Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761
Material didáctico desarrollado en matlab para la enseñanza del análisis
matemático II
Teaching material developed in matlab for mathematical analysis II
DOI:10.34117/bjdv5n6-178
Recebimento dos originais: 21/04/2019 Aceitação para publicação: 15/05/2019
Humberto Oscar Riccomi
Título de Grado: Ingeniero Electricista – Título otorgado por la Universidad Nacional de Rosario
Título de Posgrado: Especialista en Docencia Universitaria - Título Otorgado por la Universidad Tecnológica Nacional
Institución Universitaria donde ejerce: Facultad Regional San Nicolás Universidad Tecnológica Nacional (Profesor Asociado Ordinario de Análisis Matemático II)
Dirección: Colon 332 – B2900LWH – San Nicolás – Buenos Aires - Argentina E-mail: hriccomi@peeirr.com.ar
Lucia C. Sacco
Título de Grado: Licenciada en Ciencias Aplicadas – Título otorgado por la Universidad Tecnológica Nacional
Título de Posgrado: Magister en Docencia Universitaria - Título Otorgado por la Universidad Tecnológica Nacional
Institución Universitaria donde ejerce: Facultad Regional San Nicolás Universidad Tecnológica Nacional (Profesor Adjunto de Análisis Matemático II)
Dirección: Colon 332 – B2900LWH – San Nicolás – Buenos Aires - Argentina E-mail: lcsacco@gmail.com
RESUMEN
Análisis Matemático II es una asignatura del Ciclo Básico de las carreras de Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás, Universidad Tecnológica Nacional, Buenos Aires, Argentina. Abarca un área importante del conocimiento necesario en la formación del Ingeniero Tecnológico. Como resultado del trabajo de investigación realizado por docentes y becarios de la cátedra desde 2016, este artículo muestra el material didáctico desarrollado en Matlab, con la intención de que éste permita una aproximación intuitiva a todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial en el plano complejo.
Palabras claves: Análisis Matemático, Recursos didácticos, Matlab ABSTRACT
Mathematical Analysis II is a course included on the Elementary Curriculum of all engineering degree courses at Facultad Regional San Nicolás, Universidad Tecnológica Nacional, Buenos Aires, Argentina. It encompasses an important area of knowledge which is necessary for the education of Technology Engineers. As the result of the research work
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 carried out by teachers and scholars of this course since 2016, this paper presents teaching material developed in Matlab in order for it to provide an intuitive approach to every possible solution to the differential equation in the complex plane.
Key words: Mathematical Analysis, teaching resources, Matlab. 1 INTRODUCCIÓN
Análisis Matemático II (AMII) es una asignatura anual de segundo año de la carrera de Ingeniería de todas las especialidades de la Facultad Regional San Nicolás, Universidad Tecnológica Nacional (FRSN-UTN) Argentina. En su planificación se formulan intenciones educativas que contemplan las estrategias de enseñanza a utilizar por los docentes de la cátedra, como así también los medios y recursos didácticos propuestos en función de tres líneas de trabajo, cada una vinculada a lo didáctico, lo curricular y al uso de las TIC. Estas intenciones educativas giran en torno al desarrollo de actitudes y desempeños que se pretenden lograr en los estudiantes, como así también de determinados aspectos del pensamiento crítico y la autogestión de los aprendizajes. (Riccomi, 2015)
Con el fin de vincular los temas desarrollados en AMII con conceptos que se apliquen en el ciclo superior de las carreras de Ingeniería, los docentes proponen como metodología de enseñanza el aprendizaje basado en problemas (ABP). La proposición y resolución de problemas constituye una línea de investigación y de desarrollo didáctico cuyas implicancias en el aprendizaje de cualquier disciplina son relevantes, en especial en aquellas que requiere la Ingeniería. Esta metodología activa de enseñanza ha requerido la reformulación de problemas extraídos de bibliografía específica, y la formulación de problemas propios, que permitieran el desarrollo de los conceptos con su correspondiente adecuación a cada una de las especialidades y al año en que se desarrolla la materia. Con la intención de brindar a los estudiantes recursos que faciliten la resolución de estos problemas, desde 2016 se ha iniciado el desarrollo de materiales didácticos que permitan al estudiante la comprensión, tratamiento e interpretación de modelos y soluciones obtenidas. Se considera que recursos tecnológicos apropiados, con un uso pertinente y significativo, fortalecen y acompañan la resolución de los problemas por parte de los estudiantes.
2 MARCO TEÓRICO
Las funciones más habituales de los ingenieros son el diseño, el desarrollo, la producción, la evaluación, el control, la construcción y la operación de proyectos de solución de problemas. Cada una de estas funciones requiere de procesos de precisión, investigación,
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 establecimiento de criterios, consideración de alternativas, análisis y resolución de dichos problemas, comunicación, toma de decisiones y otras. La intención del docente universitario es preparar al estudiante para que logre ser un ingeniero competente.
Cuando se habla de competencias se ha acordado en la cátedra considerar la definición dada por el Consejo Federal de Decanos de Ingeniería de la República Argentina (CONFEDI, 2014):
Competencia es la capacidad de articular eficazmente un conjunto de esquemas (estructuras mentales) y valores, permitiendo movilizar (poner a disposición) distintos saberes, en un determinado contexto con el fin de resolver situaciones profesionales.
Esta definición nos señala que las competencias aluden a capacidades complejas e integradas; están relacionadas con saberes (teórico, contextual y procedimental); se vinculan con el saber hacer (formalizado, empírico, relacional); están referidas al contexto profesional (entendido como la situación en que el profesional debe desempeñarse o ejercer); están referidas al desempeño profesional que se pretende (entendido como la manera en que actúa un profesional técnicamente competente y socialmente comprometido); permiten incorporar la ética y los valores. (p. 4)
El accionar de cada docente de la cátedra se direcciona a partir del aporte complementario de tres paradigmas: el cognitivo (procesos internos de los estudiantes), el ecológico – contextual (visión de conjunto) y el emergente de las competencias profesionales.
El paradigma cognitivo proporciona herramientas para el análisis de los procesos de aprendizaje del estudiante, como también habilidades, estrategias de trabajo y modelos conceptuales. El rol del docente es crítico-reflexivo, centrando su trabajo en elaborar y constituir experiencias didácticas que logren promover el aprendizaje activo en los estudiantes.
El paradigma ecológico-contextual brinda las herramientas necesarias para saber cuáles son las necesidades del entorno y señala la interacción entre los sujetos involucrados y ambiente; considera el aula como un contexto influido por otros contextos en el cual se promueve el trabajo grupal y la reciprocidad de experiencias. (ANUIES, 2004) También el docente es un técnico- crítico, un mediador del aprendizaje. (Díaz, 2002)
El paradigma emergente de las competencias profesionales centra su atención en el aprendizaje, estableciendo nuevos roles y compromisos para los estudiantes, participantes activos y constructores de su propio aprendizaje. Los docentes ocupan el rol de asesores y
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 facilitadores de este proceso, lo que genera un cambio en la interacción con sus estudiantes, la forma de planificar y diseñar el contexto de aprendizaje. (Perrenoud, 2002)
Una propuesta de enseñanza que considere como marco de referencia lo antes mencionado, permitirá centrar la atención en la cognición del estudiante, el entorno con el que interactúa y los aprendizajes significativos. También permitirá dar respuesta a qué enseñar, cómo enseñar, cuándo y cómo evaluar, atendiendo el desarrollo de actitudes, hábitos y destrezas que necesitan los estudiantes para formarse como ingenieros. (Ibáñez, 1992)
3 LAS INTENCIONES DIDÁCTICAS
La cátedra de AMII formula intenciones educativas en función de los propósitos generales de la UTN (2011) referidos a promover y desarrollar estudios e investigaciones y formar recursos humanos del más alto nivel académico, de manera de contribuir a una mejor calidad de vida de la sociedad y desarrollo nacional y la prestación de asistencia científica y tecnológica a entidades públicas y privadas para la promoción, fomento, organización y dirección de la producción. Estas intenciones educativas contemplan competencias básicas y transversales, estrategias de enseñanza, medios y recursos didácticos en función de tres líneas de trabajo, cada una vinculada a lo didáctico, lo curricular y al uso de las TIC (Tabla 1). Competencias Intenciones Educativas Estrategias de enseñanza Medios y recursos Competencias básicas: Precisión y claridad en el lenguaje. Creatividad. Análisis e interpretación de problemas reales. Modelización. Manejo de las Equilibrar el desarrollo teórico riguroso con las aplicaciones, consi-derando que el alumno, en el ciclo de especialidad, deberá utilizar la Matemática en forma instrumental. Poner énfasis en la importancia de la En relación a lo DIDÁCTICO: La organización de unidades didácticas. La integración de la teoría y la práctica. Propues tas de actividades de comprensión que En relación a lo DIDÁCTICO: Diseño y elaboración de un cuadernillo de trabajo entre docentes y estudiantes que permita el trabajo dentro y fuera del aula.
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 nuevas tecnologías de la información Competencias transversales: Comunicación Trabajo en equipo Autonomía en el aprendizaje, Capacidad de aprender autogestión en el manejo de material bibliográfico como forma de afianzar y profundizar los contenidos abordados en clase. permitan la resolución de problemas significativos para su carrera: explicación, ejemplificación, aplicación, justificación, comparación y contraste, contextualización, generalización entre otras, a partir de un material diseñado por la cátedra. Confección, por parte de los docentes de la cátedra, de una memoria didáctica. Utilizar situaciones concretas para mostrar la importancia de los temas que se desarrollan en Análisis Matemático II y sus aplicaciones en ingeniería. Priorizar la reflexión y el razonamiento frente al entrenamiento y a la memorización. Fomentar la concientización sobre la necesidad de una formación matemática En relación a lo CURRICULAR a través de: La formulación de problemas propios de la especialidad que lleven al estudiante a: - La necesidad de plantear un modelo matemático para representar un problema concreto. - Conoce r aplicaciones de los conceptos trabajados En relación a lo CURRICULAR a través de: Trabajos de investigación propuestos en torno a problemas formulados por la cátedra, vinculados con las especialidades. Trabajos Prácticos.
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 sólida que le permita a
los alumnos abordar con éxito, las materias
del ciclo de
especialidad.
a otras disciplinas del nivel o del ciclo superior. Utilizar las nuevas herramientas que el avance de la computación y los programas específicos ponen a nuestro
alcance, para favorecer
el proceso de
aprendizaje.
Favorecer la investigación,
iniciativa y trabajo, tanto individual como en equipos.
En relación al USO DE LAS TIC a través de propuestas que permitan: El análisis de soluciones de ejercicios y problemas trabajados. La comunicación sincrónica y a-sincrónica, para favorecer el proceso de aprendizaje. En relación al USO DE LAS TIC a través de: Uso de software libre (GeoGebra, Matlab entre otros). Uso del Campus Virtual Global de la UTN, Facultad Regional San Nicolás.
Tabla 1: Competencias básicas y transversales, intenciones educativas, estrategias y recursos didácticos
Tabla de elaboración propia
4 EL CAMINO PREVIO
4.1. PROBLEMAS PROPIOS FORMULADOS POR LA CÁTEDRA DE AMII
De acuerdo al Diseño Curricular de la Universidad Tecnológica Nacional (UTN), en algunas materias, como Sistemas de Control de 5to año de Ingeniería Electrónica, Control Automático de 4to año de Ingeniería Eléctrica y Electrónica y Sistemas de Control de 4to año de Ingeniería Mecánica, se estudian los llamados "sistemas de segundo orden" y su "respuesta temporal", dando lugar a la clasificación de los distintos "tipos de respuesta" de acuerdo al tipo de raíces que se obtenga de la ecuación característica. Surgen así las clasificaciones de sistemas subamortiguados, críticos y sobreamortiguados.
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 Los problemas propios formulados en base a los cuales se ha realizado el diseño y desarrollo de los materiales didácticos resultan como aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Los problemas tratados son el circuito RLC en serie, alimentado con una fuente de corriente continua y su equivalente del sistema de una masa vinculada a una pared a través de un resorte con un desplazamiento sobre una superficie horizontal con rozamiento al que se aplica una fuerza constante.
Problema N°1 (Circuito Eléctrico)
El circuito eléctrico contiene una fuerza electromotriz (por lo general una batería o un generador) que produce un voltaje de e(t) (Volt, V), un resistor con una resistencia de R (Ohm Ω), un inductor con una inductancia de L (Henry, H) y un capacitor de C Faradios, en serie. Teniendo en cuenta las siguientes leyes físicas:
- La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial que cae sobre una resistencia es proporcional a la intensidad de corriente (la constante de proporcionalidad es el valor óhmico de la resistencia R).
- La ley de Faraday establece que la caída de la tensión en una inductancia es proporcional a la rapidez de variación de la intensidad de corriente que la circula (la constante de proporcionalidad es el valor del coeficiente de autoinducción de la inductancia L).
- La carga en un capacitor es directamente proporcional a la tensión aplicada al capacitor (la constante de proporcionalidad es el valor de la capacidad C).
- La segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de todas las caídas de tensión que se producen en un circuito serie es igual al voltaje provisto por la fuente de alimentación.
- La intensidad de corriente eléctrica se define como la variación de la carga con respecto al tiempo
a) Explicitar la ley de Ohm, la ley de Faraday, la carga en función de la tensión aplicada y la segunda ley de Kirchhoff.
b) Encontrar la relación entre la corriente y la carga y el modelo matemático en el cual se pueda calcular la carga y la corriente en función del tiempo.
c) Analizar qué tipo de solución aporta la resolución de la ecuación homogénea asociada si R2 L/C;
C L
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 d) Si se considera L1mH,C10F , 𝑒 (𝑡) = 10𝑉 y R variable (potenciómetro), obtener las soluciones particulares de la carga para cuando la carga inicial y la corriente son cero si:
d-1) 0R20 d-2) 𝑅 = 20𝛺 = 𝑅𝑐 d-3) R20 e) Graficar la función obtenida para distintos valores de R. Obtener conclusiones.
Problema N°2 (Resorte)
Consideremos un objeto de masa M, fijado a un extremo de un resorte indeformable, de constante de elasticidad k, cuyo otro extremo está fijado a una pared, que se desliza horizontalmente sobre el piso con un rozamiento B. La masa está inicialmente en reposo y el resorte no está estirado.
a) Encontrar un modelo matemático que describa la posición de la masa M si se le aplica una fuerza F horizontal que estire el resorte.
b) Analizar qué tipo de solución aporta la resolución de la ecuación homogénea asociada si B2 M/k; B2 M/k;B2 M/k c) Si se considera M 1g, 2 5 10 s kg
k e(t)10N y B variable (rozamiento), obtener las soluciones particulares de la posición si
c-1) 0B20 c-2) Bc s Kg
B20 c-3) B20
4.2. INTENCIONES EDUCATIVAS REFERIDAS AL USO DE LAS TIC
La cátedra reconoce que el valor didáctico de un material está en su adecuación a las circunstancias del contexto formativo en el que se utiliza y en la forma en la que el docente orienta su uso. (Marquès, 2015) Es por ello que desde hace muchos años se investiga el uso de diversos programas que permitan el diseño y desarrollo de herramientas visuales interactivas para el tratamiento de temas de Matemática que se dictan en distintas asignaturas de las carreras de Ingeniería.
En 2013, el equipo de cátedra preparó material didáctico para el estudio de las soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden a coeficientes constantes que modelizan los Problemas 1 y 2, antes enunciados. El mismo consistió en el diseño de diversas pantallas interactivas realizadas con el software libre GeoGebra, con el propósito de que el uso de las mismas por parte de los estudiantes, facilitaran el análisis de las
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 conclusiones de los problemas en estudio, como así también, permitieran efectuar anticipaciones de conceptos que se desarrollarían en materias vinculadas al control automático, tal como muestra la Fig. 1 (Pantallas para R=3).
Fig. 1: Pantallas diseñadas para el análisis de las raíces de la ecuación característica
A través del uso de dichas ventanas, los estudiantes podían analizar en detalle todos los casos posibles de solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden a coeficientes constantes, cuando uno de los coeficientes se convierte en una variable. En la primera de ellas (Pantalla 1), se muestra la ubicación de las raíces de la ecuación característica. En el eje de abscisas se representa el valor real de la raíz y en el de ordenadas el valor imaginario. En la segunda pantalla (Pantalla 2), se representa la respuesta del sistema físico en función del tiempo. En ambos casos, las gráficas se realizan para diferentes valores de la resistencia del circuito (R) que se logra cambiar mediante un deslizador. También se muestra a las exponenciales que la limitan y las rectas tangentes en t=0 que, al interceptarse, dan el valor de la constante de tiempo (τ) correspondiente. Éste se señala mediante un texto dinámico en el eje de las abscisas.
Estas pantallas eran utilizadas en clase como recurso didáctico. En una primera clase, el docente explicaba la dinámica de uso a través de proyecciones desde un cañón proyector. Luego, los archivos de GeoGebra se subían al Aula Virtual de Moodle de AMII para que los estudiantes los utilizaran en terminar de analizar los dos problemas. A partir de esta implementación, los estudiantes evidenciaron dificultades en la visualización y análisis de las gráficas de ambas pantallas al tener que manipular dos archivos por separado.
Durante el 2016, docentes y becarios deciden comenzar a investigar la posibilidad de desarrollar con el lenguaje de programación MatLab un material didáctico de enseñanza y aprendizaje para AMII, que atienda a las dificultades observadas en el estudio de las soluciones de ambos problemas, con el anterior recurso desarrollado.
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 Se consideró trabajar en MatLab de The Mathworks debido a que es un lenguaje de programación de alto nivel que combina el modelado y análisis de datos con un tratamiento gráfico avanzado. Además, por la posibilidad de disponer de un entorno de desarrollo GUIDE (Graphical User Interface Development Environment), el cual provee un conjunto de herramientas para crear interfaces gráficas de usuario o GUI (Graphical User Interfaces), permitiendo al usuario interactuar con la aplicación, realizando diferentes acciones con su código sin estar interiorizado en él.
Se definieron criterios de evaluación del material didáctico que permitieran ir evaluando el diseño y desarrollo del material didáctico. Por ejemplo:
Criterios relacionados con el funcionamiento operativo:
- Uso libre, sin necesidad de tener instalado el programa Matlab (de uso bajo licencia) - Amigable, con acciones simples, campos y botones con nombres familiares a los utilizados en clase.
Criterios relacionados con los modos de implementación de la aplicación: - Propicia el trabajo autónomo del estudiante.
- Posibilidad de acceso desde cualquier dispositivo y momento.
A partir de ellos, se inició el diseño de la interfaz gráfica y la escritura del código. Durante la etapa de desarrollo se presentaron dificultades a nivel de programación vinculadas al cumplimiento de las especificaciones deseadas y las limitaciones de compilación del código MatLab en un archivo ejecutable.
Luego de realizar los ajustes del código, de manera criteriosa para mantener la operatividad del material didáctico de acuerdo a las intenciones educativas pretendidas, se logró la versión actual 2019, incluida en el Aula Virtual de Moodle de la cátedra de AMII, junto con el tutorial de instalación del Runtime adecuado (Fig. 2), el cual Mathworks ofrece gratuitamente. Esto permitió ofrecer a los estudiantes la aplicación sin necesidad de instalación de Matlab. Lo cuál es una limitación ya que es un programa bajo licencia.
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Fig. 2: Aula Virtual Análisis Matemático II en Moodle – Inicio Unidad 7
5 LOS MATERIALES DIDÁCTICOS Y SU USO
Al iniciar la Unidad 7 de Análisis Matemático II, se proponen los problemas del circuito eléctrico y del resorte, según la especialidad en donde se esté trabajando.
Se comienza con la modelización de ambos problemas, las cuales resultan similares. Se definen conceptos necesarios para reconocer el tipo de ecuación diferencial que corresponde a dichos modelos, para luego iniciar el trabajo con los métodos de resolución analítica de ejercicios, tanto de la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea y no homogénea a coeficientes constantes. A partir de resolver en clases varios de ellos, se vuelve a la resolución de los problemas. Es en este momento en que se presenta el material didáctico realizado en Matlab. Se propone a los estudiantes iniciar la resolución en sus carpetas e ir interpretando resultados. El docente acompaña este momento de análisis de resoluciones y resultados, a partir de mostrar cómo es posible completar el análisis de las soluciones obtenidas a partir del uso de la aplicación.
A continuación se incluyen algunas de las pantallas que se trabajan en clase con los estudiantes, muchos de ellos desde los celulares, a partir de la resolución del problema del circuito eléctrico.
La interfaz del material didáctico desarrollado presenta en una misma ventana dos pantallas en las cuales se puede visualizar, por un lado, la ubicación de las raíces de la ecuación característica (en un plano complejo) y por el otro, el tipo de respuesta temporal.
Se trabajó con una entrada tipo escalón (una función constante desde el punto de vista matemático estricto) ya que es la más fácil de visualizar y observar la influencia de la solución de la homogénea (quien depende de las características propias del sistema físico planteado y repercute sobre el régimen transitorio de la respuesta del sistema) y la de la particular (quién, finalmente, provocará el régimen permanente).
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 Los estudiantes analizan desde sus celulares que ocurre para valores crecientes de R. observan como las raíces de la ecuación característica comienzan a tener parte real cada vez más negativa (-1/τ) mientras que disminuye la parte imaginaria (±ω). La Figura 3 muestra para R=3,1.
Fig.3: Sistema subamortiguado
Conjuntamente con los estudiantes, se trabaja la interpretación de las gráficas que se obtienen, observando que al disminuir el valor de τ (asociado a la parte real de la raíz) el amortiguamiento de las exponenciales se hace más notorio y hace desaparecer su influencia más rápidamente en la respuesta (para ello se analiza la variación de la pendiente de la recta tangente a la misma, en el origen (-A/τ y A/τ)).
Por otra parte, si ω se hace cada vez más pequeño el pseudo período T (2π/ω) de la onda amortiguada aumenta cada vez más. Los sistemas que responden a esta situación se conocen con el nombre de sistemas subamortiguado y la respuesta de este será una respuesta subamortiguada.
Luego se analiza R20Rc, el cual resulta un caso particular. Se obtienen 2 raíces
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 se puede escribir como ( )( 0,0001) 0,0001
t e t
t
y dónde 0,0001. Se vuelve a
trabajar con el material didáctico, refiriendo que los sistemas que responden a esta situación se conocen con el nombre de sistemas con amortiguamiento crítico y la respuesta de este será una respuesta crítica (Fig. 4).
Fig. 4: Sistema crítico
Por último, se trabaja con R20. En este caso, las raíces se pueden escribir como 400 500 500 2 2 , 1 R i R r y la solución será () tr1 tr2 0,0001 e B e A t y donde 1 0001 , 0 2 1 r r A y 1 2 1 0001 , 0 r r B
Las raíces de la ecuación característica para estos valores
de R>20 toman valores reales negativos. Una que se aproxima a cero, y otra que tiende a -∞ (r1 500R500 R2 400;r2 500R500 R2 400).
Por otra parte, se observa que r2 r1 lo que implica que no sólo B será siempre positiva sino que la exponencial a la cual multiplica, se extinguirá más rápidamente (su
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 constante de tiempo es
2
1
r que la exponencial que multiplica a A (que será siempre
negativa y siendo su constate de tiempo
1
1
r ) y que será la que tendrá cada vez más
significado o aporte a la solución final. De igual manera se analiza en clases con los estudiantes las gráficas y resultados obtenidos (Fig. 5).
Fig. 5: Sistemas sobreamortiguados
También es preciso hacer notar que, en todos los casos, la respuesta nace de cero, lo que concuerda con la condición inicial del problema q(0)=0. Por otra parte, por más que no se observe por una cuestión de escalas, puede verse que la solución en el origen arranca con una pendiente de cero grados, lo que concuerda con la solicitud de que q'(0)=0.
Finalmente, también puede indicarse que, en todos los casos, excepto en el que las raíces sean imaginarias puras en la que se obtiene una oscilación permanente, la respuesta del sistema tiende a un valor constante de 0,0001 que representa el aporte de la solución no homogénea al problema. Físicamente sería la carga final del capacitor (𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑞 (𝑡) = 𝐶𝐸).
Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 5, n. 6, p. 6876-6891, jun. 2019 ISSN 2525-8761 6 CONCLUSIONES
Es importante destacar que la cátedra de AMII es pionera en el Ciclo Básico en la FRSN en el uso de MATLAB para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. La cátedra de AMII reconoce que ha sido un buen trabajo en equipo. A la expertiz de los docentes de la cátedra en cuanto a cómo debía ser el material didáctico y qué posibilidades debería brindar a los estudiantes, no se puede obviar las contribuciones de los becarios en cuanto a los desarrollos en el programa. La ventaja del nuevo material didáctico realizado en MatLab radica en que supera una de las dificultades que presentaba su antecesor realizado en GeoGebra, presenta en una misma ventana las dos gráficas en las cuales se puede visualizar, por un lado, la ubicación de las raíces de la ecuación característica (en un plano complejo) y por el otro, el tipo de respuesta temporal.
Para trabajos futuros, el empleo de esta aplicación nos permitirá avanzar un poco más y ver de desarrollar un material didáctico que considere cambiar el escalón por una función senoidal. Se reconoce que, sin el uso de aplicaciones de este tipo y pensando en distintas funciones, sería casi imposible la visualización e interpretación de las soluciones de los problemas utilizando sólo tiza y pizarrón, de ahí la importancia de seguir trabajando en el diseño y desarrollo de material didáctico como el que se presenta en este trabajo.
REFERENCIAS
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