Inversa generalizada de Moore-Penrose e solução de norma mínima em delineamentos experimentais

Texto

(1)INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE �. ,. E SOLUCAO DE NOR MA MINIMA EM DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS. IMA\fRDA\ DZA\ILDINA\ lf!EfRfRIEDfRA\ A\ILWIES. Orientador: PROF. DR. ANTONIO FRANCISCO IEMMA. Plssert«<;;Õo a present ado ã Escota Superior de AgrLcuttura -Lulz de Quel roz ·· do Universl dade de sao Paut o, pQro o btençao do ti tuto de Mestre em Agrono m1. a. Ãreo de Con c ent roçõo: .Estatisti.c o e Ex perlmentaçéio Agron8m1.ca.. P I R AC I C AB A. Estado de São Paul.o - Brasil Julho - 1990.

(2) Ficha catalográfica preparada pela Seção de Livcr:-os da Divisão de Biblioteca e Documentação - PCAP/USP A474i. Alves, Maria Izalina Ferreira Inversa generalizada de Moore-Penrose e solução de norma mínima em delineamentos experimentais. Pi racicaba, 1990. 8lp. Diss. (Mestre) - ESALQ Bibliografia. 1. Delineamento de experimento 2. Estatística ma temática 3. Modelo de Gaus-Markov 4. Modelo matemáti co I. Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Piracicaba. CDD. 519.5.

(3) INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE ,. ~. E SOLUCAO DE NORMA MINIMA EM DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS •. IHA\IRD A\ D2A\ILDlNA\. Aprovada em:. 1f1E1RIR1EDIR~. A\n.. WlES. 31.07.90. Comi ss:lo julgadora:. Prol'.. Dr.. Ant.oni o Francisco I emma. ESALQ/USP. Prol'~ Dr~ Maria Crist.ina St.oll' Nogueira. Prof.. Or.. João Riboldi. Prof.. Or.. ESALQ/USP.

(4) ii.. A minha mãe, Diva, pelas lutas e sacrifícios empenhados para meu desenvol viment.o.. A minha avó, Maria, e as minhas irmãs,. Lúcia e Rosa,. pelo apoio e carinho.. A minha fil.ha, Ri ta, por ser a motivação de toda a caminhada.. A Tie.mi,. Rosana,. João e Gabriel, pessoas que me fazem acreditar que a amizade é feita de amor incondicional.. D E D I C O.

(5) iii.. ÂD Prof'. Dr. F. Piment.el Gomes,. precursor da Est.at.�st.ica no Brasil ,. que me despert.ou para est.a área e me concedeu a honra de sua confiança;. Ao Prof'. Dr. Ant.onio Francisco Iemma ., orient.ador, mest.re, amigo ., que me estendeu a mão e me fez caminhar até esta etapa;. MEUS AGRADECIMENTOS ESPECIAIS..

(6) Iv.. AGRADECIMENTOS. Aos Barbin,. pela. ProÍs.. Drs.. oport.unidade. de. Humbert.o. de. realização. Campos. do. e. Curso.. Décio apoio.. compreensão, amizade e experiências t.ransmi t.i das. Ao ProÍ. las discussões e. Or.. Cássio Robert.o de Melo Godoi. pe-. valiosas sugest.ões para a. realização dest.e. t.rabalho. e pelo apoio profissional. Ao ProÍ.. Or. Izaias Rangel Nogueira, pelos va-. liosos e pacient.es ensinament.os. À. ProÍa.. Dra.. Maria Crist.ina St.olf Nogueira,. amiga, companheira, pelo apoio. colaboração e pelo agradável conví vio profissional. Ao ProL meiro orientador, fica,. Dr.. Manuel. Luiz Figueirôa,. meu. pri-. pelo incent.ivo em minha iniciação cient.í-. ponto de part.ida para minha carreira profissional. Ao ProL. Dr.. Vivaldo Francisco da Cruz,. pelo. incent.ivo, colaboraçâo, e ensinament.os transmitidos. À. Fundaçâo de Ampar o à. São Paulo (FAPESP),. Pesqui sa do Es tado de. pela concessão da bolsa para realização. do Curso. Ao amigo Luiz Eloi Pint.o Ferreira, in memoriam, pelo incentivo const.ante e pela lição de vida t.ransmitida. Aos amigos Marisa A.C. Rodrigues, do e. .~drés. Dinara X. W. Enrique L.. Fernandez, Reyes,. Duart.e,. Amauri. Pedro Carvalho. de Almeida Macha-. pelo apoio e conÍiança incon-. dicionais, em todas as et.apas. Aos amigos Mário Luiz Venturini, Scarinci e Fernando de Souza.. José Ant.ônio. por t.ornarem a luta menos ár-. dua. À Profa.. ao Prof.. Dra.. Clarice Garcia Borges Demét.rio e. Or. Waldemar Ant.onio Demét.rio, pelo apoio em toda a. jornada. Aos. colegas. Andreas Bakke, Celso E.. do. Curso. Peixot.o.. de. Pós-Graduação,. Ivani P.. Ot.subo e. Olaf. Lídia R..

(7) v. de. Car vaI ho.. pelo. companhei r i smo. Maurício Mot.a. Rosa S. Mot.a e A.. L.. dur ant.e. o. curso;. ao. J.. Guidoni. pelo companhei-. rismo e auxílio no desenvolviment.o final do t.rabalho. A Re j ane Al ves •. pel a. excel ent.e di gi t.ação. do. t.rabalho. pela amizade e colaboração em t.odos os moment.os. Aos funcionários do Dept.o. t.atística da ESALQ.. em especial. de Matemát.ica e Es-. ao Oct.ávio Frasset.to.. pelo. companheirismo. cooperação e amizade. Às funcionárias da Seção de Pós-Graduação, sob. a. excel ente. coor denação. da. Sr a.. Di r ce. Al essi. Pel egr i ni ,. pelas gentilezas e incentivo recebidos. Aos funcionários do CIAGRI. pelas gent.ilezas e cooperação..

(8) vi.. SUMÁRIO. Página RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vi. SlJMMARY . . . . . . . . • . . . • . . . . . . • .. xiii. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1. O Problema . . . . . . . . . .. 1. 1.2.. .......... .. 2. 2.. REVI SÃO DE LI TERATURA .•.•. 4-. 3.. DESENVOLVIMENTO TEóRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.. 3.1.. 3.2.. Obje~ivos. Concei~os. 13. Sobre a Inversa Genera-. In~rodu~órios. lizada de Moore-Penrose. 13. 3.1.1.. Dei' i ni ção '". 14. 3.1.2.. Principais teoremas e propriedades..... . . ... Estimação em Modelos. Lineares. A~ravés. 14-. da In-. versa Generalizada de Moore-Penrose . . . . . . . . . .. 17. 3. 2. 1. I. 17. 3.2.2.. n~rodução. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Um estimador não ~endencioso para. 0. 2. no. 20. Modelo de Gauss-Markov 3.2.3.. Es~imação. por. pon~o. no modelo de Gauss-. -Markov .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 21. 3.2.4.. O. 22. 3.2.9.. Estimação. ~eorema. de Gauss-Markov por. in~ervalo. o. ••••••••••••. no. modelo. de. Gauss-Markov . 3.2.6.. Estimação. por. Gauss-Markov. 23 região. no. modelo. de 23.

(9) vii.. Página 3.2.7. 3.3.. Formas. Análise da variância Gerais. de. Moore-?enrose em. 3.3.1.. Inversas. Generalizadas. D9lineamen~os. Experimen~os. com um. de. Experimen~ais... ~a~or. in~eiramen~e. casualizado (balanceado ou não) . . . . . . . 3.3.2.. Experimen~os. res, sem 3.3.3.. balanceados com dois. 4.. 38. balanceados com dois. res cruzados, com. ~a~o-. 43. in~eração. RESUL T ADOS E DI SCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.. Experimen~o ramen~e. 4.2.. Não Balanceado com um. Fa~or. 50 In~ei-. Casualizado. 50. Experimento Balanceado com Dois. Fatores,. Sem 52. Interação 4.3.. Experimen~o. 33. ~a~o-. in~eração. Experimen~os. 32. Balanceado com Dois. In~eração. Fa~ores. ,. Com 58. 5.. CONCLUSõES . . . . . . . . . . .. . ...... .. 5.. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . .. 77 79.

(10) viii.. INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE , E SOLUCAO DE NORMA MINIMA EM DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS. -. MARIA IZALI NA FERREI RA ALVES. Aut.ora:. Orientador: Prof. Dr. Antonio Francisco Iemma. RESUMO. Neste trabalho são apresentadas rormas gerais para obtenção de inversas generalizadas de Moore-Penrose para. matrizes. Markov.. Tais. de delineamentos rormas. são. no modelo. dependentes. linear. apenas. do. de. Gauss-. tamanho. do. subconjunto de parâmetros existentes no modelo adotado e. do. respectivo número de repetições.. Além das rormas gerais para a inversa generalizada da matriz ~ do delineamento.~+, são apresentadas também as rormas gerais do projetor ~. =. ~~+.. da matriz ~. =. ~+~. e da matriz de variâncias e covariâncias para o estimador da. runção·X'e, V[ X'" eJ. Nesse contexto. são apresentadas rormas gerais dessas matrizes para os delineamentos: mente. casual i zado.. com. repeti ç5es. com um rator inteira-. constantes. ou. não ~. com. dois ratores, balanceados. sem interação (podendo ser caracter i zado como Dl ocos ao acaso) ceados. com interação Cratorial).. e. com doi s. r ator es •. bal an-.

(11) ix.. Para exemplificar as formas gerais ~omados. .foram. me~odologia. por. pon~o.. dos.. exemplos de l i vros terlos da área de Modelos. con.f i rmando os r as uI ~ados. Li neares.. propos~as~. propos~a.. por. Nesse. in~ervalo.. numéricos obti dos pel a. sen~ido.. ob~iveram-se as~imações. por região.. e as somas de quadra-. at.ravés dos projet.ores ort.ogonai s,. para os três casos. estudados. Concluiu-se que as .formas gerais nimizam o problema numérico da. ob~encão. sicos. ineren~es. .f or mas. das. efeí~os. men~o. dos. ma t.r i zes. apr esen~am. parâme~ros. experimen~al.. Isso propicia. didá~ico. aos Modelos Lineares e uma. mi-. da inversa de Moore-. -Penrose em delineament.os experiment.ais. pli.ficacões relevant.es no processo. realmen~e. dos. ~emas. correla~os.. vi são. sim-. mai s. clás-. pois. cl ar a. as dos. envolvidos em cada modelo de delineaob~encão. além da facilidade de. da análi-. se de variância. Dado. que. as. apenas números .fracionários envolvidos no modelo, quando se. ~rabalha. .formas. relacionados. a precisão das. concluiu-se. dessas .formas gerais. além do uso compu~acionais.. zacão em programas .formas é reduzir o e ou. levam. con~a. parâme~ros. com os. es~imações. em. é. maior que. com equacões normais e reparametrizações.. Assim.. redondamen~o. gerais. ~empo. de. que. a. maior. didá~ico.. pois o. processamen~o. ~runcamen~o.. con~ribuição. seria sua ut.ili-. pon~o. .for~e. dessas. e os erros de ar-.

(12) x.. THE MOORE-PENROSE GENERALIZED INVERSE ANO MINlMUM NORM SOLUTION ON EXPERIMENTAL DESIGNS. Aut.horJ. MAR! A IZALIHA FERREIRA AI.. VES. Adviser:. Prot'.. Antonio Francisco Iemma. Or.. SUMMARY. Si mpl e. and. pr act.i cal. gener aI. Moore-Penrose generalized inverse for in Gauss-Markov linear model, OI. element.s. OI. are. medel. following. each subset.. shown. designs. General. t.o. ways. experiment.al. obt.ai n. designs.. depending only on the number. OI. paramet.ers. forms. OI. were present.ed:. the. invol ved. mat.rices. in. t.he. wit.h. one Iact.or. t.he. balanced. and unbalanced. two Iact.ors balanced without. interact.ion Cor randomized. block. design),. and. two. factors. balanced. with. interaction Cfactorial design). General · t.h e d es~gn and Ior. .... mavr~x,. ...0+,. ~. forms s:'. ~or. OI. Moore-Penrose. t.he project.or. ID. u. matrices. = ~~ • VJ\D+. s:'or. ~. (\J. UI. for __ VJ+VJ. ~ ~. variances and covariances matrix 01' the parametric ". est.imable funct.ion À'e. V[ À ' eJ Examples. Irom. =. + + À' ~ ~ •. Linear. 2. Ào • are presented.. Models. text.. used t.o exemplify t.he general Iorms presented.. books. were. They confirm-. ed numerical results obt.ained through the proposed methodology.. Point.. interval. and. region. estimations.. and. sum. 01'.

(13) xi.. square cases. ~hrough. s~udied. or~hogonal. were. projec~ors.. for. ob~aining. designs. and. presen~ed. each. frac~ionary. dida~ic. ~opics. wi~h. ~he. general. numbers. rela~ed. because. ~he. forms to. ~he. experimen~aI. ~he. in~o. model. envolved in. projec~ors.. accoun~. parame~ers.. precision is majored when compared. ob~ained. by. normal. equa~ions. of ana-. ob~aining. or~hogonal. ~ake. and. forms. ma~rices. efec~s,. and ease. use of. pr 0 -. process on Linear Model. parame~ers. design model,. These. estima~es. resul~s. ~he. a clearer vision of. lysis of variance. ~hree. numer i cal. ~he. Moore-Penrose inverse in. cIassic. reIa~ed. experimen~al. fore.. ~he. This simplifies. o~hers. ~he. ob~ained.. The general for ms mi ni mi ze bIem on. each of. jus~. There-. wi~h. ~he. reparameteriza-. ~ions.. In addi ~ion gener aI computer. for ms ,. we. packages. formulae deveIoped.. thi nl<. to tha t. ~he. dida~ic. advan~age. the computa ti onal. could gain in precision if. of. methods. ~he. of. they use the.

(14) 1.. 1. I NTRODUÇÁO. 1.1.. O Problema. Dado o modelo linear y = de Gauss-Markov),. ~e +. e Cmodelo linear. corresponden~e. é bem sabido que o. sis~ema. de equações normais, ~'~eo = ~'y, é sempre consis~en~e. disso, se. ~. é de. pos~o. comple~o.. coluna. como em geral ocorre. em modelos de regressão. a menos de colinearidade, é. posi~iva. de~inida,. ~ema. ~em. luna. comple~o,. solução única.. rimen~ais,. No. não-singular. por~an~o,. entan~o,. como em geral. se. ~. não é de. en~ão ~'~. e. o sis-. pos~o. co-. ocorre nos delineamentos expe-. o sistema de equações normais é indeterminado. Do. não. sendo. Além. apresen~a. pon~o. de. vis~a. teórico. essa indeterminação. problemas sérios,. xi mação de mí ni mos quadr ados ;.. ção das equações normais.. pois a. = ~a° .. garante a. invariância da apro-. para qualquer a ° soluinvariância,. por exem-. pIo, das somas de quadrados e, a invariância de À'ao, se À'e é. es~imável,. garante a. invar iância. do. "BLUE'·J.,. e. assim por. diante. Vários métodos de obtenção das soluções aO são propostos na. J.. ··BLUE··:. ··Besl.. li~era~ura.. Linear. Den~re. eles. Unbi.ased Estí-mator··.. es~ão. as reparametriza-.

(15) 2. ções e as rest..rições nas sol uções e/ou nos par âmet..r os , sando em geral. vi-. obt..er soluções únicas at..ravés da est..rat..égia de~.. de "complet..ar" o post..o coluna. Out..ra alt..ernat..iva int..e-. ressant..e pode ser obt..ida at..ravés do uso das inversas generalizadas.. No ent..ant..o.. se as inversas generalizadas de. ~. t..êm. si do ampl ament.e usadas nas deduções t.eór i cas, - i st.o em ger aI não. ocorre. em. problemas. prát..icos,. diriculdade de sua obt.enção.. nú ni ma. observações. e. VI+, ~. projet.or. o. no. espaço. apregoada. a. Nesse cont.ext..o est..á a. generalizada de Moore-Penrose. nor ma. dada. que rornece a. ort.ogonal. coluna. ~,. de. IF'. solução de. vet..or. do =. inversa. ~~+.. de. y. de. além. simpliricar sensivelment.e a. exposição t..eórica de t.emas como. aqueles. drát..icas.. sobre. rormas. dent.re out.ros.. qua-. est..imação. No ent.ant.o, na prát.ica a inversa. ~. e +. t.est.es, rarament..e. é usada,. sendo mesmo rejeit.ada por grande part.e dos pesqui-. sadores,. dada a. t.a-se,. assim,. de sua. obt..encão numérica.. um cert.o desencont..ro ent..re t.eoria e. em áreas como, quant.o a. dificuldade. por exemplo,. t.eor i a. a. a. de Modelos Lineares,. t.em ut.i 1 i zado com t..ot..al. No-. prát..ica, pois en-. gener aI idade.. a. prát.ica est.á presa, em grande part.e, aos modelos com rest.ricão.. 1.2. Objet.ivos. o problema. objet.i vo. numérico. da. cent.ral. obt.enção. da. consist.e inversa. Moore-Penrose em deI i neament.os exper i ment.ai s. em. minimizar. generalizada com um e. o de. doi s.

(16) 3. fa~ores. den~es. a~ravés. de formas gerais simples e. apenas do número de. elemen~os. prá~icas.. de cada. depen-. subconjun~o. de. parâmetros envolvidos no modelo. Espera-se.. também.. propiciar. simplificações. relevantes no processo didático da apresentação. ~eórica. dos. temas clássicos inerentes aos modelos lineares e. correla~os..

(17) 4.. 2. REVISÃO DE LITERATURA. o triz. (real. (1020),. ou. conceito de inversa generalizada de uma macomplexa). m. ~. 1'oi. n. desenvolvido. por. MOORE. no contexto de transf'ormaçÕ9s lineares de espaço n-. -dimensional para m-dimensional com o uso de norma Euclidiana.. De1'in1u que. n. ~+ é. uma inversa generalizada de. m. m. ~, n. se [2.1 J. onde IP é. o. projetor. vet.ores. de. espaço gerado pelas colunas de PENROSE. (1955). MOORE (1920) most.rou que, uma e. uma. so J. ma t.r i. Z. '". n. ffi. +. m. do espaço m-dimensi onal. ~.. em. ext.ensão. ao. t.r abal ho. para t.oda matriz real que. no. sa t.i si' az. as. quatro. m. ~. n. de. exist.e. condi ções. seguintes:. (ii). [2.2J. Ci. v). (Iõ~ + ) '. =. Iõ~ +. A matriz. ~. assim delinida é. conhecida como a. inversa generalizada de Moore-Penrose. e os aut.ores apresent.am, como um procediment.o para sua obtenção. a Iorma. onde. ~=~~. é uma Iatoração de posto completo para a matriz Iõ..

(18) 5. Segundo RAO equações geral. a. ret.angular e, t.o,. ~. ent.ão. o. y.. est.udo. de. ~. se. si st.emas. em Est.at.íst.ica,. =. do planejament.o (no modelo y. nesse caso.. ~#~. =. do t.ipo I,}x. lineares mat.riz. (1961),. de. onde em. ~e. +. e). é. não ror post.o coluna comple-. nas equações normais não é. não-singular.. t.em. recebido at.enção no sent.ido da derinição de uma inversa generalizada com propriedades similares àquelas de uma inversa de mat.rizes não-singulares. MI TRA (1 971) af i r mam que se exi st.i r. RAO e inversa gener al i zada. n. I,} o m. de. m. I,}. n. de mínimos quadrados de norma ent.ão ~o. t.ent.e, sa. =. generalizada. pr i edades. se. o que I,} y. mínima,. de I,}x. de. Moore-Penrose.. cumprem al ém. porque. Ent.ão.. C "LSS") 2. •. PJ.x.= y. inconsi st.ent.e é x. mel hor. de. ser. a. Ressal t.a. sol ução. sol ução. Moor e-Penr ose. sol ução. aproxi mada. como. uma. t.eor i a. drados mínimos,. em equações lineares,. linear.. y. inconsis-. mínimos. C "BAS"Y. pro-. nú ni ma. é. quadrados do. si st.ema. sua. inversa generalizada. aplicação. no. dos. de. qua-. na obt.enção de proje-. mais import.ant.e na sua. facilidade didát.ica desses t.ópicos.. chamando-a. mét.odo. na análise de regressão e. Afirma que o. essas. norma. el egant.e.. Ressal t.a. ort.ogonais,. =. solução. = llJ + y.. pseudo-inversa.. t.ores. uma. que. de. de. ALBERT (1972) considera a de. é. ~+ at.ende as quat.ro propriedades da inver-. única.. a. t.al. uma. na. programação. ut.ilização é. a. Inclui em seu t.rabalho a. familiaridade da inversa de Moore-Penrose com noções de 1i-. 2. ·3. -LSS'-: Lea.si. -BAS": Besi.. Squore. Sol.ui. i.on.. Appro~i.moi.e. sol.uti.on..

(19) 6. mi~es.. e as. com as propriedades. mui~as. fundamen~ais. de espaço euclidiano. aplicações em Probabilidade e KRUSKAL (1974). Es~a~ís~ica.. a superioridade das pro-. mos~ra. priedades da inversa generalizada de Moore-Penrose em relação às demais.. at.ravés de um est.udo sobre a. geomet.ria. das. inversas generalizadas. LOWERRE (1982) conclui re-Penrose e. a. mat.r i z. base para mui ~os dos. são a. decomposição. por. que a. valores. impor~ância. na. Es~at.íst.ica. de. uma. modernos. em re-. idéias.. cit.a o. ou~ras. es~udo. uso da inversa de Moore-Penrose no sua. singulares. mét.odos. En~re. gressão e análise da variância.. inversa de Moo-. da covariância e. Ma~emát.ica.. Tomando-se o modelo de Gauss-Markov.. Y. =. ~e+e.. a aproximação de mínimos quadrados para y pode ser dada por "-. Y = ~eo.. de modo único.. Considerando que a solução de norma. mínima para o sis~ema é dada por e y". O. =. ~+y. ent.ão.. = ~~+y.. [2.4J. Lembrando da definição de MOORE Cl920), ~~+=~, "-. e se y. =. ~y.. ve~or. posi ção do o. ve~or. y. y. garan~e. verdadeira a. das obser vações na soma de doi s. do espaço col una de. complemen~o. men~o. esse result.ado nos. or~ogonal. ~. e. o. vet.or e". do espaço coluna da. =. ma~riz. ". y. = IF'y =. '#,'#,+ Y. \-;_=_y__-. lF'y. ve~or es:. " y-y=y-lF'y.. do. de delinea-. ~:. ~. decom-. = CD-IF')y.

(20) 7.. Para a análise de variância.. usando o. teorema. de Pitágoras:. Uy 1 = I ~ u 2. y' Y. 2. =. U ; U = U ~~+y UZ Z. +. C~~+ y) • C~~+ y). +. y'y. = y' ~~ + ~)f{ + y. y' y. = y' fPy. +. y' C I. y. ~~+y U2. -. ~~+ y). +. +. y' C ~~ ) ' ~~ y +. y' ~~ y. y' Y -. +. •. ~~+ y) , CY -. CY -. +. +. -. + y')f{~ y. +. + + y)f{~ ~)f{ y. fP) Y. -. 12.5J. que representam: 5Q Total. = 5Q As. Parâmetros somas. de. +. 5Q Resíduos.. quadrados. [2.5J i'aci 1 i tam em mui to o. apresentadas. na. f'orma. estudo das :formas quadr áti cas e. de suas distribuições. Nota-se, então, que teoricamente a inversa generalizada de Moore-Penrose simpli:fica sobremaneira ções. latos.. pr i nci pal mente na ár ea de Modelos Entretanto,. a. dii'iculdade de. sua. as~edu-. Li near es. e. cor r e-. obtenção. numérica. tem 1 imitado seu uso na pr á ti ca. RAO & MITRA (1971) apresentam um capítulo sobre métodos computacionais para obtenção de inversas generalizadas,. através. redução diagonal;. de:. Ca). fatoração. de. posto completo.. Cc) forma canônica de Hermite;. Cb). Cd) decom-. posição em valores singulares, e apresentam. entre as técnicas especiais, métodos de ortogonalização..

(21) 8.. A duz a. =. ~+. la~oração. C·(CC·)-~(lB·fB)-1~ ••. principalman~e. quando. ~. ~em. excelen~es. Uma das .. c~a. ""'m """. algori~mo. r[~)4 li). sobremaneira. = \... ~. que. pode ser. a. ob~enção. a~ravés. do. uso desse. sis~ema. DWIVEDI. é a. algori~mo. convergênlacili~ado. é. compu~acional. (1976). de fB e C.. dire~a. algori~mo. propriedades do. o. pouco oper~cional,. asse problema,. permi~e. passos.. que con-. grandes dimensões.. Para cont..ornar propôs um. = ~C,. pos~o comple~o ~. de. ALGEMA,. de. DIAS (1988).. PESSOA (1986) dois. mé~odos. i~erat..ivos. de Moore-Penrose.. doze. es~udou. mé~odos. dire~os. e. para cálculo da inversa generalizada. Jus~ilica. est..e ast..udo por t..er a inversa de. =. Moore-Penrose a propriedade de que x aproximada do sist..ema linear. I4lx. =. b. ~+b é. a única solução. (consist..en~e. ou não),. que minimiza t..ant..o a norma euclidiana de x como os resíduos quadrát..icos. I1l4lx - bll z.. Os mét..odos loram comparados em t..er-. mos. de ut.ilização de memória execução e precisão.. comput..acional,. t..empo real. de. A aut.ora concluiu que os melhores mét.o-. dos com relação aos parâmet..ros medidos loram o mét..odo it..erat..ivo de ordem p=3 (menor. t..empo de convergência),. recursivo de Greville e o mét..odo de t.imos apresent.ando maior precisão. ~odo. Gram-Schmid~.. o. mét.odo. es~es. úl-. Concluiu ainda que o mé-. da decomposição em valores singulares é o que. apresen~a. um dos maiores números de operações.. 4. A. notaçQo. l rl.z.. r[. 1 serei utl.1.izada para. represent.ar. o. post.o. C'rank'". de. uma ma-.

(22) 9.. o. mét.odo. de. or t.ogonal i zação. t.est.ado pela autora (PESSOA. NOGUEIRA (1979).. 1986) é. o. de. Gr am-Schmi dt. mesmo ut.ilizado por. que apresent.ou um mét.odo geral.. prát.ico.. para obt.enção de t.abelas de polinômios ort.ogonais quando os níveis são ou não equidist.ant.es.. Est.e t.rabalho veio facili-. t.ar em muit.o a det.erminação dos polinômios ort.ogonais. principalment.e para o caso de níveis não equidist.ant.es. GOOOI. et. a~. i i. (1997). apresent.am. um. sist.ema. computacional de Modelos Lineares Mult.idimensionais e bra de Mat.rizes CMOLIMID.. Álge-. cujo módulo "Ort.onormalização de. Gram-Schmidt.·· execut.a a fat.oração de uma mat.riz. m. ~. permit.indo. através de part.ição dessas mat.rizes,. n. em A\dlJlf.. a. obt.enção. de 12.6]. onde. k. lf. n. é uma mat.riz t.rapezoidal. não singular. e. mat.riz de colunas ort.onormais.. (V'QJ). =. m. V k é uma. D.. A conscient.ização por part.e dos pesquisadores das. fort.es. propriedades da. inversa generalizada de. Moore-. -Penrose os t.em levado a procurar formas gerais que diminuam as dificuldades de sua obtenção numérica. Assim. por exemplo. segundo GRAYBILL (1969); a) Se u é um vet.or nxl. 1. U. + n. n. = (1/ E ~=1. 2 u.)u·. [2.7J. l,. b) Se A\ é não singular. ent.ão A\ +. = /lu-i. .. 12. BJ.

(23) 10.. c) Se lu é uma mat.riz mxn com r[ lu). =. se k:. i). n. '*. Iu+. = (!u'!f:.) -11u ,. = k.. ent.ão:. e 1u+1u. =n. [2.9). e flulu+. =D. [2.10). C post.o coluna compl et.o) se k:. ii). = m '*. Iu+. = tfJ, C!f:.fIu ' ) -1. C post.o linha compl et.o). IEMMA (1982, 1985, 1987) most.ra, com objet.ivos didát.icos, Penrose.. Íormas gerais da inversa generalizada de Moore-. com base nas mat.rizes uniÍormes e. nas mat.rizes or-. t.ogonais de Helmert.. Usando propriedades da decomposição espect.ral, o aut.or most.ra que, sendo lu uni Íorme, ent.ão: a.l) Pó. -1. = -X1. hh'. 1. (2.11 ). + -À 2. :1. (se Pó é não-singular) onde. À. e. :1. À. 2. são raízes caract.eríst.icas de lu,. plicidade k-l,. e. ~. À. 2. com mult.i-. é uma mat.riz de Helmert.;. a.2) fIu-+-. [2.12]. -(se /lu não é não-singular) Além disso, o aut.or most.ra que, para os sist.e-. mas de equações normais reduzidas de experiment.os com rest.rição na casualização, de. Moore-Penrose de. qualquer. inversão. muít.as vezes a. )R')j{. pode. explícit.a.. ser. inversa generalizada. obt.ída. Assim,. di r et.ament.e ,. por. equações normais reduzidas são dadas por. exemplo,. '". ~T. = ~.. se. ent.ão:. sem as.

(24) 11. b.l) nos experimentos em blocos casual i zados: ( 2.13J. onde <C =. ~. CD-I?)~ 2 .t 2. •. e b é o número de blocos;. b.2) nos experimentos em blocos incompletos balanceados: <c+. 2. k. =. <C.. (2.14J. 12y2. onde k. I e v são constantes bem conhecidas dos experimentos em blocos incompletos balanceados CBIB); b.3) nos látices balanceados: 1. t2. ( 2.15J y2. b.4) nos quadrados latinos: 1. <C.. [2.16]. v. e assim por diante. Em 1987),. 1985,. extensão. RIBOLDI. aos. (1988). t.r abal hos. apresenta a. de. ~orma. I EMMA. C1 982,. geral. da in-. versa de Moore-Penrose para delineament.os em blocos incomplet.os parcialment.e balanceados: kCs-l) À. <c+. = O". JJ. =. 2. v. 2. 2. v. kCn-1) n[ rCk-l). kCs-1) À. +. 2. +. se j +. À. +. À. j ' e,. .t. k n[rCk-1). =. ). ) .t. se j~j' e j e j ' são tratamentos do mesmo os grupo (1associados)~. k À. V. 2. 2. se j e j ' são t.ratamentos de grupos diferentes C2~~ associados); ( 2.171.

(25) 12.. ALVES et a l i i (1987. 1988) propõem formas gerais para a inversa generalizada de Moore-Penrose da experimen~ais. de delinea.rnent.os. Y{. com um fat.or. ma~riz. int.eirament.e. casualizado. para casos balanceados ou não. dependent.es apenas do número de. de cada subconjunt.o de parâmet.ros. elemen~os. envolvidos no modelo. carac~er i. Assim, assumindo a y .. = I-l 1.1. +. +. Ct. i.. zação:. e ..• 1.1. onde: í j. = 1.. ... " = 1., ... ,. a. é o índice de. ,. "t.ra~amen~os··. é o índice das repet.ições.. R.. \.. ~+. [-~ ~:_] *. 1. =. a. 1. +. [2.1B1. )R'. Ct. 0.+:1. n. onde:. :1. 1 '. n. [ [. *. * = Ct. ~'. a. a. R. .1. =. 1 .1. 1. r. R. :1. Ir 2. .1. !. 1M ( :1) !. 1. Ir :1. n. IM {l>. 1. Ir. a. R. 1. Ir 2. :. :1. .. Cm ' . ) . m.. = 1:.J 1:.3. J'. !. 1. 1 '. R. Di { Z } a. R. 2. {. e. IEMMA. -1,. se i. :1 l ' R. Ir o.. Z. a, se i. ALVES. t.rabalho ant.erior,. :1. !i. 1. Ir a. i. = t, ;li!. I =. .1,. ] Q. a. IM'. . . ,". R. b] a. a. t. (1989,. apresent.am formas. 1990) ,. em. extensão. gerais para a. ao. inversa. generalizada de mat.rizes de delineament.os com mais de um fat.or ,. sem. i nt.er ação. e. com. i nt.er ação,. apenas dos parâmet.ros do modelo.. ~ambém. dependent.es.

(26) 13.. 3.. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO. 3.1.. Conceitos Introdutórios Sobre a Inversa Generalizada de Moore-Penrose. A teor i a consi der ável. parte. de Modelos. de. teoria. e. Li near es. que i ncl ui. aplicações. uma. estatísticas,. envolve a solução de sistemas do tipo !Jx. =9. 13.1 }. e funções das soluções. Se !õ. (n). é. é, se exi ste a inversa!õ. uma matriz nxn, -.1. rimentais.. ~. -.1. g.. em modelos de delineamentos expe-. normalmente!õ (n) não é. não singular. *"* alguma raiz característica é nula ou tiva definida),. isto. , a solução do sistema existe, e é. dada de forma única por x = Entretanto,. não-singular,. não existindo.. ~!õ. portanto,. ~-.1.. =. (6. {.A>. (n>. não é. O ou. posi-. Frequentemen-. te, !õ nem mesmo é quadrada e, consequentemente, não faz senti do f aI ar. em !õ -.1.. Nestas si tuações ai nda é possí vel encon-. trar uma solução para o. sistema 13.1J,. adotando-se um con-. ceito mais abrangente e menos restritivo de matriz inversa, o concei to de INVERSA GENERALIZADA. Dentre as inversas generalizadas. destaca-se a inversa generalizada de Moore-Penrose, denotada por. ~. +. • con-.

(27) 14. concei~o. siderada como uma extensão do. de inversa de uma ma-. ~r i z não si ngul ar . Se /Jd é não-si ngul ar en~ão /Jd +. 3.1.1.. De~inição. ~. Dada a mat.riz t.ão a mat.riz. i i ) ~ + ~~ +. TI. ~+, m. =. é. v). m. de post.o k.. TI. =. r[~). k. :S min-(m,. n::>.. em-. t.al que:. is~o é.. '" + ~ ~ = C~ '" + ~ ~)'.. ~. de~inida. •. ~+. iii). i. = /Jd -1.. .•. ~s~o. [3.2J. /Jd~+ é simét.rica. ~ e.. ~. ~. +~ ~' e. .. , t. r~ca .. s~me. como a inversa generalizada de Moore-Penrose.. 3.1.2.. Teorema 1: Se. Principais t.eoremas e propriedades. m. ~. TI. é uma mat.riz nula, ent.ão. TI. ~+ é m. uma mat.riz. nula: n. ~+ m. Teorema 2: Para cada mat.riz sat.is~az. m. ::. ~. n. exist.e uma e. uma só. TI. /Jd+ que m. às condições de Moore-Penrose:. i) Exist.ência. i .1) Se. m. i.2) Se. e. ~. m k. TI. ~. ;Il! TI. <C. TI. =. m. rp, pelo Teorema TI. m rp TI e. de. exi st.e. se r [ ~ ) :: k > O,. ambas de. C~at.oração. 1. post.o k,. pos~o. t.al. complet.o).. TI. 1.}:. = n 4>m. ent.ão exist.e. m. IBk.

(28) 15.. Como. é. (8. post.o linha complet.o. ent.ão. a:). ~. de post.o col una compl et.o e m'(8. ~~'. e. de. é. são não-singulares.. = (8~C'CCC,:)-11. !il!il+/J,j. :r. b:). !il +!il!il + :: ~' (~~' ) -1 (IS'(B) -1(8' (8 !. ~~' (~~' ) e:::. I. .:r. = ~' (~~') -:1. ii). :1 1S ,. = ~. (C<C' ) -:1. ~. C ~.'~) -:1~ (si mét.r i ca). (!B' (8) -1!B'. [3.3]. Unicidade: ",+. S ejam de~.. (!B' !B:) -. I. = !il +. (!B'IS) -1!B'. = .. exí st.e ~ +. -:1. I. Rl. :1. e. ",+. "duas" inversas de Moore-Penrose. lU. 2. Assim,. = !il. a.1) !il~ + ~ :1. b.1) !il~ +!il = ~ 2. a.2) ~+~~+. ::. a.3) ~!il+. (!il~ +) ,. :1. ~+. :1. ::. :1. (~+~) ,. :1. ~+ 2. b.3) ~~+. ::. (~~ +)'. b.4) ~+~. ::. 2. ::. 2. 2. :1. a.4) ~+~. 2. ~+~~+. b.2). :1. (~+~) • 2. 2. :1. Ent.ão, ~~+. ::. ~~+!il!il+. 2. 2. :1. =. 2. :1. :1. ::. !il+~fS,j+fS,j :1. 2. = ( ~ + ~) • (!il + ~) • 1. 2. :1. .. ~+~. !il+'!il' ~+'~':: ~+, ~'. (~~ +) • (!il~ +) , =. I?l.~+ 2 ::. =. •. I?l.+!il :1. (~/J,j+)'= ~!il+ :1. :1. :1. !il'!il+'~'!il+ = !il'!il+ =. ::. !il~+. 2. :1. 2. :1. !il+!il 2. 2. = (!il +2 !il) ,. = !il +~ 2.

(29) 16. Além disso.. =. o. que. prova. a. unicidade. da. inversa. /1,)+. z. de. generalizada. Moore-. Penrose.. Principais Propriedades: = C /1,)' ) + e C /I,) +) + = /I,) ~. FI). C /I,) +)'. n). C /1,)' /1,)) + = /1,)+ liJ +';. F3). "''''+. ~~. ""+"'. ~ ~. C /1,)/1,) +) +. 0-"""+ e ~~. i nvar i an~e par a símbolos (-) das. =. 0-"'+"" ~ ~. qual quer. e CD. condicionais. =. flt:.1iJ + e C /I,) + /lõ) + sao. fIt:. +fIt:.;. , sime~ricas. escol ha. de. C /1,)' 1iJ) -.. ref'erem-se às inversas. e. de mínimos. idempo~en-. e. quadrados,. Aqui. os. generalizarespec~iva-. men~e;. P5). Se. F6). Se r[. P7). Se r[. m. m. ~. ~. en~ão. = k.. r[liJ). n. n. r[IiJ+). =. = rf/l,)+IiJ). rf/l,)IiJ+). ). =m. (pos~o. linha comple~o).. ). =n. (pos~o. coluna comple~o),. ~ + = (~. /1,)) -1 ~. e. •. /I,) +/1,) = [j. P9). Se /I,). 2. +.... + fIt:.. P. e. en~ão. Se ~ é si mé~r i ca e i dempo~en~e, en~ão /1,)+ + ~. k. en~ão. P8). = /I,) 2.. =. e. se fIt:.. fIt:. ~. 1.. 1.. =. ~. = ~; e. + fl.:.,+ P. PIO). Se. fl.:., m n. é. en~ão /1,)+. uma. =. 1 mn. ma~riz. /1,)' .. com. mn. elemen~os. iguais. a. 1,.

(30) 17.. 3.2. Estimação em Modelos Lineares Através da Inversa Generalizada de Moore-Penrose. 3.2.1. Introdução. o. modelo linear: y=)R. n1. [3.4J. S+e. nmm1. n1. onde:. n. ~. ve~or. é um. n Y1. de realizações de variáveis aleatórias;. de. lineamen~o). e. e. é. 1. um. veis,. é. def'i. ve~or. é um. m 1 n. elemen~os. é uma matriz de. m. ni do. CG. M. ) •. de. vetor. pos~o. também. Modelo. chamado. não. obser vá-. z. Do ),. NC~;. Linear por. do de-. desconhecidos;. componentes aI ea tór i os. tal que e -. como. Cma~riz. k. k S min {mo n);. parâme~ros. de. conhecidos. ordinário. aI guns. de. autores. Gauss-Markov. como. de. Modelo. Gauss-Markov normal. Serão abordados de delineamentos. aqui. experiment.ais.. sempre const.it.uída de zeros e. Teorema 3: Dado o. apenas. port.ant.o,. Modelos a. Lineares. matriz. )R. será. uns.. Modelo Linear de Gauss-Markov,. o. sist.ema. de equações normais é sempre consist.ent.e.. Seja. ~'~e. = ~'y. Sabe-se que um si st.ema tJx. =. o sist.ema de equações normais. 9. é. consi st.ent.e se e. s6. se.

(31) 18. ~. Fazendo. = )f{')f{ e 9 :: )f{' Y =~)f{. +. CP.4).. vem 13. SI. Assim. é sempre possível nimos quadrados para )f{e = y. ob~er. inconsis~en~e. soluções de mí-. a~ravés. de. ~')f{e. =. ~'y consis~en~e.. Se y = Ca) k = P. ~ ~. *. ~e. + a. r [ )f{ ) = k: p. n. ~em pos~o. comple~o. coluna. ~.~. é. posi~iva. ~ )f{'~. é. ma~riz. definida. não-singular. ~ exis~e C~'~) -1 ~)f{' ~e. ~am sol ução úni ca. = )f{' y. dada por "-. e. >Rj y. = ,C*')f{) -.1. = )f{+ y. 13.6J. x~. Is~o. em geral. ocorre em problemas de regres-. são, a menos de colinearidades. Sendo y ::. ~e. Efa). = q.;. Er y). =. + e, como em [3. 4J,. Ef ~e. +. aJ ::. V[yJ :: V[~e. +. eJ :: V[eJ :: 00. ,', Y .... NC ~e;. Por E[ eJ. ou~ro. ~o.. t.emos aqui )f{+)f{. por P.7,. =. ~e. 13.71 2. [3.8J. 2. [3.91. Do). lado,. = ErC~')f{)-1)f{fyJ. Mas,. en~ão:. :: C)f{')f{) -.1 )f{' E[ yJ. sendo )f{ de. O, donde. E[eJ :: e. pos~o. coluna comple[3.101.

(32) 19.. Então se r [. n. '$.. p. J. =. p. a". é. esti mador não vi ci a-. do de mí ni mos quadrados par a 6.. ,.... = v[ C~' ~::> -1)1'(' yJ. vreJ. = V[)I'(+y) = '$.+V[ yJ i!I{+' 2. = )/(+)/(+. 0-. [ 3.111. VJ ..~em posto coluna comp1 eto, e d a d o que ~ ,... Vre) pode ser também escrita na forma. =. Vr;). Cb) k. < P. ~ ~. ~. ..o+VJ+, ~ ~. en"a~o ~. -_ (..o, +. ~ ...0-. ~j,. C~#)I'()+(72. [3.12J. não tem posto coluna completo:. '$.''$. não é. definida positiva;. ~ não existe ('$.' '$.) -1 ~ >J<' ~e = '$.' y. indetermi-. é. nado.. Então, res~rições,. a. menos. reparametrização,. de. condições. especiai s:. sob. etc. ,não admite solução única.. Nesse caso, as soluções eO não são estimadores não viciados para a,. mas sim para certas funções dos compo-. nentes de e, dadas em. ~e:. aO = ('$.'~::> ->J<' y. I3.13J. Efeo) = C'$.''$.)->J<'~e = ~e. Assim,. nesse modelo,. [ 3.141. os componentes. de e. não. são individualmente estimáveis, mas sim aquelas Junções dadas através de ~.. Nesse caso,. mas sim através de ~,. aO não tem valor. pois >J<eo é invariante.. por si. só,.

(33) 20.. 3.2.2.. Um Estimador não tendencioso para. 0. 2. no mode-. lo de Gauss-Markov. Teorema 4:. Um est.imador. não. t.endencioso. para. 0. 2. no. modelo. linear de Gauss-Markov pode ser obt.ido de. o. 2. =. 1. 1. n-k. n-k. Seja "2. o. =. e~. ~y. " 2 - yll =. 1. =. n-x. =. n-x. =. n-x. ::. 1 n-Je. 1. n-k. 1. 1. 1. n-x. 2eo,~,. [y' Y. -. fy' Y. - so,. ~,. y. +. so,. yJ. usando a solução de norma mínima. "z o. =. 1. n-x 1. n-Je =. 1. n-Je 1. = n-x. [y'y. -. y' ~+,~, yJ. [y'y. -. y'~~. [y'y. -. y' lPyJ. +. yJ. y' CD-IP)y. : E[_l~_ n-x. ::. 1 n-k. ~.. yJ. 1 n-Je. y' CD -. lP)y.

(34) 21.. Mas.. = Tr[fiJ. Tr[fi-IF'J. Tr [IF'J. =. n. -r[~J. =. n. -k. e e'~'IF'~e. = e'~')J(e = e'~')J(e 1. =. n-k. CT. z. [ 3.15J. 3.2.3. Estimação por ponto no modelo de Gauss-Markov. DEFI NI CÃO. CRAO,. Dado. 1945) :. o. modelo. linear. =. y. ~e. +. e. CGauss-Markov), então uma função paramétrica À'e é di. ta. estimável. combi nação EC a' y). se. 1 i near. e. s6 se existir. das. obser vações ,. ao. menos. a • y.. tal. uma que. = À' e.. Teorema 5 CRAO. 1945):. Uma condição necessária e. suficiente. para que uma função paraméLrica À'e seja eSLimável no modelo de Gauss-Markov é que. À. e. Suf' i ci ente: À. e. CC~'). ~. À'e é. À. e. CC~'). ~. existe a:. estimável ~'. a =. À. ~ À'. = a' ~. Pós-mulLiplicando por e:. '*. À'e. = a'~e. ~. À'e. = a'E[y). ~. À'e = E[a'y). CC~')..

(35) 22.. Necessária: À'e. es~imável. ~ exis~e. a'. ~al. ~. a' E[ yJ. = a·)J{e = À' e '*. ~. À e CC)J{') ou À'. Colorário 1: Do Teorema 5 Se À' e. es~i. que E[a'y). e CC)J{). ~em-se. mável. = À'e. que:. *"* r [)J{') = r [)J{' IÀJ. 13.161. 3.2.4. O Teorema de Gauss-Markov. Teorema 6:. Se À'e é Mar](ov),. es~imável en~ão. o. no modelo y. )J{e. de À'e é. "BLUE". Cinvarian~e). único. =. e. +. dado. CGaussde. onde. por. qualquer solução das equações normais. Prova:. À' e est.i mável. ~. exi s~e p:)J{')J{p. Pós-mul~iplicando por e. = O. À. ,. '*. À'. = p')J{')J{. t.em-se. = p')J{')J{e° = p')J{'~)J{ + y = p')J{')J{ + ')J{' y = p')J{' y. Além disso, EC. À'. eJ. Usando a solução de norma mínima, E[ À' aJ. e como )J{')J{p. =. À. '*. À'. A. E[À'e). °J. =. E[. =. E[ À' ~+ y). =. À')J{+ E [yJ. = =. À •. e. =. À' ~+)J{e. p'~' ~,. P')J{')J{)j{+)J{e ECÀ,'eJ. =. p')J{')J{e. =. À'e. = À'e. ou seja, À'eo é es~imador não ~endencioso para À'e.. modo aO. é.

(36) 23.. que é. uma .forma para variância do. obt.i da. a t.r a vés. V[À "'eJ. =. da. À'C~'~). o. sol ução 2. Ào. nor ma. mí ni ma,. equi val ent.e. a. encont.rada na lit.erat.ura.. "2. Como. de. "BLUE" de À'e est.imável,. 1 n-k. =. o. y' CD-!?)y. é. não. t.endencioso. 2. para o : V[ À'. 3.2.5.. eJ. 3.171. Est,imação por int,ervalo no modelo de GaussMarkov. no modelo de Gauss-Markov,. Seja À'e est.imável ". com "BLUE" dado por. V. À'. 6. :=. o. Dada a. À' 6 .. 6° solução das equações normais,. invariância de. seja 6. 0. =. À' 6. o. ,. ~+y.. Foi vi st.o que VCÀ' €Ü. "z. 5. que o. y. sobre o espaço coluna de. = QMR. =. d!? é on e. y' C I -!?)y n-k'. e. Se. À'. e. é. =. est.imável. que pode ser denot.ado por: QMR. =. QUQdrQdo. Moidl.o. do. ort.ogonal. de. )Jt~+. no modelo linear. CGauss-Markov). ent.ão. 5. projet,or. ~:. IP. Teorema 7:. o. R&8iduo.. y. :=. ~e. +. e.

(37) 24.. ,.. À'e -. NCÀ'e; À·~+~+·Àçz).. 13.18J. como já provado an~ariormen~e.. Teorema. 8:. Se. À'. es~imável. e é. no modelo linear. y. =. ~e. e. +. A. en~ão,. CGauss-Markov),. À'e e. y'CD-[P)y são inde-. panden~es.. Já .foi Lembrando. que. vi st.o que. duas. t.órias normais. .formas ~. J. e. À' e. =. p'~'. quadrá~icas. y. de. a. que. IP. =. variáveis. são i ndependen~as se. = 4>.. ~~. ..... .. alea-. i. 1fl!. j,. t.em- se:. ". = p'~'. p' ~, ~)j("". = p')}{'. p' )}{, iR"", )}{'. = p'~'. p'iR' = 1>. "e. À'. ( 3.19J. y' C IJ -IP) y são i ndependent.es.. e. Isso garant.e a independência ent.re o. "BLUE" de. À'e e o quadrado médio do resíduo CQMR).. Teorema. 9:. Dado o. modelo. com nYj. e. r [)}{) "2. Cn-k)O' O'. 2. linear. = k.. y. =. ~e. .... e. CGauss-Markov). ent.ão. y' CI -1P)y cY. z. Sabe-se que no modelo linear. de Gauss-Markov.

(38) 85.. =. Seja z EfzJ. =. 1. 1. (7. o. vez). =. 1. 1 (7. 2. O'. 2. 2. O). Ademais. é bem sabido que uma forma do. ~ipo z'~z. 2. -. X (n-k>. Seja. ~ ~ ~. idempo~en~e. for. e. = O-(?. = ~. 1. o. NC~;. .'. z -. =. [VCy)). f~a-~aJ. es~udemos. de. pos~o. a forma. quadrá~ica. k. quadrá~ica. z' CIJ-(?)z.. =. 1 cY. =. 2. 1 cY. 2. [Y' [Y'. CO-(?)y-y'. CD-IP)~a-a'~' CIJ-(?)y. CiJ-(?)y -. 2e'~' C[l-(?)y. +. a'~'. -. e'~' ~~+. = e'~' e a'~' (?~a. =. e'~' ~a. por~an~o,. z'CiJ-(?)z. =. 1 (7. Além disso,. z. a'~' Co-(?)~a]. a'~' CIJ-(?)~e].. Mas,. a' ~'(? =. +. ~' CD-(?)y]..

(39) 26.. co -IP:>CO -IP:>. ::: O. DIP. = (l. 8iF'. D IP + IPIP. = D-IP. IP. +. [3.201. .". C D -IP:> é i dempot..ent..e. Sendo assim, r [()-IPJ. ::: Tr [D -IPJ. =n. Tr [ )f()f(+ J. =n. r [)f(~+ ). :::. n. r [)fi.). :::. n. k. "'z. Cn-k)O' O'. Definição:. Dadas. as. y' C fi -1P:>y. ::. z. O'. v. a.. independent..es,. T. Tr[DJ. ::. Z. ..... NCO;. Tr [IPJ. ..". 2. 1). e. W". -. n. -. k. Z. e. w. são. ent..ão,. Z. =. -. -{ w/p. Teorema 10:. Se À'e é. est..imável. CGauss-Markov).. no modelo linear. y = )f(e. +. e. ent..ão. .... t... Subst..i t.ui ndo C ~< )fI.). -. (n-k>. +. +. por)fl. ~ ". do ant..eriorment..e,. ..... t... (n-k). como demonst.r a-.

(40) 27.. Seja. z. =. ent.ão E[zJ. ,...... 1. =. E[X'e. -. X' eJ. =O. J À'~+-~+-'X. O'. pois já se comprovou que E[ X'". = E[ À' eJ.. e). V[ X'" e. 1. vez) =. 1. = O'. -. V[X' eJ. 2. 1. =. ••. Z. ..... NCO; 1). Por out.ro lado sabe-se que. w. Cn-Jc). "z. O'. = ----2--- -. 2. ::t cn-b. O'. Assim,. T. =. Z. À'e. =. =. -f w/p. -. À'e. ... t. J;;ZÀ' ~+~+. À. I. n-k>. X' eJ.

(41) 28.. Sabendo-se que. pode-se const.r ui r. " À'e -. À'e. T. =. o. int.ervalo de confiança. -. (3.21 J. t. (n-k>. ele). para. À'. e. est.imável. t.endo por base que: P[-t. S T S t.J. =1. - a. onde t.. =. o/2;Cn-k). Port.ant.o,. e assim:. "2. [3.22]. O'. 3.2.6. Est.imaçao por regiao no modelo de 6auss-Markov. Seja um conjunt.o de .funções est.imáveis. nearment.e independent.es ffi's.. ent.ão,. p. ffi'. m. 1 i nha compl et.o) .. o. "BLUE" de ffi' e é dado por. e. r[ffi'J. =. 1i-. p Cpost.o.

(42) 29.. com. e. por analogia com À'e: , e - NCI13' e; !B' VI ..0+",,+ '113,.,,2) 113'" VI '" Sendo. gul ar. is~o. 113'. de. pos~o. linha. que. ~al. é. 113' ~+~+. iB. = !J,} -1!J,} -1 '. Considerando t = A\C!B' e. e. es~udando. =. =. 1. C ~IB' e. =. 2. -~ O'. 2. -~ O'. ca de l' t,. A. vrtJ= -1-. =. quadrá~i. {~[ECIB'e)). 1. O'. a forma. 2. -. ". {V[~CIB'. -. AHECIB'e)))-. ~IB' e). a. -. { V [ !J,} C ff3 ~ e ) ). (B'a)))-. )-. {!J,} [ V C (B ~ a) ) !J,} , )-. = ~~ -1!J,} - 1 , 1lJ'. =. IJ. = fi>. 13.23J comple~o.. en~ão.

(43) 30.. .. t ..... NC~~. 2 -v ..... (p=rlB"l>. t' t .... O). Mas,. ". 1 o-. =. (B' S) , ~' ~e (B' S. e(B' S. -. (B' S). 2. 1 o-. (B'S)'[!B'~+~+'(B)-:1. e(B's -. 2. e(B;-s -. (B'S). x:. -. sendo p o número de runções linearmente independentes.. isto. é, o número de linhas de 18' .. Dadas. DEFINIÇÃO:. as. v.a.. W'. e. :1. .... ." Z. então. ." /p :1. = .". ./n-)c 2. Sejam. =. ." :1. 1 o-. ". e(B' S. -. (B' s)'. [18' ~+~+,. (B) -:1. A. C!B'. S. -. !B' S). .... 2. X2, P. e ..... 2. ."2 =. C n-)c) oo-. 2. X cn- k >. 2. 18' S)' [18' ~+~+'!B). w=. en -. -:1. e!B' S. -. 18' S)./p. k)&Z. - - - - - - - -../n-k 2 o-. 1 =~. po-. DEFINIÇÃO:. Derine-se região de conriança para um conjunto de runções !B'. e.. estimáveis,. ao nível. de. linearmente. conriança. 1-(;(.. delimitada pelo elipsóide dado por:. independentes, como. a. região.

(44) 31.. F. Ct(p;n-)c>. Se p = 2. a região de conf'iança é. uma elipse.. Se p > 2. a região de confiança é um elipsóide no espaço R P .. Assim. a região de confiança para as p funções paramétricas centro fB' e. estimáveis. = fB' e o •. é. delimitada. pelo. elipsóide. de. dado por: p QMR F. Ct(p;n-k>. [3.24J. Ressal te-se que a. matriz [fB'. + +. ~ ~. 2. , IBJ CF. fornece. a matriz de variâncias e covariâncias das funções estimáveis ~·e.. Assim, pela forma da matriz [~'~+~+'fB) pode-se conhecer. a forma e a inclinação do elipsóide.. ,.. À'e .1. ". &À~e. À'e .1. 2. P V[À'" eJ .1. ..... À'e. ULÀ~e. .1. 2. =O. P. -". =. P. ,.,. "VD,'" eJ > V[À' eJ. = V[À'eJ 2. .1. 2. .1. A. .1. >. O. ,... V[ À' eJ. X' ,9. p. LQ~" 2. O. p. <. O. =. O. ,.,. ,... < VD,,' eJ 2.

(45) 32.. 3.2.7. Análise da variância. A obtenção das somas de quadrados através das formas. quadráticas dependem da caracterização do modelo em. estudo,. pois os projetores dependem do número de parâmetros. envolvidos no modelo.. Assim,. serão apresentadas nos respec-. tivos modelos propostos.. 3.3.. Formas. Gerais. de. Inversas. Generalizadas. de. Moore-. -Penrose em Delineamentos Experimentais. Dentre. os. diversos. métodos. numéricos. obtenção da inversa generalizada de Moore-Penrose,. para. optou-se. pelo método de Ortonormalizacão de Gram-Schmidt.Justifica-se essa escolha pela sua adaptação às matrizes de delineamentos e pela relação com as estimações e. testes,. que dependem de. or t..ogonal idade. Além disso,. cada passo do algoritmo mostra ma-. trizes relacionadas com os parâmetros envolvidos no modelo, bem como em cada projetor das formas. quadráticas das somas. de quadrados.. o delineamento em. método consiste na fatoração da matriz n. ~. ~. do. m. A matriz V. ort.onormal,. obtida pela aplicação. do método de Gram-$chmidt nas colunas linearmente independentes Assim,. de. ~,. formando. assim. uma base ortonormal. de. CC~)..

(46) 33.. = fi,. CV, V) A. 1T. ma t..r i z. = V'.. CV, V) -:1V ' é. uma. ma t..r i z. t.r apezoi daI. obt.i da. por:. 1T = V'>R. e a inversa de Moore-Penrose é dada por: );!{+. = lI' CII II ' ) -j,V' .. 3.3.1. Experimentos com um fator inteiramente casualizado (balanceado ou não). Dado. o. modelo. linear. y. =. >Re. +. caract..erização y." = I-l + a.• + e;J" 1.J ~. onde:. = :1, j. =. R.. :1,.. Nesse caso,. ~. ••••. •. a. é o í ndi ce de .. t..r at.ament.os".. é o índice das repet..ições .. mat..riz >R t..em a forma:. e. e,. seja. a.

(47) 34.. 1. 1. O. O. } R. 1. 1. O. O. 1. O. 1. O. } R. )J{. = [)J{. i. fJi. )J{. =. ) C(. 1. O. O. 1. 1. 2. a. ;. O. 1. O. 1. fJ. =. R. i-. 1. O. } R. onde )J{. =E i. 0+1. n. n. 1. O. a. 1 . TI. 1. PROPOSIÇÃO la:. A inversa generalizada de Moore-Penrose para a ma t-r i z. deI i neament-os. de. )J{. 1 a+l. =. l' [ )J{' C(. um. f' at-or. i n-. é dada por:. t-eirament-e casualizado. )J{+. com. *j. 13.25J. *. 0+1. TI. onde:. 1'. n. 1. 2.. 1'. R. \. •=. [. 1 -R-1. 1. 1 -R--. I '. R. 2.. é um vet-or de uns;. 2. 1. 1 -R-- 1 1 R'. I '. R. 2. a. a. ]. [3.26J.

(48) 35.. iII!. ~.. =. OI TI. Q. [. 1 -R-:1. IH (1) o. R. 1 -R--. 1. 2. IM (2) o. R. 1 -R--. 2. IH (o> O. R Q. O. ] [3.271. IM cl., Q. R. = Cm •. ) .>. m. {. =. i.j. "J. i. a~. se. i.. =. l·>. -1.. se. 1.. ~. l.. 1 =. 1,. .... ,. Q. [3.281. PROPOSIÇÃO Ib:. ~~. +. =. fP,. o. projet.or ort.ogonal do vet.or y das. observações sobre o espaço coluna de. ~. é da-. do por:. [3.291. é uma mat.riz de uns;. (ECR). PROPOSIÇÃO lc:. ~+~. = 01... a. mat.riz. que explicit.a as. f'unções. básicas esLimáveis do modelo e que auxilia na ident.if'icação das de. À'. =. À. 'IH,. f'unções. est.imáveis at.ravés. é dada por:. (3.301. onde, a é um escalar; 1. l'. Q. é um vet.or de uns;.

(49) 36. 1;} Co. ). = (a ..) •. a. lo). {. =. i.j. se. a.. i.=j;. 13.31 ). -1. se i;o! j.. É rácil veriricar que ~+ assim derinida cumpre. as propriedades da inversa generalizada de Moore-Penrose:. ~ormas. As. b). 1"'~~+ = ~+. c). )J?)f{+. é si mét..r i ca. ~icam. quadrát..icas. bem caract..erizadas. quando subst..it..ui-se eo. = ~+ y. em y' y. = e o '~' y. +. (y' y - e. o. ')f{'. y) ,. resul t.ando. = y' = ~. onde. ~y +. y'(D-~)y. SQ Parâmet.ros + SQ Resíduo,. é o projet.or ort.ogonal de y em D-~. par âmet.r os , e. C(~),. o sub-espaço dos. é o projet.or ort..ogonal de y no complement.o. ort..ogonal ao espaço coluna de. ~,. C. .L. (~).. o espaço resíduo.. Para a part.ição da soma de quadrados dos parâmet.ros, pode-se desdodrar. para a caract.erização dest.e modelo, o projet.or. ~,. em: ~. onde: ~. ~. f.-l. cc. ~. =. {P. + f.-l. ~. ex. [3.32]. é o projet.or ort.ogonal. de y no espaço coluna de. é o projet.or ort.ogonal de y no espaço coluna de. = )fl.~+ ,. já. de~inida. em [3.29) ;. .. ~ f.-lp. ~. cc.

(50) 37.. IF' IF'. /-l. = ~ /-l ~+/-l =. Ct. = IP. IF'. = D<n>. - IF'. CD-IF'). 1 n. tE(o)'. 13.33]. 1 n. = ~+ -. ~. = tO (R. IE( o ) '. 1 ~. tE CR. R. ). ~. tO (R. $. ). 13.34-] J. ~. 1. IE. -ra. ). a. projet.ores IP • 1-1. Os. si mét.r i cas e i dempot.ent.es • t.ai s. fi. = IF' /--l. <o). tO (R. $. IF'. +. = (? 1-1. +. 1. Z. RZ tE (R z. ). ). $. ). (3.39J. ). (R. •... ). a. IP. e. CO. -. -. (?). são mat.rizes. (?). Ct. que:. Ct. +. (?. cn. +. Ct. fi. (?. (? f...I. (o). cc. = fi (n). somas. .As. de. quadr ados •. da. manei r a. usual. são. obt.idas por:. SQp = y'lP y = correção f...I SQcc = y'lP y cc. =. SQ Tot.al. SQ Resíduo. =C. y'lP y 1-1. 13.36J. y'y -y'lP y 1-1. =. y'cn. -. lP)y. e os graus de liberdade associados:. g.l. C cc). =. rDR ). =. r[ ~. g.lCTot.al). f...I. =. g. 1 . C Resí duo). r[ ~. ) C(. ) f...I. r[D. ). [3.37J r[~. -. ( n). =r. [ fi. c n>. ). A variância À •. ". e é dada por V[ À • eJ. /--l. ). r[~. do. cc. ). r[~. f...I. est.imador. = À' ~ + ~ + • ÀO'Z •. onde:. J. da. = r[D Co) J. -. r[~J. Junção est.imável.

(51) 38.. [3.38]. onde: Q. 1. é um escalar = L j.=~. q. T. I.;z!J. [;,. W' = .t Q. Q. -. 1:. 1.=~. 1.;z!J. [3.39J J. 1. a. -"Rj. Ir-. I3.40}. Q. j=.t, ••• ,R Q. (. Z (Q} = Cz, .) lo,}. z. 3.3.2.. 1.j. =. a. Z. Q. +. R" 1.. t. 1 -R-i,=.t. 1:. J;z!1. Q. 1. a. L. -"R í.. '-=1-. J;z!1.. Experimentos. se. f. i.=j. [3.41 ). j. • se. Ir-j. balanceados. i.;z! j. com. dois. fatores,. sem interação. Seja agora a y. _ 1.). =. onde 1.. .t,. ••• ,. Q. é. o. = f..l. carac~erização. "". índice. 11,J. +. Ct;. •. e,.. +. l.J. do f'at.or. A,. j. =. 1,. .•• ,. b. é o índice do f'at.or B. Observa-se que est.a caract.er i zação t.ambém pode ser t.omada como a de blocos ao acaso. Nesse caso.. a. mat.riz do delineament.o fica: ~. onde. ~. f..l. e. ~. cc. cc. ! I. ~. (1. ). Q+b+1. são def'inidas como no ít.em ant.erior. e. onde D{b> é uma mat.r i z i dent.i dade de ordem b..

(52) 39.. PROPOSIÇÃO 2a: A inversa generalizada de Moore-Penrose para a. ma t.r i z. do del i neament.o bal anceado de doi s. rat.ores. sem int.eração é dada por: abl' . ~+. ~,. 1. =. cc. abC ab+ a ... b,). ~f. .. [3.42]. •. f1. ab. n. onde ab é um escalar; 1' . 2~. ... cc. a. IH (. n. a). é um vet.or de. =. IH. a. ~. ( a). ab. .. ) = Ch l.J. .. h. i..j. {. =. uns~. .1. (3.43]. 1 '. b. aCb...l). 1 •. -Cb+l). se. í.. =. j,. se. i. ;rt!:. j.. 13.44]. a é um escalar, e .11~. é. um vet.or de uns. ~.. b. k. l.J. n. •. (J ab. =. = b l' .1 a. D<. l 'a é um vat.or de uns .. [3.45J. {b>. bCa+l) - 1, se { -Ca+l) . se. b é um escalar. e .1. ~. i. =. J,. i. ;rt!:. j.. 13.461.

(53) 40.. =. PROPOSIÇÃO 2b: ~~+. ~.. o proje~or or~ogonal. do ve~or y. das. observações sobre o espaço gerado pelas colunas da. ma~riz. delineamen~o. do. é dado por:. 13.47]. onde:. s fb} = cs . .>, iR. cb>. "J. = cr "J.. >,. {. =. s ... "J. r ... l.J. ={. Ca+b-I),. se. i. =. j. a-I. se. i. ~. j. se. i.. =. j. se. i.. ~. j. (b-l).. -1. lE. fa). ,. 13.4-8]. 13.49]. é uma mat.riz de uns;. DCa) é a. PROPOSIÇÃO 2c:. í dent.í dade.. ma~ríz. ~+~. = IH~. ma~riz. a. que explici~a as. f'unções. básicas est.imáveis do modelo e que auxilia na iden~if'icação. de. =. À'. À'. IH,. das f'unções. est.imáveis. a~ravés. é dada por:. ab. :1. 1. llJ. ab+a+b ab-:l. T. T'. \. lE. I. IE'. I. ( (1). :l. b. aO-i. í ,. a. 13.501. b f .. •• • • • •. a. Z r b>. onde ab é um escalar; llJ. (a>. = cu> ..• l.J. u ... l.J. = {. Cab+a-I).. se. i. =. j. - Cb+l),. se. i. ~. j. t 3. 51).

(54) 41.. Z fb>=. =. Z .. l.J. fZ.).. l.J. Cab+b-l::>.. se i.. =. j. - Ca+l),. se i.. iJ!. j. {. :; [b { 1 > •••. T' ab-1. b. b ( a>. a. 1 ~. 13.52]. (1 ). 13.53]. é uma maLriz de uns.. a. Verifica-se. que. assim. )J{+. definida. cumpre. as. propriedades da inversa generalizada de Moore-Penrose. Para esLe modelo,. o. projeLor. IP é. desdobrado. em:. fP. = IPf..J.. fP. = IP f..J.. +. CIP. - IP ). +IP. CIP. +. f..J.. C\. -f? C\. f..J.. ~. - IP ). +IP-IP (5. f..J.. f..J.. por LanLo, [3.54J. onde: IP IP. f..J. C!. é. o projeLor ort.ogonal de y no espaço coluna de. )J{. é. o projet.or. ort.ogonal de y no espaço coluna de. )R. 1Pf3 é o projeLor orLogonal de IP IP. fP. f..J. et. :;. 1. = fi :;. fi. já definido em {3. 471. a). (. Cl). (. n). 1. t;1. ®. :; fi ( n). )R(5". ~. >. n). ® (. et'. .. tE (. n. -= fi. 1P(5. Cfl-IP). )R)J{+ ,. no espaço coluna de. y. f..J.'. a IP. :;. ~ { b} ,. I3.55J. fi. 13.56J. fi. ( b) •. -fP. IP C\. CIP. ( n). f3. Ci. + 1P{3 - IP ::> f-1. +IP. I3.57J f-1. Os projeLores assim definidos são maLrizes siméLricas e idempoLenLes. t.ais que:.

(55) 42.. D. Cn}. .... CD. IP. +. [D - CIP ... IP(j cc. IP. +. Dcn). = IPcc. ... IPf1. IP. = IPcc. ... IPf1. = IPcc. ... IPf1. =. D. I..l. I..l f.J. -. IP). -. IP. cc. -. -IP. ). I..l. IP(j ... IP. I..l. ( n>. As somas de. quadrados,. da. manei r a. usual,. são. obt..idas por:. ? = correção. SQJ.J. =. y'lP. SQcc. =. y'lP y cc. y'lP Y. SQ/3 = y'lP,?". y'lP Y. SQ Tot..al. =. SQ Resíduo. = C. I..l. 13.58]. I..l. y'y -y'lP y f.J. =. y'CD. -. lP)y. e os graus de liberdade associados: g.l. CI..l) =. r[~. g.1.CO) =. rr~. ). f.J. cc. r[~. ). g.l.CfD = r [~f5J g.lCTot..al). =. g.1.CResíduo). r[~. I..l. rrD. =. { n'. À'. e é dada por. -. ]. ( n'. ). variância " V[ À'. =. e). 13.591. J. rrD rn,J. = r [ D. A. ). I..l. rr~. ). f.J. -. r[~ccJ. -. r [ )f{). do. -. rDj;({1J ... rr~l-'). est.imador. + + À' ~ ~. 2. da. f'unção. est..imável. onde:. 'AO,. ª_. I. abl ' . abl . , l1abl ' . )f{"~ __________ • abl ' . IR' , __________ ______ ~+~+,. =. t. 1. ~'. cc. [abCab+a+b))2. i. i. . abl ". .. ~.,. )f?' •. ~.,. i. i. )f{' • , ! ___ __ __ !___ __ @__ ~'. ~. ~. ,.... onde ab é um escalar e. 1. !. .. abl ". n. a. cc. . ab. !.. i. cc. f5. ~'. 1". ~.. ~. 13.601. I. t. ~ ~.. posição 2a.. i. ~~.. e b. ab. )f?' •. (j. ~.. (j. ,. def'inidas na pro-.

(56) 43.. 3.3.3. Experimentos cruzados,. balanceados. com. dois. ratores. com interação. Seja agora a caracterização. onde: i.. = 1.,. Gl. j. = 1.,. o é o índice do fator. k. = 1.,. R. é o índice do fator ex,. i.. f3. e.. é o índice das repeti ções.. A matriz do delineamento neste caso é: ~. onde. ~. I-l. e. ~. ex. =. n. [~. I. f..1. ~. -O(. i >Rf3 !. ~~3~ --1. ~f3Z ~f3 =. 0.[5. ). GlO+Gl+O+1.. são definidas como anteriormente,. 1. _. ~. ------. ~f3. l. O. O. 1. O. O. O. 1. O. O. 1. O. O. O. 1. =. } R. 1-. } R2. ------. '#.f3a. } R. O. l. = 1... ••••. a.. e. O. 1. a.

(57) 44.. PROPOSICÃO 3a: A inversa generalizada de Moore-Penrose para a. mat.riz. de. deli neament.o. com dois. .fat.ores.. balanceado, com int.eração. é dada por:. • -----• cc 1 '. ~.. ------. 1. ~.. .fRCab:>. ,.. [3.61 J. .. (3. -----~'. ccf1. rClb. n. onde .f é o número de .fat.ores envolvidos no modelo e R são as repet.ições de cada combinação dos dois .fat.ores.. '-. 1' n. • •. Cl. 6f<' cc. = IM =. 1• e b. 6f<'. b. (3n. IN. {b>. '-. R. '-. (gi. 1• '- b. { a}. 1 a•. Cm ..) I.J. '-. =. ,. m. 1.j. l ' 'Gb' ]. R. :1. @. :1. 1·. [3.63]. R. {. =. 13.62J. R. a,. se. i.. =. j;. -1 ,. se. l.. ;lê.. j. 13.64]. 1 R• são vet.ores de uns.. [ l' '-. Cl. = Cn .. ) I.J. e. 1 ' cz ). l'C1.> '-. n. IM Ca ). :l. [. =. 1. 1'. R. (gi. IN. (b >. n. ~j. @. :1. =. 1']. 13.65]. R. {. b.. se. i. ::. j;. -1,. se. i.. ;lê.. j. são vet.ores de uns.. [3.66].

(58) 45.. ~'. .. C1.f3n. cb. (). {b>. = D(o). <D. ~. .. ), = Co1.J. ®. (b>. 1. =. o ... 1.J. 1'. r. cc). 1.J. PROPOSIÇÃO 3b:. ~~. +. =~,. se. i.. =. j. se. i.. ~. j. -b.. se. i.. =. j. 1. • se i.. ~. j. b. ~. 4;l. ~. eb>. '-. 1 R•. 13.68J. •. proje~or. o. DCC) ]. 13.671. -a.. q ... -. [IE. +. R. [3.69J. or~ogonal. do. ve~or. y das. observações sobre o espaço gerado pelas columa~riz. nas da. 1. ~i!<+ = fi [. {b}. onde fi IE. eb> R. ~. do. delineamen~o. é dado por:. E{1} R. $. [3.701. .... é uma ma~riz iden~idade de ordem b. e é uma. ma~riz. PROPOSIÇÃO 3c: ~+~. =. de uns.. IH". básicas. a. ma~riz. es~imáveis. que. explicit.a as. do modelo e que auxilia na. identificação das funções de X'. =. funções. À'IH, é dada por:. estimáveis. a~ravés.

(59) 46.. ab. J.. B'. I !. II !i i. n-1. B. J.. If. IE' o a. !. i ~ i ... fi •. J.. I. !. llI>. i. Ca. >. ~. J.. 1. o. J.. 1 ~ <!? a. If. 1. j. l'. j. i I i !I. Co>. o > i! .. í ! i. I. II. JJCo). f i. í. I. o. (o>. JI. ( o>. ••. ij. j. It. @<!?. o;. C. i. 1 :l. !I. !I !:. i. . . . . .. . . ... 0. ! { o>. ... (a). i! ... I. I . I. ... lI>. f. i j. 1 c:: f'Cab). . . ... n-J.. •••••• "i • i. If. Co>. i. 13.71 J. onde ab é um escalar; J.. =. S'. n-J.. = {o;>. lI>. :: {o;}. [b. a. b o;. J.. {C .. } ,. C. 1.J. (d .. ) , 1.J. d. ::. i.j. {. ::. i.j. ab,. se. -b.. se. { a, -1. o;. IE. If. JJ. 1. J.. j. 1.. i. ;1lt. j. se. i. ::. j. se. i.. ;1lt. j. ao. ]. [3.721. (3.731. 13.741. mat.riz de uns. o é uma. Cf..) , (o> = 1.). q;,. 1. ao. J.. ro>. (o>. ::. Cg. ,). l.J. = C j 1.J .. ). ,. f'. ::. ij. g. = l.J. j .. = 1.1. {. ab,. se. i. ::. j. -a,. se. i. ~. j. {. b,. se. i.. =. J. -1 ,. se. i. ~. j. se. i. ::. 13.75J. [3.761. j. (3.77J.

(60) 47.. o. Nest,e modelo, considerarmos a com apenas um T. Y. ,.. ist,o é,. =T,. T,c:t(3. 112. O(. =t-J+T. tu. = T,. ~. ~at,or.. ...... ,. b+1. combinação. =. (3. G b. t. e. +. T. =. projet,or. 2. pois. IP c:t. f'" a'. se. como num modelo c:t (3. "0'. 2.. b. =. T. b. ,. ,t.eríamos o modelo:. Gb. t=1,o •• ,Gb; u=1, ••• ,R. tu. Gb. similar ao ant.erior, com IP=IP. +IP. f...t. T. No modelo em quest.ão. são t,omados separadament.e os. e~eit.os. de. = f...t. Y" k 1.J. ~ica:. e (3. e de sua int,eração. e o modelo. O(. + O(~. + ~. + C~) .. + e~jJc 1.J. ~. C IP (3. IP ). J. L. com + CIP. IP. = IP c:t. IP(3. +. -. c:t. IP ) f...t. +. t-J. + C IP..... n. "'( .r. t-J. 13.781. IP cct3. +. IP ). onde: IP IP. t-J. c:t. é o projet.or ort.ogonal. de y sobre CC);f{ t-J ). é o projet.or ort.ogonal. de y sobre. CC~. ) O(. 1P(3 é. o projet.or ort.ogonal de y sobre CC);f{ (3). . >. . •. ~. IP ~ é o projet.or ort,ogonal de y sobre C C );f{ c:t(3) . IP = )fi.);f{ +. IP IP. I-l. c:t. 1. =. n. = fi. 1P(3 = fi. IP. c:t(3. = IP = IP =. ,. já defi nido em [3.701; lE. cn >. 1. - - 1E ( ab. @. { R }. ( Gb). c:t,(3 c:t,~. IP c:t,(3. .. ,. 1. @. 1E. RG. CIP IP. c:t. b). -. c:t +. I3.79J [3.801. ( G> •. IP. IP. .. >. ). CIP(3. t-J. IP. ). f...t. o. '. IP = IP c:t,(3. 1P(3 + IP t-J. t-J. IP O( - 1P(3. -. +. 21P. f...t'. [3.. ai 1.

(61) 48.. = D(n>. CIJ -IP). = D(n>. - IP. Ct. ~. Sendo. - C IP. Ct + IP~ + IP~ -. proje~ores. esses. f 3.82]. 2IP1-/). ma~rizes. simé~ricas. e. idempo~en~es,. = IPCt. O. (n>. +1P(3+ IP. IP. == IPC( +1P(3+. - 2IP. ~. - 2IP. et{3. 2fP. = IP C( + lP(3 + lP et{3. =. O. SQJ.J. +. 1-/. IP). [D -. CIP C( + IP (3. O. -. cn). (p. -. C(. lP. IP Ct(3 - 21P /J) ]. +-. (3. -. lP~ +. 2lP. /J. somas. de quadrados,. da. manei r a. usual.. são. por:. = =. =. y'lP y /J. c7 -. SQC( = y'lP SQ(3. I-l. -. + CO. ( n). As ob~idas. I-l. y'lP Y /J. Y'IP~. SQet{3 = y'lP. y'lP y /J. ot? =. SQ To~al. =C. correção. [3.831. y'(p y f../. y'y -y'!P Y /J. SQ Resíduo == y'CO. !P)y. -. e os graus de liberdade assoei ados: g. 1. CI-/). =. r[~. g.l.Cw. ==. r[~. ==. r [~f1}. g.l.C(D. g. 1 .. (~). ]. f../. C(. ]. -. [~. -. [~. ]. f../ }. f../. = r r ~ ~r.). -. f. 13.84] ~. ""(J. g. 1 ( T o~al ). r [ D. ==. ). A. r. ==. rro. dada por. V[À'eJ. r. [~. ]. r [X f../. (3. + r [X. ). f../. ). ). rr~C(). -. rr~f3J. -. r[XI-/J. r[~J. ( n). variância "-. À'e é. -. r D( n ) ). ==. -. C(. In). g. 1. (Resíduo). ). =. do' es~imador. + + z À' ~ ~ • ÀO.. onde:. da. f'unção. es~imável.

(62) 49.. 1. CI'Rab). sendo as. ma~rizes. sição 3.a.. [3.851. 2. componen~es. as mesmas definidas na propo-.

(63) 50.. 4.. RESULTADOS E DISCUSSÃO. Os exemplos aqui. livros. ~e~os. u~ilizados. ~oram. da área de Modelos Lineares.. de comparação dos. resul~ados. com os. ob~idos. re~irados. ~inalidade. com a pela. de. me~odologia. propos~a.. 4.1. Experimento Hão Balanceado com um Fator Inteiramente Casualizado. Para mou-se Tr a. um. ~a -se. pe~ição. exempl o. de de. ~eiramen~e. numérica. apresen~ação apresen~ado. por. um exemplo f' i ct.í ci o rações. ao acaso.. para. engorda. Os dados são. de. de. I EMMA. des~e. caso,. C1 987.. um exper i suínos.. apresen~ados. men~o. p.. ~o. 114) .. de com-. conduzido. in-. na Tabela 1..

(64) 51.. Ganho de peso, em kg, de. Tabela 1. ~rês. ~ipos. uréia; t. 2. adi~ivos. de. =. suínos,. à ração:. adição de óleo. t-. em. função. de. =. adição. de. i.. t. vege~al. a. =. adição de óleo vegetal (2%).. t R R R R. 1 2. a. t.. 1. t.. 2. a. 5.0. 5,0. 9,0. 4,0. 7,0. 8,0. 3,0. 8,0. 10,0. 21.0. 27,0. 4,0. ". 15,0. TOTAIS Médias Variâncias. 4.0 0,67. 7,0. 9,0. 1.0. 1,0. Dado o modelo linear y. =. ~e. + e,. e. assumi ndo. a caract.erização:. =. y. . 1 J. sendo. o~. J.-! + o. + e ... I.J. 1.. o parâmet.ro represent.at.ivo dos t.rat.ament.os, onde:. i. = .1,.. j. =. •. i.. . . . ,. é o índice de "t.rat.ament.os" (o.), e. Q. \.. Ri. é o índice das repetições.. Nesse caso a. mat.r i z. ~. do del i neament.o é. por:. ~. =. [~. ,ui. ~. ] Dl. n. e. pode-se escrever:. 1 1 1 1 1. O. 1. O. 1 1 1 1. O O O. 1 1 1 1. O. O O O O 1 1 1 O O O. O O O O O O O. 1 1 1. 0.+1. dada.

(65) 52. Y. 5.0 4.0 3.0 4.0 6.0 7.0 8,0 9,0 8,0 10.0. Y2.2. Y1.2 Y2.3. n. Y2.4 Y 21 Y 22 Y 23 Y 3 .1 Y 32 Y 33. =. .I. =. 1 1 1 1 1. =. 1 1 1 1. .I. e e. O O O O O O O 1. O O O. 1 1 1 1 O O O O O O. 1. n. ~e +. O 1 1. 1 O. aJ. 1. O O. I-l. ex .I ex 2 ex. ]:. 3. 1. n. De acordo com a. 33. n. a+.I. 1.1. e .12 e 13 e 14 e 2.1 e 22 e 23 e 3.1 e 32 e. ma~rix ~. proposição la. a. .I. +. tem. a forma:. l/R. l/R. 1/R. 1/R i l/R. a/R. a/R. a/R. a/R. 1/R. 1/1< ! 1/R. 1/R. l/R. ____ ~ ____ ~ ____ ~ ____ ~l ____ ~ ____ ~ ____ ~l ____ ~ ____ ~ ____ ~ 1. 1. 1. -1/R -l/R -1/R -l/R 1. 0.+1. 1. 1. -l/R -l/R -l/R -1/R 1. 1. 1. í. ~. i-l/R -1/R -l/R i-l/R -1/R -1/R. 11. 2. f i ,\ \. a/R. 2. 2. a/R. 2. 21. a/R. i-l/R -1/R -1/R. ,\. 2. Z. 3. 3. i i-l/R -l/R -l/R. 21 í. i 2!. 3. a/R. 3. 3. a/R. 3. a/R. 3. 3. 3. n. I. 1/4 1/4 1/4 1/4 j 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 --------------------~---------------~-------------j í 3/4 3/4 3/4 3/4 1-1/3 -1/3 -1/3 1-1/3 -1/3 -1/3 ~+= 1. 4". -1/4 -1/4 -1/4 -1/4. 1. 1. 1. 1-1/3 -1/3 -1/3 ,. j. -1/4 -1/4 -1/4 -1/4. i-1/3 -1/3 -1/3. I. i. 1. 1. 1. :1.0.

(66) 53.. y". =. ~eo. 4,0 4,0 4,0 4,0 7.0 7.0 7,0 9,0 9.0 9,0. =. n. :1. 0++ EC e) = Ef ~ y) = ~ Ef y) Mas. Efy). =. ~e,. =. ECeo). De? acordo com a. por~an~o.. ~+~e. proposi ção 1 c". _~_l1 : a~---1~---~-] -1. [. 1 1. ~. ! -1 \ -1. ~e. =. a-i -1 a. =. _~_l_~ ___ ~---~-] 1 i 3 -1 -1. (. 1 ~. +. )f{+)f{e. =. lHe. i-i I 1-1. 1 1 ~ ~. =. 3-1 3. -1. 2. + 3~2 ~. 2 2. ques~ão.. No modelo em do, /-l +. ~. é. i. 1. 1. -:r-cp+~?. 4. 1. 1. 1. 1. __. ? ) '.::$/-l+-'~. 2. ~3/-l+3a3). ~/-l+(2). 1. -i;--C /-l+a:1) 1 ~/-l+a?. =. ~/-l+(3). 1. ~/-l+(3). 1. =. /-l. +. ~,. •. .. des~e. mo-. t.em-se,. + -:r-cP+~3). ~3/-l+3~:1). --:---!... Aqui. + ~/-l+~2). 1. 1. es~imável.. Efy). ~/-l+a2). ~. 3. + ~ /-l. = =. 1 ~. 1 ~. ~ 3a. p. +. p. -. 2. +. a. a. :1. :1. -r. :1 1 + ~ ~ /-l. +. 4. ~. a. =. ~. ~. :1. 3 ~ a. 2. 3a +. a. 2. Z. -r. 3. -r. -r a. 3. ~. ~. 3a. +. ;3. ~.

(67) 54.. Somando a primeira linha com a segunda: 3. --:r. a. a. .I. + I.l + ~. a. z. +. --:r. a. +. --:r. 3a. 1 + ~ I.l. a. .I. -r. a. z. a. ~. ~. =. I.l. + a. .I. a primeira com a t.erceira: 3. --:r. a. a. .I. I.l + ~ +. a. 2. +. -r. a. +. -r. a. 1. --:;;;-. I.l. -r". -. 3a +. a. z. a. --:;;;- =. ~. I.l +. a. 2. a primeira com a quart.a: C(. 3. + ~ I.l. a. C(. " --:;;;-. 2. +. +. -:.r-. ~unções. que são as. Por sária e. a. +. ~. --:;;;-. - --:r". I.l. t.eorema. CRAO.. para que a. Ent.ão,. b). =. r [ ~ • ~). I. O~. À. =. r. I. [~. j. I.l. + a. a. ~unção. uma. condição neces-. À'e seja. est.imável. no. CC~').. su~icient.e. no modelo. que:. À).. =. r[~). r[~).. su~icient.e. condição necessária e é que r UH]. a. --:;;;- =. J;. r [ ~•~. Mas,. 3a +. para que À'e seja est.imável. de Gauss-Markov é necessário e r. ~. 1945),. modelo de Gauss-Markov, é que À e. =. 2. básicas est.imáveis no modelo.. su~icient.e. a) r [ ~). a. C(. 1. ent.ão pode-se dizer que uma para que À'e seja est.imável. À].. Sejam, como exemplo. as funções par amét.r i cas :. =. C(. .1. À'e 2. =. I.l. À'e. =. C(. À'e. :I. +. .1. +. C(. 2 C(. :1. +. :1. C(. 2. -. 2. C(. •. :I. ent.ão: [~. À). =. 3/4 1/4 1/4 1/4. [. 1/4 3/4 -1/4 -1/4. 1/4 -1/4 3/4 -1/4. 1/4 -1/4 -1/4 3/4. O. 1 1 O. 1 1. O. O. 1 1. O. -2. ]. ......

(68) 55. 1. o. o. O O O. 1. O. O O. 1 O. Port.ant.o, apenas. À'. ~. mat.riz,. =. e. cc. +. ~. defi ni da. dent.re. cc não é :z aqui. -2. 1 -1 -1 O. como. as. 3. 1 1. 3 2. O O. t.râs. est.i mável. IH. =. ~+~. funções e. est.udadas,. ver i f i ca -se. det.er mi na. as. que a. "funções. paramét.r i cas est.i máveis a •• Um. crit.ério mais diret.o pode ser obt.ido veri-. = À',. ficando-se se À'IH. como em IEMMA (1987), dent.re out.ros.. Sejam as duas. funções. paramét.ricas est.imáveis. dadas ant.eriorment.e: À'e Z. À'e :3. =. J-l. =. cc. + cc. .1. .1. + cc. Z. -. 2 cc . <3. Fazendo. À 'IH. =. [. 1. 1. 1. O. O O] 1 -2. om. [-rH-=hi-] [ 1 \-1 3-1 1 \-1 -1 3. De acordo com 13.17J,. a. =:. 1. 1. O. O. O. 1. 1. -2. variância do est.imador A. da. função. est.i mável. onde,. 1. dada. por. ]. V[À'. eJ. =:.

(69) 56.. ent.ão.. 11/12!. 1/12. 5/12. 5/12 ! -17/12 5/12 \-17/12. 43/12 -21/12. 5/12 ]. --1/12-t -35/1 2 --::'17/12--::'17/12(. Par a. a. nossa caract.erização,. -21/12 43/12. obt.enção das somas de quadr ados • de acordo com 13.32J,. par a. desdobra-se o. projet.or IP em IP=IP. +IP. /-l. ~. onde : IP IP. IP. p 0\. é o projet.or ort.ogonal de y no espaço coluna de. ~/-l;. é o projeLor ort.ogonal de y no espaço coluna de. ~~;. =. ~~+ já definida em 13.30J da proposição ih. é dada. por. l/R l/R l/R. 1 1 1. l/R l/R. 1 1. 1/R. l/R l/R 1/R. :1. 1 1 1. 1/R l/R l/R. l/R l/R ____ l/R ____ l/R ___ ____ ~. ~. ~. 1 1. +. 1 I. ~~. 1. _______________ l! ______________ _. I. I. I. 1 /R. \ l/R i. 1 1 /R ,. 1 /R 2 2 2. 1 /R 2. l/R 1 /R. 2 2. i i. z\. l/R;. zl. 1 /R. ! ;. Z 1. -------------------~---------------t--------------i. l/R 3. l/R l/R. 3. 3. l/R l/R l/R. 3 3. 3. l/R l/R l/R. 3 3 3.

(70) 57.. 1/4. 1/4. 1/4. ~. 1/4. !. I. I. i I i. 1/4. 1/4. 1/4. 1/4. 1/4. 1/4. 1~. 1~. 1~. 1~. !. 4>. I. 1 I -------------------t---------------,--------------i. 1/3. 1/3. 1/3. I. 1/3. 1/3. 1/3. 1 1/3. I!. 1/3. 1/3. !. i í. I. I. -------------------+---------------+--------------,i. i. 1P. =. I-l. íi. 1/3. 1/3. 1/3. !. 1/3. 1/3. 1/3. 1/3. 1/3. 1/3. !. 4>. ~ ~+ I.l I.l. Como. é um vet.or. pela propriedade da inver-. ~. I.l. sa generalizada de Moore-Penrose, ~+. I-l. IP. /-l. =. 'ti{ 'tI{+. I.l. I.l. =. 1/10. =. 1. 'tI{,. n. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.