Processos de Markov via o adjunto formal dos operadores de Feller
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(2) Resumo Este trabalho tem como objetivo principal o estudo de propriedades espectrais de uma classe de operadores de segunda ordem, os adjuntos formais dos operadores diferenciais generalizados de Feller. Em particular, deduzir que estes operadores são geradores de semigrupos de contração fortemente contínuos e, consequentemente, caracterizando uma correspondente classe de processos de Markov. Como objetivo secundário, estabeleceremos alguns resultados relativos a processos estocásticos com especial atenção aos processos de Markov. Estabeleceremos a conexão de processos de Markov, operadores de semigrupos e geradores in nitesimais..
(3) Abstract. 3. The main aim of this work is the study of spectral properties of a class of the second order operators, the formal adjoint of the generalized Feller dierential operators . In particular, to deduce that these operators are generators of a strongly continuous contraction semi-group and therefore, to obtain a corresponding class of Markov processes. As a secondary objective, we will establish some results for stochastic processes. We will establish the connection of Markov processes, operators and in nitesimal generators of semi-groups..
(4) Sumário 1. Introdução 2. Notações e Principais Resultados 3. Resultados Preliminares 3.1. Espaços de Banach. Normas Convergência em X Critério de Cauchy 3.2. Espaços de Hilbert Produto interno 3.3. Espaços re exivos 3.4. A representação de Riesz 3.5. Convergência Fraca 3.6. O espaço Lp 3.7. Desigualdade de Schwartz 3.8. A Extensão de Friedrichs de um Operador Simétrico 3.9. O Problema dos Autovalores 4. Alguns Fatos Sobre Processos Estocásticos 4.1. Função de transição 4.2. Semigrupos e geradores in nitesimais 5. O OPERADOR LW 5.1. independência da sequência admissível Referências. 5 7 11 11 11 11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 15 16 18 20 25 31 43.
(5) 5. 1.. Introdução. O objetivo principal desta dissertação é estudar propriedades espectrais de uma classe de operadores de segunda ordem, os adjuntos formais dos operadores diferenciais generalizados de Feller, introduzidos em [17, 18]. Em particular, deduzir que estes operadores são geradores de semigrupos de contração fortemente contínuos e, consequentemente, caracterizando uma correspondente classe de processos de Markov. A referência mais correlata que estudaremos é a recente publicação de Landim e Franco [19]. Para tanto, e como um objetivo secundário, estabeleceremos alguns resultados relativos a processos estocásticos com especial atenção aos processos de Markov. Seguindo essencialmente o clássico livro de Ethier-Kurtz [4], estabeleceremos a conexão entre processos de Markov, operadores de semigrupos e geradores in nitesimais. Este rico link entre diversas subáreas da análise e probabilidade é rigorosamente justi cado por meio da função de transição do processo e o conhecido Teorema de Hille-Yosida. Na década de 50, Willian Feller publicou dois importantes artigos, [17, 18], onde introduz uma noção mais geral de operadores diferencias que além de ampliar a lista de exemplos de difusões, fornece uma apreciável simpli cação da teoria de operadores diferencias de segunda ordem. Ainda nestes trabalhos, Feller identi ca o operador adjunto formal deste seu operador generalizado. O d d operador de Feller é de nido como dW onde as funções W e ρ são funções estritamente monótonas dρ com a condição adicional de continuidade para a função ρ e o operador que vamos estudar é o d adjunto formal de Feller, no caso em que ρ(x) = x, o qual é dado pela expressão dxd dW . Desde então uma ampla literatura tem se consolidado sobre o assunto. Mais recentemente, alguns resultados tem-se estabelecido conectando o adjunto formal do operador diferencial generalizado de Feller a sistema de partículas interagentes por meio de equações hidrodinâmicas em dimensão 1, conforme [5, 19]. O trabalho se baseou no artigo de Franco e Landim [17] onde o adjunto formal de Feller é utilizado para entender como é o comportamento hidrodinâmico de um processo de exclusão uni-dimendional com condutâncias dada por uma função W que é estritamente crescente (não necessariamente contínua). No caso de W ser descontínua em x0 , um ponto do domínio, ainda assim, o operador adjunto formal de Feller estará bem de nido ver equação (35). Mais precisamente, este trabalho mostra que uma versão não-linear das difusões de Feller aparecem naturalmente e que elas podem ser modelo de difusão em sistemas com membranas permeáveis. Para dar suporte aos conceitos e resultados estabelecidos neste trabalho, utilizamos como referência principal a obra [4]. Neste trabalho exibiremos condições sobre as quais um operador linear dá origem a um processo de Markov. Para chegarmos a este resultado principal iremos dividi-lo em três etapas, a saber: 1. Na primeira parte, fazemos menção a alguns resultados preliminares que vão dar subsídio para conceitos, teoremas, proposições e demonstrações para esta dissertação. Foram colocados vários conceitos de medida e integração e análise funcional que serão utilizados frequentemente nas demonstrações e nos enunciados. 2. Na segunda parte, vamos apresentar alguns resultados sobre processos estocásticos com especial atenção aos processos de Markov. A maioria dos resultados desta seção tem sua demonstração apresentada. Iremos falar sobre o que é um processo estocástico, que será uma ferramenta de grande interesse para descrever a evolução temporal de uma grande classe de sistemas. Existem vários tipos de processos estocásticos, porém neste trabalho será apenas abordado de modo introdutório, um tipo de processo estocástico denominado processos Markovianos. Este tipo de processo estocástico ca caracterizado a partir do fato de que a esperança condicional de qualquer evento futuro, dado qualquer evento passado e o estado presente é independente do evento passado e depende somente do estado presente. Em.
(6) 6. termos informais, um processo estocástico é dito Processo markoviano se o estado futuro depende somente do estado presente. Todo processo de Markov está relacionado a uma função de transição de nida a partir da probabilidade condicional, conforme está de nido na equação (13). Uma função de transição dá origem a um semigrupo de contração. O semigrupo por sua vez está intimamente ligado a um gerador. Na seção (4.2), vamos conceituar o que é um semigrupo e a seguir, iremos enunciar e demonstrar suas principais propriedades necessárias neste trabalho, estas propriedades, juntamente com os conceitos de semigrupos servirão de base para enunciarmos o teorema Hille-Yosida. Este teorema nos permitirá concluir que o operador LW dá origem a um processo de Markov. Para que possamos utilizar o teorema de Hille-Yosida é preciso garantir que o operador LW cumpre as hipóteses do teorema de Hille-Yosida, e para isto, iremos apresentar a terceira e última parte deste trabalho. 3. Na terceira seção, vamos de nir o operador linear LW , a seguir iremos citar e demonstrar algumas propriedades relevantes para concluirmos que LW vai dar origem a um processo de Markov. Mais precisamente, examinamos em detalhes o operador (d/dx)(d/dW ) em L2 (T), onde T é o toro unidimensional. Nós provamos, no Teorema 1, que (d/dx)(d/dW ) de nido em um domínio apropriado é não-positivo, auto-adjunto e dissipativo. Em particular, é o gerador in nitesimal de um processo de Markov reversível. Nós também vamos provar que os autovalores de −(d/dx)(d/dW ) são enumeráveis e todos eles têm multiplicidade nita, e que os autovetores associados formam um sistema ortonormal completo de L2 (T)..
(7) 7. 2.. Notações e Principais Resultados. Nesta seção vamos enunciar os principais resultados estudados nesta dissertação, com um objetivo principal de mostrar o que será feito neste trabalho. Antes de enunciarmos o principal teorema, precisamos de algumas de nições. Fixemos uma função estritamente crescente (1) W :R→R contínua à direita com limites à esquerda, periódica no sentido de que W (u + 1) − W (u) = W (1) − W (0). para todo u ∈ R . Para simpli car a notação vamos assumir que W é nula na origem, ou seja, W (0) = 0. Seja T o toro unidimensional que será identi cado pelo quociente R/Z = [0, 1). Denotamos por L2 (T) o espaço das funções f : T → R Lebesgue mensuráveis, tais que Z |f (x)|2 dx < ∞. T. Seja h·, ·i o produto interno de L (T): 2. Z hf, gi =. f (u)g(u)du. T. Denote por DW o conjunto das funções f em L2 (T) tais que Z. (2). Z. f (x) = a + bW (x) +. y. dW (y). f(z)dz. [0,x). 0. para alguma função f ∈ L2 (T), com a, b ∈ R que satisfazem as seguintes condições de periodicidade : Z. Z a = −bW (1) −. dW (y). f(z)dz, 0. [0,1). Z. y. 1. f(z)dz = 0 0. e. Z. Z dW (y) b +. (0,1]. y. f(z)dz. = 0.. 0. Considere LW : DW → L2 (T) o operador linear de nido por: LW f = f .. O principal resultado que demonstraremos é. Teorema 1. O operador LW : DW → L2 (T) goza das seguintes propriedades: (a) DW é denso em L2 (T); (b) O operador I − LW : DW → L2 (T) é bijetivo. (c) LW : DW → L2 (T) é auto-adjunto e não-positivo: h−LW f, f i ≥ 0. (d) LW é dissipativo;.
(8) 8. (e) Os autovalores do operador −LW formam um conjunto enumerável {λn : n ≥ 0}. Todos os autovalores tem multiplicidade nita, 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ · · ·. e lim λn = ∞.. n→∞. Recordemos que I é o operador identidade em L2 (T) e um operador linear A, com domínio D(A) ⊂ L subespaço de um espaço de Banach L, é dito dissipativo se kλf − Af k ≥ λkf k para cada f ∈ D (A) e λ ≥ 0. Pelo Teorema de Hille-Yosida e as propriedades listadas no teorema acima, o operador LW é gerador in nitesimal de um semigrupo de contração fortemente contínuo. Mais detalhes estão na seção 4. Para realizarmos a demonstração do teorema 1, vamos primeiramente considerar o operador LW : DW → L2 (T) de nido em (3) e obter, mediante alguns lemas enunciados abaixo, que o operador LW é sua extensão auto-adjunta e possui as demais propriedades enunciadas no teorema 1. Denote por D(f ) o conjunto de pontos de descontinuidade de uma função f e por CW (T) o conjunto das funções càdlàg (contínuas à direita com limites à esquerda) f : T → R tais que df D(f ) ⊂ D(W ). Denote por dW a derivada de f com respeito a função W . Esta noção será mais df detalhada na seção (5). De na DW o conjunto das funções f ∈ CW (T) tais que dW (x) está bem df d de nida e é diferenciável para todo x ∈ T, com dx dW pertencente ao conjunto CW (T). Considere LW : DW → L2 (T) o operador linear de nido por: (3). LW f =. d df . dx dW. lema 1. O operador LW : DW → L2 (T) cumpre as seguintes propriedades: (a) O conjunto DW é denso em L2 (T). (b) O operador LW : DW → L2 (T) é simétrico e não-positivo. Mais precisamente, Z hLW f, gi = − T. dg df dW dW dW. para todo f, g ∈ DW . (c) LW satisfaz a desigualdade de Poincaré: Existe uma constante nita C0 tal que 2. Z. 2. kf k ≤ C0 h−LW f, f i +. f (x)dx T. para toda função f ∈ DW .. Vamos agora de nir um produto interno em DW denotado por h·, ·i1,2 , cuja expressão é dada por: hf, gi1,2 = hf, gi + h−LW f, gi.. Denote por o espaço de Hilbert gerado pelas funções contínuas dotadas com um produto interno h·, ·iW de nido por: L2W (T). Z hf, giW =. f (x)g(x)dW (x). T.
(9) 9. A norma associada ao produto escalar h·, ·iW é denotada por k · kW . Note que pelo lema anterior tem-se: Z. df dg df dg dW = hf, gi + h , iW . dW dW T dW dW De na o conjunto H21 (T) que é constituído por todas as funções f em L2 (T) tal que existe uma sequência {fn : n ≥ 1} ∈ DW satisfazendo: fn converge para f em L2 (T) e fn é de Cauchy para o produto interno h·, ·i1,2 . A sequência {fn } é chamada admissível para a função f . Para f, g em H21 (T) de nimos hf, gi1,2 = hf, gi +. (4). hf, gi1,2 = lim hfn , gn i1,2 . n→∞. Esta de nição independe da sequência admissível escolhida, como veremos mais a frente. O conjunto H21 (T) dotado com o produto interno h·, ·i1,2 de ne um espaço real de Hilbert. Note que uma sequência de Cauchy {fn } para o produto interno h·, ·i1,2 é uma sequência de dfn Cauchy no espaço de Hilbert L2 (T) e { dW } é uma sequência de Cauchy no espaço de Hilbert L2W (T) e portanto, sequências convergentes nos respectivos espaços de Hilbert.. lema 2. Uma função f em L2 (T) a pertence H21 (T) se e somente se existe F em L2W (T) e uma constante nita c tal que Z. Z. F (y) dW (y) = 0 e f (x) = c +. F (y) dW (y). (0,1]. (0,x]. Lebesgue quase certamente. Nós denotamos a W -derivada generalizada F de f por df /dW . Para f , g em H21 (T), Z hf, gi1,2 = hf, gi + T. df dg dW . dW dW. Sejam X e Y espaços de Banach tais que X ⊂ Y . Então X é uma imersão compacta em Y (notação X ⊂⊂ Y ) se qualquer sequência limitada em X possuí uma subsequência convergente em Y .. lema 3. H21 (T) ⊂ L2 (T) é uma imersão compacta. Uma de nição equivalente para o domínio DW é nós considerarmos ele como sendo o conjunto das funções f em H21 (T) tal que existe uma função u em L2 (T) de tal modo que Z. (5). hf, gi1,2 = hf, gi +. df dg dW = hu, gi dW dW. para toda função g em H21 (T).. lema 4. O domínio DW é constituído por todas as funções f pertencentes L2 (T) tais que Z f (x) = a + bW (x) +. Z W (dy). (0,x]. y. f(z) dz 0. para alguma função f pertencente L2 (T) tal que Z. 1. Z f(z) dz = 0 ,. 0. (0,1]. Z n W (dy) b +. y. 0. Além disso, neste caso, Z −. df dg dW = hf, gi dW dW. f(z) dz. o. = 0..
(10) 10. para todo g pertencente H21 (T)..
(11) 11. 3.. Resultados Preliminares. Nesta seção vamos enunciar alguns resultados clássicos de análise funcional e teoria da medida. As demonstrações podem ser encontradas em [9],[1],[2] e [14]. 3.1. Espaços de Banach.. Normas. Seja V um espaço vetorial real. Um norma em V é qualquer aplicação v 7→ kvk ∈ R. de nida em V , tal que para todos vetores v e w ∈ V valem : (1) kvk ≥ 0 e vale kvk = 0 se e somente se v = 0. (2) (Desigualdade Triangular) kv + wk ≤ kvk + kwk. (3) krvk = |r|kvk, para todo r ∈ R. Um espaço vetorial normado é um espaço vetorial com uma norma xada. De agora em diante, vamos assumir que X é um espaço vetorial normado.. Convergência em X. Nós dizemos que a sequência {uk }∞ k=1 ⊂ X converge para u ∈ X , e escrevemos. uk → u. se kuk − uk → 0 quando k → ∞. isto é lim kuk − uk = 0. k→∞. Critério de Cauchy. Uma sequência {uk }∞ k=1 é dita de cauchy em X quando para cada > 0 existe N > 0 tal que. kuk − un k < para quaisquer k, n > N.. Um espaço normado X é dito completo quando dada qualquer sequência de cauchy {un }∞ n=1 em X existe algum u ∈ X tal que un → u. Um espaço normado e completo é chamado de Espaço de Banach. 3.2. Espaços de Hilbert.. Produto interno. Seja H um espaço linear real. Uma aplicação h , i : H × H → R é dita um produto interno se 1. hu, vi = hv, ui para todo u e v ∈ H 2. A aplicação u 7→ hu, vi é linear para todo v ∈ H. 3. hu, ui ≥ 0 para todo u ∈ H. 4. hu, ui = 0 se e somente se u = 0. Todo produto interno da origem a uma norma, a saber: (6). 1. kuk = hu, ui 2 para todo (u ∈ H).. De nição. Um espaço de Hilbert é um espaço de Banach dotado com um produto interno, onde a norma é gerada pelo produto interno conforme (6)..
(12) 12. Exemplo. O espaço L2 (T) é um espaço de Hilbert com Z hf, gi =. f gdx T. 3.3. Espaços re exivos. Antes de de nirmos um operador limitado, precisamos considerar as normas k · kX e k · kY como sendo as normas dos espaços X e Y , respectivamente. Um operador linear A : X → Y é dito limitado se kAk = sup{kAukY /kukX ; kukX > 0} < ∞.. A seguir, enunciamos algumas de nições com o objetivo de de nir espaço re exivo. 1. Um operador linear limitado u∗ : X → R é dito um funcional linear limitado em X . 2. Seja X um espaço vetorial normado. Denotaremos o espaço vetorial dos funcionais lineares limitados por X ∗ , ele é chamado o espaço dual de X . E por X ∗∗ = (X ∗ )∗ X ∗∗ é chamado o espaço bidual de X , ou seja, o bidual é o dual de X ∗ .. As próximas de nições fazem menção ao produto interno do espaço dual X ∗ e a re exividade em um espaço de Banach. 3. Se u ∈ X , u∗ ∈ X ∗ nós denotamos pelo número real u∗ (u) o par ordenado (u∗ , u). O símbolo ( , ) denota o par ordenado de X ∗ e X . 4. Um espaço de Banach é re exivo quando (X ∗ )∗ = X . Mais precisamente, isto signi ca que para cada u∗∗ ∈ (X ∗ )∗ , existe u ∈ X tal que (u∗∗ , u∗ ) = (u∗ , u) para todo u∗ ∈ X ∗ Antes de enunciar o teorema do grá co fechado, vamos fazer a seguinte de nição: Seja D(A) ⊂ X , um operador linear A : D(A) → Y é dito fechado se para toda sequência {uk } ⊂ D (A) satisfazendo uk → u e Auk → v quando k → ∞, temos u ∈ D (A) e v = Au.. Teorema 2. (Teorema do grá co fechado) Seja A : X → Y um operador linear fechado de nido entre dois espaços de Banach. Então A é limitado.. De nições. Sejam A : X → X um operador linear fechado e I : X → X o operador identidade. 1. O conjunto resolvente de A é (7). ρ(A) = {η ∈ R|(A − ηI) é injetor e sobrejetor}. 2. O espectro de A é o conjunto σ(A) = R − ρ(A). Se η ∈ ρ(A), o teorema do grá co fechado implica que a inversa de (A − ηI)−1 : X → X é um operador linear limitado. 3.4. A representação de Riesz. Seja H um espaço de Hilbert com o produto interno h , i.. Teorema 3. (Teorema da Representação de Riesz) H ∗ pode ser canônicamente identi cado com H ; mais precisamente, para cada u∗ ∈ H ∗ existe um único elemento u ∈ H tal que u∗ (v) = hu, vi. para todo v ∈ H . A aplicação u∗ 7→ u é um isomor smo linear de H ∗ sobre H ..
(13) 13. De nições. Sejam H um espaço de Hilbert, com D(A) ⊂ H e A : D(A) → H. uma aplicação que leva f 7→ Af. Então vamos fazer as seguintes de nições. 1. A é simétrico se hAf, gi = hf, Agi. para todo f, g ∈ D(A) 2. O operador Adjunto de A : D(A) → H é o operador A∗ : D(A∗ ) ⊂ H → H. tal que. hAf, gi = hf, A∗ gi para todo f ∈ D(A) e g ∈ D(A∗ ), onde D(A∗ ) = {g ∈ H|existe w ∈ H tal que hAf, gi = hf, wi para todo f ∈ D(A)} observação. Se A é simétrico então D(A) ⊂ D(A∗ ) e mais, se g ∈ D(A) ⇒ A∗ g = Ag. Dizemos que A ⊂ A∗ 3. A é auto-adjunto se A = A∗. 3.5. Convergência Fraca. Seja X um espaço real de Banach. Nós dizemos que a sequência {uk }∞ k=1 ⊂ X converge fracamente para u e escrevemos uk * u ,. se. (u∗ , uk ) → (u∗ , u) para cada funcional linear limitado u∗ ∈ X ∗ . Observação. É fácil veri car que se uk → u, então uk * u. Também é verdade que qualquer sequência fracamente convergente é limitada. Além disso, se uk * u, então kuk ≤ lim inf kuk k k→∞. Teorema 4. (Compacidade Fraca) Seja X um espaço re exivo e suponha que a sequência ∞ {uk }∞ k=1 ⊂ X e limitada, então existe uma subsequência {ukj }j=1 e u ∈ X tal que. ukj * u. Em outras palavras, toda sequência limitada em um espaço re exivo é uma sequência fracamente pré-compacta.. Em particular, podemos enunciar a proposição:. proposição 1. Toda sequência limitada {un }∞ n=1 em um espaço de Hilbert contém uma subsequên-. cia {unk }∞ k=1 fracamente convergente.. 3.6. O espaço Lp . Para 1 ≤ p < ∞ e Ω um conjunto do Rn , denotamos por Lp (Ω) o espaço das funções f : Ω → R Lebesgue mensuráveis tais que Z. |f (x)|p dx < ∞.. Ω. L (Ω) é um espaço vetorial e, identi cando funções que são iguais a menos de um conjunto de medida nula, via as classes nesta relação de equivalência, k kp : Lp (Ω) → R dada por p. Z 1 kf kp = ( |f (x)kp dx) p Ω.
(14) 14. de ne uma norma em Lp (Ω). Mais ainda, (Lp (Ω), k kp ), 1 < p < ∞, é um espaço de Banack re exivo e separável. Um conjunto X é dito separável se X possui um subconjunto enumerável denso. Seguem os pricipais resultados utilizados dos espaços Lp utilizados nesse trabalho. Designamos por q o expoente conjugado de p, isto é, tal que p1 + 1q = 1. Para todo a e b ∈ R com a e b > 0, vale ab 6. ap b q + . p q. A desigualdade acima, conhecida como desigualdade de Young, é usada para demonstrar a desigualdade de Holder.. proposição 2. (Desigualdade de Holder) Sejam f ∈ Lp (Ω) e g ∈ Lq (Ω). Então f.g ∈ L1 (Ω) e Z Ω. Z Z 1 1 |f (x)g(x)|dx 6 ( |f (x)|dx) p ( |g(x)|q dx) q . Ω. Ω. Teorema 5. (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue em Lp ) Sejam 1 ≤ p ≤ ∞. e {fn } uma sequência de funções em Lp (Ω). Suponhamos que a. fn (x) → f (x)q.t.p. em Ω; b. existe uma função g ∈ Lp (Ω) tal que para cada n ∈ N, |f (x)| 6 g(x) q.t.p. em Ω. Então f ∈ Lp (Ω) e kfn − f kp → 0 q.t.p.. proposição 3. Para todo a e b ∈ R, com a e b > 0 vale a seguinte desigualdade: (8). (a + b)2 6 2a2 + 2b2 .. 3.7. Desigualdade de Schwartz. Para quaisquer vetores u e v de um espaço com produto interno, temos | hu, vi | ≤ kuk · kvk. e a igualdade é válida se e somente se os vetores u e v são linearmente independentes. 3.8. A Extensão de Friedrichs de um Operador Simétrico. Uma exposição mais detalhada juntamente com as demonstrações dos resultados enunciados nesta subseção podem ser obtidos no capitulo 5 de [14]. Vamos primeiramente ressaltar que BE é a Extensão energética do operador B e XE é o espaço energético do operador B que consiste precisamente do conjunto dos elementos u ∈ X que tem a seguinte propriedades: a. Existe uma sequência {un } em D(B) tal que un → u em X quando n → ∞. b. A sequência {un } é de Cauchy com respeito a norma do espaço energético XE . Vale ressaltar que o conjunto XE é um espaço de Hilbert com o produto interno h·, ·iE e que a norma deste espaço é oriunda deste produto interno. Considere a seguinte hipótese: (H). Seja B : D(B) ⊂ X → X um operador linear, simétrico e fortemente monótono em um espaço de Hilbert X . Em particular, isto signi ca que D(B) é denso em X e existe c > 0 tal que hBu, ui ≥ ckuk2. para todo u ∈ D(B). Dizemos que o operador A : D(A) ⊂ X → X é a extensão de Friedrichs do operador B se vale a seguinte igualdade Au := BE u para todo u ∈ D(A), onde D(A) := {u ∈ XE : BE u ∈ X}.
(15) 15. Teorema 6. Munida com a a rmação (H), a extensão de Friedrichs A é um operador A : D(A) ⊂ X → X auto-adjunto, bijetivo e. hAu, ui ≥ ckuk2. para todo u ∈ D(A).. 3.9. O Problema dos Autovalores. (H1). Seja X um espaço de Hilbert separável com dimX = ∞ e B : D(B) ⊂ X → X operador linear satisfazendo a hipótese (H). Seja ainda A : D(A) ⊂ X → X. a extensão de Friedrichs de B . Além disso, nós assumiremos que XE ⊂ X é uma imersão compacta. Antes de enunciarmos o teorema dos autovalores, consideraremos a equação operador Bu = µu + f, u ∈ D(A), µ ∈ R,. u 6= 0,. juntamente com o seguinte problema generalizado Au = µu + f, u ∈ D(A),. µ ∈ R,. Teorema 7. Assuma (H1) e ponha f = 0 então, as seguinte a rmações são verdadeiras:. a. Os autovetores {un } do operador A(a extensão de Friedrchs de B ) formam um sistema ortonormal completo no espaço de Hilbert X . Além disso, {un } ∈ XE para todo n. b. Todos os autovalores µn do operador tem multiplicidade nita. Além disso, nós temos 0 = µ0 ≤ µ1 ≤ µ2 · · ·. e lim µn = ∞.. n→∞.
(16) 16. 4.. Alguns Fatos Sobre Processos Estocásticos. Nesta seção estudamos processos de Markov do ponto de vista de geradores e seus correspondentes semigrupos. Primeiramente, enunciamos as de nições básicas de um processo de Markov, a sua função de transição, o seu correspondente semigrupo e por último, abordamos o fato de que uma função de transição e uma distribuição inicial determinam unicamente um processo de Markov. Fixe um conjunto Ω. Recorde que uma σ -álgebra F em Ω é uma coleção de subconjuntos de Ω que possui as seguintes propriedades: 1. O conjunto vazio está em F ; 2. Se A ∈ F , então o mesmo ocorre para o complemento de A; 3. Se A1 , A2 , A3 , · · · é uma sequência de conjuntos em F , então sua união (enumerável) também está em F . O Par (Ω, F) é dito um espaço mensurável. Uma medida de probabilidade (σ -aditiva) em (Ω, F) é uma função P r : F → [0, 1] satisfazendo: P (Ω) = 1 e, para qualquer sequência A1 , A2 , A3 , · · · de conjuntos disjuntos em F , tem-se que ∞ ∞ X X P r( An ) = P r(An ). n=1. n=1. O terno (Ω, F, P r) é dito um espaço de probabilidade e os subconjuntos A ∈ F são os eventos. Vale apenas ressaltar aqui, que um evento é dito quase certamente quando ele é válido em todo o espaço Ω a menos de uma conjunto de medida nula. Fixe (Ω, F, P r) um espaço de probabilidade e (E, B) um espaço mensurável. Recorde ainda que uma função Y : Ω → E é variável aleatória se Y −1 (Γ) = {ω ∈ Ω ; Y (ω) ∈ Γ} ∈ F para todo Γ ∈ B . Denote por B(E) o conjunto das funções limitadas borel mensurável de nida em [0, ∞) × R.. De nição 1. Dados (Ω, F, P r) e (E, B) e uma família de índices I , um processo estocástico (ou simplesmente um processo) é uma função X de nida em I × Ω com valores em E : X : I ×Ω→E (t, ω) 7−→ X(t, ω) = Xt (ω). tal que para cada t ∈ I , X(t, ·) := Xt : Ω → E é uma variável aleatória.. Existem dois casos clássicos para a família de índices I . O primeiro, quando I = N dizemos que o processo é a tempo discreto e o segundo, quando I = [0, ∞) e neste caso dizemos que X é a tempo contínuo. Um processo estocástico pode ser visto como um modelo matemático para a ocorrência, em cada momento após um tempo inicial, de um fenômeno aleatório, a aleatoriedade é capturada por meio de um espaço probabilidade. Para cada ponto xado ω ∈ Ω, a função t 7→ Xt (ω); t ∈ I é uma realização do processo X associado com ω . Esta trajetória amostral fornece o modelo matemático para um experimento aleatório cujo resultado pode ser observado continuamente no tempo, com t ∈ [0, ∞). Por exemplo, o número de clientes em uma la, o movimento de uma partícula sujeito a perturbações aleatórias, o número de chamadas recebidas em uma central telefônica, dentre outros. Vamos considerar nesta dissertação o caso em que E = R, B a σ -álgebra de Borel e I = [0, ∞), os conjunto dos números reais não-negativos. Ademais, vamos convencionar que um processo estocástico X está determinado se conhecemos todas as suas distribuições conjuntas nitas FXt1 , Xt2 ,..., Xtn para qualquer conjunto nito de índices t1 , t2 , . . . , tn ∈ I . Mais precisamente, os processos X e Y são iguais se P r(Xt1 ∈ Γ1 , Xt2 ∈ Γ2 , . . . , Xtn ∈ Γn ) = P r(Yt1 ∈ Γ1 , Yt2 ∈ Γ2 , . . . , Ytn ∈ Γn ). Para quaisquer t1 , t2 , . . . , tn ∈ I e Γ1 , Γ2 , . . . , Γn ∈ B. Cabe ressaltar que está não é a única maneira de determinar um processo, veja por exemplo, [7]..
(17) 17. Um exemplo muito importante de processo estocásticos é o movimento Browniano. A história deste processo começou com a observação feita por R. Brown em 1827 de que pequenas partículas imersas em um líquido exibem incessantes movimentos irregulares. Em 1905, Einstein explicou estes movimentos postulando que as partículas sob observação estão sujeitas a perpétuas colisões com moléculas do meio circundante. Seja Xt a variável aleatória que identi ca o deslocamento (a partir do seu ponto de partida, ao longo de algum eixo xo) no tempo t de uma partícula Browniana. O deslocamento Xt − Xs ao longo do intervalo de tempo (s, t) pode ser considerada como a soma de um grande número de pequenos deslocamentos. Essencialmente pelo teorema central do limite é razoável supor que Xt −Xs é normalmente distribuído. Da mesma forma, é razoável supor que a distribuições de Xt − Xs e de Xt+h − Xs+h são as mesmas, para qualquer h > 0, supondo-se que o meio está em equilíbrio. Finalmente, é intuitivo que o deslocamento Xt − Xs deve depender apenas do comprimento t − s e não do tempo em que começar a observação. O movimento Browniano (também chamado o processo de Wiener) provou ser fundamental no estudo de vários outros tipos de processos estocásticos. Formalmente, este processo tem as seguintes características: (a) Dada uma sequência t0 < t1 < t2 · · · < tn ; então os incrementos Xt1 − Xt0 , · · · , Xtn − Xtn−1 são variáveis aleatórias mutuamente independente.( Um processo com esta propriedade é dito um processo com incrementos independentes, e expressa o fato que a troca de Xt ao longo de períodos de tempo que não se sobrepõem, são independentes. (b) A distribuíção de probabilidade de Xt2 − Xt1 , t2 > t1 , depende apenas de t2 − t1 (e não por exemplo de t1 ). (c) Para t >s, Xt − Xs tem distribuição gaussiana com média zero e variância B(t − s), onde B é uma constante positiva. Isto é, Xt − Xs ∼ N (0, B(t − s)): − 21. Z. x−xn. P r [Xt − Xs ≤ x] = [2πB(t − s)]. −∞. −u2 exp du. 2B(t − s) . Assuma para cada caminho que X0 =0. Note que EXt =0, σ 2 (Xt ) = Bt, onde B é uma constante positiva xa. Pode ser provado que, se t1 < · · · < tn < t, a distribuição da probabilidade condicional de Xt , dados os valores de Xt1 , · · · , Xtn , é dada por − 12. Z. x−xn. P r[Xt 6 x] = [2πB(t − tn )]. −∞. −u2 exp du. 2B(t − tn ) . Aqui estaremos interessados em uma classe especial de processos estocásticos, os processos de Markov. Mas antes precisamos estabelecer alguns conceitos. Uma ltração no espaço de probabilidade (Ω, F, P r) é uma família {Ft }t∈I onde Ft é uma σ - álgebra tal que Ft ⊂ Ft+s ⊂ F para todo t, s ∈ [0, ∞). Se X é um processo estocástico, existe uma maneira simples de obter uma ltração. Basta considerar FtX a σ -álgebra gerada pelas variáveis aleatórias Xs para 0 ≤ s ≤ t em I : FtX := σ{Xs ; s ≤ t}.. Recorde que a σ -álgebra gerada por uma variável aleatória Y é σ(Y ) = {Y −1 (Γ); Γ ∈ B}. A ltração {FtX |t ∈ I} é dita ltração natural do processo X . De nição 2 (Esperança condicional). Sejam X e Y variáveis aleatórias em (Ω, F, P r). A esperança condicional de X dado Y = y , é a esperança da distribuição condicional de X dado que R Y = y , se esta esperança existir. Ou seja, E(X|Y = y) = xdFX (x|Y = y)..
(18) 18. De nição 3 (Processo de Markov). Seja {Xt , t ≥ 0} um processo estocástico de nido em um. espaço de probabilidade (Ω, F, P r) que toma valores em E , e seja FtX = σ {Xs : s ≤ t} sua ltração natural F . Então X é um processo de Markov se . (9) P r Xt+s ∈ Γ|FtX = P r {Xt+s ∈ Γ|X(t)} para todo s, t ≥ 0 e Γ ∈ B. Se {Gt } é uma ltração com FtX ⊂ Gt ; t ≥ 0 então X é um processo de Markov com respeito a {Gt } se vale (9) com a substituição de FtX por Gt .. Note que (9) implica a seguinte igualdade, a esperança condicional de f ∈ B(E), limitadas com respeito as σ -álgebras FtX e Xt . (10) E f (X(t + s))|FtX = E [f (X(t + s))|Xt ] para todo s, t ≥ 0 e f ∈ B(E). Claramente, se X é um processo de Markov com respeito a ltração {Gt }t≥0 e FtX ⊂ Gt , para todo t ≥ 0, então X é processo de Markov com respeito a ltração natural {FtX }t≥0 . De fato, segue das propriedades de esperança condicional que E[Xt+s |Ft ] = E[E[Xt+s |Gt ]|Ft ] = E[E[Xt+s |Xt ]|Ft ] = E[Xt+s |Xt ].. onde a segunda igualdade é obtida usando que X é Gt - Markov. Um processo de Markov com estados discretos (o parâmetro, em geral o tempo, pode ser discreto ou contínuo) é chamado de cadeia de Markov. Processos de Markov representa uma das mais importantes classes de processos estocásticos não somente pela sua aplicabilidade em inúmeras áreas do conhecimento, engenharias, ciências econômicas, sociais e biológicas mas também, pelo sua interação com outras áreas da matemática, por exemplo, com análise funcional, teoria espectral, teoria de operadores. Mais precisamente, todo processo de Markov está relacionado a uma função de transição homogênea no tempo, que dá origem a um semigrupo de contração por intermédio da propriedade de Chapman-Kolmogorov. O semigrupo por sua vez está intimamente ligado a um gerador, que é obtido quando nós tomamos a derivada à direita do semigrupo do ponto t=0. O processo inverso também é válido, ou seja, dado um gerador com boas propriedades nós podemos obter, via o teorema de Hille-Yosida, um semigrupo de contração que da origem a um função de transição e este nós retornará a um processo de Markov. Abaixo vamos estabelecer formalmente cada um desses conceitos com suas principais propriedades e suas relações entre si. 4.1. Função de transição. Função de transição é de extrema importância para a compreensão da estrutura de um processo de Markov. Seja t ∈ [0, ∞), x ∈ R eA ∈ B, uma função P (t, x, A) é uma função de transição homogênea no tempo se satisfaz: • P (t, x, ·) é uma medida de probabilidade em (R, B) para quaisquer (t, x) ∈ [0, ∞) × R, • P (0, x, ·) = δx , a massa unitária em x ∈ R, • P (·, ·, A) ∈ B(E). para qualquer A ∈ B , • Vale a propriedade de Chapman-Kolmogorov (11). Z P (s + t, x, Γ) =. P (s, y, Γ).P (t, x, dy),. s, t ≥ 0,. x ∈ E Γ ∈ B(E). O conceito de função de transição não necessita de homogeneidade no tempo, como solicitado acima, sendo necessário neste caso inserir mais um parâmetro associado ao tempo, à função P . Para a conexão com os processos de Markov de interesse neste texto, o caso homogêneo é su ciente. Dado um processo de Markov X = {Xt }t∈[0,1] e uma tripla (Ω, F, {P rx }), onde {P rx }x∈E é uma família de probabilidades, podemos associar uma função de transição P de nindo (12) P (s, x, Γ) := P rx (Xs ∈ Γ) para todo s ≥ 0, Γ ∈ B e x ∈ E . Esta de nição é equivalente a de nir (13) P (s, Xt , Γ) := P r{Xt+s ∈ Γ|FtX }.
(19) 19. para todo s, t ≥ 0, Γ ∈ B. Ou equivalentemente, para f ∈ B(E) Z. (14). f (y)P (s, Xt , dy) = E f (X(t + s))|FtX .. Vamos agora justi car que de fato a igualdade (13) dá origem a uma função de transição. Para veri car este fato devemos veri car que: (1) P (t, x, ·) é uma medida de probabilidade em (R, B) para quaisquer (t, x) ∈ [0, ∞) × R. De fato, utilizando a de nição temos primeiramente que P (s, Xt , R) = P r{Xt+s ∈ R|FtX } = 1 e P (s, Xt , A) = P r{Xt+s ∈ A|FtX } > 0 para todo A ∈ B pois P r é uma probabilidade. Restando agora veri car que para quaisquer coleção de conjuntos disjuntos A1 , A2 , A3 , · · · pertencentes a A ∈ B vale: P (s, Xt ,. ∞ X k=1. De fato, P (s, Xt , P. Ak ) =. ∞ X. P (s, Xt , Ak ). k=1. P∞ P X X Ak ) = P r{Xt+s ∈ ∞ k=1 P r{Xt+s ∈ Ak |Ft } = k=1 Ak |Ft } = ∞ k=1 P (s, Xt , Ak ) e portanto, P (t, Xt , ·) é uma medida de probabilidade. (2) P (0, x, ·) = δx , a massa unitária em x ∈ R. P∞. k=1. De fato,. P (0, Xt , Γ) = P r{Xt ∈ Γ|FtX } = P r{Xt ∈ Γ|Xt } ( 1 se Xt ∈ Γ = 0 caso contrário.. (3) P (·, ·, A) ∈ B(E) para qualquer A ∈ B. De fato, em primeiro lugar, temos que P (·, ·, A) é uma função limitada, pois |P (·, ·, A)| = P {X· ∈ A|F·X } 6 1.. e por último, por de nição de esperança condicional de uma variável aleatória, temos que P (·, ·, A) é uma variável aleatória, isto é, uma função mensurável. (4) Vale a propriedade de Chapman-Kolmogorov Z P (s + t, x, Γ) =. P (s, y, Γ).P (t, x, dy),. s, t ≥ 0,. x ∈ E, Γ ∈ B(E). Para justi car este fato observe que P (t + s, X(u), Γ) = P r{X(u + t + s) ∈ Γ|FuX } X = E[P r{X(u + t + s) ∈ Γ|Fu+t }|FuX ] = E[P (s, X(u + t), Γ)|FuX ] Z = P (s, y, Γ)P (t, X(u), dy) para todo s, t, u ≥ 0 e Γ ∈ B(E).. onde a primeira igualdade é por (13), a segunda e a terceira vem das propriedades de esperança condicional. Isto conclui a justi cativa que a igualdade (13) dá origem a uma função de transição. A próxima proposição estabelece a recíproca, antes de enunciá-la, precisamos de uma de nição. A medida de probabilidade ν sobre o espaço mensurável (E, B) de nida por ν (Γ)=P {X0 ∈ Γ} é chamada distribuição inicial do processo X ..
(20) 20. proposição 4. Uma função de transição P e uma distribuição inicial ν determinam de modo. único as distribuições nito dimensionais de um processo de Markov X .. Uma demonstração deste resultado pode ser encontrada em [4, capítulo 4]. 4.2. Semigrupos e geradores in nitesimais. Os operadores de semigrupos proporcionam uma ferramenta primária no estudo de processos de Markov. Nesta subseção, vamos desenvolver a formalização básica para o seu estudo e os resultados que precisamos para enunciar o teorema de Hille-Yosida, que caracterizam os operadores que são geradores de semigrupos fortemente contínuos. Um operador linear A (possivelmente ilimitado) em L é uma aplicação linear cujo domínio D (A) é um subespaço de L e cuja imagem Im (A) está contida em L. O grá co de A é dado por (15). G (A) = {(f, Af ) : f ∈ D (A)} ⊂ L × L.. Uma família {T (t), t ≥ 0} de operadores lineares limitados em um espaços de Banach L com T (t) : L → L é chamado de semigrupo se T (0) = I. e T (s + t) = T (s).T (t). Para todo s, t ≥ 0 . Um semigrupo T (t) em L é dito fortemente contínuo se lim T (t)f = f t→0. para cada f ∈ L ; um semigrupo é dito de contração se kT (t)k ≤ 1. para todo t≥ 0.. Exemplo. Vamos ver um exemplo de um semigrupo de contração dado um operador linear limitado B em L , de nimos. (16). etB =. ∞ X 1 (tB)K K! K=0. t ≥ 0.. Segue da limitação do operador B que a série acima converge e o operador resultante etB é limitado. De fato, (17). ∞ ∞ X X 1 K 1 K ke k ≤ t kBk ≤ kBkK = ektBk , t ≥ 0. K! K! K=0 K=0 tB. Mais ainda, visto que série converge absolutamente temos, para todo s, t ≥ 0, que e(t+s)B = esB etB .. Obtemos que {etB } com t ∈ R é um semigrupo, que pode ser facilmente visto ser fortemente contínuo. Cabe ressaltar que no caso de um operador B ser ilimitado a expressão em série de (16) pode não convergir e portanto a justi cativa (17) não serve para garantir que a existência de um semigrupo de contração, pois a exponencial pode não estar bem de nida. Neste trabalho vamos.
(21) 21. abordar o fato de que toda função de transição P está intimamente ligada a um semigrupo T . De fato para cada função f ∈ B(E) e t ≥ 0, de nimos (18). Z T (t)f (x) ≡. f (y)P (t, x, dy) .. Usando que P (0, x, ·) = δx , a massa unitária em x ∈ R e, a propriedade de Chapman-Kolmorov, equação (11), temos que a família de operadores {T (t); t ≥ 0} de nem um semigrupo em B(E) . Esta de nição faz uma ligação entre processo de Markov e semigrupo. Vamos agora apresentar algumas propriedades gerais de semigrupos.. proposição 5. Seja {T (t)} um semigrupo fortemente contínuo em L. Então existe uma constante M ≥ 1 e ω ≥ 0 tal que. kT (t)k ≤ M eωt ,. t ≥ 0.. Demonstração. Primeiramente observe que existe uma constante M ≥ 1 e t0 > 0 tal que kT (t)k ≤ M. para 0 ≤ t ≤ t0 . Caso não existisse, nós poderíamos encontrar uma sequência {tn } de números positivos tendendo a zero tal que kT (tn )k → ∞. então pelo princípio da limitação uniforme implicaria que supn kT (tn )f k = ∞. para algum f ∈ L, contradizendo a propriedade da continuidade forte. Agora seja ω = t−1 0 logM. Dado t ≥ 0 , escrevendo t = kt0 + s, onde k é um inteiro não negativo 0 ≤ s < t0 ; então kT (t)k = kT (s)T (t0 )k k ≤ MMk ≤ M M t/to = M eωt . . corolário 1. Seja {T (t)} um semigrupo fortemente contínuo em L. Então para cada f ∈ L, t →. T (t)f é uma função contínua de [0, ∞)em L.. Demonstração. Seja f ∈ L. Pela proposição (5) se t ≥ 0 e h ≥ 0, então kT (t + h)f − T (t)f k = kT (t)[T (h)f − f ]k ≤ M eωt kT (h)f − f k.. e se 0 ≤ h ≤ t, então kT (t + h)f − T (t)f k = kT (t − h)[T (h)f − f ]k ≤ M eωt kT (h)f − f k. . Note que L × L é um espaço de Banach com as operações de adição e multiplicação por escalar com a norma k (f, g) k= kf k + kgk. Um operador A é fechado se G (A) é um subespaço fechado de L × L. Em termos de sequências, dizemos que um operador linear é fechado se dada uma sequência uk ∈ D (A) (k = 1, · · · ) e uk → u, Auk → v quando k → ∞, então u ∈ D (A) , v = Au..
(22) 22. O gerador in nitesimal de um semigrupo {T (t)} em L é um operador linear A de nido por T (t)f − f . t→0 t. (19). Af = lim. Isto é, Af é a derivada no tempo t = 0 do semigrupo T (t) . O domínio D (A) do operador A é um subespaço constituído pelas funções f ∈ L tais que o limite (19) existe. Seja I um intervalo fechado em (−∞, ∞) , denote por CLj (I), para j = 0, 1, o espaço das funções u : I → L contínuas quando j = 0 e de classe C 1 , quando j=1.. lema 5.. (a) Se u ∈ CL (I) e. ku(t)kdt < ∞, então u é integrável em I e. R I. Z. (20). Z. k. ku(t)kdt.. u(t)dtk 6 I. I. Em particular, se I e o intervalo nito [a, b] , então toda função em CL (I) é integrável em I .. (b) Seja B um operador linear fechado em L. Suponha que u ∈R CL (I), u(t) ∈ D(B) para todo t ∈ I , Bu ∈ CL (I), e com u e Bu integráveis em I . Então I u(t)dt ∈ D(B) e Z Z B( u(t)dt) = Bu(t)dt.. (21). I. I. (c) Se u ∈ CL1 [a, b], então Z. (22). a. b. d u(t)dt = u(b) − u(a). dt. proposição 6. Seja {T (t)} um semigrupo fortemente contínuo em L com um gerador A . a) Se f ∈ L e t ≥ 0, então (23). Rt 0. T (s)f ds ∈ D (A) e Z. T (t)f − f = A. t. T (s)f ds ∈ D (A) 0. b) Se f ∈ D (A) e t≥0 , então T (s)f ∈ D (A)e (24). d T (t)f = AT (t)f = T (t)Af. dt. c) Se f ∈ D (A) e t ≥0 , então (25). Z T (t)f − f =. t. Z AT (s)f ds =. 0. t. T (s)Af ds 0.
(23) 23. Demonstração. (a) Observe que 1 [T (h) − I] h. Z 0. t. Z 1 t T (s)f ds = [T (s + h)f − T (s)f ]ds h 0 Z t+h Z t 1 T (s)f ds − T (s)f ds = h h 0 Z Z 1 t+h 1 h = T (s)f ds − T (s)f ds h t h 0. Para todo h > 0, e quando h → 0 o lado direito de (26) converge para T (t)f − f . Lembrando que R t 0. T (s)f ds ∈ D (A) .. (b) Uma vez que. 1 [T (t + h)f − T (t)f ] = Ah T (t)f = T (t)Ah f h. para todo h > 0 , onde Ah = h−1 [T (h) − I], segue que T (t)f ∈ D(A) e ( dtd )+ T (t)f = T (t)Af . Assim, é su ciente checar que (. d − ) T (t)f = T (t)Af dt. (tomando t > 0). Mas, isto segue da identidade. 1 [T (t − h)f − T (t)] − T (t)Af = T (t − h)[Ah − A]f + [T (t − h) − T (t)]Af, −h Válido para todo 0 < h ≤ t. (26). (c)Isto é uma consequência de (b) e da letra c do lema(5).. . corolário 2. Se A é um gerador in nitesimal de um semigrupo fortemente contínuo {T (t)} em L, então D(A) é denso em L e A é um operador fechado. Demonstração. Desde que −1. Z. t. lim t. t→0+. T (s)f ds = f 0. para uma função f ∈ L, a proposição (26) implica que D(A) é denso em L. Para mostrar que A é um operador fechado, seja fn ⊂ D(A) satisfazendo fn → f com Afn → g . Então t. Z T (t)fn − f =. T (s)Afn ds 0. para cada t > 0, então, fazendo n → ∞, nós encontramos que Z T (t)f − f =. t. T (s)Ag ds. 0. Dividindo por t e fazendo t → 0 nós concluímos que f ∈ D(A) e Af = g .. . Vamos utilizar o teorema de Hille-Yosida para obter um semigrupo de contração fortemente contínuo em L a partir de um operador em L que cumpre as hipóteses deste teorema. Seja A um operador linear fechado em L. Se para algum número λ , λ−A ≡ λI−A é injetivo e Im(λ−A) = L, e (λ−A)−1 é um operador linear limitado em L , então λ é dito pertencer ao conjunto ρ(A) chamado resolvente de A e Rλ = (λ − A)−1 é chamado o resolvente de A (em λ). Como uma curiosidade,.
(24) 24. iremos apresentar a próxima proposição que irá expressar o resolvente de A em termos de uma integral.. proposição 7. Seja {T (t)} um semigrupo de contração fortemente contínuo em L tendo A como gerador. Então (0,∞) ⊂ ρ(A) e. (27). −1. Z. (λ − A) g =. t. e−λt T (t)gdt. 0. Neste momento estamos prontos para enunciar o teorema de Hille-Yosida .. Teorema 8. (Teorema de Hille-Yosida) Um operador linear A em L é o gerador de um semigrupo de contração fortemente contínuo em L se e somente se: a) D (A) é denso em L .. b) A é dissipativo.(isto é, para todo λ > 0 vale a desigualdade: k(λI − A)f k ≥ kλf k). c) Im(λ − A) = L para algum λ > 0. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrado em [4, capítulo 1]..
(25) 25. 5.. O OPERADOR L. W. Neste capítulo vamos obter um gerador de um semigrupo de contração fortemente contínuo a partir de uma função estritamente crescente W . Antes de explorarmos o operador diferencial, recordemos algumas propriedades de funções monótonas. proposição 8. Seja f uma função monótona. Então para cada ponto x do domínio de f existem os limites laterais à direita e à esquerda de x, isto é, existem f (x+ ) = limt→x+ f (t) e f (x− ) = limt→x− f (t) . Demonstração. como f é uma função monótona, o conjunto Vδ (x)+ = {f (t) ∈ X|t−x < δ}, para um δ > 0 qualquer é limitado inferiormente. E como todo conjunto limitado inferiormente possui um ín mo, denote por f (x+ ) = infδ>0 Vδ (x+ ) > −∞. Resta agora veri car que f (x+ ) = limt→x+ f (t) e para isso xemos uma sequência {tn }, n ∈ N, com tn → x, vamos mostrar que f (tn ) → f (x+ ). De fato, como {f (tn )} é uma sequência monótona, limitada inferiormente ela é convergente e vale que limn→∞ f (tn ) = f (x+ ). Analogamente, veri ca-se que f (x− ) = limt→x− f (t) . . Exemplo 1. Seja x0 um número real arbitrário, e de na a função f como segue: 0 f (x) = 1 − 1. 1 n. para 6 x0 − 1; 1 para x0 − n1 6 x < x0 − n+1 ; para x > x0 .. O ponto x0 é um ponto de acumulação dos pontos de salto {x0 − n1 , n > 1}, porém f é contí¬nua em x0 . Antes de apresentarmos o próximo exemplo, vamos introduzir a notação que será utilizada através deste trabalho. Seja t um número real qualquer, pomos: ( 1 para x > t; δt (x) = 0 caso contrário.. Nós chamamos a função δt ponto de massa em t. O próximo exemplo mostra que o conjunto dos pontos de salto de uma função crescente pode ser denso. Na verdade o conjunto dos números racionais mostra o que pode ser obtido por qualquer outro conjunto enumerável. Exemplo 2. Sejam {an , n > 1} uma enumeração P∞ do conjunto dos números racionais e {bn , n > 1} um conjunto de números positivos tais que n=1 bn < ∞. Por exemplo, nós podemos tomar bn = 2−n . Considere agora, (28). f (x) =. ∞ X. bn δan (x).. n=1. Desde que 0 6 δan (x) 6 1 para todo n e x, a série em (28) é absolutamente P e uniformemente convergente. Como cada δan , é crescente, segue que se x1 < x2 , f (x2 ) − f (x1 ) = ∞ n=1 bn [δan (x2 ) − δan (x1 )] > 0. Assim f é crescente. Como nós temos convergência uniforme, podemos então deduzir que para cada x. (29). +. −. f (x ) − f (x ) =. ∞ X. bn [δan (x+ ) − δan (x− )].. n=1. Porém para cada n, o número do colchete acima é 0 ou 1, de acordo com x 6= an ou x = an . Assim se x é diferente de todo an , cada termo do lado direito de (29) se anula; por outro lado, se x = ak , dizemos então que um termo, exatamente o que corresponde a n = k , não anula e ainda produz o valor de bk para toda a série. Isso prova que a função f tem saltos em cada ponto racional e em nenhum outro lugar..
(26) 26. Para complementarmos sobre as possíveis descontinuidades de uma função monótona, iremos apresentar o seguinte resultado.. proposição 9. O conjunto de descontinuidades de uma função monótona é enumerável. Demonstração. Vamos provar este resultado utilizando um argumento topológico de uma aplicabilidade geral. Utilizando o fato de que as descontinuidades de uma função monótona são do tipo salto, para cada ponto de salto x vamos considerar o aberto intervalo Ix = (f (x− ), f (x+ )). Se z é um outro ponto de salto e x < z , podemos então dizer que existe um ponto y tal que x < y < z . Daí, pela monotonicidade temos f (x+ ) < f (y) < f (z − ). Daqui resulta que os dois intervalos Ix e Iz são disjuntos, embora possam encostar um sobre outro, se f (x+ ) = f (z − ). Assim, pode associar-se com o conjunto de pontos de salto no domínio da função f a um determinado conjunto de pares de intervalos abertos disjuntos. Agora toda a coleção é necessariamente enumerável, uma vez que cada intervalo contém um número racional, de modo que a escolha de intervalos está um-paraum em correspondência com um determinado subconjunto de números racionais e este último é enumerável. Por conseguinte, o conjunto de descontinuidades é também enumerável, uma vez que estão em correspondência um-para-um com o conjunto de intervalos associados a ele. . Retornemos ao proposito inicial de obter o operador diferencial associado a uma função W . Fixemos uma função estritamente crescente W :R→R. contínua à direita com limites à esquerda, periódica no sentido de que W (u + 1) − W (u) = W (1) − W (0). para todo u ∈ R . Para simpli car a notação vamos assumir que W é nula na origem, ou seja, W (0) = 0. Denotemos por T o toro de uma dimensão identi cado pelo intervalo [0, 1), h·, ·i o produto interno do espaço L2 (T) (espaço de Hilbert) e por k · k sua norma. Seja D(f ) o conjunto dos pontos de descontinuidades de uma função f : T → R. Denote por CW (T) o conjunto das funções càdlàg(funções contínuas à direita com limites à esquerda) f : T → R tais que D(f ) ⊂ D(W ). CW (T) está provido com a norma usual do sup, kf k∞ = supx∈T |f (x)|.. Esta de nição faz sentido pelo seguinte lema.. lema 6. Todas as funções em CW (T) são limitadas. Demonstração. De fato, é fácil provar que para cada função f ∈ CW (T) xada e > 0, existe n ≥ 1 e 0 ≤ z1 < z2 < z3 < · · · < zn < 1 tal que |f (x) − f (y)| ≤ para todo zk ≤ x, y < zk+1 , 1 ≤ k ≤ n, onde zn+1 = z1 .. Para ver este resultado, observe que para cada função f xada em CW (T) existe o limz→x− f (z) e pelo fato de f ser contínua à direita em x temos que existe limz→x+ = f (x) e portanto, xado > 0 e um ponto x tal que f seja contínua, existe δx tal que para todo z ∈ Ix vale |f (z) − limy→x− f (y)| < . onde Ix = (x − δx , x + δx )..
(27) 27. Como a função f tem descontinuidades enumeráveis segue que apesar de ser tomado apenas os pontos de continuidade da função, ainda assim, temos uma cobertura para o toro. Assim temos, T=. [. Ix .. x∈T. Pela compacidade do T temos uma subcobertura nita do toro T=. n [. Ixk .. k=1. Dado xk−1 ≤ y1 < y2 < xk , temos dois casos a considerar: caso 1 Se y1 , y2 ∈ Ixk . Neste caso, vale |f (yi ) − limx→xk− f (y)| < triangular que. i = 1, 2 e daí, segue pela desigualdade. |f (y1 ) − f (y2 )| ≤ 2.. caso 2 Se y1 ∈ Ixk−1 eTy2 ∈ Ixk . Seja z ∈ Ixk−1 Ixk , o ponto z tem existência garantida pela conexidade do intervalo [xk−1 , xk ], como o ponto z pertence a interseção segue que |f (y1 ) − f (z)| < 2 e |f (y2 ) − f (z)| < 2. e daí pela desigualdade triangular temos que |f (y1 ) − f (y2 )| ≤ 4.. O que conclui o resultado. (30). |f (x) − f (y)| ≤ para todo zk ≤ x, y < zk+1 , 1 ≤ k ≤ n. df de uma função f como: dW df f (x + ) − f (x) (x) = lim , →0 dW W (x + ) − W (x). De namos a derivada generalizada (31). Quando o limite acima existe e é nito. Denotemos por DW o conjunto das funções f ∈ CW (T) df df d que dW (x) está bem de nida e é diferenciável, com dx pertencendo ao conjunto CW (T) dW. De nição 4. Seja LW : DW → CW (T) operador linear de nido por: d df d LW f = f= dx dW dx. . df dW. . Dada uma função contínua à direita f e uma função contínua h temos que, para todo x ∈ T se e somente se (32). df (x) = h(x) dW. Z f (b) − f (a) =. h(y)dW (y) (a,b]. para todo a < b. Uma demonstração deste fato pode ser obtida em [3], Lema 0.9 do apêndice..
(28) 28. Segue da equação (32) que a função h tem integral nula, ou seja, T h(y)dW = 0, pelo fato de que f(0)=f(1). Esta observação juntamente com a de nição do operador LW f nos diz que o conjunto DW é o conjunto de todas as funções f pertencentes a CW (T) tal que R. (33). y. Z. Z dW (y). f (x) = a + bW (x) +. g(z)dz. (0,x]. 0. Para alguma função g em CW (R) e dois números reais a e b tal que Z. (34). bW (1) +. Z. Z g(z)dz = 0,. W (dy) T. y. 0. g(z)dz = 0. T. Vamos examinar agora alguns casos particulares para a função monótona W . 0 df 1. Se W (x) é suave então dW (x), onde existe, é o quociente de derivadas Wf 0(x) . (x) De fato, f (x + ) − f (x) df (x) = lim →0 W (x + ) − W (x) dW f (x+)−f (x) →0 W (x+)−W (x) f (x+)−f (x) lim→0 = W (x+)−W (x) lim→0 df dx = dW . dx df x0 (x0 ) dW. = lim. df 2. Se a função W tem um salto em e existe . Então dW (x0 ) é o quociente entre os saltos de f e W em x0 . E esta a rmação pode ser justi cada da seguinte maneira: como f e W são funções càdlàg(funções contínuas à direita com limites à esquerda) obtemos a existência dos limites:. lim f (x + ) − f (x) = Salto de f. e. →0. lim W (x + ) − W (x) = Salto de W →0. Agora, utilizando o fato de que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, temos o seguinte resultado: (35) (36) (37). df f (x + ) − f (x) (x) = lim →0 W (x + ) − W (x) dW lim→0 f (x + ) − f (x) = lim→0 W (x + ) − W (x) Salto de f . = Salto de W. 3. Se W (x) = x então temos que. d df df 2 ( )= 2 LW f = dx dx dx. ou seja, LW f é o laplaciano. Vamos iniciar as demonstrações dos resultados apresentados na seção notações e resultados..
(29) 29. lema 1. O operador LW : DW → L2 (T) cumpre as seguintes propriedades: (a) O conjunto DW é denso em L2 (T). (b) O operador LW : DW → L2 (T) é simétrico e não-positivo. Mais precisamente, Z hLW f, gi = − T. dg df dW dW dW. para todo f, g ∈ DW . (c) LW satisfaz a desigualdade de Poincaré: Existe uma constante nita C0 tal que 2. Z. 2. kf k ≤ C0 h−LW f, f i +. f (x)dx T. para toda função f ∈ DW . Demonstração. Uma vez que o conjunto das funções contínuas é denso em L2 (T), provar (a) é su ciente mostrar que para cada função contínua f : T → R e > 0, existe g em DW de modo que kf − gk ≤ . Fixemos portanto uma função contínua f : T → R e > 0. Existe δ > 0 de modo que |f (y) − f (x)| ≤ . para todo x, y ∈ T desde que Escolha um inteiro n ≥ δ. −1. |x − y| ≤ δ. e considere a função g : T → R de nida por. n−1 X f ([j + 1]/n) − f (j/n) g(x) = 1{(j/n, (j + 1)/n]}(x) , W ([j + 1]/n) − W (j/n) j=0. seja 1{A} a função indicadora do conjunto A. Consideremos G : T → R dada por Z g(y)W (dy).. G(x) = f (0) + (0,x]. Por de nição de g , G(j/n) = f (j/n) para 0 ≤ j < n. Desta maneira, por nossa escolha do n e pela de nição de G, para j/n ≤ x ≤ (j + 1)/n,
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36) G(x) − f (x)
(37) ≤
(38) G(x) − G(j/n)
(39) +
(40) f (x) − f (j/n)
(41) ≤ 2 .. de modo que kG − f k∞ ≤ 2 onde k · k∞ representa a norma do sup. Observe que Z. (38). g dW = 0 . (0,1]. Resta mostrar que a função G pode ser aproximada em L2 (T) por funções no domínio DW . Note que nós éramos livres para escolher o conjunto {0, 1/n, . . . , (n − 1)/n} contanto que a distância entre dois pontos consecutivos fosse delimitada por δ . Podemos portanto, assumir, sem perda de generalidade, que W é contínua nestes pontos. Denotemos por {Hk : k ≥ 1} uma sequência de funções suáveis Hk : T → R absolutamente limitada por kgk∞ e tal que lim Hk (x) = g(x) k. para xn 6∈ Z. Pelo teorema da convergência dominada, veja em (5) (39). Z lim. k→∞. T.
(42)
(43)
(44) Hk (y) − g(y)
(45) dW (y) = 0 ..
(46) 30. Seja {Fk : k ≥ 1} a sequência de funções Fk : T → R de nidas por Z y o n Fk (x) = f (0) + bk + Hk0 (z) dz W (dy) = (0,x] 0 Z Z y Hk0 (z) dz , = f (0) + bk W (x) + W (dy) Z. 0. (0,x]. onde bk = Hk (0) − W (1)−1 (0,1] Hk (y) dW (y). Por (38), (39), Fk converge na topologia uniforme para G. Por outro lado, vimos em (33) que pela nossa escolha de bk , Fk pertence a DW para cada k ≥ 1 porque Hk0 , é contínua e pertence à CW (T). Isto conclui a prova de (a). Para provar (b), xemos duas funções f , g em DW e seja R. F = df /dW. F é diferenciável com derivada em CW (T). Fixemos > 0 e denotemos por {z1 , . . . , zn } o conjunto nito dado por (30) para alguma função g . Adicionando pontos extras se necessário, Nós podemos. assumir que. max. sup. 1≤k≤n zk ≤x,y≤zk+1. |F (y) − F (x)| ≤ . pelo fato de F ser contínua. Decompondo a integral sobre T nos intervalos [zk , zk+1 ], temos que Z. dF (x) g(x) dx T dx n dF X = g(zk ){F (zk+1 ) − F (zk )} ± . dx ∞ k=1. hLW f, gi =. Trocando a ordem do somatório no último termo, tendo em vista (32), obtemos então que a soma anterior é igual a Z n n X X F (zk ) {g(zk ) − g(zk−1 )}F (zk ) = − − k=1. k=1. (zk−1 ,zk ]. dg (x) dW (x) . dW. Lembre-se que dg/dW é contínua e que |F (x) − F (zk )| ≤ . para zk−1 ≤ x ≤ zk . A soma anterior é assim igual a Z. dg dg. − F (x) (x) dW (x) + [W (1) − W (0)] . dW dW ∞ T. Isto demonstra a identidade a partir da qual segue que LW é simétrico e não-positivo. Para provar a desigualdade de Poincaré, xemos uma função f em DW e observe que por (32) Z. 2. f (x) dx − T. Z T. f (x) dx. 2. Z Z. 2 [f (x) − f (y)] dy dx ZT T Z Z 2 df = dx dy (z) dW (z) . T T (y,x] dW =.
(47) 31. Para concluir a demonstração temos que Z Z. Z dy. T. T. [x,y). 2 2 Z Z Z df df (z)dW (z) dx = dy (z)1[x,y) dW (y) dx dz T T T dW 2 Z Z df kW .[W (1) − W (0)]dy dx ≤ k T T dW df 2 ≤ (W (1) − W (0))k k dW W. onde a segunda desigualdade é por (3.7). Basta considerar agora C0 = W (1) − W (0).. . Recorde que nos denotamos por h·, ·i1,2 o produto interno em DW por: Z hf, gi1,2 = hf, gi + h−LW f, gi = hf, gi + T. df dg dW. dW dW. Seja H21 (T) o conjunto de todas as funções f em L2 (T) tal que existe uma sequência {fn : n ≥ 1} ∈ DW tal que fn converge para f em L2 (T) e fn é de Cauchy para o produto interno h·, ·i1,2 . A sequência {fn } é chamada admissível para a função f . Para f , g em H21 (T), nós de nimos: hf, gi1,2 = lim hfn , gn i1,2 , n→∞. Antes de demonstrarmos o Lema 2 vamos mostrar que esta de nição esta livre de ambiguidades. 5.1. independência da sequência admissível. Vamos mostrar que a de nição do produto interno feita em (4) está bem de nida. De fato, xado um operador linear, fortemente monótono, B = I − LW : DW ⊂ L2 (T) → L2 (T), o limite lim hfn , gn i1,2. n→∞. existe e não depende das sequências escolhidas. Iremos fazer esta demonstração em três etapas, a saber: Etapa 1. Seja {un }∞ k=1 uma sequência admissível para u = 0. Queremos mostrar que lim kun k1,2 = 0. n→∞. como podemos ver, vale a seguinte desigualdade (40). |kun k1,2 − kum k1,2 | ≤ kun − um k1,2 ∞ e {uk }∞ k=1 é de Cauchy com respeito a k · k1,2 , a sequência {kun k1,2 }k=1 é de Cauchy. Então o limite. λ := lim kun k1,2. existe. Além disso, observe que. n→∞. hun |um i1,2 − hur |ur i1,2 | = |hun − ur |um i1,2 + hur |um − ur i1,2 |. (41). ≤ kun − ur k1,2 kum k1,2 + kur k1,2 kum − ur k1,2 < . para todo n, m, r ≥ n0 (). Desde que un → 0 em L2 (T), nós temos que hun , um i1,2 = hun , Bum i → 0. quando n → ∞. Fazendo n → ∞ e n → ∞ em r → ∞ em (41) para m xo, nós temos |λ2 | ≤ .
(48) 32. para todo > 0. Portanto, λ = 0. Etapa 2. Seja u ∈ H21 (T), veja em (3.8). Escolha uma sequência admissível (un ) para u. Por (40) , (kun k) é de Cauchy. De na kun k1,2 := lim kun k1,2 . n→∞. Seja vn outra sequência admissível para u. Queremos mostrar que kuk1,2 = lim kvn k1,2 . n→∞. De fato, desde que a sequência (un − vn ) seja admissível para w = 0, obtemos que |kun k1,2 − kvn k1,2 | ≤ kun − vn k1,2 → 0 quando n → ∞,. pelo etapa 1. Etapa 3. Para cada un , vn ∈ DW temos a identidade hun , vn i1,2 = 4−1 (|un + vn k21,2 − kun − vn k21,2 ). 1 ∞ Seja {un }∞ k=1 e {vn }k=1 sequências admissíveis para para u, v ∈ H2 ((T ). Então, a sequência {un ± vn }∞ k=1 é admissível para u ± v . Pelo item 2., o limite. (42). hu|vi1,2 := lim hun , vn i1,2 n→∞. existe e não depende da escolha das sequências admissíveis. Onde {fn } e {gn } são sequências admissíveis para f e g , respectivamente.. lema 2. Uma função f em L2 (T) pertence H21 (T) se e somente se existe F em L2W (T) e uma constante nita c tal que Z. F (y) dW (y) = 0 e f (x) = c +. Z F (y) dW (y) (0,x]. (0,1]. Lebesgue quase certamente. Nós denotamos a W -derivada generalizada F de f por df /dW . Para f , g em H21 (T), Z hf, gi1,2 = hf, gi + T. df dg dW . dW dW. Demonstração. Recorde que o conjunto dotado com o produto interno h·, ·i1,2 de ne um espaço real de Hilbert. Além disso, de nimos por L2W (T) o espaço de Hilbert gerado pelas funções contínuas dotadas com um produto interno h·, ·iW de nido por: H21 (T). Z hf, giW =. f (x)g(x)W (x). T. A norma associada ao produto escalar h·, ·iW é denotada por k · kW . Fixemos uma função f em H21 (T). Por de nição, existe uma sequência {fn : n ≥ 1} pertencente a DW que converge para f em L2 (T) e que é de Cauchy em H21 (T). Em particular, {dfn /dW } é de Cauchy em L2W (T). De fato, kfm − fn k1,2 = kfm − fn k + k. dfm dfn − kW dW dW.
(49) 33. tem-se que, kfm − fn k1,2 < . para um > 0 qualquer e todo n su cientemente grande, então o mesmo ocorre com k. dfn dfm − kW . dW dW. e portanto, dfn dfm − kW < dW dW para todo n ∈ N, su cientemente grande. E portanto, {dfn /dW } é uma sequência de Cauchy em L2W (T). Como L2W (T) é um espaço de Hilbert tem-se que {dfn /dW } converge para uma função G no conjunto L2W (T). Por (34), Z dfn dW = fn (1) − fn (0) = 0 T dW k. Pois. dfn dW. é uma primitiva de fn para todo n ≥ 1 de modo que Z G dW = 0. (0,1]. Seja Z G(y)dW (y).. g(x) = (0,x]. Veri ca-se facilmente que 1{(x, y]} pertence ao conjunto L2W (T), para todo x, y em T. De fato, Z. Z. 2. x. 1dW (y). 1(0, x](y) dW (y) = 0. T. = W (x) − W (0) 6 W (1) − W (0) = C0 .. Agora, se x ≤ y , utilizando o fato anterior, temos que: Z g(y) − g(x) =. Z G dW = lim. n→∞. (x,y]. A rmamos que. R T. (x,y]. dfn dW = lim {fn (y) − fn (x)} . n→∞ dW. {fn (y) − fn (x)}dx converge para Z {g(y) − g(x)}dx T. para todo y in T. De fato, primeiramente , para cada y xo fn (y) − fn (x) converge para g(y) − g(x).. e por último, pela desigualdade de Schwarz, veja em (3.7) Z dfn 2 [fn (y) − fn (x)] ≤ [W (1) − W (0) dW ≤ C0 T dW 2.
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