suficientemente pequenos, a função y1 pxq pertence a uma vizinhança de y pxq suficientemente y1. pequena. Além disso, y1 px0 q y0 , y1 px1 q y1 ; logo; ηj. 0, j 1, 2. Então, y1pxq pertence ao domínio de definição do funcional J.. Por outro lado, estamos interessados em funções e suas variações, tais que, além de serem extremos de J, satisfaçam a equação dada na condição 1 do Teorema. De fato, essa é a razão de utilizarmos dois parâmetros de variação: o primeiro está relacionado com a variação do funcional J e, o segundo, garante que estas variações sejam soluções da equação 1. Então, considerando a função Φpα1 , α2 q : J1 ry1 pxqs J1 ry pxq α1 η1 pxq α2 η2 pxqs temos que.

(30) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 30. Φpα1 , α2 q a,. (1.40). e, em particular, Φp0, 0q a. Observamos que Φ é uma função continuamente diferenciável. As variações do funcional J1 são dadas por: . dJ1 dαj α0 em que α pα1 , α2 q e. » x1 x0. . » x1 . Gy . Gy . x0. d Gy1 ηj pxqdx, dx. d Gy1 ηj dx 0, pois y dx. j. 1, 2. (1.41). ypxq não é ponto crítico de. J1 (condição 3 do Teorema). Em particular, podemos escolher η2 , quando j=2 em p1.41q, tal que. BJ1 p0, 0q » x B α2 x. 1. . Gy . 0. Isto garante que. . d Gy1 η2 pxqdx 0 dx. BΦ p0, 0q 0 α2. Estabelecidas as condições acima, podemos aplicar o Teorema da Função Implícita [13] : Dada a função f: U Ñ R, de classe C k (k ¥ 1) no aberto U Rn 1 , seja px0, y0q P U tal que f px0, y0q c e BBfy 0. Existem uma bola B B px0; δq Rn e um intervalo J py0 ε, y0 εq com as seguintes propriedades:. Bf px, yq 0 para todo px, yq P B J;¯ 1. B J¯ U e By 2. Para todo x P B existe um único y. ξ pxq P J tal que f px, yq f px, ξ pxqq c.. A função ξ : B Ñ J, assim definida, é de ponto x P B são dadas por Bξ pxq B xi. classe C k e suas derivadas parciais em cada. Bf px, ξ pxqq B xi Bf px, ξ pxqq . By. O Teorema implica que a equação p1.40q determina α2 como uma função de α1 , numa vizinhança de zero suficientemente pequena. Então, existe uma função ϕ continuamente diferencial nesta vizinhança, tal que α2 ϕpα1 q e ϕp0q 0. Substituindo em p1.41q temos Φpα1 , ϕpα1 qq a.. (1.42). Diferenciando p1.42q com relação a α1 , obtemos:. BΦ pα , ϕpα qq.1 BΦ pα , ϕpα qqϕ1pα q BJ1 BJ1 ϕ1pα q 0 1 Bα1 1 1 B α2 1 1 Bα1 Bα2 1. (1.43).

(31) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 31. 0. Então, temos de p1.43q BJ1 p0, 0q BJ1 ϕ1p0q 0. Bα1 B α2 BJ1 0, segue de p1.44q que Como B α2 BJ p0, 0q ³x Gy d Gy1 η1 dx ϕ1 p0q BBαJ ³xx G dxd G 1 η dx . p 0, 0 q y 2 Bα dx y x. Seja α1. (1.44). 1. 1 1. 0 1. 1 2. (1.45). 0. Agora, a variação do funcional J é dada por: y pxq y Mas, y. ϕpα1 qη2. α1 η 1. ypxq é extremo de J (condição 3 do Teorema de Euler) e, consequentemente, . dJ dα1 α1 0. 0.. Então, para J rα1 s . » x1 x0. Lpx, y. ϕpα1 qη2 , y 1. α1 η 1. α1 η11. ϕ1 pα1 qη21 qdx,. a Equação de Euler - Lagrange é dada por: 0. . dJ dα1 α1 0. . » x1 x0. Ly . ϕ1 p0q. d Ly1 η1 pxqdx dx. » x1 . Ly . x0. d Ly1 η2 pxqdx. (1.46) dx. Substituindo ϕ1 p0q de p1.45q em p1.46q temos: 0. . ³ x1 ³xx01 x0. Gy Gy . » x1 x0. Ly . . d G 1 η1 dx dx y d G 1 η2 dx dx y. d Ly1 η1 pxqdx dx. » x1 . Ly . x0. A equação p1.47q sugere que denotemos por λ. ³ x1. ³ xx10 x0. Ly . Gy . d Ly1 η2 pxqdx dx . pxqdx pxqdx .. d L 1 η2 dx y d 1 G η2 y dx. (1.47). (1.48). Desta forma, a equação dada em p1.47q pode ser reescrita da seguinte forma: 0. » x1 x0. pLy. λGy q . d pLy1 dx. . λGy1 q η1 pxqdx.. Como η1 pxq P C 1 e η1 px0 q η1 px1 q 0, pelo Lema de Lagrange, temos:. pLy. λGy q . d pLy1 dx. λGy1 q 0.

(32) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 32. L λG. Então, d (1.49) My Ly λGy , My1 Ly1 λGy1 e My My1 0 dx ou seja, y y pxq satistaz p1.49q, que é a equação de Euler - Lagrange do funcional »x M dx, I rZ s : J rZ s λJ1 rZ s Seja M. 1. em que M. L. x0. λG e λ é um número real (vide p1.48q).. 12 Equações de Euler - Lagrange para funcionais que dependem de n funções Considere um funcional do tipo J ry1 , y2 , ..., yn s . » x1. Lpx, y1 , y2 , ..., yn , y11 , y21 , ..., yn1 qdx,. x0. com as condições de fronteira dadas por: yk px0 q yk0 , yk px1 q yk1 com k. 1, 2, ..., n.. Para obtermos as condições necessárias de extremo, variamos só uma das funções yj pxq, j 1, 2, ..., n, deixando as demais invariáveis. Seja ϕj rαs J ry1 , ..., yj em que ηj. αηj , ..., yn s . » x1 x0. Lpx, y1 , ..., yj. αηj , ..., yn , y11 , ..., y11. αηj , ..., yn1 qdx,. P C 1prx0, x1sq tal que ηj px0q ηj px1q 0, j 1, 2, . . . n. Derivando ϕj com relação a α obtemos: dϕj dα Igualando. . » x1 x0. BL B py1 αηj q Byj1 Bα j. BL B py B yj B α j. . αηj1 q dx. dϕj a zero temos: dα » x1. rLy ηj j. x0. Lyj1 ηj1 sdx 0. Mas, o Lema 7.1 implica que Lyj. d dx Ly1 0. j. Fazendo, de forma exatamente análoga, para qualquer outra função yj pxq, j=1,2,...,n, obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais de segunda ordem: Lyj. d dx Ly1 0 com j 1, 2, ..., n j. (1.50). que determinam, geralmente, uma família dependente de 2n parâmetros de curvas integrais no espaço x, y1 , y2 , ..., yn , que correspondem a uma família de extremais do problema variacional dado..

(33) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 33. 13 Equações de Euler-Lagrange para funcionais que dependem das derivadas de ordem superior. Dado o funcional J ry pxqs . » x1 x0. Lpx, y pxq, y 1 pxq, ..., y n pxqqdx,. em que L é uma função n 2 vezes diferenciável com relação a todos os seus argumentos, e suponhamos que as condições de fronteira se apresentam da seguinte forma: y px0 q y0 , y 1 px0 q y01 ,..., y n1 px0 q y0n1 , y px1 q y1 , y 1 px1 q y11 ,..., y n1 px1 q y1n1 . Para obtermos as condições necessárias de extremo, devemos inicialmente variar y y pxq, como segue: ϕrαs J ry em que η. αη s . » x1 x0. αη, y 1. Lpx, y. αη 1 , ..., y n. αη n qdx,. P C nprx0, x1sq, tal que ηpx0q ηpx1q 0. Diferenciando ϕ com relação a α e igualando a zero obtemos. » x1 x0. BL ηpxqdx By. » x1 x0. » x1. BL η1pxqdx By1. x0. BL η2pxq +...+ By2. » x1 x0. BL ηnpxqdx 0. Byn. Integrando por partes o segundo termo uma vez, o terceiro duas vezes, o quarto três vezes e, assim sucessivamente, até o n-ésimo termo, e, colocando η em evidência, obtemos: » x1 n j ¸ d B L η pxq p1qj dxj Byj dx 0 x0 j 0 Pelo Lema de Lagrange, concluí-se que n ¸. dj p1q dx j j 0. . j. BL 0. Byj. (1.51). Dessa forma, a função y y pxq que é extremo do funcional dado no início, deve ser solução da equação (1.52). Tal equação, chamada de Euler-Lagrange, é uma equação diferencial de ordem 2n, e suas curvas integrais, chamadas de extremais do problema proposto. Agora, se o funcional J tem a forma J ry pxq, z pxqs . » x1 x0. Lpx, y, y 1 , ..., y n , z, z 1 , ..., z m qdx,.

(34) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 34. variando y y pxq e, considerando z z pxq fixa e, posteriormente, variando z z pxq e considerando y y pxq fixa, concluímos que as funções y y pxq e z z pxq, que são extremos, devem satisfazer o seguinte sistema de equações de Euler-Lagrange: n ¸. dj p1q dx j j 0. . j. m ¸. di p1q dx i i0 i. . BL 0, Byj. (1.52). BL 0. Bzi. (1.53). Analogamente, podemos analisar o extremo de um funcional que depende de um número arbitrário de funções: J ry1 , y2 , ..., ym s . » x1 x0. 1 , ..., y nm qdx Lpx, y1 , y11 , ..., y1n1 , y2 , y21 , ..., y2n2 , ..., ym , ym m. Variando somente alguma das funções y yi pxq, obtemos a condição necessária de extremo (na forma de sistema) dado pelo somatório: . ni ¸. dj p1qj dx j j 0. BL 0, Byipjq. i 1, 2, ..., m.. (1.54). 14 Equações de Euler-Lagrange para funcionais envolvendo funções de várias variáveis Consideremos o seguinte funcional para u upx, y q J rus . B u Bu x, y, , Bx By dxdy,. . » ». L D. em que L é uma função três vezes diferenciável com relação a seus argumentos e D Supondo que seja possível encontrar a função u seguintes condiçôes:. R2.. upx, yq, satisfazendo as. 1. Seja contínua, juntamente com suas derivadas de segunda ordem; inclusive em D; 2. E, por fim, que seja o extremo do funcional dado. Variando u upx, y q, obtemos: ϕrαs J ru. αη s . » ». D. Lpx, y, u. αη, ux. αηx , uy. αηy qdxdy,. em que η P C 1 pDq e que anula na fronteira de D. Derivando ϕ com relação a α e igualando d ϕp0q a zero, obtemos: dα » ». D. pLuη. Lp ηx. Lq ηy qdxdy. 0,.

(35) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. em que p . 35. Bu e q Bu . Integrando por partes,temos: Bx By » ». D. pLu DxLp Dy Lq qηpxqdxdy 0. B e B Bx By. Acima, cada derivada parcial. , quando aplicada às derivadas Lp e Lq ,. pela Regra da Cadeia, torna-se a derivada total Dx e Dy respectivamente, uma vez que L, Lp e Lq dependem de x e y através da função u upx, y q(para a definição de derivada total, vide a definição ao final deste parágrafo). Aplicando o Lema 5.1, ainda válido neste contexto, conclui-se que: Lu Dx Lp Dy Lq. 0.. (1.55). Desta forma, para o funcional J rupx1 , x2 , ..., xn qs . » D. Lpx1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn qdx1 dx2 ... dxn ,. BBxu , obtemos de forma completamente análoga a seguinte equação de Euleri Lagrange, a qual deverá satisfazer a função upx1 , x2 , ..., xn q, configurando-se no extremo em que pi de J : Lu . n ¸. Di Lpi. . 0,. (1.56). i 1. em que o operador da derivada total com relação a xi é dado por: D Dx BBx i i Bu , u B2u , ... e ui Bxi ij BxiBxj Di. ui. B Bu. B Buj. uij. .... uii1 i2 ...il. B. Bui i ...i 1 2. ... l. Para o exposto acima, foi usada a convenção de Einstein - somatório sobre índices repetidos.. 15 Equações de Euler-Lagrange para funcionais em forma paramétrica Em muitos problemas variacionais, é conveniente a busca por soluções em forma paramétrica. Desta forma, se tivermos um funcional J ry pxqs . » x1 x0. Lpx, y, y 1 qdx. e buscarmos soluções do tipo x xptq e y J rxptq, y ptqs . » t1 t0. yptq, o funcional é reduzido à seguinte forma: . y ptq L xptq, y ptq, xptqdt xptq 9. 9. 9.

(36) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 36. A função subintegral obtida após a troca de variáveis não contém explicitamente t, e é uma função homogênea de primeiro grau de homogeneidade com respeito às variáveis 9 Sua forma se mantém inalterada ao mudarmos a representação paramétrica da x9 e y. curva. Logo, o funcional depende apenas da forma da curva e não de sua representação paramétrica. Podemos escrevê-lo da seguinte forma: J rxptq, y ptqs . » t1 t0. Φpxptq, y ptq, x9 ptq, y9 ptqqdt. Variando x xptq e considerando y y ptq fixa e, depois vice versa, concluímos que, para se encontrar as funções que extremizam o funcional na forma paramétrica, temos que resolver o seguinte sistema de Equações de Euler-Lagrange: $ ' Φx ' ' & ' ' ' % Φy. d Φx 0, dx 9. (1.57). dyd Φy 0. 9. 16 Equações de Euler-Lagrange para funcionais que diferem por uma Divergência Total Neste parágrafo, apresentaremos resultados referentes às Equações de EulerLagrange para funcionais que diferem entre si por uma Divergência Total. Considere o seguinte funcional: J 1 ry s . » x1 x0. Lpx, y, y 1 qdx. Sejam A Apx, y, y 1 q P C 2 prx0 , x1 s R e J2 ry s um funcional da forma J2 ry s . » x1. ˜ Ldx,. x0. ˜ L dA . Então, as Equações de Euler-Lagrange para os funcionais J1 ry s e em que L dx J2 ry s são as mesmas. Esse resultado se estende para o caso em que A é uma função das k-ésimas derivadas, isto é, A Apx, y, y 1 , y 2 , ..., y k q. Consideremos agora o seguinte funcional: J1 rus com x j. ». D. Lpx, u, pqdx,. px1, x2, ..., xnq, u upx1, x2, ..., xnq e p ppp1, p2, ..., pnq, tal que pj BBxu , j. 1, 2, ..., n. Sejam:.

(37) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 37. Aj px, u, pq, com j 1 . . . n, funções de x, u, p e suas derivadas primeiras; J2 rus um funcional do tipo » ˜ J2 rus Ldx,. 1. Aj 2.. ˜L em que L. D. Dj Aj e Dj é a derivada total.. Para o funcional J2 rus, temos: J2 rus . » . BAj B xj. L D. B Aj pji Bpi dx. B Aj pj Bu. . Variando u, » obtemos:. ϕpαq J2 ru. +ppj. αη s . αηj qAj,u px, u. D. pLpx, u. αη, pk. αη, pk αηk q. ppji. αηk q. Aj,xj px, u. αηji. Aj,pj px, u. αη, pk αη, pk. αηk q. αηk qqdx.. d Diferenciando ϕpαq com relação a α, igualando ϕp0q a zero e, por último, dα integrando por partes obtemos: ». rLu DiLp sηdx 0 i. D. Pelo Lema de Lagrange, conclui-se que, para o funcional J2 rus teremos a seguinte equação de Euler-Lagrange:. BL D BL 0 B u i B pi. (1.58). Mas, a equação (1.58) corresponde à Equação de Euler-Lagrange para o funcional J1 rus, o que nos permite concluir que as Equações de Euler-Lagrange para os funcionais J1 rus e J2 rus são as mesmas. Finalmente, o resultado acima pode ser generalizado para o caso de funcionais, cujas funções de Lagrange (também conhecidas como funções Lagrangianas), dependam de m funções de n variáveis e de suas derivadas de ordem k. Isto é, funcionais da forma:. k i B u B ui J1 ru , u , ..., u s L x, u , Bxj , . . . , Bxi , . . . , Bxi dx, D em que x px1 , x2 , ..., xn q, ui ui px1 , x2 , ..., xn q e i1 i2 . . . is k, com i 1, 2..., m. . 1 B um 1 m Bu Sejam Aj Aj x, u , . . . u , B x1 , . . . , B x n e . ». 1. 2. m. i. 1. J2 ru , u , . . . , u 1. ˜L com L. 2. m. s. s. ». ˜ Ldx, D. Dj Aj Desta forma, demonstramos o seguinte Teorema:. Teorema 16.1. As equações de Euler-Lagrange para J1 e J2 são as mesmas..

(38) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 38. 17 Teorema de Noether 17.1 A condição de invarância Dado o funcional J. . » t1 t0. Lpt, q, q9qdt. em que t0 t1 , q pq1 , q2 , . . . qn q - coordenadas generalizadas e q9 dades generalizadas.. pq1, . . . , qnq - veloci9. 9. Consideremos transformações do tipo: #. u Φpt, q ptq, q9ptq, αq yi Ψi pt, q ptq, q9ptq, αq. (1.59). em que α P pδ, δ q é um parâmetro e i 1, . . . , n. Suponha que: i) Para α 0 : 9 0q t, Φpt, q, q,. (1.60). 9 0q qi . Ψi pt, q, q,. (1.61). ii) Para todo α, a transformação dada em (1.59) é inversível, isto é, existe uma função θ tal que t θpu, αq. Desta forma, segue de (1.61) que yi pode ser escrito como função de u e α, isto é, yi. Ψipu, αq.. Denotemos u0 pαq Φpt0 , αq e u1 pαq Φpt1 , αq. iii) Seja J˜rαs . » u1 pαq. . dy L u, y, du u0 pαq. du.. Suponhamos que J˜rαs J. (1.62). para todo α P pδ, δ q. Dadas as condições acima, definiremos: Definição 17.1. Seja uma transformação do tipo p1.59q que satisfaz as condições iq e iiq. Um funcional J é dito invariante sob a ação desta transformação, ou simplesmente invariante, se satisfaz a condição iiiq acima para valores arbitrários de t0 e t1 ..

(39) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 39. Exemplo 17.2. Seja a energia cinética dada por: J rq s . » t1 2 dq dt. dt t0. Consideremos a transformação do tipo p1.59q na seguinte forma: #. Então, t u α, yi. u t α Φpt, αq, yi qi Ψi pt, αq.. qipu αq Ψipu α, αq, além de t0. ¤ t1 ñ t0. α ¤ u ¤ t1. α.. Temos: J˜rαs . » t1. α. t0 α. Ψ 2 u du. B B. . » t1. α. t0 α. dq u α 2 du du. p q. . » t1 2 dq dt dt t0. J.. Logo, J não depende de α, o que nos permite concluir que J é invariante em relação às translações do tempo.. 17.2 O Teorema de Emmy Noether Denotemos. . . BΦ ω ptq Bα α0. BΨi . , Ωi ptq (1.63) Bα α0 Teorema 17.3. Dado o funcional e a transformação p1.60q que obedecem as condições iq, iiq e iiiq da seção anterior, então o sistema de Equações de Euler-Lagrange tem primeira integral da seguinte forma: . n ¸. . Lqi qi L ω ptq 9. i 1. n ¸. Lqi Ωi 9. . const.. i 1. Demonstração De p1.60q, p1.61q e p1.633q temos: uΦt yi. αω ptq. Ψi qi. Opα2 q,. αΩi ptq. Opα2 q. (1.64). (1.65). numa vizinhança de α 0, suficientemente pequena. Da Regra da Cadeia, segue que: dyi du. du i dy : . dt dt. (1.66).

(40) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 40. Substituindo p1.59q, p1.65q em p1.62q tem-se: J˜rαs . . » t1 t0. » u1 pαq. p q. u0 α. . 9 pt, αq Ψ. L Φpt, αq, Ψi pt, αq,. . L Φpt, αq, Ψi pt, αq,. Ψi pt, αq 9. Φ9 pt, αq. Φ9 pt, αq. » t1. Φ9 pt, αqdt . t0. du . Lpt, q, q9qdt. (1.67). Diferenciando p1.67q com relação a α e avaliando em α 0,temos: d dα. . » t1. 9 pt, αq Ψ i. L Φpt, αq, Ψi pt, αq,. t0. Φ9 pt, αq. Φ9 t, α dt . p q. . 0.. (1.68). α 0. Substituindo p1.64q e p1.66q em p1.68q e aplicando a Regra da Cadeia temos: » t1. Lω9. n ¸. Lt ω. . t0. . Lqi Ωi. ωL ω. n ¸. Lqi q9i. ωL. 9. n ¸. . Lqi q9i ω. . 9. ωLt ω9. . Lqi q9. ω. n ¸. ω. i 1. . . Lqi q9i. . . Lqi q:i 9. . q9i Lqi. i 1. ω. d q9i Lqi dt 9. i 1 n ¸. n ¸ i 1. 9. i 1 n ¸. ωLt. 9. 9. . Lqi pΩ9 i q9i ω9 qdt 0.. (1.69). i 1. i 1. ω ωL. . i 1. Por outro lado, d dt. n ¸. d Lq dt i. ωL. . Lqi q:i 9. i 1. ωLt ω9. 9. 9. n ¸. n ¸. . Lqi q9i . 9. (1.70). i 1. Substituindo p1.70q em p1.69q obtemos: » t1 t0. . d dt. ωL ω. n ¸. . n ¸. Lqi q9i 9. . i 1. Lqi Ω9 i qdt 0.. pLq Ωi. 9. i. i 1. Mas, d d p Lqi Ωi q Ω9 i Lqi Ωi Lqi dt dt pelas equações de Euler-Lagrange. Então, 9. 9. » t1 t0. . d dt. ωL ω. n ¸. . 9. n ¸. Lqi q9i 9. . i 1. ΩiLq 9. 9i. Ωi Lqi ,. Lqi Ωi dt 0. 9. (1.71). i 1. Portanto, segue de p1.71q que Apt0 q Apt1 q, em que A ωL ω. n ¸. . i 1. Lqi q9i 9. n ¸. . Lqi Ωi . 9. i 1. Mas, t0 e t1 são arbitrários, o que implica que A = constante. l.

(41) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 41. 18 Algumas Aplicações do Teorema de Noether 1.) Consideremos um sistema de N partículas. A Função de Lagrange correspondente é dada por: N ¸ mi vi2 ¸ Vij p|ri rj |q. L 2 i j i1 Então, consideremos o funcional dado por:. . J em que qi. ri, qi vi. Seja. Já vimos que J . » t1 t0. Lpt, q, q9qdt,. 9. #. u t α, yi q i .. J; ωptq 1 e Ωiptq 0. Logo, segue do Teorema de Noether que n ¸. . Lqi q9i L constante. 9. i 1. Isto é,. N ¸ mi vi2. . i 1. ¸. 2. . Vij p|ri rj |q constante. i j. Temos, portanto, que a invariância com relação à translação do tempo implica na conservação da energia total do sistema. 2.) Vamos considerar uma translação do sistema das coordenadas dada por: $ ' u ' ' ' & x. t, α, i xi ' yi yi , ' ' ' % zz. i i em que i 1, ..., N, J J, ω 0, Ωx 1, Ωy Ωz 0, o que implica, pelo i. Teorema de Noether, que:. n ¸. . Lqi ,x 9. i. i. constante.. i 1. Mas, q9i,x. vi,x e Lq mivi,x; logo 9i,x. n ¸. . mi vi,x. constante.. i 1. Temos, portanto, que a translação das coordenadas espaciais leva à conservação do momento linear..

(42) Capítulo 1. Resultados Fundamentais. 42. 3.) Consideremos agora: $ ' u ' ' ' & x. t, i xi cospαq yi senpαq, ' yi xi senpαq yi cospαq, ' ' ' % zz. i i em que i 1, ..., N, J J, ω 0, Ωx yi , Ωy xi e Ωz 0. Novamente, pelo i. i. i. Teorema de Noether, concluímos que: Mz. n ¸. pximivi,y yimivi,xq constante. . i 1. Logo, a invarância com relação às rotações implica em conservação do momento angular. Para esta seção usamos como referência os textos de [15] e [17]..

(43) 43. 2 Algumas aplicações de Cálculo Variacional 1 Introdução Neste capítulo, iremos resolver os problemas propostos no capítulo 1: o Problema da Braquistócrona e o famoso problema isoperimétrico conhecido como Problema da Didó. Apresentadas tais resoluções, abordaremos também outras aplicações do cálculo variacional, tais como: soluções de problemas variacionais com condições de fronteira de outro tipo, curvas hiperelíticas, Desigualdade de Wirtinger, a obtenção da Função de Bliss e da melhor constante na Desigualdade de Hardy-Sobolev.. 2 Os dois problemas clássicos 2.1 O Problema da Braquistócrona Devemos recordar que o problema consiste em: dados dois pontos A e B em um plano vertical, encontrar a curva que uma partícula P precisa descrever para sair de A e chegar em B no menor tempo possível. Consideramos, na abordagem do problema, que a partícula esteja sujeita apenas à força da gravidade. Do capítulo 1, seção 4, exibimos o funcional dado por: J ry s Observe que a Função de Lagrange. »a. b. 0. 1. y 1 pxq2. ?2gy. dx.. ? 12 1 y L ? 2gy. BL é independente da variável dependente x, isto é, L Lpy, y 1 q. Logo, como Bx caso, segue do Teorema 8.7 que H. y1 BByL1 L C1 constante.. 0 neste (2.1). Portanto, segue de (2.1) que. ?. 12. ?y y ayp1y. 1. 12. y 12 q. C1 ñ a. 1 y p1 y 12 q. C1 ,. ou seja, y p1. y 12 q C2 .. (2.2).

(44) Capítulo 2. Algumas aplicações de Cálculo Variacional. 44. Para resolver esta equação diferencial, introduziremos um parâmetro t e considerando y 1 pxptqq cotgptq, segue de (2.2) C2 C2 y ñ y . (2.3) 1 2 1 y 1 pcotgptqq2 Substituindo as igualdades cotgptq obtemos: y. cosptq 1 e sen2 ptq senptq 2. cosp22xq em (2.3). C22 p1 cosp2tqq.. (2.4). Derivando (2.4) com relação a t e tomando senp2tq 2senptq cosptq, temos: dy. C2senp2tqdt 2C2senptq cosptqdt.. (2.5). dy dy Como y 1 pxq então dx 1 . Assim, dx y p xq dx . 2C2 senptq cosptq dt 2C2 sen2 ptqdt. cotgpxq. (2.6). 1 cosp2xq 2 temos: 2 dx C2 p1 cosp2tqqdt.. Novamente, tomando sen2 pxq . (2.7). Integrando com relação a t a equação (2.7) temos: xptq C2 t . C2 senp2tq 2. C3. C22 p2t senp2tqq. C3 .. Finalmente, a solução paramétrica é dada por: C2 C2 y ptq p 1 cosp2tqq e xptq C3 p2t senp2tqq. 2 2 Tomando t1. 2t e C3 0, pois xp0q 0, obtemos: C2 C2 y p 1 cospt1 qq e x pt1 senpt1qq. 2 2. (2.8). (2.9). As equações dadas por (2.9) são conhecidas como equações paramétricas da ciclóide, cuja definição será dada a seguir. Definição 2.1. Seja C uma circunferência de raio r, s uma reta e P um ponto de C. Denomina-se ciclóide à curva descrita pelo ponto P quando C rola sobre a reta s, sem deslizar, dada pela equação paramétrica: #. x rpα senαq y rp1 cos αq. Observamos que a resolução do Problema Clássico da Braquistócrona apresentado acima foi feita utilizando a teoria do cálculo das variações. Para o desenvolvimento desta subseção, tomamos como referência o texto de [9].

(45) Capítulo 2. Algumas aplicações de Cálculo Variacional. 45. 2.2 O Problema da Didó Provavelmente o Problema de Didó é o problema de máximo e mínimo mais antigo de que se tenha conhecimento. Datado de 850 a.c, Elissa (nome tírio de Didó), filha de um rei fenício, refugiou-se ao norte da África depois do assassinato de seu marido, onde foi recebida amistosamente por indígenas. Didó pediu um pouco de terra para estabelecer-se, tendolhe sido concedido que tomasse tanta quanta pudesse conter numa pele de boi. Diz a lenda que ela fez uma longa e fina correia com o couro e, em seguida, cercou Figura 2 – Fio de couro para cerum terreno de forma semi-circular beirando o Mar car o terreno Mediterrâneo. Essa é a épica história da fundação de Cartago [14]. A lenda de Didó é abordada com riqueza de detalhes em Eneida, de Virgílio [21]. Resumidamente, o Problema da Didó consiste em encontrar, dentre todas as curvas de comprimento fixo, a que tinha delimitado maior área. A lenda de Didó comprova que, desde muito tempo, máximos e mínimos vem despertando o interesse da humanidade. Novamente, utilizando ferramenta do cálculo das variações, resolveremos o problema e, de fato, constataremos que Didó fez a escolha certa ao cercar o terreno com forma semi-circular. Da seção 4, capítulo 1, estabelecemos que nosso objetivo é encontrar uma função y y pxq que maximize o funcional dado abaixo (área): A J ry s no domínio das funções para as quais y px0 q y px1 q 0 , J ry pxqs . » x1 x0. y pxqdx. » x1 a. y 1 pxq2 dx S e |x1 x0 | S. (2.11). 1. x0. Pelo Teorema 11.1 consideremos a função F funcional A˜ J˜ry s Note que F. y. » x1 x0. a. F pxqdx . (2.10). » x1 x0. f. py. λh y a. λ 1. y 12 qdx. a. λ 1. y 1 pxq2 e o (2.12). y 12 independe da variável x. Logo, pelo Teorema 8.7. λ 1. F. y 1 F y 1 C1. (2.13). isto é, y. a. λ 1. y 12 y 1 ?. λy 1 1 y 12. C1. (2.14).