Universidade Federal da Bahia

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos

e Hiperbolicidade Uniforme

Luciana Silva Salgado

Salvador-Bahia

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Salgado, Luciana Silva.

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e Hiperbolici-dade Uniforme / Luciana Silva Salgado - Salvador : IM-UFBA, 2008. viii, 37p.

(3)

Disserta¸cão sob orienta¸cão do Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior que será apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universi-dade Federal da Bahia, como requisito par-cial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador)

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro

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Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e

Hiperbolicidade Uniforme

(5)

Agradecimentos

Ao meu amigo e orientador de mestrado Armando Castro por sua sensi-bilidade, aten¸cão, amizade e por me mostrar uma paixão pela matemática que então desconhecia, você é um grande exemplo para mim.

Aos caros professores do Instituto de Matemática da UFBA que sempre me incentivaram a continuar, todos vocês são pessoas fantásticas. Em par-ticular, Vilton Pinheiro por me mostrar a beleza matemática da Análise pela primeira vez e Enaldo Vergasta por seu carinho com todos, sua paciência e disposi¸cão em ajudar sempre.

A todos funcionários do Instituto de Matemática da UFBA que desde minha gradua¸cão fazem parte dessa história. Em particular, D. Zezé e Tânia.

Professor V´ıtor Ara´ujo, por sua presen¸ca nesta banca e por aceitar ser meu orientador de doutorado.

Aos meus colegas e amigos que sempre caminham comigo, longe ou perto, a me apoiar.

D. Neuza, minha m˜ae, por estar presente na vida de seus filhos.

Augusto Salgado, meu pai, de quem herdei o gosto pelo estudo.

Meu querido Moara por ser vocˆe comigo, quem me acalma e acende a chama, for¸ca minha, te adoro.

(6)

(7)

Resumo

(8)

Abstract

(9)

1 Introduc

¸˜

ao

A no¸cão de sistema dinâmico uniformemente hiperbólico foi proposta por Smale, e desde então, muitos dos resultados obtidos em Sistemas Dinâmicos descrevem caracter´ısticas de hiperbolicidade tanto sob o aspecto topológico quanto o da teoria da medida.

Em particular, o estudo das taxas de expansão não-uniforme e condi¸cões sobre um dado conjunto de pontos e suas rela¸cões com o comportamento uniformemente expansor é enfatizado em vários artigos recentes.

Desde Oseledets [14], sabe-se que se µ é medida invariante para uma aplica¸cão f de classeC1_{, então o n´}_umero

λ(x, v) = lim

n→+∞ 1

nlogkDf

n_(x).v

k (1)

é definido num conjunto de probabilidade total e é chamado de expoente de Lyapunov em x na dire¸cão de v.

No nosso estudo, provamos que se f é um difeomorfismo local C1 _tal que os expoentes de Lyapunov de toda medida de probabilidadef-invariante são positivos, então f é uniformemente expansora. E também uma versão deste resultado para difeomorfismo com um conjunto não-uniformemente hiperbólico.

Abaixo, apresentamos uma descri¸c˜ao sucinta dos artigos usados na dis-serta¸c˜ao.

Araújo, Alves e Saussol [3], provaram que se f é um difeomorfismo local C1 _{não-uniformemente expansor (NUE) sobre um conjunto de probabilidade} total, entãof é uniformemente expansor, usando o conceito de NUE e o teo-rema de Birkhoff para tal fim.

(10)

na se¸c˜ao 5.

(11)

2 Enunciado dos principais resultados

Defini¸cão 2.1. Seja f : M _→ M um difeomorfismo local C1 _{de uma} variedade M dotada da métrica Riemanniana que induz uma norma _k._k no espa¸co tangente e uma forma de volume dita Medida de Lebesgue.A aplica¸cão fé dita uniformemente expansora se existem contantesc >0 eσ >1 tais que:

kDf_xn(v)_k≥c.σn_kv_k,_∀x_∈M, v _∈TxM, n ≥1.

Proposi¸c˜ao 2.2. Seja f :M _→ M um difeomorfismo local C1 _{definido em}

uma variedade riemanniana compacta. Se

lim inf

n→+∞ 1

n log(k(Df

n_(x))−1

k)<0 (2)

sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f ´e uniformemente expan-sora.

Defini¸c˜ao 2.3. Para cada x_∈M ev _∈TxM, o n´umero

λ(x, v) = lim

k→+∞ 1

k logkDf

k x(v)k

´e dito expoente de Lyapunov, sempre que tal limite existir.

Teorema 2.4. Seja f :M _→ M um difeomorfismo localC1 _{numa variedade}

riemanniana compacta. Se os expoentes de Lyapunov para toda medida de probabilidade f-invariante são positivos, então f é uniformemente expansora.

Também temos uma versão destes resultados para f : M _→ M um difeomorfismo local C1 _{tendo conjuntos invariantes com alguma estrutura} não-uniformemente hiperbólica.

Lembramos aqui que se M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n e TxM o espa¸co tangente a M no ponto x, o conjunto

T M =_{(x, v), x_∈M e v _∈TxM}

(12)

Defini¸cão 2.5. Seja Λ _⊂ M um conjunto invariante de f com uma de-composi¸cão cont´ınua Df-invariante do fibrado tangente sobre Λ, TΛM = Ecs _⊕_Ecu_{. Λ é dito conjunto hiperbólico se} _f _{tem as dire¸cões de expansão}

uniforme emEcu_{e de contra¸c˜ao uniforme em}_Ecs_{, ou seja, existem constantes}

c >0 e σ >1 tais que

kDfn

x(vu)k≥c.σnkvuke kDfxn(vs)k≤c.σ−nkvsk

∀x_∈Λ, vs_∈_Ecs_{, v}u _∈_Ecu_{, n}_≥_1.

Teorema 2.6. Sejaf :M _→M um difeomorfismoC1 _e_Λ _{um conjunto}

pos-itivamente invariante para o qual o espa¸co tangente tem uma decomposi¸c˜ao cont´ınua Df-invariante TΛM = Ecs _⊕_Ecu_.Se _f _{tem todos os expoentes de}

Lyapunov na dire¸c˜ao Ecu _{positivos e todos os negativos na dire¸c˜ao} _Ecs_{, sobre}

(13)

3 Lemas Preliminares

Nesta se¸cão provamos alguns lemas que serão usados na demonstra¸cão da proposi¸cão 2.2.

Defini¸c˜ao 3.1. (Convergˆencia fraca-*) SejaX um espa¸co normado eX′

:=_{l :X _{→ R}, l ´e linear e cont´ınua_} o seu espa¸co dual. Dizemos que uma sequˆencia (ln)+∞n=1 converge fraca-* se existe l_∈X′

tal que

lim

n→+∞|ln(x)−l(x)|= 0,∀x∈X.

Sejam M um espa¸co m´etrico compacto e f : M _→ M uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

Lema 3.2. Seja _Mf o espa¸co das medidas f-invariantes, φ uma fun¸c˜ao

cont´ınua sobre M. Se R φdµ < λ,_∀µ_{∈ M}f, ent˜ao para todo x∈M, ∃ n(x)

tal que

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fix)< λ.

Prova:

Demonstrando por absurdo, suponhamos que _∃ x_∈M tal que

1 n

n−1 X

i=0

φ(fi_x)_≥_λ,_∀ _n.

Definimos uma sequˆencia de medidas de probabilidade

µn =

1 n

n−1 X

i=0

δfi_x(·), n≥1

onde cada δfi_x ´e uma medida de Dirac suportada em fix.

Seja µum ponto de acumula¸c˜ao fraco desta sequˆencia, quando n _→+_∞.

(14)

Observe que µ ´e f-invariante, isto ´e, µ(f−1_{(A)) =} _µ(A)_{: De fato, veja}

que δx(f−i(A)) =δfi_x(A).

Seja δfi₍_x)(A) = 1 ⇒ fi(x) ∈ A ⇒ x ∈ f−i(A) ⇒ δ_x(f−i(A)) = 1. Por outro lado, suponha que fi_(x) _∈_/ _A _⇒ _δ

fi₍_x₎(A) = 0 ⇒ x /∈ f−i(A) ⇒

δx(f−i(A)) = 0.

Logo,

µ= lim

nk→+∞

µnk = lim

nk→∞

1 nk

nXk−1

i=0

δfi₍_x)(·) =

= lim

nk→∞

1 nk

nXk−1

i=0

δx(f−i(·)).

Assim,

µnk(f

−1₍

·)) = 1 nk

n_Xk−1

i=0

δ(f−i(f−1(_·))) =

= 1 nk

n_Xk−1

i=0

δ(f−i(_·))

| {z }

µ_nk

+ 1 nk

δ(f−nk₍_·₎₎₋ 1

nk

δ(_·) _|{z}_−→

f raca−∗ µ.

Como φ ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos

Z

φdµ= lim

k→+∞ Z

φdµnk = lim

k→+∞ 1 nk

nXk−1

i=o

φ(fix)_≥λ.

(15)

Lema 3.3. Seja _Mf o espa¸co das probabilidades f-invariantes, seja φ uma

fun¸c˜ao cont´ınua sobre M. Se R φdµ < λ,_∀ µ _{∈ M}f, ent˜ao ∃ N tal que

∀n _≥N temos

1 n

n−1 X

i=0

φ(fix)< λ,_∀x_∈M.

Prova:

Pelo Lema 3.2, para cada x_∈M,_∃ n(x)_∈ N _e _c(x)_{< λ}_{,tais que}

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fix)< c(x).

Assim , por continuidade, para cada x_∈ M, h´a uma vizinhan¸ca Vx de x tal

que para todo y_∈Vx, temos

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fi_y)_{< c(x).}

M ´e compacto,logo existe cobertura finitaV(x1), ..., V(xp)de M por

vizin-han¸cas deste tipo. SejaNe =max_{n(x1), ..., n(xp)}ec=max{c(x1), ..., c(xp)}.

Da´ı, temos c < λ. Tome

α=maxx∈Mkφ(x)k=kφk.

Defina, a seguinte sequˆencia de aplica¸c˜oes:

N1(x) =min{n(xi);x∈Vxi, i= 1, ..., p}

e

Nk :M →N, k ≥0,

da seguinte forma

N0(x) = 0, Nk+1(x) = Nk(x) +N1(fNk(x)(x)), para x∈M.

(16)

Da´ı,

n−1 X

i=0

φ(fix) =

l−1 X

k=0

NXk+1

j=Nk

φ(fi(x))+

n

X

j=Nk+1

φ(fj(x))_≤cNl+αNe ≤cn+ (|c|+α)N .e

J´a que, temos

para c_≥0 :cNk+αNe ≤cn+αNe ≤cn+ (|c|+α)N;e

e parac <0 :cNk+αNe =cn−c(n−Nk)+αNe ≤cn+|c|Ne+αNe ≤cn+(|c|+α)N .e

Portanto, se tomarmos N = (2(_|c_|+α)Ne)/(λ₋c), temos

1 n

n−1 X

i=0

(17)

4 Prova da Proposi¸

c˜

ao 2.2

Defini¸cão 4.1. Uma aplica¸cãoA_:N_×_M _→_Gl(k,R_{) é um cociclo subaditivo} mensurável sobre f se verifica as seguintes propriedades:

(i)A_(n_{+m, x)}_≤A_{(n, f}m_{(x)) +}A_{(m, x) , para quaisquer}_{n, m}_∈N_e_x_∈_X.

(ii) A_{(n, .) :}_M _→_Gl(k,R_{) é uma fun¸cão mensurável para cada} _n_∈N_.

(iii) A_{(0, x) =}_Id,_∀_x_∈_X.

Enunciaremos, agora, o teorema ergódico subaditivo de Kingman que será usado na próxima demonstra¸cão.

Teorema 4.2. (Teorema Erg´odico Subaditivo de Kingman)

SejaA_:N_×_M _→R_{um cociclo subaditivo sobre}_f _{tal que}_max_{_0,A_(1,_·₎_}_=: A+_(1,_·₎_∈_L1_{(M, µ)}_{. Ent˜ao, para} _µ_{-quase todo ponto} _x_∈_M _{existe o limite}

A∗ _{= lim}

n→+∞

A_{(n, x)}

n .

Além disso, a fun¸cão A∗ _{está em} _L1_{(M, µ)}_{, é} _f_{-invariante e satisfaz}

Z

M

A∗_dµ_{= lim}

n→+∞ 1 n

Z

M

A_{(n, x)dµ(x).}

Defini¸c˜ao 4.3. Um conjunto boreliano A ´e dito de probabilidade total em M se,µ(A) = 1, para toda medida de probabilidade f-invariante em M.

(18)

Defini¸c˜ao 4.5. Dados µ _{∈ M}(M), F = _{φ1, ..., φn} um conjunto finito de

fun¸c˜oes cont´ınuas φj :M →R eǫ >0 arbitr´ario, definimos

V(µ, F, ǫ) :=_{η _{∈ M}(M);_| Z

φjdη−

Z

φjdµ|< ǫ,∀φj ∈F}.

A topologia contendo,para cada medida µ, a cole¸cão de todos os conjuntos V(µ, F, ǫ) como base de vizinhan¸ca em µ, com F e ǫ variáveis, é chamada Topologia fraca-* em _M(M). Esta topologia corresponde à no¸cão de con-vergência vista em 3.1

Observa¸cão 4.6. Na próxima demonstra¸cão usaremos o fato de _Mf ser

compacto, isto é devido aos teoremas de Riesz-Markov e Banach-Alaoglu e é comentado no apêndice.

Vamos, enfim, `a

Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2:

Seja _Mf um espa¸co das medidas f-invariantes, munido da topologia

fraca-*.

Definaφn(x) = logk(Dfxn)−1k, n ∈N.

Como f é um difeomorfismo local C1 _sobre _M _{temos que a aplica¸cão} φn(x) é uma fun¸cão cont´ınua sobre M.

Afirma¸c˜ao 1. φn(x) = logk(Dfxn)−1k´e um cociclo subaditivo.

Prova:

(19)

Da´ı, pelo teorema erg´odico subaditivo (teorema 4.2), temos que o limite

lim

n→+∞ 1

nφn(x) =:φ(x)e

existe para µ₋qtp x e toda medida µ f-invariante. Além disso, φeéf-invariante e integrável.

Afirma¸c˜ao 2. φn

n ´e dominada.

Prova:

De fato,

k(Dfn)−1_k=_k[Πn_j₌₀−1(Df(fj(x)))]−1_{k ≤}Πn_j₌₀−1_k(Df(fj(x)))−1_k.

Como f ´e difeomorfismo local (Df)−1 _{´e uniformemente limitada} superi-ormente, digamos por uma constante S >0. Assim,

k(Dfn)−1_{k ≤}Sn_⇒ 1

nlogk(Df

n₎−1

k ≤ 1

n logk(Df) −1

k ≤logS.

Por outro lado,Df−1 _{também é limitada inferiormente já que}

k(Dfn(x)−1)_k−1 = inf

kvk=1k(Df

n₎

·v_k= inf kvk=1k[(Π

n−1

j=0Df(fj(x)))·v]k ≤

≤ inf

kvk=1{Π

n−1

j=0k(Df(fj(x)))k · kvk} ≤ kDfkn⇒

kDf_k−n_{≤ k}(Dfn)−1(x)_{k ⇒ −}log_kDf_{k ≤} logk(Df

n_(x))−1_k

n .

Portanto, tomandor=max_{log_kDf_k,logS_} temos _kφn

n k ≤r,∀n.

Provando assim a afirma¸c˜ao 2.

Portanto, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, temos

lim

n→+∞ Z _φ

n

n dµ= Z

e

(20)

Por hip´otese,

lim inf

n→+∞ 1

n logk(Df

n

x)−1k<0

num conjunto de medida de probabilidade total. Isto implica que φ <e 0, para µ₋qtp x para qualquer medida invariante µ.

Assim, R eφdµ <0,_∀µ_{∈ M}f.

Agora provemos que_∃ L_∈N _e_{λ <}_{0 tais que}

1 L

Z

φLdµ < λ,∀µ∈ Mf :

Ora, para uma dada medidaµ_{∈ M}f, pelo teorema 4.2, temos

lim

n→+∞ Z

φn

n dµ= Z

e φdµ.

J´a que R eφdµ <0,_∃ nµ∈N tal que

R φn

ndµ <

1

2R eφdµ,∀n ≥nµ. Note que fixada µ, a aplica¸c˜ao x_7−→ φnµ

nµ ´e cont´ınua.

Para provarmos a uniformidade usaremos argumento padr˜ao de compaci-dade da esfera unit´aria na topologia fraca-* e a consequente compacicompaci-dade do subconjunto _Mf das probabilidadesf-invariantes.

(O argumento aqui usado é similar ao do Lema 3.3, só que refere-se à compacidade de _Mf no lugar da de M)

Assim, tomandoǫµ = 1₄kR eφdµk, temos que o conjunto

Vµ={µ′;k

Z _φ nµ nµ dµ₋ Z _φ nµ nµ

(21)

Da´ı,_∪Vµé uma cobertura de Mf e já que este é compacto (teoremas 7.1

e 7.2), podemos achar uma subcobertura finita, digamos V µ1, ..., V µl.

Se denotarmos nj =nµj e λ=max{−ǫµj, j = 1, ..., l}, ent˜ao, λ <0 e

∀ν_{∈ M}f, existe uma vizinhan¸ca

(V µj)∋ν,para algum j, tal que vale

1 nj

Z

φnjdν < λ.

Observe que

kDfnjk_(x)

k ≤ kΠk_t₌₀−1[Dfnjt_(fnj_)]

k ≤ ≤Πk_t₌₀−1_k[Dfnj_(fnjt_)]

k ⇒log_kDfnjk_(x)

k ≤log Πk_t₌₀−1_k[Dfnj_(fnjt_)]

k ⇒

⇒φnjk ≤

k−1 X

t=0 φnj(f

tnj_(x)),

para algumk _∈N _e_j ₌_{_{1, ..., l}_} _fixado.

Dadaνb_∈Vµj, j´a que bν ´ef-invariante,

1 knj

Z

φnj(f

knj_(x))d

b ν_≤ 1

k k−1 X t=0 1 nj Z

φnj(ftnj(x))dbν=

= 1 k k−1 X t=0 1 nj Z

φnj(x)dbν < λ⇒

Z _φ

knj

< λ.

Assim, se fizermos L=mmc_{nl}, ent˜ao _L1

R

φLdµ < λ.

Já que (_L1)φLé fun¸cão cont´ınua sobre M, pelo Lema 3.3, ∃Ne ∈Ntal que

1 n n−1 X i=0 1 LφL(f

i_(x))_{< λ,}

∀n _≥N ,e _∀x_∈M. (3)

(Isto ´e quase o que precisamos: SeL= 1, ent˜ao 1

nφn(x)≤

Pn−1

i=1 φ(fi(x))< λ _⇒φn(x)< λn,∀n ∈Ne que ´e o resultado desejado)

(Aqui ainda n˜ao vale a subaditividade deφL em rela¸c˜ao af, mas sim em

(22)

Queremos uma expressão em que apare¸ca os intermediários e não apenas os múltiplos deL, portanto usando a subaditividade, temos para todok _∈N

φkL(x)≤ k−1 X

i=0

φL(fiL(x)),

e ent˜ao, para algum 0 _≤j < L,

φkL(x)≤φj(x) + k−2 X

i=0

φL(fiL+j(x)) +φL−j(f(k−1)L+j(x)).

(Basta fazer fkL ₌ _fL−j _◦_f(k−1)L _◦_fj _{e aplicar a regra da cadeia e a}

subaditividade em φkL)

Somando emj = 0, ..., L₋1 e dividindo por L, temos

φkL(x)≤

1 L

L−1 X

j=0

[φj(x) + k−2 X

i=0

φL(fLi+j(x) +φL−j(f(k−1)L+j(x)))] =

= 1 L

L−1 X

j=0

[φj+φL−j(f(k−1)L(fj(x)))] +

1 L k−2 X i=0 L−1 X j=0

φL(fLi+j(x)).

Sejac1 >1 uma cota para

kφL−jk= sup x∈Mk

φL−j(x)k,∀0≤j ≤L,digamos,c1 = max

i=1,...,Lmaxx∈M φi(x).

Da´ı,

φ _≤

L−1 X_Xk−2

φL

(fiL+j(x))+2c _≤

L(k−1)−1 X φL

(23)

Novamente, usando a subaditividade, obtemos

φn(x)≤φkL(x) +φj(fkL(x))≤L(k−1)λ+ 2c1+c1.

Logo, φn(x)≤L(k−1)λ+ 3c1.

Como (k₋1)L < n, obtemos

1

nφn(x)≤

L(k₋1) n λ+

3 nc1 =

=h(L(k−1)) +L+j

n +

L₋j n

i

λ+3c1 n ≤

λ 2 ⇒

⇒φn ≤

nλ

2 ,∀n > N ,

onde

L(k₋1)

n −→1 e N >Netal que 3c1

n < ¯ ¯ ¯λ₈

¯ ¯ ¯,L

n < 1 8.

Assim, se tomarmos

k= max_{Ne+ 2L, 6c1

(₋λ)}, obtemos 1

nφn(x)≤ λ

2,∀x∈M, n≥k.

Sejac−1 ₌_max_{k_(Df

x)−1k, . . . ,k(Dfxk−1)−1k,1}.

Da´ı,

k(Dfx)−1k ≤c−1e

λn

2 ,∀n≥1.

Ademais,_∃c >0 e λ <0 tais que

kDf_xn(v)_{k ≥}ce−λn2 kvk,∀x∈M, v ∈T_xM, n≥1.♦

Esc´olio 1. Seja φn um cociclo subaditivo cont´ınuo em uma variedade M

compacta tal que

lim inf

n→+∞ 1

nφn<0,∀n.

(24)

5 Provas dos Teoremas

Apresentamos agora o enunciado do importante

Teorema 5.1. (Teorema de Oseledets - vers˜ao n˜ao invert´ıvel)

Seja A _: N_×_M _→ _Gl(n,R₎ _{um cociclo sobre uma transforma¸c˜ao}

men-sur´avelf :M _→ M com log+_k_A_(1,_·₎_k_{, onde}_log+ ₌_max_{_{0, log}_}_{, integr´avel}

em rela¸c˜ao a uma medida f-invariante µ em M. Para µ₋qtp x _∈ M ex-iste um inteiro positivo t(x) _≤ n, n´umeros λ1(x) < . . . < λt(x)(x) e espa¸cos

lineares _{0_}=F0(x)_⊂F1(x)_⊂. . ._⊂Ft(x)(x) =Rn tais que:

1) Se F _⊂Fi(x)´e um subespa¸co linear com F ∩Fi−1(x) = 0 ent˜ao

lim

n→+∞ 1

nlog infkA(n, x)vk= limn→+∞log supk

A_{(n, x)v}_k₌_λ_i_(x),

onde o ´ınfimo e o supremo s˜ao tomados sobre todos os vetores v _∈ F

tais que _kv_k= 1;

2)

lim

n→+∞ 1

n log|detA(n, x)|=

t(x) X

i=1

(dimFi(x) +dimFi−1(x))λi(x).

(25)

Prova do Teorema 2.4

Pelo Teorema 5.1 , existe um conjunto B _⊂ M tal que µ(B) = 1,_∀µ _∈

Mf, com as propriedades:

(1)Existe uma fun¸cão mensurável s:B _→Z∗ _com _s_◦_f ₌_s. (2)Se x_∈B, existem números reaisλ1(x)< ... < λs(x)(x).

(3)Se x_∈B, existem subespa¸cos lineares 0 =F0(x)_⊂..._⊂Fs(x)(x) =TxM.

(4)Se x_∈B e 0 < i_≤s(x), ent˜ao

lim

n→∞ 1

nlogkDf

n

x(v)k=λi(x),∀v ∈Fi(x)\Fi−1(x).

Por hip´otese, sex_∈B, ent˜ao λi(x)>0, para i= 1, ..., s(x).

Da´ı, para todo x_∈B,_∃N(x) tal que

kDfxn(v)k ≥e(nλ1(x))/2kvk,

para n _≥N(x) e v _∈TxM.

Assim,

k(Df_xn)−1_k< e(−nλ1(x))/2_,

para n _≥N(x) e

lim inf

n→∞ 1

nlogk(Df

n

x)−1k ≤ −

λ1(x) 2 <0.

Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.2,f ´e uniformemente expansora._♦

Vejamos a diferen¸ca entre esta demonstra¸c˜ao e a apresentada em [3].

Defini¸cão 5.2. Um difeomorfismo local C1 _f _: _M _→ _M _{é uma aplica¸cão} não-uniformemente expansora (NUE) em x_∈M se

lim inf n→+∞ 1 n n−1 X j=0

log_k(Df_fj x)

−1

k<0.

(26)

Na hipótese dos lemas em [3] temos NUE num conjunto de probabili-dade total enquanto em [1] o autor percebeu que podia usar R φdµ < λ. Mesmo de maneira impl´ıcita, Araújo-Alves-Saussol passaram por esta inte-gral, chegando a ela pela condi¸cão de NUE, que é mais forte que a de todos os expoentes de Lyapunov positivos.

Observe que esses lemas levam à tese do teorema principal em ambos os artigos. Entretanto, no caso de [3] os lemas são utilizados diretamente para obter o teorema e em [1] o autor ainda teve de passar pela proposi¸cão 2.2.

O que Cao fez a mais foi supor que os expoentes de Lyapunov são todos positivos, chegando à hipótese 1

L

R

φLdµ < λ, pela aplica¸c˜ao do teorema

erg´odico de Kingman, depois ajustou as contas para poder aplicar os lemas e chegar ao resultado desejado.

Abaixo o enunciado do teorema apresentado no artigo [3]:

Teorema 5.3. Seja f :M _→ M um difeomorfismo local C1 _{definido numa}

variedade Riemanniana compacta. Se f é não-uniformemente expansora sobre um conjunto de probabilidade total, então f é uniformemente expansora.

Os lemas usados na demonstra¸c˜ao deste teorema foram os seguintes:

Lema 5.4. Se

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

φ(fj(x))<0

vale num conjunto de probabilidade total, então é válido para todo x_∈X.

Lema 5.5. Existe c0 > 0 tal que

PmNe−1

(27)

6 Um crit´

erio de hiperbolicidade para sistemas

conjugados a expansores

Neste cap´ıtulo apresentamos como a Proposi¸c˜ao 2.2 pode ser aplicada a outros resultados.

Sejag :M _→M um difeomorfismo localC2_{, M variedade riemanniana.}

Defini¸cão 6.1. Seja z _∈ M um ponto regular. Dizemos que k _∈ N _{é um} tempo ξ-hiperbólico para z se, parai= 1, ..., k, temos

Πi_j₌₁_k[Dg_|(gk−j₍_z₎₎]−1k ≤ξi.

O seguinte lema ser´a muito ´util no que segue:

Lema 6.2. (Lema de Pliss)

Dadosλ >0, ǫ >0e H >0, existem N0 =N0(λ, ǫ, H) eδ =δ(λ, ǫ, H)> 0 tais que, se a1, a2, . . . , an s˜ao n´umeros reais, satisfazendo

N

X

n=1

an≤N λ,

N _≥ N0,_|an| ≤ H para n = 1, . . . , N, ent˜ao existe l ≥ N δ,1 ≤ n1 ≤

. . ._≤nl ≤N tal que

n

X

i=nj+1

ai ≤(n−nj)(λ+ǫ),

(28)

Uma propriedade interessante de tempos hiperbólicos para difeomorfis-mos locais é que, sob condi¸cões de proximidade entre segmentos de órbitas, um tempo ξ₋hiperbólico para um ponto x _∈ M será também tempo √ ξ-hiperbólico para os pontos de uma vizinhan¸ca de x:

Lema 6.3. (Vers˜ao simplificada da Proposi¸c˜ao 2.23em [5])

Seja g : M _→ M um difeomorfismo local numa variedade riemanni-ana compacta M. Suponha que k seja um tempo ξ₋hiperbólico para x _∈ M.Então, existe bδ > 0 tal que, para todo y _∈ M cujo k-segmento de órbita dista a menos de bδ do de x, temos k como tempo √ξ₋hiperbólico para y.

Prova:

De fato, seja bδ >0 tal que

k[Dg(y)]−1_{k ≤} _√1

ξ · k[Dg(z)] −1

k,_∀y, z _∈M,tais que d(y, z)<bδ.

Considere agoraxj =gj(x) e yj =gj(y) com d(xj, yj)<bδ,e j = 0, . . . , k.

Da´ı, para l < k, temos

Πl

j=1k[Dg(yk−j)]−1k ≤Πlj=1 1

√

ξk[Dg(xk−j)]

−1_{k ≤}³_√1 ξ

´l

·(ς)l _{= (}√_ς₎l_,

implicando que k ´e tempo ξ-hiperb´olico para y._♦

Sejag :M _→M um difeomorfismo local C2 _{topologicamente conjugado} a um endomorfismo C1 _expansor.

(29)

con-Lema 6.5. Suponha que g é topologicamente conjugada a uma aplica¸cão expansora f. Seja x um ponto regular recorrente de g. Se Per(g) é NUE, então todos os expoentes de Lyapunov de x são positivos.

Prova:

Seja δ > 0 tal que dada qualquer bola B(z, δ) os ramos inversos corre-spondentes de g s˜ao difeomorfismos bem definidos. Se ξ=eη_{, η <}₀ _{como na}

defini¸c˜ao de NUE, ξ < ξ′ _< ₁ _{fixado e seja} _{ǫ >} ₀ _{tal que} ₍√_ξ′₎−1 ₋_{ǫ >} ₁_.

Desde que x seja um ponto regular _∃ n0 _∈N _{tal que}

(ξ1₋ǫ)n._kv1_k<_kDgn(x).v1_k<(ξ1+ǫ)n._kv1_k,_∀v1 _∈E1;_∀n_≥n0.

Onde os E1 ´e o autoespa¸co de Lyapunov associado a log(ξ1) o menor expoente de Lyapunov.

Agora,pelo lema 6.2, existen1 > n0 tal que para qualquer ponto y en > n1

onde

Πnj=0k[Dg(gj(y))]−1k−1 ≥ξ−n,

temos, ent˜ao que y tem pelo menos n0 tempos hiperb´olicos menores que n.

Fixemos 0< δ′ _≤_δ _{tal que}

k[Dg−1(y)]_{k ≤} _√1 ξ′kDg

−1_(z)

k,_∀z, y;d(z, y)< δ′,

onde g−1 _{designa qualquer ramo inverso de} _g_.

Escolhemos 0< δ′′ _{< δ}′ _{tal que se} _g−n _{é uma composi¸cão arbitrária de} _n

ramos inversos de g, ent˜ao diam(g−n_(B_{(z, δ}′′₎₎₎ _{< δ}′_,_∀_z _∈_M,_∀_n _∈ _N_{. Isto}

ocorre pois é válido para o sistema expansor f que é conjugado a g.

Comox´e um ponto recorrente, escolhemos n2 _≥n1 um tempo de retorno tal que uma vizinhan¸ca Vx ⊂B(x, δ′′) de x ´e dada por gn2 sobre B(x, δ′′).

Portanto, escrevendo G := (gn2|

Vx)

−1_{, G} _:_B_{(x, δ}′′₎_→ _V

x ⊂B(x, δ′′) tem

(30)

Por hipótese, p é um ponto periódico hiperbólico para o qual temos

Πn2−1

j=0 k[Dg(gj(p))]−1k−1 ≥ kξ−n2k ⇒ kDG(p)k ≤ kξn2k.

Por nossa escolha den1 e pela equa¸cão acima, existe um tempoξ′_{-hiperbólico} n0 < n′ _{< n2} _para _p_{. Devido ao lema 6.3,} _n′ _{é também} √_ξ′_{-hiperbólico para} x. Em particular, isto implica que

kDgn′(x).v_{k ≥}pξ′−n′_k_v_k_,_∀_v _∈_T

pM.

Portanto, ξ1 _≥pξ′−1₋_{ǫ >}_1.

Isto significa que o menor dos expoentes de Lyapunov de x ´e maior que

0, e portanto todos os outros o s˜ao._♦

Defini¸c˜ao 6.6. (Sombreamento por Pontos Peri´odicos)

Seja f : M _→ M uma aplica¸cão e Λb _⊂ M um conjunto compacto f-invariante.Dizemos que (f,Λ) tem a propriedade de sombreamento por pon-b tos periódicos se dados ǫ > 0, α > 0 tais que para todo segmento de órbita

{x, . . . , fn_(x)_{} ⊂} _{Λ com}_b _d(fn_{(x), x)} _{< α, existe um ponto peri´odico} _p _∈ _M

com per´ıodo n tal que d(fj_{(p), f}j_(x))_{< ǫ,}_∀₀_≤_j _≤_n.

Neste caso, dizemos que a ´orbita de p ǫ-sombreia o segmento de ´orbita

{x, . . . , fn_(x)_}_.

(31)

Teorema 6.7. Seja g : M _→ M um difeomorfismo local C2 _{sobre uma}

variedade compacta M. Suponha que existe um conjunto compacto invari-ante Λ _⊂ M tal que (g,Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos periódicos.Se g é NUE sobre o conjunto de pontos periódicos Per(g), então g é uma aplica¸cão expansora sobre Λ.

Notamos que o conjunto de pontos recorrentes regulares de Oseledets é um conjunto de probabilidade total, devido ao Teorema de Oseledets (teorema 5.1) e ao Teorema de Recorrência de Poincaré (teorema 7.3). Isto significa que este conjunto tem medida igual a 1 para qualquer medidag-invariante, e o lema 6.3 implica que todos os expoentes de Lyapunov são positivos. Portanto, nosso teorema 6.7 é obtido pela aplica¸cão do lema 6.3 para a proposi¸cão 2.2._♦

Como finaliza¸cão, faremos um breve comentário sobre o resultado análogo ao que provamos aqui, mas no contexto de difeomorfismos, feito também em [4].

Defini¸cão 6.8. (Conjunto Não-uniformemente Hiperbólico - NUH)

Seja g : M _→ M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M. Dizemos que um conjunto invariante S _⊂M é um conjunto Não Uniforme-mente Hiperbólico (NUH) se

(1) _∃TSM =Ecs⊕Ecu decomposi¸c˜ao Dg-invariante;

(2) Existem η >0 e uma m´etrica Riemanniana adaptada para a qual qual-quer ponto p_∈S satisfaz

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

log_kDg(gj(p))_|Ecs₍_gj₍_p₎₎k ≤η,

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

(32)

Defini¸c˜ao 6.9. (Decomposi¸c˜ao Dominada)

Sejaf : M _→M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M e seja X _⊂M um subconjunto invariante (isto é,f(X) =X). Diz-se que uma decomposi¸cão TxM =E⊕Eb é dominada se e somente se

(i) A decomposi¸c˜ao ´eDf-invariante, ou seja,Df(E(x)) =E(f(x)) eDf(Eb(x)) = b

E(f(x));

(ii) _∃0< λ <1 e algum l_∈N _{tais que,} _∀_x_∈_X

sup

v∈E,kvk=1{k

Dfl(x)_·v_{k} ·}( inf

v∈E,bkvk=1{k

Dfl(x)_·v_k})−1 _≤λ.

Os autores usaram estas defini¸cões para mostrar que se g é topologi-camente conjugada a uma aplica¸cão hiperbólica f, então os expoentes de Lyapunov de todo ponto recorrente regular de g são não-nulos no seguinte lema:

Lema 6.10. Suponha que g é topologicamente conjugado a uma aplica¸cão hiperbólica f. Seja x um ponto recorrente regular de g. Suponha que Per(g) é NUH e que a decomposi¸cão TP er(g)M =Ecs⊕Ecué decomposi¸cão dominada.

Então, os expoentes de Lyapunov de x são não nulos.

e o aplicaram para demonstrar o teorema abaixo:

Teorema 6.11. Seja f :M _→M um difeomorfismoC1 _{sobre uma variedade}

Riemanniana compacta, com um conjunto positivamente invariante Λ para o

(33)

7 Apˆ

endice

Teorema 7.1. (Banach-Alaoglu)

Seja X um espa¸co normado.Ent˜ao, a bola fechada unit´aria do dual X∗

de X ´e compacta na topologia fraca-*.

Teorema 7.2. (Riesz-Markov)

Seja M um espa¸co m´etrico compacto e C0_(M₎ _{o espa¸co das fun¸c˜oes}

cont´ınuas de M em _R. Ent˜ao, o dual de C0_(M₎ _{´e o espa¸co das medidas}

borelianas finitas com sinal sobre M.

Teorema 7.3. (Recorrência de Poincaré - Versão Probabil´ıstica)

Seja f : X _→ X, X um espa¸co de probabilidade. Ent˜ao, µ₋qtp x _∈ X

´e recorrente.

7.1 Compacidade do espa¸

co

_M

f

Pelo teorema de Banach-Alaoglu, a bola fechada unitária _B∗_[0,_{1] do} espa¸co dual de um espa¸co normado é compacta na topologia fraca-*. Ora, o teorema de Riesz-Markov dá-nos que o espa¸co _M(M) das medidas de prob-abilidade finitas com sinal de um dado espa¸co M é isomorfo (C0_(M₎₎∗_.

Veja que _Mf na prova da proposi¸c˜ao 2.2 ´e um subconjunto fechado de

B∗

M[0,1]:

Com efeito, sejaµn∈ Mf uma sequˆencia convergindo na topologia

fraca-* para uma certa medida µ. Para vermos que µ _{∈ M}f, basta mostrarmos

que para toda φ cont´ınua fixada vale Z

M

φ_◦f dµ= Z

M

(34)

De fato, temos R

Mφ◦f dµn |{z}−→ f raca−∗

R

Mφ◦f dµ e

R

M φdµn |{z}−→ f raca−∗

R

Mφdµ.

Como o limite ´e ´unico e R

Mφ◦f dµn |{z}= µn∈Mf

R

Mφdµn ⇒

R

Mφ◦f dµ =

R

Mφdµ

(35)

Referˆ

encias

[1] Cao Y., 2003, Non-zero Lyapunov exponents and uniform hyperbolicity, Nonlinearity 16 1473-1479.

[2] Alves J.F., Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyper-bolic systems with mostly expanding central direction, Invent Math 140 (2000), 351-398. MR 2001j:37063b.

[3] Alves J, Araujo V and Saussol B, 2003, On the uniform hyperbolicity of some nonuniformly hyperbolic systems, Proc. Am. Math. Soc. 131 1303-9.

[4] Castro A., Oliveira K., Pinheiro V., 2006, Shadowing by non-uniformly hyperbolic periodic points and uniform hyperbolic, Nonlinearity 20 75-85.

[5] Castro A., 2004 Fast mixing for attractors with mostly contracting cen-tral direction, Ergod. Theory Dyn. Syst. 24 17-44.

[6] Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyperbolic systems with mostly contracting central direction, Israel J. Math. 115 (2000), 157-193. MR 2001j:37063a.

[7] Katok A., Hasselblat B., Modern Theory of Dynamical Systems 2006, 8th Ed.

[8] Ma˜n´e R., Hyperbolicity, sinks and measure in one-dimensional dynam-ics, Comm. in Math. Phys. 100 (1985) 495-524. Erratum, Comm. in Math. Phys. 112 (1987) 721-724. MR 87f:58131; MR 88i:58139. 2001.

[9] Ma˜n´e R., Ergodic Theory and Differentiable Dynamics, Springer-Verlag, 1987.

[10] Pliss V., On a conjecture due to Smale, Diff. Uravnenija 8 (1972), 262-268. MR 45:8957

[11] Ruelle D., 1989, the thermodynamical formalism for expanding maps, Comm. Math. Phys. 125 239-62.

(36)

[13] Ma˜n´e R, 1988, A proof of the C1 _{stability conjecture, Publ. Math.} I.H.E.S. 66 161-210.

(37)

Index

Abstract, viii Agradecimentos, v Apˆendice, 25

Enunciado dos principais resulta-dos, 3

Introdu¸c˜ao, 1

Lemas preliminares, 5

Prova da Proposi¸c˜ao 2.2, 9

Provas dos Teoremas 2.4 e 2.6, 16

Resumo, vii