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Este é minha lauda que projeto no quadro durante as aulas. Está sendo disponibilizada para que possa ajudar de alguma forma aos alunos das terceiras séries em 2018. Vale lembrar que não é a aula completa, pois, as aulas envolvem explanação de cada assunto e uso de outros recursos como exemplo o GeoGebra e escrita no quadro. Por ser rascunho pode conter alguns pequenos erro de digitação que na verdade foram consertados ou comentados durante as aulas em sala. Enfim este arquivo é apenas para quem perdeu algum tópico da matéria em sala e não tem no caderno para se orientar. Veja as listas de atividades no site: https:// goo.gl/H051ix. O assunto oficial está no livro didático adotado em 2019 pelo Ifes/Alegre
“Aprender matemática é obter independência e autonomia para resolução e
discussões de futuras questões de matemática”
Referência para estudos 2018
• Gelson Iezzi [et al]. Matemática: Ciências e Aplicações. 7º edição – São Paulo, Editora saraiva, Volume 1, 2, 3, 2013.
• Portal da matemática: http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/index • http://video.impa.br/index.php?page=download 3º série 2018 • Geometria Espacial • Sólidos de Platão • Relação de Euler • Prismas • Esferas • Corpos redondos • Geometria Analítica. • Polinômios • Cônicas • Números complexos 1
Geometria espacial
Requisito saber geometria plana
Revisão das áreas das principais figuras planas
• O que é o PI? • Retângulo • Triângulo • Círculo
A geometria espacial e o ramo da matemática que estuda os sólidos.
Modelo Matemático
Alguns sólidos geométricos importantes
Visualização de sólidos geométricos em 3D – UFF
http://www.cdme.im-uff.mat.br/html5/pdp/pdp-html/pdp-br.html
Corpos redondos e poliedros
Sugerem poliedros
(NH4)Cl - Cloreto de amônio NH4Cl
Sulfeto de Zinco
O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
V + F = A + 2 ou V + F – A = 2
V=?
A=?
F=?
Poliedros de Platão
• Em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si; • Todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si; • De cada um de seus vértices parte o mesmo número de arestas.
Dica:
https://www.youtube.com/watch?v=vcfH6JRM2jI https://www.youtube.com/watch?v=w13bWl7EQ6w
Atividades propostas
1) Determine o número de faces de um sólido (poliedro convexo) que possui 10 arestas e 6 vértices.
2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
R:. 60
3) Calcule o número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares.
4) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Qual é o número de arestas desse poliedro? A= 24
5) Num poliedro convexo, o número de arestas é o dobro de vértices sabendo que todas as faces são triangulares. Quantos vértices, arestas e faces tem esse poliedro? F=8, V=6
Obtenha a área da coroa circular abaixo
Em quantos % se reduz a área de um círculo quanto o raio se
reduz pela matade?
O Cilindro
Considere o cilindro reto com raio r e altura h.
ou
Para que seja considerado cilindro o corte paralelo a base deve determinar a mesma secção qualquer ponto da altura.
Planificação do cilindro
Exemplo de aplicação I
O cilindro abaixo é a usado para armazenar ração para frangos. Calcule: a) O volume do mesmo;
b) A área lateral; c) A área da base; d) A área total;
e) Na data de 22/11/2016 há apenas 20% da capacidade total de ração armazenada. Determine a quantidade de ração armazenada neste dia.
Exemplo de aplicação II
Calcule o volume e do sólido representado na figura abaixo.
Calcule área total do sólido representado na figura abaixo
Atividade 1
Calcule o volume e a área total deste bloco.
Com a folha abaixo é possível construir o bloco acima? Justifique!
40 cm
1,5 m
Calcule o volume e a área total deste hexaedro (cubo)
A caixa abaixo é para armazenar água. Determine o volume que falta para que a caixa fique completamente cheia.
Qual a altura que a água atingirá se mudar a base para 30 cm por 25 cm?
Foi construída uma base de concreto como ilustrada abaixo para fixar uma estátua.
Calcule o volume necessário de concreto para construir este bloco.
23 a) Calcule o volume de concreto necessário para este trabalho.
b) Se cada m³ custa R$ 250,00. Calcule o valor necessário com o concreto nesta base.
c) Determine aproximadamente quantos % o volume do hexaedro (cubo) representa em relação ao bloco retangular maior.
d) Paulo foi contratado para pintar toda parte externa desta base de concreto. Ele cobra R$ 5,00 reais para pintar 1 m². Qual é o valor que ele irá cobrar por este serviço?
O sólido abaixo é um tubo cilíndrico dentro de uma caixa em forma de hexaedro (cubo). Se h= 2 m e a = 2 m. Calcule:
a) Volume do cubo.
b) Volume do cilindro.
c) Volume entre os dois sólidos.
Cone
Sólido formado pelo giro de triângulo retângulo em torno de um eixo vertical
Modelo matemático
25 a) Calcule o volume de cada cano.
b) Calcule o volume vazio entre 3 os cilindros da figura ao lado.
Exemplo I:
Calcule o volume, área da base e área total do cone abaixo
Exemplo II
Exercícios de fixação
1. Calcule o volume do copo abaixo cm
Tronco de cone
Esferas
Chamamos de esfera de centro O e raio r o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio r.
(Ver gif planificação sobre esfera)
Relações em uma esfera
Fuso esférico
Atividade
Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.
2. Calcule a área da superfície esférica e o volume da esfera inscrita em um cubo de aresta 12 cm.
3) Calcule o volume do cilindro dado circunscrito na esfera de volume m³
1. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para .
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514.
Resolução
Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de R= 4 cm e h = 12
cm.
A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido
nessa taça, em função da altura x indicada na figura.
Prismas
Um prisma é um poliedro com duas bases congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces laterais) são paralelogramos.
Prisma Oblíquo
Planificação do prisma de base triangular
A
T =2.
.A
b+ A
LV = A
b.H
Sempre duas bases congruentes e faces laterais são paralelogramos (tantas quantos lados dos polígonos das bases)
Fixação
Considere o sólido geométrico abaixo onde o triângulo ABC é equilátero de lado 8 cm e = 12 cm
a) Classificação deste sólido? b) Calcule a área total do sólido. c) Calcule o volume do sólido. d) Calcule a área total do sólido.
Abelhas armazenam mel em sólidos (primas hexagonais) com o formato abaixo.
Modelo Real Modelo matemático
a) Por qual motivo é neste formato deste sólido? (Discussões) b) Calcule a área da base deste sólido.
c) Calcule o volume deste sólido. d) Calcule a área total deste sólido.
Um prisma de base retangular tem suas dimensões formando uma progressão aritmética de razão 4cm. Sabendo que seu volume 840 cm³, determine suas dimensões.
PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) nasceu em Milão, onde recebeu o nome Francesco Cavalieri. Ao juntar-se à ordem dos jesuítas, em 20 de setembro de 1615, adotou o nome Bonaventura. Em 1616 foi transferido para a cidade de Pisa, onde mais tarde conheceu Galileu Galilei, tornando-se um de seus discípulos. Em 1635, publicou a Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione
Pro-mota (Um Certo Método para o Desenvolvimento de uma Nova Geometria dos Indivisíveis
Contínuos), onde aparece o princípio famoso que leva seu nome.
Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão.
Dica:
Dicas para estudos:
https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=wQpi2ZfrITw
Exercícios I
Determine o volume do paralelepípedo oblíquo de base quadrada da figura abaixo, sabendo que duas de suas faces estão contidas em planos perpendiculares ao plano que contem a base.
Exercícios II
Determine a área total e o volume do prisma regular, de base hexagonal, da figura abaixo.
Piramides
Pirâmide é todo poliedro convexo construído unindo-se os vértices de um polígono qualquer (base da pirâmide) a um mesmo ponto (vértice da pirâmide) situado fora do plano desse polígono.
Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 8 vértices? R:. 2160°
Dica: https://www.youtube.com/watch?v=2-jak_QmtGo
Atividades
1. Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces. R:. 3240º
2. Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 12 faces e 30 arestas? R:. 6480
º
3. Qual a soma dos ângulos das faces do tetraedro regular? R:. 720
º
4. Qual a soma dos ângulos das faces do icosaedro regular? R: 3600ºAtividades
Considere as duas embalagens de PIZZA abaixo.
20 cm 20 cm 4 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 4 cm
c) Determine a área total de papel usado para fabricar cada embalagem.
Introdução a geometria Analítica
Dica de vídeo:
http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/index#7
René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596…..
Revisão sobre coordenadas cartesianas
Ponto sem coordenada de localização
Para pequenas distâncias podemos considerar um plano 2D
Distância entre pontos no plano cartesiano
Exercícios
Dados os pontos A(– 2, 4) e B(2,2). Calcule a distância
Se A(m+2n; m – 4) e H(2 – m; 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então calcule mn.
Considere os pontos A(-4;-4); B(-2;-2); C(1,-4) e D(3,-2)
a) Marque no plano todos os pontos;
b) Qual é o polígono definido por estes quatro pontos; c) Determine o comprimento das diagonais deste polígono.
Ponto médio de segmento
O ponto M que divide um segmento ao meio é denominado pontoo médio deste segmento
Professor demostrar a fórmula no quadro
Considere os pontos A(-4;-4); B(-2;-2); C(1,-4) e D(3,-2). Determine o ponto médio de cada diagonal do polígono.
Calcule o comprimento da mediana partindo do vértice B do , cujos vértices são A(0; 0), B(4; -6) e C(-1; -3).
Dados A(4; 5), B(1; 1) e C(x; 4), determine x de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B
Determinar o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares que equidista dos pontos A(8; -8) e B(12; -2). Dados A(8; 7) e C(-2; -3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos outros dois vértices.
Qual e a distância do segmento que une os pontos de encontro das parábolas de equação
e .
O ponto A(-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento?
Determine as coordenadas dos pontos B e C, sabendo que eles dividem o segmento de extremidades em A(2, 3) e D(8, 10) em 3 segmentos de mesma medida. Calcule o valor de x e y, sabendo que M(-1, -2) é ponto médio do segmento AB e que os pontos A e B têm coordenadas A(x, -6) e B(2, y).
Lugar Geométrico
Lugar geométrico é o conjunto de pontos que tem uma propriedade em comum. • Reta; • Parábola; • Circunferência; • Elipse; • Hipérbole; Reta
Mostrar que os pontos A(-1;1), B(1; 3) e C(7; 9) estão alinhados.
Determine o valor de m para que os pontos A(2m + 1; 2), B(–6; –5) e C(0; 1) não sejam colineares.
Seja os pontos A(1;2), B(3; n+2) e C(n-1; 1). Determina n de forma que a área do seja ½.
Em um triângulo ABC, em que o ponto médio de AB é M (6; 4), o ponto médio de BC é N (5; 2) e o ponto médio do lado CA é P (3; 5), qual o valor da área do triângulo ABC?
Área de triângulo qualquer
Considere os pontos e
(Coeficiente de inclinação ou coeficiente angular da reta )
O ângulo é denominado inclinação da reta
Determine o coeficiente de inclinação e a inclinação para reta definida pelos pontos A(2; 3) e B(0; 5)
Dados os pontos A(-1; -1), B(5; -7), obtenha a equação do lugar geométrico de todos os pontos C(x; y) para que o ponto C seja equidistante de A e B.
Equação fundamental da Reta
Equação geral da reta:
Determine a equação na forma segmentária e na forma geral da reta do gráfico abaixo.
Exercício de aplicação
1) Considere os pontos H(-1; 5), F(-5,1)
a) Localize no plano cartesiano os pontos H e F; b) Determine o coeficiente de inclinação da reta ; c) Determine a equação geral da reta ;
d) Determine onde a reta corta o eixo x; e) Determine onde a reta corta o eixo y;
f) Determine o ângulo de inclinação da reta .
g) Determine mais dois pontos que pertencem a reta .
Menor distância entre um ponto e uma reta
A menor distância entre um ponto A(x0; y0) e uma reta (r) Ax + By + C = 0 é o seguimento
Exercício
1. Determine a menor distância entre a reta x + 3y – 4 = 0 e o ponto P(2; -4)
2. Considere os ponto B(5; 0); C(4; 3) e D(-3; 4). a) Marque os pontos B, C e D no plano cartesiano;
b) Obtenha a área do triângulo BCD por dois métodos distintos.
3. Verificar se as retas são paralelas x + y – 6 = 0 e 2x – 2y +12 = 0. Se sim calcule a distância entre elas.
Posição entre duas retas no plano cartesiano
Condição necessária e suficiente para que duas retas sejam perpendiculares no plano cartesiano. Duas retas (r) e (s) são perpendiculares se o produto dos coeficientes de inclinação
sendo inclinação de r e de inclinação de s.
Exercício:
1. Verificar se x + y – 6 = 0 e 2x + 2y +4 = 0 são paralelas ou perpendiculares.
2. Determine equação da reta que passa pelo ponto A(1; 5) e é paralela à reta de equação x - 3y + 4 = 0
3. Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto H(1; 2) e é perpendicular à reta 2x + y -10 = 0.
4. Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto F(1; -3) e é paralela à reta 2y + 3x + 6 = 0
5. Determinar m de forma que as retas e sejam.
a) Paralelas; b) Concorrentes; c) Perpendiculares.
Circunferência
Uma circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos (x; y) estão a uma mesma distância de um ponto A(x0; y0).
Logo a dedução deste lugar geométrico pode ser determinado usando a fórmula da distância entre pontos.
Método I Método II
Comparação Completar quadrados
Professor no quadro
Exemplo I
Obter a equação da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
Revisão sobre fatoração e completar quadrado
Completar o quadrado da expressão?
=
Considere a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 obtenha pelos dois métodos o raio e o centro da circunferência.
Determine o raio e escreva a equação na forma reduzida e na forma geral da circunferência abaixo
Obtenha a posição entre o ponto P(2; 5) e a circunferência x² +y² +2x-2y+1=0
Determine a posição no plano cartesiano entre a reta 3x + 4y – 35 = 0 e a circunferência x² +y² – 8x -6y+24 = 0
Determine o valor da corda que tem extremidade no encontro em entre a circunferência (λ)) x² + y² =4 e a reta 2x – y = 0
Se a reta 2x – y + k = 0 é tangente a circunferência (λ)) x² +y² - 4 =0. Determine k.
Qual é a equação geral da circunferência que tem diâmetro com extremidades definidas pelos pontos A(4; 0) e B(0;0)
Qual é o comprimento da corda determinada pela reta (r) x – y + 4 = 0 na circunferência (λ)) x² + y² -2x – 4y - 4 = 0. R:. u
O ponto P (3; B) pertence a circunferência de centro C (0;3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada B.
Posição entre duas circunferências no plano cartesiano
Exemplo:
1. Qual é a posição relativa das circunferências λ1 : x² + y² - 2x – 3 = 0 e λ2: x² + y² +2x – 4y + 1 = 0 no plano cartesiano?
2. Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine a posição entre elas no plano cartesiano.
3. Dadas as circunferências λ) e σ, de equações: Verifique a posição relativa entre elas no plano cartesiano. λ): x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16
4. Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.
Circunferências concêntricas
Famílias de circunferências concêntricas
Considerando o centro C(xo; yo) então a equações da família é dada por: (x-xo)² + (y-yo)² = k (sendo k > 0)
Exemplo I: Dado o ponto P(5; 4) e a circunferência de equação x² + y² – 2x – 2y – 20 = 0, a equação
da circunferência concêntrica com a circunferência dada e que passa por P é: A) x² + y² – 2x – 2y – 20 = 0 B) x² + y³ – 2x – 2y – 21 = 0 C) x² + y² – 2x – 2y – 22 = 0 D) x² + y² – 2x – 2y – 23 = 0 E) x² + y² – 2x – 2y – 24 = 0 Exemplo II:
1. Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas são concêntricas.
2. Obtenha a equação da circunferência concêntrica a λ : x² + y² – 8x – 4y + 11 = 0 de raio 10 u.
3. Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As
áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em: a) 12π. b) 16π. c) 32π. d) 64π. e) 8π.
4. No problema anterior qual foi o aumento em termos percentuais em relação cobertura que existia
anteriormente?
Lista de exercícios complementares
1) Uma circunferência tem centro no ponto C(2;1) e passa pelo ponto A(5; -3). Qual é o comprimento e a área desta circunferência?
2) O centro das circunferências concêntricas abaixo é A(5; -3). Obtenha a equação de cada uma delas e calcule a área destacada entre elas.
3) O ponto P (3;B) pertence a circunferência de centro C (0;3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada B.
Modelo Matemático
Posição de uma parábola no plano cartesiano
Considere a parábola abaixo com vértice V(xo; yo)
Uma parábola é o lugar geométrico (x; y) em que d(PF) = d(P; r) onde P(x; y) e onde p é a distância do foco até o vértice.
Dedução e discussão da fórmula em sala (Professor)
Se o vértice da parábola for V(xo; yo) a equação poderá ser:
a) (x - x0)² = 4.p.(y – y0): Tem termo x²
b) (x - x0)² = - 4.p.(y – y0): Tem termo x²
c) (y - y0)² = 4.p.(x – x0): Tem termo y²
Obtenha a equação da parábola com foco F(0; -2) e V(0; 0)
Determine a equação da parábola com foco F(0; 2) e V(0; 0) . R:. x² = 8y Determine o foco e o vértice da parábola de equação.
a) x² =4y
b) y² = - 8 x
Obtenha a equação de uma parábola cujo vértice é a origem e o foco é F(0;-2). R:. x² = -8y
Obtenha a equação da parábola de F(2; 4) e V(2; 1). R:. (x-2)² = 12(y-1)
Dada a parábola x² – 2x – y = 0: Obtenha: a) O vértice;
b) O Foco;
c) A diretriz da parábola.
b) O Foco; R:.F(5/2; 9/2)
c) A diretriz da parábola. R:. Diretriz y = 3/2
Obtenha o foco, a diretriz e o vértice da parábola
R:. F(-3/2; 5) V(-1; 5) Diretriz x = -1/2
Coloque a equação da parábola na forma padrão; obtenha o vértice, o foco e a diretriz e desenhe o gráfico.
Elipses
Uma elipse é o lugar geométrico do conjunto de todos os pontos no plano cartesiano de modo que a soma das distâncias de cada ponto para dois pontos fixos (denominados focos) continue constante.
Se você conectar os focos de uma elipse, o ponto médio do segmento que você cria é denominado o centro da elipse. Pelo meio passam dois eixos perpendiculares, um horizontal e um vertical. O mais longo dos dois eixos é denominado eixo maior e o mais curto é o eixo menor. Cada ponto final do eixo maior é denominado vértice. E a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.
A elipse possui aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão
Excentricidade
A excentricidade de uma elipse, definida como é um valor no intervalo [0; 1[ que descreve a “ovalidade” de uma elipse.
Quanto mais próximo de zero a elipse se aproxima de uma circunferência e quanto mais próximo de 1 mais oval é a elipse.
Dedução pelo professor em sala:
https://www.youtube.com/watch?v=qvXk5FNZVZQ
Uma elipse tem eixo maior medindo 6 e eixo menor medindo 4. Determine sua distância focal e sua excentricidade.
Escreva a equação de cada elipse na forma padrão e represente-a graficamente: A elipse com vértices (6; 1) e (6; –9) e focos (6; 0) e (6; –8)
Obtenha a excentricidade, a área e a equação da elipse abaixo.
Determine a equação da elipse cujo eixo maior mede 6 e cujos focos são os pontos
F
1(-2;-1) e F
2(1;-1)
Uma elipse cujo eixo maior é vertical tem centro C(-1; 1), excentricidade e = 1/3 e
eixo menor de medida 6. Determine sua equação.
Determine as equações da seguinte elipse centro (0; 0), V(13; 0) e F(-5; 0)
Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é 24.
Determine a distância focal dessa elipse.
Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos
coordenados e passando pelos pontos (5; 0) e (0; 13), determine os focos da
elipse.
Calcule a excentricidade da elipse com a equação
R:.
Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (−2,1).
b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8.
R:. 24u²
Determine a excentricidade e o centro da elipse
R:. e = ½; C (1; -2)
Obtenha os focos da elipse de equação 16x² + 36y² + 32x – 216y – 236 =0
Escreva a equação elíptica em sua forma x² +4y² – 4x + 10y + 100 = 0 padrão, represente-a graficamente e calcule o comprimento de seu eixo maior.
Calcule a excentricidade da elipse com a equação. a) 5x² +y² -3y +1 =0
Todo número complexo é da forma Z = a + bi está associado a um
ponto no plano cartesiano Z = (a; b). Onde a é a parte real e b é a
parte imaginária.
O conjunto dos números complexos é representado por
A definição de operações de par ordenado é definida:
1. (a; b).(c; d) = (ac - bd; ad + bc) - (I)
2. (a; b)+(c; d) = (a + c; b + d) - (II)
Por definição i = (0; 1), logo, aplicando I, tem:
i² =(0; 1).(0; 1) = (0.0 – 1.1; 0.1+ 1.0) = (-1; 0)
i² =
(-1; 0) =
-1
2i= 0 + 2i = (0; 2)
Verifique se (2i).(2i) = - 4?
O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou
Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números
complexos geometricamente.
Considere os números complexos
Representar este números no Argand-Gauss.
✔
Todo número complexo tem um conjugado;
✔
