Chebyshev e a variação de um polinômio

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

FRANCISCO SÉRGIO RUFINO

CHEBYSHEV E A VARIAÇÃO DE UM POLINÔMIO

FORTALEZA 2019

CHEBYSHEV E A VARIAÇÃO DE UM POLINÔMIO

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Ensino de Matemática.

Orientador: Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia

FORTALEZA 2019

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca Universitária Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

R865c Rufino, Francisco Sérgio.

Chebyshev e a variação de um polinômio / Francisco Sérgio Rufino. – 2019. 68 f. : il. color.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2019. Orientação: Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia.

1. Polinômio de Chebyshev. 2. Variação de um polinômio. I. Título.

CDD 510

CHEBYSHEV E A VARIAÇÃO DE UM POLINÔMIO

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Ensino de Matemática.

Orientador: Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia

Aprovada em: 29 de Novembro de 2019

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________ Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia (Orientador)

Universidade Federal do Ceará (UFC)

_____________________________ Prof. Dr. José Ederson Melo Braga Universidade Federal do Ceará (UFC)

___________________________ Prof. Dr. Joserlan Perote da Silva

A Deus pelo auxílio nesta dura jornada, pela vida, pelos companheiros que encontrei ao longo do curso e pelas amizades originadas dessa aproximação.

Aos professores do curso pela dedicação mostrada nas aulas, com o objetivo único de nos possibilitar uma boa ampliação do nosso conhecimento.

Em especial ao meu orientador Prof. Dr José Alberto Duarte Maia pela orientação paciente, pelo incentivo e pelas sugestões que contribuíram decisivamente na produção deste trabalho, bem como pelo tempo disponibilizado além do horário das aulas e pela forma paternal com que me ajudou no estudo do tema escolhido.

Aos professores participantes da banca examinadora Prof. Dr. José Éderson Melo Braga e o Prof. Dr. Joserlan Perote da Silva pela disponibilização do tempo e pelas valiosas observações a respeito de pontos específicos no trabalho.

A todos os colegas da turma pelo ambiente fraterno que se formou entre nós.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

“O fraco nunca perdoa. O perdão é a característica do forte.” (Mahatma Gandhi)

O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma solução para um problema de Chebyshev, surgido 1854, a respeito da menor variação de um polinômio. Para que o objetivo seja alcançado, iniciaremos por algumas definições e teoremas matemáticos que nos fornecerão a base necessária para a resolução do problema. Dando continuidade à resolução, criaremos notações próprias, com o objetivo único de facilitar o entendimento do que será exposto, acompanhado da definição da variação de um polinômio, algumas propriedades que auxiliarão no desenvolvimento da resolução do problema, bem como representações gráficas dos tipos de polinômios envolvidos no problema. Por fim, teremos a definição dos polinômios de Chebyshev dos tipos T e _n U , bem como suas respectivas representações gráficas, relações _n de recorrências, algumas propriedades e, por fim a relação existente entre os polinômios T e _n

n

U .

The present work aims to present a solution to a Chebyshev problem, arising in 1854, concerning the smallest variation of a polynomial. In order to reach the goal, we will start with some mathematical definitions and theorems that will provide us with the necessary basis for solving the problem. Continuing the resolution, we will create our own notations, with the sole purpose of facilitating the understanding of what will be exposed, accompanied by the definition of the variation of a polynomial, some properties that will help in the development of the problem resolution, as well as graphical representations of the polynomial types involved in the problem. Finally, we will have the definition of Chebyshev polynomials of the types T and _n U , as well as their respective graphical representations, recurrence _n relations, some properties and, finally, the relation between the polynomials T and _n U . _n Keywords: Variation of a polynomial. Chebyshev Polynomials.

Figura 1 - Gráfico do polinômio _p(_X)_{ X}2 _6_{X }12 _...

26

Figura 2 - Gráfico do polinômio _g(_X)_2_X2 _8_{X }6 _...

27

Figura 3 - Gráfico do polinômio _g(_X) _{ }2_X2 _8_{X }6 _{... 27}

Figura 4 - Gráfico de um polinômio p(X) contido na faixa



c,c



... 28 Figura 5 - Gráfico de um polinômio p(X) contido na faixa y  ... 33 c Figura 6 - Gráfico no parâmetro k de k2 e k2 ... 34

Figura 7 - Gráfico no parâmetro k de k4 e k ... 36

Figura 8 - Gráfico no parâmetro k de 2.(2k) , 2.(2k) e 4

2

k

... 37 Figura 9 – Gráfico de y  que contém c (n1)pontos da fronteira dessa faixa ... 41 Figura 10 - Gráficos dos polinômios p_n(X) e g(X) contidos na mesma faixa de y  .. 41 c Figura 11 - Gráficos dos polinômios p_n(X) e g(X) contidos na mesma faixa de y  para c mostrar que p_n(X)g(X)... 42 Figura 12 - Gráficos dos polinômios p_n(X) e g(X) com mesma tangente horizontal contidos na mesma faixa de y  ... 42 c Figura 13 - Gráfico do polinômio T₀(x)1 ... 47 Figura 14 - Gráfico do polinômio T₁(x)x ... 47 Figura 15 - Gráfico do polinômio ( ) 2 2 1

2 x  x 

T ... 47 Figura 16 - Gráfico do polinômio T (x) 4x3 3x

3   ... 47

Figura 17 - Gráfico do polinômio ( ) 8 4 8 2 1

4 x  x  x 

T ... 47 Figura 18 - Gráfico do polinômio T (x) 16x5 20x3 5x

5    ... 47

Figura 19 - Gráfico do polinômio U₀(x)1 ... 54 Figura 20 - Gráfico do polinômio U₁(x)2x ... 54 Figura 21 - Gráfico do polinômio ( ) 4 2 1

2 x  x 

U ... 54 Figura 22 - Gráfico do polinômio U (x) 8x3 4x

1 INTRODUÇÃO... 12

2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS IMPORTANTES ... 13

2.1 Polinômio ... 13

2.2 Raiz de um Polinômio ... 13

2.3 Operações com Polinômios ... 14

2.3.1 Adição ... 14

2.3.2 Produto ... 15

2.4 Algoritmo da Divisão ... 16

2.5 Teorema Fundamental da Álgebra ... 19

2.6 Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) ... 21

2.7 Teorema de Weierstrass ... 22

3 A VARIAÇÃO DE UM POLINÔMIO ... 25

3.1 Propriedades da Variação de um Polinômio ... 28

3.2 Variação de um Polinômio Quadrático ... 30

3.3 O Problema de Chebyshev ... 32

3.4 A Solução Geral do Problema de Chebyshev ... 40

4 POLINÔMIO DE CHEBYSHEV ... 46

4.1 Polinômio de Chebyshev do tipo

T

_n ... 46

4.2 Cálculo dos Primeiros Polinômios T ... 46 _n 4.3 Representando o Polinômio T_n de Outra Forma ... 48

4.4 Algumas Propriedades do Polinômio de Chebyshev do tipo T ... 49 _n 4.4.1 Paridade ... 49

4.4.2 Raízes ... 50

4.4.3 Extremos ... 52

4.5 Polinômio de Chebyshev do tipo U ... 53 _n 4.6. Cálculo dos Primeiros Polinômios U ... 53 _n 4.7 Relação de Recorrência para Obtenção de U ... 55 _n 4.8 Representando o Polinômio U_n de Outra Forma ... 56

4.9 Duas Propriedades do Polinômio de Chebyshev do tipo U ... 58 _n 4.9.1 Paridade ... 58

4.10 Relação entre os Polinômios T_n(x) e U_n(x) ... 60

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 62

REFERÊNCIAS ... 63

1 INTRODUÇÃO

Em 1854 , o Matemático russo Pafnuty Chebyshev lança um questionamento, no meu ponto de vista, um tanto interessante: “Dentre todos os polinômios mônicos de grau n, qual deles possui a menor variação?”.

A primeira vista, achei que o problema parecia ter uma solução fácil, mas constatei que apresentava vários obstáculos em sua resolução.

Este trabalho objetiva apresentar uma solução para o problema proposto por Chebyshev, contida num artigo na Revista Kvant Selecta, de autoria de Serge Tabachnikov. Para que isso seja possível, dividimo-lo em 3 capítulos:

No capítulo 1, apresentaremos algumas definições e Teoremas importantes na Matemática, que facilitarão a compreensão da resolução, bem como nos fornecerão um embasamento teórico apropriado para esse objetivo.

No 2° capítulo, conceituaremos a Variação de um Polinômio e criaremos uma notação específica para a mesma, objetivando uma fácil compreensão do que será exposto. Avançando um pouco mais, apresentaremos algumas propriedades da Variação de um polinômio, acompanhadas de uma explicação sucinta e resolução de alguns exemplos. Em seguida, abordaremos a resolução do problema de Chebyshev propriamente dita, auxiliado por representações gráficas dos polinômios envolvidos.

O capítulo 3 tem como objetivo definir os polinômios de Chebyshev dos tipos T e _n U , _n apresentar o cálculo dos primeiros polinômios e suas respectivas representações gráficas, além de suas relações de recorrência, a paridade e os zeros de T e _n U , os extremos do _n polinômio T e finalmente estabelecer relações entre _n T e _n U . _n

2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS IMPORTANTES

As Definições e Teoremas que apresentaremos a seguir terão um papel importante para uma melhor compreensão desse trabalho.

2.1 Polinômio

Definição 2.1.1 Um polinômio sobre ℝ é uma expressão do tipo



      n j j j n nX a X a X a a X p 0 1 0 ) (  ,

onde n ℕ e  a_jℝ, para j0,1,,n. Também dizemos que p(X) é um polinômio com coeficientes reais. O conjunto de todos os polinômios sobre ℝ será denotado por ℝ[X].

Definição 2.1.2 Considere n nX a X a a X

p( ) ₀  ₁  um polinômio não nulo, com a_n 0. O grau de p(X) é definido como sendo o inteiro n . Usaremos a seguinte notação para indicar o grau do polinômio

n p



(lê-se “o grau de

p(X)

é igual a

n

”)

Nesse contexto, o coeficiente a é chamado de coeficiente líder de _n p(X). Dizemos que

) (X

p é um polinômio mônico se ocorrer a_n 1.

Observação: É importante dizer que não se define grau para o polinômio nulo. De agora em diante, sempre que considerarmos um polinômio n

nX a X a a X p( ) ₀  ₁  , teremos 0  n a . 2.2 Raiz de um Polinômio

Dados um polinômio p(X)ℝ

 

X e um número real  ℝ, podemos considerar o 

número real n

n

a a

a

p() ₀  ₁   . Com isso estamos associando a um polinômiop(X)ℝ

 

X uma função real de uma variável real, a qual dizemos ser

determinada pelo polinômio. De um modo geral, diremos que uma função real de uma variável real é uma função polinomial se ela for determinada por algum polinômio.

Definição 2.2.3 Considere o polinômio p(X)ℝ

 

X . Diz-se que  ℝ é uma raiz de  p(X)

se p()0. Ou seja, uma raiz de um polinômio é nada mais que um zero da função polinomial correspondente.

Exemplo 2.2.1 Determinar as raízes do polinômio _p(_X)_{ X}2_1_.

Solução: Determinar as raízes do polinômio _p(_X)_{ X}2_1 _{é encontrar  ℝ tal que }

0 ) (  p . Ou seja, 1 1 1 1 0 1 2 2               ou

2.3 Operações com Polinômios

2.3.1 Adição Sejam os polinômios



  m j j jX a X p 0 ) ( e



  m j j jX b x g 0 ) ( sobre ℝ, onde m ℕ e   j j b

a , ℝ, para j0,1,,m. Definimos a soma entre polinômios por



    m j j j j b X a X g X p 0 ) ( ) ( ) (

Observação: Caso falte algum termo de um dos polinômios envolvidos na adição, devemos escrever os polinômios na forma completa, para os graus sejam igualados.

Exemplificando, temos:

Sejam _p(_X)_4_X5_3_X2_{X }8 _{e g(X)6X}4_2X3_{7X 1 dois polinômios. Qual}

o polinômio resultante da soma de p com g?

Para realizarmos essa operação de soma, faremos o seguinte: Escrevemos p e g na forma completa, ou seja 8 3 0 0 4 ) (_{X  X}5_{ X}4_{ X}3_{ X}2_{X } p e _g(_X)_0_X5_6_X4_2_X3_0_X2_7_{X }1_{. Após,} efetuaremos a soma da seguinte forma:

) 1 8 ( ) 7 1 ( ) 0 3 ( ) 2 0 ( ) 6 0 ( ) 0 4 ( ) ( ) (_{X g X   X}5_{  X}4_{  X}3_{  X}2_{  X  } p 9 8 3 2 6 4 ) ( ) (_{X g X  X}5_{ X}4_{ X}3_{ X}2_{ X} p

Propriedade do Grau (adição) 2.3.1. Sejam os polinômios



  m j j jX a X p 0 ) ( e



  n j j jX b X g 0 ) ( sobre ℝ[X]. Tem-se



p X q X



 

m n Max X q X p( ) ( )) ( ), ( ) max , (      

.

Demonstração:

Se p(X)0 e g(X)0 nada se tem a provar.

Considere agora m mX a X a a X p( ) ₀ ₁ ... e n nX b X b b X g( ) ₀  ₁ ... , polinômios não nulos de grau m e n, respectivamente. Suponha, sem perda de generalidade, que mn. Neste caso, o termo dominante de p(X)g(X) será a _m e assim



p(X)g(X)



mmax



f(X),g(X)



 . Caso m , temos que o termo dominante de n

) ( )

(X g X

f  será a_mb_m, deste modo 



p(X)g(X)



m, se ocorrer a_mb_n 0 ou



p X g X



m  ( ) ( ) , caso a_mb_m 0. 2.3.2 Produto Sejam os polinômios



  m j j jX a X f 0 ) ( e



  n j j jX b x p 0 ) ( sobre ℝ, onde m,nℕ e  j j b

a , ℝ, para j0,1,,m e k 0,1,,n. Definimos produto entre polinômios por



  m n i i iX c X p X f 0 ) ( ). ( , onde temos c₀ a₀.b₀ 0 1 1 0 1 a .b a.b c       0 2 1 1 2 0 2 a .b a.b a .b c   

n m n m i i i i i b a c b a b a b a b a c . . . . . _{1 1 2 2 0} 0           

Observação: Aqui se verifica o uso da propriedade distributiva.

Propriedade do Grau (produto)2.3.2. Sejam os polinômios



  m j j jX a X p 0 ) ( e



  n j j jX b ) X ( g 0 sobre ℝ[X]. Tem-se ) ( ) ( )) ( ). ( (p X g X p X g X 

.

Demonstração: Como (p(X))m e (g(X ))n, temos que a_m 0 e b_n 0. Na realização do produto p(X).g(X), pela definição, o termo de variável com maior expoente será c_mn a_m.b_n. Por outro lado, o coeficiente do termo _{X no produto} k _{f(X).g(X) é}

0 1 1 1 1 0.b a.b a .b a .b a c_k  _k  _k  _k  _k , e assim, para kmn, temos que esse coeficiente é nulo, pois

0  i a , para im e b_j 0, para j n Logo, como a_m.b_n 0, )). ( ( )) ( ( )) ( ). ( (p X g X mn p X  g X  2.4 Algoritmo da Divisão

Nessa secão vamos apresentar o Algorítmo da Divisão, cuja demonstração é fortemente inspirada na demonstração contida no livro Polinômios e Equações Algébricas, da Coleção PROFMAT – SBM.

Teorema (Algoritmo da Divisão) 2.4.1 Consideremos dois polinômios p,gℝ[X], com g não nulo. Então, existe um único par de polinômios reais q(X) e r(X) onde se verifica as condições

r gq

p  e 0rg.

Prova: Considerando que

0 1 1 1 ... ) (X a X a X a X a p n n n n        e 1 0 1 1 ... ) (X b X b X bX b g m m m m        , com 0  m a temos:

Provaremos agora, a existência de q(X) e r(X)

Se p(X)0, então tome q(X) Xr( )0

Suponha que p(X)0. Se p(X)g(X), então tome q(X)0 e p(X)r(X).

Podemos supor p(X)g(X). A demonstração é por indução sobre g(X).

Se  Xg( )0, então g(X) b₀ 0. Daí, tomamos ( ) 1. ( )

0 p X

b X

q   e r(X)0.

Suponhamos o resultado válido para polinômios com grau menor do que p(X), vamos mostrar que vale para p(X).

Seja p₁(X)o polinômio definido por

) ( ) ( ) ( 1 X g X b a X p X p n m m n    . Segue que ) ( ) ( ) ( X g X p₁ X b a X p m n n m _   _{e p p} 1

) ( ) ( ). ( ) ( _{1 1} 1 X q X g X r X p   , com r₁(X)0 ou r₁g. Por conseqüência, ) ( ) ( ) ( ) ( X q₁ X g X r₁ X b a X p n m m n _          _.

Agora, basta tomar q(X) X q₁(X) b a n m m n  _{ e ( ) ( )} 1 X r X r  , o se completa a prova da existência. Unicidade de q(X) e r(X)

Suponhamos que existam os polinômios q₁(X), q₂(X),r₁(X),r₂(X)ℝ tais que ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 2} 1 X g X r X p X q X g X r X q     , (i) com r₁g, r₂ g, onde r₁(X)0 ou r_i g e r₂(X)0 ou r₂ g. Assim, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 2} 1 X g X r X q X g X r X q    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{2 2 1} 1 X g X q X g X r X r X q    ) ( ) ( ) ( )]. ( ) ( [q₁ X q₂ X g X r₂ X r₁ X

Assim, se tivermos q₁(X)q₂(X), então r₁(X)r₂(X). Mas por (i), temos

   g(X) g(X) (q₁(X)q₂(X)) g(X)(g(X)(q₁(X)q₂(X))) g(X)(r(X)₂ r₁(X)) g(X)g(X)max{r₂,r₁} g(X)g(X)

Como conseqüência do Algorítmo da Divisão, temos a proposição que fala sobre o número máximo de raízes de um polinômio não nulo:

Proposição 2.4.1 Seja p(X) um polinômio não nulo comp(X)ℝ[X], cujo grau é igual a n . Então p(X) possui no máximo n raízes em ℝ[X], onde p(X)n.

Demonstração:

Caso não exista  ℝ tal que  p()0, a proposição está provada.

Seja  ℝ tal que  p()0. Temos que g(X) X  ℝ [X]. Logo, pelo Algoritmo da Divisão, temos que q(X),r(X)ℝ[X] tais que p(X)q(X).(X )r(X), onde

0 ) (X 

r ou r(X)g(X)1 e, neste caso, r(X) é um polinômio constante. Como b₀

0 ) ).( ( ) (X q X X b

p    e p()0, temos que p()q().()b₀ b₀ 0. Como

) ( ) ( ) (    p X q X X , segue que q(X)n1.

Sejaℝ. Se tivermos p()( ).q()0  ou  é raiz de

 ) (X

q ℝ[X]. Assim as raízes de p(X) são as raízes de q(X) e  .

Para finalizar a demonstração, utilizamos indução sobre n . Se n0, p não possui raízes em ℝ e, nesse caso, não há o que demonstrar.

Suponhamos que vale para q(X) com q(X)n1, ou seja, q(X) possui no máximo

1 

n raízes em ℝ. Por construção p(X)q(X).g(X) e como as raízes de q(X) e  são as raízes de p(X), segue que p(X) possui no máximo n raízes.

2.5 Teorema Fundamental da Álgebra

Iniciamos esta subseção tomando como referência as demonstrações contidas no livro do Prof. Caminha , página 114.

O Teorema Fundamental da Álgebra foi apresentado pela primeira vez em 1799, na tese de doutorado de Carl Friedrich Gauss, e diz que:

“Todo polinômio pℂ

 

X não constante possui ao menos uma raiz complexa.” A demonstração desse teorema será encontrada em [5], página 70.

Lema 2.5.1

Se pℝ

 

X é mônico e não tem raízes reais, então existem polinômios g,hℝ

 

X tais que _pg2 _h2_{. Em particular, p(x)0 para todo x ℝ. }

Prova.

Existem números complexos não reais z₁,z₂,,z_k tais que

). ).( ( ) ( 1



    k j j j X z z X X p

Agora, se z_j a_jib_j, com a ,_j b_jℝ, então

, ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( 2 2 2 2 j j j j j j j j j j b a X ib a X ib a X ib a X z X z X             

a soma dos quadrados de dois polinômios de coeficientes reais (um deles constante).

Basta, agora, aplicar várias vezes o seguinte argumento: para g₁,g₂,h₁,h₂ℝ[X], temos





.





 



2. 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 h g h g g hh g h g h g      

0 ) ( ) ( ) (_{x g x} 2 _{h x} 2 _ p ,

para todo x ℝ; mas, como  p não tem raízes reais, a desigualdade acima deve ser estrita, para todo x ℝ. (Demonstração retirada do livro Tópicos de Matemática Elementar, vol. 6. 2ª  ed. 2016 – CAMINHA)

2.6 Teorema do Valor Intermediário (Bolzano)

Se f  ℝ[X] e ab são números reais tais que f(a). f(b)0, então existe 

c

 

a, tal que b f(c)0. Prova.

Supondo, sem perda de generalidade, que f é mônico e f(a)0 f(b), segue da última parte do lema anterior que f tem ao menos uma raiz real. Sejam, pois, a₁  a_k as raízes reais de f , repetidas de acordo com suas multiplicidades. Se g

ℝ

[X]

é tal que

) ( ) )( ( ) (X g X X a₁ X a_k f     ,

então g é mônico e não possui raízes reais, de sorte que, novamente pelo lema anterior,

0 ) (x 

g para todo x

ℝ.

Por contradição, suponha que não há raiz de f no intervalo

 

a,b e considere três casos separadamente: (i.) a_k a: temos 0 ) ( ) )( ( ) (a g a aa₁ aa_k  f  uma contradição.

0 ) ( ) )( (b ba₁ ba_k  g 

e, daí, k é par (uma vez que g(b)0 e b a₁0, para 1ik). Por outro lado, segue de f(a)0 que

0 ) ( ) )( (a aa₁ aa_k  g 

e, daí, k é ímpar (uma vez que g(a)0 e a a₁0, para 1ik). Portanto, chegamos a uma contradição.

(iii.) a_l aba_l1, para algum 1lk: chegamos a um absurdo de modo análogo ao item anterior. (Por exemplo, _

                    0 1 0 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0           f a g a a a a a_l a a_l a a_k implica kl par.)

O Teorema do Valor Intermediário assegura que todo elemento do domínio possui uma imagem em um intervalo do contradomínio, isto é, se o domíınio é um intervalo fechado, aberto ou semiaberto, então a imagem também é respectivamente um intervalo fechado, aberto ou semiaberto no contradomínio de f . (Demonstração retirada do livro Tópicos de Matemática Elementar, vol. 6. 2ª ed. 2016 – CAMINHA)

2.7 Teorema de Weierstrass

O teorema do valor extremo foi, originalmente, provado por Bernard Bolzano, nos anos 30 do século XIX, em seu trabalho Function Theory, mas a obra permaneceu não publicada até a década de 1930. A prova de Bolzano consistiu em mostrar que em uma função contínua em um intervalo fechado é limitada, e depois mostrou que a função atingia um valor máximo e mínimo. Ambas as provas envolviam o que, hoje, é conhecido como Teorema de Bolzano-Weierstrass. O mesmo resultado foi descoberto, depois, por Weierstrass, no ano de 1860.

Teorema 2.7.1 Se f :[a,b]R é continua, então f assume máximo e mínimo em [ ba, ]. Isto é, existem x₁,x₂[a,b] tais que

] , [ , ) ( ) ( ) (x₁ f x f x₂ M x a b f m      Demonstração

Considere f contínua em

 

a,b e limitada em

 

a, . b

Definindo queA



f(x)/x

 

a,b



e que admitirá supremo e ínfimo, onde

 



f x x a b



M sup ( )/  , e mInf



f(x)/x

 

a,b



. Assim, para x

 

a,b , m f(x)M.

Mostraremos que M  f(x₂) para algum x₂

 

a,b .

Se tivéssemos f(x)M para x

 

a,b , uma função g, onde

 

a b x x f M x g , , ) ( 1 ) (    ,

Seria contínua em

 

a, , mas não limitada em b

 

a, , que é uma contradição, pois se b g

fosse limitada em

 

a, , então existiria um b k0 tal que x

 

a,b , teríamos k x f M    ) ( 1 0 E, portanto, para x

 

a,b , k M x f( ) 1

Segue que f(x)M para x

 

a,b não pode ocorrer, logo devemos ter M  f(x₂) para algum x₂

 

a,b . Com raciocínio análogo, prova-se que f(x₁)m para algum

 

a b

x₁ , .(Demonstração obtida no livro Um curso de cálculo: vol.1. 5. ed. (2007) – GUIDORIZZI)

3 A VARIAÇÃO DE UM POLINÔMIO

Como toda função polinomial é uma função contínua, o Teorema de Weierstrass nos garante que em um intervalo fechado essa função assumirá um valor máximo e um valor mínimo. Dessa forma, dado um polinômio p(X)ℝ

 

X e dado um intervalo fechado [a,b], temos que existem  e  no intervalo

 

a, tais que b

) ( ) ( ) ( p X p  p   , para todo x

 

a,b

Nesse contexto diremos que p() é o valor mínimo de p(X) e p() o seu valor máximo.

A Variação do Polinômio p(X) é definida como o maior dentre os valores p() e

) (

p .

Notação: a variação de um polinômio p(X) no intervalo

 

a, será denotada por b

 



p X a b



V ( ), , . Portanto,

 



p X a b



V ( ), , =Max



p(), p()



Observação: A variação do polinômio p(X) é ninguém menos que o valor máximo da função y= p(x) no intervalo [a, b]. De modo geral, para qualquer função f contínua no intervalo [a, b], a sua variação é definida como o valor máximo de f nesse intervalo.

Para ilustrar a definição de Variação de um Polinômio, consideremos os exemplos.

Exemplo 3.1 Considerando o polinômio _p(_X)_{ X}2_6_X12_{, onde X}

 

_{1,4 , sabemos que} o seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima, devido ao fato do coeficiente de _{X ser positivo. Logo, a função atinge o seu mínimo em} 2 ₃

2 ) 6 ( _   v X , que

Por outro lado, o valor máximo será atingido em dos extremos do intervalo. Calculando esses valores, obtemos

7 12 1 . 6 1 ) 1 ( _ 2_{  } p e _p(4)_42_6.4_12_4

Pela definição de Variação de um polinômio, segue que V



p(X),

 

1,4



7. O gráfico de p(X) a seguir mostra claramente o que acabamos de afirmar.

Figura 1

Fazendo o mesmo com o polinômio _g(_X)_2_X2_8_{X }6_{, com X}

 

_{1,4 . Aqui} temos um polinômio do 2° grau com a concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de

2

X é negativo. Logo, o polinômio possui valor máximo, que será calculado pela substituição

da abscissa do vértice no polinômio. Ou seja

 

2 2.2 8.2 6 2 2 ) 2 .( 2 8 _{  } 2_{  }    p X_v

Calculando o valor de seus extremos, obtemos

0 6 1 . 8 1 . 2 ) 1 ( _ 2 _{  } p e _p(4)_2.42_8.4_6_6

O gráfico de g(X) abaixo ilustra o que acabamos de calcular.

Figura 2

E pela definição de Variação de um polinômio, temos V



p(X),

 

1,4



 p(4) 6, por ser o maior valor dentre p(1) e p(2) .

Observação: Se tivéssemos feito o gráfico de g(X), teríamos conseguido esse resultado com maior facilidade. Vejamos:

Figura 3

3.1 Propriedades da Variação de um Polinômio

A seguir, apresentaremos algumas propriedades da Variação de um polinômio que serão importantes no decorrer desse capítulo.

i.) Se V



p(X),[a,b]



c, então X [ ba, ], vale p(X) c. ii.) V



tp(X),

 

a,b



 tV



p(X),

 

a,b



iii.) Se f :

   

c,d  a,b é uma função contínua e sobrejetiva então

 



p X a b



V



pof X

 

c d



V ( ), ,  ( ), ,

iv) Se c

 

a,b então

 



p X a b





V



p X

 

a c



V



p X

 

c b





V ( ), , max ( ), , , ( ), ,

Esclarecendo melhor a respeito das propriedades, temos:

 A propriedade i.) nos diz que o gráfico de p(X) está contido na faixa



c,c



, para

 

a b

x , . Geometricamente

Figura 4

 A propriedade ii.) nos diz que, mesmo fixando o grau do polinômio e o intervalo

 

a, , podemos obter polinômios com variações tão pequenas quanto queiramos, b bastando tomar valores suficientemente pequenos para o parâmetro t .

Para um exemplo de aplicação, tomando o polinômio _p(_X)_3_X2 _5_{X }2 _{e o} parâmetro t2, vamos calcular a variação de p(X) e 2p(X) no intervalo

 

0,2 .

O polinômio _p(_X)_3_X2_5_{X }2_{, no intervalo X[0,2], sabemos que o seu gráfico} é uma parábola com concavidade voltada para cima, devido ao fato do coeficiente de _{X ser} 2

positivo. Logo, calcularemos sua abscissa do vértice por

3 5 6 ) 5 ( _   v

X , que pertence ao intervalo dado. Portanto o valor mínimo no intervalo é

36 3 2 6 25 36 75 2 6 5 . 5 6 5 . 3 3 5 2 _{    }                     p

Por outro lado, o valor máximo será atingido em um dos extremos do intervalo. Calculando esses valores, obtemos

2 2 0 . 5 0 . 3 ) 0 ( _ 2_{  } p e _p(2)_3.22_5.2_2_4

Pela definição de Variação de um polinômio, segue que V



p(X),

 

1,4



4, onde se verifica que

 

0,2) 2. ( ( ),

 

0,2) 8 ), ( 2 ( p X  V p X  V

 A propriedade iii) permite reduzir o cálculo da variação de um polinômio ou de uma função sobre um certo intervalo ao cálculo da variação de um outro polinômio ou função sobre um outro intervalo. Para ilustrar esse fato, vamos considerar o seguinte exemplo:

Considere a função f :

   

1,4  1,2 , dada por f(x) x. Seja _p(_X)_{ X}3 2_5_. Calculando os extremos em p(X) no intervalo [1,2].

2 5 1 . 3 ) 1 ( _ 2_{ } p e _p(2)_3.22_5_7 Logo, V(p(X),

 

1,2)7

Calculando p(f(X)) e os valores dos extremos em [1,4]. p(f(X))3

 

X 2 5 5 3 )) ( (f X  X  p ,

onde p(f(1))3.152 e p(f(4))3.457 Logo, V(p(f(X)),

 

1,4)7

Portando V



p(X),

 

1,2



V



p(f(X)),

 

1,4



7 3.2 Variação de um polinômio Quadrático

Dado p₍X₎X2 X  _{, vamos determinar a variação de p(X) no intervalo}

 

a, . b

Inicialmente, observe que pela propriedade (ii) tomando t1, segue que

 



p X a b



V



p X

 

a b



V  ( ), ,  ( ), ,

Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que  0.

Para continuar, vamos tratar o caso  0. Logo, ficamos com _p(X)_X2 _. Ainda pela propriedade (ii), temos que

 



p X a b



V



q x

 

a b



V ( ), ,  ( ), , , onde     2 ) (x x q .

Portanto, basta calcularmos V



q(x),

 

a,b



. Para isso vamos considerar dois casos: 1° Caso: 0[a,b]

Nesse caso os valores máximo e mínimo de q(x) são atingidos nos extremos. Portanto, temos

 





      _{ }      2 2 _, max , ), (x a b a b q V

2° Caso: 0

 

a,b

Nesse caso o valor mínimo de q(x) em

 

a, é b

   ) 0 (

q e o valor máximo é o maior

dos números    2 a e    2

b . Daí, segue que:

 





               _, 2 _, 2 , ), (x a b Max a b q V Consequentemente



 



_

_

 

 

       b a se b p a p p b a se b p a p b a x q V , 0 , ) ( , ) ( , ) 0 ( max , 0 , ) ( , ) ( max , ), ( .

Agora, consideramos o caso geral p₍X₎X2X  _{, com  0.}

Nesse caso, considerando a função afim [ , ] 2 , 2 : a b a b f      _{ }     , definida por   2 ) (X  X  f , temos que                        2 2 ) ( 2 X X X pof                           2 4 2 2 2 _{X X} X                                                           2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 p X X X X O que resulta em            2 ) (_{X X}2 _p pof .

Logo ) ( 2 p a a pof          e ( ) 2 p b b pof          . Desse modo



 



_          _{ }      2 , 2 ), ( , ), (X a b V pof X a b p V =





           _{ }                  _{ }            2 , 2 0 , ) ( , ) ( , 2 max 2 , 2 0 , ) ( , ) ( max b a se b p a p p b a se b p a p . De outra forma

 





 

 

                       b a se b p a p p b a se b p a p b a X p V , 2 , ) ( , ) ( , 2 max , 2 , ) ( , ) ( max ) , ), ( (       . 3.3 O Problema de Chebyshev

Em 1854, Pafnuty Lvovich Chebyshev propôs o seguinte problema:

“Dentre todos os polinômios mônicos de grau n, n n _n

n X X aX a

p _{( )}  1_...

1 ,

qual deles possui a menor variação em X 

 

a,b ?”

Faremos uma abordagem do problema por meios geométricos.

Considerando X

 

a,b e p(X)



m,M



, onde m é o valor mínimo e M é máximo valor de p(X) c. Se a variação do polinômio for igual a c , teremos o gráfico do polinômio

no interior da faixa y  . Ou seja c

Figura 5

É possível obter uma função bijetiva afim f :



2,2

  

 a,b . Daí, compondo pof

temos um polinômio de mesmo grau que p e com mesma variação.

Além disso, como f é bijetiva, podemos obter p(X) a partir de pof(X). Assim, se resolvermos o problema no intervalo de



2,2



, poderemos achar a solução também em

 

a, . b

Escolhendo X



2,2



, começaremos a resolução do problema tratando dos polinômios de 1° e 2° graus, inicialmente.

Para n 1, temos o polinômio do tipo p(X) X  k, com X



2,2



e kℝ, onde

obteremos que máximo e o mínimo são atingidos nos extremos. Calculemos p(2)k2 e

2 ) 2 (  k p . Portanto,







X k, 2,2



max



k2, k2



V

Figura 6 Logo









           0 , 2 0 , 2 2 , 2 , k se k k se k k X V

Portanto, V



X  k,



2,2





2 e o mínimo é atingido quando k 0. logo, p(X) X é a solução do problema de Chebyshev para n1 no intervalo [2,2].

Agora para obtermos a solução do problema de Chebyshev no caso n1, em um intervalo arbitrário [ ba, ], consideremos a bijeção afim f :

  

a,b  2,2



dada por

a b b a X a b X f      4 2( ) ) ( .

Compondo essa função com o polinômio p(X)X , obtemos um polinômio de grau 1 cuja variação em [ ba, ] é 2, pois coincide com a variação de p(X) em [2,2]. No entanto, o polinômio pof(X) não é mônico, o que nos leva a considerar o polinômio mônico

2 ) ( ) ( . 4 ) ( 1 b a X X pof a b X p      , cuja variação em [ ba, ] é



 



2 2 . 4 , ), ( 1 a b a b b a X p V     .

Por outro lado, dado qualquer polinômio mônico de grau 1 q(X)X k, vamos mostrar que



 



. 2 , ), (X a b b a q V  

De fato, compondo q(X) com

2 4 4 ) ( 2 ) ( ) ( 1 _X b a X a b b a _X a b f         _, obtemos qof X ba X ab k 2 4 ) (

1 _{, cuja variação em}



_2,2



_{coincide com a variação}

de q(X)em

 

a, . b Daí, o polinômio        _       a b _k a b X X qof a b X q 2 . 4 ) ( . 4 ) ( 1 1 é tal que

















V



q X

 

a b



a b X qof V a b X q V ( ), 2,2 4 1( ), 2,2 4 ( ), , 1   _   _  E além disso, V



q(X),



2,2





V



X,



2,2





2. Logo,



 



. 2 , ), (X a b b a q

V   Isso prova que 

        2 ) ( 1 b a X X p é a solução do problema de Chebyshev em

 

a, . b

Para o caso em que n  2, temos o polinômio do tipo p₍X₎ X2mX k_{, com}



2,2





X . Neste primeiro momento, estudaremos os casos p₍X₎ X2k _e mX X X p_{( )} 2 _. 1° Caso: p₍X₎X2 k Verifica-se que k p p X p Max ( ) (2) (2)4 k p X p Min ( ) (0) Logo,







X k





k k



V 2 _ , _2,2 _max _4,

Fazendo os gráficos dos valores no parâmetro k de k4 e k , teremos:

Figura 7 Logo,









            2 , 4 2 , 2 , 2 , 2 k se k k se k k X V

Portanto, _V



_X2 _{ k},



_2,2





_2 _{e o mínimo é atingido para k 2.}

2° Caso: p₍X₎X2mX

Verifica-se, novamente, que o valor máximo do polinômio p depende dos valores de m . O que vamos obter









           4 , ) 2 ( 2 , ) 2 ( 2 max 2 , 2 , 2 2 _{mX m m} m X V

Construindo os gráficos dos valores nos parâmetros de m de 2.(2m) , 2.(2m) e 4 2 m , obtemos: Figura 8 Logo,









                         0 2 4 4 ), 2 ( 2 2 4 4 0 ), 2 ( 2 2 4 4 2 4 4 , 4 2 , 2 , 2 2 m se m m se m m ou m se m mX X V

Portanto, _V



_X2 _{ mX},



_2,2





_4 _{e o mínimo é atingido para m0.} 3° Caso: p₍X₎X2 mX k

, com m0ek0.

Nesse caso, ao contrário do que fizemos nos casos já considerados, vamos determinar apenas uma cota inferior para variação do polinômio. Para isso, começamos considerando a

função



2,2



2 2 , 2 2 :_ m m_  f definida por 2 ) (X X m

4 4 ) ( 2 2 k m X X pof    Desse modo, segue que





_         _{  }     2 2 , 2 2 , 4 4 ] 2 , 2 [ ), ( 2 2 k m m m X V X p V

Para estimar essa variação, vamos considerar os casos m 4 e m 4.

No primeiro desses casos, os números

2 2m

 e

2

2m possuem o mesmo sinal.

Dai, se denotarmos           2 2 , 2 2 min m m a e           2 2 , 2 2 max m m b a simetria do

gráfico de pof(X) nos permite concluir que

 

_      _            _{  }   k m m m V X k m a b X V , , 4 4 2 2 , 2 2 , 4 4 2 2 2 2

Agora, considerando a função g:



a2,b2



_

 

a,b _{definida por g(X) X ,segue} que

 





4 16 2 , , 4 4 , , 4 4 2 2 2 2 2 2 2 _  _{ }                  k m a b V X k m a b b a m X V

Agora, no caso em que m 4, temos _   _ 2 2 , 2 2 0 m m . Portanto, pela

propriedade iv, temos

                _            _{ }             _{  }   2 2 , 0 , 4 4 , 0 , 2 2 , 4 4 max 2 2 , 2 2 , 4 4 2 2 2 2 2 2 k m m m _{V X} k m m _{V X} k m m X V

Assim, por um raciocínio análogo ao que aplicamos no caso anterior, com a0, 2 2 m b   e 2 2 m b  , respectivamente, obtemos: 2 8 ) 4 ( 2 2 2 0 , 2 2 , 4 4 2 2 2 2 _  _      _{ }           _{ }   m m m m k X V , se m0. 2 8 ) 4 ( 2 2 2 0 , 2 2 , 0 , 4 4 2 2 2 2 _  _                   _   m m m m k X V , se m0.

Portanto, podemos concluir que _V(_X2_mXk,[_2,2])_2 _{com o mínimo sendo} atingido somente quando m0 e k2. Em outras palavras, _p(_X)_{ X}2 _2 _{é a solução} do problema de Chebyshev, para grau 2, no intervalo [2,2].

Para obtermos a solução do problema de Chebyshev no caso n2, em um intervalo arbitrário [ ba, ], procedemos de modo análogo ao que fizemos no caso n1. Consideremos a bijeção afim f :[a,b][2,2]dada por

a b b a X a b X f      4 2( ) ) (

Compondo essa função com o polinômio _p(_X)_{ X}2 _2_{, obtemos um polinômio de} grau 2 cuja variação em [ ba, ] é 2, pois coincide com a variação de p(X) em [2,2]. No entanto, o polinômio pof(X) não é mônico, o que nos leva a considerar o polinômio mônico

8 4 ) ( ) ( ) ( . 4 ) ( 2 2 2 1 ab b a X b a X X pof a b X p               , cuja variação em [ ba, ] é 8 ) ( 2 . 16 ) ( ]) , [ ), ( ( 2 2 1 a b a b b a X p V     .

Por outro lado, dado qualquer polinômio mônico do segundo grau k

mX X

X

q_{( )} 2  _{, vamos mostrar que}

8 ) ( ]) , [ ), ( ( 2 a b b a X q V   .

De fato, compondo q(X) com

2 4 4 ) ( 2 ) ( ) ( 1 _X b a X a b b a _X a b f         _, obtemos                2 ) ( 4 16 ) ( ) ( 2 2 1 _X b a _X b a _{a b m X q} a b

qof , cuja variação em [2,2]

coincide com a variação de q(X) em [ ba, ].

Daí, o polinômio                              2 4 ) ( 4 ) ( . 4 ) ( 2 2 1 2 1 b a q a b X m b a a b X X qof a b X q é tal que ]) , [ ), ( ( 4 ]) 2 , 2 [ ), ( ( 4 ]) 2 , 2 [ ), ( ( 2 1 2 1 V q X a b a b X qof V a b X q V                    E, além disso, V(q₁(X),[2,2])V(X,[2,2])2. Logo, 8 ) ( ]) , [ ), ( ( 2 a b b a X q

V   . Isso prova que o polinômio

8 4 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 ab b a X b a X X p      

é a solução do problema de Chebyshev, para n2, em [ ba, ].

3.4 A Solução Geral do Problema de Chebyshev

Vamos supor que tenhamos encontrado um polinômio mônico p_n(X) de grau n , com   c b a X p

V( _n( ),[ , ]) ℝ, de tal forma que sua representação gráfica sobre o intervalo [ ba, ] se encontra contida na faixa y  e contenha c (n1)pontos da fronteira dessa faixa,

distribuídos de forma alternada sobre as retas yc e yc, conforme ilustração abaixo (para n = 5).

Figura 9

A existência de um polinômio nas condições acima tem fortes implicações a respeito da variação dos polinômios de grau n no intervalo [ ba, ]. Especificamente, temos o seguinte resultado.

Teorema 3.4.1 A variação de todo polinômio mônico de grau n, diferente de p_n(X), no intervalo [ ba, ]é maior do que c.

Demonstração: Considere um polinômio mônico g(X), cuja variação em [ ba, ] seja menor ou igual a c. Verifica-se que seu gráfico também está contido na mesma faixa y  , em que c o gráfico de p_n(X) está construído (figura 10).

Figura 10

Subdividimos essa faixa do plano por segmentos verticais determinados pelos n1

juntamente com as retas yc e yc determinam n retângulos de altura 2c e cuja soma das larguras é menor ou igual a ba (veja figura 11 para n5). Em cada um desses retângulos o gráfico de p_n(X) une um par de vértices opostos. Consequentemente, em cada um desses retângulos o gráfico de g(X) intersecta o gráfico de p_n(X). O que concluímos que a equação p_n(X)g(X)0 possui n raízes distintas. Porém, como estamos trabalhando com polinômios mônicos de grau n , se p_n(X)g(X) não fosse identicamente nulo, seu grau seria no máximo n1, o que impossibilita a existência de n raízes. Portanto nesse caso, podemos concluir que p_n(X)g(X).

Figura 11

Por outro lado, se em um dado retângulo o ponto de intersecção entre os gráficos ocorrer em um vértice pertencente a dois retângulos adjacentes (veja figura 12), segue que o referido ponto é ponto de máximo ou de mínimo para ambas as funções. Em particular, nessa situação, ambos os gráficos têm tangente horizontal e a abscissa do ponto é raiz de multiplicidade pelo menos dois para a equação p_n(X)g(X)0. Desse modo, também no caso presente a contagem de raízes com as devidas multiplicidades é pelo menos n . Portanto, em qualquer caso concluímos que p_n(X)g(X), o que prova o Teorema.

Observação: A demonstração do teorema mostrou-nos que fixados o grau n e o intervalo só há um polinômio mônico de grau n com variação mínima no referido intervalo. Além disso, para encontrá-lo é suficiente construir um polinômio que em sua faixa de variação tangencie a fronteira da faixa em n1 pontos alternadamente. Encontrar um polinômio nas condições acima também nos permitirá conhecer o valor mínimo para a variação de qualquer polinômio de grau n no intervalo fixado.

A existência do polinômio p_n(X) que é solução do problema de Chebshev no intervalo [2,2] é garantida pelo seguinte resultado e sua construção é recursiva com respeito ao grau.

Lema 3.4.1 Para cada n ℕ, existe um polinômio  p_n(X) mônico de grau n, tem-se para todo



 ℝ, tal que p_n(2cos)2cosn.

Prova: Vamos provar o lema por indução completa.

Suponha que foi provado para os números (n1) _{e n . Assim existem dois polinômios}

) (X

p_n de grau n e p_n1(X) de grau n1 tais que

) cos 2 ( ] ) 1 cos[( 2 n   p_n1  e 2cosn  p_n(2cos)

Daí utilizando-se da fórmula cos[(n1)]cos[(n1)] 2cos.cosn , e multiplicando ambos os membros por 2 , teremos a seguintes identidades:

2cos[(n1)]2cos[(n1)] 2cos.2cosn ] ) 1 cos[( 2 cos . cos 2 ] ) 1 cos[( 2 n    n n  ) cos 2 ( ) cos 2 ( . cos 2 ] ) 1 cos[( 2 n    p_n  p_n1 

Dessa forma, definindo

) ( ) ( . : ) ( ₁ 1 X X p X p X p_n  _n  _n , n3

A sequência de polinômios fica determinada quando observamos que p₁(X)X e 2 ) ( 2 2 X  X  p .

Com isso, segue que p_n(X) _{é mônico pra todo}

] ) 1 cos[( 2 ) cos 2 ( 1      n p_n

A obtenção dessa fórmula recursiva para calcular o polinômio p_n(X), conclui a prova do lema.

Agora vamos verificar que os polinômios p_n(X) satisfazem as condições admitidas no início dessa seção. De fato, tomando 

      n k

x_k 2cos  , com k 0,1,,n, vemos que ] 2 , 2 [  k x e k k n x

p ( )2.(1) . Além disso, para todo x[2,2] existe [0,] tal que 

cos 2 

x . Consequentemente, p_n(X)  p_n(2cos)  2cosn 2 e portanto, para todo n , o gráfico do polinômio p_n(X) sobre o intervalo [2,2] está contido na faixa y 2 e toca alternadamente em (n1) pontos dos limites superior e inferior da faixa. Segue-se que

) (X

p_n é o polinômio desejado, aquele com a menor variação no intervalo [2,2], sendo que essa variação mínima é para todo n . Esses polinômios são chamados Polinômios de Chebyshev.

Dos resultados obtidos, e aplicando argumentos análogos aos que aplicamos nos casos

1 

n e n2 chegamos ao seguinte resultado:

Teorema 3.4.2 A variação de um polinômio mônico de grau n em um intervalo [ ba, ] é maior ou igual que n a b        4

2 . Além disso, o único polinômio mônico cuja variação atinge esse mínimo é:                   a b b a X a b p a b X p _n n ) ( 2 4 4 ) (

Corolário 3.4.1 Para qualquer polinômio mônico de grau n , existe um ponto no intervalo

] ,

[ ba , de modo que o valor absoluto do polinômio neste ponto é maior ou igual a

n a b        4 2 .

4 POLINÔMIOS DE CHEBYSHEV

Os Polinômios de Chebyshev ou Polinômios de Tchebychev receberam esse nome após matemático Pafnuty Chebyshev defini-los como uma sequência de polinômios relacionadas com a fórmula de Moivre e obtíveis por recursividade. Costuma-se denotar os polinômios de Chebychev de primeira ordem por Tn o os polinômios de Chebychev de segunda ordem

por Un. O uso da letra T para os polinômios de primeira ordem foi dado devido a uma

das transliterações de Tchebychev.

Os polinômios de Tchebychev Tn ou Un são polinômios de grau n e a sequência dos

polinômios de todos os graus formam uma sequência polinomial.

Serão apresentados neste capítulo dois tipos polinômios de Chebyshev:

T

_n e

U

_n, suas respectivas definições de recorrências e a relação existente entre

T

_n e

U

_n.

4.1 Polinômio de Chebyshev do tipo Tn

Definição 4.1.4 São Polinômios de Chebyshev do tipo T os polinômios gerados pela relação _n de recorrência de ordem 2, com as correspondentes condições iniciais.

              ( ) ( ), 2,3, , . . 2 ) ( 1 , ) ( 0 , 1 ) ( 2 1 1 0 n n para x T x T x x T n para x x T n para x T n n n  , com x ℝ. 

4.2 Cálculo dos Primeiros Termos Tn

Os primeiros termos de T são conseguidos pela a atribuição de valores a _n n .  Para n0, temos T₀(x)1  Para n1, temos T₁(x)x  Para n2, temos ( ) 2 ( ) ( ) 2 . 1 2 2 1 0 1 2 x  xT x T x  xx  x  T  Paran3, temos T(x) 2xT(x) T(x) 2x.(2x2 1) x 4x3 3x 1 2 3         Para n4, temos ( ) 2 ( ) ( ) 2 (4 3 3 ) 2 2 1 8 4 8 2 1 2 3 4 x  xT x T x  x x  x  x   x  x  T  Para n5, temos T(x) 2xT(x) T(x) 2x(8x4 8x2 1) 4x3 3x 16x5 20x3 5x 3 4 5          

Temos, então, a representação gráfica dos seis primeiros polinômios de Chebyshev, feitas no aplicativo Desmos.

T₀(x)1 T₁(x)x Figura 13 Figura 14 ( ) 2 2 1 2 x  x  T T(x) 4x3 3x 3   Figura 15 Figura 16 ( ) 8 4 8 2 1 4 x  x  x  T T(x) 16x5 20x3 5x 5    Figura 17 Figura 18

4.3 Representando o Polinômio Tn de Outra Forma

Resolvendo a Equação de Recorrência dada, vamos encontrar outra forma de representar o polinômio de Chebyshev do tipo T_n(x).

Proposição 4.3.2 Seja T o n-ésimo polinômio de Chebyshev. Então, _n



 



2 1 1 ) ( 2 2 n n n x x x x x T      

Demonstração: Provaremos por Indução Finita a sua veracidade.

i) Vamos atribuir valores 0 e 1 a n.



 



₁ 2 2 2 1 1 2 1 1 ) ( 0 0 2 0 2 0             T x x x x x n (verdade) n T x 



x x 

 

 x x 



 x x  x x   x x 2 2 2 1 1 2 1 1 ) ( 1 2 2 1 2 1 2 1 (verdade)

ii) Considerando que, por hipótese de indução para nkseja verdadeiro, mostraremos que a expressão serve pra qualquer n k 1.

Como já demonstramos que T_n12x.T_n(x)T_n1, temos



 

 

 



2 1 1 2 1 1 . 2 ) ( 1 2 1 2 2 2 1    _            _{    }  n n n n n x x x x x x x x x x T



 

 

 



2 1 1 2 1 1 . 2 ) ( 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ) 1 (         _            _{    }  k k k k k x x x x x x x x x x T





_

_{ }



_

_

    _{  }        _{  }          1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1 ( ₂ . 2 1 1 1 2 . 2 1 ) (x x x x x x x x x x x T k k k

















_                              1 1 2 . 2 1 1 1 2 . 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 ) 1 ( x x x x x x x x x x x T k k k

















_                                  1 1 2 . 2 1 1 1 2 . 2 1 ) ( _{2 2}2 1 2 2 2 2 1 2 1 ) 1 ( x x x x x x x x x x x x x x x T k k k





_

_





_.

_

_{2 1}

_

2 1 1 2 . 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 ) 1 (                 x x x x x x x x x x x T k k k



_{ }

_{ }

_{ }

_{. 1}

_

2 1 1 . 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 ) 1 (               x x x x x x x x x T k k k









2 1 1( 1) 1 2 ( 1) 1 2 1 ) 1 (             k k k x x x x T

O que prova que



 



2 1 1 2 2 n n n x x x x T       é verdadeiro para n1,n.

4.4 Algumas Propriedades do Polinômio de Chebyshev do tipo Tn

4.4.1 Paridade

Definição 4.4.5 Uma sucessão de polinômios 



 0

) ( _n

n x

M , tal que, o grau de M_n(x) é igual a n , diz-se simétrica se, e somente se:

    x M x x M n _n n( ) ( 1) ( ), ℝ

Isto quer dizer que, se o valor para n é par, teremos M_n(x)M_n(x), xℝ. E nesse caso, o polinômio chamar-se-á Polinômio Par. Caso o valor atribuído a n seja ímpar, teremos

  



x M x x

M_n( ) _n( ), ℝ, que se chamará Polinômio ímpar. Proposição 4.4.3 A sucessão de polinômios 





0

) ( _n

n x

T é simétrica.

Demonstração: Usaremos a demonstração pelo método da indução finita. Considerando os polinômios obtidos pelo processo recursivo, temos:

Para n0, T₀(x)T₀(x)1 é par, pois T₀(x)T₀(x).

Para n1, pela definição de simetria é ímpar, pois T₁(x)xT₁(x).

Para n2, T₂(x)T₂(x)2x21, pois T₂(x) x2 21 e T₂(x)2(x)212x21.

Sendo n ℕ, suponhamos que, para cada  k0e k ℕ, tenhamos T_k(x) par, se k

for par, e T_k(x) ímpar se k for ímpar, demonstraremos que T_n1(x) possui a mesma propriedade de T_n(x). Sabemos que ) ( ) ( . 2 ) ( ₁ 1 x xT x T x T_n  _n  _n

Consideraremos dois casos:

i) Se n1 for par, n será ímpar e n1 será par. Pela hipótese de indução, afirmaremos que T_n(x) é uma função ímpar e T_n1(x) é uma função par . Uma vez que x é uma função ímpar, então x.T_n(x) é uma função par, por ser produto de duas funções ímpares. O que se verifica que T_n1(x) é par, por resulta da soma de duas funções pares.

ii) Se n1 for ímpar, n será par e n1 será ímpar. Aplicando a hipótese de indução, podemos afirmar que T_n(x) é uma função par e T_n1(x) é uma função ímpar. Agora, sendo x uma função ímpar, então x.T_n(x) é uma função ímpar, por ser um produto de uma função ímpar com uma par . O que se deduz que T_n1(x) é ímpar, por ser o resultado da soma de duas funções ímpares.

O que demonstra a simetria da sucessão de polinômios



T_n(x)



_n0.

4.4.2 Raízes do Polinômio de Chebyshev do Tipo Tn